高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课(3)北师大版1-1.
2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修1-1(2021-2022学年)
第2章圆锥曲线与方程1．椭圆的焦点三角形设P为椭圆错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
=1（a〉b〉0）上任意一点(不在x轴上），F１,Ｆ2为焦点且∠F1PＦ2＝α，则△ＰＦ１F2为焦点三角形(如图）．（1)焦点三角形的面积Ｓ=b2tan 错误!。
（2）焦点三角形的周长L=２a+2c。
2．抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程,一般可设为ｙ2=ax(a≠０）或x2=ay(a≠0).3.抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|ＡＢ｜的一个重要结论．(1)ｙ2＝2ｐx(p〉０）中,｜ＡB|＝x1+ｘ2+p，(2)y2=－2px（ｐ>0)中,｜AB|＝－x1-x2+ｐ。
（3)ｘ２=２ｐy(p>0)中，|AＢ｜＝y1＋ｙ2＋p。
(4)x２=-2ｐｙ(p＞0)中，|ＡB|=－ｙ1－ｙ2+p.4.双曲线及渐近线的设法技巧(1）由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成０,即可得到两条渐近线的方程.如双曲线＼ｆ（ｘ２,a２)－错误!=1(a〉０,b>0)的渐近线方程为错误!－错误!未定义书签。
＝０（a>0，ｂ＞0），即y＝±＼f(b,a）x;双曲线错误!未定义书签。
-错误!未定义书签。
＝1（ａ〉0,ｂ〉0）的渐近线方程为＼f（y2，a2)-错误!未定义书签。
=0(ａ〉0,b〉0)，即y＝±错误!未定义书签。
x。
(2)如果双曲线的渐近线为ｘａ±错误!未定义书签。
=0时,它的双曲线方程可设为错误!未定义书签。
-＼f(ｙ2,b２)＝λ(λ≠０)．圆锥曲线定义的应用【例１】若点Ｍ(2,1），点Ｃ是椭圆错误!＋错误!未定义书签。
=1的右焦点,点A是椭圆的动点,则｜AM｜＋|AC|的最小值是________．[解析]设点B为椭圆的左焦点,点M(2，１)在椭圆内，那么｜ＢM｜＋|AM｜＋|ＡC|≥|AB｜＋|AＣ|=2a，所以|AM|＋|ＡC｜≥2a－|BM｜,而a=4,｜ＢM｜=错误!=错误!,所以（|ＡM|+｜ＡC|）min＝8－错误!.[答案]8－错误!圆锥曲线的定义是相应标准方程和简单性质的“源”,对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义＂是一种重要的解题策略。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题2.3.1 双曲线及其标准方程[A.基础达标]1．已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线C 的标准方程为x 24－y 25＝1.2．“3<m <5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线的充要条件是(m －5)(m 2－m －6)<0，即(m －5)(m －3)·(m ＋2)<0.解得m <－2或3<m <5.故“3<m <5”⇒“m <－2或3<m <5”，但“m <－2或3<m <5”⇒/ “3<m <5”，所以选A.3．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.7B.74C.54D.45解析：选D.|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|PA |||AB |＝2a 2c ＝a c ＝45.4．已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝22得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又因为|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 5．如图，△ABC 外接圆半径R ＝1433，∠ABC ＝120°，BC ＝10，弦BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线的方程为( )A.x 29－y 216＝1(x ＜0) B.x 216－y 29＝1(x ＜0) C.x 212－y 213＝1(x ＜0) D.x 215－y 210＝1(x ＜0)解析：选B.由正弦定理：|AC |sin ∠ABC＝2R ，得|AC |＝14.由余弦定理：|AC |2＝|BC |2＋|AB |2－2|BC ||AB |cos ∠ABC ，得|AB |＝6， 所以|||AC |－|AB |＝8＝2a ，得a ＝4， 因为c ＝5，所以b ＝3，所以该双曲线的方程为x 216－y 29＝1(x ＜0)．6．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1. 答案：－17．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P (3，7)在双曲线上，则双曲线的方程为________．解析：因为|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，所以|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，即a ＝2， 又因为c ＝2，所以b ＝c 2－a 2＝2，所以该双曲线的方程为x 22－y 22＝1.答案：x 22－y 22＝18．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C 的轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故圆心C 的轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．因为PF 1⊥PF 2，所以PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0，整理，得x 20＋y 20＝25.①又因为P (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 209－y 2016＝1.②联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[B.能力提升]1．如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2．已知P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 是△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.a 2＋b 22aB.a a 2＋b 2C.b aD.a b 解析：选B.设△PF 1F 2的内切圆半径为r .则S △IPF 1＝12|PF 1|r ，S △IPF 2＝12|PF 2|r ，S △IF 1F 2＝12|F 1F 2|r ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2得 λ|F 1F 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 即λ·2c ＝2a 得λ＝ac ＝a a 2＋b 2 .3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．解析：连接PC 2并延长交C 2于点Q 0，连接PC 3交C 3于点R 0.|PQ |－|PR |≤|PQ 0|－|PR 0|＝(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝2a ＋2＝10. 答案：10 4．已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.所以|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1. 答案：10＋15．已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b 2＝1，（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1，（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，故所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.6．(选做题)设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1，所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0，解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。
精心整理高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课5课时作业北师大版选修1—1
精心整理高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课5课时作业北师大版选修1—1一、选择题1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．答案：D2．方程x＝所表示的曲线是( )A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.答案：C3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是( )A. －3B. 13C. 3D. －13解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－，故选D.答案：D4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A. B. 3C. 2D. 或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.答案：D5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B. mC. 3D. 3m解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.答案：A6. [2014·湖北高考]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. 233C. 3D. 2解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos⇒a2＋。
2014高中数学 第二章 圆锥曲线 抛物线习题课件 北师大版选修1-1
【知识回顾】
★ 抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线 L 你还记得吗？ 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
★ 抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0)
y y
F
x 2 2 py( p 0)
y
x 2 2 py ( p 0)
N M M
.
P
.
2.过点(0,2)与抛物线 y 2 8 x 只有一个公共点的直线 C ） 有（ （A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条
.
F (1,0)
.
P
x3
2 3.过抛物线 y ax ( a 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 1 1 两点，若PF与FQ的长分别是 p,q则 等于 ( C ) p q
2
∴抛物线y2=64x到直线Ｌ：4x+3y+46=0有最短距离的点 为P（9，-24），最短距离为2。
y o x
F
图 形
.
o
x
F
.
o x
F
o
x
焦
准
点
线
p F ( ,0) 2 p x 2
F (
p ,0) 2 p x 2
p F (0, ) 2 p y 2
F (0,
p ) 2 p y 2
【训练一】
1.抛物线 y
m 1 1 m ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) (A) (B) (C) (D) 4 4m 4m 4
A
l2
M
N
如图所示，直线L1与L2相交于M点L1⊥L2，N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等， AMN为 锐角三角形，AM 17, AN 3, BN 6 ,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。
2019_2020学年高中数学习题课(三)圆锥曲线与方程北师大版选修2_1
习题课（三） 圆锥曲线与方程1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝ 2.2．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：选A 焦点为F (0,1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p 2，y ＝q ＋12，即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2＝4q 得，(2x )2＝4(2y －1)， 即x 2＝2y －1.3．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．±3或±413C ．± 3D ．±413解析：选B 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413.4.我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a ＝72. 5.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D. 6．若过点A (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与椭圆E ：x 22＋y 2＝1都只有一个交点，且l 1⊥l 2，则h 的值为( )A. 3B. 5 C ．2D. 6解析：选A 由题意知l 1，l 2的斜率都存在且不为0. 设l 1：y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2，知l 2：y ＝－1kx ＋h ，将l 1：y ＝kx ＋h 代入x 22＋y 2＝1得x 22＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，由l 1与椭圆E 只有一个交点知Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，即1＋2k 2＝h 2.同理，由l 2与椭圆E 只有一个交点知，1＋2k2＝h 2，得1k2＝k 2，即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2＝3，即h ＝ 3.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的方程为____________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c ＝25， 所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4， 则双曲线的方程为x 24－y 216＝1.答案：x 24－y 216＝18．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y ＝x 2上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y ＝x 2上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：3559．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6. 法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. 答案：610．如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，若它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝42y 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线x ＝2与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 位于第一象限，A ，B 是椭圆C 上位于直线x ＝2两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵抛物线x 2＝42y 的焦点是(0，2)， ∴b ＝ 2. 由c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝22， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 22＝1，y ＝12x ＋t ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1x 2＝2t 2－4.在x 28＋y 22＝1中，令x ＝2，得P (2,1)，Q (2，－1)． ∴四边形APBQ 的面积S ＝S △APQ ＋S △BPQ＝12|PQ |·|x 2－x 1| ＝12×2×|x 2－x 1| ＝|x 2－x 1| ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4t 2－4(2t 2－4) ＝－4t 2＋16. ∴当t ＝0时，S max ＝4.∴四边形APBQ 面积的最大值为4.11．(2019·北京高考)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y消去y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2. 设点D (0，n )，则DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ，DA ―→·DB ―→＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA ―→·DB ―→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 所以以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．。
2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单性质作业 北师大版选修1-1
2.3.2 双曲线的简单性质[基础达标]1．双曲线x 2－y23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D.焦点在x 轴上.b a＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2， ∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B.1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°， 过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则|AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19B.14C.13D.12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4.∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a，由题意41＋a＝1a，∴a ＝19.6.双曲线x2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝b a<2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(b a)2<5，又e >1，∴e ∈(1，5)．答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a |1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又ba ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y243＝1.答案：x 24－y 243＝19.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14.所以所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±b a x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1.由椭圆方程x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<ba≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.2.若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.① x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2.当k＝0时，|PQ|2＝24＋384k2（k2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2>24，所以|OP|2＋|OQ|2的最小值是24.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版
1．1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义1．定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的集合表示设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( ×) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( ×)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( √) 题型一求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52； (3)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义知， 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210， 即a ＝10，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (3)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.反思感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)与椭圆x 23＋y 2＝1有相同的焦点且经过点M (2，1)．考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26,2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)由椭圆x 23＋y 2＝1，知焦点在x 轴上，则c 2＝3－1＝2，∴c ＝2，∴椭圆的两个焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－2＝1(a 2>2)，把(2，1)代入方程，得2a 2＋1a 2－2＝1，化简，得a 4－5a 2＋4＝0， ∴a 2＝4或a 2＝1(舍)，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.题型二 椭圆定义的应用命题角度1 利用椭圆定义求轨迹方程例2 如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．.考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程解 设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3,0)和B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8>|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的椭圆， 其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7， 其轨迹方程为x 216＋y 27＝1.反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤跟踪训练2 如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，当点Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 如图所示，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|CM |. 又点M 在AQ 的垂直平分线上， 则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5>|AC |＝2.故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆， 且2a ＝5，c ＝1，故a ＝52，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.命题角度2 椭圆中的焦点三角形问题例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 由题意知|F 1O |＝12－3＝3，∴|F 1F 2|＝6.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思感悟 1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．2．焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题答案 2解析 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 A解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积为________． 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，且|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程． 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程解 以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－3,0)，C (3,0)， 设B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 考点 求椭圆的标准方程 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆． ∵c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4， 所以周长为10＋8＝18.3．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×(2＋12＋0＋2－12＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．方程x －42＋y 2＋x ＋42＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 25＋y 23＝1 B.x 23＋y 25＝1C.x 225＋y 29＝1 D.x 29＋y 225＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 C解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝9，故化简结果为x 225＋y 29＝1.5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 B解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.6．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．7．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B 解析 当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D. 3 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1—→·MF 2—→＝0，∴MF 1—→⊥MF 2—→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ， h ＝223＝33. 二、填空题9．若椭圆的两个焦点为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程答案 x 225＋y 216＝1 解析 如图，∵△ABF 2的周长等于20，∴4a ＝20，即a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 10．短轴长为25，离心率e ＝23的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．考点题点答案 12 解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵短轴长为25，离心率e ＝23，∴b ＝5，c a ＝23， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，∴△ABF 2的周长＝|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4a ＝12. 11．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1—→⊥PF 2—→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1—→⊥PF 2—→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题12．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1， 则c ＝9－4＝5， 焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1. 13．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．考点 与椭圆有关的轨迹方程题点 与椭圆定义有关的轨迹方程解 两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.而|O 1O 2|＝6<10，故由椭圆的定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.14．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 B解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2， ∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35.。
高中数学第二章圆锥曲线章末复习课北师大版选择性必修第一册
跟踪训练3
顺次连接椭圆C：
x2 a2
+
y2 b2
＝1(a>b>0)的四个顶
点恰好构
成了一个边长为 7且面积为4 3的菱形．
原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，OP⊥EQ
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
(3) 过 O 点 作 直 线 l 的 平 行 线 与 椭 圆 C 相 交 ， M 为 其 中 一 个 交 点 ， 求
OM 的最大值．
AD + AE
方法归纳
第二章 章末复习课
题型一 定点问题 例1 设椭圆C：xa22 + by22＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端 点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线 x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为 直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．
方法归纳
求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程 中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这 个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等 于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的 点就是直线或曲线所过的定点．
跟踪训练1 已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E 上一点，且|AF|＝2.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线学案北师大版选修1-1(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 抛物线学案北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 抛物线学案北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§2抛_物_线2．1 抛物线及其标准方程错误!抛物线的定义如右图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板,将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示:线段DA的长．问题2:曲线上点D到定点C的距离是什么?提示:线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系?提示：相等．抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程已知某定点和定直线l（定点不在定直线l上）,且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A(3,0），B(－3，0），C(0,3)，D（0,－3）；l1：x＝－3,l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．提示：y2＝12x. 向右．问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪?提示：y2＝－12x。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 抛物线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修1-1(20
课后演练提升北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1 抛物线及其标准方程课后演练提升北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方程课后演练提升 北师大版选修1—1一、选择题(每小题5分，共20分）1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ）A 。
错误!B ．－错误!C ．8D ．－8 解析： 由y ＝ax 2，得x 2＝错误!y ，错误!＝－2，a ＝－错误!.答案： B2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点重合，则p 的值等于（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 解析： 椭圆右焦点为(2,0)，所以错误!＝2,p ＝4.答案： D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF ｜＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A 。
错误!B ．1C 。
错误!D ．错误! 解析： 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(｜AF |＋｜BF |)－错误!＝错误!－错误!＝错误!。
答案： C4．若抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离为( )A.错误!B ．1C ．2D ．4 解析： 利用抛物线的定义，由y 2＝2px 可知准线方程x ＝－错误!，横坐标为4的点到准线的距离为4＋错误!，所以4＋错误!＝5,得p ＝2.答案： C二、填空题（每小题5分，共10分)5．抛物线y 2＝2px ，过点M (2，2），则点M 到抛物线准线的距离为________．解析:y2＝2px过点M(2，2),于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋错误!＝错误!。
高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课4课时作业北师大版选修1—1
高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课4课时作业北师大版选修1—1一、选择题1．[2014·人大附中月考]以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A. y2＝16xB. y2＝－16xC. y2＝8xD. y2＝－8x解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.答案：A2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－＋|P3F|－＝2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.答案：A3．[2014·贵州六校联考]两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b，则抛物线y2＝－x的焦点坐标为( )A. (－，0)B. (，0)C. (－，0)D. (－，0)解析：由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b可得解得抛物线的方程为y2＝－x，故焦点坐标为(－，0)．答案：C4. 如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是( )A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线解析：依题意可知PC1⊥D1C1，故P点到C1D1的距离为|PC1|，即P点到C1点的距离与P点到直线BC的距离相等，故P点的轨迹为抛物线．答案：D5．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )A．2a B.12a。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单性质(二)作业北师大版选修1-1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质（二）作业北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质（二）作业北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
3.2 双曲线的简单性质（二）[A。
基础达标]1．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝2有且只有一个交点,那么k的值是（)A．±1B．±错误!C．±1，±错误!D．±错误!解析：选C。
把y＝kx＋2代入x2－y2＝2,整理得，（1－k2)x2－4kx－6＝0.当1－k2＝0，即k＝±1时，y＝kx＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．当1－k2≠0时，当y＝kx＋2与x2－y2＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k＝±3。
综上可知，满足条件的k的值为±1,±错误!。
2．已知双曲线E的中心在原点，F（3，0）是E的焦点,过F且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N（－12,－15）,则E的方程为( )A.错误!－错误!＝1 B。
错误!－错误!＝1C。
错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1解析:选B.设A（x1，y1），B(x2，y2），E的方程为错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)，则错误!①－②得错误!－错误!＝0，因为x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，错误!＝1，所以4b2＝5a2，又因为c＝3,所以a＝2，b＝错误!,故E的方程为错误!－错误!＝1。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质(一)作业北师大版选修1-1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的简单性质（一）作业北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的简单性质（一）作业北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
1.2 椭圆的简单性质（一)[A。
基础达标]1．已知椭圆错误!＋错误!＝1及以下3个函数：①f(x）＝x；②f(x）＝sin x；③f（x)＝cos x,其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( ）A．1个B．2个C．3个D．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f（x)＝x,f（x）＝sin x为奇函数，f（x）＝cos x为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的两个顶点在直线x＋错误!y＝4上,则此椭圆的焦点坐标是( )A．（±5,0) B．(0,±5）C．(±7,0）D．（0，±错误!)解析：选C.直线x＋错误!y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝错误!＝错误!，故椭圆的焦点坐标为(±错误!,0）．3.如图，A、B、C分别为椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为（）A.错误!B.错误!－1C。
错误! D.错误!－1解析：选A。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.3双曲线的简单性质(1)课时作业北师大版选修1-1
2.3.3 双曲线的简单性质（1）一、选择题1．[2013·福建高考]双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. 12 B.22C. 1D. 2解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为22，故选B. 答案：B2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线3x ±y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为F (0,2)的双曲线方程是( )A. x 23－y 2＝－1B. x 2－y 23＝1C. x 23－y 2＝1D. x 2－y 23＝－1解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y 轴上．因为渐近线方程为3x ±y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－3x 2＝λ(λ>0)，即y 2λ－x 2λ3＝1,22＝λ＋λ3＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 23＝－1，故选D.答案：D3．双曲线的渐近线为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是( )A.54 B ．2 C.54或53D.52或153解析：若双曲线焦点在x 轴上，∴b a ＝34.∴e ＝1＋b 2a2＝1＋916＝2516＝54. 若双曲线的焦点在y 轴上，∴a b ＝34，b a ＝43. ∴e ＝1＋b 2a2＝1＋169＝259＝53. 答案：C4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a＝2×2a .∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3. 答案：B 二、填空题5．[2014·北京高考]设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析：∵与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2,2)代入，得k ＝－3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为x 23－y 212＝0，即y ＝±2x .答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2.答案：27．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)， 则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝1三、解答题8．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解：法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a2－232b2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.9．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝c a，∴5e 2－1≥2e 2， ∴25(e 2－1)≥4e 4， 即4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5(e >1)． ∴52≤e ≤5， 即e 的取值范围为[52，5]．。
北师版数学高二选修1-1练习第2章圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程综合题专练 1．(2015·湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且A C →与B D →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．[解析] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1 ①；又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±6，32)， ∴94a 2＋6b2＝1②， 联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0， 由x 1，x 2是这个方程的两根，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4 ④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2 ⑤ 将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2. 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64， 即直线l 的斜率为±64. 2．(2015·安徽文，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .[解析] (1)∵|BM |＝2|MA |且A (a,0)，B (0，b )，∴M (23a ，13b )．又∵OM 的斜率为510， ∴13b 23a ＝510⇒b 2a 2＝15⇒a 2－c 2a 2＝15⇒c 2a 2＝45⇒e ＝255. (2)由题意可知N 点的坐标为(a 2，－b 2)， ∴k MN ＝13b ＋12b 23a －a 2＝5b 6a 6＝5b a ，k AB ＝b －a ， ∴k MN ·k AB ＝－5b 2a2＝－1.∴MN ⊥AB .3．(2015·广东文，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．[解析] (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l .设直线l 的方程为y ＝mx (易知直线l 的斜率存在)，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0，所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94. 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1＜2，所以m 2＜45， 所以y 20＝m 2x 20＜45x 20，所以3x 0－x 20＜45x 20，解得x 0＞53或x 0＜0，又因为0＜x 0≤3，所以53＜x 0≤3.所以M (x 0，y 0)满足⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53＜x 0≤3， 即M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线． 结合图形，⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53＜x 0≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝⎛⎭⎫53，－253按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎫53，253的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧．设P ⎝⎛⎭⎫53，－253，则k PT ＝2534－53＝257，而当直线L 与轨迹C 相切时，|3k 2－4k |k 2＋1＝32，解得k ＝±34.在这里暂取k ＝34，因为257＜34，所以k PT ＜k . 可得对于x 轴下方的圆弧，当0≤k ≤257或k ＝34时，直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k ≤257或k ＝±43. 综上所述：当－257≤k ≤257或k ＝±43时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一交点． 4．(2015·陕西文，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解析] (1)由题意知c a ＝22，b ＝1，综合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以，椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )(1x 1＋1x 2) ＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.5．(2015·天津文，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55. (1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程． [解析] (1)F (－c,0)，由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c ，又因为B (0，b )，F (－c,0)故直线BF 的斜率k ＝b －00－(－c )＝b c＝2. (2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆方程为x 25c 2＋y 24c2＝1， 直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c ，两方程联立消去y ，得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3. 因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ， 与椭圆方程联立，消去y ，得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21. 又因为λ＝|PM ||MQ |，及x M ＝0， 得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78. (ii)由(i)得|PM ||MQ |＝78， 所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715， 即|PQ |＝157|PM |， 又因为|PM |sin ∠BQP ＝759， 所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ， 所以|BP |＝⎝⎛⎭⎫0＋5c 32＋⎝⎛⎭⎫2c ＋4c 32＝553c ， 因此553c ＝553，c ＝1， 所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 6．(2015·新课标Ⅱ卷文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解析] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b 2k 2＋1，于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题2.2.1 抛物线及其标准方程[A.基础达标]1．已知点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以|PF |为半径的圆与准线l ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置由F 确定 解析：选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |，所以相切．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4解析：选B.由抛物线定义知：P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，故P 到焦点距离＝6－(－2)＝8.3．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b2，表示焦点在y 轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．4．一个动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(2，0)D ．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x ＋2＝0的距离等于到焦点F (2，0)的距离，所以动圆必过定点(2，0)．5．当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝32y 或y 2＝－12xB ．x 2＝－32y 或y 2＝12xC ．y 2＝32x 或x 2＝－12yD ．y 2＝－32x 或x 2＝12y解析：选C.该直线可化为(2x －4)a ＋(3x ＋y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，3x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－8，故该直线恒过定点P (2，－8)，经验证C 符合要求．6．准线方程为x ＝－1的抛物线的标准方程为________．解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2＝－1，得p＝2.故该抛物线的标准方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x7．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点， 若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，设A 的坐标为(y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4得y 40＋12y 20－64＝0，即y 0＝±2，所以点A 的坐标为(1，2)或(1，－2)． 答案：(1，2)或(1，－2)8．设抛物线y 2＝2x 的准线为l ，P 为抛物线上的动点，定点A (2，3)，则|AP |与点P 到准线l 的距离之和的最小值为________．解析：设该抛物线的焦点为F ，连接AF 交抛物线于点P 0，由抛物线定义可知P 到准线l 的距离等于|PF |，故|AP |与点P 到l 距离之和＝|AP |＋|PF |≥|AP 0|＋|P 0F |＝|AF |＝（2－12）2＋32＝352.答案：3529．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.因为M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 10．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，所以(a2)2＝－2p ·(－a 4)，p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21，因为a 取整数，所以a 的最小整数值为13.[B.能力提升]1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C.如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ，所以|AF |＝|AA ′|，所以54x 0＝x 0＋p2＝x 0＋14，所以x 0＝1. 2．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π解析：选A.因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， 所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作直线l 的垂线PM ，垂足为M ，已知△PFM 为等边三角形，则△PFM 的面积为________．解析：设l 与x 轴交于点A ，则|AF |＝p ，因为∠AFM ＝60°，所以|MF |＝2|AF |＝2p ，所以S △PFM ＝34(2p )2＝3p 2.答案：3p 24．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为________．解析：设(0，2)为点A ，因为|MF |＝5，所以M (5－p 2，10p －p 2)，由题意可得：AM →·AF→＝0，AM →＝(5－p 2，10p －p 2－2)，AF →＝(p 2，－2)，AM →·AF →＝(5－p 2)·p 2＋(10p －p 2－2)(－2)＝0，得p ＝2或p ＝8，故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：y 2＝4x 或y 2＝16x5．过抛物线焦点F 的直线交该抛物线于P 、Q 两点，弦PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于R 点．求证：|FR |＝12|PQ |.证明：建立直角坐标系，如图所示．设R 点坐标为(x ，0)，P 点坐标为(x 1，y 1)，Q 点坐标为(x 2，y 2)，所以|FR |＝x －p2.由题设，知|RP |＝|RQ |，即(x －x 1)2＋y 21＝(x －x 2)2＋y 22，①因为y 22＝2px 2，y 21＝2px 1，代入方程①，得(x －x 1)2－(x －x 2)2＝2p (x 2－x 1)．因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22＋p .所以|FR |＝x 1＋x 22＋p2，|PQ |＝|PF |＋|FQ |＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝(x 1＋x 2)＋p ，所以|FR |＝12|PQ |.6．(选做题)已知点A (3，2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1，2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)存在M .理由如下：由题意得A (3，2)在抛物线内部，如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0，2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2，2)．。
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第2章 圆锥曲线与方程习题课(3)
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A. (±1,0)
B. (0，±1)
C. (±7，0)
D. (0，±7)
解析：本题考查椭圆的性质．由题意，椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2
－b 2
＝42
－32
＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.
答案：D
2．[2014²唐山一中月考]若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 2
3＝1的外部，则a 的取值范围为( )
A. (－233，233
)
B. (233，＋∞)∪(－∞，－23
3)
C. (4
3，＋∞)
D. (－∞，－4
3
)
解析：本题考查椭圆的范围．因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋12
3>1，解得a >
23
3或a <－23
3
，故选B.
答案：B
3．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2，－32，则该椭圆的方程是( )
A.y 28＋x 24＝1
B.
y 210＋x 2
6
＝1 C.y 24＋x 2
8
＝1 D.y 26＋x 2
10
＝1 解析：椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ， 又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2，－32验证即可．
答案：D
4．若焦点在x 轴上的椭圆的方程是x 26＋y 2
m
2＝1，则该椭圆焦距的取值范围是( )
A. (0，6)
B. (0,6)
C. (0,26)
D. (0,12)
解析：本题考查椭圆的方程特征．由题意，c ＝6－m 2
，故0<c <6，所以椭圆的焦距0<2c <26，故选C.
答案：C
5．[2014²浙江名校联考]已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一动点，且P 与椭圆长轴
两顶点连线的斜率之积为－1
2
，则椭圆的离心率为( )
A.
32
B.
22 C. 12
D.
33
解析：设P (x 0，y 0)，则y 0x 0－a ²y 0
x 0＋a ＝－12，化简得x 2
0a 2＋2y 2
0a 2＝1，又P 在椭圆上，所以x 2
a
2
＋y 20b 2＝1，所以a 2＝2b 2
，故e ＝22
. 答案：B
6．如右图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，
则该椭圆的离心率为( )
A.
－1＋5
2
B ．1－22
C.2－1
D.
22
解析：由(a ＋c )2
＝a 2
＋2b 2
＋c 2
， ∵b 2
＝a 2
－c 2
，∴c 2
＋ac －a 2
＝0，
∵e ＝c a ，∴e 2
＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52
.
答案：A 二、填空题
7．[2014²河北省衡水中学月考]已知P 是椭圆x 24＋y 2
3＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的
左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．
解析：本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．
如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a >0)．
又|PQ |＝|PF 2|，
∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a . 由题意知，a ＝2，b ＝3，∴c ＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，
∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2
＋y 2
＝16. 答案：(x ＋1)2
＋y 2
＝16
8．P 是椭圆x 24＋y 2
3＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|²|PF 2|的最大值是
__________，最小值是__________．
解析：设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )， 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3. ∴k ＝－x 2
＋2ax ＝－x 2
＋4x ＝－(x －2)2
＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 答案：4 3
9．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为__________．
解析：由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos30°＝c a ，从而e ＝32
. 答案：
32
三、解答题
10．[2014²四川省绵阳中学月考]求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为5
13
，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32
＋ 2＋2 2
＋32
＋ 2－2 2
＝8，
所以a ＝4，所以b 2
＝a 2
－c 2
＝16－4＝12.又焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2
12＝1.
(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又e ＝c a ＝5
13
，所以c ＝5， 所以b 2
＝a 2
－c 2
＝132
－52
＝144， 因为焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上
所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2
144
＝1.
11．如右图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上且位于第一象限
的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是
直线x ＝－a 2
c
(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，
试求椭圆的离心率e .
解：依题意知H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2
c ，0，F (c,0)，B (0，b )． 设P (x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，
得y P ＝b 2a .∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，b 2a .
∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋
a 2c
＝b 2
a
c .
∴ab ＝c 2
.
∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2
＝a 2－c 2c
2＝e －2－1.
∴e 4
＋e 2
－1＝0.∵0<e <1，∴e ＝
5－1
2
. 12.如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的
端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥
x 轴，AB →²AP →
＝9.
(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． 解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →
|. ∵AB →²AP →
＝9，
∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2
cos45°＝9， ∴
|AP
→
|＝3.
(1)∵P (0,1)， ∴|OP →|＝1，|OA →
|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．
∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2
＝12，
∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 2
4
＝1.
(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .
显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得： 9
a 2＋t 2
3－t 2＝1，解得a 2
＝
3 3－t
2
3－2t . ∵a 2
>b 2
>0，∴3 3－t 2
3－2t
>(3－t )2>0.
∴
33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t
>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32
.。