边角边 相似三角形上课 题签
初三数学下学期《相似三角形》课后习题题型归纳
初三数学下学期《相似三角形》课后习题题型归纳要想让自己在考试时取得好成绩，除了上课要认真听讲外还需要课后多做练习，接下来为大家推荐了相似三角形课后习题，希望能帮助到大家。
一、填空题1、形状的图形叫相似形;两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的.2、相似多边形的对应角，对应边 ;如果两个多边形的对应角，对应边的比，那么这两个多边形相似.相似多边形对应边的比称为 .3、下面各组中的两个图形，是形状相同的图形，是形状不同的图形.4、如图，在正六边形ABCDEF与正六边形中∵正六边形的每个内角都等于120A，，，，， ;又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA= ;=正六边形ABCDEF∽正六边形5、如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知A=120，B=85C1=75，AB=10，A1B1=16，CD=18，则D1= ，C1D1= ，它们的相似比为 .6、若两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形 .7、已知两个相似三角形的相似比是3∶4，其中一个三角形的最短边长为4 cm，那么另一个三角形的最短边长为 .8、在△ABC中，已知AB=3，BC=5.在△中，已知=6，若△ABC∽△，则= .9、若△ABC∽△DEF，且A=70，B=60则D= ，F= .10、若四边形ABCD与四边形的相似比为3∶2，那么四边形与四边形ABCD的相似比为 .11、若△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2∶3，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为 .12、在比例尺1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 km.二、选择题13、下列说法中正确的是( )A. 两个平行四边形一定相似B.两个菱形一定相似C. 两个矩形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似14、下列说法中正确的是( )A.两个直角三角形相似B.两个等腰三角形相似C.两个等边三角形相似D.两个锐角三角形相似15、若△ABC∽△，且相似比为k，则k的值等于( )A.A∶AB.AB∶C.AB∶D.BC∶16、若四边形ABCD∽四边形，且AB∶=1∶2 ，已知BC=8，则的长是( )A.4B.16C.24D.6417、Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 cm，与它相似的Rt△的斜边为20 cm，那么Rt△的周长为( )A.48cmB.28cmC.12cmD.10cm18、△ABC的三边长分别为、、2，△DE F的两边长分别为1和，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长为( )A. B.2 C. D.2三、解答题19、证明：任意两个正方形是相似形20、如图所示为一矩形木框，四周为宽度相同的木条，那么这个矩形框的里、外两个矩形是相似形吗?假设木框长为30 cm 宽为20cm，木条的宽度为2 cm，试加以验证.21、某同学将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸恰好相似，如图所示求整张报纸的长和宽的比是多少?22、一只蚂蚁因为误食了魔药，每过一分钟身体就会长大一倍，如果及时赶回家的话，魔法就会自动消失.会家途中要经过一个直径为12.8 cm的圆形山洞，已知蚂蚁原来的身体最大宽度为0.2 cm，且距山洞有10m.它必须以多快的速度行走才能安全回家，而不被洞口挡住?有了上文为大家推荐的相似三角形课后习题，是不是助力不少呢?祝您学习愉快。
相似三角形的判定边角边定理
目前相似三角形的判定定理已经比较完善，但仍有一些细节 和边缘问题需要进一步研究和探讨，以完善几何学的理论体 系。
05
练习与思考题
基础练习题
01
总结词
理解边角边定理的基本应用
02 03
题目1
已知$triangle ABC$和$triangle ABD$中，AB=AB，AC=AD，且 $angle BAC = angle BAD$，求证：$triangle ABC cong triangle ABD$。
03
边角边定理的应用
证明两个三角形相似
总结词
边角边定理是证明两个三角形相似的重要定理之一，通过比较两个三角形的两边和夹角是否相等，可 以判断两个三角形是否相似。
详细描述
边角边定理指出，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形相似。具体来说，如果 $triangle ABC sim triangle A'B'C'$，且$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$angle B = angle B'$，则根据 边角边定理，可以推断出$triangle ABC$与$triangle A'B'C'$相似。
性质
边角边定理是相似三角形判定定理的 一种，它提供了判断两个三角形是否 相似的依据。
边角边定理的证明
证明方法一
通过三角形的性质和角的相等关系，利用三角形的 全等定理进行证明。
证明方法二
利用反证法，假设两个三角形不相似，然后通过一 系列推理和计算，得出矛盾，从而证明边角边定理 。
证明方法三
利用向量方法，通过向量的加法、数乘和向量的模 长等性质，证明两个三角形的向量相等，从而得出 两个三角形相似的结论。
九年级数学相似三角形的判定(学生版)知识点+例题
九年级数学相似三角形的判定(学生版)知识点+例题【学习目标】1、了解相似三角形的概念, 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用,提高运用“类比”思想的自觉性,提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中,如果我们就说与相似,记作∽.k就是它们的相似比,“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即∽,则说明点A的对应点是A′,点B的对应点是B′,点C的对应点是C′；(2)对于相似比,要注意顺序和对应的问题,如果两个三角形相似,那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时,两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必需是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形举一反三：下列图形中,必是相似形的是（）．A．都有一个角是40°的两个等腰三角形B．都有一个角为50°的两个等腰梯形C．都有一个角是30°的两个菱形 D．邻边之比为2：3的两个平行四边形类型二、相似三角形的判定2. 如图所示,已知中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于F,请找出图中各对相似三角形,并求出相应的相似比.3. 梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、F分别为AB、BC的中点,EF与BD交于M．（1）求证：△EDM ∽△FBM；（2）若DB=9,求MB的长．4. 已知：如图,△ABC中,AB＝AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．举一反三：1、如图,AD、CE是△ABC的高,AD和CE相交于点F,求证：AF·FD=CF·FE．2、如图,F是△ABC的AC边上一点,D为CB延长线一点,且AF=BD,连接DF, 交AB于E.求证：DE AC EF BC.3、已知：如图正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．4、如图,弦和弦相交于内一点,求证：.4、如图,小正方形边长均为1,则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？图（1）图（2）图（3）图（4）5、如图,正方形ABCD和等腰Rt,其中,G是CD与EF的交点．（1）求证：≌．（2）若,,,求的值．【巩固练习一】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是（）．①②③④A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④4.在△ABC和△DEF中, ①∠A=35°,∠B=100°,∠D=35°,∠F=45°；②AB=3cm,BC=5cm,∠B=50°,DE=6cm,DF=10cm,∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ).A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF＝90°,则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF ∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中,EF∥AB,DE：EA=2：3,EF=4,则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.如图所示,D、E两点分别在AB、AC上,且DE和BC不平行,请你填上一个你认为合适的条件_______使△ADE∽△ACB.8如图所示,∠C=∠E=90°,AD=10,DE=8,AB=5,则AC=________.9.如图所示,在直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为________或________时,使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB=__________.11.如图,CD∥AB,AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上,且EF∥AB,则图中与△OEF 相似的三角形为_________.12．如图,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图,在△ABC中,DE∥BC,AD＝3,AE＝2,BD＝4,求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90°,且,求证：BD⊥CD．15. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗？为什么？【巩固练习二】一、选择题1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3,△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5,则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( ).A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：162．如图,P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P做直线截ΔABC,使截得的三角形与ΔABC相似,满足这样条件的直线共有（）.A．1条B．2条C．3条D．4条3.如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE=AB,连结EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC：CD为( ) .A. 2：1B. 3：2C. 3：1D. 5：24. 如图,在平行四边形ABCD中,E是AD上的一点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论中错误的是（）.A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC5．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD⊥AB,垂足为D,则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对6. 如图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP 与△ECP相似的是( ) .A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中点D.BP：BC=2：3二、填空题7.如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________.8. 如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD＝∠A＝∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有_________对.9.如图,是正方形ABCD的外接圆,点F是AB的中点,CF的延长线交于点E,则CF:EF 的值是________________.10.如图,点M在BC上,点N在AM上,CM=CN,AM BMAN CM,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.11.如图,在平行四边形ABCD中,M,N为AB的三等分点,DM,DN分别交AC于P,Q两点,则AP：PQ:QC=____________.12.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动,当CM=______时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13. 如图,和都是等边三角形,且B、C、D共线,BE分别和AC、AD相交于点M、G,CE和AD相交于点N．求证：（1）CG平分．（2）∽．14. 如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD＝CE,AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15.已知点P在线段AB上,点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数,且),BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.11 / 11。
相似三角形经典总复习(含知识点习题)
第23章:相似三角形 第一节:比例线段 知识点:1、相似多边形：从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形。
从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形。
2、比例线段：一、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。
二、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段。
例如线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=或者（::a b c d =）a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d b c=。
三、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项：若a cb d=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项，可记做（2b ac =）3、比例性质： 1、基本性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad bc =。
2、合比性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=。
在此处键入公式。
a b c db d±±=3、等比性质：如果a c mb d n===（0b d n +++≠），则a c m a c mb d n b d n+++====+++，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠的条件。
4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。
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相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
九年级数学相似三角形的知识点及习题
相似三角形考点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSS AAS （ASA ） HL相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
初三下学期相似三角形知识要点典型例题及练习
初三相似三角形知识应用及练习一、知识要点：1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。
2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理：定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似；推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 二、典型题：1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，直线DEF 分别交AB 、BC 于D 、E ，交AC 的延长线于F ，求证：ＤＥ·CF ＝BD ·EF２、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ，且AB ⊥AC ，高DE 交AC 于F 点，BA 、ED的延长线交于点G ，求证：EG EF DE ⋅=23、如图，已知AD 、BE 是△ABC 的两条高，∠C=60°，F 是AB 的中点。
求证：DE=DF练习：一、填空题1、如图1，E是平行四边形ABCD的一边BA延长线上的一点，CE分别交AD、BD于F、G，图中共有______对相似三角形，按照对应顺序写出图中的相似形_________________________________________.2、一个三角形的三边分别为8cm、6cm、12cm，另一个与它相似的三角形最长边为6cm，则其余两边为________3、已知，如图2，，在△ABC中，DE//BC，AD=EC，BD=1cm，AE=4cm，BC=5cm，DE=＿＿＿＿4、如图3、AB//CD//EF，则图中相似三角形的对数为＿＿＿＿＿5、已知：如图4，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AB的平行线交AC于E，若AB=m，AC=n，则DE=＿＿＿＿＿6、如图5，在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE//AB交AC的延长线于点E，那么CE=＿＿＿＿7、如图6、AD、BE是锐角△ABC的两条高，AD=BD连接DE，若DE：AB=1：2，则∠C的度数为＿＿＿＿＿8、若P为△ABC（AB＞AC）的边AB上一点，则添加一个条件使△ACP∽△ABC，那么这样的条件是＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿9、如图7，四边形ABCD、DCEF、EFHG是三个正方形，则________∠+∠+∠21=310、如图8，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，E是BC的中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF=＿＿＿＿二、选择题1、如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，且AC、BD相交于点O，过O点作EF//AD分别交AB、CD于E、F，则图中有相似的三角形的对数为……………………………………………….……………………（）A、5B、4C、3D、22、如图10，在△ABC中，中线CD、BE相交于点O，P、Q分别是BE、CD的中点，则PQ：BC=……………（）A、1：2B、1：3C、1：4D、1：6角形都相似；④所有等腰三角形都相似；⑤所有直角三角形都相似；⑥所有等腰直角三角形都相似，其中正确的个数是……………………………………………………………………………………………………….….（ ）A 、6个B 、4个C 、3个D 、2个4、已知△ABC ∽C B A '''∆，且BC ：C B A C A AC C A AC C B '''∆=''=''=''，则，若8.13: 与△ABC 的相似比为…………………………………………………………………………………………………….（ ）A 、2：3B 、3：2C 、5：3D 、3：55、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为……………………………………………………………………….…………………………………（ ）A 、25：12B 、5：12C 、5：4D 、5：36、如图11，在相似的直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=,6AD=2，则AB 的长为…………………（ ）A 、3B 、32C 、3或32D 、以上都不对7、如图12，则下列结论一定成立的是………………………………………………..…………………（ ）A 、△OAB ∽△OCA B 、△OAB ∽△ODAC 、△BAC ∽△BDAD 、△OAC ∽△ODA 8、下列命题中不成立的是………………………………………………………..………………………（ ） A 、和中，如果，那么这两个三角形相似 B 、如果一个三角形的两边与第三边上的中线同另一个三角形的两边与第三边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似 C 、如果一个三角形的两边与第三边上的高同另一个三角形的两边与第三边上的高对应成比例，那么这两个三角形相似 D 、两个等边三角形相似9、Rt △ABC 中∠C=90°，∠ACB=2∠ABC ，则下列结论成立的是………………………………………（ ）AB AC BC AC AB A -+=+222、 BC AC AC AB B ⋅+=22、 BC AC AB BC C ⋅+=222、 AB AC AC AB D ⋅=-22、 三、解答题1、如图，已知∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB；求证：△ABC∽△DBE2、已知：如图，D是AC边上一点，AD：DC=1：2，E是BD上一点，BE：ED=1：2， AE的延长线交BC于F，求BF：FC的值。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a =4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c d a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ． 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBC AB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
边边边相似三角形上课 题签
边边边相似
例1：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知：
(1)AB ＝6 cm ， BC ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，A ′B ′＝18 cm ，B ′C ′＝24 cm ，A ′C ′30 cm ．试判定△
ABC 与A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm ，BC=15cm ，AC ＝24cm A ′B ′＝16cm ，B ′C ＝20cm ，A ′C ′＝30cm
(3)教材12页2题
知识拓展
1、若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，一组对应边的长为AB=3 cm ，A ′B ′=4 cm ，那么△A ′B ′C ′与
△ABC 的相似比是_________
2、若△ABC 的三条边长为3cm 、5cm 、6cm,与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最小边长为12 cm ， 那么 △ A ′B ′C ′的最大边长是_________
3、若△ABC 的三条边长3cm,4cm,5cm,且△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1的形状
是___________ _.
，如图已知例
AE AC DE BC AD AB ==2 试说明∠BAD=∠CAE.
巩固训练：
不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果
它们相似吗？如果相似，
和如图在正方形网格上有222111A .1C B A C B ∆∆
2.要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
3. 如图1,已知:DE ∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似.。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
(完整word版)第11周相似三角形知识点及典型例题
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳:1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3)判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等,两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.(5）判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.(6)判定直角三角形相似的方法:①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC, (2）（AB）2=BD·BC ,(3）(AC ）2=CD ·BC .注:由上述射影定理还可以证明勾股定理.即 (AB)2+（AC ）2=(BC)2。
典型例题:例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB,BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 【解题技巧点拨】例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD【解题技巧点拨】．一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。