离散数学( 第10讲习题课2)

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例4
证明：(x)(P(x)Q(x)) (x)((y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)))。
1.采用反证法： 1) ～(x)((y)(P(y)∧R(x,y))
(y)(Q(y)∧R(x,y))) 2) (x)～((y)(P(y)∧R(x,y))
(y)(Q(y)∧R(x,y))) 3) ～((y)(P(y)∧R(c,y))
(7) Q(c)R(c)
T,(4),(6),I
(8)(x)(P(x)→(R(x)S(x))) P
(9) P(c)→(R(c)S(c))
US，（8）
(10) R(c)S(c)
T,(4),(9),I
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例2(续3)
(11)(R(c)→S(c))∧(S(c)→R(c)) T,(10),E
F
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④ 每个懂得人性本质的作家都很高明。不能刻划人们内心世界的 诗人都不是真正的诗人。莎士比亚创作了哈姆雷特。没有一个 不懂得人性本质的作家能够刻划人们的内心世界。只有真正的 诗人才能创作哈姆雷特。因此，莎士比亚是一个高明的作家。
A(x):ｘ是懂得人性本质的作家 B(x):x是真正的诗人 C(x):x能刻划人们内心世界
结论：(x)(T(x)～P(x))
即证明：(x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y)))，
(x)(y)((S(x)∧P(y))～L(x,y))
(x)(T(x)～P(x))
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证明：
1) (x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y))) P
2) S(c)∧(y)(T(y)L(c,y))
s(x):x的直接后继;
有
EQUAL(x,y):x=y
① (x)(y)[EQUAL(y,s(x))∧
(z)[EQUAL(z,s(x))→EQUAL(y,z)]]
且仅有
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② ～(x)[EQUAL(0,s(x))
0以外的任何
③ (x)[～EQUAL(x,0)
自然数
→(y)[EQUAL(y,p(x))∧(z)[EQUAL(z,p(x))
ES，1)
3) P(f(x))
T,2)
4) (x)(P(x)Q(x))
P
5) P(f(x))Q(f(x))
US,4)
6) Q(f(x))
T,3),5),I
7) R(x,f(x))
T,2)
8) Q(f(x))∧R(x,f(x))
T,6),7),I
9) (y)(Q(y)∧R(x,y))
EG,8)
10)(y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)) CP,1),9)
可满足式(Why?)
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② 诚实的人都讲实话。小林不是诚实的，因而 小林不讲实话。
A(x):ｘ是诚实的人 B(x):x讲实话 ａ:小林
(x)（ A(x) → B(x) ）∧ ～A(ａ)→ ～B(ａ)
F ③ 好货不便宜。小王买的衣服很贵，所以小王
买的是优质衣服。
A(x):ｘ不便宜 B(x):x是好货 ａ：小王买的衣服 (x)（ B(x)→ A(x)）∧Ａ（ａ）→Ｂ（ａ）
全总个体域的概念 ▪ 能准确理解约束变元(量)和自由变元的概念 ▪ 掌握约束变元的改名规则和自由变元的代入
规则
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▪ 掌握与量词相关的基本等价式和基本蕴涵式 ▪ 能熟练地运用US、ES、UG、EG规则进行推
理
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语句的符号化
▪ 1、将下列命题翻译成谓词公式 ① 每个有理数都是实数，但是并非每个实数都是有理数，
11)(x)((y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)))
EG,10)
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例5
所有的有理数都是实数；所有的无理数也是实 数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数也 不是无理数。 解：设Q(x)：x是有理数；R(x)：x是实数； N(x)： x是无理数； C(x)：x是虚数； (x)(Q(x)R(x), (x)(N(x)R(x)) (x)(C(x) ～R(x)) (x)(C(x)(～Q(x)～N(x))
有些实数是有理数。 A(x):x是实数 B(x):x是有理数 (x)(B(x)→A(x))∧(x)(A(x)→B(x))
∧(x)(A(x)∧B(x)) ② 直线a和b平行当且仅当a和b不相交。
A(x):x是直线 F(x，y):x与y平行
G（x,y):ｘ与ｙ相交 (ａ)(ｂ)（A(ａ)∧A(ｂ)→
(F(ａ，ｂ)G（ａ,ｂ)）)
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例2(续1)
解：设P(x)：x是报考研究生的大学毕业生； Q(x)：x参加研究生入学考试； R(x)：x被推荐为免试生； S(x)：x学习成绩优秀。
则原论断可符号化为： (x)(P(x)→(Q(x)R(x))， (x)(P(x)→(R(x)S(x)))， (x)(P(x)∧S(x)), ～(x)(P(x)→S(x))
Ｃ(x)：ｘ是质数
(x)（A(x)→Ｂ(x)Ｃ(x)）
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⑤ 凡是存钱的人都想有利息，如果没有利息， 人们就不会存钱。
A(x):ｘ是存钱的人 F(x，y):ｘ想有ｙ P：存钱没有利息 Q: 人们不存钱 a: 利息 (x)（A(x)→F(x，a)）∧（P→Q）
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冯伟森
Email：fws365@ 2020年4月22日星期三
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第二章
一、基本概念 全总个体域（全论域）、全称量词、存在量
词、特性谓词、指导（作用）变元、辖域 （作用域）、约束变元、自由变元、约束变 元的改名规则、自由变元的代入规则、常量 符号、变量符号、函数符号、谓词符号、谓 词公式、公式的解释、永真公式(重言式) 、 永假公式(矛盾式，不可满足公式）、
(x)(P(x)∧Q(x))
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例2(续2)
证明：(1) ～(x)(P(x)→S(x))
P
(2) (x)(P(x)∧～S(x)) (3) P(c)∧～S(c)
T,(1),E ES,(2)
(4) P(c)
T,(3),I
(5) (x)(P(x)→(Q(x)R(x)) P
(6) P(c)→（Q(c)R(c)） US,(5)
D(x)：ｘ很高明 Ｐ(x,y)：ｘ创作了ｙ ａ：莎士比亚 ｂ：哈姆雷特
T
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例1
将下列三条自然公理翻译成谓词公式：
① 每个自然数有且仅有一个直接后继；
② 没有任何自然数以0为其直接后继；
③ 对0以外的任何自然数，有且仅有一个直接先行。
解：设个体域D为自然数
令p(x):x的直接先行;
(y)(Q(y)∧R(c,y))) 4) (y)(P(y)∧R(c,y))∧
～(y)(Q(y)∧R(c,y)) 5) (y)(P(y)∧R(c,y))
P(附加)
T,1),E
ES,2)
T,3),E T,4),I
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例4(续1)
6) P(b)∧R(c,b)
ES,5)
7) P(b)
8) (S(c)∧P(x))～L(c,x)
US,7)
9) S(c)(P(x)～L(c,x))
T,8),E
10)P(x)～L(c,x)
T,3),8),E
11)L(c,x)～P(x)
T,10),E
12)T(x)～P(x)
T,5),11),E
13)(x)(T(x)～P(x))
US,12)
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ES,1)
3) S(c)
说明：该结论明显T,2),I
4) (y)(T(y)L(c,y是))一个错误的结论，T,2),I
5) T(x)L(c,x)
原因在于有一个错US,4)
6) (x)(y)((S(x)∧P误(y的))假设～，L(但x,推y)理)
P
7) (y)((S(c)∧P(y))～是L正(c确,y的பைடு நூலகம்)。 US,6)
15) ～(Q(b)∧R(c,b))
US,14)
16) (Q(b)∧R(c,b))∧～(Q(b)∧R(c,b)) US,14)
17) □
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例4(续2)
x是自由变元
2.采用CP规则的直接证明法：
1) (y)(P(y)∧R(x,y))
P(附加前题)
2) P(f(x))∧R(x,f(x))
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▪ 2、把下列语句符号化，并确定相应谓词公式 是永真式、可满足式，还是矛盾式。
① 如果两个数的积等于0，那么至少其中一个数
为0，数x-1不等于0，所以数x-1和数x+1的
积也不等于0。
A(x):ｘ＝０，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ
xｙ［A(ｆ（x，ｙ)）→（A(x)∨A(ｙ)）］∧
～A(x－１）→ ～A(ｆ（x－１，ｘ＋１)）
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(1)(x)(Q(x)R(x)) (2) Q(x)R(x) (3)(x)(N(x)R(x)) (4) N(x)R(x) (5)(x)(C(x)～R(x)) (6) C(x)～R(x) (7) R(x)～C(x)