等差

课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a ，b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是________．2．从盛满10 L 纯酒精的容器里倒出1 L ，然后用水填满，再倒出1 L 混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.3．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是________．4．已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 为正实数，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，若a 3>0，则a 的取值范围是________．能力提升5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________.6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．7．[2011·上海长宁二模] 设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，则该数列前6项和为________．8．[2011·无锡联考] 已知数列{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 8，则一定有________(填序号)．①a 3＋a 9≤b 9＋b 7； ②a 3＋a 9≥b 9＋b 7； ③a 3＋a 9>b 9＋b 7； ④a 3＋a 9<b 9＋b 7.9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于________．10．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ＝________.11．通项公式为a n ＝an 2＋n 的数列{a n }，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是________．12．已知数列{a n}满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．13．(8分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a n a n .(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‟.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：15．(12分)[2011·扬州调研] 数列{a n}的首项为1，前n项和是S n，存在常数A，B 使a n＋S n＝An＋B对任意正整数n都成立．(1)若A＝0，求证：数列{a n}是等比数列；(2)设数列{a n}是等差数列，若p<q，且1S p＋1S q＝1S11，求p，q的值．16．(12分)[2011·苏北四市一调] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝pa n－2n，n∈N*，其中常数p>2.(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列；(2)若a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)对于(2)中数列{a n }，若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋1)(n ∈N *)，在b k 与b k ＋1之间插入2k －1(k ∈N *)个2，得到一个新的数列{c n }，试问：是否存在正整数m ，使得数列{c n }的前m 项的和T m ＝2 011？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．课时作业(三十一)【基础热身】1．a n <a n ＋1 [解析] 因为a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋1－anbn ＋1＝(an ＋a )(bn ＋1)－an (bn ＋b ＋1)(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)＝a(bn ＋b ＋1)(bn ＋1)>0，所以a n <a n ＋1. 2．9×0.94 [解析] 第一次倒出后还有纯酒精：10－1＝9 (L)；第二次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9 )L ；第三次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)－0.1×(9－1×0.9)＝(9－1×0.9)×0.9＝9×0.92(L)，所以第五次倒出后还有纯酒精9×0.94 L.3．(－∞，0]∪[4，＋∞) [解析] 在等差数列中，a 1＋a 2＝x ＋y ，在等比数列中，xy＝b 1·b 2，∴(a 1＋a 2)2b 1·b 2＝(x ＋y )2x ·y ＝x 2＋2xy ＋y 2x ·y ＝x y ＋y x ＋2，当x ·y >0时，x y ＋yx ≥2，故(a 1＋a 2)2b 1·b 2≥4；当x ·y ＜0时，x y ＋yx ≤－2，故(a 1＋a 2)2b 1·b 2≤0.4.－1＋52，1∪1＋52，＋∞ [解析] a 3＝a 2－1a 2＝a 1－1a 1－1a 1－1a1＝(a 2－1)2－a 2a (a 2－1)>0， ∴a －1＋52a －1－52a －－1－52a －－1＋52a (a ＋1)(a －1)>0，∵a >0，∴a －1＋52a －－1＋52a －1>0.故a ∈－1＋52，1∪1＋52，＋∞. 【能力提升】5．15 [解析] ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 1＋a 3＝4a 2，即4a 1＋a 1q 2＝4a 1q ，∴q 2－4q ＋4＝0， ∴q ＝2，S 4＝15.6.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，∴x ＝104－1.7．0 [解析] a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，∴S 6＝0.在等差数列{a n }中a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q .9．60 [解析] 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.10．1 [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．11．－19<a <－117 [解析] 由a n ＝an 2＋n 是二次函数型，且a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n＋1对n ≥8恒成立，得92<－12a <172，可知－19<a <－117. 12．4或5或32 [解析] (1)若a 1＝m 为偶数，则a 12为偶数，故a 2＝m 2，a 3＝a 22＝m4，①当m 4仍为偶数时，a 4＝m 8，…，a 6＝m 32，故m32＝1⇒m ＝32.②当m 4为奇数时，a 4＝3a 3＋1＝34m ＋1，…，a 6＝34m ＋14， 故34m ＋14＝1得m ＝4.(2)若a 1＝m 为奇数，则a 2＝3a 1＋1＝3m ＋1为偶数，故a 3＝3m ＋12必为偶数，a 6＝3m ＋116，所以3m ＋116＝1可得m ＝5.13．[解答] (1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数，∴b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. 14．[解答] (1)10年后学生人数为b (1＋4.9‟)10＝1.05b . 又设今年起学校的合格实验设备为数列{}a n ， 则a 1＝1.1a －x ，a n ＋1＝1.1a n －x ，(*)令a n ＋1＋λ＝1.1(a n ＋λ)，则a n ＋1＝1.1a n ＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x ，故数列{}a n －10x 是首项为1.1a －11x ，公比为1.1的等比数列，所以a n －10x ＝(1.1a －11x )·1.1n －1， a n ＝10x ＋(1.1a －11x )·1.1n －1. a 10＝10x ＋(1.1a －11x )·1.19≈2.6a －16x .由题设得2.6a －16x 1.05b ＝2×a b ，解得x ＝132a .即每年更换旧设备为132a 套．(2)全部更换旧设备需12a ÷a32＝16年． 即按此速度全部更换旧设备需16年．15．[解答] (1)证明：A ＝0时，a n ＋S n ＝B ，当n ≥2时，由⎩⎨⎧a n ＋S n ＝B ，a n －1＋S n －1＝B ，得a n －a n －1＋(S n －S n －1)＝0，即a n a n －1＝12，所以，数列{a n }是等比数列． (2)设数列的公差为d ，分别令n ＝1,2,3得：⎩⎨⎧a 1＋S 1＝A ＋B ，a 2＋S 2＝2A ＋B ，a 3＋S 3＝3A ＋B ，即⎩⎨⎧2＝A ＋B ，2d ＋3＝2A ＋B ，5d ＋4＝3A ＋B ，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝1，d ＝0，即等差数列{a n }是常数列，所以S n ＝n ；又1S p ＋1S q ＝1S 11，则1p ＋1q ＝111，pq －11p －11q ＝0，(p －11)(q －11)＝112，因p <q ，所以⎩⎨⎧ p －11＝1，q －11＝112，解得⎩⎨⎧p ＝12，q ＝132.16．[解答] (1)证明：因为2S n ＝pa n －2n ，所以2S n ＋1＝pa n ＋1－2(n ＋1)，所以2a n ＋1＝pa n ＋1－pa n －2，所以a n ＋1＝p p －2a n ＋2p －2，所以a n ＋1＋1＝pp －2(a n＋1)，因为2a 1＝pa 1－2，所以a 1＝2p －2>0，所以a 1＋1>0，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝p p －2≠0，所以数列{a n ＋1}为等比数列．(2)由(1)知a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n ，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －2n －1，又因为a 2＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p p －22－1＝3，所以p ＝4或p ＝43(舍去)，所以a n ＝2n －1.(3)由(2)得b n ＝log 22n，即b n ＝n (n ∈N *)，数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是：(1＋2＋3＋…＋k )＋(20＋21＋22＋…＋2k －2)×2＝k (k ＋1)2＋2k－2，当k ＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2 011， 当k ＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2 011， 又因为2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数，所以当m ＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，T m ＝2011，所以存在m ＝988使得T m ＝2 011.。