常微分方程简明教程(肖箭,盛立人,宋国强编著)思维导图
常微分方程简明教程
线性微分方程：系统阐述线性微分方程的理论和解法，包括常系数线性方程和 变系数线性方程等。
定性分析：介绍常微分方程的定性分析方法，如相图、稳定性理论等。
应用：通过一些实际问题，展示常微分方程在各个领域中的应用，如物理、工 程、生物等。
习题：提供大量的习题供读者练习，以巩固所学知识。
本书的内容安排既全面又深入，既注重理论又强调应用。通过从基础知识到高 阶方程、从线性到非线性的逐步深入，使读者能够逐步掌握常微分方程的核心 内容和解题方法。同时，本书还注重理论与实践相结合，通过丰富的应用案例， 让读者更好地理解常微分方程在实际问题中的应用。
本书的目录结构清晰明了，主要分为以下几个部分： 引言：简要介绍常微分方程的研究对象、背景和意义，激发读者的学习兴趣。
基础知识：回顾微积分和线性代数等必要的预备知识，为后续的学习打下坚实 的基础。
一阶微分方程：详细介绍一阶微分方程的各种解法，如分离变量法、常数变易 法、积分因子法等。
高阶微分方程：探讨高阶微分方程的解法，包括消元法、降阶法等，并介绍一 些特殊类型的高阶方程。
常微分方程简明教程
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
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线性方程
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技能
内容摘要
内容摘要
《常微分方程简明教程》是一本关于常微分方程理论的入门教材，它旨在为学生提供清晰、简洁、 易于理解的理论知识，并引导学生掌握求解常微分方程的基本技能。本书内容涵盖了常微分方程 的基本概念、一阶方程、高阶方程、线性方程、非线性方程以及数值解法等多个方面。 本书介绍了常微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、阶数、解的概念等。在此基础上，进 一步介绍了一阶方程的求解方法，包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。同时，还详细 讲解了高阶方程的求解方法，如幂级数解法、常数变易法等。 接着，本书重点介绍了线性方程的求解方法，包括一阶线性方程、高阶线性方程以及线性方程组 等。在这一部分，详细介绍了线性方程的性质、通解与特解的概念、线性方程组的解法等。本书 还介绍了非线性方程的求解方法，包括一些常用的近似解法，如泰勒级数解法、摄动法等。
常微分方程的基本概念课件
微分方程的解
总结词
求解常微分方程是数学中的一个重要问题。
详细描述
求解常微分方程是数学中的一个重要问题，也是应用领 域中经常遇到的问题。求解常微分方程的方法有多种， 包括分离变量法、变量代换法、积分因子法、常数变易 法等。对于一些特殊类型的常微分方程，如线性微分方 程、一阶常系数线性微分方程等，有特定的解法。此外， 数值解法也是求解常微分方程的一种常用方法，如欧拉 法、龙格-库塔法等。
线性微分方程的解法
总结词
详细描述
欧拉方法
总结词
详细描述
CATALOGUE
常微分方程的应用
物理问题
01
自由落体运动
02 弹性碰撞
03 电路分析
生物问题
种群增长模型
传染病传播模型
神经网络模型
经济问题
供需关系
股票价格动态 经济周期模型
CATALOGUE常微分源自程的数值解法欧拉方法总结词 详细描述
CATALOGUE
常微分方程的解法
分离变量法
总结词
详细描述
变量代换法
总结词
通过引入新的变量来代换原方程中的未知函数，从而将复杂的问题转化为简单的 问题，便于求解。
详细描述
变量代换法是一种常用的求解常微分方程的方法。通过引入新的变量来代换原方 程中的未知函数，我们可以将复杂的问题转化为简单的问题，便于求解。这种方 法适用于具有特定形式的一阶或高阶常微分方程。
龙格-库塔方法
总结词
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是用一系列 的折线来逼近微分方程的解。在每一 步，它首先计算出折线的斜率，然后 用这个斜率来更新折线的位置。
改进的龙格-库塔方法
总结词
改进的龙格-库塔方法是对标准龙格-库塔 方法的改进，它在每一步都使用更高阶 的插值多项式来逼近微分方程的解。
§1.1 常微分方程教程
2
dt
2
g l
.
附注2: 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动, 如果阻力 系数为 , 则摆的运动方程为:
d 2 d g . 2 dt m dt l
附注3: 假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作 用,则摆的运动方程为:
d 2 d g 1 F (t ). 2 dt m dt l ml
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 dI Q 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L , RI , , 其中Q dt C 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到
从而
dy y at dx x0
即
dy x y at dx
此为带有微分的方程.
例6 正规战与游击战
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱
兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
常微分方程教程
丁同仁、李承治编
主要参考书：
东北师范大学数学系编写的高等学校教材 《常微分方程》 复旦大学数学系金福临等编写的《常微分方 程》（上海科技出版社第二版）； 南京大学数学系叶严谦等编写的《常微分方 程讲义》； 中山大学数学希望高雄等编写的《常微分方 程》（高教第二版）.
简单常微分方程29页PPT
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
常微分方程求解过程
常微分方程求解过程嘿，朋友们！今天咱来聊聊常微分方程求解过程这档子事儿。
你说这常微分方程啊，就像是个调皮的小精灵，藏在那一堆数学符号和式子里面，等着我们去把它给揪出来。
求解常微分方程，就好比是一场刺激的探险。
咱得先观察它的模样，看看它是个啥性格。
有的方程简单直接，一眼就能看穿；可有的呢，就像那雾里看花，得费点心思。
比如说，有些方程可以用分离变量法来解决。
就好像把一个大拼图分成小块，然后一块块地拼起来。
把变量分离开，各自求解，最后再合到一块儿，嘿，答案就出来啦！还有那常数变易法，就像是给方程穿上了一件特别的衣服，让它变得不一样了，然后就能找到新的解法。
有时候啊，还得用到积分因子。
这积分因子就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的大门，让我们顺利地找到答案。
咱举个例子吧，就说那个简单的一阶线性常微分方程。
哎呀，一开始看着它可能觉得有点头疼，可一旦找到方法，那就像找到了通关密码一样。
求解的过程中，可不能马虎大意。
就跟走迷宫似的，一步错了，可能就绕不出来啦！得细心，得耐心，就跟绣花似的。
咱再想想，这常微分方程在生活中也有好多类似的情况呢！好比我们解决一个难题，得一步一步来，找对方法，不能瞎碰乱撞。
那复杂的方程就像生活中的大挑战，看着难，可只要我们鼓起勇气，认真钻研，总能找到解决的办法。
而且啊，在求解常微分方程的过程中，还能培养我们的思维能力呢！让我们学会怎么去分析问题，怎么去寻找线索，这不就是在锻炼我们的大脑嘛！所以说啊，别小瞧了这常微分方程求解过程。
它可不只是一堆数学式子，它里面藏着好多智慧和乐趣呢！朋友们，好好去探索吧，说不定你就能在这个奇妙的数学世界里发现好多惊喜呢！总之，常微分方程求解过程就是这么一个充满挑战又有趣的事情。
只要我们用心去对待，就一定能在其中找到属于我们自己的精彩！。
大一下高数知识点思维导图
大一下高数知识点思维导图大一下学期高等数学是大部分理工科学生需要学习的一门重要课程。
为了更好地复习和掌握高数的知识点，下面将以思维导图的形式，系统地总结大一下学期高等数学的重点知识点。
1. 函数与极限在函数与极限这一部分，我们需要掌握函数的定义和性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
同时，也要了解极限的定义、性质和计算方法，例如极限存在准则、夹逼定理等。
除此之外，还要熟练掌握一些常见函数的极限，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限运算。
2. 导数与微分导数与微分是高等数学的重要基础知识，需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
特别是常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算。
此外，还需了解一阶导数与二阶导数的关系、隐函数的求导、高阶导数等相关内容。
3. 微分中值定理与应用在微分中值定理与应用部分，掌握拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及罗尔定理，并能灵活运用这些中值定理解决实际问题。
此外，还需了解泰勒展开式的概念和计算方法，以及利用泰勒展开逼近函数值的相关知识。
4. 不定积分与定积分不定积分与定积分是高等数学的核心内容之一，需要掌握不定积分的定义、性质和基本的计算方法。
特别是基本的不定积分公式、换元积分法和分部积分法的运用。
对于定积分，要熟悉定积分的定义、性质和基本的计算方法，掌握定积分的几何意义和物理应用，如求面积、求弧长、求体积等。
5. 微分方程微分方程是高等数学的重要应用部分，需要掌握常微分方程的基本概念、分类和一阶微分方程的解法。
特别是常见的一阶线性微分方程、二阶线性齐次微分方程和二阶线性非齐次微分方程的解法。
此外，还需了解高阶微分方程和常系数线性微分方程的解法。
总结起来，大一下学期高等数学的重点知识点可以归纳为函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分与定积分以及微分方程。
通过对这些知识点的系统学习和复习，能够帮助我们更好地掌握高数的基础知识，为后续学习打下坚实的基础。
完整版常微分方程总结PPT文档共72页
பைடு நூலகம்
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
完整版常微分方程总结 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
常微分方程课件
n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为
（1.11）
(1.12)
在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式：
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程.
回通解，即得所求初值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 解 方程通解为 求导数后得