山东省2012届高考数学权威预测数列求和新人教版

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2012山东高考数学3篇

2012山东高考数学【2012山东高考数学】第一篇：数列与数列问题数列是数学中一个非常重要的概念，广泛地应用于各个领域之中。

在高中数学中，我们不仅要学习数列的基本定义和性质，还需要学会如何运用数列来解决各种问题。

本篇文章将从数列的概念、分类和应用等方面进行探讨和分析，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

1.数列的概念和分类数列是指有规律的一列数字排成的序列，其中每一个数字称作元素。

数列中的元素可能是整数、有理数、实数或复数。

数列可以使用各种方式表示，例如通项公式、递推公式等等。

根据数列的性质，我们可以将它们分为以下几类：（1）等差数列。

等差数列是指相邻元素之间的差值相等的数列。

其中，差值称为公差，通常用d表示。

例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。

（2）等比数列。

等比数列是指相邻元素之间的比值相等的数列。

其中，比值称为公比，通常用q表示。

例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。

（3）等差-等比数列。

等差-等比数列是指相邻元素之间的和或差构成的数列，其中，公差和公比不一定相等。

例如，1，2，5，10，17就是一个公差为1，公比为2的等差-等比数列。

（4）斐波那契数列。

斐波那契数列是指第一、第二个元素为1，之后的元素是前两个元素之和的数列。

例如，1，1，2，3，5，8，13就是一个斐波那契数列。

2.数列的应用数列广泛应用于各种数学问题中，例如：（1）求和问题。

有些问题可以通过计算数列的和来解决，例如等差数列和等比数列的求和公式分别为：等差数列和公式：Sn=(a1+an)n/2等比数列和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q)其中，a1表示数列的首项，an表示数列的末项，n表示数列的项数，q表示数列的公比。

（2）递推问题。

有些问题可以通过递推数列中的元素来解决。

例如，第n项是前两项之和的斐波那契数列，可以用递推公式Fn=Fn-1+Fn-2来求解。

（3）变形问题。

有些问题可以通过对数列进行变形来解决。

2012届高考复习：数列求和的基本方法和技巧

2012届高考复习：数列求和的基本方法和技巧D数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n n n3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n kS nk n5、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn xx x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值.nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n nnS2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n nnS1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +.[例5] 求证：nn nnnnn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n nmnC C -=可得nnn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得nnn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin2222222++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aaa n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f an-+= （2）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设nn n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S（裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1-＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵)180cos(cos n n --=（找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0[例13] 数列{a n }：nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a+⋅⋅⋅+++ 由nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a（找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ＝2002200120001999a a a a+++＝46362616+++++++k k k k a a a a＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a Sn+⋅⋅⋅++=由等比数列的性质qp n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k 个个（找通项及特征）∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝11 )4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅＝313说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

2012高考名师预测数学试题：知识点03 数列.pdf

高考猜题专题03 数列一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分） 1．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（） A．40 B．42 C．43 D．45 已知数列{an}为等差数列，若0的n的最大值为( ) A．11 B．19 C．20 D．21 在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　) A. B. C.或 D．－或－的前项和为.若是的等比中项, ,则等于A. 18B. 24C. 60D. 90 5已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是（）A.511B. 1023C.1533D.3069 6数列{an}的通项公式为an＝，则它的前100项之和S100等于( ) A．200 B．－200C．400 D．－400 在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于( ) A．(2n－1)2 B.(2n－1)2 C．4n－1 D.(4n－1) 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260 .978 B.557 C.467 D.979 10设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 (　) A． B．C． D．设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值等差列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则使得为整的正整n的个是( ) A．3 B．4C．5 D．6蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.中，，则数列的前n项和Sn的最小值为： 15 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．16．对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于两点，则数列的前项和公式是．17．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95. (1)求a1，a2； (2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．18．已知{an}是首项为a1，公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn. (1)求q的值； (2)数列{bn}能否是等比数列？若是，请求出a1的值；若不是，请说明理由．与满足：，，且．（Ⅰ）的值；（Ⅱ），证明：、、，满足向量与向量共线。

2012年高考试题分项解析数学(文科)专题04 数列(教师版).pdf

第25课河中石兽教学目标 1．理解实践出真知道的道理。

2．积累文言词汇，掌握古汉语的意义和用法。

3．训练阅读浅近文言文的能力。

教学重、难点1．重点（1）积累文言词汇，掌握古汉语的意义和用法。

（2）训练阅读浅近文言文的能力。

2．难点：理解实践出真知道的道理。

课时划分二课时教学投计第一课时教学过程一、预习 1．熟读课文，读准下列加点字的读音。

圮（pǐ）募（mù）棹（zhào）（fèi）湮（yān）啮（niè）溯（sù）欤（yù）2．查字典，看课文注释，试翻译课文。

二、导语俗话说：“没有调查，就没有发言权”。

有一则故事记载，某土地庙前石兽因河岸崩塌掉入河中。

十多年后重修山门，寻找石兽，它却不在原落水处，也不在下游。

一位老兵说，应该在上游寻找，依他的话，果然捞出了石兽。

石兽为什么会向上游“跑”呢？今天我们来学习《河中石兽》一文，从中找出答案。

三、正课 1．交流作家作品资料。

作者纪的，字晓岚。

乾隆十九年（1754）进士。

学部渊博，曾任翰林院编修、侍读学士。

因获罪遗戍乌鲁木齐。

释放回京后，任《四库全书》总纂官，编定《四库全书\总目提要》在目录上学上贡献很大。

著有《阅微草堂笔记》等。

本文选自《阅微草堂笔》，是纪昀晚年所作的一部文言笔记小说，题材料妖怪鬼狐为主，但于人事异闻、名物典故等也有记述，内容相当广泛。

2．朗读课文。

3．就课文不理解的词语质疑。

现在小组内质疑小组不有解决的交全班讨论。

四、课堂小结 1．古今异义：古义：一起二石兽并沉焉。

今义：并列阅：古义：经历阅十余今义：阅读是非木柿是：古义：代词这今义：判断词是盖：古义：发语词盖石性坚重今义：有遮蔽作用的器物但：古义：只但矢其一今义：表转折但是，却 2．一词多义去：岂有为暴涨携之去离去西蜀之去南海距离为：岂能为暴涨携之去被必于石下迎水外啮沙为坎穴成为橘生于淮南则为橘是为其来也在 3．词性活用棹名词用为动词划船4．汉字能假同“癫”，疯五、布置作业 1．完成课后理解与探究第三题。

2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题3 第10讲数列的递推关系与数列的求和

第10讲│ 主干知识整合 10讲
类型 4：an＋1＝pan＋f(n)(f(n)＝kn＋b) ：＝＋解法(待定系数法只需把原递推公式转化为：待定系数法)：解法待定系数法：只需把原递推公式转化为：an＋1＋g(n＋1)＝p[an ＋＝求解．＋g(n)]，其中 g(n)＝tn＋s，再构造等比数列 n＋g(n)}求解．，＝＋，再构造等比数列{a 求解类型 5：an＋1＝pan＋qn(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)(或 an＋1＝：其中，均为常数，－ ≠ 或 pan＋rqn，其中 p，q，r 均为常数．，，均为常数)． an＋1 p an 1 n ＋1 解法：一般地，解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q ， n＋1＝q· qn＋q，得 q an p 1 其中 n＝ n， bn＋1＝ bn＋，引入辅助数列{b 再用待定系数法解决．引入辅助数列 n} 其中b q 得 q q 再用待定系数法解决．
第10讲│ 主干知识整合 10讲
2．数列求和． (1)转化为等差、等比数列利用公式求和．转化为等差、转化为等差等比数列利用公式求和． (2)错位相减求和，错位相减求和，适应于等差数列和等比数列对应项的积构成的新数错位相减求和适应于等差数列和等比数列对应项的积构成的新数列．倒序相加法求和， (3)倒序相加法求和，倒序相加法求和适用于等差数列与组合数的积构成的数列或数列与函数中心对称相结合的问题．与函数中心对称相结合的问题． (4)裂项相消法求和，将通项拆成若干项的差而进行求和的方法．裂项相消法求和，裂项相消法求和将通项拆成若干项的差而进行求和的方法．除此之外，还有分组求和、并项求和、拆项求和、归纳猜想数学归纳除此之外，还有分组求和、并项求和、拆项求和、法证明等方法．法证明等方法．

山东省2012年高考数学冲刺预测试题之预测卷(5)数学(文)

预测题（5）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,2{=B ，则=)(B A C U （）2．3． 4 5 6．则第三组的频率是（）A ．0.12B ．0.21C ．0.15D ． 0.287．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 78910于111213n 11122012301030立．类似地，在正项等比数列{}n b 中，有_____________________成立．14．给出下列命题：①对∀实数y ，都∃一个实数x ，使得43y x =；②两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是|a +b |=|a -b |；③如果两条直线b a ,和平面M 满足M a ⊥，且M b ⊥，则b a //；④∃一个实数x ，使230x x -+≤.其中，假命题的序号是_________. 15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A. （不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解集为以2:l 161718 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点．（I ）证明：//PA BDE 平面；（II ）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积．19．(本小题满分12分)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：其中1234567i =，，，，，，．（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图．，20A 、B 两点，若||23AB =，求直线 21．(本小题满分14分) 已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++-. （I ）当2a >时，求函数()f x 极小值；（II ）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数.一、选择题1．B ．(){1,24}{3}.U U C A B C == ， 2．C .22(1)1211i i i i i-+=+-=--. 3．B . 因为tan 1k θ=<-，0θπ≤<，所以34πθπ<<. 4．B ．由题意知02πθ-<<，从而tan 0θ<.此时有5．6． 7．选8．数3)9．的最小值为3．10．D ．设),(y x p ，则(,),(,),a aM y y N y y b b- 于是 (,0)(,0)a aPM PN y x y x b b⋅=-⋅-- ()()a a y x y x b b =---22222222222221()a a b x y b x a y a b b b=-=-==，所以 2PM NP PM PN a ⋅=-⋅=- .11．. ∵180754560A ∠=--= .∴10sin 45sin 60x = ，∴x =. 12．④. 用三视图的概念容易做出只有圆锥满足题意，应填④. 13．30302110201211b b b b b b =.由算术平均数类比几何平均数，容易得出30302110201211b b b b b b =.14．①④. 分别判断命题如下：于x ，2令222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+. 所以，单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. ……………………6分（II ）解法1：当]3,0[π∈x ，112,4412t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，由11,,412y t t ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图象可知，当2t π=时，y 9分当1112t π=时，y111122π=.所以，值域12⎣. ……………………12分解法2：若30π≤≤x ，则1211424πππ≤+≤x ，4sin 426)64sin(12sin 1211sin πππππ<-=-==, ……………………9分17所以21n n a =-. …………………………………….12分解法2：由已知得12n n n a a +-=, 则212a a -=；2322a a -=； 3432a a -=；112n n n a a ---=(2)n ≥.累加得23112222n n a a --=++++ . 即2311222221n n n a -=+++++=- .当1n =时，11a =也成立，所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-．………..12分 18．（I ）连接,A C 交BD 于O ，连接EO . …………2分19．（Ⅰ）散点图如图………………………………………………4分（Ⅱ）7i=13245i ix y=∑，25x =，15.43y =，7215075i i x ==∑，2()4375n x =∴71722170.797()i ii ii x y x yb xx ==-⋅=≈-∑∑， ………………………………………………7分20和（因为OQ OM ON =+ ，所以()()00,,2x y x y = 即0x x =，02yy =. ………………8分又因为22004x y +=，所以224(0)4y x y +=≠，所以Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠， ………………11分这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点 . …………13分21．（I ）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a=-++=-- ………3分 ()f x 极小值为(1)2af =-. ………6分（II。

2012年高考数学考点25 数列求和及综合应用

考点25 数列求和及综合应用一、选择题1.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（）（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和. 【解析】选D.()1121nn n a a n ++-=-，213141511,2,7,,a a a a a a a a ∴=+=-=-=617181919,2,15,a a a a a a a a =+=-=-=，10111112117,2,23a a a a a a =+=-=-…，571a a =，581113a a =+，5912a a =-，601115a a =-，()12601234a a a a a a a ∴+++=++++…()()567857585960+a a a a a a a a +++++++…102642+234=+++…＝()151********2⨯+=.二、填空题2.（2012·新课标全国高考理科·T16）数列{}n a 满足()11nn n a a ++-=2n-1，则前60项和为【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和. 【解析】()1121nn n a a n ++-=-，213141511,2,7,,a a a a a a a a ∴=+=-=-=617181919,2,15,a a a a a a a a =+=-=-=，10111112117,2,23a a a a a a =+=-=-…，571a a =，581113a a =+，5912a a =-，601115a a =-，()12601234a a a a a a a ∴+++=++++…()()567857585960+a a a a a a a a +++++++…102642+234=+++…＝()151********2⨯+=.【答案】1830.3.（2012·某某高考文科·Ｔ17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。

高考数学解答题(新高考)数列求和(奇偶项讨论求和)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数角度1：求n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前2n 项和2n T角度2：求n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前n 项和n T类型二：通项含有(1)n -的类型；例如：(1)nn n c a =-类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型例题类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数角度1：求n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前2n 项和2n T例题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足24692,,,a a a a =成等比数列．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足()22N n n S b n *=⋅-∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足211,,n n n n n n a a c a n b ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧，由于奇偶项通项比较复杂，可设；，则（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）分组求和当为奇数当为偶数，两式相减得：综上：【答案】(1)n a n =；2nn b =(2)2255212n n n n T n +=+-+ (1)由题：46922,24,27a d a d a d =+=+=+，∵2649a a a =⋅，即()()()2242227d d d +=++得：1d =，即n a n = 当1n =时，12b =，当2n ≥时，22n n S b =⋅-，1122n n S b --=⋅-，两式相减整理得12nn b b -=，即数列{}n b 是以首项12b =，公比2q的等比数列∴2nn b =(2)当n 为奇数时，1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1352111111112335212121n n nA c c c c n n n -⎛⎫=++++=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 当n 为偶数时，n c =23521222n n n B +=+++， 231135212122222n n n n n B +-+=++++ 两式相减得：23111113222213121525122222222222n n n n n n n n n B +-+++++=++++-=+--=- 得：2552n nn B +=-2255212n n n n n n T A B n +=+=+-+角度2：求n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前n 项和n T例题2．（2022·山东日照·模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，2n n a ka +=（1k ≠），n *∈N ，23a a +，34a a +，45a a +成等差数列．(1)求k 的值和{}n a 的通项公式；(2)设22log n n na nb a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S ．第（2）问解题思路点拨：由（1）知，代入即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧当为偶数时，数列{的前项中有个奇数项，有个偶数项．（注意到本例求解的，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：21n b -++1n a -+，注意到最后一项n 为偶数，再利用1n n a -+，其中奇数项，偶数项各为【答案】(1)2k =，12222n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数(2)12221,38211,38n n n n nn S n n +⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为偶数为奇数 (1)解：23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，所以()3423452a a a a a a +=+++，得5342a a a a -=-，得()()2311k a k a -=-，因为1k ≠，所以322a a ==，所以312a k a ==，得12222n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数． (2)由（1）知，122n n n b n n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数当n 为偶数时，设n ＝2k ，可得21321242n k k k S S b b b b b b -==++⋅⋅⋅+++++()022212222422k k -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ()()22114141142232k k k k k k ++--=+⨯=+-，即()22138n n n nS +-=+；当n 为奇数时，设n ＝2k －1，可得2113212422n k k k S S b b b b b b ---==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ()0222122224222k k -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+- ()()()2221114141142232k k k k k k +-----=+⨯=+-，即1221138n n n S +--=+．综上所述，()12221,38211,38n n n n nn S n n +⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为偶数为奇数.类型二：通项含有(－1)n的类型通项含有(1)n -的类型；例如：(1)nn n c a =-例题3．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））在数列{}n a 中，33a =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*112n n S a n n =+∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)()*n a n n =∈N (2)2*2*,,2,.2n n nn N n T n n n N n ⎧+-∈⎪⎪=⎨+⎪∈⎪⎩且是奇数且是偶数第（2）问解题思路点拨：由题意知，求，代入：注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：(1)因为()112n n S a n =+，所以()12n n nS a =+．所以当2n ≥时，()11112n n n S a ---=+．两式相减，得()()1211n n n a na n n a n -=+----，即()()1211n n n a n a --=--．所以()111n n n a na +-=-．相减得()()()11121n n n n n a n a na n a +----=--，即112n n n a a a -+=+．所以数列{}n a 是等差数列．当n ＝1时，()11112a a =+，解得11a =．所以公差31131a a d -==-．所以()()*11n a n n n =+-=∈N ． (2)()()2211nnn nb a n =-=-⨯，当n 为奇数时，()()22222212311212n n nT n n n +=-+-+⋅⋅⋅+-⨯=++⋅⋅⋅+--=-⎡⎤⎣⎦；当n 为偶数时，22222123122n n n T n n +=-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=．综上所述，2*2*,,2,.2n n n n N n T n n n N n ⎧+-∈⎪⎪=⎨+⎪∈⎪⎩且是奇数且是偶数例题4．（2022·重庆八中模拟预测）已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，2319a a a =⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列()()24141nnn a b n n +=-∈-N ，数列化{}n b 的前2n 项和为2n T感悟升华（核心秘籍）（1）对比例题3，例题4，通项都含有“(1)n-”，在求和时都使用（连续两项分组求和法：即连续的两项分一组）；不同的是，例题3求前n 项和nT ；例题4求前2n 项和2nT ；（2）对于例题3求123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+，其中最后一项代入，是取“正”还是取“负”不确定，故需讨论n 为奇数还是偶数，在讨论时，作为核心技巧，先讨论n 为偶数，再利用n 为偶数的结论，快速求n 为奇数的和；；（3）对于例题4求21234212n n n T b b b b b b -=++++++，注意到最后一项2n b 一定是正，故不需要讨论；【答案】(1)*,N na n n =∈(2)21141n T n =-++ (1)公差d 不为零的等差数列{}n a ，由2319a a a =⋅， ()()211182a a d a d +=+，解得1a d =.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数项和，代入最后一项，一定是正，故不需要讨论）分组求和又31336S a d =+=，可得11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，所以*,N na n n =∈.(2)解：由（1）可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭， 211111111113355743414141n T n n n n ∴=--++--+--++---+1141n =-++，类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题例题5．（2022·江西赣州·二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22n n S a n *=-∈N(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知()2cos log n n b n a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．感悟升华（核心秘籍）第（2）问解题思路点拨：由题意知，求，注意，所以可化简为：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正”还是取“负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，，整理：综上：【答案】(1)2n n a =(2),;1,.n n n T n n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数(1)当1n =时，1122S a =-，即12a = 当2n ≥时，1122n n S a --=-，即12a =所以1122n n n n n a S S a a --=-=-得()122n n a a n -=≥ 即{}n a 以12a =为首相，公比为2的等比数列所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =(2)()()()cos 2cos 12nn n b n a n n n ππ=⋅=⋅=-⋅①当n 为偶数时，1232468102n n T b b b b n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+ 22nn =⋅= ②当n 为奇数时，1231n n n n T b b b b T b -=+++⋅⋅⋅+=+ ()12212n n n -=⋅+-=-- 综上：,;1,.n n n T n n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数三、题型归类练1．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列{}n a 的前n 项和为112n n S a +=-，且214a = (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()0.5*log ,,n n n a n b n N a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ；【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)211334nn +-⨯ (1)在数列{}n a 中，由112n n S a +=-可知1212n n S a ++=-，两式作差可得()()1211212n n n n S a S a +++---=-，即2112n n a a ++=，当1n =时，1212S a =-，，即112a =，211412a a ==，所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，即1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)由（1）知()*,1,2nn n n b n N n ⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()211113214162n n ⎛⎫=+++-++++ ⎪⎝⎭()111441211214nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦=+-211334nn =+-⨯.2．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，14nn n a a +⋅=，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若2log ,,1,,n n n a n b a n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】(1)12,,2,.n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数(2)1224433n n S n +=+-(1)由题意，当1n =时，24a =，因为14n n n a a +⋅=①，则1124n n n a a +++⋅=②，可得24n na a +=，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列.因为11a =，24a =，所以当n 为奇数时，1112142n n n a a +--=⨯=；当n 为偶数时，12242nn n a a -=⨯=.综上，12,,2,.n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (2)由（1）得1,,21,,n n n n b n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数∴()()21321242n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()41422214nn n n ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦124433n n +=+-. 3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，19nn n a a +⋅=，N n *∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若13log ,1,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】(1)13,3,n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数(2)1229898n n n S +--= (1)解：由题意，当1n =时，129a a =，可得29a =，因为19n n n a a +⋅=，可得1129n n n a .a +++=，所以，29n na a +=，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列.所以当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则1221211933k k n n k a a ----==⋅==，当n 为偶数时，设()2N n k k *=∈，则12299933k k k nn k a a -==⋅===.因此，13,3,n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数. (2)解：由（1）得1,31,n n n n b n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，()()21321242n n n S b b b b b b -∴=+++++++()()2462024223333n n n =-----+++++-⎡⎤⎣⎦()()12919229892198nn n n n n +----=-+-=-.4．（2022·福建三明·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()122n n S n a +-+=，210a =，1n n b a =-． (1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设332,1,log log n n nn b n c n b b +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前21n 项和21n T +．【答案】(1)证明见解析(2)()232133841n n nT n ++-=++ (1)证明：对任意的N n *∈，1224n n S a n +=+-，当1n =时，则有12228a a =-=，解得14a =，当2n ≥时，由1224n n S a n +=+-可得1226n n S a n -=+-，上述两个等式作差得122n n n a a a +=-+，所以，132n n a a +=-，则()1131n n a a +-=-，所以，13n n b b +=且1113b a =-=，所以，数列{}n b 是等比数列，且首项和公比均为3.(2)解：由（1）可知1333n nn b -=⨯=，所以，()3,1,2n n n c n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，所以，()1321211113332446222n n T n n ++=++++++⨯⨯+()()3211113332446222n n n +⎡⎤=+++++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦()21339111119412231n n n +⎡⎤-⨯=++++⎢⎥-⨯⨯+⎣⎦()232333111111331842231841n n nn n n ++--⎛⎫=+⨯-+-++-=+ ⎪++⎝⎭. 5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列{}n a 中，21,,2,n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)求1a ，2a ，3a ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)11a =，24a =，35a =(2)212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 (1)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以12111a =⨯-=，2224a ==，32315a =⨯-=，(2)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以1a ，3a ，5a ，是以1为首项，4为公差的等差数列，2a ，4a ，6a ，是以4为首项，4为公比的等比数列．当n 为奇数时，数列的前n 项中有12n +个奇数项，有12n -个偶数项．所以()()1231322431n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++12211141411242214221423n n n n n n n -+⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-；当n 为偶数时，数列{{}n a 的前n 项中有2n 个奇数项，有2n个偶数项．所以()()1231331242n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++2224141242214221423nn n n n n n +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-．所以212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a +=；（2）,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数【详解】（1）当1n =时，11239S a =-.因为11S a =，所以11239a a =-，所以19a =. 因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列.所以11933n n n a -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11n nn n b a n =-=-+故当n 为偶数时，()()()234512n nT n n ⎡⎤=-++-++⋯+-++=⎣⎦当n 为奇数时，()()()()()123451112n n T n n n n -⎡⎤=-++-++⋯+--+-+=-+⎣⎦ 32n +=-所以,23,2n nn T n n 为偶数为奇数⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩ 7．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，()112,1n n n a n a a a +=-=+. （1）求证：数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列；（2）令(1),nn n n b a S =-为数列{}n b 的前n 项和，求使得99n S ≤-的n 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为67. （1）由()11n n n n a a a +-=+得：()111n n na n a +=++，即()1111n n a a n n n n +=+++ 11111n n a a n n n n +∴=+-++，即有111,1n n a a n n +++=∴+数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列；（2）由（1）知：()1113,31,(1)31n n n n a a a n b n n+=+=∴=-∴=-- 即()31,31,n n n b n n -⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，∴当n 为偶数时，()()()()32581134312n nS n n ⎡⎤=-++-+++--+-=⎣⎦，显然99n S -无解；当n 为奇数时，()()11313131122n n n n n S S a n ++++⎡⎤=-=-+-=-⎣⎦，令99n S ≤-，解得：66n ，结合n 为奇数得：n 的最小值为67. 所以n 的最小值为67.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知{n a }是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且满足12n n nS a a =+. (1)求证:数列{2n S }为等差数列； (2)设()1nnnb a =-，求{n b }的前64项和64T .【答案】(1)证明见解析；(2){}n b 的前64项和648T =. (1)∵ 12n n nS a a =+，所以221n n n S a a -= 当2n ≥时，有1n n n a S S -=-，代入上式得()12n n n S S S -- ()211n n S S ---=整理得()22112n n S S n --=≥.又当1n =时， 211121S a a -=解得11S =；∴数列{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由（1）可得211n S n n =+-=，∵{}n a 是各项都为正数，∴n S ，∴12)n n n a S S n -=-=≥，又111a S ==，∴n a则(1)(1)n nn n n b a -===-，6411)T ∴=-+-+⋅⋅⋅-+=11-+⋅⋅⋅8，即：648T =.∴{}n b 的前64项和648T =．9．（2022·辽宁·模拟预测）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1522a a +=，()22n n S n a n =-+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()1821nn n n n b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前21n 项和21n T +．【答案】(1)41n a n =-(2)8102421n n +-+(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ．由1522a a +=，得311a =，由()22n n S n a n =-+，得()2222S a =-，又21222S a a a d =+=-，解得4d =，所以()3341n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1821nn n n n b a a ++=-⋅， ()()()8214143+=-⋅-+nn n n ，()1114143⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭n n n ，所以21123221++=+++++n n n T b b b b b ，111111113771111158183⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n 118387⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭n n ， 11387=--+n ，8102421+=-+n n .10．（2022·山东济宁·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =，数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和. 【答案】(1)3n n a =，2nn b =(2))187n - (1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3161216157a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d ==，所以，()111333n na n =+-=，当1n =时，21222b ，当2n ≥时，112122n n n b b b b +-++++=-，可得12122n n b b b -+++=-，上述两个等式作差可得1222n n nn b +=-=，12b =也满足2n n b =，故对任意的N n *∈，2n n b =.(2)解：由（1）可得2tan3nn n c π=，设(323132323132202n n n n n n n p c c c -----=++=⨯+=，所以，18nn p p +==，所以，数列{}n p 是等比数列，且首项为1p =-8，因此，数列{}n c 的前3n 项和为))31818187n n n T ---==-.11．（2022·陕西西安·三模（理））设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足11b =，121n n b b +=+． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求10021πsin 2kk k aa =⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭∑的值．【答案】(1)n a n =，21nn b =-；(2)5000-.(1)设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得()()()31211133637S a d a d a d a d =+=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式n a n =． ∵121n n b b +=+，∴()1121n n b b ++=+，即1121n n b b ++=+（*n ∈N ），又11b =， ∴{}1n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，12nn b +=， ∴21nn b =-．(2)当2k m =，*m ∈N 时，()22πsin 2sin π02k k a a m m ⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，当21k m =-，*m ∈N 时，()()()2122π21sin 21sinπ12122m k k m a a m m +-⎛⎫⋅⋅=-=-⋅- ⎪⎝⎭， ∴10022222221πsin 135797992kk k aa =⎛⎫⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭∑()()()()()()1313575797999799=-++-++⋅⋅⋅+-+()2135797995000=-⨯++++⋅⋅⋅++=-．12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）数列{}n a 满足116nn n a a +=，12a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2sin 2n n n b a π=，求数列{}n b 的前20项和20S ．【答案】(1)212n n a -=(2)()4022115- (1)116nn n a a +=11216n n n a a +++∴=，两式相除得：216n na a +=，当21n k =-时， 1357211352316k k k a a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯= 121216k k a --∴=⨯ ，212n n a -∴=当2n k =时， 168242462216k kk a a a a a a a a --⨯⨯⨯⨯= 12816k k a -∴=⨯，212n n a -∴=综上所述，{}n a 的通项公式为：212n n a -=(2)由（1）知：212n n a -∴=2212sin 2n n n b π-∴= ∴ 数列{}n b 的前20项和：20123419201357373949163614002sin2sin2sin 2sin 2sin2sin 222222S b b b b b b ππππππ=++++++=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅1537373993614164002sin 2sin 2sin2sin 2sin 2sin222222ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()104401593337404421222122222221122115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=+++++===--- 13．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()213n n S a =-，*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记sin2n n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前100项的和100T . 【答案】(1)()2nn a =-，n *∈N (2)101225- (1)当2n ≥时，()()11221133n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12nn a a -=-，又()111213a S a ==-，得12a =- 则数列{}n a 是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则()2nn a =-，n *∈N(2)当4,n k k N *=∈时，()4442sin 02k kk b π=-⋅=，当41,n k k N *=-∈时，()()444111412sin22k k k k b π----=-⋅=，当42,n k k N *=-∈时，()()4242422sin 02k k k b π---=-⋅=，当43,n k k N *=-∈时，()()444333432sin22k k k k b π----=-⋅=-，则()()5973799100123100222222T b b b b =++++=-+++++++()()25254334101442222222212125-⋅-⋅-=-+=--。

2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题3 第10讲数列求和及数列应用

第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)甲企业的产值比乙企业的产值要大．设从 2010 年 1 月到 2011 年 1 月甲企业每个月的产值分别是 a1，a2，…， a13，乙企业每个月的产值分别记为 b1，b2，…，b13.由题意{an}成等差数列， {bn}成等比数列．∴a7＝12(a1＋a13)，b7＝ b1b13. 又 a1＝b1，a13＝b13，∴a7＝a1＋2 a13> a1a13＝ b1b13＝b7，即 2010 年 7 月甲企业的产值大． (2)设一共用了 n 天，则 n 天的平均耗资为 P(n)，则 P(n)＝3.2×104＋n5＋n＋ 21049n＝3.2×n 104＋2n0＋92.9，当且仅当3.2×n 104＝2n0时 P(n)取得最小值，此时 n＝800，故日平均耗资最小时使用了 800 天．
第10讲 │ 要点热点探究
► 创新链接6 数列中的不等式问题
高考对不等式的综合考查主要是三个方面，一个在函数导数的综合题中使用不等式讨论函数性质，一个是在解析几何中使用不等式确定直线与曲线的位置关系、解决范围最值等问题，再一个也是难度最大的一个就是在数列中考查不等式．在数列中考查的不等式的主要类型为结合数列的通项与求和，然后证明不等式，探究不等关系，求最值等．
an＋1，记 n
Sn＝k∑＝n 1bk，证明：Sn＜1.
【分析】 (1)问是常见的考查整体代换思想问题；(2)问涉及的类型为常见的求和方法问题，关键是化简的方法．
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【解答】 (1)由题设1 1 的等差数列．又1－1 a1＝1，故1－1an＝n.所以 an＝1－n1. (2)证明：由(1)得
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【点评】本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能，看下面的变式．

2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题数列(教师版)

2012年高考数学备考冲刺之易错点点睛系列三数列教师版一、高考预测数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．二、知识导学要点1：有关等差数列的基本问题1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题； 2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d ＞0,递增；d ＜0，递减）；3．证明数列{n a }为等差数列有如下方法：①定义法；证明1n n a a d +-=（与n 值无关的常数）；②等差中项法：证明112(2,)n n n a a a n n N *-+=+≥∈。

2012年高考数学考前模拟预测试题三

2012年高考考前预测三第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {y |x 2+y 2=1}和集合B = {y |y 2= x 2}，则A I B 等于( )A ．( 0，1 )B ．[ 0,1 ]C ．( 0，+∞ )D ．{( 0，1 )，( 1，0 )} 【答案】B【解析】本题考查集合的基本运算,容易得出选项B 正确. 2.(34)i i +⋅ （其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为(34)i i +⋅=43i -+,所以在复平面上对应的点位于第二象限,选B. 3. “1a =”是“函数()lg()f x ax =在(0,)+∞单调递增”的（）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】显然函数()lg(1)f x x =+()lg(21)f x x =+在(0,)+∞上均单调递增，所以“1a =”是“函数()lg(1)f x ax =+在(0,)+∞单调递增”的充分不必要条件.4．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A ．若,l m m α⊥⊂ ，则l α⊥B ．若,//l l m α⊥，则m α⊥C ．若//,l m αα⊂，则//l mD ．若//,//l m αα，则//l m 【答案】B【解析】当两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另外一条也垂直这个平面，故选项B 中的结论正确.5．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．8B ．203 C ．173 D ．143【答案】C几何体是正方体截去一个三棱台，311172(22323V =-⋅+⨯=.6.已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a，则向量a 与c 的夹角为( )A ．︒60B ．︒90C ．︒120 D ．︒150【答案】B【解析】本题考查平面向量的有关知识.7．若实数x ，y 满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x ，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3B ．25 C ．2D ．22【答案】C【解析】可行域为直角三角形，其面积为12.2S =⨯=8.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )A ．30 B ．31 C ．24 D ．33【答案】B【解析】切线长的长短由该点到圆心的距离来确定.即圆心()4,2-到直线2+=x y 的最短距离.d ==9．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字 0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则一定有（）A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．12,a a 的大小不确定【答案】B 【解析】1284,85a a ==.10.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( )A ．89 B ．910 C ．1011 D ．1112【答案】B 【解析】1111223910+++=⨯⨯⨯ 910,故选B. 11.要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( ) A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位【答案】C【解析】因为y ＝sin(2x －π3)= sin2(x －6π),故选C.12.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表。

【三年考点汇总】2012年高考数学考点汇总10数列求和(人教大纲版)

考点10 数列求和
一、选择题
1.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（）
【解题指南】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用，通过a5=5，S5=15，求出和，进而求出等差数列的通项公式，利用裂项法求和.
【解析】选A.，解得，则，
，
.
2.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）已知数列的前和为，，，则（）
A. B. C. D.
【解题指南】思路一：利用公式，求出之间的关系.
思路二：采用特殊值法，求出，在四个选项中求进行验证.
【解析】选B.方法1：当时，，
当时，，解得，
，，.
方法2：，..
3.（2012·重庆高考理科·Ｔ1）在等差数列中，则的前项的和 ( )
(A) (B) (C) (D)
【解题指南】直接根据等差数列的性质即可求出前项的和的值.
【解析】选B. 因为为等差数列,且
则.
二、解答题
4.（2012·重庆高考文科·Ｔ16）已知为等差数列,且,
(1)求的通项公式;
(2)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值.
【解题指南】直接根据等差数列、等比数列的定义及等差数列的前项和公式求解即可.
【解析】(1)设数列的公差为,由题意知
,解得
所以.
(2)由(1)可得
因成等比数列,所以
从而,即,解得或(舍去) 因此.。

2012高考数学名师定位专题训练03 数列理 (教师版).pdf

高考学习网2-1精品系列数学（理）2012版专题2012版高考数学 3-2-1精品系列专题03 数列理（教师版）03 数列（1）数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. （2）等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 考纲解读：数列难度降底，得分率提高，但要全对还得加大基本功训练；选择填空题重点考查等差（比）数列的性质；解答题中重点考查通项公式、求和；重视求和中的错位相减法、裂项相消求和等；递推数列不要研究太深，只掌握基本的就行。

近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2012年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题. 【考点pk】名师考点透析考点一等差、等比数列的概念与性质例1：已知为等比数列，且（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求. 解：设，由题意，解之得，进而（1）由，解得（2）例2：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0。

(新人教)2012届高三数学第二轮复习数列综合应用问题

14 数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2.解：∵S n =1+3121++…+n1.(n ∈N *)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又Λ∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n ) min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［log m (m －1)］2＜1解得m ＞251+且m ≠2. ●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…).(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)求b n 和nn S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；(3)设r =219.2－1，q =21，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；(3)求lim ∞→n x n .参考答案难点磁场解：(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1.∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则①②⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］歼灭难点训练一、1.解析：当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=a∆，得d n =)1(1+n n ，∴d 1+d 2+…+d n1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n ΛΛΛ答案：A 二、2.解析：由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得：2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3.又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,∴P 1(2,2),P 2(3,4).∴21),2,2(OP OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP110252221sin ||||21102sin ,102722514||||cos 21212121212121=⨯⨯⨯==∴=∴=⨯==∴∆OP P OP S OP P OP OP OP P P OP答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－a b )升，第二次有纯酒精a (1－ab)－b a a ba )1(-，即a (1－a b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－ab )n 升. 答案：a (1－ab )n4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).答案：120000 三、5.解：(1)由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q 2－q －1＜0，解得251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜251+; (2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a qa q a a a a ab b q a a a a a a nn n n n n n n n n n n n n n n .b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1. 当q =1时，S n =n (1+r ),1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n nn nn n n n n nn n n n n n n n q r b q q r qS q r q S qq r S q r qq r q S q q r S q r n S 有由所以时当时当.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n qn r q n r q r q r b b n n n nnn n b b C 212log log +=记,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减小，故1＜C n ≤C 21=1+8.0112.20211+=-=2.25 ① 当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小，故1＞C n ≥C 20=1+2.0112.20201-=-=－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21,故{C n }的最大项C 21=2.25，最小项C 20=－4.6.解：(1)第1位职工的奖金a 1=n b ，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n1)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金a k =n 1 (1－n1)k －1b ;(2)a k －a k +1=21n(1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－n1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n 1)k b .得P n (b )=f n (b )=(1－n1)n b ,故eb b P n n =∞→)(lim .7.解：设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)(2)S 6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， ∴从1996年到2001年共节约：84104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3 平方公里.8.解：(1)当n ≥3时，x n =221--+n n x x ; aa x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测a n =(－21)n -1a (n ∈N ) 证法一：因为a 1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以a n =(－21)n -1a .证法二：用数学归纳法证明：(ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－21)0a ,公式成立；(ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－21)k －1a 成立.那么当n =k +1时，a k +1=x k +2－x k +1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++.)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－21)n -1a 成立.(3)当n ≥3时，有x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1 =a n －1+a n －2+…+a 1,由(2)知{a n }是公比为－21的等比数列，所以32)21(1lim 1=--=∞→a x n n a .。

2012届高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和

2012届高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和1。

求数列1357,,,,24816⋅⋅⋅,212n n -的前n 项和。

2 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和。

3。

求数列a,2a 2,3a 3,4a 4，…,na n ,…(a 为常数）的前n 项和.4. 求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++5。

求数列311⨯，421⨯,531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S6。

数列{a n ｝：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002。

7。

求数5,55，555,…，55…5 的前n 项和S n8。

已知数列{}n a 是等差数列,且1171713951=+-+-a a a a a ，求153a a +的值.9。

已知数列{}n a 的通项公式为n n a n ++=11 求它的前n 项的和.10。

在数列{}n a 中，).2(122,121≥-==n S S a a n n 证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，并求出S n 的表达式.11。

数列{}n a 为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n 项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54。

求其首项a 1及公比q 。

12. 已知数列!)1(!32!21++++=n na n 求2008a .13. 设{}n a 为等差数列，S n 为数列{}n a 的前n 项和,已知S 7 = 7，S 15 = 75. 记T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求T n 。

14. 求数列)2112(815,413,211n n +- 的前项和15。

已知:n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S 。

16. 求和222222100994321-++-+- .17.()()111112323434512n S n n n =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯++，求n S 。

山东省高考数学权威预测数列求和新人教版

2011届山东新课标高考数学权威预测：数列求和★★★高考在考什么【考题回放】1.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ D ）A.2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32(81)7n +- D.42(81)7n +- 2. 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ B ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ B ）A ．1B ．56 C ．16 D ．1304.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝A .310 B.13 C.18 D.19解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+,故选A 5.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（） A ．55 B ．70 C ．85 D ．100解：数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++=11119b b b a a a +++++，111(1)4b a a b =+-=，∴ 11119b b b a a a +++++=4561385++++=，选C.6.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是解：1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n =k(x-2),令x=0得 a n =(n+1)2n,令b n =21n na n =+.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和为2+22+23+…+2n =2n+1-2★★★高考要考什么1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

山东省2012届高考数学 权威预测 数列求和 新人教版