精编(人教版)必修一数学：30《函数应用(Ⅱ)》巩固练习 提高版(含答案)
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案巩固练习-函数及其表示方法-提高.doc
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案【巩固练习】1．函数y 1 x x 的定义域是()A．x | x 1 B ．x | x 0C ．x | x 1或x 0 D ．x | 0 x 12．函数y 2 x2 4x 的值域是( )A．[ 2,2] B ． [1,2] C．[0,2] D ． [ 2, 2]3．对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论( )① B 中的任何一个元素在 A 中必有原象；② A 中的不同元素在 B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的；④A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．设M x | 0 x 2 , N y |1 y 2 ，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到 N 的函数关系的有( )个．A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知函数f ( x) 2 x, x 0 , 若f (a) f (1) 0,则实数a的值等于（）x 1,x 0A．－3 B．－ 1 C．1 D． 36．已知函数y f ( x 2) 定义域是 [ 1，2] ，则 y f (2 x 1) 的定义域是( )A． 5] B[ 14] [55]D [37] ． C ．．2 ，，，7．向高为H的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（）8 ．已知函数x 2则f ( x) ，1 x21 1 1 f (2010) f (1）f (1) f (2) f ( )f (3) f ( ) f (4)f ( )) 的值是（23420101A ． 2008B ． 2009C ．20092D ． 20109．若函数 yf (x) 的定义域是 0,1 ，则函数 F ( x) f (x a) f (2 x a) 0 a1 的定义域是．1, x 0，则不等式 x( x 2) f ( x2) 5 10．已知 f ( x)的解集是．1, x 011．设函数 g( x) x 22(xR), f ( x) g (x) x 4, xg( x),则 f (x) 的值域是（）．g (x) x, x g( x).12 ． 已知 a, b N *，f (a b)f (a) f (b), f (1) 2,则f (2) f (3) f (4)f (2011)．f (1)f (2)f (3)=f (2010)13．当 m 为何值时，方程 x24 | x |5 m, （ 1）无解；（ 2）有两个实数解； （3）有三个实数解； （ 4）有四个实数解．14．已知函数 f (x) ax 2bx c ，且满足 f (0) 0, f ( x 1) f ( x) x 1,求 f ( x) 的值域．15．设 A, B 两地相距 260 km ，汽车以 52km/ h 的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 1.5h 后，再以 65km / h 的速度返回到 A 地．试将汽车离开A 地后行走的路程 s 表示为时间 t 的函数．16．已知函数对任意的实数 a, b ，都有 f ( ab) f (a) f (b) 成立．（ 1）求 f (0), f (1)的值；（ 2）求证： f (1) f (x)0(x 0) ；x（ 3）若 f (2)m, f (3)n(m, n 均为常数 ) ，求 f (36) 的值．【答案与解析】1．【答案】 D ．【解析】由题意 1-x ≥ 0 且 x ≥0，解得 0x1 ，故选 D ．2．【答案】 C.【解析】x 24x( x 2) 2 4 4,0x 2 4x 2, 2 x 2 4x 02x 2 4x2,0 y2 ；3．【答案】 A ．【解析】由映射的概念知，只有③正确． 4．【答案】 A ．【解析】由函数的定义知选A ．5．【答案】 A ．【解析】该分段函数的二段各自的值域为,1, 0，， f (a) f (1) 2∴ f ( a) a 1 2, a3 ∴ a 3．6．【答案】 A ．【解析】1x 2,1 x2 4,1 2x 1 4,1 x5；7．【答案】 B. 2【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快” ，后来“增得慢” ， A 、 C 、 D 都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度h 的增加，体积 V 也增加，并且随单位高度 h 的增加，选项 A 的体积 V的 增加量变大；选项 B 的体积 V 的增加量变小；选项 C 的体积 V 的增加量先变小后变大；选项D 的体积 V 的 增加量不变，故选 B.8．【答案】 C ．【解析】9．【答案】1 1 原式 f (1) 20091 1 f (2) f ( ) 1, f (3)f ( ) 1, ，2009 2009 ．2322a , 1 a 2 20 x a 1,a x 1 a, a ,1a a1 a ．a1 a ，又a1 a,x解不等式组0 2x a得1.x22222210．【答案】【解析】 (3 ] .,23 ,当 x 20,即x2, f ( x 2) 1,则 x x 2 5, 2 x2当 x 20,即 x 2, f (x 2)1,则 x x2 5, 恒成立，即 x 2 ，3∴ x.211．【答案】【解析】9,0 2,．4令 xg (x) ，即 x 2 x2 0 ，解得 x 1或 x 2 ．令 x g( x) ，而 x 2 x 20 ，解得 1 x 2 ，x 2x 2( x 1或 x2),当 x1或 x 2 时，函数 f ( x) f ( 1) 2；当1 x2故函数 f ( x)x 2( 1 x 2).x 21) f ( x) f ( 9f ( x) 0 ．故函数 f ( x) 的值域是9,02,．时，函数 f ( 1) ，即2 4 412．【答案】 4020【解析】令 a x, b 1 ，则由 f (a b) f (a) f (b), f (1) 2,可得 f ( x 1) f (1) f ( x) 2 f ( x), 即f (x 1)2, 分别令 x 1,2,3, ,2010 ，f (x)则 f (2) f (3) f (4) f (2011)f (1) f (2) f (3) f (2010)=2+2+2+ +2=2010× 2=402013．【解析】设y1 x2 4 | x | 5, y2 m ，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问题来处理．设 y1 x2 4 | x | 5,x2 4 x 5, x 0,则 y12 4x 5, x 0.x画出函数的图象，如右图．再画出函数y2m 的图象．由图象可以看出：（1）当m 1时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．（2）当m 1或m 5时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解．（3）当m 5时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解．（4）当1 m 5时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．14．【答案】 1 ,8【解析】由 f (0) 0 得c 0 ，从而 f (x) ax2 bx由 f (x 1) f ( x) x 1,得 a(x 1)2 b( x 1) ax2 bx x 1,整理得 2ax a b x 1 ，x R ，2a 1,，解得a b1 a b.1 2f (x) 1 x2 1 x 1 ( x 1 )2 1 ， f (x) 的值域为 1 , .2 2 2 2 8 852t, 0 t<515．【答案】 s260,5 t 6.526065(t 6.5),6.5 t10.516．【解析】（ 1）不妨设 a b 0,则应用 f (0 0) f (0) f (0),从而得 f (0)0 ，设 a b 1 ，则应有 f (1 1) f (1)f (1),f (1) 0 .（ 2）证明：当 x 0 时，注意到 x 1 1 ，于是 f (1) f ( x 1 ) f (x) f ( 1) ，而 f (1) 0,f ( 1) 0(x x x x所以 f ( x) 0) .x（ 3 ） 题 设 中 有 f (2)m, f (3) n ，因此需将 36 转化，注意到 36=22 32，因此，f (36)f (22 32 ) f (2 2 )f (32 ) f (22)f (3 3) = 2 f (2) 2 f (3) 2(m n) .。
精编(人教版)必修一数学：32《指数、对数、幂函数》全章复习 巩固练习 提高版(含答案)
【巩固练习】 1．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f(x)|－g(x)是奇函数B ．|f(x)|＋g(x)是偶函数C ．f(x)－|g(x)|是奇函数D ．f(x)＋|g(x)|是偶函数2．已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x 2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( ) A. 12B. 23C. 34 D ．1 4．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时， f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．设f(x)＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)6．已知f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f(x －1x )＝x 2＋21x，则函数f(3)＝________. 8．设函数f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f(x)＝12(x ＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________． 10．已知函数f(x)＝a 1- (a ≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x ＋5.12．函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．13．已知函数f(x)＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．16．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1．【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．2．【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.3．【答案】A 【解析】法一：由已知得x 2x 1x a f(x)=(+)(-)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为 1x |x x a 2⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且，知a ＝12 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝2x 2x (12a x a +-)-则2x 2x (12a x a ---)-＝2x 2x (12a x a-+-)-在函数的定义域内恒成立，∴1－2a ＝0，可得a ＝124．【答案】B 【解析】由f(x)＝0，x ∈[0,2)可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．5．【答案】C【解析】由f(x)≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f(x)≥1；x ≥0时，f(x)≥0. 又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b ，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.6．【答案】D【解析】因f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩其图象如图，验证知f(x －1)，f(－x)，f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．7．【答案】11【解析】∵f(x－1x)＝x2＋21x＝(x－1x)2＋2，∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝211aa-+>－1.即31aa+>0，解得a>0或a<－1.9．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝x,x00,x1≥⎧⎨<⎩，易知其值域为[0，＋∞)．10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a21, a21,->-⎧⎨-≤⎩所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.15．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32， ∴a ＋3>0.∴g(a)＝2－a|a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－（a+32)2＋174,312a ,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵二次函数g(a)在312,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴g 32⎛⎫ ⎪⎝⎭≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4. ∴g(a)的值域为1944,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f(x)＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x 2＋2x ＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有012414a ,a .a>⎧⎪-⎨=⎪⎩ 解得a ＝12故存在实数a ＝12使f(x)的最小值等于0.。
必修一： 《函数应用》全章复习巩固
必修一：《函数应用》全章复习与巩固【学习目标】1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点。
2．进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数思想方法。
3．在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识。
【知识网络】【要点梳理】要点一：函数、方程的有关问题1．一般地,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图像有如下关要点诠释：（1）方程的根与函数的零点：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）方程的根与函数的零点：方程f (x )＝0有实数根的个数⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点的个数⇔函数y ＝f (x )的零点的个数．2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x=在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<．③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．3.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度.第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； ③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．要点二：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答). 【典型例题】类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题 例1．求函数2()3(0)f x x x x=+->的零点。
【精品】高一必修一数学函数与方程巩固练习及答案
函数与方程是考试重点，快来做一些同步练习吧 ! 精品 小编为你准备了高一必修一数学函数与方程巩固练习及答 案，具体请看以下内容。 巩固训练 ( 一 ) 、选择题 1. 函数 f(x)=-x2+5x-6 的零点是 () A.-2,3B.2,3C.2 ，-3 D.-2 ， -3. 函数 f(x)=x- 没有零点则 a 的取值范围是 () A.a0 B.a ≤0C.a0 D.a ≥03. 用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零 点可以取的初始区间是 () A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2] 4. 根据表中的数据，可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在 的区间为 x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 () A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 5. 函数 f(x)= 的零点个数为 () A.0 B.1C.2 D.3 6. 若方程 2ax2-x-1=0 在 (0,1) 内恰有一解，则 a 的取值范围 是 () A.a-1 B.a1C.-10 ，可得其中一个零点 x0∈________; 第二次
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f(x)=x-a ，
a∈Ｒ时， f(x) 有零点，当 m≠０时，
Δ=12-4m(-a- m)=4m2+4am+≥1 0，恒成立，
则有 16a2- 16≤0，∴ - 1≤a≤1. 解法一：∵函数 f(x) 为奇函
数，且 x0 时，
f(x)=lx0 ，
f(-x)=ln(-x)-2x-6
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∴f(0) ·f(1)0 ，即 - 1·(2a -2)0 ，∴ a1. 解析：∵ f( -2)=e-2-40 ， f(-1)=e-1-30 ， f(0)=e0-20 ， f(1)=e-10. ∴f(x)=ex+x -2 的零点所在区间是 (0,1). 故选 C. 二、填空题 解析： 因为 |0.75-0.6875|=0.06250.1 ，所以 0.75 或 0.6875 都可作为方程的近似解 . 答案： 0.75 或 0.6875 解析：函数 f(x)=ax-b 的零点是 3，所以 3a-b=0 ，即 b=3a， 于是函数 g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1) ，令 g(x)=0 ，得 x=0， 或 x=-1. 答案： 0， -1 解析：由韦达定理得即 ??m0. ∴ｍ的取值范围是 (- ∞， 0). 答案： (- ∞， 0) 由 0.01 ，得 2n10， ∴ｎ的最小值为 4. 答案： 4 解析：由 f(x)=ax-x-a=0 ，可得 ax=x+a ， 设 y1=ax， y2=x+a，由题意可知，两函数的图象有两个不同 的交点，分两种情况： ①当 01 时，如下图：符合题意 . 综述， a 的取值范围为 (1 ，+∞). 解：∵ f(x)=mx2+x -a-m ，当 m=0时，
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 基础
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象， 于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 0(2)(2)8, 0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩，30(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或30(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C ．22D ．32【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴22m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是________．【答案】[0，1） 【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221x y x =+，得21y x y=-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）．例6．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】 514a <<【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定 【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = ． 【答案】2,8a b ==-【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用 例8. 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用例9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润? 【答案】11.5 1490【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本200元／天，水进价5元／桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题．解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销售量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题． 【解析】 设每桶水在原来的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为：480-40(x -1)＝520-40x ＞0，所以0＜x ＜13，则利润：213(52040)2004014902y x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭．(0＜x ＜13)故当x ＝6.5时，利润最大，即当水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．【总结升华】列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润＝收入－支出”这一实际意义建立变量之间的关系．运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值． 【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n=++=++ 24000c =++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。
最新版教材高中数学必修一巩固练习_《函数应用》全章复习巩固_ 提高 (1)
【巩固练习】1．若函数y ＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零 2.(2015 揭阳校级模拟)对于函数()2f x x mx n =++若()0f a >且()0f b >则函数()f x 在区间(),a b 内( )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个两点D.至多有一个零点3．方程x 3＋3x －3＝0的解在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．以上均不对4．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )A .(－1,0)B ．5. 若方程0xa x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0,)+∞ 6．3()21f x x x =--零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-8．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2 008年的湖水量为m ，从2008起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝0.950x B ．y ＝(1－0.150x )m C ．y ＝0.950x ·m D ．y ＝(1－0.150x) m9．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是________．10．若一元二次方程f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝0 (a>0)的两根x 1、x 2满足m<x 1<n<x 2<p ，则f(m)·f(n)·f(p)________0.(填“>”、“＝”或“<”)11.(2015 江苏高考)已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩则方程()()1f x g x +=实根的个数为 .12．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________．13．用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)．14．若方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内，求a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝1x ＋212x －2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．16.(2015 嘉兴二模)已知函数()21,f x x ax a R =-+∈(1)若a =2，且存在互不相同的实数1234,,,x x x x 满足()()1,2,3,4i f x m i ==求实数m 的取值范围; (2)若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案与解析】 1.【答案】 C【解析】由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 2.【答案】C【解析】由二次函数的图象可知()f x 在区间(),a b 内的两点个数为0或2，故选C.3. 【答案】 A【解析】将函数y 1＝x 3和y 2＝3－3x 的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1)内．4. 【答案】B【解析】令φ(x)＝f(x)－g(x)，φ(0)＝f(0)－g(0)<0. φ(1)＝f(1)－g(1)>0且f(x)，g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线， 所以φ(x)的图象．在[－1,3]上也连续不断，因此选B . 5．【答案】A【解析】作出图象，发现当1a >时，函数xy a =与函数y x a =+有2个交点 6．【答案】A【解析】令3221(1)(221)0x x x x x --=-++=，得1x =，就一个实数根 7．【答案】C【解析】容易验证区间(,)(2,1)a b =-- 8. 【答案】C【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9150，即x 年后湖水量为y ＝0.950x·m. 9. 【答案】－12和－13【解析】2和3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，所以a ＝5，b ＝－6，∴g(x)＝－6x 2－5x －1.令g(x)＝0得x 1＝－12，x 2＝－13.10. 【答案】 <【解析】∵a>0，∴f(x)的图象开口向上，∴f(m)>0，f(n)<0，f(p)>0，∴f(m)·f(n)·f(p)<0. 11.【答案】4【解析】由()()1f x g x +=可得()()1g x f x =-±()g x 与()()1h x f x =-+的图象如图所示，图象有两个交点()g x 与()()1x f x φ=--的图象如图所示，图象有两个交点；所以()()1f x g x +=的实根个数为4.12. 【答案】跌了1.99%【解析】(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.980 1， 而0.980 1－1＝－0.019 9，即跌了1.99%.13. 解 f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31. 所以f(x)在区间∵|1.875－∴x 0可取为1.125(不唯一)．14. 【解析】令f (x )＝x 2－ax ＋2，则方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内⇔203280a a ⎧<<⎪⎨⎪∆=-=⎩或f (0)·f (3)<0⇔a ＝或a >113.15. 【解析】由f(x)=0，得21122x x =-+，令11y x =，22122y x =-+， 分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为(0,2)，与x 轴交于点(-2,0)、(2,0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数y=f(x)有3个零点． 由f(x)的解析式知x ≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)上分别是连续不断的曲线，且f(-3)=613>0，f(-2)=21-<0， f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21=81>0，f(1)=21- <0，f(2)=21>0，即f (－3)·f (－2)<0，1()2f ·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴三个零点分别在区间(－3，－2)、1,12⎛⎫⎪⎝⎭、(1,2)内．16.【解析】(1)若a=-2则()222121,2221121,2x x x f x x x x x x ⎧+-≤⎪⎪=--+=⎨⎪-+>⎪⎩当12x ≤时()()min 12f x f =-=- 当12x >时，()()min 10f x f ==1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时()f x 的图象如图所示.要使得有四个不相等的实数根满足()f x m = 即函数y =m 与()y f x =的图象有4个不同的交点m ∴的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)①若a=0,则()21f x x =-在[]1,2上单调递增，满足条件；②若a>0则()2211,11,x ax x af x x ax x a ⎧--≥-⎪⎪=⎨⎪++<-⎪⎩只需考虑1x a ≥-的情况此时()f x 的图象的对称轴为2a x =，因此只需12a≤即02a <≤(3)若a <0时，则()2211,11,x ax x af x x ax x a ⎧--≤-⎪⎪=⎨⎪++>-⎪⎩结合函数图象有以下情况：当12a a -≤-即0a ≤<时，此时()f x 在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增 因此在[]1,2内也单调递增，满足条件； 当12a a ->-即a <()f x 在1,2a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭内均单调递增 只需12a -≥或12a-≤解得2a -≤<即有a 的取值范围是20a -≤<由①②③得，实数a 的取值范围为22a -≤≤。
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A ．210(1)42x +=B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++=2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元4．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A ．233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．223cm5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．1957．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米8．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．乙的速度为300米/分钟B ．25分钟后甲的速度为400米/分钟C ．乙比甲晚14分钟到达B 地D ．A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，下列结果正确的是（ ）A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ，b ，定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2，g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有（ ）A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1，无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是（ ） A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．14．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.四、解答题16.．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()A h （2m ）表示成水深h （m ）的函数；(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.(1)当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？20．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：5 2.236） 参考答案1．D 2．B3．C4．D5．C6．B7．B8．C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13．112014．215．1616.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m ，上底为()22h +m ，高为h m 的等腰梯形，所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. （2）由（1）知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.842m .17.（1）依题意，当04x <≤时()2v x =；当420x <≤时，()v x 是关于x 的一次函数，假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. （2）当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤；当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>，所以当x ＝10时，鱼的年生长量()f x 可以达到最大，最大值为12.53/千克米.18.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=； 当且仅当1800002x x = ，即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.（1）当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=；当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．20.（1）解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）代入80150k v x=--，解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤. 所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-，即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案巩固练习_《函数》全章复习与巩固_ 提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固【巩固练习】1.已知函数()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有（ ）。
A. ()()()()f a f b f a f b +>-+-B. ()()()()f a f b f a f b +>---C. ()()()()f a f a f b f b +->+-D. ()()()()f a f a f b f b +->--2.若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）。
A.1a < B. 1a > C. 1a ≤ D. 1a ≥3．函数2()23f x x ax =--在区间[]1,2上是单调函数的条件是（ ）。
A.(],1a ∈-∞B.[)2,a ∈+∞C.[]1,2a ∈D. (][),12,a ∈-∞+∞4.函数y = ）A.(][),01,-∞+∞ B .[]0,1 Ｃ. (]0,1 Ｄ. ()[),01,-∞+∞5.函数|35|y x =-的单调递减区间是（ ） A.()0,+∞ B. (),0-∞ C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A. ()()f x f x ⋅-是奇函数 B. ()|()|f x f x ⋅-是奇函数 C. ()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数7. 已知函数1, 0()1, 0x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{|11}x x -≤≤ B ．{x|x ≤1}C．{|1}x x ≤D．{|11}x x ≤≤8.实数,x y 满足224x y +=，则283x y ++的最大值是（ ） A ．23 B ．21 C ．19 D ． 17．9.设[]2,3x ∈-，则函数2241y x x =--的值域是 .10. 设()f x 是定义在R 上的函数且(2)()f x f x +=,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为 .11．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.12.关于函数22()21,f x x ax a x R =-++∈，有下列四个结论： ①当0a >时，函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增； ②当0a >时，函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减； ③对于任意x R ∈，必有()1f x ≥成立；④对于任意x R ∈，必有()(2)f x f a x =-成立． 其中正确的论断序号是 ．（将全部正确结论的序号都填上）13. 已知函数f(x)=-x 2+2ax-a 2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 取值范围；(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14. 已知实数1[,1]3a ∈，将函数f(x)=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a 的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)在区间1[,1]3上的单调性，并求出g(a)的最小值．15．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >．（1）求(1)f ； （2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f ．【答案与解析】1. 【答案】A【解析】因为a b >-、b a >-，所以()()f a f b >-、()()f b f a >-，即()()()()f a f b f a f b +>-+-。
人教版高中数学必修一《函数的应用》模块综合习题精讲精练(含答案)
模块检测一、选择题1.已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B 等于( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1} 答案 B解析 ∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}且1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}.2.若全集U ＝{1,2,3,4}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )A.3个B.5个C.7个D.8个答案 C解析 由题意知A ＝{1,3,4}，则A 的真子集共有23－1＝7(个).3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A.y ＝x －2B.y ＝x －1 C.y ＝x 2D.y ＝x 31 答案 A解析 由于y ＝x －1和y ＝x 13都是奇函数，故B 、D 不合题意.又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 不合题意.y ＝x －2＝1x 2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意.4.给出下列命题：①y ＝1是幂函数；②函数y ＝|x ＋2|－2x 在R 上有3个零点；③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)；④当n ≤0时，幂函数y ＝x n 的图象与两坐标轴不相交.其中正确的命题是( )A.①②④B.①②③④C.②④D.①②③ 答案 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 6.设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A.－3B.－1C.1D.3答案 A解析 由函数为奇函数，得f (0)＝20＋b ＝0⇒b ＝－1，故当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2－1)＝－3.7.已知a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c 答案 D解析 ∵a ＝0.32∈(0,1)，b ＝log 20.3＜0，c ＝20.3＞1.∴c ＞a ＞b .8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A.{1,3}B.{－3，－1,1,3}C.{2－7，1,3}D.{－2－7，1,3} 答案 D解析 令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}.9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋5，x <1，1＋1x，x ≥1在R 上单调，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[4，＋∞)D.[2,4] 答案 D解析 当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数， 所以f (x )在R 上应为单调递减函数.要求当x <1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a 2≥1，即a ≥2， 并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值， 即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围为[2,4].10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220)＝f (log 245) ＝24log 52＋15＝1.故选A. 二、填空题11.计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 答案 13解析 lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13. 12.函数f (x )＝4－x 2＋1lg (x －1)的定义域是________. 答案 (1,2)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，x －1＞0，x －1≠1.则⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤2，x ＞1，x ≠2，∴f (x )的定义域是(1,2).13.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈_______.(填区间) 答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)＜0，f (2)f (3)＜0，∴f (3)f (4)＞0，故x 0∈(2,3).14.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________________.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x 得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).三、解答题15.计算：(1)⎝⎛⎭⎫33823-－⎝⎛⎭⎫5 490.5＋(0.008)23-÷(0.02)21-×(0.32)21； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫82723－⎝⎛⎭⎫49921＋⎝⎛⎭⎫1 000823÷50×4210＝49－73＋25×152×4210＝－179＋2＝19. (2)原式＝12(lg 2)2＋12lg 2(1－lg 2)＋ ⎝⎛⎭⎫12lg 2－12 ＝12(lg 2)2＋12lg 2－12(lg 2)2＋1－12lg 2＝1. 16.已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围.解 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}.A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}.(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].17.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －x 2.(1)求函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出单调区间和值域.解 (1)设x <0，则－x >0，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. 图象如图所示.(2)由图可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)，值域为(－∞，1].18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20≤x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x ) ＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x ) ＝－13(x －100)2＋10 0003， 所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.。
高一数学必修一第三章函数的应用(含幂函数)提高练习题及参考答案
高一数学（必修1）第三章 函数的应用（含幂函数）[提高训练]一、选择题1．函数3y x =（ ）A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数2．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4]4．在,,log ,222x y x y y x ===这三个函数中，当1021<<<x x 时， 使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点 B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16内无零点D ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点6．求3()21f x x x =--零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、填空题1. 函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为 。
2．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______。
人教版数学必修一 巩固练习_《函数》全章复习与巩固_ 基础
《函数》全章复习与巩固【巩固练习】1.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等实数,a b 总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）。
A.函数()f x 是先增后减 B. 函数()f x 是先减后增C.函数()f x 在R 上是增函数D. 函数()f x 在R 上是减函数2．二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则函数零点个数是（ ）。
A. 1个B. 2个C. 0个D. 无法确定3.当(]0,5x ∈时，函数2()34f x x x c =-+的值域为（ ）。
A. [](0),(5)f fB. 2(0),()3f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2(),(5)3f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. [],(5)c f4.函数1y x =的定义域为（ ）A.[]4,1-B. [)4,0- Ｃ. (]0,1 Ｄ. [)(]4,00,1-5.设集合{}{}|06,|02A x x B y y =≤≤=≤≤，则从A 到B 的对应法则f 是映射的是（） A.:3f x y x →= B. :f x y x →= C. 1:2f x y x →= D. 1:3f x y x→=6.设a 为常数，函数2()43f x x x =-+．若()f x a +为偶函数，则a 等于( )A.-2B. 2C. -1D. 17.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A.)2()1()23(f f f <-<- B.)2()23()1(f f f <-<- C.)23()1()2(-<-<f f f D. )1()23()2(-<-<f f f8. 设函数21,0()21,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩ ，． 若0()3f x >，则0x 的取值范围是( )A. ()(),21,-∞-+∞B. ()(),12,-∞-+∞C. ()(),21,-∞--+∞D. ()(),12,-∞+∞9.若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = .10. 若(2)()()x x m f x x ++=为奇函数,则实数m =______ .11.设221,||1()1,||1x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则3f = ，5()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ .12.函数221y x x =-++在区间[]3,a -上是增函数，则a 的取值范围是 .13. 已知函数f(x)=-x 2+2ax-a 2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 取值范围；(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-.① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数．15．“依法纳税是每个公民应尽的义务”．2008年3月1日开始实施新的个人所得税方案，国家征收个人所得税是分段计算，总收入不超过2000元，免征个人工资薪金所得税；超过2000元部分征税，设全月纳税所得额为x(1)若应纳税额为()f x ，试用分段函数表示1～3级纳税额()f x 的计算公式；(2)某人2008年10月份工资总收入3200元，试计算这个人10月份应纳税多少元?(3)某人2009年1月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于( )．A ．2000～2100元B ．2100～2400元C ．2400～2700元D ．2700～3000元【答案与解析】1.【答案】C【解析】因为()()0f a f b a b ->-，所以有0()()0a b f a f b ->⎧⎨->⎩ 或0()()0a b f a f b -<⎧⎨-<⎩，即()()a b f a f b >⎧⎨>⎩或()()a b f a f b <⎧⎨<⎩，由增函数的定义知，选C 。
人教版高中数学必修一《函数的应用》模块综合习题精讲精练(含答案)
模块检测一、选择题1.已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B 等于( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1} 答案 B解析 ∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}且1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}.2.若全集U ＝{1,2,3,4}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )A.3个B.5个C.7个D.8个答案 C解析 由题意知A ＝{1,3,4}，则A 的真子集共有23－1＝7(个).3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A.y ＝x －2B.y ＝x －1 C.y ＝x 2D.y ＝x 31 答案 A解析 由于y ＝x －1和y ＝x 13都是奇函数，故B 、D 不合题意.又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 不合题意.y ＝x －2＝1x 2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意.4.给出下列命题：①y ＝1是幂函数；②函数y ＝|x ＋2|－2x 在R 上有3个零点；③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)；④当n ≤0时，幂函数y ＝x n 的图象与两坐标轴不相交.其中正确的命题是( )A.①②④B.①②③④C.②④D.①②③ 答案 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 6.设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A.－3B.－1C.1D.3答案 A解析 由函数为奇函数，得f (0)＝20＋b ＝0⇒b ＝－1，故当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2－1)＝－3.7.已知a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c 答案 D解析 ∵a ＝0.32∈(0,1)，b ＝log 20.3＜0，c ＝20.3＞1.∴c ＞a ＞b .8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A.{1,3}B.{－3，－1,1,3}C.{2－7，1,3}D.{－2－7，1,3} 答案 D解析 令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}.9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋5，x <1，1＋1x，x ≥1在R 上单调，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[4，＋∞)D.[2,4] 答案 D解析 当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数， 所以f (x )在R 上应为单调递减函数.要求当x <1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a 2≥1，即a ≥2， 并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值， 即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围为[2,4].10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220)＝f (log 245) ＝24log 52＋15＝1.故选A. 二、填空题11.计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 答案 13解析 lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13. 12.函数f (x )＝4－x 2＋1lg (x －1)的定义域是________. 答案 (1,2)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，x －1＞0，x －1≠1.则⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤2，x ＞1，x ≠2，∴f (x )的定义域是(1,2).13.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈_______.(填区间) 答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)＜0，f (2)f (3)＜0，∴f (3)f (4)＞0，故x 0∈(2,3).14.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________________.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x 得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).三、解答题15.计算：(1)⎝⎛⎭⎫33823-－⎝⎛⎭⎫5 490.5＋(0.008)23-÷(0.02)21-×(0.32)21； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫82723－⎝⎛⎭⎫49921＋⎝⎛⎭⎫1 000823÷50×4210＝49－73＋25×152×4210＝－179＋2＝19. (2)原式＝12(lg 2)2＋12lg 2(1－lg 2)＋ ⎝⎛⎭⎫12lg 2－12 ＝12(lg 2)2＋12lg 2－12(lg 2)2＋1－12lg 2＝1. 16.已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围.解 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}.A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}.(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].17.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －x 2.(1)求函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出单调区间和值域.解 (1)设x <0，则－x >0，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. 图象如图所示.(2)由图可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)，值域为(－∞，1].18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20≤x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x ) ＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x ) ＝－13(x －100)2＋10 0003， 所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.。
高中数学必修一巩固提升训练题(含答案)
高中数学必修一巩固提升训练题（含答案）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 若用C、R、I分别表示复数集、实数集、纯虚数集，则有（）A.C=R∪IB.R∩I={0}C.．∁C R=C∩ID.R∩I=⌀2. 已知函数f(x)满足3f(x)−f(1x)=2x，则f(x)=()A.1 4x +3x4B.14x−3x4C.−14x−3x4D.−14x+3x43. 下列各式中，正确的是（）A.2√3⊆{x|x<4}B.2√3∈{x|x<4}C.{2√3}∈{x|x<4}D.{2√3}⊆{x|x<3}4. 设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1映射f的对应法则则与f[g(1)]相同的是（）A.g[f(1)]B.g[f(2)]C.g[f(3)]D.g[f(4)]5. 设函数f(x)=3+x+√1−x2⋅2x−12x+1的最大值为M，最小值为N，则M+N的值是（）A.3B.2C.6D.46. 若集合A、B、C，满足A∩B=A，B∪C=C，则A与C之间的关系为（）A.A⊊CB.C⊊AC.A⊆CD.C⊆A7. 函数f(x)=x ln|x|的图像大致是( )A. B.C. D.8. 设集合M ={x|x+3x−1≤0}，N ={x||x +1|≤2}，P ={x|(12)x 2+2x−3≥1}则有（ ）A.M ⊆N =PB.M ⊆N ⊆PC.M =P ⊆ND.M =N =P9. 已知函数f(x)={18x −8x ≤10x >1，g(x)=log 2x ，则f(x)与g(x)两函数的图象的交点个数为（ ）A.1B.2C.3D.410. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)的图象经过点(−1,−2)，且满足f(−x)=f(x)，当 0≤a <b 时不等式f(b)−f(a)b−a>0恒成立，则不等式f(x −1)+2<0的解集为( )A.(0,2)B.(−2,0)C.(−∞,0)∪(2,+∞)D.(−∞,−2)∪(0,+∞)11. 已知集合A ={(x, y)|y =|x −1|, x, y ∈R }，B ={(x, y)|y =ax +2, x, y ∈R }，若集合A ∩B 有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是________.12. 下列函数既是偶函数，又在(−∞，0) 上单调递减的是( ) A.y =(12)|x|B.y =x −23C.y =1x −xD.y =ln (x 2+1)二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ）13. 集合A ={x|2≤x <7, x ∈N}中的元素个数是________个．14. 下列四个集合中，是空集的是________ ①{x|x +3=3}；②{(x, y)|y 2=−x 2, x, y ∈R}；③{x|x 2≤0}④{x|x 2−x +1=0, x ∈R}．15. 满足条件{1, 3}∪M ={1, 3, 5}的一个可能的集合M 是________．（写出一个即可）16. 已知集合A =[1, 4)，B =(−∞, a)，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围为________．17. 已知全集U =R ，M ={y|y =12x −1}，则C u M =________．（1）y=3x−1（2）y=x2+ax+b （3）y=−2x（4）y=−log2x （5）y=√x．上述函数中满足对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，成立的函数的序号为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）19. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−4x−5≤0}，B＝{x|2≤x≤4}．（1）求A∩(∁U B)；（2）若集合C＝{x|a≤x≤4a, a>0}，满足C∪A＝A，C∩B＝B，求实数a的取值范围．20. 设集合A={x|y=√x−1+√2−x}，B=[3, 4]（1）求A；（2）若f(x)=ax是A到B的一个函数，求实数a的取值范围．21. 若函数f(x)的定义域为[1, 4]，求函数f(x2)的定义域．22. 求下列函数的值域：（1）y=x+12x；（2）y=2x2+4x−3．23. 已知函数f(x)=x2+x−1.(1)求f(2)，f(a)的值；(2)若f(a)=11，求a的值．24. 已知函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且在(0, +∞)上为增函数．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)=loga[f(x)−ax](a>0且a≠1)，是否存在实数a，使g(x)在区间[2, 3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析高中数学必修一巩固提升训练题（含答案）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】D【解答】解：复数系的构成是复数z=a+bi(a、b∈R).{实数(b＝0)虚数(b≠0){纯虚数(a＝0)非纯虚数(a≠0)．A、R∪I={实数, 纯虚数}，故本选项错误；B、R∩I=⌀，故本选项错误；C、∁C R={虚数}，C∩I={非纯虚数}，则∁C R=C∩I不成立，故本选项错误；D、R∩I=⌀，故本选项正确；故选：D．2.【答案】A【解答】解：∵3f(x)−f(1x)=2x，∴3f(1x )−f(x)=2×1x；∴8f(x)=6x+2×1x；故f(x)=34x+14×1x；故选A．3.【答案】B【解答】解：利用元素与集合关系，用∈，集合与集合关系，用⊆，可得B正确．故选：B．4.【答案】A【解答】解：由题意知，g(1)=4，f[g(1)]=f(4)=1，对于A:g[f(1)]=g[3]=1，故A正确；对于B:g[f(2)]=g[4]=2，故A不正确；对于C:g[f(3)]=g[2]=3，故A不正确；对于D:g[f(4)]=g[1]=4，故A不正确；【答案】C【解答】，解：由题意，令函数g(x)=x+√1−x2⋅2x−12x+1则g(−x)=−x+√1−x2⋅2−x−12−x+1=−x+√1−x2⋅1−2x，2x+1∴g(−x)+g(x)=0，∵g(x)定义域为[−1,1],∴g(x)为奇函数，图象关于原点对称，∴g(x)最大值与最小值也关于原点对称，∴M+N=g(x)+3+g(−x)+3=6.故选C.6.【答案】C【解答】解：根据题意，A∩B=A⇒A⊆B；B∪C=C⇒B⊆C；从而：A⊆C．对于A，由A⊆C，可得出A=C，不一定A⊊C，排除(A)；A⊆C，可排除(B)，(D)．从而得出正确的选项只能是(C)．故选C．7.【答案】A【解答】解：∵函数f(x)=x ln|x|，可得f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除B；因为函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞) ,所以排除C；当x>0时，f(x)=x ln x，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0，排除D. 故选A.8.【答案】A【解答】解：∵M={x|x+3x−1≤0}={x|(x+3)(x−1)≤0, 且x≠1}={x|−3≤x≤1},N={x||x+1|≤2}={x|−3≤x≤1}，P={x|(12)x2+2x−3≥1}={x|x2+2x−3≤0}={x|−3≤x≤1}，∴M⊆N=P.故选：A．9.【答案】B【解答】解：由题意可知函数f(x)与g(x)的图象为：由图象可知只需要判断在(0, 1)上两函数的图象交点个数即可．设y=18x−8−log2x又∵当x=18时，y=−328=−4<0，结合对数函数的变化规律易知，图象有两个交点．故选B．10.【答案】A【解答】解：由f(−x)=f(x)可知f(x)为偶函数，且f(−1)=−2，∵当0≤a<b时不等式f(b)−f(a)b−a>0恒成立，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，函数在(−∞,0)上单调递减，且f(1)=f(−1)=−2，∵f(x−1)+2<0，∴ f(x−1)<−2=f(1)=f(−1)，∴|x−1|<1，解得：0<x<2.故选A.11.【答案】【解答】解：集合A中的点构成函数y=|x−1|的图象，集合B中的点是一条过定点(0, 2)，斜率为a的直线，如图，∵集合A∩B有且只有一个元素∴函数y=|x−1|的图象与直线y=ax+2有且只有一个交点，数形结合可得a≥1或a≤−1.故答案为：a≥1或a≤−1.12.【答案】D【解答】解：函数y=(12)|x|,是偶函数，在区间(−∞，0)上单调递增，故A错误；函数y=x−23，是奇函数，故B错误；函数y=1x−x，奇函数，故C错误；函数y=ln(x2+1)，是偶函数，在区间(0，+∞)上单调递增，在区间(−∞，0)上单调递减，故D正确.故选D.二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）13.【答案】5【解答】解：∵A={x|2≤x<7, x∈N}，∴A={2, 3, 4, 5, 6}，∴集合A={x|2≤x<7, x∈N}中的元素个数是5个，故答案为：514.【答案】④【解答】故①{x|x+3=3}={0}≠⌀若y2=−x2，则y=x=0故②{(x, y)|y2=−x2, x, y∈R}={(0, 0)}≠⌀若x2≤0，则x=0故③{x|x2≤0}={0}≠⌀∵方程x2−x+1=0的△=−3<0，故方程无实根故④{x|x2−x+1=0, x∈R}=⌀故答案为：④15.【答案】{1, 3, 5}或{5}或{5, 1}或{5, 3}【解答】解：∵{1, 3}∪M={1, 3, 5}，∴5∈M，且M⊆{1, 3, 5}故M={1, 3, 5}或{5}或{5, 1}或{5, 3}，故答案为：{1, 3, 5}或{5}或{5, 1}或{5, 3}16.【答案】a≥4【解答】解：因为A∩B=A，所以A⊆B，又A=[1, 4)，B=(−∞, a)，所以a≥4．故答案为a≥4．17.【答案】{y|−1≤y≤0}．【解答】解：∵2x>0，∴2x−1>−1，∴12x−1>0或12x−1<−1，即M={y|y=12x−1}={y|y>0或y<−1}，∴C u M={y|−1≤y≤0}．故填：{y|−1≤y≤0}．18.【答案】（1），（2），（4）．【解答】解：如图所示：f(x1+x22)表示取x1，x2中点时对应的函数图象上的函数值，而f(x1)+f(x2)2表示f(x1)与f(x2)两函数值的中点值，只有函数图象下凹或为直线才能满足题意，根据所给5个函数图象的特征知，符合条件的函数为：（1），（2），（4）．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）19.【答案】由题A＝{x|−1≤x≤5}，∁U B＝{x|x<2或x>4}，∴A∩(∁U B)＝{x|−1≤x<2或4<x≤5}．由C∪A＝A得C⊆A，解得−1≤a≤5，4由C∩B＝B得B⊆C，解得1≤a≤2．}．从而实数a的取值范围为{a|1≤a≤54【解答】由题A＝{x|−1≤x≤5}，∁U B＝{x|x<2或x>4}，∴A∩(∁U B)＝{x|−1≤x<2或4<x≤5}．，由C∪A＝A得C⊆A，解得−1≤a≤54由C∩B＝B得B⊆C，解得1≤a≤2．}．从而实数a的取值范围为{a|1≤a≤5420.【答案】}解：（1）A={x|y=√x−1√2−x}={x|{x−1≥02−x>0={x|1≤x<2}；是A到B的一个函数，A=[1, 2),B=[3, 4]，（2）若f(x)=ax∴a≤4且a>3，无解．2【解答】}解：（1）A={x|y=√x−1√2−x}={x|{x−1≥02−x>0={x|1≤x<2}；（2）若f(x)=a是A到B的一个函数，A=[1, 2),B=[3, 4]，xa21.【答案】解：因为函数y =f(x)的定义域是[1, 4]，所以函数 y =f(x 2)中1≤x 2≤4，即−2≤x ≤−1或1≤x ≤2．所求函数的定义域为：[−2, −1]∪[1, 2]【解答】解：因为函数y =f(x)的定义域是[1, 4]，所以函数 y =f(x 2)中1≤x 2≤4，即−2≤x ≤−1或1≤x ≤2．所求函数的定义域为：[−2, −1]∪[1, 2]22.【答案】解：（1）∵ y =x+12x∴ 2xy =x +1∴ (2y −1)x =1∴ x =12y−1由2y −1≠0得y ≠12故函数y =x+12x 的值域是{y|y ≠12} （2）∵ y =2x 2+4x −3=y =2(x +1)2−5≥−5故函数y =2x 2+4x −3的值域为{y|y ≥−5}【解答】解：（1）∵ y =x+12x∴ 2xy =x +1∴ (2y −1)x =1∴ x =12y−1由2y −1≠0得y ≠12故函数y =x+12x 的值域是{y|y ≠12} （2）∵ y =2x 2+4x −3=y =2(x +1)2−5≥−5故函数y =2x 2+4x −3的值域为{y|y ≥−5}23.【答案】解：(1)∵ f(x)=x 2+x −1，∴ f(2)=4+2−1=5，f(a)=a 2+a −1；(2)若f(a)=11，即f(a)=a 2+a −1=11，则a 2+a −12=0，解得a=3或a=−4．【解答】解：(1)∵f(x)=x2+x−1，∴f(2)=4+2−1=5，f(a)=a2+a−1；(2)若f(a)=11，即f(a)=a2+a−1=11，则a2+a−12=0，解得a=3或a=−4．24.【答案】解：(1)由函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)在(0, +∞)上为增函数，得到−2m2+m+3>0解得−1<m<32，又因为m∈Z，所以m=0或1．又因为函数f(x)是偶函数当m=0时，f(x)=x3，不满足f(x)为偶函数；当m=1时，f(x)=x2，满足f(x)为偶函数；所以f(x)=x2；(2)g(x)=loga(x2−ax)，令ℎ(x)=x2−ax，由ℎ(x)>0得：x∈(−∞, 0)∪(a, +∞)∵g(x)在[2, 3]上有定义，∴0<a<2且a≠1，∴ℎ(x)=x2−ax在[2, 3]上为增函数．当1<a<2时，g(x)max=g(3)=log a(9−3a)=2，a2+3a−9=0⇒a=−3±3√52因为1<a<2，所以a=−3+3√52．当0<a<1时，g(x)max=g(2)=log a(4−2a)=2，∴a2+2a−4=0，解得a=−1±√5，∵0<a<1，∴此种情况不存在，综上，存在实数a=−3+3√52，使g(x)在区间[2, 3]上的最大值为2．【解答】解：(1)由函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)在(0, +∞)上为增函数，得到−2m2+m+3>0解得−1<m<32，又因为m∈Z，所以m=0或1．又因为函数f(x)是偶函数当m=0时，f(x)=x3，不满足f(x)为偶函数；当m=1时，f(x)=x2，满足f(x)为偶函数；所以f(x)=x2；(2)g(x)=loga(x2−ax)，令ℎ(x)=x2−ax，由ℎ(x)>0得：x∈(−∞, 0)∪(a, +∞)∵g(x)在[2, 3]上有定义，∴0<a<2且a≠1，∴ℎ(x)=x2−ax在[2, 3]上为增函数．当1<a<2时，g(x)max=g(3)=log a(9−3a)=2，a2+3a−9=0⇒a=−3±3√52因为1<a<2，所以a=−3+3√52．当0<a<1时，g(x)max=g(2)=log a(4−2a)=2，∴a2+2a−4=0，解得a=−1±√5，∵0<a<1，∴此种情况不存在，综上，存在实数a=−3+3√52，使g(x)在区间[2, 3]上的最大值为2．。
高一数学巩固提升习题强化练——函数及其性质 (人教A版必修1) Word版含答案
函数及其性质(强化练)[ 基础达标]．下列对应关系中，能构成从集合到集合的映射的是( )．＝{>}，＝，：→＝．＝{－，，}，＝{}，：→＝．＝，＝{>}，：→＝．＝{，}，＝{，}，：→＝解析：选.对于，集合中元素在集合中有两个元素与之对应；对于，集合中元素在集合中无元素与之对应；对于，集合中元素在集合中无元素与之对应．故，，均不能构成映射．．()＝的最大值是( )．．．．解析：选.当≤≤时，()的最大值是()＝，又当<<时，()＝；当≥时，()＝，则()的最大值是.．已知()是一次函数，()－()＝，()－(－)＝，则()＝( )．＋．－．＋．－解析：选.设()＝＋(≠)．因为()－()＝，()－(－)＝，所以即解得所以()＝－.．函数()＝＋是( )．奇函数．偶函数．既是奇函数又是偶函数．非奇非偶函数解析：选.因为函数()的定义域是[－，]，且(－)＝()，所以该函数为偶函数．．下列函数中，值域是(，＋∞)的是( )．＝．＝(∈(，＋∞))．＝(∈)．＝解析：选.在选项中可等于零，选项中显然大于，选项中∈，值域不是(，＋∞)，选项中＋＞，即＞.．函数＝的定义域为．解析：由题意可得＋≥且≠，所以≥－且≠，即函数的定义域为[－，)∪(，＋∞)．答案：[－，)∪(，＋∞)．定义在(－，)上的奇函数()＝，则等于．解析：因为()在(－，)上为奇函数，所以()＝＝－＝，所以＝，经检验＝时，()＝是奇函数，满足条件．答案：．已知函数()是定义在[，]上的增函数，且()>(－)，则实数的取值范围是．解析：由题意，得解得<≤.答案：＜≤．某汽车以的速度从地行驶到远处的地，在地停留后，再以的速度返回地，试将汽车离开地后行驶的路程表示为时间的函数．解：因为÷＝()，÷＝()，所以当≤≤时，＝；当<≤时，＝；当<≤时，＝＋(－)＝－.所以＝．已知函数()＝，∈[－，－]．()求证：()在[－，－]上是增函数；()求()的最大值和最小值．解：()证明：设，是区间[－，－]上的任意两个不相等的实数，且<，则()－()＝－＝＝.由于－≤<≤－，则－<，＋<，＋<.所以()－()<，即()<()．。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案巩固练习-函数及其表示方法-提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案【巩固练习】1．函数1y x x =-+的定义域是( )A ．{}|1x x ≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|10x x x ≤≥或D ．{}|01x x ≤≤ 2．函数224y x x =--+的值域是( )A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,2]-3．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 ( )①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有 ( )个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知函数2,0(),()(1)0,1,0x x f x f a f x x >⎧=+=⎨+≤⎩若则实数a 的值等于（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知函数)2(+=x f y 定义域是]21[，-，则y f x =-()21的定义域是( )A ．]251[， B ． [14]-， C ． []-55， D ． []-37， 7．向高为H 的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（ ）8．已知函数22()1x f x x =+，则1111(1)(2)()(3)()(4)()(2010)()2342010f f f f f f f f f +++++++⋅⋅⋅++的值是（ ）A ．2008B ．2009C ． 120092D ． 20109．若函数()y f x =的定义域是[]0,1，则函数()()()(2)01F x f x a f x a a =+++<<的定义域是 ．10．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 ．11．设函数2()4,(),()2(),()(),().g x x x g x g x x x R f x g x x x g x ++<⎧=-∈=⎨-≥⎩则()f x 的值域是（ ）．12．已知*,a b N ∈，()()(),(1)2,f a b f a f b f +==则(2)(3)(4)(2011)(1)(2)(3)(2010)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+= ． 13．当m 为何值时，方程24||5,x x m -+=（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．14．已知函数2()f x ax bx c =++，且满足(0)0,(1)()1,f f x f x x =+-=+求()f x 的值域． 15．设,A B 两地相距260km ，汽车以52/km h 的速度从A 地到B 地，在B 地停留1.5h 后，再以65/km h 的速度返回到A 地．试将汽车离开A 地后行走的路程s 表示为时间t 的函数．16．已知函数对任意的实数,a b ，都有()()()f ab f a f b =+成立． （1）求(0),(1)f f 的值；（2）求证：1()()0(0)f f x x x+=≠；（3）若(2),(3)(,)f m f n m n ==均为常数，求(36)f 的值．【答案与解析】1．【答案】D ．【解析】由题意1-x ≥0且x ≥0，解得01x ≤≤，故选D ． 2．【答案】C.【解析】 224(2)44,02,20x x x -+=--+≤≤≤-≤022,02y ≤≤≤≤； 3．【答案】A ．【解析】由映射的概念知，只有③正确． 4．【答案】A ．【解析】由函数的定义知选A ． 5．【答案】A ．【解析】该分段函数的二段各自的值域为(](),1,0-∞+∞，，()(1)2f a f =-=-∴()12,3f a a a =+=-=-∴ 3a =-． 6．【答案】A ．【解析】 512,124,1214,12x x x x -≤≤≤+≤≤-≤≤≤； 7．【答案】B.【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A 、C 、D 都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度h 的增加，体积V 也增加，并且随单位高度h 的增加，选项A 的体积V 的增加量变大；选项B 的体积V 的增加量变小；选项C 的体积V 的增加量先变小后变大；选项D 的体积V 的增加量不变，故选B.8．【答案】C ．【解析】11(2)()1,(3)()1,23f f f f +=+=⋅⋅⋅，11(1)20092009200922f ∴=+=+=原式．9．【答案】1,22a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解不等式组01,02 1.x a x a ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩得1,122a x a a ax -≤≤-⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩，又11,1,2222a a a a a a x ---<-<-∴-≤≤． 10．【答案】 【解析】3(,]2-∞.当320,2,(2)1,25,2,2x x f x x x x +≥≥-+=++≤-≤≤即则 当20,2,(2)1,25,2x x f x x x x +<<-+=---≤<-即则恒成立，即， ∴32x ≤. 11．【答案】 【解析】()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．令()x g x <，即220x x -->，解得1x <-或2x >．令()x g x ≥，而220x x --≤，解得12x -≤≤，故函数222(12),()2(12).x x x x f x x x x ⎧++<->⎪=⎨---≤≤⎪⎩或当1x <-或2x >时，函数()(1)2f x f >-=；当12x -≤≤时，函数1()()(1)2f f x f ≤≤-，即9()04f x -≤≤．故函数()f x 的值域是()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．12．【答案】4020【解析】 令,1a x b ==，则由()()(),(1)2,f a b f a f b f +== 可得(1)(1)()2(),f x f f x f x +==即(1)2,()f x f x +=分别令1,2,3,,2010x =⋅⋅⋅， 则(2)(3)(4)(2011)(1)(2)(3)(2010)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+ =2+2+2+…+2=2010×2=402013．【解析】设2124||5,y x x y m =-+=，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问题来处理．设214||5,y x x =-+则21245,0,45,0.x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩画出函数的图象，如右图．再画出函数2y m =的图象．由图象可以看出：（1）当1m <时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．（2）当1m =或5m >时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解． （3）当5m =时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解． （4）当15m <<时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解． 14．【答案】1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由(0)0f =得0c =，从而2()f x ax bx =+由(1)()1,f x f x x +-=+得22(1)(1)1,a x b x ax bx x +++--=+ 整理得21ax a b x ++=+，x R ∈，21,1a ab =⎧∴⎨+=⎩，解得12a b ==. 2211111()()22228f x x x x ∴=+=+-，()f x 的值域为1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.15．【答案】52,260,5 6.526065( 6.5),6.510.5t s t t t ≤⎧⎪=≤≤⎨⎪+-<≤⎩ 0t<5 16．【解析】（1）不妨设0,a b == 则应用(00)(0)(0),f f f ⨯=+ 从而得(0)0f =，设1a b ==， 则应有(11)(1)(1),f f f ⨯=+(1)0f ∴=.（2）证明：当0x ≠时，注意到11x x ⋅=，于是11(1)()()()f f x f x f x x=⋅=+，而(1)0,f = 所以1()()0(0)f x f x x+=≠.（3）题设中有(2),(3)f m f n ==，因此需将36转化，注意到36=2223⨯，因此，2222(36)(23)(2)(3)(22)(33)f f f f f f =⨯=+=⨯+⨯=2(2)2(3)2()f f m n +=+.。
精编(人教版)必修一数学：30《函数应用(Ⅱ)》知识讲解 提高版(含答案)
函数应用（Ⅱ）【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一：解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).要点二：解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：0rty y e，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿?【变式1】设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=ce kx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
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【巩固练习】
1．汽车油箱为长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时
油箱内装满汽油，已知汽车耗油量是n cm 3
/ km ，汽车行驶路程y （km ）与油箱内剩余油量的液面高度x （cm ）的函数关系式为（ ）
A ．()(0)n y c x x c ab =
-≤≤ B ．()(0)ab y c x x c n =-≤≤ C ．()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D ．()(0)ab
y n x x c c
=-≤≤
2．某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为y=5x+4000，而手套出厂
价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）
A ．200副
B ．400副
C ．600副
D ．800副 3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4
，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．某种产品市场销量情况如右图所示，其中：1l 表示产品各年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原计划进行； ②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；
③产品的库存积压将越来越严重，应减少产量或扩大销量；
④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．②③
5．甲、乙二人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2（v 1＜v 2），甲一半的路程使用速度v 1，另一半的路程使用速度v 2；乙一半的时间使用速度v 1，另一半的时间使用速度v 2．关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的图象及关系，有下图中四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程），则其中可能正确的图示分析为（ ）
6．如图所示，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=ae ―nt
，那么
桶2中水就是y 2=a ―ae ―nt
．假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过多少分钟桶1中的水只有
8
a
？（ ）
A ．7分钟
B ．8分钟
C ．9分钟
D ．10分钟
7．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售 电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 ________元（用数字作答）.
8.已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系()0.5x
y a b =⋅+，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为__________．
9．现测得（x ，y ）的两组值为（1，2），（2，5），现有两个拟合模型，甲：y=x 2
+1，乙：y=3x －1，若又测得（x ，y ）的一组对应值为（3，10.2），则应选用________作为拟合模型较好． 10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为12
T ．现测得某种放射性元素的剩余质量A 随
时间t 变化的6次数据如下：
t （单位时间）
0 2 4 6 8 10 A （t ）
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t)=________．
11．有一批影碟机，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价为760元，以此类推，每多买一台，单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
12．某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长．已知2004年为第一年，前4年年产量f (x)（万件）如下表所示：
（1）画出2004～2007年该企业年产量的散点图；
（2）建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求之；
（3）2010年（即x=7）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2010年的年产量为多少？
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 行驶路程y km 所用油量为ny cm3，又ny=ab(c －x)，所以()ab
y c x n
=
-，且0≤x ≤c ． 2．【答案】D
【解析】 由5x+4000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本． 3．【答案】B 【解析】 设至少要洗x 次，则3
1
(1)4
100
x
-≤
，所以1 3.32lg 2x ≥≈，因此至少要洗4次． 4．【答案】D
【解析】 由图可知，②③较为合理． 5．【答案】D
【解析】 在开始一段时间内，两者的速度都为v 1，故开始应出现一段两图象重合的部分，故①②可能． 6．【答案】D 【解析】 由题意得1
5
5512n
n n ae a ae e ---⎛⎫
=-⇒= ⎪⎝⎭
．设再经过t 分钟，桶1中的水只有8a ，
得(5)
8n t a ae
-+=
535
t +⇒=，解得t=10． 7. 【答案】148.4
【解析】高峰时段电费()500.568.5.1⨯+⨯（200-50）098=118元，低谷时段电费
()500.288.31.3⨯+⨯（100-50）08=30元.
8. 【答案】1.75万件 【解析】将12,1 1.5x x y y ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩代入()0.5x
y a b =⋅+，得0.510.25 1.5a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得22
a b =-⎧⎨=⎩ 函数解析式为()20.52x
y =-+，当x=3时，y=1.75.
9．【答案】甲
【解析】描出已知三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较可知甲函数拟合效果较好． 10．【答案】4 【解析】1
4
3202-⋅（t ≥0） 从测试记录易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0=320，
则经过时间t 的剩余质量为1
2
14
01()32022t
T A t A -
⎛⎫
==⋅ ⎪
⎝⎭
（t ≥0）．
11．【答案】甲 【解析】设某单位购买x 台影碟机，甲、乙两商场的差价为y 元，则去甲商场购买共花费(800－20x)x ，去乙商场花费600x （x ∈N*），
由题意得800－20x ≥440，∴1≤x ≤18（x ∈N*）．
∴当1≤x ≤18（x ∈N*）时，y=(800―20x)x ―600x=200x ―20x 2
； 当x ＞18（x ∈N*）时，y=440x ―600x=―160x ． 则y ＞0时，1≤x ＜10（x ∈N*）；y=0时，x=10；y ＜10时，x ＞10（x ∈N*）．
综上可知，若买少于10台，去乙商场购买花费较少；若买10台，去甲、乙商场购买花费一样；若买超过10台，则去甲商场购买花费较少． 12．【解析】（1）如答图所示．
（2）由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x)=ax+b ，由已知得
4
37
a b a b +=⎧⎨
+=⎩，解得a=1.5，b=2.5， ∴f (x)=1.5x+2.5．
检验：f(2)=5.5，|5.58－5.5|=0.08＜0.1． f (4)=8.5，|8.44－8.5|=0.06＜0.1．
∴一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映这一时期该企业年产量的变化．
（3）根据所建的函数模型，预计2010年的年产量为f (7)=1.5×7+2.5=13（万件），又年产量要减少30%，即为13×70%=9.1（万件），即2010年的年产量为9.1万件．。