数理经济学第6章课后题答案

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概率论与数理统计课后答案第6章

概率论与数理统计课后答案第6章第6章习题参考答案1.设是取⾃总体X的⼀个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最⼤似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。

2.设是取⾃总体X的⼀个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最⼤似然估计，如得到⼀组样本观测值X 0 1 2 3 4频数17 20 10 2 1求的矩估计值与最⼤似然估计值。

3.设是取⾃总体X的⼀个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。

4.设是取⾃总体X的⼀个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。

5.设是取⾃总体X的⼀个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最⼤似然估计。

6.设是取⾃总体X的⼀个样本，总体X服从参数为的⼏何分布，即，其中未知，，求的最⼤似然估计。

7. 已知某路⼝车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路⼝车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最⼤似然估计值。

8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取⾃这个总体的⼀个样本，试求的最⼤似然估计。

9. 在第3题中的矩估计是否是的⽆偏估计？解故的矩估计量是的⽆偏估计。

10.试证第8题中的最⼤似然估计是的⽆偏估计。

11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的⽆偏估计，并进⼀步判断哪⼀个估计有效。

12.设是取⾃总体的⼀个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。

13.某车间⽣产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天⽣产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

14.假定某商店中⼀种商品的⽉销售量服从正态分布，未知。

为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个⽉，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和⽅差的双侧0.9置信区间。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

⎝ 2 2⎠
2
则X
=Y
+θ
−
1 2
，
X (1)
= Y(1)
+θ
−
1 2
， X(n)
= Y(n)
+θ
−
1 2
，即
1 2
(
X
(1)
+
X(n)) =
1 2 (Y(1)
+ Y(n) ) + θ
−1 2
，
可得 E( X ) = E(Y ) + θ − 1 = E(Y ) +θ − 1 = θ ， Var(X ) = Var(Y ) = 1 Var(Y ) = 1 ，
n
∑ 由伽玛分布的可加性知 Y = X i 服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 i=1
pY
( y)
=
λn Γ(n)
y n−1 e−λ y
Ι y>0
，
∫ ∫ 则 E⎜⎛ 1 ⎟⎞ = E⎜⎛ n ⎟⎞ = ⎝ X ⎠ ⎝Y ⎠
+∞ n ⋅ λn y n−1 e−λ y dy = nλn
0 y Γ(n)
n
∑ 4．设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计．解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，

高等数学（经管类专业适用）-第6章习题解答

第6章概率统计练习6.1.11．观察一次打靶试验中击中的环数，若击中1环记为{1}，并设A={奇数环}， B={小于9环}，求Ω，A+B ，AB ，A +B ．【解】Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A+B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，AB={1,3,5,7} ，A +B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,10}．2．一位工人生产3件零件,设i A ＝{第i 个零件是不合格品}（1,2,3i =）.请用诸i A 表示如下事件:(1) 全是合格品; (2) 全是不合格品;(3) 恰好有一个零件是不合格品; (4) 至少有一个零件是不合格品.【解】(1) 123A A A ；(2) 123A A A ；(3) 123123123A A A A A A A A A ++；(4) 123A A A ++. 练习6.1.21．一个小停车场有20个停车位，现在有6辆车需停在该停车场，有多少种不同的停放方法？【解】620P =20⨯19⨯18⨯17⨯16⨯15＝27907200(种)2．学校举办一场十佳歌手赛，现从班上报名的15个同学中选取2个参加，共有多少种选法？【解】215151410521C ⨯==⨯(种) 3．10个螺丝钉中有3个是坏的，从中随机抽取4个，求：（1）恰好有两个是坏的概率；（2）4个全是好的概率．【解】设A ＝{恰好有两个是坏螺丝钉}，B ＝{ 4个全是好螺丝钉}， (1)因4221037210,63,A n C m C C ====所以3()10A m P A n ==； (2)又4735B mC ==，故1()6B m P B n ==．练习6.1.31．甲、乙两批种子发芽率分别是0.7和0.8，现从这两批种子中随机地各取一粒，求下列事件的概率：(1)两粒种子都发芽； (2)至少有一粒种子发芽.【解】设A ＝{甲的种子发芽}，B={乙的种子发芽}，由于两粒种子是独立地发芽，所以(1) ()()()P AB P A P B ==0.7⨯0.8=0.56；(2) ()()()()P A B P A P B P AB +=+-= 0.7＋0.8－0.56＝0.94．2．在200名学生中选修统计学的有137名，选修经济学的有50名，选修计算机的有124名．还知道，同时选修统计学与经济学的有33名，同时选修经济学与计算机的有29名同，同时选修统计学与计算机的有92名，三门课都选修的有18名．试求200名学生中在这三门课中至少选修一门的概率．【解】设A ＝{选修统计学}，B ＝{选修经济学}，C ＝{选修计算机}，则 D ＝{至少选修一门}=A+B+C ，所以()()()()()()()()P D P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ ＝137200＋50200＋124200－33200－29200－92200＋18200＝78（＝0.875）． 3．某射手的命中率为0.95，他独自重复向目标射击5次，求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.【解】恰好命中4次的概率44155(4)(0.95)(0.05)0.2036P C =≈；至少命中3次的概率555(3)(4)(5)P P P ++=33244155555(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)C C C ++≈0.9987．习题6.11．在100件产品中，有2件次品，从中任取5件，问：（1）恰有1件次品的抽法有多少种？（2）没有次品的抽法有多少种？（3）至少有1件次品的抽法有多少种？【解】（1）14298236122807224560C C =⨯=；（2）59867910864C =；（3）142329829872245601520967376656C C C C +=+=．（本题的结果也可借助软件Excel 来求得）2．10个球中有3个红球7个绿球，随机抽取3个球分给3个小朋友，每人一球，求三个小朋友中恰有一个得到红球的概率.【解】用古典概型求解，设A ＝{三个小朋友恰有一个得到红球}，因310n P =，123373m C C P =，故 21()40m P A n ==． 3．在编号为1,2，…，100的奖券中，规定偶数号或三的倍数号中奖，现从中随机抽取一张，求中奖的概率.【解】设A ＝{偶数号奖券}，B ＝{三的倍数号奖券}，50()100P A =，33()100P B =，16()100P AB = 则C ＝{中奖奖券}＝A ＋B ，故()()()()()P C P A B P A P B P AB =+=+- =503316100100100+-=670.67100=． 4．有10道判别对错的测验题，一人随意猜答，他答对7道题的概率是多少? 【解】由题意知，猜答10道测验题可看成10重伯努利试验，且0.5p =．所以答对7道题的概率是7731010(7)(0.5)(0.5)0.1172P C =≈． 5．长期统计资料表明，某地区在4月份下雨（设为事件A ）的概率为14，刮风（设为事件B ）的概率为13，既刮风又下雨的概率为18，求(),(),()P A B P B A P A B +．【解】因111(),(),()438P A P B P AB ===，所以()3()1(),(),()8()2P AB P AB P A B P B A P B P A ==== 11()()()()24P A B P A P B P AB +=+-=．练习6.2.11．已知随机变量X 只能取－1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为1232,,,2448c c c c，求常数c 的值．【解】因11k k p ∞==∑，所以1232122448c c c c c+++=⇒=． 2．某银行举行有奖储蓄活动，现发行有奖储蓄券10万张，其中一等奖100张，二等奖500张，三等奖2000张，现任抽一张储蓄券，试求中奖等级X 的分布律．【解】若不中用{X =0}表示，其概率表示为{}00p P X ==，根据题意X 为随机变量，其可能取值为0，1，2，3．{}1510010.00110p P X ====， {}2550020.00510p P X ====，{}35200030.0210p P X ====， {}001(0.0010.0050.02)0.974p P X ===-++=．则0k p ≥(0,1,23k =，)，且301k k p ==∑．故随机变量X 的分布律为3．某观众拨打电视台热线电话参与活动，已知拨通电话的概率为0.4%，求观众拨打300次至少拨通1次电话的概率．【解】{至少拨通1次电话}的对立事件是{拨通0次电话}所求概率为1－00300300(0.004)(0.996)C 1≈．（本题的结果可借助软件Excel 来求得）练习6.2.21．求0－1分布的分布函数．【解】由于0－1分布的分布律为：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1k =．当0x <时，(){}()0F x P X x P ==∅=≤；当01x <≤时，(){}{0}1F x P X x P X p ====-≤；当x ≥1时，(){}{0}{1}11F x P X x P X P X p p ===+==-+=…．综合以上结果，则有00,()101,1 1.x F x p x x <⎧⎪=-<⎨⎪⎩，，≤，≥2．已知连续型随机变量X 的概率密度为()0kx x f x ≤≤⎧=⎨⎩，03, ，其它. 求（1）系数k ；（2）{12}P X <≤．【解】（1）由概率密度的性质，得3239()1022x kf x dx k xdx k +∞====-∞⎰⎰，解得29k =，所以2,03()90,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2） 221{12}193P X xdx <≤==⎰． .3．设~(0,1)X N ，查表求 (1) {}2P X ≤；(2) {}1P X >-；(3){}0.5P X <．【解】(1) {2}(2)0.9772P X ≤=Φ=；(2) {1}1(1)(1)0.8413P X >-=-Φ-=Φ=；(3) {}0.5(0.5)(0.5)2(0.5)120.691510.383P X <=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.4．设2~(1,2)X N ，查表求 (1) {}1P X ≤；(2) {}3P X <．【解】（1）{}111()(0)0.52P X -≤=Φ=Φ=；（2）{}3{33}P X P X <=-<<3131()()22---=Φ-Φ (1)1(2)=Φ-+Φ＝0.8413－1＋0.9772＝0.8185．练习6.2.3某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3．现有二种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利700万元，滞销则亏损300万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可可盈利400万元，滞销则亏损100万元．试用决策矩阵表和决策树的方法选择一种最佳方案．【解】（1）用决策矩阵表的方法根据题意，建立如下损益矩阵表（单位：万元）从表可见，根据期望收益值最大的决策准则，选用扩大工厂规模的方案．（2）用决策树的方法由题意，画出对应的决策树如图所示.比较状态点B ，C ，显然扩大工厂规模的数学期望值大，即400＞250，点B 和决策点R 之间的方案枝所代表的方案即为所选的最优方案，点B 的期望值即为决策的效益期望值．最后将状态点C 剪掉，采用扩大工厂规模的方案．习题6．21．现有产品10件，其中有3件次品，任意从中取出2件，求取出次品数X 的分布律．【解】根据题意X 为随机变量，其可能取值为0，1，2．{}2712107015C p P X C ====，{}117322107115C C p P X C ====，{}2332101215C p P X C ====．则0k p ≥(1,23k =，)，且317711151515k k p ==++=∑．故随机变量X 的分布律为2．设某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击30次，求击中目标次数X 的分布律．【解】由题意知(30,0.8)X B ，所以X 的分布律为3030{}(0.8)(0.2),0,1,2,,30.kk k P X k C k -===3．包裹的特快专递(EMS)规定:每包不得超过1公斤．令X 为任选一个包裹的重量，其密度函数为0.50()0k x x f x +<≤⎧=⎨⎩（）， 1，，其它. 求（1）系数k ；（2）这类包裹的重量X 至少3/4公斤的概率是多少? （3）这类包裹的重量X 最多1/2公斤的概率是多少? 【解】（1）由概率密度的性质，得1201()(0.5)(0.50.5)10f x dx k x dx k x x k +∞=+=+==-∞⎰⎰，所以0.5,01()0,x x f x +<≤⎧=⎨⎩，其它. （2） 1311{}(0.5)34324P X x dx ≥=+=⎰．（3）113{}(0.5)228P X x dx ≤=+=⎰4. 测量某目标距离的误差（单位：mm ）2(20,40)X N ，求一次测量误差的绝对值不超过30mm 的概率．【解】{}3020302030()()4040P X ---≤=Φ-Φ (0.25)1(1.25)0.5987=Φ-+Φ=-+=5. 某企业计划推出一款新型产品，企业的备选方案有三种:（1）建立新型的生产线，投入的成本最大，但产量最高；（2）改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少些；（3）是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少．根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率为0.5，0.3， 0.2．根据产量和销量的不同，企业的盈利情况如下表：（单位：万元）试通过决策分析，确定生产线方案.【解】由企业的盈利情况表，可以将不同方案的期望值计算出来1()500.5150.3100.227.5E A =⨯+⨯-⨯=， 2()300.5200.300.221E A =⨯+⨯+⨯=， 3()100.5100.300.28E A =⨯+⨯+⨯=，比较期望值，选择期望收益值最大的方案作为最优方案，即确定建立新型生产线的方案．练习6.3.11、求满足{}0.05P U λ≥=的U 分布的临界值λ. 【解】由0.05α=得，()10.97520.05λΦ=-=，查标准正态分布表得 1.96λ=.2、求满足{}0.01,P T λ≥=10n =的t 分布的临界值λ. 【解】根据0.01α=，19n -=，查t 分布临界值表得 3.25λ=.3、求满足{}2120.95P λχλ<<=，15n =的2χ分布的临界值12,λλ. 【解】由已知114n -=，0.05α=.计算{}2110.9752P αχλ>=-=，查2χ分布临界值表得1 5.629λ=；计算{}220.0252P αχλ≥==，查2χ分布临界值表得226.119λ=.练习6.3.21．乳业有限公司生产的袋装牛奶是用自动包装机包装的．每袋牛奶净含量X 服从正态分布2(,)N μσ，今从一批装好的牛奶中随机地抽取8袋，测其牛奶的净含量（单位：ml ）如下：499.5，500，498.5，501.5，500.5，500.5，499.5，500.5.试估计这批牛奶净含量的均值μ与方差2σ．【解】499.5+500+498.5+501.5+500.5+500.5+499.5+500.5500.06258x ==，82221111()(500.0625)0.8169617n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑，所以2ˆˆ500.0625,0.81696μσ==．（本题的结果可借助软件Excel 来求得）2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布2(,)N μσ，现随机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260试估计这种电子元件寿命的均值μ与方差2σ．【解】3100+3480+2520+3700+2520+3200+2800+3800+3020+3260314010x ==，102221111()(3140)198133.333319n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑，所以2ˆˆ3140,198133.333μσ==．（可利用软件Excel 帮助计算）练习6.3.31．设随机变量X 服从正态分布，即2~(,2.8)X N μ，已知一个容量为10的样本，其样本均值1500x =，求总体均值μ的置信区间（置信水平为0.95）.【解】根据题意2~(,2.8)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间，（1）因10.95α-=，则0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=；（2）由已知，1500x =，10n =， 2.8σ=，计算得1501.7355x +=，1498.2645x =（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为(1498.2645,1501.7355).2．某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额，随机地抽取25个投保人，得理赔均值为739.98元，标准差为312.70元，已知理赔额2~(,)X N μσ，试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间．【解】根据题意知2~(,)X N μσ，总体方差2σ未知，求总体均值μ的置信区间，（1）因195%α-=，0.05α=，25n =，查t 分布临界值表得 2.064λ=；（2）由已知，739.98x =，312.70s =；计算区间端点值869.06256,x +=610.80744x -=（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为（610.80744，869.06256）.3.某超市连续统计了十二个月的销售额（单位：万元），得方差20.305s =，如果销售额2~(,)X N μσ，试求方差2σ的置信水平为95%的置信区间.【解】根据题意2~(,)X N μσ，总体均值μ未知，求总体方差2σ的置信区间，（1）因195%α-=，0.05α=，111n -=，查2χ分布临界值表得1 3.816λ=，221.92λ=；（2）由已知，20.305s =，计算区间端点值21(1)n s λ-＝0.8792，22(1)n s λ-＝0.1531；（3）所以2σ的置信水平为95%的置信区间为（0.1531，0.8792）.*练习6.3.41．据统计资料知，某地区家庭对食品月支出X 元服从正态分布，即2~(,20)X N μ，现随机抽取9个家庭，得知家庭对食品的平均月支出为780元．是否可以认为居民家庭对食品月支出均值为800元？（0.05α=）【解】由题意知，2~(,20)X N μ，方差2σ已知，要检验总体均值μ. （1）提出假设01:800,:800H H μμ=≠；（2）选取统计量~(0,1)X U N ；（3）对检验水平0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=，故拒绝域为(,1.96)-∞- (1.96,+∞；（4）根据样本值计算出780x =，统计量的值为3u ==，落入拒绝域，所以拒绝接受0H ，不认为居民家庭对食品月支出均值为800元．2．已知某砖瓦厂生产机制砖的抗断强度2kg /cm X 服从正态分布2(,)N μσ，从一批机制砖中随机抽取6块，经测量计算出31.6x =，0.867s =.试在检验水平0.05α=下,检验这批机制砖的抗断强度均值μ是否为232.0kg /cm .【解】由题意知，总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知. 要检验总体均值μ. （1）提出假设01:32.0,:32.0H H μμ=≠；（2）选取统计量~(1)X T t n -；（3）对显著性水平0.05α=，15n -=，查t 分布临界值表得 2.571λ=，因此，拒绝域为(, 2.571)(2.571,)-∞-+∞ ；（4）由样本31.6x =，s =0.867.得统计量的值为 1.13t =，不落入拒绝域，因此接受0H ．即认为这批机制砖的抗断强度均值μ为232.0kg /cm ．3．已知某厂生产的饮料中钙含量服从正态分布2(,2)N μ．现改进了加工工艺，随机抽取了9瓶100ml 加钙饮料，测得其钙含量（单位：mg ）分别为：63.5 61.3 58.7 59.6 62.5 63.8 61.5 60.7 59.2 ．问新工艺下饮料钙含量的方差是否为4？(0.01)α=【解】由题意知2~(,2)X N μ，均值μ未知，要检验总体方差2σ. （1）提出假设222201:2,:2H H σσ=≠；（2）选取统计量 22220(1)~(1)n S n χχσ-=-；（3）对显著性水平0.01α=，18n -=，查2χ分布临界值表得1 1.344λ=及221.955λ=，因此拒绝域为(0,1.344)(21.955,)+∞ ；（4）由样本值计算出61.2x =，2 3.3625s =，统计量的值为28 3.36256.7254χ⨯==，没有落入拒绝域，故接受0H ．认为新工艺下饮料钙含量的方差是4.习题6.31．某百货公司准备在某地设置分店，为了确定分店的规模和商品的种类，需要知道该地区住户人均年收入情况，为此，在该地区随机抽查了10户居民，得人均年收入（单位：元）如下1213，1203，1106，1208，1307，1206，1101，1203，1216，1328.已知人均年收入服从2(,)N μσ，试估计该地区人均年收入的均值μ与方差2σ．【解】1213+1203+1106+1208+1307+1206+1101+1203+1216+13281209.110x ==，102221111()(1209.1)5131.6619n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑，故该地区人均年收入均值μ与方差2σ的估计值分别为：2ˆˆ1209.1,5131.66μσ==．（可利用软件Excel 帮助计算）2．测某型号螺丝钉的长度5次，数值（单位：mm ）分别为108.5 109.0 110.0 110.5 112.0假设测量的长度服从正态分布2~(,0.5)X N μ，试求这批螺丝钉的长度均值μ的置信区间（0.05α=）．【解】根据题意2~(,0.5)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间，（1）因0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=；（2）由样本算得，110x =，5n =，0.5σ=，计算得110.44x +=，109.56x =（3）所以这批螺丝钉的长度均值μ的置信区间为(109.56,110.44).3．环保局人员从河流中取出15个水样，测定样本中的污染物的数量，计算得样本方差236.29s =.已知河流中的污染物的数量服从正态分布.求置信水平为95%的总体方差的置信区间．【解】根据题意2~(,)X N μσ，总体均值μ未知，求总体方差2σ的置信区间，（1）因195%α-=，0.05α=，114n -=，查2χ分布临界值表得1 5.629λ=，226.119λ=；（2）由已知，236.29s =，计算区间端点值21(1)n s λ-＝90.258，22(1)n s λ-＝10.452；（3）所以置信水平为95%的2σ的置信区间为（10.452，90.258）.*4．某面粉厂用自动装袋机包装面粉，已知每袋面粉标准重量（单位：kg ）2(25,0.1)X N ，长期实践表明方差2σ比较稳定, 从某日生产的袋装面粉中随机抽取10袋, 测得重量（单位：kg ）分别为24.9，25.0，25.1，25.2，25.2，25.1，25.0，24.9，24.8，25.1试在检验水平0.05α=下，检验这批袋装面粉的重量均值μ是否合乎标准.【解】由题意知，2(25,0.1)X N ，方差2σ已知，要检验总体均值μ. （1）提出假设01:25,:25H H μμ=≠；（2）选取统计量~(0,1)X U N ；（3）对检验水平0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=，故拒绝域为(,1.96)-∞- (1.96,+∞；（4）根据样本值计算出25.03x =，统计量的值为0.949u ==，没有落入拒绝域，所以接受0H ，即认为这批袋装面粉的重量均值μ是合乎标准的．复习题6一、选择题1. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）个.A. 241026P ⋅；B. 242610P P ⋅；C. 242610⋅；D.242610P ⋅.2. 设事件A 与B 相互独立，如果11(),(),43P A P B ==则()P A B +=( ) A.712 B. 12 C. 512 D. 133. 若1(,)3X B n 且{2}{3}P X P X ===，则n 为( ). A. 2 B. 4 C. 6 D. 84.掷一颗骰子，用随机变量X 表示出现的点数，则{24}P X <≤的值为( ). A.16； B.13； C. 12； D. 23. 5. 设总体2~(,)X N μσ，且λ为临界值．若2σ未知，2,x s 分别为样本均值和样本方差，样本容量为n ，则总体均值μ的置信区间为（）．A. (,)x x nnλσλσ-+B. (,)ssx x nnλλ-+C .(x x +D .(x x -【答案】二、填空题1. 口袋中有3个红球2个白球，从中任取2球，则取出的2球颜色相同的概率为______________.2. 一射手向指定目标射击4枪，各枪射中与否相互独立，且每枪射中的概率是0.2，则4枪中恰好射中1枪的概率为 .3. 设(1,4)X N ，则{1}P X ≤ = _________．4. 设{}0.1P T λ≥=，且10n =，则t 分布的临界值λ= .5. 设12,,,n X X X 是取自正态总体2(1,)N σ-的一个样本，X 为样本均值，X 服从的分布为 .【答案】1.223225C C C +＝25；2.134(0.2)(0.8)0.4096C =；3.(0)0.5Φ=；4.1.833；5.标准正态分布. 三、解答题1. 在10件产品中有3件次品，现从中任取2件产品，求下列事件的概率：（1）两件都是正品；（2）恰有一件正品；（3）至少有1件正品.【解】设A ={两件都是正品}；B={恰有一件正品}，D={至少有1件正品}，则A 与B 为互不相容事件，且D=A+B（1）P(A)=27210715C C =；（2）P(B)= 1173210715C C C =；（3）P(D)=P(A+B)=1415 . 2. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,543.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率.【解】设i A ={第i 人破译密码}，1,2,3i =，则123111(),(),()543P A P A P A ===，由题意，所求概率为1231231234323()1()1()()()15435P A A A P A A A P A P A P A ++=-++=-=-= 3. 设随机变量2(2,)X N σ ，且1{2}0.32P X <<=，求{0}P X <．【解】因1212232{2}()()0.5[1()]0.322P X σσσ--<<=Φ-Φ=--Φ=，可得3()2σΦ=0.8，查表得30.842σ=，即σ=10.56，所以02{0}()1(1.12)10.8686P X σ-<=Φ=-Φ=-=0.1314.4. 某工厂生产一种螺钉的长度服正态分布，为测量产品的长度（单位：mm ），现抽取10件，测得长度如下：32，33，30，36，38，39，35，37，36，34试估计这种产品的总体均值μ与总体方差2σ．【解】32+33+30+36+38+39+35+37+36+3410x ==35，10222111170()(35)7.778199n i ii i s x x x n ===-=-=≈-∑∑，所以这种产品均值μ与方差2σ的估计值分别为：2ˆˆ35,7.778μσ==． 5．某果树场有一批红枣树，根据长期资料分析知，其每株产量服从正态分布，产量方差为4002kg .现随机抽9株，产量（单位：kg ）分别为：112，131，98，105，115，121，90，110，125.求这批红枣树每株平均产量的置信水平为0.95的置信区间.【解】根据题意2~(,20)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间，（1）因10.95α-=，即0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=；（2）由样本算得，10079x =，9n =，20σ=，计算得124.96x =，98.82x -= （3）所以这批红枣树每株平均产量μ的置信区间为(98.82,124.96).。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案-1

1
E (Y(1)Y( n ) ) = ∫ dy( n ) ∫
0
1
y( n )
0
y(1) y( n ) ⋅ n(n − 1)( y( n ) − y(1) ) n−2 dy(1) = ∫ dy( n ) ∫
0
1
y( n )
0
y(1) y( n ) ⋅ n ⋅ (−1)d ( y( n ) − y(1) ) n−1
则 X = Y +θ −
⎧0, y < 0; ⎪ pY ( y) = I0<y<1， FY ( y ) = ⎨ y , 0 ≤ y < 1; ⎪1, y ≥ 1. ⎩
有 Y (1)与 Y (n)的密度函数分别为
p1 ( y ) = n[1 − FY ( y )]n−1 pY ( y ) = n(1 − y ) n−1 Ι 0< y<1 ， pn ( y ) = n[ FY ( y )]n−1 pY ( y ) = ny n−1Ι 0< y<1 ，
故 1 / X 不是λ的无偏估计．
ˆ) > 0 ，试证 (θ ˆ) 2 不是θ 2 的无偏估计． ˆ 是参数θ 的无偏估计，且有 Var(θ 3．设 θ ˆ) = θ ，有 E[(θ ˆ) 2 ] = Var(θ ˆ) + [ E (θ ˆ)]2 = Var(θ ˆ) + θ 2 > θ 2 ，故 (θ ˆ) 2 不是θ 2 的无偏估计．证：因 E (θ
ˆ1 , µ ˆ2 , µ ˆ 3 都是总体均值µ 的无偏估计；故µ
ˆ1 ) = 因 Var(µ 1 1 1 1 1 1 14 Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + Var( X 3 ) = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 ， 4 9 36 4 9 36 36 1 1 1 1 1 1 1 ˆ 2 ) = Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + Var( X 3 ) = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 ， Var(µ 9 9 9 9 9 9 3 1 1 4 1 1 4 1 ˆ 3 ) = Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + Var( X 3 ) = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 ， Var(µ 36 36 9 36 36 9 2

概率与数理统计第六章习题参考解答

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A 求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx ni ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆnii x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01nii x d L p ndp pp=-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pnxp n dp p L d ni i解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由22()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数22122()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x e μμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x n x ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i i x n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni ixn L d d解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22ni i x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33n ii x x n θ===∑（3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：1212222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i ni i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβni i n i i x x L 联立解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第六章

习题六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)/X Z N nμσ-=即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？【解】4~(0,1)5/X Z N n-=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<<2(0.4)10.95,n =Φ-=则Φ(0.4n )=0.975，故0.4n >1.96,即n >24.01，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=10021000~(8)100/3/X X t t S n-==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N nσ=，由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02σ⎡⎤⎛-Φ=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭查表得2.33,=所以5.43.σ== 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯==6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310),Y ~N (20,315)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),X YZ N = 所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立, 所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z nn =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2).解：由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xxx E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰ 所以2()2E S =.。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1

n
∑ 4．设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计．解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5．设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ

概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第6章【范本模板】

概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第六章6－1 解：9922211992221111ˆˆ158,()109911ˆˆ49.8,()9.9599X iXXii i Y iYYii i X X SX X YY S Y Y6－2 解:（2）矩估计法22222()()2()()3b ab a x a b E X xf x dx dxba x a ab b E X x f x dxdxb a由矩估计法1222211i i nA X Xn A X XS n解得：22ˆˆ3,3n n aXS bXS(2）极大似然估计法,似然函数为1(,)(,,),ni a x bL a b f x a b b axa or xb当a x b 时，对似然函数取对数 (,)ln()L a b n b a似然方程：ln (,)ln (,)0,0L a b n L a b n ababba),(b a L 关于a 单调递增，关于b 单调递减.对样本n X X ,,1 有ia Xb ,即a 取最小值，而b 取最大值时,),(b a L 取最大值，故有11ˆˆmin ,,,max ,,n n a X X bX X∵μ已知, ∴ 222222()()1()exp(2)exp222n i iX X L2222()ln ()ln(2)ln 222i X nn L2222224ln ()11ˆ()0()22iid L n X x d n6－4 解：似然函数(1)112(1)21()(1)(1)(1)n n nk nn nk L p p p p p p p(1)ln ()ln ln(1)2n n L p n ppln ()(1)11ˆ012(1)2111()2kd L p n n n pn dp p p Xn XX knn∵ 1()E X p，∴ 1ˆ()ˆEX Xp6－5 解：（1）似然函数 10(,)(,)ix nni i i ex L x f x x 当0x 时，1ln (,)ln i L x n X ， 2ln (,)11ˆ0i id L x n X X X dn(2)∵ 111ˆ()()()()i i E E X E X E X nn n∴ ˆX 是θ的无偏估计。

概率论与数理统计六七章习题答案

第六章大数定理和中心极限定理一、大纲要求(1)了解契比雪夫不等式；(2)了解辛钦大数定律,伯努利大数定律成立的条件及结论；(3)了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的条件和结论,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.二、重点知识结构图三、基本知识1. 马尔科夫不等式若X 为只取非负值的随机变量,则对任意常数0ε>,有{}EXP X εε≥≤.2. 契比雪夫不等式若DX 存在,则{}2DXP X EX εε-≥≤.3. 辛钦大数定律定理 1 设12,,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有有限的数学期望()a X E n =，则对任意的0ε>,有{}lim 0n n P X a ε→∞-≥=4. 伯努利大数定律定理2 设()p n B X n ,~，其中n=1,2, …，0<p<1 。

则对任意ε>0，有5．独立同分布的中心极限定理定理3 (林德伯格-列维定理) 设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量,22,,0,i i EX a DX σσ==<<∞则对任意实数x 有12lim )()n n P X X X na x x →∞⎫++-≤=Φ⎬⎭式中, ()x Φ是标准正态分布(0,1)N 的分布函数,即2/2()t x e dt +∞--∞Φ=6. 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理定理3(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设12,,,,n X X X 独立同分布,i X 的分布是{}{}1,01,(01)i i P X p P X p p ====-<<则对任意实数x ,有12lim )()n n P X X X np x x →∞⎧⎫⎪++-≤=Φ⎬⎪⎭0lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εp n X P n n四、典型例题例1 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式{}6_____P X Y +≥≤.解因为 ()0E X Y E X E Y +=+= ()2c o v (,D X Y D X D Y X Y +=++2DX DY ρ=++ 1420.52=+-⨯⨯= 根据契比雪夫不等式{}2DXP X EX εε-≥≤所以 {}3163612P X Y +≥≤= 例2 某保险公司经多年资料统计表明,在索赔户中被盗户占20%,在随意抽查的100家索赔户中以被盗的索赔户数为随机变量,利用中心极限定理,求被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值.[分析]本题的随机变量服从参数100,0.2n p ==的二项分布.如果要精确计算,就要用伯努利二项公式:{}291001001514300.20.8kk k k P X C -=<<=∑.如果求近似值,可用契比雪夫不等式估计.解由于~(100,0.2)X N ,所以1000.220EX np ==⨯=168.02.0100)1(=⨯⨯=-=p np DX{}1430P X P <<=<<=Φ(2.5)-Φ(-1.5)()927.0)5.1(5.2=-Φ+Φ因此被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值为0.927.例3 某车间有200台机床,它们彼此工作独立,开工率都为0.6，工作时耗电都为1kW,问供电所至少给这个车间多少度电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.解用X 表示工作的机床台数,则~(200,0.6)X B .设要向车间供电a kW,则有由棣莫佛-拉普拉斯定理得{}P o X a P ⎧⎫<≤=<≤020p q ⎛⎫⎛⎫⎫⎫≈Φ-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎭()0.999 3.1≈Φ≥=Φ即3.1≥ 因此120 3.48141a ≥+= 例4 用契比雪夫不等式确定当掷一均匀硬币时,需掷多少次,才能保证使得出现正面的频率在0.4~0.6之间的概率不小于90%,并用正态逼近计算同一个问题.解设需掷n 次，用n S 表示出现正面的次数，则1~(,)2n S B n ，有契比雪夫不等式得0.40.60.50.1n n S S P P n n ⎧⎫⎧⎫<<=-<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭211110022110.900.014n n n⨯⨯≥-=-≥ 所以10002504n ≥=. 由棣莫佛-拉普拉斯定理得0.40.6n S P P n ⎧⎫<<=<⎨⎬⎩⎭(((0.2210.90=Φ-Φ-=Φ-≥即(Φ≥0.95,查表得 1.645>,故68n ≥.例5 假设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量,且()k k i a X E =(1,2,3,4)k =,证明当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.证由12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列可知, 22212,,,nX X X 独立同分布,且有()22a X E i =, 2242i DX a a =-2211n n i i EZ EX a n ===∑, 2242211n n i i a a DZ DX n n=-==∑由林德伯格-列维定理可知,对任意x 有⎰∞--∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--x t n n dte x n a a a Z P 22242221lim π即n Z 近似服从正态分布2422(,)a a N a n-. 例6 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度超过3m ，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解设10i X ⎧=⎨⎩()31,2,,1003i m i i m = 当所取的第根木柱短于当所取的第根木柱不短于则()~1,0.2i X B ,记1001i i X X ==∑,则()~100,0.2X B .由棣莫佛-拉普拉斯定理得{}{}30130P X P X ≥=-<1P =-≤()302011 2.50.0062100.4-⎛⎫≈-Φ=-Φ= ⎪⨯⎝⎭例7 假设男婴的出生率为2243,某地区有7000多名产妇,试估计她们的生育情况.[分析] n 重伯努利实验中A 出现的频率nu n依概率收敛于它的概率p ，当n 很大时，有n u np ≈.解设10i X ⎧=⎨⎩()1,2,,7000i i = 第名产妇生男婴否则显然, 12,,,n X X X 独立同分布且均服从01-分布2243p ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1nn i i u X ==∑表示7000名产妇中生男婴的人数,有伯努利大数定理得()2243n u n n →→∞ 由于7000n =已是足够大,因此227000358143n u ≈⨯≈即该地区估计有3581名男婴出生.例8 某电视机厂每月生产10000台电视机,但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管,该车间每月应生产多少只显像管?解设显像管正品数为X ,月总产量为n ,则有()~,0.8X B n ,从而 0.8E X n =, ()n p np DX 16.01=-=为了使电视机都装上正品的显像管,则每月至少生产10000只正品显像管,即所求为{}100000.997P X n ≤<=由棣莫佛-拉普拉斯定理得{}100000.997P X n P ≤<=≤<=即997.05.016.08.016.08.010000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≤-n n n X n n P(0.997Φ-Φ=由题意可知,0<,且n 较大,即(1Φ≈,所以0.997Φ=2.75=,故)(1027.14只⨯≈n因此,每月至少要生产41027.1⨯只显像管才能以0.997的概率保证出厂的10000台电视机都能装上正品的显像管.例9 一养鸡场购进1万个良种鸡蛋,已知每个鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡发育成种鸡的概率为0.90，试计算这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率.解设{}k A k =第只鸡蛋孵化成雏鸡, {}k B k =第只鸡蛋育成种鸡,令 ()11,2,,100000k k k B X k B ⎧==⎨⎩ 当发生当不发生则诸k A 独立同分布,且{}{}{}{}{}{}1k k k k k k k k P X P B P A P B A P A P B A ===+0.840.900.756=⨯+={}{}244.00===k k B P X P显然, 100001kk X X==∑表示10000个鸡蛋育成的种鸡数,则()~10000,0.756X B ,而64.1844244.07560)1(,7560756.010000=⨯=-=⨯=p np np根据棣莫佛-拉普拉斯定理可得()~0,1nkXnpN -=∑于是,所求概率为{}10000756075001k X P X P ⎧⎫-⎪⎪≥=≥≈-Φ⎪⎪⎩⎭∑()1.400.92=Φ= 因此,由这批鸡蛋得到的种鸡不少于7500只的概率为92%.五、课本习题全解6-1 设11nn i i Y X n ==∑,再对n Y 利用契比雪夫不等式:{}12222220n i i n n n n D X DY n P Y EY n n εεεε=→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭-≥≤=≤−−−→∑ 故{}n X 服从大数定理. 6-2 设出现7的次数为X ,则有 ()~10000,0.1,1000,900X B E X n p D X === 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}100096810001696810.14303015X P X P --⎧⎫⎛⎫<=<=-Φ=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭6-3 11,212i i EX DX ==由中心极限定理可知,10110i X -⨯∑,所以101011616110.136i i i i P X P X ==⎧⎫⎧⎫>=-≤=-Φ=-Φ=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑6-4 设报各人数为X ,则.100,100==DX EX . 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得()0228.021*********}120{=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=≥DX EX X P X P6-5 设()11,2,,100000i i X i i ⎧==⎨⎩ 第个人死亡第个人没有死亡,则{}{}10.006,00.994i i P X P X ====总保险费为51210000 1.210⨯=⨯(万元)(1) 当死亡人数在达到51.210/1000120⨯=人时,保险公司无收入.4100.00660,0.1295np =⨯==所以保险公司赚钱概率为)()12100000.129512060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()7.771=Φ=因而亏本的概率为10P P '=-=.(2)若利润不少于40000，即死亡人数少于80人时,)()12100000.12958060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()2.590.9952=Φ= 若利润不少于60000，即死亡人数少于60人时,)()12100000.12956060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()00.5=Φ=若利润不少于80000，即死亡人数少于40人时,)()12100000.12954060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()2.5920.0048=Φ-=6-6 设总机需备Y 条外线才能有95%的把握保证每个分机外线不必等候,设随机变量()11,2,,2600i i X i i ⎧==⎨⎩ 第架电话分机用外线第架电话分机不用外线,则{}{}10.04,00.96P X P X ====0.04,0.040.00160.0384i i EX DX ==-=由中心极限定理可得16%950384.026004.02602601≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=Y Y Y X P i i6-7 密度函数为 ()10.50.50x f x -<<⎧=⎨⎩当其他故数学期望为 0.50.50E X x d x -==⎰()0.52220.5112DX EX EX x dx -=-==⎰(1)设i X 为第i 个数的误差,则9973.01)3(251515300130013001=-Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑∑∑===i i i i i i DX X P X P30030011151150.0027i i i i P X P X ==⎧⎫⎧⎫>=-≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑(2)110210.9440.77n i i P X n =⎧⎫≤=Φ-≥⇒≤⎨⎬⎩⎭∑ (3)3001210.99714.855i i Y P X Y Y =⎧⎫⎛⎫≤=Φ-≥⇒≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑6-8 kg kg EX 32105,105--⨯=⨯=σ (1)设i X 为第i 个螺钉的重量,则23100510,5100.05nEX --=⨯⨯⨯=0228.0)2(105.051.51.510011001=Φ-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑==σn nEX X P X P i i i i(2)设()1.11,2,,5000.1i i Y i i ⎧==⎨⎩ 第个螺钉的重量超过5kg第个螺钉的重量不超过5kg,则33.3)1(4.11=-=p np np9951.0)58.2(33.34.1120)1(450050015001=Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯<∑∑==p np np Y P Y P i i i i ％6-9 设随机变量()11,2,,10000i i X i ⎧==⎨⎩ 第个人按时进入掩体其他,按时进入掩体的人数为Y ,则()1,~10000,0.9ni i Y X Y B ==∑,所以有10000.9900,9000.190EY DY =⨯==⨯=设有k 人按时进入掩体，则916884645.19090095.090900===-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φk k k k 或所以至少有884人,至多有916.六、自测题及答案1.设随机变量X 服从(),B n p ,则对区间(),a b ,恒有lim _______.n P a b →∞⎧⎫⎪⎪<≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭2.一大批产品中优质品占一半,现每次抽取一个,看后放回再抽,问在100次抽取中取到优质品次数不超过45的概率等于_______.3. 129,,X X X 相互独立, ()1,11,2,9i i EX DX i === ,则对任意给定的0ε>,有( ).9922119922111(A)11(B)119(C)91(D)919i i i i i i i i P X P X P X P X εεεεεεεε--==--==⎧⎫⎧⎫-<≥--<≥-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫-<≥--<≥-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑4.设12,,,,n X X X 为独立随机变量序列,且()1,2,i X i = 服从参数为λ的泊松分布,则有().()()()()111(A)lim (B)0,1(C),(D)n i n ni i n i i n i i X n P x x n X N n X N n n n P X x x λλλ→∞===⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎫≤=Φ⎨⎬⎩⎭∑∑∑∑当充分大的时，近似服从当充分大的时，近似服从当充分大的时，5.设12,,X X 为独立随机变量序列,且服从服从参数为λ的指数分布,则( ).()()()()112211(A)lim (B)lim 1(C)lim (D)lim n n i i i i n n nni i i n n n X X P x x P x x n X n X n P x x P x x n λλλλλλ==→∞→∞=→∞→∞⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤=Φ≤=Φ⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤=Φ≤=Φ⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑6.设随机变量12,,,n X X X 相互独立, 12n X X X X =+++ ,根据林德伯格-列维定理,当n 充分大时, X 近似服从正态分布,只要12,,,n X X X ( )(A)(B)(C)(D)有相同的数学期望有相同的方差服从同一指数分布服从同一离散型分布7.某校有1000名学生,每人以80%的概率去图书馆自习,问图书馆至少应设多少个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位坐?8.某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差2400σ=.为了估计μ,随机地取n 只这种器件,在时刻0t =投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得寿命为12,,,nX X X ,以11ni i X X n ==∑作为μ的估计,为了使{}10.95P X μ-<≥,问n 至少为多少?9.利用中心极限定理证明11lim !2i n n n i n e i -→∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ [答案]1. 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得22lim t b a n P a b dt -→∞⎧⎫⎪⎪<≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰2. 令Y 表示100次抽取中取得优质品的次数()11,2,,1000i i X i i ⎧==⎨⎩ 当第次取到优质品当第次没有取到优质品则 ()1001,~100,0.5i i Y X Y B ==∑那么 1000.5,1000.50.E Y D Y =⨯=⨯⨯=由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}504515Y P Y P P -⎧⎫≤=≤=≤-⎨⎬⎩⎭()()11110.84130.1587≈Φ-=-Φ=-=3.由题意可得 99119,9i i i i EX EX DX DX ======∑∑又因为 9211i i DXP X EX εε=⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑故(D)项正确.4.因为()1,2,i X i = 服从参数为λ的泊松分布,故,i i EX DX λλ==,由林德伯格-列维定理得()lim n i n X n P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ 当n 充分大时,1nii X=∑近似服从(),N n n λλ分布,故C 项正确.5.由题意可知 211,i i EX DX λλ==由林德伯格-列维定理可得()22limntixnX nP x dt xμ-→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤==Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑⎰即()l i mninX nP x xλ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑6.由于林德伯格-列维定理要求12,,,nX X X独立同分布,且具有有限的数学期望与方差.因此C项正确.7.设X表示同时去图书馆上自习的人数,并设图书馆至少有n个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位,即n满足{}0.99P X n≤≥.因为()~1000,0.8X B,所以{}⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈≤2.08.010008.01000`2.08.010008.01000`nnXP8000.9912.65n-⎛⎫=Φ≥⎪⎝⎭查表得8002.3312.65n-≥,故829.5n≥.因此图书馆至少应有830个座位.8.由于12,,,nX X X独立同分布,且2,400i iEX DXμσ===.由林德伯格-列维定理得{}1P X Pμ⎫⎛-<=<≈Φ-Φ⎝⎭⎝⎭21210.95=Φ-=Φ-≥⎝⎭⎝⎭即0.975Φ≥⎝⎭,查表得 1.9620≥,故2400 1.961536.64n≥⨯=.因此n至少为1537.9.设{}n X为独立同服从参数为1的泊松分布的随机变量序列,则1nkkX=∑服从参数为n的泊松分布,因此有101!!k k n n nn nn k k k k n n P X n e e e k k ---===⎧⎫≤==+⎨⎬⎩⎭∑∑∑由林德伯格-列维定理可得()11lim lim 02n k n k n n k X n P X n P →∞→∞=⎧⎫-⎪⎪⎧⎫≤=≤=Φ=⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭∑∑ 所以11lim lim !k n n n n k n n k k n e P X n e k --→∞→∞==⎧⎫⎡⎤⎧⎫=≤-⎨⎨⎬⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭∑∑ 11lim lim 2n n k n n k P X n e -→∞→∞=⎧⎫=≤-=⎨⎬⎩⎭∑第7章数理统计的基础知识一、大纲要求(1)理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,了解直方图和样本分布函数的意义和作用.(2)了解2χ分布、t分布、F分布的概念和性质,了解分位数的概念并掌握查表计算.(3)了解正态总体的抽样分布.二、重点知识结构图三、基本知识1.总体和个体在数理统计中,把研究对象的全体称为总体或母体,把组成总体的每一个研究对象(元素或单元)称为个体.总体分为有限总体和无限总体.有限总体是指其总体中的成员只有有限个.相应的,无限总体是指其总体中的成员有无限个.2．样本在一个总体中,抽取n 个个体12,,,n X X X ,这n 个个体总称为总体X 的样本或子样, n 称为样本容量.样本特性:① 代表性，样本中的每一个分量()1,2,i X i n = 与总体X 有相同的分布。

概率论与数理统计第六章习题答案

第六章习题6-11、由一致估计的定义，对0ε∀>{}{}{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+()()F F εθεθ=+--+()0, 0, 01, X x xF x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅()1F εθ∴+=(){}()12max ,,,1nn x F P X X X εθεθθ⎫⎛-+=<-+≈- ⎪⎝⎭{}()12max ,,,111()nn x P X X X n θεθ⎫⎛∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭2、证明：EX μ=()1111111ni i n n i i i i nn n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μμ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11niii nii a Xa==∴∑∑是μ的无偏估计量3、证明： ()() ()()22D E E θθθ=-()() ()()()2222E D E D θθθθθθ∴=+=+> 2θ∴不是2θ的无偏估计量4、证明：()~X P λEX λ∴=，()()222E X DX EX λλ=+=+()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2E X 、EX所以得2λ的无偏估计量： 22111n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-()()()()222111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴=-=⎪ --⎝⎭所以用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2E X 、EX得2p 的无偏估计量： ()()()222121111ni i i A A p X X n n n n =-==---∑6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =()()()11212212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭()()()1121221414153399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()212D m =123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123,,m m m 中， 3m 的方差最小习题6-21、（1）()11cccEX x c xdx cx dx θθθθθθθθ+∞+∞-+-=⋅==-⎰⎰EXEX cθ∴=-，令X EX =X X c θ∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x cθ=-，其中11n i i x x n ==∑似然函数为：()()11211,,,;nnn n n ii i i L x x x c xcx θθθθθθθ-+-====∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()()1ln ln ln 1ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑求导，并令其为0，得：1ln ln ln 0ni i d L nn c x d θθ==+-=∑ 1ln ln Lnii nx n cθ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1ln ln Lnii nXn cθ==-∑（2）21111EX EX x x dx EX θθθθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭⎰ 以X EX =，得： 21X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭为θ的矩估计量θ的矩估计值为： 21x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，其中11ni i x x n ==∑ 而()1121211,,,;n nnn i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛==⎪⎝⎭∏∏ ，01i x ≤≤()()1ln ln 1ln 2nii nL x θθθ=∴=+-∑令1ln 11ln 022ni i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ ∴=⎪⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭∑ （3）()~,X B m p ，EXEX mp p m∴=⇒=p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m====∑p ∴的矩估计值为： 11n i i p x mn ==∑ 而()()()111211,,,;11nniii i ii i i nnx m x m x x x x n mm i i L x x x p Cpp C pp ==--==∑∑=-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,ix m = ()()()111ln ln ln ln 1i nnn x mi i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑令() 111ln 111101n n n i i L ii i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m=2、（1）()01;2EX xf x dx xdx θθθθ+∞-∞===⎰⎰令11n i i EX X X n ===∑，22X X θθ∴=⇒=2X θ∴= （2）由观测的样本值得：6111(0.30.80.270.350.620.55)0.481766i i x x ===+++++≈∑20.9634x θ∴== 3、由1111122EX X θθθθθ+=⨯+⨯++⨯== 21X θ∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率引入{1, i i X i =第次抽到废品0,第次抽到正品，1,2,,60i =()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015ii p x ====∑，即这批产品的废品率为1155、()()2212213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()1412133x =⨯++=EX x = ， 3526x θ-∴==为矩估计值 ()()()()()()()34511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-令() ln 1155016Ld L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 LX λ=， ()0LX P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数()~X P λ∴，122n =得样本均值：5011(044142221394452) 1.123122122r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()1.12300.3253x P X e e --∴====习题6-33、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n nμσ-=→∞（1）当2σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,X u X u n n αασσ⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2σ未知时，用2σ的无偏点估计2s 代替2σ：~(0,1),/X N n s nμ-→∞于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,s s X u X u n n αα⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭ 近似μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，21.96u α=()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.075、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭近似μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中10x =，3σ=，100n =，22.58u α=()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。

蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第6~9章)【圣才出品】

v7 v 7
v7
v7
v7
因为左极限与右极限相等，所以 v→7 时 q 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

2．已知 q＝[（v＋2）3－8]/v，（v≠0），求：
（a）
lim
v0
q
；
（b）
lim
v2
q
；
（c）
lim
va
q
。
解
：
（
a
（c）求 f′（3）和 f′（4）。
解：（a）Δy＝4（x＋Δx）2＋9－（4x2＋9）＝8xΔx＋4Δx2，差商为：Δy/Δx＝（8xΔ
x＋4Δx2）/Δx＝8x＋4Δx。
（b） dy f x lim y lim 8x 4x 8x
dx
x x0
x 0
（c）f′（3）＝3×8＝24，f′（4）＝4×8＝32。
2．已知函数 y＝5x2－4x：（a）求作为 x 和Δx 的函数的差商；（b）求导数 dy/dx；（c）求 f′（2）和 f′（3）。解：（a）Δy＝5（x＋Δx）2－4（x＋Δx）－（5x2－4x）＝10xΔx＋5Δx2－4Δx。差商为：Δy/Δx＝（10xΔx＋5Δx2－4Δx）/Δx＝10x＋5Δx－4。
（a）
lim
v
q
；
（b）
lim q
v
。
解：（a） lim q lim 5 1 5
v
v
v
（b） lim q lim 5 1 5
v
v
v
4．运用教材图 6.3 证明：我们不能将（L＋a2）看做当 v 趋近于 N 时 q 的极限。证：教材中图 6.3 如下所示：
3 / 66

数理经济学习题参考答案

1
2
则有
6
x >0 ⇒ u =1 2
⇒ 2−x −x = 0
⇒
(2x
) 1
2
−1 x
=0
1
1
⇒ x = 0 or x = 1
1
12
⇒ x = 2 or x = 3
2
1
2
其中所用到的条件依次为第二互补条件, 第三互补条件, 第一互补条件. 由于 x = (0,2)T
不满足梯度差非负的第一个条件, 删去. 同理
kλ
l =1 1l
= 1,
kλ
l =1 2l
= 1,
且使得
∑k
y1 = λ xl 1l l =1 ∑k
y2 = λ xl 2l l =1
对于任意 λ ∈ (0,1), 由于 λλ + (1 − λ)λ ≥ 0, l = 1, 2, ", k , 且
1l
2l
因此
( ) ( ) ( ) ∑k λλ + (1−λ)λ = ∑k λλ + ∑k (1− λ)λ
11. 证明: 显然所有包含 S 的半空间的交集仍然包含 S . 现证该交集也包含于 S , 否则必存在 x 属于半空间的交集但不属于 S , 则根据凸集分离定理, 存在实数 α 与不为 0 的向量 u 使得对于任意 z ∈ S 都有
uT z > α > uT x
{ } { } 这表明 S ⊂ y : uTy ≥ α , x ∉ y : uTy ≥ α , 或者说我们找到了一个新的包含了 S 的半
x1 x1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ + (1 − λ)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜f
x2 x2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝λf

数理经济学第6章课后题答案

第六章习题答案1．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ，1max =y对于)0,1(B 来说，有112221≤=+x x ，因此该约束规格是紧的。

构建拉格朗日函数 )1(),,(2221121-++=x x x x x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥=-+==∂∂=+=∂∂01,00)1(020212221222122211x x x x x x L x x x Lλλλ⇒)0,1(B 符合T K -条件2．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的BA Ox 1x 2构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλx 1Ox 2x 2x 1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5．求解下面最优化问题（1）⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5）⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为：2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== （2）图解法可行域为314,,1055x y λ===，均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为：x 1BCAx 212112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6．考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00≥λ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=∑=λλ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

+
1 36
Var(X 2 )
+
4 9
Var(X 3)
=
1σ 36
2
+
1 36
σ
2
+
4σ 9
2
=
1 2
σ
2
，
故 Var(µˆ2 ) < Var(µˆ1) < Var(µˆ3) ，即 µˆ2 有效性最好， µˆ1 其次， µˆ3 最差．
2．设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试说明1/ X 是否为λ的无偏估计．解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)，
a2
−
2 n2
a+
1 n2
⎟⎟⎠⎞σ 2 ，
令
d da
Var(Y )
=
⎜⎜⎝⎛
n1 + n2 n1n2
⋅ 2a
−
2 n2
⎟⎟⎠⎞σ
2
=
0
，得
a
=
n1
n1 + n2
，且
d2 d 2a
Var(Y )
=
n1 + n2 n1n2
⋅ 2σ
2
>
0，
故当 a = n1 ， b = 1 − a = n2 时，Var (Y ) 达到最小 1 σ 2 ．
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《概率论与数理统计》习题及答案第六章

《概率论与数理统计》习题及答案第六章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.解样本12(,,,)n X X X 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn ni ii P X k X k X k P X k ======∏1!ik ni i ek λλ-==∏112!!!nii n k n ek k k λλ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n = 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。

解零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.xex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X 的密度为1121,0(,,,)0,.ni i ix nn x i n i ex f x x x eλλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏其它 1,2,,i n = 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。

今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。

解总体~(01)X -，即(0),(1)L M P X P X NN====于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X NN ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X NN -===⋅-若N →∞时M p N→，则1L p N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=- 012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=- 102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p pp +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。

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第六章习题答案1．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5．求解下面最优化问题（1）⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5）⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为：2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== （2）图解法可行域为314,,1055x y λ===，均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为：12112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6．考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00≥λ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=∑=λλ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

解：（1）312112(,,)(1)L x x x x x λλ⎡⎤=+---⎣⎦一阶必要条件为：211231231213(1)00(1)00,(1)0L x x L x x x x x λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪⎪=-=⎨∂⎪⎪⎡⎤---=⎣⎦⎪≥---≥⎪⎩不符合K-T 条件。

（2）此时，31200112(,,,)(1)L x x x x x λλλλ⎡⎤=+-+⎣⎦一阶必要条件为：201123123123(1)00(1)00,(1)0L x x L x x x x x λλλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪⎪==⎨∂⎪⎪⎡⎤-+=⎣⎦⎪≥-+≥⎪⎩ 当00λλ==时，符合K-T 条件7．消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为2121),(x x x x U =假设消费者的收入为12元，两种商品价格分别为2,121==p p 。

试求最优的商品组合。

解：由题意知，112212212P x P x x x +=+≤1212(,,)(212)L x x x x λλ=+-一阶必要条件为：121212020(212)00,212L x L x x x x x λλλλ⎧∂==⎪∂⎪⎪⎪∂=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎪⎩解得126,3,x x λ=== 8．求解消费者问题Mx p x p t s x x x U ≤++=221121..ln )(max α效用极大值点，并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。

解：12121122(,,)ln ()L x x x x p x p x M λαλ=+-+- 一阶必要条件为：112221122112210()00,Lp x L p x x p x p x M p x p x Mλαλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1121211,,M p x x p p p ααλ=-== 1222120000p H p x p p α⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭验证其为负定。

9．一个消费者生活在小岛上，那里只生产两种产品，x 和y ，生产可能前沿是20022≤+y x ，他消费所有的产品，她的效用函数是3xy U =，这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束，约束条件是20x y +≤ （1）写出库恩—塔克一阶条件（2）求消费者最优的x 和y ，确定约束条件是否发挥限制作用。

解：（1）32211212(,,,)(200)(20)L x y xy x y x y λλλλ=-+--+-K-T 一阶条件为：31221222212221220320(200)0(20)0,0,2000200L y x xL xy y x x y x y x y x y λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=--≥⎪∂⎪⎨+-=⎪+-=⎪⎪≥+-≤⎪⎪+-≤⎩ （2）假设第二个约束条件（定量配额）没有发挥作用，由互补松弛性得20λ=，故有312122120320(200)0y x xy y x y λλλ⎧-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得1x y λ===20x y +≤故为K-T 条件最终解。

反之21λ=32222030(20)0y xy x y λλλ⎧-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得25,15,3375x y λ===，因22200x y +>故被拒绝。

10．一家电子公司在外国设立一个发电站。

现在需要规划其产能。

电力需求的高峰时段的需求函数是11400Q P -=,非高峰时段的需求函数是22380Q P -=。

变动成本是20（两个市场都要支付），产能成本是每单位10，只要一次支付并且可以在两个时期中使用。

（1）写出这个问题的拉格朗日条件和库恩—塔克条件。

（2）求出这个问题中的最优产量和产能。

（3）每个市场分别能支付多少（即1λ和2λ的值是多少）（4）现在假设产能成本是每单位30（只需要支付一次）。

求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用（即1λ和2λ）。

11．给定最优化问题⎩⎨⎧>=≥=0,x ,,2,1)(s.t.)min m i r x G F(x y i i（1）为了得到可应用的极大化的充分条件，哪些凹—凸条件需要追加在F 和i G 上？（2）论述极小化问题的库恩—塔克条件。

解：（1）对于极大化问题，存在下列充分条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=),,2,1(,0),,2,1(,)(..)(max n i x m j b g t s f y i j jx x 如果满足：a.目标函数)(x f 为凹函数且可微；b.每个约束函数)(x jg 为凸函数且可微；c.点*x 满足库恩—塔克极大化条件。

则点*x 为目标函数()y f =x 的整体极大值点。

对于极小化问题，存在下列充分条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=),,2,1(,0),,2,1(,)(..)(min n i x m j b g t s f y i j j x x 如果满足：a.目标函数()f x 为凸函数且可微；b.每个约束函数)(x j g 为凹函数且可微； C.点*x 满足库恩—塔克极小化条件。

（2）构造拉格朗日函数])([)(),(1i mi i i r x G x f x L --=∑=λλ，如果若*x 为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数0λ≥*使得）（**λ,x 满足库恩—塔克必要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂≥≤∂∂=∂∂≥≥∂∂************mi x L x L x x L x x x x L ii i i ,,2,10),(00),(0),(00),( λλλλλλλλ12．对于下面问题，库恩—塔克充分性定理是否适用（1）⎩⎨⎧≥≥+-+-=0,4..)4()3(min 21212221x x x x t s x x y ，（2）⎩⎨⎧≥≥+-+=0,04..2 min 21212121x x x x x t s x x y 13．考虑如下模型⎩⎨⎧≥≥≥++=0,02..min 21212221x x x x t s x x y （a ）库恩—塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩—塔克极小值条件是充分必要条件吗？（b ）写出库恩—塔克条件，并求解最优值（**21,x x ）。

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