七年级数学暑假专题 旋转综合提高 浙江版 知识精讲
2022-2023学年浙江七年级数学上学期同步精讲精练专题2
专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】【浙教版】【题型1 归类法】 ................................................................................................................................................. 14 【题型2 凑整法】 ................................................................................................................................................. 15 【题型3 逆向法】 ................................................................................................................................................. 17 【题型4 拆项法】 ................................................................................................................................................. 18 【题型5 组合法】 ................................................................................................................................................. 20 【题型6 裂项相消法】 .. (21)【题型7 倒数求值法】 24【知识点1 归类法】结合、同分母与同分母结合等. 【题型1 归类法】【例1】（2022春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣114）﹣5﹣（−34）． 【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可． 【解答】解：8+（﹣114）﹣5﹣（−34） ＝（8﹣5）+[（﹣114）﹣（−34）] ＝3+（−12） ＝212．【变式1-1】（2022春•徐汇区校级期中）计算：−223+21112+614−313．【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可． 【解答】解：原式=(−223−313)+21112+614 =−6+614+21112=14+21112=316．【变式1-2】（2022秋•青浦区期中）计算：219+0.3−129+710．【分析】运用加法交换律和结合律计算． 【解答】解：原式＝219+310−129+710＝（219−129）+（310+710） =89+1＝189．【变式1-3】（2022秋•和平区校级月考）计算： （1）−(−3712)+(−114)+(−2712)+(+1.25)−418；（2）﹣556+(−923)+1734+(−312)．【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可； （2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可． 【解答】解：（1）−(−3712)+(−114)+(−2712)+(+1.25)−418 ＝3712−114−2712+114−418＝（3712−2712）+（﹣114+114）﹣418 ＝1﹣418=−258；（2）﹣556+(−923)+1734+(−312) ＝（﹣556−923）+（1734−312） ＝﹣1512+1414 ＝﹣114．【例2】（2022秋•普陀区期末）计算：3.43﹣225+6.57﹣535．【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．【解答】解：3.43﹣225+6.57﹣535＝（3.43+6.57）﹣（225+535） ＝10﹣8 ＝2．【变式2-1】（2022秋•济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）． 【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5 ＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5） ＝﹣20+15 ＝﹣5．【变式2-2】（2022秋•上蔡县月考）计算： （1）225+217+（﹣517）﹣（﹣535）．（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）225+217+（﹣517）﹣（﹣535）＝225+217−517+535 ＝（225+535）+（217−517）＝8﹣3 ＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18） ＝6．【变式2-3】（2022秋•石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+335． 【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果． 【解答】解：(−12.7)−(−525)−87.3+335=−12.7+525−87.3+335＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+335）＝﹣100+9＝﹣91．【题型3 逆向法】【例3】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算−29×(−92)+(−29)×3435+29×2335．【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取29，并利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解．【解答】解：−29×（﹣92）+（−29）×3435+29×2335，=29×92−29×3435+29×2335，=29×（92﹣3435+2335），=29×（92﹣11），=29×81，＝18．【变式3-1】（2022秋•兰山区月考）25×34−25×12+25×（−14）【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：25×34−25×12+25×（−14）＝25×（34−12−14）＝25×0＝0．【变式3-2】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算：（1）（﹣9）×31829−（﹣8）×（﹣31829）﹣（﹣16）×31829；（2）997172×（﹣36）．【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝31829×（﹣9﹣8+16） ＝31829×（﹣1）＝﹣31829；（2）原式＝（100−172）×（﹣36） ＝100×（﹣36）−172×（﹣36）＝﹣3600+12＝﹣359912．【变式3-3】（2022秋•红谷滩区校级期中）简便计算 （﹣48）×0.125+48×118+(−48)×54【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； 【解答】解：（﹣48）×0.125+48×118+(−48)×54＝48×（−18+118−108）＝0.【题型4 拆项法】【例4】（2022秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12） ＝﹣4+（−710）＝﹣4710．【变式4-1】（2022秋•铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+812）．【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝1+12+4+14+3+34−8−12 ＝﹣7+8 ＝1．【变式4-2】（2022秋•浦东新区期中）计算：513−216+14．【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加． 【解答】解：原式＝5+13−2−16+14（5﹣2）+（13−16+14）＝3+（412−212+312）＝3+512 ＝3512．【变式4-3】（2022秋•凉山州期末）：(−202127)+(−202247)+4044+(−17)． 【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−27）]+[（﹣2022）+（−47）]+4044+（−17）＝（﹣2021﹣2022+4044）+（−27−47−17）＝1+（﹣1） ＝0．找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目. 【题型5 组合法】【例5】（2022秋•南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝ ﹣50 ． 【分析】根据结合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+⋯+1︷49−99 ＝49﹣99 ＝﹣50， 故答案为：﹣50．【变式5-1】（2022秋•襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论． 【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504， ∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【变式5-2】（2022秋•工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（ ） A ．50B ．﹣50C ．101D ．﹣101【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+⋯+（99﹣100）=−1−1−1⋯−1︷50＝﹣50， 故选：B ．【变式5-3】（2022秋•工业园区月考）计算： （1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99； （2）|1102−1101|+|1103−1102|﹣|1103−1101|．【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解； （2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解． 【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99 ＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2） ＝﹣2×25＝﹣50； （2）|1102−1101|+|1103−1102|﹣|1103−1101|=1101−1102+1102−1103+1103−1101＝0． 【题型6 裂项相消法】【例6】（2022秋•嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算11×2+12×3+13×4+⋯+119×20呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下： 解：原式=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(119−120)=1−120=1920根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：21×3+23×5+25×7+⋯+221×23； （2）直接写出结果：13+115+135+163+199=511；（不需要计算过程）（3）计算：11×5+15×9+19×13+⋯+12017×2021． 【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得； （2）原式利用1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1）裂项求和即可得；（3）利用相同的方法裂项计算可得．【解答】解：（1）原式=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(121−123)=1−123=2223；（2）原式=12×[（1−13）+（13−15）+（15−17）+（17−19）+（19−111）]=12×（1−111） =511， 故答案为：511；（3）原式=14×[(1−15)+(15−19)+(19−113)+⋯+(12017−12021)]=14×(1−12021)=5052021【变式6-1】（2022秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：先观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯19×10=19−110将以上等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4+⋯+19×10=+(12−13)+(13−14)+⋯+(19−110)=12−13+13−1 4+⋯+19−110=1−110=910然后用你发现的规律解答下列问题：（1）猜想并写出：1n(n−1)=1n−1−1n；（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3+13×4+⋯+12010×2011=20102011；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=nn+1；（3）探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12012×2014．【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：1n(n−1)=1n−1−1n；（2）①原式＝1−12+12−13+⋯+12010−12011=1−12011=20102011；②原式＝1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1；（3）原式=12×（12−14+14−16+⋯+12012−12014）=12×（12−12014）=5032014．故答案为：（1）1n(n−1)=1n−1−1n；（2）①20102011；②nn+1【变式6-2】（2022秋•虹口区期末）先阅读，再答题2 3=3−11×3=1−13，215=5−33×5=13−15，235=7−55×7=15−17，263=9−77×9=17−19⋯⋯根据你发现的规律，试写出（1）299=1()−1()；（2）2n(n+2)=1n−1n+2；计算：23+215+235+263+299+2143+2195．【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果； （3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果． 【解答】解：（1）299=19−111； （2）2n(n+2)=1n −1n+2；23+215+235+263+299+2143+2195＝1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+111−113+113−115 ＝1−115=1415．故答案为：19−111；1n −1n+2．【变式6-3】（2022秋•高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，则12007×2008=12007−12008，并且用含有n 的式子表示发现的规律．（2）根据上述方法计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007．（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)= 1k （1n −1n+k ） （其中n ，k 均为正整数），并计算11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008． 【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论； （2）分别计算出11×3，13×5，15×7的值，再进行计算即可；（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可． 【解答】解：（1）∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，∴12007×2008=12007−12008．故答案为：12007−12008；（2）∵11×3=13=12（1−13），13×5=115=12（13−15），15×7=135=12（15−17）， ∴11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007=12（1−13+13−15+15−17+⋯+12005−12007）=12（1−12007）=10032007． 故答案为：10032007；（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=1k（1n −1n+k）．11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008=13（1−14+14−17+17−110+⋯+12005−12008）=6692008． 故答案为：1k（1n −1n+k）．【题型7 倒数求值法】【例7】（2022秋•城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题 计算：(−130)÷(23−110+16−25)．解：（方法一）原式＝(−130)÷[(23+16)+(−110−25)]=(−130)÷(56−12)=−130×3=−110（方法二）原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(23−110+16−25)×(−30) ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10． 故原式=−110．请阅读上述材料，选择合适的方法计算：−154÷(16⋅527+23−29)．【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可．【解答】解：原式的倒数为： （16×527+23−29）÷（−154）＝（16×527+23−29）×（﹣54）=−53−36+12 =−773∴原式=−377．【变式7-1】（2022秋•南开区期中）（−120）÷（−14−25+910−32）．【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可．【解答】解：原式的倒数是（−14−25+910−32）÷（−120） ＝（−14−25+910−32）×（﹣20）=−14×（﹣20）−25×（﹣20）+910×（﹣20）−32×（﹣20） ＝5+8+（﹣18）+30 ＝25， 故原式=125．【变式7-2】（2022秋•宽城县期末）阅读下列材料：计算：124÷(13−14+112)，解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124． 解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4． 所以原式=14．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的； （2）计算：(12−14+16)×36= 15 ；（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)． 【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断； （2）利用乘法的分配律进行求解即可； （3）仿照解法三进行解答即可．【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （2）(12−14+16)×36 =12×36−14×36+16×36 ＝18﹣9+6＝15， 故答案为：15； （3）原式的倒数＝（37+215−310−521）÷（−1210）＝（37+215−310−521）×（﹣210） =37×（﹣210）+215×（﹣210）−310×（﹣210）−521×（﹣210）＝﹣90﹣28+63+50 ＝﹣5， ∴(−1210)÷(37+215−310−521)=−15．【变式7-3】（2022秋•怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：（1）计算：（14+16−12）×12（2）选择合适的方法计算：（−142）÷（16−314+23−27） 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值． 【解答】解：（1）(14+16−12)×12 =14×12+16×12−12×12＝3+2﹣6＝﹣1；（2）原式的倒数是： (16−314+23−27)÷(−142)=(16−314+23−27)×(−42)=16×(−42)−314×(−42)+23×(−42)−27×(−42)＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式=−114．。
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题(一)
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题(一)
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题
背景简介
•简要介绍七年级下册浙教版数学教材中有关平行线在旋转中的问题的内容和目标。
相关问题与解释
1.什么是平行线？
–解释平行线的定义和性质，帮助读者理解平行线的概念。
2.旋转是什么？
–介绍旋转的定义和基本原理，让读者了解旋转的基本概念。
3.为什么在旋转中平行线还是平行线？
–解释旋转对平行线的影响，说明平行线在旋转中保持平行的原因。
4.在旋转中，平行线的性质是否改变？
–探讨平行线在旋转过程中是否保持其它性质不变，如长度、角度等。
5.如何判断旋转后的直线是否平行？
–提供判断旋转后直线平行的方法和步骤，帮助读者正确应用知识。
6.旋转中是否存在平行线的特殊情况？
–探究旋转中平行线的特殊情况，如旋转中的重合线、垂直线等。
7.如何绘制旋转中的平行线？
–提供绘制旋转中的平行线的步骤和技巧，帮助读者实践。
8.旋转中平行线的实际应用有哪些？
–提供一些实际案例，说明旋转中平行线的重要性和应用场景。
9.平行线在旋转中的问题的解法有哪些？
–总结解决平行线在旋转中问题的常用方法，供读者参考。
结论与总结
•简要总结关于七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题的要点和知识点。
以上是关于七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题的相关问题和解释，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
七年级数学暑假专题—旋转综合提高同步练习浙江版
初一数学某某版暑假专题—旋转综合提高同步练习（答题时间：40分钟）1. 已知：如图，三角板ABC中，∠A＝30°，BC＝1，将它放在直角坐标系中，使C与原点重合，AC在y轴上，BC在x轴上，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转90°，到△A'B'C。
试画出△A'B'C的位置，并求出A'、B'两点的坐标。
2. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形。
在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）。
（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形，并写出点B2的坐标；3. 如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1的单位长度正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，图中的△ABC称为格点△ABC。
（1）如果A、D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称的知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的。
4. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形。
（1）画出此中心对称图形的对称中心O；（2）画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；（3）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）5. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕点O逆时针旋转90°到OA′，则点A'的坐标是（）。
七年级旋转的知识点
七年级旋转的知识点旋转是数学中的一个重要概念，也是七年级数学中非常重要的一个知识点。
在这篇文章中，我们将一一讲解七年级旋转涉及到的知识点，包括轴、对称性等。
1. 轴对称轴对称是一种非常常见的对称形式，它的基本思想是将一个图形沿着某一条轴线进行对称。
在七年级数学中，我们经常需要求解轴对称的面积和周长等问题。
2. 中心旋转中心旋转是指将一个图形围绕着一个中心点进行旋转，从而得到一个全新的图形。
在七年级数学中，我们需要学习如何求解旋转中心、旋转角度等问题，并且掌握中心旋转对于图形的影响特征。
3. 角平分线的旋转对称角平分线的旋转对称是指将角平分线围绕着角的顶点进行旋转，从而得到全新角度的对称形式。
在七年级数学中，我们需要深入学习角平分线的概念和性质，在此基础上掌握角平分线的旋转对称问题。
4. 过定点的旋转过定点的旋转是指将一个图形围绕着一个给定的点进行旋转，从而得到一个新的图形，这个点也被称为旋转中心。
在七年级数学中，我们需要学习如何计算过定点的旋转问题，并且理解它的数学原理。
5. 快速计算旋转固定点坐标的方法在学习旋转问题的过程中，我们需要掌握一些快速计算旋转固定点坐标的方法。
其中最常用的方法是旋转矩阵的算法，这个算法对于计算旋转点的位置坐标非常有用。
综上所述，旋转是数学中的一个重要概念，在七年级数学中也是一个非常重要的知识点。
通过学习轴对称、中心旋转、角平分线的旋转对称、过定点的旋转、快速计算旋转固定点坐标的方法，我们可以更深入地理解旋转的性质和应用，并且掌握旋转相关问题的解法。
2022-2023学年浙江七年级数学上学期同步精讲精练专题4
专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】【题型1 列代数式】 (6)【题型2 单项式与多项式的概念】 (7)【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 (8)【题型4 根据单项式的次数求参】 (8)【题型5 直接确定多项式的项与次数】 (9)【题型6 根据多项式的项与次数求参】 (9)【题型7 单项式与多项式综合运用】 (9)【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 (10)【题型9 单项式中的规律探究】 (10)【题型10 多项式中的规律探究】11【知识点1 代数式的概念】那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（ ） A ．3m ﹣n 2B ．（m ﹣3n ）2C ．（3m ﹣n ）2D ．3（m ﹣n ）2【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x ，用代数式表示这个两位数是 ．【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a ＞2b ）（ ）A ．ab −πa 24B ．ab−πb 22C ．ab −πa 22D ．ab −πb 24【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 27、−12x 2y 、x 2+y 2﹣1、x 、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、32t 3、2x ﹣y ，单项式的个数为a ，多项式的个数为b ，则ab ＝ ． 【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式的个数有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n其中是多项式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，−a3，2x2+3x﹣1，πx2y32，﹣y，1x，2x−y5单项式：{ …}多项式：{ …}．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx 2y3的系数为，次数为．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）−32x2y3z．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣x a+2by b﹣a的次数是．【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式−34x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2b m+2的次数相同，则m2﹣2m的值为．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是 次 项式．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是 ，三次项的系数是 ，常数项是 ．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x 2y +4xy +x ﹣2的次数与项数之和为 ．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝ ． 【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x |m |﹣（m ﹣4）x +7是关于x 的四次二项式，则m 的值是 ． 【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝ ． 【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12x |m|−(m +2)x +7是关于x 的二次三项式，则m ＝ ． 【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k |﹣3）x 3﹣（k ﹣3）x 2﹣2是关于x 的二次多项式，则k 的值是 ．【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式−13x 2y m+1+xy 2−3x 3−6是五次四项式，单项式0.4x 2n y 5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m ＝ ，n ＝ ．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，求单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝ ．【变式7-3】有三个单项式：a 2，b ，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？2627x x --【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为．【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：1 2a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a 43，a65，a87，⋯则第1008个式子是．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为．专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】【题型1 列代数式】 (6)【题型2 单项式与多项式的概念】 (7)【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 (8)【题型4 根据单项式的次数求参】 (8)【题型5 直接确定多项式的项与次数】 (9)【题型6 根据多项式的项与次数求参】 (9)【题型7 单项式与多项式综合运用】 (9)【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 (10)【题型9 单项式中的规律探究】 (10)【题型10 多项式中的规律探究】11【知识点1 代数式的概念】那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，一汽车在A 地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n 个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n ﹣1）＝（12n ﹣7）km ， 故选：C ．【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m 的3倍与n 的差的平方”，正确的是（ ） A ．3m ﹣n 2B ．（m ﹣3n ）2C ．（3m ﹣n ）2D ．3（m ﹣n ）2【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m 的3倍，再表示出与n 的差，最后表示出平方即可．【解答】解：m 的3倍与n 的差的平方表示为：（3m ﹣n ）2， 故选：C ．【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x ，用代数式表示这个两位数是 ．【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简． 【解答】解：个位数字是x ，则十位数字是10﹣x ， 所以这个两位数是（10﹣x ）×10+x ＝100﹣9x ． 故答案为：100﹣9x【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a ＞2b ）（ ）A ．ab −πa 24B ．ab −πb 22C ．ab −πa 22D ．ab −πb 24【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积． 【解答】解：S 矩形＝长×宽＝ab ， S 扇形=14•πb 2•2=12πb 2，S 阴影＝S 矩形﹣S 扇形＝ab −πb 22．故选：B ．一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 27、−12x 2y 、x 2+y 2﹣1、x 、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、32t 3、2x ﹣y ，单项式的个数为a ，多项式的个数为b ，则ab ＝ 12 ． 【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答案． 【解答】解：单项式有m 4n 27、−12x 2y 、x 、32t 3，即a ＝4，多项式有x 2+y 2﹣1、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、2x ﹣y ，即b ＝3， ab ＝12， 故答案为：12．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式的个数有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【分析】根据单项式的定义判断即可．【解答】解：整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式有﹣0.3x 2y ，0，﹣22abc 2，13x 2，−14y 共5个， 故选：B ．【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n其中是多项式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可．【解答】解：式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n中，是多项式的有a+b 2，x+yz 2，共2个．故选：A ．【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，−a3，2x2+3x﹣1，πx2y32，﹣y，1x，2x−y5单项式：{ …}多项式：{ …}．【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式，可得答案．【解答】解：单项式：{﹣2，x2y，−a3，πx2y32，﹣y}；多项式：{2x2+3x﹣1，2x−y5}．故答案为：﹣2，x2y，−a3，πx2y32，﹣y；2x2+3x﹣1，2x−y5．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx 2y3的系数为π3，次数为3．【分析】根据单项式的次数和系数进行解答．【解答】解：单项式πx 2y3的系数为π3；次数为3；故答案为π3，3．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）−32x2y3z．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：（1））﹣12πxy 2 的系数是﹣12π，次数是3； （2）﹣22a 2bc 的系数是﹣4，次数是4； （3）−32x 2y 3z 的系数是−32，次数是6．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a +1|+（b ﹣2）2＝0，则单项式﹣x a +2by b﹣a的次数是 4 ．【分析】先求出a 与b 的值，然后代入单项式中即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a +1＝0，b ﹣2＝0， ∴a ＝﹣1，b ＝2，∴将a 与b 代入单项式中可得：﹣2xy 3 单项式的次数为：4 故答案为：4【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式−34x 2y 2的系数为m ，次数为n ，则mn 的值为 ﹣3 ．【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m ，n 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵单项式−34x 2y 2的系数为m =−34，次数为n ＝4，∴mn 的值为：−34×4＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a ﹣2）x 2y |a |+1是x ，y 的五次单项式，则a ＝ ﹣2 ． 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：∵（a ﹣2）x 2y |a |+1是x ，y 的五次单项式， ∴a ﹣2≠0，2+|a |+1＝5，解得：a ≠2，a ＝±2， 则a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x 2y 4与﹣3a 2b m +2的次数相同，则m 2﹣2m 的值为 0 ． 【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+4＝2+m +2，再解即可得到m 的值，进而可得答案． 【解答】解：由题意得：2+4＝2+m +2， 解得：m ＝2，则m 2﹣2m ＝0． 故答案为：0．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x 2y |a |+（b +2）是关于x 、y 的五次单项式，求a 2﹣3ab 的值． 【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a 、b 的值，代入代数式即可得出答案． 【解答】解：∵x 2y |a |+（b +2）是关于x ，y 的五次单项式， ∴{2+|a|=5b +2=0， 解得：{a =±3b =−2，则当a ＝﹣3，b ＝﹣2时，a 2﹣3ab ＝9﹣18＝﹣9； 当a ＝3，b ＝﹣2时，a 2﹣3ab ＝9+18＝27．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx 2y |n ﹣3|是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8，求m +n 的值．【分析】利用单项式的定义得出m 的值，进而利用单项式次数的定义得出n 的值，进而得出答案． 【解答】解：∵﹣mx 2y |n ﹣3|是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8， ∴m ＝﹣8，且2+|n ﹣3|＝10， 解得：n ＝11或﹣5， 则m +n ＝3或m +n ＝﹣13． 【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是 三 次 四 项式．【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数和项数的概念可知，该多项式是三次四项式．【解答】解：多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是三次四项式．故答案为：三，四．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是 12x 2y 2 ，三次项的系数是 2 ，常数项是 ﹣3 ．【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答案．【解答】解：多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是：12x 2y 2，三次项的系数是：2，常数项是﹣3．故答案为：12x 2y 2，2，﹣3．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x 2y +4xy +x ﹣2的次数与项数之和为 7 ．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答案． 【解答】解：多项式x 2y ﹣xy 2+3xy ﹣1的次数与项数分别是3和4， 3+4＝7， 故答案为：7．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝ ﹣2 ．【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a 、b 、c 的值，然后求和即可．【解答】解：∵多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数项为c ，∴a ＝﹣2，b ＝5，c ＝﹣5， ∴a +b +c ＝﹣2+5﹣5＝﹣2， 故答案为：﹣2．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x |m |﹣（m ﹣4）x +7是关于x 的四次二项式，则m 的值是 4 ．【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确定m 、n 的值，即可求解．【解答】解：由多项式是关于x 的四次二项式知： |m |＝4且m ﹣4＝0， 解得m ＝4． 故答案为：4．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝ 3 ．【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数．【解答】解：∵多项式x﹣3xy m+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，∴1+m+1＝5，解得：m＝3．故答案为：3．x|m|−(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则m＝2．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12【分析】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上两点可以确定m 的值．【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是﹣3．【分析】直接利用多项式的定义得出|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，进而得出答案．【解答】解：∵（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，∴|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，解得：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型7 单项式与多项式综合运用】x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，单项式0.4x2n y5﹣m 【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式−13的次数与这个多项式的次数相同，则m＝2，n＝1．x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，得到m+1＝3，根据单项式0.4x2n y5﹣m的【分析】根据多项式−13次数与这个多项式的次数相同，得到2n+5﹣m＝5，即可解答．x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，【解答】解：∵多项式−13∴m+1＝3，∴m＝2，∵单项式0.4x 2n y 5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，∴2n +5﹣m ＝5， ∴n ＝1， 故答案为：2，1．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，求单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和．【分析】根据已知求出m 、n 的值，把m 、n 的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案． 【解答】解：∵单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，∴2+n ＝5，2+m +3＝6， 解得：m ＝1，n ＝3，∴（m +n ）x m y n ＝4xy 3，系数是4，次数是1+3＝4， 4+4＝8，即单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和是8．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝ 16 ．【分析】利用多项式的次数定义得出m 的值，进而利用单项式的次数得出n 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，∴|m |+2＝6且m +4≠0，2n +6﹣m ＝6， 解得m ＝4，n ＝2， 则m n ＝42＝16． 故答案为：16．【变式7-3】有三个单项式：a 2，b ，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【分析】根据单项式和多项式的定义即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，组成的多项式有：a 2+b +1；a 2+b ﹣1；a 2﹣b +1；a 2﹣b ﹣1；a 2b +1；a 2b ﹣1；﹣a 2+b +1；﹣a 2+b ﹣1；﹣a 2﹣b +1；﹣a 2﹣b ﹣1；﹣a 2b +1；﹣a 2b ﹣1．【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是2xy2或2x2y（答案不唯一）．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2或2x2y（答案不唯一）．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式﹣3x4（答案不唯一）．【分析】根据单项式的数字因数为单项式的系数，单项式的所有字母的指数的和为单项式的次数可解决此题．【解答】解：根据单项式的系数与次数的定义，满足条件的单项式可为﹣3x4（答案不唯一）．故答案为：﹣3x4（答案不唯一）．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【分析】根据多项式的相关概念回答即可．【解答】解：根据题意得：xy5﹣xy+xy2（答案为不唯一）．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为128x8；（2）第二行第n个单项式为（﹣2）n x n；（3）第三行第8个单项式为﹣129x9；第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1．【分析】通过观察很容易得到三组数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可．【解答】解：（1）因为第一行的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为128x8；（2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（﹣2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第n个单项式为（﹣2）n x n；（3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1，第8个单项式是﹣129x9；第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1．故答案为：（1）128x8，（2）（﹣2x）n，（3）﹣129x9 ，（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是﹣6049x4033．【分析】系数的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n﹣2，指数的规律：第n个对应的指数是2n﹣1，依此即可求解．【解答】解：根据分析的规律，2017÷3＝672…1，第2017个表达式是：﹣6049x4033．故答案为：﹣6049x4033．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：1 2a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【分析】（1）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（﹣1）n+112n，字母变化规律是a2b n；（2）利用（1）中规律得出答案．【解答】解：（1）∵12a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…∴第10个单项式为：−1210a2b10；（2）第n个单项式为：（﹣1）n+1×12n a2b n（n≥2），系数为：（﹣1）n+1×12n，次数为：2+n．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a 43，a65，a87，⋯则第1008个式子是a20162015．【分析】观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可求解．【解答】解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n，1，3，5，7，…分母可表示为2n﹣1，则第n个式子为：a 2n2n−1．故第1008个式子是a 20162015．故答案为：a 20162015．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是a9+b17．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，a n，第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，所以第9个式子即当n＝9时，代入到得到a n+（﹣1）n+1b2n﹣1＝a9﹣b17．故答案为：a9+b17．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是2a，4a，8a，16a，…2n a，第二项依次是﹣b，b2，﹣b3…（﹣1）n b n，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．故答案为：128a﹣b7．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为2．【分析】由方阵可以看出每一行的每一个式子的第一项为2n﹣1x，第二项是n，由此得出等式求得x的数值即可．【解答】解：∵每一个式子的第二项是2n﹣1x+n，∴第10行第2项的值为29x+10＝1034，解得x＝2，故答案为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为（n+1）2x+n2y．【分析】先根据已知数据找出规律，根据所得的规律得出即可．【解答】解：∵第1格的“特征多项式”为4x+y＝（1+1）2x+12•y，第2格的“特征多项式”为9x+4y＝（2+1）2x+22•y，第3格的“特征多项式”为16x+9y＝（3+1）2x+32•y，∴第n格的“特征多项式为：（n+1）2x+n2y，故答案为：（n+1）2x+n2y．。
初中数学旋转的知识点
《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。
它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。
二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。
即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。
例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。
比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3. 旋转前后的图形全等。
经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。
无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。
例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。
三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。
它决定了图形旋转的位置。
不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。
2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。
明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。
3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。
旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。
四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。
例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。
2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。
浙教版初中数学旋转变换说课课件
目的分析
过程分析 教法分析 评价分析
EXIT
一、教材分析 图形的变换源于现实生活中的物体及其运动、变化，是对 物体运动变化的数学抽象。图形的变换主要有四种方式：轴对称 变换、平移变换、相似变换和旋转变换。本节教材是在平移变换 的基础上学习旋转变换，通过生动的实例，让学生感受生活中的 旋转现象，直观地认识旋转变换，并在此基础上，分析旋转现象 的规律，得到旋转变换的性质，然后利用性质进行简单的旋转作 图，进一步深化对图形变换的理解和认识，体会旋转变换的应用 价值和丰富内涵。同时引导学生用运动的眼光看待生活中的图形， 并通过揭示图形的变化规律和内在联系，促进学生观察、分析、 归纳、探究和空间想象能力的提高，既能培养学生积极的情感和 态度，又能增强他们学数学、用数学的信心。
二、目的分析 1、知识目标：了解现实生活中的图形的旋转以及旋转变换的 概念。理解旋转变换的性质 2、能力目标： ⑴通过学生的观察、分析、归纳、探究、表达来培养他们的观 察能力，操作能力，想象能力，探索能力，表达能力等。 ⑵会按要求作出简单的图形旋转变换后的图形。培养学生的发 散性思维，鼓励其创造性。使学生在发现中学习，并在学习中再发 现，从而发展学生的数学思维。 3、思想情感目标： ⑴向学生渗透一种意识：审美意识。去发现图形中的动态美、 统一美、和谐美。 ⑵通过对特殊点的旋转到整个图形的旋转，培养学生由特殊到 一般的辩证唯物主义思想。 4、教学重点：图形旋转变换的性质 5、教学难点：旋转变换的作图及旋转过程的叙述 6、教学准备：课件 三角板 圆规
生活中的旋转
（１）上面情景中的转动现象，有什么共 同的特征？ （２）风车的叶片、钟表的指针、秋千在 转动过程中，其形状、大小、位置是否发 生变化呢？
由一个图形改变为另一个图形,在改变的过程中,原 图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方向,转 动同一个角度，这样的图形改变称为图形的旋转变换, 简称旋转，这个固定的点称为旋转中心.
七年级旋转平移知识点归纳总结
七年级旋转平移知识点归纳总结旋转和平移是数学中非常重要的几何变换方式，它们在解决问题、证明定理等方面有着广泛的应用。
在七年级的几何学习中，学生首次接触到旋转平移的概念和相关知识点。
本文将对七年级旋转平移的知识进行归纳总结。
一、旋转旋转是指物体以某一点为中心进行旋转，使物体的每一点都绕着这一中心旋转相同的角度。
旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
1. 旋转的基本概念旋转可以用角度来表示，常用的单位有度和弧度。
旋转角度可以为正数、负数或零。
当旋转角度为正数时，表示顺时针旋转；当旋转角度为负数时，表示逆时针旋转。
2. 旋转的性质旋转具有以下性质：- 旋转不改变物体的大小和形状，只改变物体的位置和方向；- 旋转之后，物体上各点之间的距离保持不变；- 旋转是一个可逆变换，即可以通过相同的角度进行逆时针旋转恢复到原来的位置。
3. 旋转的图像变化通过以下几点进行总结：- 若旋转角度为90°或270°，则图像是以旋转中心为对称中心的；- 若旋转角度为180°或360°，则图像是以旋转中心为象限对称的；- 旋转不会改变物体上各点与旋转中心的连线长度。
二、平移平移是指物体在平面上沿直线方向移动一段距离，使物体的各个点保持平行距离不变。
1. 平移的基本概念平移可以用向量来表示。
平移向量的大小和方向表示了平移的位移量和方向。
2. 平移的性质平移具有以下性质：- 平移不改变物体的大小、形状和方向，只改变物体的位置；- 平移后，物体上各点之间的相对位置关系保持不变；- 平移是一个可逆变换，即可以通过相反方向的平移恢复到原来的位置。
3. 平移的图像变化通过以下几点进行总结：- 平移不改变形状，只改变位置；- 平移前后，物体上各点之间的距离保持不变；- 平移后的图像与原图像是全等图形。
三、旋转和平移的关系旋转和平移是几何中的两种基本变换方式，它们之间有着密切的关系。
1. 旋转与平移的区别旋转和平移的区别主要体现在以下几个方面：- 旋转是以某一点为中心进行旋转，而平移是沿直线方向进行移动；- 旋转可以改变物体的方向，平移只改变物体的位置；- 旋转会保持物体的形状不变，而平移不改变物体的形状。
初中数学重点梳理：旋转
旋转知识定位旋转在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，是解决平面几何中最重要的工具之一，它的有关知识是今后我们学习综合题目重要基础。
本节需要掌握旋转图形变换的特征；学会运用旋转的特征进行图形的求解换。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中旋转相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。
注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
2、旋转的基本特点（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3、旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。
常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4、中心对称（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
七年级数学图形与变换(二)浙江版知识精讲
数学图形与变换（二）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：1、了解现实生活中图形的相似。
2、了解相似变换的概念。
3、了解图形相似变换的性质：不改变图形中每一个角的大小；每条线段都扩大或缩小相同的倍数。
4、掌握按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。
5、灵活运用相似解决一些简单的实际问题。
6、运用轴对称、平移、旋转、相似变换的基本性质解决一些常见的问题。
二. 重点、难点：重点：相似变换基本知识的落实。
难点：利用轴对称、平移、旋转、相似变换的基本性质解决一些常见的问题。
【典型例题】一、相似变换的复习：（一）现实生活中图像的相似：1、如图，形状相同的图像有哪些？1、9相似；2、4相似；、5、7相似；3、10相似（二）相似图像的概念及性质： 1、下列说法不正确的是（ D ）（A ）一个图形相似变换后，对应角的大小不变；（B ）中国地图可看成中国实际版图通过相似变换所得的图像； （C ）图像作相似变换时，图形中的各条线段都扩大或缩小了k 倍； （D ）图形作相似变换时，各条线段都扩大n 倍，则面积也扩大n 倍。
2、用2倍放大镜照一个边长为3的等边三角形，则放大后三角形的（ C ） （A ）边长为3 （B ）边长为4 （C ）内角为60︒ （D ）内角为120︒（三）作图1、如图，把四边形在方格纸上作相似变换所得的图形的边长是原图形的2倍。
（四）利用图形相似解决一些实际问题：1、在某城市地图（比例尺1:9000）上，解放大街的图上长度与中兴大街的图上长度分别为16cm 和10cm ，求解放大街与中兴大街的实际长度各是多少？解：根据题意，得：19000解放大街的图上长度＝解放大街的实际长度19000中兴大街的图上长度＝中兴大街的实际长度∴解放大街的实际长度是：()()()1690001440001440cm cm m ⨯== 中兴大街的实际长度是：()()()10900090000900cm cm m ⨯==2、旗杆的影子长6m ，同时测得旗杆的高度是10m ，如果此时附近小树的影子长3m ，那么小树有多高？解：由题意可得：旗杆的影子长小树的影子长＝旗杆的高度小树的高度∴6310=小树的高度∴小树的高度为5米。
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中
问题一：什么是平行线在旋转中？
•平行线在旋转中是指当一个平行线围绕某个点进行旋转时，旋转后的线与原线仍然保持平行关系。
•七年级下册浙教版数学课本中的平行线在旋转中是指介绍了平行线在旋转中的性质和定理。
问题二：平行线在旋转中有哪些性质？
•平行线在旋转中的性质包括：旋转角度相同，旋转角度是360度的整数倍，旋转后线段长度和原线段长度相等，旋转后垂直等角的角度关系等。
•这些性质可以通过几何推理和证明得到。
问题三：平行线在旋转中的定理有哪些？
•平行线在旋转中的定理有：旋转中的平行线仍然是平行线定理，平行线在旋转中的角度关系定理等。
•七年级下册浙教版数学课本中介绍了这些定理，并给出了相应的证明过程。
问题四：平行线在旋转中的应用有哪些？
•平行线在旋转中的应用包括：解决几何问题，画出旋转后的平行线图形等。
•这些应用可以帮助学生更好地理解和应用平行线在旋转中的性质和定理。
问题五：如何练习平行线在旋转中的相关题目？
•学生可以通过做课本中的习题来练习平行线在旋转中的相关题目。
•也可以寻找一些相关的练习题目进行练习，例如在线数学练习网站上的题目或者参考其他相关数学习题集。
以上是关于七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的相关问题的
列举和解释说明，希望对学生的学习有所帮助。
七年级下册旋转知识点
七年级下册旋转知识点旋转是数学中的一种基本运算，也是生活中常见的一种运动。
在七年级下册的数学课程中，旋转是一个重要的知识点，本文将为大家介绍七年级下册旋转知识点及其应用。
一、旋转的定义旋转是指在平面内，将一个图形绕着一个点旋转一定角度后得到的新图形。
该点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
例如，下图中，以点O为旋转中心，将图形ABC旋转60°后得到新图形A'B'C'。
二、旋转的性质旋转具有以下几个性质：1.对称性旋转是一种对称操作，旋转180°后得到的图形与原图形完全重合。
2.不变性旋转前后图形的周长、面积、形状都不变。
3.关于旋转中心的对称性旋转中心是图形的中心点。
三、旋转的应用旋转在生活和工作中有许多应用，下面介绍其中的两个应用。
1.计算机图形图像处理计算机中的图形图像处理，通常需要进行旋转操作，以适应各种不同屏幕和格式的要求。
计算机软件中的旋转功能，也很大程度上借鉴了数学中的旋转知识点。
例如，下图中，通过旋转可以将图形调整为不同的角度和方向，以满足用户要求。
2.制作艺术品许多艺术品都运用了旋转的概念，如雕塑、陶瓷等。
艺术家们通过旋转，将原材料变形成各种不同的形态和形状。
例如，下图为一个陶瓷制品，通过旋转和雕刻，艺术家将原材料变形成各种不同的形态和形状，达到了艺术效果。
总结在数学中，旋转是一种基本运算，它具有对称性、不变性和关于旋转中心的对称性等特点。
在生活和工作中，旋转还有许多应用，如计算机图形图像处理和制作艺术品等。
掌握旋转的知识点，对于学生和职场人士都有很大的帮助。
七年级数学 暑假专题—三角形综合提高 浙江版
初一数学暑假专题——三角形综合提高某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形综合提高介绍应用三角形的边、角性质解决一些稍微复杂的问题，从而提高分析问题和解决问题的能力。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 三角形边、角的性质的应用。
2.【例1. 求∠AE 解法一：∵∠B=40°，∠C=60°∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°―40°―60°＝80° ∵AE 是∠BAC 的平分线︒=︒⨯=∠=∠∴408021BAC 21BAE︒=︒+︒=∠+∠=∠∴804040BAE B AED又∵∠ADE=90°︒=︒-︒-︒=∠∴108090180EAD解法二：︒=∠︒=∠60C 40B ，︒=︒-︒-︒=∠∴806040180BAC∵AE 是∠BAC 的平分线︒=︒⨯=∠=∠∴408021BAC 21EAC∵AD ⊥BC︒=︒-︒-︒=∠∴306090180DAC︒=︒-︒=∠-∠=∠∴103040DAC EAC EAD评析：此题解法较多，但都要用到三角形内角和，角平分线，垂线等知识，要注意这些知识解：∵△GHP 的内角和等于180° ︒=∠+∠+∠∴180PG H HPG G HP又FG C PG H DPB HPG AHE G HP ∠=∠∠=∠∠=∠，， ︒=∠+∠+∠∴180FG C DPB AHE︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠540FG C C F DPB B D AHE E A C F B D E A ∠+∠+∠+∠+∠+∠∴︒=︒-︒=∠+∠+∠-︒=360180540)FGC DPB AHE (540 评析：此题的图看起来很乱，但不外乎利用四个三角形的内角和进行计算。
计算中∠AHE 、∠DPB 、∠FGC 利用对顶角转化到△GHP 中，便成为了解决此题的关键。
这种转化的方法是一种数学思想，善于运用这种技巧解题。
浙教版七年级数学旋转变换(含答案)
2．4 旋转变换【知识提要】1．认识旋转变换的概念．•体验影响图形旋转变换的主要因素是旋转中心和旋转角度．2．理解旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状、大小；对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．3．会按要求作出简单平面图形旋转变换后的像．【学法指导】1．旋转变换必须指明旋转中心、旋转方向、旋转角度．2．作旋转图形的关键是找出几个关键点并作出这几个点旋转后的对应点．3．旋转变换中图形中每点都绕着旋转中心旋转相同的角度．4．旋转变换后对应点位置的排列次序相同．Array 5．旋转变换后，图形的面积不变．范例积累【例1】如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转变换后到△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转变换后，点M转到了什么位置？【分析】（1）确定旋转中心的位置；（2）旋转角度可以根据旋转变换前后某两条对应线段夹角的度数来确定；（3）旋转前后重合的点为对应点，重合的线段为对应线段．【解】（1）旋转中心是A；（2）旋转了60°；（3）点M旋转到了AC的中点位置上．【注意】（1）若连结DE，则△ADE是什么三角形？（2）若△ABC是等腰三角形，且顶角∠BAC=50°，问题（2）的结论如何？【例2】如图，点M是线段AB上一点，将线段AB•绕着点M•顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置关系如何？如果逆时针方向旋转90°呢？【解】顺时针方向旋转90°，如图（甲）所示，A′B′与AB互相垂直；•逆时针方向旋转90°，如图（乙），A″B″与AB互相垂直．（甲） (乙)【注意】（1）无论怎样旋转，线段旋转90°后总与原来位置互相垂直；（2）从图形中明显可知旋转变换时方向不同，得到像的位置一般也不同．基础训练Array 1．如图，△A′B′C′是△ABC经旋转变换后的像，（1）旋转中心是________，旋转角度是_________；（2）点A•的对应点是点_____，•点B•的对应点是点________，•点C•的对应点是点_______．（3）∠A的对应角是________，∠B的对应角是________，∠C的对应角是______．（4）线段AB的对应线段是________，线段BC的对应线段是_________，线段AC的对应线段是_________．（5）图中相等的线段：OA=_______，OB=________，OC=•________，•AB=•________，•BC=•________，•CA=______．（6）图中相等的角：∠CAB=______，∠ABC=______，•∠BCA=•_______，•∠AOA•′=_______=_______．2．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？3．如图，△ABC按逆时针方向转动一个角后成为△AB′C′，•图中哪一点是旋转中心？旋转了多少度？4．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心？旋转了多少度？5．如图，画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．6．如图，已知图形F和点O，以点O为旋转中心，•将图形按顺时针方向旋转90°，作出经旋转变换后的像．经几次旋转变换后的像可以与原图形重合？7．已知△ABC是任意三角形，（1）若△ACD、△AEB是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A•为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形；（2）若△ACD、△AEB是等边三角形，画出△ACE以点A为旋转中心，•逆时针方向旋转60°后的三角形．8．如图，△A′B′C′是△ABC•经旋转变换后得到的像，•且旋转的角度为25度，AC⊥A′B′，则∠BCB′=_______，∠A=________．(8题) (9题)提高训练9．如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x、y，以直线x•为对称轴，作出△ABC经轴对称变换后的像△A′B′C′，再以直线y为对称轴，画出△A′B′C′经轴对称变换后的像△A″B″C″，△A″B″C″能否由△ABC经过一次变换得到？10．如图，在线段BD上取一点C，以BC、CD为边分别作正△ABC和正△ECD，•连结AD交EC于点Q，连结BE交AC于点P，交AD于点F．（1）通过旋转变换，图中可得到哪些全等三角形？（2）∠BFD是多少度？（3）PQ∥BD吗？若是，请说明理由．11．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，•试说明BF+CE>EF．应用拓展12．小明在观察时针和分针漫长的马拉松比赛时，发现了一些有趣的问题．•圆形的比赛场地被分成了12站，每站点处都有一个数字警察（标号1～12）把守着，•每站又被分成相等的5份，1份就是1分钟走过的路程，而时针要1小时才能走1站，通过计算，•他发现分针每分钟转过6°，而时针每分钟转过0．5°．（1）第2天，课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，•他发现时针和分针正好在关于沿垂线对称的位置上，请问此时是9点几分？（2）小明晚上6点至7点之间外出时，发现钟面上时针和分针成110°角，近7•点回家时发现时针和分针的夹角仍是110°，你能说出小明外出所用的时间是几分钟？答案:1．略 2．（1）点A （2）90°（3）等腰直角三角形3．点A 70° 4．点A 45•° 5．略 6．略7．（1）△ABD （2）△ABD 8．25° 65°9．一次旋转180°的变换 •10．（1）△ACD≌△BCE △ACQ≌△BCP △CDQ≌△CEP （2）120°（3）平行11．提示：点F绕点D旋转180°后至F′，连结CF′、EF′12．（1）9时131113分（2）40分钟。
七年级下册数学旋转知识点
七年级下册数学旋转知识点数学是一门需要较强逻辑思维能力的学科，既需要理论基础，还需要掌握实际应用。
在初中数学中，旋转是一个非常重要的知识点，涉及到平面图形的变换及其性质，在几何学中占有重要的地位。
接下来，我们将深入了解七年级下册数学旋转知识点。
一、什么是旋转旋转常用于描述一种图形的变化，这种变化发生在平面上围绕着一定的中心点进行，被改变的图形可以是任何曲线或直线，这些图形的变化随着旋转中心的移动而发生变化。
在旋转变换中，图形被视为一个整体，旋转围绕中心点进行，图形中的所有点沿着一个圆形路径围绕中心点旋转，同时保持与中心点的距离不变。
二、旋转的基本概念1. 旋转中心：旋转中心是指旋转时的中心点，平面图形围绕这个中心点旋转。
旋转中心可以是任何一个点或对象。
2. 旋转角度：旋转角度是指平面图形从初始状态旋转到最终状态时所旋转的角度。
3. 旋转方向：旋转方向通常按照逆时针方向来描述，但也有可能按照顺时针方向旋转。
三、平面图形的旋转图形的旋转可以分为固定旋转和非固定旋转两种类型。
固定旋转是指在旋转前就确定了旋转中心和旋转角度，而非固定旋转则由问题中的特定要求或条件来决定旋转中心和旋转角度，因此对于非固定旋转变换，我们需要对图形进行推理、分析和求解。
1. 固定旋转对于固定旋转来说，旋转中心和旋转角度是预先确定好的，因此只需按照设定的规则进行操作即可。
2. 非固定旋转对于非固定旋转，我们需要根据旋转中心和旋转角度的具体设定来推导解答。
例如：在一个图形中给出一个点以及旋转方向和角度，要求求出旋转后的图形。
四、旋转的性质1. 旋转不改变两点之间的距离和方向关系。
2. 旋转物体后，其周长不发生变化。
3. 对于对称图形，旋转会得到相同的图形。
4. 若在一个图形上给出两个点，设它们分别为 A 和 B，以中点O 为旋转中心，要求将 A 旋转至 B，则旋转角度为 2∠AOB。
五、练习题1、已知一条线段 AB，以 A 点为旋转中心，将这条线段顺时针旋转 75 度，求旋转后的位置。
初一数学最新课件-24旋转变换浙教版002 精品
2、如图，△ABC与 △ADE都是等腰直角三 角形，∠C和∠AED都是 直角，点E在AB上，如果 △ABC经旋转后能与 △ADE重合，点 是旋 转中心，旋转了 度 点B的对应点是点 ；线段AB的对应线段 是 ；∠ABC的对应角是 。
例、如图，O是△ABC外一点，以点O为旋转中心， 将△ABC按逆时针方向旋转80°，作出经旋转 变换后的像。 A
旋转变换
下图是风车风轮中的两只叶片A和B，它们关于 某直线成轴对称吗？ 你有什么办法使这两个图形A和B重合呢？
A
. o
B
O
F
聪明的你能找出他们的 共同点吗?
由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程 中，原图形上的所有点都绕 一个固定的点 ，按 同一个方向 ，转动 同一个角度 ，这样的图形 改变叫做图形的旋转变换，简称旋转。 这个固定的点叫做旋转中心。 叙述一个旋转变换要注意旋转变换的三个要素： 1、旋转中心； 2、旋转的方向；
O
. B
C
由上面的例子和练习可知，经 旋转变换所得的图形和原图形在 形状和大小上有什么关系？
旋转的基本性质
（１）旋转不改变图形的大小和形状． （２）对应点到旋转中心的距离相等, 对应点与旋转中心的连线所成的角度等 于旋转的角度.
例2 如图，△ ABC绕C点旋转后，顶点A 的对应点为点D。试确定顶点B对应点的位置， E 以及旋转后的三角形。
如图，怎样将右边的图案变成左 边的图案？
下图是由三个正三角形拼成的， 它可以看做是其中一个三角形经 过怎样的变化而得到的？
1、相同：都是一种运动；运动前 后 不改变图形的形状和大小 2、不同 轴对称 平移 形状 不变 不变 方向 不变 不变 大小 改变 不变
初中数学旋转的知识点归纳总结
初中数学旋转的知识点归纳总结
初中数学旋转的知识点归纳总结
旋转章节的要求是让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察。
那么接下来的旋转内容请同学们认真记忆了。
旋转知识概念
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
(图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的.位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
)
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°，大于360°)。
3.中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
4.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
七年级数学旋转的知识点
七年级数学旋转的知识点旋转是二维平面几何中的常见变换方式，它涉及到很多数学知识点，对于初学者来说可能会感到有些困难，接下来我们将系统地介绍七年级数学旋转的知识点。
一、概念旋转是将一个图形绕着定点旋转一定角度后得到的新图形。
如下图所示，将图形ABC绕着点O旋转180度，得到的新图形为A'B'C'。
（这里插入对应图片）二、旋转的性质旋转有很多有趣的性质，接下来我们重点介绍以下几个：1.旋转是一个可逆的变换，即一个图形绕着一个点旋转一定角度后，再绕着同一点旋转相反角度可以回到原来的位置。
2.旋转的图像和原图形具有相同的大小和形状。
3.不同的旋转角度和旋转中心可以得到不同的图像。
三、旋转的角度旋转的角度是计算旋转量的重要参数，下面我们对角度有以下几点介绍：1.角度可以用度数来表示，1个完整的旋转为360度。
2.对于小于360度的旋转角度，可以使用角度制和弧度制来表示。
3.在平面直角坐标系中，正的角度方向是顺时针方向，负的角度方向是逆时针方向。
四、旋转的公式旋转的公式是表示旋转变换的一种方式，在七年级数学中，通常我们只需要掌握简单的旋转公式即可。
1.围绕原点旋转时，旋转公式为：（这里插入公式图片）其中，(x,y)表示变换前的点坐标，(x',y')表示变换后的点坐标，θ表示旋转的角度。
2.围绕点P(x0,y0)旋转时，旋转公式为：（这里插入公式图片）其中，(x,y)表示变换前的点坐标，(x',y')表示变换后的点坐标，θ表示旋转的角度，P(x0,y0)表示旋转的中心点坐标。
五、旋转的应用旋转在学术研究和实际应用中都具有重要的价值，接下来我们简单举例说明一些常见的旋转应用。
1.旋转应用于计算机图形学和动画制作中，如电影特效中常出现的旋转、缩放和平移效果。
2.旋转应用于地球上某些景点的管理和规划中，如开发一个海滩公园时需要考虑观众与太阳之间的角度关系以及初日和末日的角度。
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七年级数学暑假专题旋转综合提高浙江版【本讲教育信息】一. 教学内容：旋转综合提高包括图形经过旋转变换后图形的有关坐标、长度以及构成的图形等【知识掌握】【知识点精析】1. 在平面直角坐标系中，当某一图形绕某点经过旋转变换后，点的坐标发生什么变化。
2. 某一图形绕某点经过旋转变化后，构成什么图形。
3. 某一图形绕某点经过旋转变化后，有关长度、角度的计算。
【解题方法指导】例1. 已知：如图，在直角坐标系x0y中，Rt△AOB的位置如图所示，它顶点的坐标为A（－2，1），B（－2，0）。
当△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°后，到△A'OB'的位置。
求A'、B'两点的坐标。
分析：可由△AOB旋转到△A'OB'的位置，得出OA'＝OA，OB'＝OB，A'B'＝AB，求出A'，B'的坐标。
解：∵△A'OB'是由△AOB绕点O旋转90°得到的，∴△A'OB'≌△AOB∴OB'＝OB，A'B'＝AB∵图形旋转90°，∴OB'落在y轴正半轴上，A'B'∥x轴，A'点在第一象限，∴A'点坐标为（1，2），B'点坐标为（0，2）。
评析：注意旋转后图形所在的位置及长度，定出点的坐标。
例2. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC。
请回答下列问题：（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转90°后，得到的三角形与△ABC的位置关系是怎样的？（2）当图形绕点C继续沿顺时针旋转90°，得到的图形与△ABC的位置关系是怎样的？（3）当图形绕点C继续沿顺时针旋转90°，得到的图形与△ABC的位置关系是怎样的？分析：由于△ABC是等腰直角三角形，当它绕点C沿顺时针方向旋转90°后，可画出图形，然后再作判断；其余两问同样处理。
解：（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转90°后，得到△A'B'C（如图1），∵△A'B'C≌△ABC，∠A'CB'＝∠BCA＝90°，∴△A'B'C与△BAC成轴对称。
（2）当继续绕点C沿顺时针旋转90°后，得到△A'CA''。
（图2）∵△A'CA''≌△BAC且A'、C、B三点在一条直线上，A'C＝BC，A''、C、A三点在一条直线上，A''C＝AC，∴△A'CA''与△BCA成中心对称。
（3）当继续绕点C沿顺时针旋转90°后，得到△A''BC（图3）。
同样可知△A''BC与△ABC成轴对称。
评析：画出示意图便于观察。
例3. 已知：如下图，△ABC是等边三角形。
AB C（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转60°后，图中得到一个什么图形？（2）继续绕点C沿顺时针旋转60°，图中得到一个什么图形？（3）当△ABC绕点C沿顺时针连续旋转五次后，得到一个什么图形？分析：我们仍通过画图，分析图形的特征，然后作出判断。
解：（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转60°后，得到△CAA'（图1）。
∵∠BAC＝∠ACA'＝60°，∴AB∥A'C，∵∠ACB＝∠A'AC＝60°，∴AA'∥BC∴四边形ABCA'是平行四边形又AB＝A'A，∴四边形ABC A'是菱形。
（2）继续绕点C沿顺时针旋转60°后，得到△A''CA'（图2）。
∵AA'∥BA''，AB＝A'A''，∴四边形BAA'A''是等腰梯形。
（3）当△ABC绕点C沿顺时针连续旋转五次后（如图3），得到一个正六边形。
它的六个角都等于120°，六条边分别相等。
评析：由于等边三角形的每个角等于60°，三条边分别相等，这两个特点有特殊性，可得出新的特殊图形。
【考点突破】【考点指要】由于图形旋转不改变它的形状和大小，因此连续绕某点旋转后，可以得出某些特殊图形，这样便把旋转与对图形的形状的判断结合起来，带有一定的综合性。
在中考试题中，有可能出现；尤其是旋转后图形的计算或点的坐标的确定也常出现，应予以重视。
【典型例题分析】例1. （2005年吉林）如图，A点坐标为（3，3），将△ABC先向下平移4个单位得△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°得△A''B''C''。
请你画出△A'B'C'和△A''B''C''，并写出点A''的坐标。
分析：△ABC向下平移4个单位，只要把A、B、C三点的纵坐标下移4个单位即可；而将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°，只要找到A'、B'、C'三点关于点O的对称点即可。
解：将A、B、C三点分别向下移动4个单位，顺次连结A、B、C三点，得△A'B'C'（如图）。
画出A'、B'、C'三点关于原点O的对称点A''、B''、C''，顺次连接A''、B''、C''，得△A''B''C''（如图）。
从图中看到，A''的坐标为（－3，1）。
评析：注意△A'B'C'绕点O旋转180°，即得到中心对称的三角形。
例2. （2005年沈阳市）（1）如图①，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心，旋转方向和旋转角度）；（2）如图①，如果点P、点P3的坐标分别为（0，0），（2，1），写出点P2的坐标；（3）图②是某设计师设计的图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度。
分析：（1）由图A到图B显然是平移得到的，而由图B到图C却需要先平移再旋转；（2）点P是坐标原点，由点P3的坐标，再求点P2的坐标便不难了。
（3）旋转90°、180°、270°抓住顶点旋转后的位置。
解：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B；将图形B以点P1为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形C，或将图形B向右平移4个单位长度，再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C。
（2）P2（4，4）（3）如图。
评析：（1）两种方法都可以实现目标，决定个人的习惯选用。
（2）点P 是坐标原点，而点P 3决定所在的象限，这样再确定P 2的坐标，不会出现符号上的差错。
（3）注意：涂阴影的位置，可抓住其中三个顶点所在的三角形的位置。
例3. （2006年宁波市）如图，斜边长为6cm ，∠A ＝30°的直角三角板ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A'B'C 的位置，再沿CB 向左平移使点B'落在原三角板ABC 的斜边AB ，则三角板向左平移的距离为_____cm 。
分析：由旋转可知B'C ＝BC ，AC ＝ A'C ，A'B'＝AB ＝6，∠A ＝∠A'＝30°。
向左平移。
即过B'作BC 的平行线交AB 于D ，求DB'的长度，可利用相似三角形求解。
解：作B'D ∥BC 交AB 于D （如图）则△ADB'∽△ABC在Rt △A'B'C 中，∵∠A'＝∠A ＝30°，A'B'＝AB ＝6，∴B'C ＝21×6＝3，A'C ＝33。
又AC AB BC DB ''=， ∴333333DB '-=。
∴DB'＝333333-=-。
评析：旋转与平移相结合，具有一定的综合性，弄懂题意，需求出DB'的长，不能搞错。
【模拟试题】1. 已知：如图，三角板ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，将它放在直角坐标系中，使C 与原点重合，AC 在y 轴上，BC 在x 轴上，将△ABC 绕点B 沿逆时针方向旋转90°，到△A'B'C 。
试画出△A'B'C 的位置，并求出A'、B'两点的坐标。
2. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形。
在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）。
（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形，并写出点B2的坐标；3. 如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1的单位长度正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，图中的△ABC称为格点△ABC。
（1）如果A、D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称的知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的。
4. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中。