弹性力学及有限元法：第5章 杆单元和梁单元
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第05讲-有限元分析方法及桥梁常用单元类型、单元选择
历史典故
早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布 的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机 上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内 可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。
May,25,2005
湖南大学·土木·桥梁
5-9
节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
. .wk.baidu.com
May,25,2005
.
A
. .
B
1 node
. .
湖南大学·土木·桥梁
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
5-10
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
May,25,2005
湖南大学·土木·桥梁
5-2
内容及目标
• Part F. Combine系列 Combine14:空间弹簧单元 Part G. BEAM系列 BEAM3:二维梁单元 BEAM54 :二维变截面梁单元 BEAM4:三维梁单元 BEAM44:三维变截面梁单元 BEAM188:三维梁单元 BEAM189:三维梁单元 梁单元截面 Part H. Plane系列 Plane42:二维实体单元
弹性力学基础及有限单元法
第一章
1、弹性力学的任务是什么
弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？
(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。
(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，
因此，物体各部分的物理性质是相同的。这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。
(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时，
可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，
在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。
(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有
杆单元和梁单元
0 = F3
E (2)A (2) l (2) E (2) A (2) l
(2)
u 2 u3
（4.16）
（11）求单元应变
1 ( x) B ( x) δ百度文库 (1) l
(1) (1) (1)
1 u1 (1) l u2
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是 u1 e (4.5) δ u 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u( x) N ( x)δe
（4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
1 1 1 1
P
(2)
R2 F3
u1 R2 u2
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
T
1 u1 E (1) A(1) (1) 2 u2 l
T
1 1 u1 1 1 1 u 2 R1 2 u2 F3 u3
E (1) A(1) l (1) E (1) A(1) l (1) 0 E (1) A(1) (1) l E (1) A(1) E (2) A(2) (1) l l (2) E (2) A(2) (2) l T u1 R1 E (2) A(2) 1 (2) u2 R2 l 2 u3 F3 E (2) A(2) l (2) 0
第5章 杆单元和梁单元
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵 单元的势能表达式：
5.1.1 一维杆单元
e U e W e 1 1 d P1 e 2 2 u P2 1 u2 u1 P2 u2
1 le 1 Sδ e ( Bδ e ) Ae dx P 1 2 0 2
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
可记作
E A l (1) R1 (1) (1) E A R2 (1) l F 3 0
E A l (1) E (1) A(1) E (2) A(2) (1) l l (2) E (2) A(2) (2) l
u1 (2) (2) E A (2) u2 l u (2) (2) E A 3 l (2) 0
(5.13)
5.1 杆件系统的有限元分析方法
（8）引入边界条件（Treatment of boundary conditions） 为获取许可位移场，需引入边界条件
有限元 5有限条法
)Y
'm
12x ( b3
-
6 b2
)Ym
-(
3x2 b2
-
2x3 b3
)Y
" m
(12x b2
-
12x2 b3
)Y
'm
(
2 b
-
6x b2
)Ym
ù ú ú
-(
x3 b2
-
x2 b
)Y
" m
ú ú ú
(6x2 b2
-
4 x )Y b
'm
ú úû3´4
若取简支条元, 则式中:
Ym
=
sin
mp
l
y
,
Ym¢
=
mp
l
cos
mp
l
y
,
Ym¢¢
=
-
m2p
l2
2
sin mp
l
y
四、条元内力
{F}
=
ì ï í
M M
x y
ïîM xy
ü ï ý ï þ
=
[D]{c}
=
r
[
D
]
å
[
B
] m
m=1
{d } m
=
[ D][ B]{d }
弹性矩阵[D]与上章相同，弯、扭矩的正方向如图示，且应理解为单位长度上的量。
有限元 第五讲
形函数矩阵
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
3. 单元几何方程： 由结点位移求单元内应变
u
x
y
x v
y w
xzy
u
z
v
yz
zx
x4
y2 1 y3 1 y4 1
1 x1 y1 z1 V 1 1 x2 y2 z2
6 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4
按1、2、3、4的顺序变换下标， 可得其它系数
令:
Ni
1 6V
ai
bi x
ci y
di z
i 1,2,3,4 形函数
则: u N1u1 N2u2 N3u3 N4u4
{R}e [N]T {G}dV [N]T {P}ds [N]T {P}
Ve
S
等效结点荷载
第五章 板壳问题有限单元法
一、薄板弯曲基本假定和基本方程 二、矩形薄板单元 三、三角形薄板单元 四、用矩形薄板单元进行薄壳分析 五、用三角形薄板单元进行薄壳分析 六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤
三.平面问题直边单元位移函数的两种构造方法
有限元 第五章
ne
（5.2.5） （5.2.6）
(ε , ε ) 2 Π P (ε , ε) 1 (ε ε) D(ε ε )dV
2
V
1 (ε e ε e ) D(ε e ε e )dV 2 e1 Ve ne 1 (σ e σ e ) C (σ e σ e )dV 2 e1 Ve
σ i 1 σ i( e ) （5.2.12） m e 1
m —— 围绕结点 i 周围的全部单元数。
5.2.4 总体应力磨平
（1）基本思想： 构造一改进的应力解 ，此改进解满足： （1）在全域上连续；（2）与有限元求得的应力 解符合加权最小二乘原则。 （2）总体应力磨平方法： 建立如下泛函，并取最小值 有限单元解得到的 单元应力分布特征
1 (σ σ ) C (σ σ )dV A( , σ ) V 2 e 1 e
M
（5.2.13）
式中： M —— 单元总数； ——为待求的应力改进值，它在单 元内的分布可插值形式得到，如
~ σ N i σi
i 1
ne
（5.2.14）
式中：i ——为待求的改进后结点应力值； ne —— 单元的结点数；
——称 n+1阶Causs积分点为等参元中的最佳应力点。
5.2.3 单元平均与结点平均
弹性力学及有限元
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
科学研究
弹性力学和有限元分析也是科学研究的重要工具，尤其在物 理学、化学、生物学等领域。通过这些方法，科学家可以模 拟和分析复杂的物理现象和化学反应过程，深入理解物质的 性质和行为。
主题的应用领域
结构工程
在结构工程领域，弹性力学和有限元分析被广泛应用于桥梁、建筑、船舶、航空器等结构 的分析和设计。通过这些方法，工程师可以预测结构的应力、应变和位移，优化结构的设 计和制造。
04
弹性力学与有限元方法的结合
弹性力学问题的有限元表示
弹性力学问题
弹性力学是研究物体在力作用下的变形和内力的 学科。
有限元方法
将连续的弹性力学问题离散化为有限个小的单元， 每个单元通过节点相互连接。
有限元表示
将弹性力学的基本方程应用于每个单元，得到每 个单元的平衡方程和本构方程。
有限元的求解算法
弹性力学与有限元法习题集
1、2题答案
1.
答：（1）位移模式应包括单元的刚体位移状态和常量应变状态， 满足这个条件的单元为完备单元。
（2）位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移是连续的， 这种连续性称为协调性或相容性；
条件（1）是收敛的必要条件，条件（1）+（2）是收敛的 充分条件。
2. 答：（1）单元的大小：重要部位、易发生应力集中、应力位移变 化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的 部位单元划大些。
13. 已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2， 2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm 及单 元的应变矩阵。
2019/7/29
slide22
答案 返回
14. 图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设
1 6
试求：
（1）形态矩阵[N]； （2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S]; （3）单元刚度矩阵[k]e
1 E
qx
y 4a 3
3
3y 4a
1 2
q 4a 3
x 3 y
2xy
3
6 5
a 2 xy
xy
21
E
xy
21
E
弹性力学与有限元法习题集
slide29
返回
4.题答案
解：
1 xi 1 Sijm 2 1 x j
1 xm
yi 1 4 1
1
yj
1 2
7
7 13.5
ym
11 4
2019/7/29
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5.题答案
1
Ni (x, y)x i N j (x, y)x j N m (x, y)x m 2 A [(ai x i a j x j am ym ) (bi x i b j x j bm x m )x
弹性力学与有限元法习题集 与参考答案
2019/7/29
单丽君
大连交通大学
2009年10月
slide1
第一章 第二章
第三章
参考试卷
第四章 第五章
2019/7/29
slide2
第一章习题与答案
1. 有限单元法的含义？ 2. 有限单元法的解题思路？ 3. 有限单元法的优点？
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slide3
（2）采用矩阵形式，便于编制计算机程序； （3）有较强的灵活性和适用性。
2019/7/29
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 3. 虚功原理内容？
第5章-有限单元法基本理论
单元的节点力向量：
e T [ F ] ( F F F F F F ) ix iy jx jy mx my
( i,j,m )
第 六 章 空 间 问 题 基 本 理 论
工 程 弹 性 力 学 基 础
5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵
任意给单元节点一个可能的微小位移——虚位移：
* * i * i * j * j
i j m
第 五 章 有 限 元 法 基 本 理 论
工 程 弹 性 力 学 基 础
第 五 章 有 限 元 法 基 本 理 论
5.1 有限单元法的概念
2.力学量和基本方程用矩阵表示：
fx 体积力用向量表示为： { f} (fx fy
f x 面积力用向量表示为： {f} (fx fy
T e
第 六 章 空 间 问 题 基 本 理 论
T e e [B ] [D ][ B ]{ } [K]e{ } [kii ] [kij ] [kim ] e T K ] [ B ][ D ][ B ] 其中：[ [k ji ] [k jj ] [k jm ] [k mi ] [k mj ] [k mm ] 单元刚度矩阵 1 1 b b c c b c c b r s r s r s r s Et 2 2 [ K ] rs 2 1 1 4 ( 1 ) c b b c c c b b r s r s r s r s 2 2
e T [ F ] ( F F F F F F ) ix iy jx jy mx my
( i,j,m )
第 六 章 空 间 问 题 基 本 理 论
工 程 弹 性 力 学 基 础
5.3单元的应力、节点力以及刚度矩阵
任意给单元节点一个可能的微小位移——虚位移：
* * i * i * j * j
i j m
第 五 章 有 限 元 法 基 本 理 论
工 程 弹 性 力 学 基 础
第 五 章 有 限 元 法 基 本 理 论
5.1 有限单元法的概念
2.力学量和基本方程用矩阵表示：
fx 体积力用向量表示为： { f} (fx fy
f x 面积力用向量表示为： {f} (fx fy
T e
第 六 章 空 间 问 题 基 本 理 论
T e e [B ] [D ][ B ]{ } [K]e{ } [kii ] [kij ] [kim ] e T K ] [ B ][ D ][ B ] 其中：[ [k ji ] [k jj ] [k jm ] [k mi ] [k mj ] [k mm ] 单元刚度矩阵 1 1 b b c c b c c b r s r s r s r s Et 2 2 [ K ] rs 2 1 1 4 ( 1 ) c b b c c c b b r s r s r s r s 2 2
第5章 有限元法-1
6. 结果分析与讨论
应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析 方法的不同，有三种基本解法：
➢ 位移法 ➢ 力法 ➢ 混合法
(1)位移法
此法是以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数， 进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整 体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。
（5-2）
称为单元的节点力列阵；若 {F} 为外载荷，则称为载荷列阵。
显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围 内，这种关系是线性的，可用下式表示
Fxi
Fyi
k11 k21
k12 k22
k13 k23
k14 k15 k24 k25
k16 k26
ui
vi
M zi
Fxj
有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对 于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性 和粘塑性材料以及流体均能求解；
对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。
到20世纪80年代初期，国际上已开发出了多种用于结构分析的有 限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、 SAP等。
(3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工 作量就越大。
因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。
应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析 方法的不同，有三种基本解法：
➢ 位移法 ➢ 力法 ➢ 混合法
(1)位移法
此法是以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数， 进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整 体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。
（5-2）
称为单元的节点力列阵；若 {F} 为外载荷，则称为载荷列阵。
显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围 内，这种关系是线性的，可用下式表示
Fxi
Fyi
k11 k21
k12 k22
k13 k23
k14 k15 k24 k25
k16 k26
ui
vi
M zi
Fxj
有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对 于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性 和粘塑性材料以及流体均能求解；
对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。
到20世纪80年代初期，国际上已开发出了多种用于结构分析的有 限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、 SAP等。
(3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工 作量就越大。
因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。
弹性力学第五章：弹性力学解法
ij
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
2
2
1 z
0,
zx
2
1 xz
0 0 0
或：
ij
2
1 1
, ij 0
其中
x y z I1
圣维南原理（力的局部作用性原理）
用于弹形体某一局部边界上的面力 若以分布方式不同但静力等效的面力替换，
2
yz
xz
(3). 物理方程—广义虎克定律
(a). 用应力表示应变的关系式
x y z
1 E 1 E 1 E
x
( y z ) , ( z x ) , ( x y ) ,
ij
1 E
xy yz zx
X
h/2
h/2
M
次要边界(x=0)上静力等效：
Y
x
主 矢 等 效
主 矩 等 效
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
2
2
1 z
0,
zx
2
1 xz
0 0 0
或：
ij
2
1 1
, ij 0
其中
x y z I1
圣维南原理（力的局部作用性原理）
用于弹形体某一局部边界上的面力 若以分布方式不同但静力等效的面力替换，
2
yz
xz
(3). 物理方程—广义虎克定律
(a). 用应力表示应变的关系式
x y z
1 E 1 E 1 E
x
( y z ) , ( z x ) , ( x y ) ,
ij
1 E
xy yz zx
X
h/2
h/2
M
次要边界(x=0)上静力等效：
Y
x
主 矢 等 效
主 矩 等 效
弹性力学及有限元法 复习题
4、如图4所示结构，其经单元组集后形成的整体有限元方程为，
试引入边界条件，将原有限元方程变换为可用于直接求解的方程。
图4
5、如图4所示，平面应力问题， cm，单元厚度 mm，弹性模量 MPa，泊松比 。 ，且各节点位移、单元应力、单元应变，约束处的支反力。列出Matlab和ANSYS分析程序
图5
第五章
图（2）
4、已知点P（1，0，3）处位移场为 ，求点P处的应变状态，应变不变量，主应变，体积应变，假如材料参数为 Pa， ，试求该点的应力状态
5、一理想弹性体处于平面应力状态，材料参数为 ，其中
， 是常量。为了使应力场满足相容方程，这些常量的约束条件是什么？
6、一个理想弹性体，材料参数为 ，设体内某点所受的体积力为 ，所处的位移场为 ，试求在此坐标系下体积力的表达式。
（要求写出程序代码）
图2平面梁单元受均布力作用
clear
symsx;
symsL;
symsP;
Nvi=1-3*(x/L)^2+2*(x/L)^3;
Nsi=x-2*x^2/L+x^3/L^2;
Nvj=3*(x/L)^2-2*(x/L)^3;
Nsj=-x^2/L+x^3/L^2;
Fi=P*int(Nvi,x,0,L);
（a）局部坐标系下母单元（b）整体坐标系下的单元
2.如图2所示矩形单元，各节点位移如下
试引入边界条件，将原有限元方程变换为可用于直接求解的方程。
图4
5、如图4所示，平面应力问题， cm，单元厚度 mm，弹性模量 MPa，泊松比 。 ，且各节点位移、单元应力、单元应变，约束处的支反力。列出Matlab和ANSYS分析程序
图5
第五章
图（2）
4、已知点P（1，0，3）处位移场为 ，求点P处的应变状态，应变不变量，主应变，体积应变，假如材料参数为 Pa， ，试求该点的应力状态
5、一理想弹性体处于平面应力状态，材料参数为 ，其中
， 是常量。为了使应力场满足相容方程，这些常量的约束条件是什么？
6、一个理想弹性体，材料参数为 ，设体内某点所受的体积力为 ，所处的位移场为 ，试求在此坐标系下体积力的表达式。
（要求写出程序代码）
图2平面梁单元受均布力作用
clear
symsx;
symsL;
symsP;
Nvi=1-3*(x/L)^2+2*(x/L)^3;
Nsi=x-2*x^2/L+x^3/L^2;
Nvj=3*(x/L)^2-2*(x/L)^3;
Nsj=-x^2/L+x^3/L^2;
Fi=P*int(Nvi,x,0,L);
（a）局部坐标系下母单元（b）整体坐标系下的单元
2.如图2所示矩形单元，各节点位移如下
弹性力学与有限元完整版
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
2 一点的应力状态
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
•正应力分量 3个：
x、 y、 z
•剪应力分量 6个：
– 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。
平面应变问题
• 几何特征
– 一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸 – 中心轴平直 – 沿中心轴截面不变化
• 受力特征
– 外力垂直于中心轴 – 外力沿中心轴长度方向不变化
• 如果已知应力分量，通过物理方程得到应变分量， 再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的 应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方 程。
– 再必须根据已知物理量，（一般外力、
结构几何形状和约束条件等），推导和确 定基本未知量（应力、应变、位移。
1.4 弹性力学基本方程
1. 平衡方程（应力——外力之间的关系）
2. 物理方程（应变——应力之间的关系）
3. 几何方程（柯西方程 ） （应变——位移之间的关系）
4、变形协调方程
2 一点的应力状态
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
•正应力分量 3个：
x、 y、 z
•剪应力分量 6个：
– 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。
平面应变问题
• 几何特征
– 一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸 – 中心轴平直 – 沿中心轴截面不变化
• 受力特征
– 外力垂直于中心轴 – 外力沿中心轴长度方向不变化
• 如果已知应力分量，通过物理方程得到应变分量， 再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的 应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方 程。
– 再必须根据已知物理量，（一般外力、
结构几何形状和约束条件等），推导和确 定基本未知量（应力、应变、位移。
1.4 弹性力学基本方程
1. 平衡方程（应力——外力之间的关系）
2. 物理方程（应变——应力之间的关系）
3. 几何方程（柯西方程 ） （应变——位移之间的关系）
4、变形协调方程
第五章 有限元分析方法2011
例： |d|=∑aiφi
ai：待定系数
φi：坐标的某种函数
b）分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、 位置及其含义，找出单元节点力节点位移间的关 系式。
需应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力 和位移间的方程式，进而导出单元刚度矩阵。
c）计算等效节点力
有限元分析中，假定力是通过节点从一个单元传递到 另一个单元。 实际情况：力是从单元间的公共边界传递到另一个单 元中去的。
第5章 有限元分析方法
• • • • 概述 有限元法中单元特性的导出方法 有限元法的解题步骤 有限元法的前后置处理简介
参考书：《有限单元法基本原理和数值方法》清华大学 王勖成 邵敏
5.1 概 述
有限元分析方法
•是一种现代设计计算方法，是随着电子计算机技术的发 展而发展起来的；
•首先应用于飞机结构的静、动态特性分析（连续体力 学分析）； •后广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性 问题。
1 1 br bs cr cs br bs cr bs Et 2 2 [ K rs ] 2 1 1 4(1 ) A c b br cs cr cs br bs r s 2 2 ( r i, j , k ; s i, j , k )
i 1 n
,
它是一个容许函数，其中的ai是待定系数。然后，把该函 数代入所求问题的泛函II中去，求其变分II。再从极值条 件II=0给出的方程组中解出待定系数ai之值。最后把求得
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0
E (2) A(2) l(2)
E (2) A(2)
uu12
u3
1 2
R1 0
T
F3
uu12
u3
l(2)
可记作
1 δT Kδ 1 PT δ
(5.12)
2
2
上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元
刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系
在这里，把表达成整体位移矢量 uu12的函数，如下： u3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
E (1) A(1)
1 2
uu12
T
u3
l (1) E (1) A(1)
l (1)
0
E (1) A(1) l (1)
E (1) A(1) E (2) A(2)
l (1)
l(2)
E (2) A(2) l (2)
x1 x2
1
uu12
(5.3)
(5.4) (5.5)
5.1.1 一维杆单元
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u(x) N (x)δe
(5.6)
（4）应变
由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(x)
u x
dN (x) dx
uu12
1 le
1 le
uu12
B
uu12
移插值模式（interpolation model）.
u(x) a1 a2x
(5.2)
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 为u(x) |xx1 u1，u(x) |xx2 u2 ，代入上式插值模式公式得：
a1 a2 x1 u1
a1 a2 x2 u2
Βιβλιοθήκη Baidux]
aa12
1
x
1 1
x1 x2
1
uu12
=
N
(
x)
uu12
得到形函数矩阵（shape function matrix）
N (x) 1
x
1 1
x1 x2
1
(1
x2
x
x1
)
x
x2
x1
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是
δe
uu12
P2 , u2
1
2
图 5-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系
式
P1 P2
k
e
u1 u2
(5.1)
其中， k称e 为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
（2）确定位移模式
假设单元位移场： u(x) a1 a2 x a3x2
取其线性部分，系数 a1、a2可由节点位移 u1、u2确定，称为位
求解得到
a1 u1 x1(u1 u2 ) /(x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /(x1 x2 )
5.1.1 一维杆单元
这样， u(x) a可1 以a写2x 成如下矩阵形式
u(x) [1
x]
aa12
uu12
1 1
x1 x2
aa12
aa12
1 1
导出
u(x) [1
可以得到，
keδe Pe
(5.9) (5.10)
5.1.1 一维杆单元
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单元特 性矩阵(element characteristic matrix)
K e
le 0
BT
E e BAedx
Ee Ae le
1 1
1
1
(5.11)
1 1
1
1
P (2)
FR32
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
(1)
(2)
1 2
uu12
T
E (1) A(1) 1 l(1) 1
1
1
uu12
1 2
R1
R2
uu12
1 2
uu23
T
E (2) A(2) 1 l(2) 1
1
1
uu23
1 2
R2
F3
uu23
1 2
e
d
1 2
P1
P2
uu12
1 2
le 0
Sδe
(Bδe )Aedx 1 2
P1
P2
uu12
1 δeT le BT E e BAedxδe 1 P eT δe
2
0
2
上式记作如下矩阵形式：
e 1 δeT K eδe 1 PeT δe
2
2
根据最小势能原理， e 0
（7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements）
对于图5.1所示结构 第一个单元：
δ(1)
uu12
K (1)
E(1) A(1) l (1)
1 1
1
1
P (1)
RR12
5.1.1 一维杆单元
第二个单元：
δ(2)
uu23
K (2)
E(2) A(2) l (2)
5.1.1 一维杆单元
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标
系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出
相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图5-1）。在局部
坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图5-2为任取的一
个杆单元。
P1, u1 Ee , Ae , le
如图5-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E(1) , A(1) , l (1)
u1
单元1
E(2) , A(2) , l (2)
u2
单元2
1
2
3
x
图 5-1 杆件结构 –待求解的问题
F3 10N
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
统方程：
E (1) A(1)
(5.7)
B为应变矩阵（常应变）。
（5）应力
由弹性力学的物理方程知：
(x) DB(x)δe EeB(x)δe S为应力矩阵（常应力）。
S(x)δe
Ee le
Ee le
uu12
(5.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
5.1.1 一维杆单元
e U e W e
杆单元-桁架结构 梁单元-轴系，转子动力学
5.1 杆件系统的有限元分析方法
5.1.1. 一维杆单元 ——材料力学可轻易求解 一般情况下，认为杆件只承受轴向力，只有一个方向的受力
和相应的变形。本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出 规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解 过程。