2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1 数列的概念与简单表示法(二)
高中数学 2.1《数列的概念与简单表示法(2)》导学案 新人教A版必修5
【学习目标】1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.【重点难点】重点:数列的图像表示及数列的单调性.难点:如何利用数列与函数的关系灵活解决有关的实际问题. 【知识链接】（预习教材P 31 ~ P 34 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2：数列如何分类？【学习过程】※ 学习探究探究任务：数列的表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数n a 与层数n 之间有何关系？1. 通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 .2. 图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？※ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .小结：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）. A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a .小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-=（2n ≥），求34,a a .练2.（2005年湖南）已知数列{}n a 满足10a =，1331n n n a a a +-=+ （*n N ∈），则20a =（ ） .A ．0 B.－3 C.3 D.3练3. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =，通项公式是项数n 的一次函数. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.【学习反思】 ※ 学习小结1. 数列的表示方法；2. 数列的递推公式.※ 知识拓展n 刀最多能将比萨饼切成几块？意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n 刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第n 刀最多与前n －1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n 刀的切痕最多被前n －1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块.记刀数为1时，饼的块数最多为1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最多为n a ，所以n a =1n a n -+. 由此可求得n a =1+2)1(+n n .【基础达标】）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知数列130n n a a +--=，则数列{}n a 是（ ）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3B. 13C. 1318D. 123. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =（ ）. A. (1)n n + B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=-（n ≥2），则5a = .5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2），则6a = .【拓展提升】1. 数列n a 中，1a ＝0，1n a +＝n a ＋(2n －1) (n ∈N )，写出前五项，并归纳出通项公式.2. 数列{}n a 满足11a =，12()2nn n a a n N a +=∈+，写出前5项，并猜想通项公式n a .。
人教A版高中数学必修五数列的概念与简单表示法教案(2)
第一课时 2.1.1 数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：一、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.二、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a L L ，简记为{}n a .④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.2. 教学数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；1,3,6,10，、、、；1,4,9,16，、、、. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法.3. 例题讲解：例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.三、巩固练习：1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….2. 作业：教材P38页 第1①②、2题第二课时 2.1.2 数列的概念与简单表示法（二）教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：一、复习准备：1. 复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2. 提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？（学生讨论→个别回答→教师点评）二、讲授新课：1. 教学数列的递推公式：① 提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？ ② 数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n . ③ 数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法.2. 例题讲解：例1、已知数列{}n a 的首项1112,1(1)n n a a n a -==->，求出这个数列的第5项.（学生口答） 例2、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．（学生练→教师点评）思考题、已知数列{}n a 为3,7,11,15L ，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.3. 小结：我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式. 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的.三、巩固练习：1. 练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2)1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).2. 教材P39页 B 组 第3题3. 作业 教材P38－P39页 A 组 第4题、第6题。
人教版高中数学必修(五)2.1数列的概念与简单表示法教案(2)
数列的概念与简单表示法目标认知学习目标：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。
3.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系.重点：数列及其有关概念，数列的通项公式及其应用，数列的递推公式。
难点：数列的通项公式及其应用，数列的前n 项和与n a 的关系。
学习策略：数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。
关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.知识要点梳理知识点一：数列的概念⒈ 数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项。
注意：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号。
3. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a 。
其中n a 是数列的第n 项。
注意：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项。
知识点二：数列的分类1. 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
2018版高中数学A版必修五学案：§2-1 数列的概念与简
[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．知识点一数列的概念1．数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}．3．数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性．思考1数列的项和它的项数是否相同？答案数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.思考2数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？答案数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．知识点二数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：①有穷数列——项数有限的数列．②无穷数列——项数无限的数列．(2)根据数列的每一项随序号变化的情况分类：①递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；②递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；③常数列——各项相等的数列；④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． (3)根据其他原则，还可将数列分为有(无)数列、周期数列等． 思考 判断正误(1)数列1，2，3，4，…，2n 是无穷数列( ) (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列( ) 答案 (1)× (2)×解析 (1)中的数列是有穷数列，共有2n 个数．(2)中“由自然数构成的数列”是否递增，取决于这些自然数排列的顺序，未必全是递增的，如2，1，3，4，5……并不是递增数列． 知识点三 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．思考1 数列的通项公式有什么作用？答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；(2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列，还可以知道这个数列是递增(减)数列、摆动数列，还是常数列；(3)可以判断一个数是不是数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式a n ＝－58＋16n －n 2，则( ) A ．{a n }是递增数列 B ．{a n }是递减数列 C ．{a n }先增后减，有最大值 D ．{a n }先减后增，有最小值 答案 C解析 易于看出a n 是关于n 的二次函数，对称轴为n ＝8，故{a n }先增后减，有最大值．题型一 数列的概念与分类例1 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sinπ7，sin 2π7，sin 3π7，… C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3) C ．(1，3) D ．(2，3)答案 (1)C (2)D解析 (1)中，A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C. (2)中，结合函数的单调性，要证{a n }递增，则应有 ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7＝（3－a ）×7－3<a 8＝a 8－6， 解得2<a <3，选D.反思与感悟 (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．(2)数列的单调性：若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列． 跟踪训练1 已知下列数列： (1)2 000，2 004，2 008，2 012； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；(5)1，0，－1，…，sin n π2，…； (6)3，3，3，3，3，3.其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是______，摆动数列是________．(将正确答案的序号填在横线上) 答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)题型二 观察法写数列的一个通项公式例2 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)－1，2，－3，4，…； (4)2，22，222，2 222，….解 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2，∴a n ＝n 22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n ·n . (4)由9，99，999，9 999，…的通项公式可知，所求通项公式为a n ＝29(10n －1)．反思与感悟 (1)用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． ③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k 或(－1)k＋1处理符号．④对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决． (2)熟记一些基本数列的通项公式，如：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n . ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n . ③数列1，3，5，7，…的通项公式是a n ＝2n －1. ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n . ⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1.⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2.跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． (1)1，3，7，15，31，…； (2)4，44，444，4 444，…；(3)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(4)2，－45，12，－411，27，－417，…；(5)1，2，1，2，1，2，…. 解 答案不唯一．(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n ，故原数列的通项公式为a n ＝2n －1.(2)各项乘94，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n ，故原数列的通项公式为a n ＝49(10n －1)．(3)所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间； ②整数部分构成奇数列；③分母为从2开始的自然数的平方； ④分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可． 由所给的几项可得数列的通项公式为： a n ＝(－1)n ⎣⎡⎦⎤（2n －1）＋n（n ＋1）2，所以a n ＝(－1)n 2n3＋3n 2＋n －1（n ＋1）2.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为42，－45，48，－411，…，再把各分母分别加上1，数列又变为43，－46，49，－412，…，所以a n ＝4×（－1）n ＋13n －1.(5)a n ＝32＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12或者可写成分段函数形式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ∈N *，2，n 为偶数，n ∈N *.题型三 通项公式的应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋2）(n ∈N *)，则(1)计算a 3＋a 4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解 (1)∵a n ＝1n （n ＋2），∴a 3＝13×5＝115，a 4＝14×6＝124，∴a 3＋a 4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n }中的项，则1n （n ＋2）＝1120， ∴n (n ＋2)＝120， ∴n 2＋2n －120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项．反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练3已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0?解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项．(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.1．下列数列的关系是()(1)1，4，9，16，25；(2)25，16，9，4，1；(3)9，4，1，16，25.A．都是同一个数列B．都不相同C．(1)，(2)是同一数列D．(2)，(3)是同一数列答案 B解析三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同．2．下列数列中，是有穷数列的是()(1)1，1，1，1，…；(2)6，5，4，3，…；(3)110，18，16，14，12；(4)2，－2，2，－2.A．(2)，(3) B．(2)，(3)，(4) C．(1)，(2)，(3)，(4) D．(3)，(4)答案 D解析 (1)，(2)是无穷数列，(3)，(4)是有穷数列． 3．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝1>0，∴{a n }为递增数列．4．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n·n 2＋n2n ＋1B ．a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C ．a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1D ．a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋1答案 D解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母是3，5，7，9，可表示为2n ＋1，分子可调整为1×3，2×4，3×5，4×6，…故通项a n ＝(－1)n n （n ＋2）2n ＋1.5．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( ) A ．第28项 B ．第24项 C ．第23项 D ．第22项 答案 C解析 数列的通项公式为a n ＝2n －1. 令2n －1＝35，∴n ＝23.6．已知数列{a n }的前4项分别为2，0，2，0，…，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数答案 B解析 将n ＝1，2，3，4代入各选择项，验证得a n ＝2sinn π2不能作为通项公式．1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些“数”的排列次序也有关．2．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1，1.4，1.41，1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．。
人教版高中数学必修五 教案 2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)
2.1 数列的概念与简单表示法（第2课时）一、课标要求：（1）了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；（2）会根据数列的递推公式写出数列的前几项；a的关系。
（3）理解数列的前n项和与n二、教学重点、难点：重点：数列及其有关概念通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、设计思路：本节课重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
设计流程如下:四、教学过程： 课题导入（1）数列及有关定义 （2）数列的表示方法 通项公式法如数列0，1，2，3，4，5，…的通项公式为n a =n －1( n *N )； 列表法 图象法 讲授新课课本P35例2如图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
教师活动：(1)通过多媒体展示谢宾斯基（Sierpinski ）三角形, 引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式。
(2)启发学生仿照函数图象的画法用图象表示数列。
具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标，即以(n, n a )为坐标在平面直角坐标系中做出点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．体会数列的图象是一系列孤立的点。
解（略） 数列的递推公式：问题：如果一个数列{an}的首项1a =1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即 )1(121〉+=-n a a n n （※） 你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。
递推公式也是数列的一种表示方法。
例3 设数列{an}满足 =n a写出这个数列的前五项。
分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+=n n a a解：据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．法一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21=-n na a ∴112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a aa a a a a a ∴ nn n a a 2211=⋅=-例5. 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
高中数学人教版必修5导学案： 2.1数列的概念与简单表示法2
§2.1数列及简单的表示法 第2课时班级 姓名 组别 代码 评价【使用说明与学法指导】1． 在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。
训练案在自习或自主时间完成。
2． 重点预习：数列与函数的关系、数列的表示法、数列的递推公式。
3． 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问出”。
【学习目标】1. 了解数列和函数之间的关系，知道数列是一种特殊的函数。
2. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；3. 会由递推公式写出数列的前几项。
【学习重点】根据数列的递推公式写出数列的前几项【学习难点】理解递推公式与通项公式的关系【知识链接】1．数列的定义：2． 数列的通项公式的定义：3．数列如何分类？【预习案】预习一：数列与函数的关系1．数列可以看成以 为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的 。
反过来，对于函数)(x f y =，如果),3,2,1)(( =i i f 有意义，那么我们可以得到一个数列 。
2.数列的通项公式可以看成数列的 。
3.数列的表示方法有几种4.数列的图象是：预习二：递推公式的定义如果已知数列的 ，且任一项 与它的（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【探究案】探究：为什么说数列是一种特殊的函数？典型例题例1：见课本30页例2.例2：已知无穷数列1×2,2×3,3×4,……,n(n+1),……判断420与421是否为该数列中的项？若是应为第几项？小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数，有项数也可以求出对应的项。
{}n a即利用函数的观点；来解决数列问题。
变式1：写出数列2{}n n -的第20项，第n ＋1项.变式2：…，则是它的第 项.变式3：数列{}n a 中，452+-=n n a n （1）18是数列中的第几项？（2）n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值。
2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1数列的概念与简单表示法(二)
[学习目标] 1.理解数列的几种表示方法，能用函数的看法研究数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．知识点一数列的函数性质1．数列能够当作以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量依据从小到大的次序挨次取值时所对应的一列函数值．2．在数列{an}中，若 an＋1>an，则{an}是递加数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an ＋1＝an，则{an}为常数列．思虑1从定义上看，数列是特别的函数，所以，表示数列除能够用通项公式外，还能够有哪些方法？答案还能够用列表法，图象法．思虑2 数列单一性与函数单一性的差别和联系是什么？答案联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单一，则数列 f(n)也单一．反之不正确，比如f(x)＝(x5－4)2，数列f(n)单一递加，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单一递加．差别：两者定义不一样，函数单一性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D?I，对随意x1，x2I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单一递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单一递加，定义中的x12不可以用有限个数值来取代．数列单一性的定义：只要比较相邻的与a n ＋1，x a的大小来确立单一性．知识点二数列的表示方法1．数列的递推公式：假如数列{a n}的第1项或前几项已知，而且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系能够用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．思虑1已知数列{a n}知足a1＝3，a n＋1＝2a n＋1，则数列的第5项a5＝________，由此概括出{a n}的一个通项公式为________，能够求得a8＝________．答案∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a563.能够看出a n＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.思虑2由思虑1，领会一下数列的通项公式与递推公式有什么差别？答案通项公式直接反应了a n与n之间的关系，即知道n值，即可代入通项公式求得该项的值a n；递推关系则是间接反应数列的式子，它是数列随意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n，须将前方的各项挨次求出才行．题型一数列的函数特色例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)，写出其前5项，并判断数列{a n}的单一n＋9性．解当n＝1，2，3，4，5时，a n挨次为1，2，1，4，5，101362534a n＋1－a n＝n＋1－2n＝－n2－n＋9.2＋91）22（n＋1）n＋9[（n＋＋9][n＋9] 2－x＋9＝－(x＋1237∵函数f(x)＝－x2)＋4在[1，＋∞)上单一递减，又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，∴当n＝1，2时，a n＋1>a n，当n≥3，n∈N*时，a n＋1<a n，即a1<a2<a3>a4>a5>.∴数列{a n}的前3项是递加的，从第3项今后是递减的．反省与感悟判断数列的增减性，一般是将其转变为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为： ①作差；②变形；③定号；④结论．作商法合用于各项都是同号的数列，且应比较比值与 1的大小关系．追踪训练1求例题中的数列{a n }的最大项．解∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>，∴数列{a n31}的最大项为a ＝6.题型二 递推公式的简单应用例2(1)已知数列{a－－1＋(－1) n且a1＝1，则a 5等于()n }知足a n a n1＝a na 316 4 8 8 A.15B.3C.15D.32an.经过它的前5项，概括得出数列的一个通项公式是 (2)已知数列{a n }知足a 1＝1，a n ＋1＝na ＋ 2________．答案(1)B(2)a n ＝2(n ∈N *)n ＋1分析 (1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2；由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝12；2同理得a 4＝3，a 5＝2，故a 5＝3＝4，选B.3 a 3 1 322× 222×1 23 1 2(2)a 1＝1＝2，a 2＝1＋2＝ 3，a 3＝2 ＝ 2＝ 4，3＋21 2 2×2 2 2×5 1 2a 4＝1 ＝ 5，a 5＝2＝3＝ 6.2＋25＋2故数列的一个通项公式为 a n ＝2(n ∈N *)．n ＋1反省与感悟(1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式近似．能够依据递推公式挨次求得数列中的项．(2)利用递推公式求得数列的前几项，能够帮助我们猜想数列的通项公式．追踪训练2数列{a n}知足a1＝1，a n＋1＋2a n a n＋1－a n＝0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n}的一个通项公式．解(1)由已知可得a1＝1＝1，a21，a31，a4＝1，a5＝1 1＝3＝579.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，，所以它的一个通1项公式为a n＝2n－1.题型三由递推公式求通项公式1例3(1)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋ln(1＋n)，求a n.(2)已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝2a n(n∈N*)，写出前3项，猜想a n并加以证明．n＋1解(1)由题意得a n＋1－a n＝ln n，n∴a n－a n－1＝ln n－1(n≥2)，n－1a n－1－a n－2＝ln，，2a2－a1＝ln1.∴当n≥2时，a n－a1＝ln(n·n－1··2)＝lnn，n－1n－21∴∴a n＝2＋lnn(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＋ln1＝2，切合上式，a n ＝2＋lnn(n ∈N *)．(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22，猜想a n ＝2n －1(n ∈N *)．证明以下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴a n＝2，a n－1＝2，，a 2＝2，a n －1a n －2 a 1∴ a n ·a n －1··a 2＝2n －1(n ≥2)，a n －1a n －2a 1a n＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)．a 1当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，切合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．反省与感悟(1)由递推公式写出通项公式的步骤①先依据递推公式写出数列的前几项(起码是前3项)．②依据写出的前几项，察看概括其特色，并把每一项一致形式；③写出一个通项公式并证明．(2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f(n)(n ≥2)知足必定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋＋(a 2－a 1)＋ a 1累加来求通项 a n .(3)用“累乘法”求数列的通项公式当a n＝g(n)(n ≥2)知足必定条件时，常用a n ＝a n ·a n－1··a 2·a 1累乘来求通项a n . a n －1 a n －1a n －2a 1追踪训练3已知数列{a n1a n ＋1＝1，则数列{a n}中，a ＝1，a n2}的通项公式是()1A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n11C ．a n ＝2n－1D ．a n ＝2n答案 C分析∵a n ＋1＝1，a n 2∴当n ≥2时，an ＝1，a n －12∴a＝1，a＝1，，a 2＝1，n －1n －2a n －2 2a n －32a 12∴a n ·a n －1·a n －2··a 2＝(1)n －1，∴ a n －1a n －2a n －3a 12∴ a n ＝a 1(1)n－1＝(1)n－1(n ≥2)．22当n ＝1时，a 1＝(1)1－1＝(1)0＝1，切合上式，22a n ＝(1)n－1.2例4求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项．错解由已知，得291a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －4)2＋1088，1∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为1088.正解 由已知，得a n ＝－2n2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.因为n ∈N *，故当n 取距离29近来的正整数 7时，a n 获得最大值108，4∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.1．以下四个命题：①假如已知一个数列的递推公式及其首项，那么能够写出这个数列的任何一项；②数列2，3，4，5，的通项公式是a n＝n；3456n＋1③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，与数列－1，1，－1，1，是同一数列．此中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案A分析只有③正确．①中，如已知a n＋2＝a n＋1＋a n，a1＝1，没法写出除首项外的其余项．n＋1，④中－1和1摆列的次序不一样，即两者②中a n＝n＋2不是同一数列．2．数列2，4，6，8，10，的递推公式是()．a n＝a n－1＋2(n≥2)．a n＝2a n－1(n≥2)C．a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2)D．a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)答案C分析A，B中没有说明某一项，没法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．3．数列{x n}中，若1x1＝1，x n＋1＝x n＋1－1，则x2017等于()1A．－1B．－21C.2D．1答案D1分析∵x1＝1，∴x2＝－2，∴x3＝1，∴数列{x n}的周期为2，∴x2017＝x1＝1.n n n－2011，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()4．数列{a}中，a＝n－2012A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a44D．a45，a50答案C分析a n＝n－2011＝1＋2012－2011.n－2012n－2012∴当n∈[1，44]且n∈N*时，{a n}单一递减，当n∈[45，＋∞)且n∈N*时，{a n}单一递减，2012－2011联合函数f(x)＝的图象，可知(a n)max＝a45，(a n)min＝a44.5．已知数列{a n}知足a1＝1，a n－a n－1＝2(n≥2)，则数列的通项a n等于() A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2(n－1)答案C分析当n≥2时，∵a n－a n－1＝2，∴∴(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2＋2＋＋2＝2(n－1)，(n－1)个a n＝2n－1.当n＝1时，a n＝1合适上式，a n＝2n－1(n∈N*)．6．已知数列{a n}，关于随意的p，q∈N *，都有a＋1，则a36＝________．p＋a q＝a pq，若a1＝9答案4分析由已知得2a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝9，458同理a4＝9，a8＝9，8 1a9＝a8＋1＝a8＋a1＝9＋9＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.1.{a n}与a n是不一样的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，，a n，，是数列的一种简记形式．a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的附属关系．而2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的差别：通项公式直接反应a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道随意一个详细的n值，就能够求出该项的值a n；而递推公式则是间接反应数列的式子，它是数列随意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不可以由n直接得出a n.。
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式(二)——利用Sn与an关系求通项公
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 2n2 n 1，求 an 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 3n ，求 an
答案 第1题
4 n 1 an 4n 1 n 2
第2题
an 2 3n1, n N
隐藏 Sn ，求 an
【例 2】已知数列{an}中， a1 2a2 2n1an n2 n ，求 an
（2）由（1）
1 Sn
2n ，
Sn
1 2n
,nN
（又回到了类型一）
①当
n
1 时，
a1
S1
1 2
②当 n 2 时， an Sn Sn1
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2n 2n 2
1 2n2 2n
n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 对于 bn 2n ，当 n 1 时， b1 2
所以： bn 2n, n N
又 bn 2n1 an , 则2n1 an 2n
所以： an
n 2n2
,n N
处理方法
换元转换为类型一
3. 已知数列{an}中， a1 3a2 (2n 1)an n(n 1)(n 2) ，求 an
（1）求 an ：与类型一的处理方法一样，消去 Sn ，
得到 an 与 an1 的递推关系，再求 an
（2）求 Sn ：消去 an ，得到 Sn 与 Sn1 的递推关系，
进而求出 Sn
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2 0即 1 1 2
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(2)(含答案)
2.1数列的概念与简单表示法(二)自主学习知识梳理1．数列可以看作是一个定义域为________________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．2．一般地，一个数列{a n}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n}的各项________，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定；若求最小项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定．自主探究已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n3－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．知识点二 求数列的最大最小项例2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．知识点三 由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立.课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57C.37D.17题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.§2.1 数列的概念与简单表示法(二)知识梳理1．正整数集N * 函数值2．第二项 a n ＋1>a n 第二项 a n ＋1<a n 都相同 3.⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1自主探究解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6， 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6.∴a 2 011＝a 335×6＋1＝a 1＝1.对点讲练例1 证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1 解 若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立， 即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7.∴a 的取值范围为a ≤7.例2 解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2 解 (1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3 解 由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74，a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n(n ∈N *)． 变式训练3 解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)． 课时作业1．A2．B [∵a 1＝1，∴a 2＝12＋12＝1，a 3＝12＋14＝34，a 4＝12×34＋18＝12.] 3．C [a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110， 猜想a n ＝13(n －1)＋1， ∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100.] 4．B [∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6， ∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.] 6．127．10或11解析 令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11. ∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．2 017 036解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036. 9．(1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．10．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. ∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.。
2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1-数列的概念与简单表示法(二)
2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1-数列的概念与简单表示法(二)D答案通项公式直接反映了a n与n之间的关系，即知道n值，即可代入通项公式求得该项的值a n；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n，须将前面的各项依次求出才行．题型一数列的函数特征例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n n2＋9(n∈N*)，写出其前5项，并判断数列{a n}的单调性．解当n＝1，2，3，4，5时，a n依次为110，213，1 6，425，5 34，a n＋1－a n＝n＋1（n＋1）2＋9－nn2＋9＝－n2－n＋9 [（n＋1）2＋9][n2＋9].∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－(x＋12)2＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，∴当n＝1，2时，a n＋1>a n，当n≥3，n∈N*时，a n＋1<a n，即a1<a2<a3>a4>a5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．反思与感悟判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．跟踪训练1 求例题中的数列{a n }的最大项． 解 ∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>…， ∴数列{a n }的最大项为a 3＝16.题型二 递推公式的简单应用例2 (1)已知数列{a n }满足a n a n －1＝a n －1＋(－1)n 且a 1＝1，则a 5a 3等于( )A.1615B.43C.815D.83(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式是________．答案 (1)B (2)a n ＝2n ＋1(n ∈N *)解析 (1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2；由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝12；同理得a 4＝3，a 5＝23，故a 5a 3＝2312＝43，选B.(2)a 1＝1＝22，a 2＝2×11＋2＝23，a 3＝2×2323＋2＝12＝24，a 4＝2×1212＋2＝25，a 5＝2×2525＋2＝13＝26.故数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似．可以根据递推公式依次求得数列中的项．(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们猜想数列的通项公式．跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式． 解 (1)由已知可得a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19. (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.题型三 由递推公式求通项公式例3 (1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，求a n . (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，写出前3项，猜想a n 并加以证明．解 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……， a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln(n n －1.n －1n －2 (2)1)＝ln n ，∴a n ＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式， ∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22， 猜想a n ＝2n －1(n ∈N *)．证明如下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴a n a n －1＝2，a n －1a n －2＝2，…，a 2a 1＝2，∴a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝2n －1(n ≥2)，∴a n a 1＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)由递推公式写出通项公式的步骤①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；③写出一个通项公式并证明． (2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加来求通项a n .(3)用“累乘法”求数列的通项公式当a n a n －1＝g (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1累乘来求通项a n .跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n B ．a n ＝12nC ．a n ＝12n －1 D ．a n ＝12n答案 C解析 ∵a n ＋1a n ＝12，∴当n ≥2时，a n a n －1＝12，∴a n －1a n －2＝12，a n －2a n －3＝12，…，a 2a 1＝12，∴a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1＝(12)n －1，∴a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝(12)1－1＝(12)0＝1，符合上式，∴a n ＝(12)n －1.例4 求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项． 错解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818，∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为10818.正解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108，∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 A＝a n＋1＋解析只有③正确．①中，如已知a n＋2a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n＝n＋1，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不n＋2是同一数列．2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是() A．a n＝a n－1＋2(n≥2)B．a n＝2a n－1(n≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2) 答案 C解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( ) A ．－1 B ．－12C.12 D ．1 答案 D解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1.4．数列{a n}中，a n＝n－ 2 011n－ 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a44D．a45，a50答案 C解析a n＝n－ 2 011n－ 2 012＝1＋2 012－ 2 011n－ 2 012.∴当n∈[1，44]且n∈N*时，{a n}单调递减，当n∈[45，＋∞)且n∈N*时，{a n}单调递减，结合函数f(x)＝2 012－ 2 011x－ 2 012的图象，可知(a n)max＝a45，(a n)min＝a44.5．已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n－1＝2(n≥2)，则数列的通项a n等于()A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2(n－1)答案 C解析当n≥2时，∵a n－a n－1＝2，∴(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2＋2＋…＋2＝2(n－1)，(n－1)个∴a n＝2n－1.当n＝1时，a n＝1适合上式，∴a n＝2n－1(n∈N*)．6．已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________．答案 4解析由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝8 9，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1，∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4.1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_18
数列通项公式求法教学设计本节课讲述的是人教版高三数学数列专题复习课：数列通项公式求法一、教材分析1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，纵观全国高考，几乎都是一小题，一大题。
虽然近几年难度有所下降，但对学生来说还是难。
它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
求数列通项公式在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
数列模块，是高考重难点。
2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标：A、在知识与技能上：进一步复习数列通项公式的求法，加深学生的理解和印象，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
B、过程与方法：在学习的过程中体会求数列通项公式的过程和方法，如特殊数列的求法和利用构造新数列求通项等方法。
C、在情感上：通过对数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我们确定本节课的教学重点为:①数列通项公式的求法。
②构造新数列求数列的通项公式的推导过程。
采用构造新数列的方法推导数列的通项公式是这节课的一个难点。
二、学情分析对于高三学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、教法分析针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课采用探究式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)． 试问数列{a n }的最大项是第几项？解 方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二 令a n a n －1≥1 (n ≥2)， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)． 解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12， 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的． 故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解 例 设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析 先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析 题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析 题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。
人教A版高中数学必修5教案2.1数列的概念与简单表示法(2)
课题： 2．1数列的概念与简单表示法（二） 第 课时 总第 个教案 课型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 教 学 目 标 1.知识与技能
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同. 2.过程与方法
会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系. 3.情感、态度与价值观
体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.
教学方法
通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
教学过程：
批 注
活动一：创设情景，揭示课题 （5分钟）
1).以下四个数中,是数列{})1(+n n 中的一项的是 ( A ) A.380 B.39 C.32 D.18
2).设数列为 ,11,22,5,2则24是该数列的 ( C ) A.第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项
3).数列5 ,4 ,3 ,2,1--的一个通项公式为n a n n 1
)1(+-=．
4）、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski ）三角形。
在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直。
人教版高中数学必修五 教案 2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)
2.1 数列的概念与简单表示法（第2课时）一、课标要求：（1）了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；（2）会根据数列的递推公式写出数列的前几项；a的关系。
（3）理解数列的前n项和与n二、教学重点、难点：重点：数列及其有关概念通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、设计思路：本节课重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
设计流程如下:四、教学过程： 课题导入（1）数列及有关定义 （2）数列的表示方法 通项公式法如数列0，1，2，3，4，5，…的通项公式为n a =n －1( n *N )； 列表法 图象法 讲授新课课本P35例2如图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
教师活动：(1)通过多媒体展示谢宾斯基（Sierpinski ）三角形, 引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式。
(2)启发学生仿照函数图象的画法用图象表示数列。
具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标，即以(n, n a )为坐标在平面直角坐标系中做出点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．体会数列的图象是一系列孤立的点。
解（略） 数列的递推公式：问题：如果一个数列{an}的首项1a =1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即 )1(121〉+=-n a a n n （※） 你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。
递推公式也是数列的一种表示方法。
例3 设数列{an}满足 =n a写出这个数列的前五项。
分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+=n n a a解：据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．法一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21=-n na a ∴112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a aa a a a a a ∴ nn n a a 2211=⋅=-例5. 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
2018版高中数学A版必修五学案：§2-1 数列的概念与简单表示法二 精品
[学习目标] 1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．知识点一数列的函数性质1．数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；若a n＋1＝a n，则{a n}为常数列．思考1从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？答案还可以用列表法，图象法．思考2数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调．反之不正确，例如f(x)＝(x－54)2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增．区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性．知识点二数列的表示方法1．数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．思考1已知数列{a n}满足a1＝3，a n＋1＝2a n＋1，则数列的第5项a5＝________，由此归纳出{a n}的一个通项公式为________，可以求得a8＝________．答案∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出a n＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.思考2 由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？答案 通项公式直接反映了a n 与n 之间的关系，即知道n 值，即可代入通项公式求得该项的值a n ；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n ，须将前面的各项依次求出才行．题型一 数列的函数特征例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性．解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－(x ＋12)2＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．反思与感悟 判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系． 跟踪训练1 求例题中的数列{a n }的最大项． 解 ∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>…， ∴数列{a n }的最大项为a 3＝16.题型二 递推公式的简单应用例2 (1)已知数列{a n }满足a n a n －1＝a n －1＋(－1)n 且a 1＝1，则a 5a 3等于( )A.1615B.43C.815D.83(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式是________．答案 (1)B (2)a n ＝2n ＋1(n ∈N *)解析 (1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2； 由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝12；同理得a 4＝3，a 5＝23，故a 5a 3＝2312＝43，选B.(2)a 1＝1＝22，a 2＝2×11＋2＝23，a 3＝2×2323＋2＝12＝24，a 4＝2×1212＋2＝25，a 5＝2×2525＋2＝13＝26.故数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似．可以根据递推公式依次求得数列中的项．(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们猜想数列的通项公式． 跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式．解 (1)由已知可得a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.题型三 由递推公式求通项公式例3 (1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，求a n .(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，写出前3项，猜想a n 并加以证明． 解 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n， ∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……， a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln(n n －1.n －1n －2 (2)1)＝ln n ，∴a n ＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式， ∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22， 猜想a n ＝2n －1(n ∈N *)．证明如下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0， ∴a n a n －1＝2，a n －1a n －2＝2，…，a 2a 1＝2，∴a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝2n －1(n ≥2)，∴a n a 1＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)由递推公式写出通项公式的步骤 ①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式； ③写出一个通项公式并证明． (2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加来求通项a n .(3)用“累乘法”求数列的通项公式 当a n a n －1＝g (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1累乘来求通项a n .跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝12nC ．a n ＝12n －1D ．a n ＝12n答案 C解析 ∵a n ＋1a n ＝12，∴当n ≥2时，a n a n －1＝12，∴a n －1a n －2＝12，a n －2a n －3＝12，…，a 2a 1＝12，∴a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1＝(12)n －1，∴a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝(12)1－1＝(12)0＝1，符合上式，∴a n ＝(12)n －1.例4 求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项． 错解 由已知，得 a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为10818.正解 由已知，得 a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818. 由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 只有③正确．①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列．2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2) 答案 C解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意． 3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A ．－1B ．－12C.12 D ．1 答案 D解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1.4．数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50 答案 C解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋ 2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝2(n ≥2)，则数列的通项a n 等于( ) A ．2n ＋1 B ．2n C ．2n －1 D ．2(n －1) 答案 C解析 当n ≥2时，∵a n －a n －1＝2，∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2＋2＋…＋2＝2(n －1)， (n －1)个 ∴a n ＝2n －1.当n ＝1时，a n ＝1适合上式， ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．6．已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________．答案 4解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29，同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1，∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4.1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系． 2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[学习目标] 1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．知识点一 数列的函数性质1．数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n ＋1>a n ，则{a n }是递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列；若a n ＋1＝a n ，则{a n }为常数列．思考1 从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？答案 还可以用列表法，图象法．思考2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案 联系：若函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列f (n )也单调．反之不正确，例如f (x )＝(x －)2，数列f (n )单调递增，但函数f (x )在(1，＋∞)上不是单调递增．54区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f (x )的定义域为D ，设D ⊇I ，对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )在I 上单调递减，若f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在I 上单调递增，定义中的x 1，x 2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的a n 与a n ＋1的大小来确定单调性．知识点二 数列的表示方法1．数列的递推公式：如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．思考1 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________．答案 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511.思考2 由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？答案 通项公式直接反映了a n 与n 之间的关系，即知道n 值，即可代入通项公式求得该项的值a n ；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n ，须将前面的各项依次求出才行．题型一 数列的函数特征例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单nn 2＋9调性．解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为，，，，，11021316425534a n ＋1－a n ＝－＝.n ＋1（n ＋1）2＋9nn 2＋9－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－(x ＋)2＋在[1，＋∞)上单调递减，12374又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ，即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．反思与感悟 判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．跟踪训练1 求例题中的数列{a n }的最大项．解 ∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>…，∴数列{a n }的最大项为a 3＝.16题型二 递推公式的简单应用例2 (1)已知数列{a n }满足a n a n －1＝a n －1＋(－1)n 且a 1＝1，则等于( )a 5a 3A. B. C. D.16154381583(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式2anan ＋2是________．答案 (1)B (2)a n ＝(n ∈N *)2n ＋1解析 (1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2；由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝；12同理得a 4＝3，a 5＝，故＝＝，选B.23a 5a 3231243(2)a 1＝1＝，a 2＝＝，a 3＝＝＝，222×11＋2232×2323＋21224a 4＝＝，a 5＝＝＝.2×1212＋2252×2525＋21326故数列的一个通项公式为a n ＝(n ∈N *)．2n ＋1反思与感悟 (1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似．可以根据递推公式依次求得数列中的项．(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们猜想数列的通项公式．跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式．解 (1)由已知可得a 1＝1＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝，a 5＝.1113151719(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝.12n －1题型三 由递推公式求通项公式例3 (1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋)，求a n .1n (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，写出前3项，猜想a n 并加以证明．解 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln ，n ＋1n ∴a n －a n －1＝ln (n ≥2)，nn －1a n －1－a n －2＝ln ，n －1n －2……，a 2－a 1＝ln .21∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln(··…·)＝ln n ，n n －1n －1n －221∴a n ＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22，猜想a n ＝2n －1(n ∈N *)．证明如下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴＝2，＝2，…，＝2，anan －1an －1an －2a 2a 1∴··…·＝2n －1(n ≥2)，anan －1an －1an －2a 2a 1∴＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)．ana 1当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)由递推公式写出通项公式的步骤①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；③写出一个通项公式并证明．(2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加来求通项a n .(3)用“累乘法”求数列的通项公式当＝g (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝··…··a 1累乘来求通项a n .an an －1an an －1an －1an －2a 2a 1跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，＝，则数列{a n }的通项公式是( )an ＋1an 12A ．a n ＝2n B ．a n ＝12nC ．a n ＝D ．a n ＝12n －112n答案 C解析 ∵＝，an ＋1an 12∴当n ≥2时，＝，anan －112∴＝，＝，…，＝，an －1an －212an －2an －312a 2a 112∴···…·＝()n －1，anan －1an －1an －2an －2an －3a 2a 112∴a n ＝a 1()n －1＝()n －1(n ≥2)．1212当n ＝1时，a 1＝()1－1＝()0＝1，符合上式，1212∴a n ＝()n －1.12例4 求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项．错解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －)2＋108，29418∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为108.18正解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －)2＋108.29418由于n ∈N *，故当n 取距离最近的正整数7时，a n 取得最大值108，294∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…的通项公式是a n ＝；23344556n n ＋1③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 只有③正确．①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n ＝，④中－1和1排列的顺序不同，即二n ＋1n ＋2者不是同一数列．2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)答案 C解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝－1，则x 2 017等于( )1xn ＋1A ．－1 B ．－12C. D ．112答案 D解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－，∴x 3＝1，12∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1.4．数列{a n }中，a n ＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )n － 2 011n －2 012A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50答案 C解析 a n ＝＝1＋.n －2 011n －2 012 2 012－2 011n －2 012∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝的图象，2 012－2 011x －2 012可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝2(n ≥2)，则数列的通项a n 等于( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2(n －1)答案 C解析 当n ≥2时，∵a n －a n －1＝2，∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2＋2＋…＋2＝2(n －1)， (n 1)个∴a n ＝2n －1.当n ＝1时，a n ＝1适合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．6．已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝，则19a 36＝________．答案 4解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝，29同理a 4＝，a 8＝，4989∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝＋＝1，8919∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4.1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.。