河北省承德市高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案新人教A版4 精
高中数学1.1.2弧度制教案新人教A版必修4
１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。
教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。
二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。
这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。
３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。
例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。
（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。
π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。
高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制教案新人教A版必修4
1.1.2 弧度制一、教学目标：1．理解1弧度的角的意义，了解弧度制的概念，领会定义的合理性；了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；2．在亲历知识的建构过程中，渗透数形结合、特殊到一般等思想方法；3．体验角度制与弧度制的区别、联系与转化，能进行角度与弧度的换算，牢记特殊角的弧度数。
二、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念；弧度与角度的换算2、教学难点：弧度制的概念 三、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念。
利用PPT 和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念。
六、教学基本流程：四、教学过程： （一）复习引入1、上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
这些角都是用“度”来度量的，这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。
回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形面积公式是什么？2、在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量重量时，可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的单位制呢？ （二）新课讲授问题一：圆心角︒=30n ，当半径r 为1，2，3，4时，计算圆心角n 所对弧长l 与半径r 的比值rl 。
（1）当圆心角不变，半径变化时，rl是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）（2）若半径不变，圆心角变化时，rl随圆心角的变化而变化。
因此，弧长与半径的比rl只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制——弧度制。
与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。
几何画板演示： （1）1弧度的角rl=1，此时l r =（是一个比︒60的角略小的角）。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4[1](2021年整理)
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1。
1。
2 弧度制1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系。
2。
理解“弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数。
(重点、难点)3.“角度制"与“弧度制”的区别与联系.(易错点)[基础·初探]教材整理1 角度制与弧度制的定义阅读教材P6～P7第三行以上内容，完成下列问题.1. 角度制与弧度制的定义2如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α｜＝l r 。
判断(正确的打“√"，错误的打“×”）（1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( )（2)1弧度是长度为半径的弧。
( ）（3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )（4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.（）【解析】根据弧度制的定义知（4）正确.【答案】 (1）× （2）× (3)× （4）√ 教材整理2 角度制与弧度制的换算阅读教材P 7第四行至P 8例3以上内容，完成下列问题. 1.角度与弧度的互化2.将下列角度与弧度进行互化.(1)20°＝________；（2）－15°＝________； （3）错误!＝________；(4)－错误!π＝________.【解析】 （1）20°＝20×错误!＝错误!；(2)－15°＝－15×错误!＝－错误!；（3)错误!π＝错误!π×错误!°＝105°；（4）－错误!π＝－错误!π×错误!°＝－396°。
【答案】 (1）错误! （2）－错误! (3）105° （4)－396° 教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P 8例3内容，完成下列问题。
设扇形的半径为R ,弧长为l ，α为其圆心角，则圆心角为错误!弧度，半径为6的扇形的面积为________。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4
1.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点)．知识点1 弧度制 1．度量角的两种制度2．弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数． (2)负角：负角的弧度数是一个负数． (3)零角：零角的弧度数是0．(4)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr．3．角度制与弧度制的换算【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．( )(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( ) (3)160°化为弧度制是89π rad.( )提示 (1)×，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角．(2)√，“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．(3)√，160°＝160×π180 rad ＝89π rad ．知识点2 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则【预习评价】圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是________． 解析 因为15°＝π12，所以面积S ＝12αR 2＝12×π12×36＝32π(cm 2)．答案 32π(cm 2)题型一 角度与弧度的互化及应用 【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－800°；(3)7π12；(4)－45π． 解 (1)20°＝20×π180＝π9；(2)－800°＝－800×π180＝－409π；(3)7π12＝(7π12×180π)°＝105°；(4)－45π＝－(45π×180π)°＝－144°．规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝(180π)°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·(180π)°；n °＝n ·π180．【训练1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8．(2)－5π12＝－5π12×(180π)°＝－75°．题型二 用弧度制表示角的集合【例2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．解 (1)以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )，以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是{α|2π3＋2k π<α<7π6＋2k π，k ∈Z }．规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 【训练2】 已知角α＝2 010°．(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π．题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用【例3】 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r ．∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216．∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216．规律方法 扇形弧长、面积问题的解决方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解． 提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S 转化为关于R 的二次函数，但要注意R 的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πR ．【训练3】 已知扇形AOB 的周长为10 cm ．(1)若这个扇形的面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4．当r ＝1时，l ＝8 cm ，此时，θ＝8 rad>2π rad ，舍去； 当r ＝4时，l ＝2 cm ，此时，θ＝24＝12 rad ．(2)由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＝－(r －52)2＋254(0<r <5)．当r ＝52时，S 取得最大值254，这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝5r ＝552＝2 rad ．课堂达标1．下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 为假命题，故选D ． 答案 D2．2 340°转化为弧度为( ) A ．132πB ．13πC ．132D ．13解析 2 340×π180＝13π，选B ．答案 B3．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为( )A ．3π16B ．3π8C ．3π4D ．3π2解析 由S ＝12|α|r 2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4．答案 C4．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角． 答案 D5．已知α＝1 690°．(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解 (1)1 690°＝1 440°＋250° ＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π．(2)∵θ与α终边相同， ∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z )．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π，∴－9736<k <4736(k ∈Z )．∴k ＝－2，－1,0,1．∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π．课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．基础过关1．下列各命题中，真命题是( ) A ．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度等于半径的弧 C ．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析 根据弧度制和角度制的规定可知A 、B 、C 均错误，D 正确． 答案 D2．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB ．74π－8π C ．π4－10πD ．74π－10π 解析 －1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为7π4－10π，选D ．答案 D3．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析 设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，∴α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．答案 A4．若α∈(0，π)，且α与角－5π3终边相同，则α＝________．解析 －5π3＝－2π＋π3，故α＝π3．答案π35．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________．解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360． 答案 12＋π360，12－π3606．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针旋转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π<α<4π3＋2k π，k ∈Z ． (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z ． (3)将题干图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z ．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z ．7．把下列角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式： (1)16π3；(2)－315°．解 (1)∵0≤4π3＜2π，∴16π3＝4π＋4π3．(2)∵－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4，∵0≤π4＜2π，∴－315°＝－2π＋π4．能力提升8．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－34πB ．－2πC ．πD ．－π解析 ∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，或－11π4＝－4π＋5π4，且|－3π4|<|5π4|，∴θ＝－34π．答案 A9．如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A ．12(2－sin 1 cos 1)R 2B ．12R 2sin 1cos 1 C ．12R 2D ．(1－sin 1cos 1)R 2解析 ∵l ＝4R －2R ＝2R ，∴α＝l R＝2． ∵S 弓形＝S 扇形－S △＝12αR 2－12(2R sin α2)·(R cos α2) ＝12×2×R 2－R 2sin 1·cos 1＝R 2(1－sin 1cos 1)． 答案 D10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________．解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．答案 [－4，－π]∪[0，π]11．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______ ． 解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－3π2＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在． 答案 (－3π2，－π)∪(π2，2]12．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30 cm ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10(cm)，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)． (2)由l ＋2R ＝30，∴l ＝30－2R ， 从而S ＝12·l ·R ＝12(30－2R )·R＝－R 2＋15R ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －1522＋2254．∴当半径R ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lR＝2 rad ．∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2．13．(选做题)如图，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．11解 AA 1所在圆弧的半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2所在圆弧的半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在圆弧的半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4(dm 2)．。
2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制(2)教学教案新人教A版必修4
设计小组讨论环节，让学生围绕弧度制的应用展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验弧度制知识的应用，提高实践能力。
在弧度制的新课呈现结束后，对知识点进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
6. 练习题库：准备与本节课内容相关的练习题，包括基础题和拓展题，以便在课堂练习环节和学生课后巩固所学知识。
7. 反馈问卷：准备反馈问卷，以便在课后了解学生对本节课内容的理解和掌握程度，为后续教学提供参考和调整。
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解三角函数弧度制的相关学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
4. 作业辅导：针对学生在作业中出现的问题，进行个别辅导和指导，帮助学生解决学习困难。通过辅导，提高学生的学习效果和自信心。
八、教学反思
1. 教学内容：反思本节课的教学内容是否符合学生的学习需求，是否能够满足学生的学习目标。如有需要，及时调整教学内容和进度，确保教学效果。
2. 教学方法：反思本节课的教学方法是否能够激发学生的学习兴趣和主动性，是否能够提高学生的学习效果。如有需要，及时调整教学方法，提高教学效果。
2.在下一节课开始时，进行课堂提问，了解学生对弧度制的理解和应用情况；
3.根据学生的表现，及时调整教学方法，提高教学质量。
核心素养பைடு நூலகம்标分析
本节课的核心素养目标主要包括数学抽象、数学建模、数学运算和直观想象四个方面。
1. 数学抽象：通过复习弧度制的概念和转换方法，让学生理解并能够抽象出弧度制在三角函数中的基本作用，提高学生对数学概念的抽象能力。
高中数学(1.1.2弧度制)教案新人教A版必修4
1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高二必修4数
1.1.2 弧度制[目标] 1.知道弧度制． 2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式． 3.能进行弧度与角度的互化．[重点] 弧度与角度的互化．[难点] 1弧度角的概念的理解．知识点一角的单位制[填一填][答一答]1．扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？提示：1度的角等于周角的1360，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的．知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系[填一填](1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.[答一答]3．判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系(×)(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应(√)(3)用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同(×)4．角α＝6这种表达方式正确吗？提示：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省去了．知识点三角度与弧度的互化[填一填][答一答]5．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能．因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法，应写成α＝2k π＋π6，k ∈Z 或k ·360°＋30°，k ∈Z .知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为圆心角，则扇形弧长为l ＝αR ，周长为l ＋2R ，扇形面积S ＝12lR ＝12αR 2.[答一答]6．角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l ＝n πR 180，扇形面积公式S ＝n πR 2360.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是α为弧度制.类型一 弧度制的概念 [例1] 有关角的度量给出以下说法： ①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π； ②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________．[解析] 由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°≠1°，故②不正确． [答案] ①③④解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念．知道角度制与弧度制的关系．[变式训练1] 下列说法中，错误的是( D ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：由弧度制的定义知D 说法错误．故选D.类型二 角度制与弧度制的互化命题视角1：角度制与弧度制的换算 [例2] 将下列角度与弧度进行互化： (1)36°；(2)－112°30′；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)36°＝36×π180 rad ＝π5rad ；(2)－112°30′＝－112.5°＝－112.5×π180 rad ＝－5π8 rad ；(3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°； (4)－11π5＝⎝⎛⎭⎫－11π5×180π°＝⎝⎛⎭⎫－115×180° ＝－396°.将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可.[变式训练2] (1)－630°化为弧度为－72π；(2)－78π＝－157°30′；(3)α＝－3 rad ，它是第三象限角． 解析：(1)－630°＝－630×π180＝－72π.(2)－78π＝－78π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－157°30′.(3)根据角度制与弧度制的换算，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 则α＝－3 rad ＝－⎝⎛⎭⎫540π°≈－171.9°. 分析可得，α是第三象限角．命题视角2：用弧度制表示终边相同的角[例3] (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)在[0,4π]中找出与2π5角终边相同的角．[解] (1)因为－1 480°＝－1 480×π180 rad ＝－749π rad ，所以－749π＝－10 π＋169 π，其中α＝169π.(2)因为25π＝25×180°＝72°，所以终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°＝2π5；当k ＝1时，θ＝432°＝12π5. 所以在[0,4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2k π(k ∈Z )，这些角所组成的集合为{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }.[变式训练3] 将下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它们是第几象限角．(1)－1 725°；(2)870°.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°， 所以－1 725°＝－10π＋5π12⎝⎛⎭⎫其中α＝512π. 所以－1 725°与5π12的终边相同，故－1 725°是第一象限角． (2)870°＝296π＝5π6＋4π⎝⎛⎭⎫其中α＝56π，角870°与5π6终边相同，故870°是第二象限角． 类型三 弧长公式与扇形面积公式[例4] (1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1(2)①已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． ②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积． [分析] (1)求弧长⇒圆心角和弦长⇒构造三角形⇒利用三角函数． (2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积⇒l ＝αR 或S ＝12lR .[解析] (1)如图，过点O 作OC ⊥AB 于C ，延长OC ，交AB 于D ，则∠AOC ＝∠BOC ＝1 rad ，且AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，OA ＝1sin ∠AOC ＝1sin1.∴圆心角所对的弧长l ＝α·OA ＝2sin1，故选C.(2)解：①设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4.②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 rad.②设扇形弧长为l ，因为72°＝72×π180＝2π5(rad)，所以l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)．所以S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．[答案] (1)C (2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.[变式训练4] 已知一扇形的周长为8 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝8，l ＝8－2r ， S ＝12lr ＝12r (8－2r )＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4(0<r <4)．当r ＝2时，S max ＝4 cm 2，此时l ＝4 cm ，α＝2.所以当半径长为2 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为4 cm 2.1．2 100°化成弧度是( A )A.35π3 B ．10π C.28π3 D.25π3 解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3.2．角－2912π的终边所在的象限是( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.3．与角－π6终边相同的角是( C )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3解析：与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z }，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2 rad. 解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.5．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.——本课须掌握的三大问题1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．。
2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制(1)教学教案新人教A版必修4
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入弧度制学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的角度制内容，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对角度制的掌握情况，为弧度制新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
3. 学生可能遇到的困难和挑战：在学习了角度制后，学生可能对弧度制的概念和运用感到困惑，特别是在理解和转换弧度制与角度制时。此外，学生可能对弧度制在三角函数中的应用感到困难，特别是如何利用弧度制来表示和计算三角函数值。学生可能还需要加强对弧度制与角度制之间关系的直观想象，以更好地理解和运用这一概念。六、 Nhomakorabea学资源拓展
（一）拓展资源：
1. 弧度制在实际应用中的例子：
- 物理学科中，可以介绍弧度制在描述角速度、角加速度等方面的应用。
- 工程学科中，弧度制在测量角度、绘制曲线等方面的应用。
2. 数学软件资源：
- 介绍几何画板等软件，让学生学会用软件绘制弧度制的图形。
- 介绍MATLAB等软件，让学生学会用软件进行弧度制的计算。
（4）数学工具软件：教授学生使用数学工具软件，如几何画板、MATLAB等，进行弧度制的图形绘制和计算，提高学生的实践操作能力。
（5）互动环节：设置课堂互动环节，如提问、解答、游戏等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。
（6）课后辅导：提供课后在线辅导，解答学生疑问，及时了解学生的学习情况，针对性地进行教学调整。
在教学反思中，我发现自己在课堂导入和知识讲解环节做得比较好，能够有效地激发学生的兴趣和引导学生深入思考。但在互动探究和技能训练环节，我发现自己在组织学生讨论和指导学生实践方面还有待提高，需要进一步加强对学生的引导和鼓励。此外，我在板书设计方面也有所欠缺，需要更加简洁明了地展示教学内容，方便学生理解和记忆。
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制问题导学案新人教A版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数１.1 任意角和弧度制1．１.２弧度制问题导学案新人教A版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第一章三角函数１．1 任意角和弧度制 1.１．２弧度制问题导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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１。
1。
2 弧度制问题导学一、弧度制的概念活动与探究１下面各命题中,是假命题的为_＿___＿__＿_. ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②１度的角是周角的1360,１弧度的角是周角的12π；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度;④不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与所在圆的半径长短有关.迁移与应用圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )A.π3 B ．2π3Ｃ. D.２不管以“弧度"还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．二、弧度制与角度制的换算活动与探究２设α1=510°,α２＝-７5０°，β1=4π5,β2=11π6-. (１)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来,并在[-360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角． 迁移与应用（1)把－1 4８０°写成α+２k π(k ∈Z ）的形式,其中０≤α<2π;(２）若β∈［-4π,０],且β与（1）中α的终边相同，求β.1．在进行角度制和弧度制的换算时,抓住关系式π ｒad ＝180°是关键．由它可以得到:度数×π180＝弧度数，弧度数×180π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭=度数. 2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用,应熟记．三、扇形的弧长与面积公式的应用活动与探究3若扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是４ cm,求扇形圆心角的弧度数．迁移与应用１.在圆心角均为1弧度的若干个圆中，下列结论正确的是（ )Ａ．所对的弧长相等Ｂ．所对的弦长相等C ．所对的弧长等于各自圆的半径D ．所对的弦长等于各自圆的半径2．如下图所示,已知扇形A ＯＢ的圆心角为120°，半径长为6，求弓形A ＣB 的面积．1．明确弧度制下扇形的面积公式是211||22S lR R α==(其中l 是扇形弧长，α是扇形圆心角）．2.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组)求解.当堂检测１.若α=5 r ａd ，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限 B.第二象限Ｃ．第三象限 D.第四象限２.终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ）Ａ.｛α|α=ｋπ，k ∈Z ｝ B.ππ+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z C.{α|α=2k π,k ∈Z } D.π2π+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A.π4 B.π2C ．24．2π5化成角度为_＿__＿__＿＿＿． 5.在直径为20 cm 的圆中，圆心角为１5０°时所对的弧长为_____＿___＿．答案:课前预习导学【预习导引】1.（1)＼f(1，360) (2)半径长 圆心角 弧度制 弧度(3)正数 负数 0 错误!预习交流1 提示：根据１弧度角的定义,圆周长是２π个半径,所以圆周角是2π弧度,所以1弧度角就是错误!圆周角,与圆的大小即半径无关.2．2π rad 360° π rad 180° ＼f （π，180)rad 错误!°预习交流2 提示:不正确．在表示角时,角度与弧度不能混合使用.一般情况下，“弧度”二字或“rａd”可省略不写．5.αR ｌ+2Ｒ 错误!lR 错误!αＲ２预习交流3 提示:扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上,扇形可看作是一曲边三角形,弧是底,半径是底上的高.课堂合作探究【问题导学】活动与探究１思路分析:正确理解“角度”与“弧度"的概念,从而进行正确的判断.④解析：根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关,而是与弧长和半径的比值有关,所以④是假命题.迁移与应用 C 解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为３R，所以圆心角的弧度数为错误!=错误!．活动与探究２思路分析:首先利用1°＝π180raｄ可将角度化成弧度，利用 1 rad＝错误!°可将弧度化成角度,然后再根据要求指出α１,α2终边所在的象限,与β1，β２终边相同且在[－３6０°，360°）内的角．解:（1)∵1°＝错误! rａd,∴α1＝５10°=５10×错误!＝错误!π＝2π＋错误!π；α２＝－７50°=－7５0×π１80=－2５6π＝-3×２π＋错误!π．∴α1的终边在第二象限,α2的终边在第四象限．（2)β1＝错误!π＝错误!×错误!°=14４°．设θ1=ｋ·36０°＋14４°(k∈Z).∵－3６0°≤θ1<3６0°,∴－3６0°≤k·3６０°+1４4°＜３6０°.∴k=－1或k＝0.∴在[－360°,3６０°）内与β1终边相同的角是－２16°角.β2=－＼f（11,6)π=-错误!×错误!°=－330°．设θ2＝k·３60°-330°(k∈Ｚ).∵-360°≤θ２＜360°，∴－３60°≤k·３60°-330°＜36０°.∴k=0或k＝1.∴在[－３60°,360°）内与β2终边相同的角是30°角．迁移与应用解：（１）∵-1 480°=-＼f(74,９）π＝-8π－＼f(2，9)π＝-10π＋１69π，又∵0≤错误!π＜2π，故－１480°＝＼ｆ(16，9)π-2×5π.（2）∵β与α终边相同，∴β＝α＋２kπ＝错误!π＋２ｋπ,k∈Z.又∵β∈[-4π,0],∴β1＝＼f（1６,9)π－2π=－错误!,β2=错误!π－4π=-错误!π．活动与探究3思路分析:确定扇形的条件有两个,最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个．解:设扇形的半径为R，弧长为ｌ,由已知得错误!解得错误!∴扇形圆心角的弧度数是错误!＝２.迁移与应用1．C 解析:∵l＝θR,θ=１，∴l=R，故选C.２.解:S扇形AOB＝错误!×错误!π×6２=12π,S△AOＢ＝错误!×6２×sin 120°＝９错误!，∴S弓形ACB=Ｓ扇形ＡOB－S△ＡOＢ=12π－9错误!.【当堂检测】1.Ｄ２.D 解析：Ａ选项表示的角的终边在x轴上；B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在ｘ轴非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴非负半轴上,故选D．3．C 4。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4(2021年整理)
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1.1.2 弧度制课前预习学案一、预习目标：1.了解弧度制的表示方法;2。
知道弧长公式和扇形面积公式。
二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制，角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、角的弧度制是如何引入的？2、为什么要引入弧度制？好处是什么？3、弧度是如何定义的？4、角度制与弧度制的区别与联系？三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?课内探究学案一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3。
记住公式||l rα=（l为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆半径）;4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程(一)复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示,读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少? 〈思考〉：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。
河北省承德市高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案(无答案)新人教A版必修4
1。
2。
1任意角的三角函数学习目标由三角函数的定义,求任意角α的正弦、余弦值重点难点三角函数的符号确定方法自主探究一．探知部分：（学生自己独立完成）1．三角函数的定义以角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．设角α的终边上任一点P（x,y），OP＝r(r≠0)，则定义:(1)余弦函数：________叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝________。
（2）正弦函数：________叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝________。
（3）正切函数：________叫做角α的正切，记作tan α,即tan α＝________.2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域三角函数定义域sin αR课堂随笔课堂随笔cos αRtan α{α|α≠________｝3。
正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号4．诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k·2π）＝________，cos（α＋k·2π)＝________, tan（α＋k·2π)＝________，其中k∈Z。
二：探究部分[探究1］（1)已知角α的终边经过点P(－3,4），则sin α的值等于（）A．－35B。
错误!C。
错误!D．－错误!(2)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α,cos α,tan α的值．［探究2］(1）已知角α＝2kπ－错误!(k∈Z），若角θ与角α的终边相同,则y＝错误!＋错误!＋错误!的值为( )A．1 B．－1 C．3 D．－3（2）若sin 2α〉0，cos α〈0，试确定α所在的象限．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案
1.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 答案 周角的1360等于1度.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad 表示. 思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.梳理 (1)角度制和弧度制 角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答案 利用1°＝π180rad 和1 rad ＝(180π)°进行弧度与角度的换算.梳理 (1)角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π rad π rad＝180° 1°＝π180rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0° 1° 30° 45° 60° 90°120°135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则：α为度数 α为弧度数 扇形的弧长l ＝απR 180°l ＝αR 扇形的面积S ＝απR 2360°S ＝12lR ＝12αR 2类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°.(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°即可.跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度.解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角. (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角. (2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角. 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A.π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.2 B.2sin 1 C.2sin 1 D.4sin 1答案 (1)A (2)D解析 (1)扇形的中心角为120°＝2π3，半径为3，所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π3×(3)2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×2sin 1＝4sin 1. 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算. 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1.下列说法中，错误的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案 D解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 是错误的，故选D. 2.时针经过一小时，转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 rad D.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6 rad ，故选B.3.若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限答案 D解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.5.已知⊙O 的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是 . 答案 － 3解析 设⊙O 的半径为r ，其内接正三角形为△ABC .如图所示，D 为AB 边中点， AO ＝r ，∠OAD ＝30°， AD ＝r ·cos 30°＝32r ， ∴边长AB ＝2AD ＝3r . ∴的弧长l ＝AB ＝3r . 又∵α是负角， ∴α＝－l r＝－3rr＝－ 3.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式. 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题1.－300°化为弧度是( ) A.－43πB.－53πC.－74πD.－76π答案 B解析 －300°＝－300×π180＝－53π.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 A ，B 中弧度与角度混用，不正确. 9π4＝2π＋π4，所以9π4与π4的终边相同. －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°的终边相同.故选C. 3.下列转化结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3B.－103π化成度是－600°C.－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 答案 C解析 C 项中－150°＝－150×π180＝－56π.4.设角α＝－2弧度，则α所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 ∵－π<－2<－π2，∴2π－π<2π－2<2π－π2，即π<2π－2<32π，∴2π－2为第三象限角， ∴α为第三象限角.5.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.－34πB.－2πC.πD.－π答案 A解析 ∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，∴θ＝－34π.6.若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶9答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6 m 2B.9 m 2C.12 m 2D.15 m 2答案 B解析 根据题设，弦＝2×4sin π3＝43(m)，矢＝4－2＝2(m)，故弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2). 二、填空题8.在直径长为20 cm 的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为 cm. 答案55π6解析 ∵165°＝π180×165＝11π12(rad)，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm).9.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π].10.若2π<α<4π，且α与－76π角的终边垂直，则α＝ .答案 73π或103π解析 α＝－76π－π2＋2k π＝2k π－53π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝73π；或者α＝－76π＋π2＋2k π＝2k π－23π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝103π.综上，α＝73π或103π.11.如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为 .答案4π3解析 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3，则AF ＝3，∠ABF ＝π3.∴AB ＝AFsin ∠ABF ＝2，即R ＝2.∴弧长l ＝|α|R ＝4π3，∴S ＝12lR ＝4π3.三、解答题12.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10(cm)，∴l ＝αR ＝10π3(cm).S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2). (2)∵l ＋2R ＝30，∴l ＝30－2R ，从而S ＝12·l ·R ＝12(30－2R )·R ＝－R 2＋15R ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －1522＋2254. ∴当半径R ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝l R＝2(rad). ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2. 13.已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.解 (1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3， 又π2<2π3<π， ∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角. (2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ， ∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16. ∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0.故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3.。
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制知识导航学案新人教A版必修4(2021学年)
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1.１ 任意角和弧度制知识梳理一、角的概念的推广１.角:角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点。
2。
角的分类：正角、零角、负角.3。
象限角:如果把角放在直角坐标系内来讨论,使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。
α是第一象限角可表示为{α｜２ｋπ<α＜2ｋπ+2π，ｋ∈Z ｝； α是第二象限角可表示为｛α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k∈Z }; α是第三象限角可表示为{α|２kπ+π＜α<2kπ+23π,k∈Z ｝; α是第四象限角可表示为{α｜2kπ+23π＜α<2kπ+2π,k∈Z ｝． 4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,如果角的终边落在坐标轴上,就称该角为轴线角。
终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作:α｜α=2kπ，k∈Ｚ；终边落在ｘ轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α＝２ｋπ+π,ｋ∈Z ；终边落在ｙ轴非负半轴上的角的集合可记作： {α|α=2kπ+2π，ｋ∈Z ｝; 终边落在ｙ轴非正半轴上的角的集合可记作:{α|α＝2kπ+23π,k∈Z }; 终边落在坐标轴上的角可表示为：{α｜α=2πk ，k∈Z ｝。
高中数学 第一章三角函数1.1.2弧度制教案 新人教A版必修4
1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.y xAαOB例4.利用计算器比较sin1.5和sin85 的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习P.教材109.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题．2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
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1.1.2弧度制
随
(2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合．(不包括边界，如图)
类型3 扇形弧长与面积公式的应用
[探究3] 已知扇形的圆心角为2π3
弧度，半径为2，则扇形的面积是( ) A.8π3 B.43 C ．2π D.4π3
三：应用部分：
[练习1] (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－5π12
化成度． [练习2] 1.将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角．
2．用弧度制表示终边落在如图阴影部分的角β的集合．
[练习3] 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
四：巩固部分：
1.16π3
化为α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A.16π3＝π3＋5π B.16π3＝4π3
＋4π C.16π3＝－2π3
＋6π D.16π3＝7π3＋3π。