2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第二节直线的交点与距离公式

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[推荐学习]2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

课时规范练A组基础对点练1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由点M在圆外，得a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，则直线与圆O相交，选B.答案：B2．过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为()A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0解析：由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.答案：A3．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．6－2 2 B．52－4C.17－1D.17解析：圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝52－4.故选B.答案：B4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为()A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 答案：A5．(2018·惠州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．－22或2 2解析：因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝±2.故选C. 答案：C6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎫3552＝2555. 答案：25557．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝18．(2018·滨州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝19．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．(1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R)，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1，∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1，即y ＝x ＋2.解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)．矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心，|AP |＝22为半径的圆，方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴直线l 过定点M (3,2)．又∵点M (3,2)在圆内，∴直线l 与圆相交．∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5，最短弦长为28－5＝2 3. 10．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切；(2)圆C 1与圆C 2内含．解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圆C1与圆C2外切，则有(m＋1)2＋(－2－m)2＝3＋2，(m＋1)2＋(－2－m)2＝25，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则有(m＋1)2＋(－2－m)2<3－2.(m＋1)2＋(－2－m)2<1，m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1，所以当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．B组能力提升练1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：C2．已知⊙M的圆心在抛物线x2＝4y上，且⊙M与y轴及抛物线的准线都相切，则⊙M的方程是()A．x2＋y2±4x－2y＋1＝0B．x2＋y2±4x－2y－1＝0C．x2＋y2±4x－2y＋4＝0D．x2＋y2±4x－2y－4＝0解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，设圆心M的坐标为(x0，y0)(y0>0)，则|x0|＝y0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A.答案：A3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1) 2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2 a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B4．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( ) A ．2B ．4C ．8D ．9解析：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋ 2 b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b 2的最小值为9.答案：D5．(2018·银川一中检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．解析：验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝06．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，求k 值．解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 7．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5. ∵OM ⊥ON ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8 (y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85. (3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165.。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第六节双曲线含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A. 答案：A4．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2，又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.答案：C5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析：由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫－b a ·ba ＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 答案：C6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( )A. 5B. 2 C ．2D.52解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，可得b a ＝2，∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.故选A. 答案：A10．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：C 1的渐近线为y ＝±2x ，即ba ＝2.又∵2c ＝45，c ＝2 5. 由c 2＝a 2＋b 2得， ∴20＝14b 2＋b 2，b ＝4.答案：B11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ；x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·西安质检)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，故n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1，可得9a 2－24＝1，解得a ＝35.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±53x .答案：y ＝±53xB 组能力提升练1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4. 答案：C2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba >2，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C3．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102C.152D. 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B5．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C6．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D7．(2018·甘肃两市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝x 2＋(－bax )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A.223B. 2C. 3D ．2解析：由题意得ab ＝34c 2，∴a 2(c 2－a 2)＝316c 4，整理得3e 4－16e 2＋16＝0. 解之得e 2＝4或e 2＝43，又0<a <b ⇒a 2<c 2－a 2⇒c 2>2a 2⇒e 2>2，故e 2＝4. ∴e ＝2. 答案：D10．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，y ＝－b a x 得x ＝－aca ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，y ＝b a x ，解得x ＝ac b －a ，不妨设x A ＝－ac a ＋b ，x B ＝ac b －a ，由F 1A →＝AB →可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b ，整理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝012．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为12×22×22＝4. 答案：413．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)14．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.3答案：－8。

2019版一轮创新思维历史(人教版)课件：第二部分+第八单元+第17讲+太平天国运动和辛亥革命

3．分析归纳《天朝田亩制度》和《资政新篇》的本质区别(历史理解) 二者有关社会发展趋势的设想和经济主张、观点是相反的、矛盾的，二者所设想的两种社会制度有着本质的区别。 (1)《天朝田亩制度》要求废除一切私有财产，建立以小农经济为基础的社会，实行公有共享和绝对平均主义。 (2)《资政新篇》允许私有财产存在，提倡建立资本主义的政治制度，发展资本主义经济。 (3)《天朝田亩制度》是违背社会发展规律的空想纲领，而《资政新篇》是符合时代潮流的进步纲领。
(3)革命任务：太平天国运动在承担传统的反封建任务的同时，还承担起反侵略的任务，成为民主革命的准备阶段。 (4)先进思想：以洪仁玕为代表的先进人士，大胆地提出了发展资本主义的蓝图，在一定程度上超越了农民阶级的局限性，具有进步意义。 (5)对外交往：太平天国曾与外国人打交道，当西方列强提出以国家利益为交换条件支持太平天国时，被太平天国拒绝了，这些现象都是以往的农民起义所不可能遇到的问题。 (6)失败原因：中外反动势力联合镇压，这是以往的农民运动所不曾遇到的新情况。
[素养“题”炼] (全国卷在本考点近几年来无命题) [精选模拟] 1．太平天国立国之始就开科取士，其后制度日备，有会试、乡试、县试等，而且录取颇宽。这说明太平天国( A．注重宣扬儒家传统文化 B．政权性质日趋封建化 C．缺乏新政治体制的建设 D．注重扩大人才的储备 )
解析：太平天国开科考试虽然仍用八股文，但题目却不准用旧时的“四书五经”，完全出自太平天国的教义，故 A 项错误； “开科取士”是一种选官制度与政权性质无关，故 B 项错误；材料“开科取士”阐述的是太平天国选官制度，不能反映其新政治体制建设情况，故 C 项错误；据材料“录取颇宽”可知太平天国扩大录取名额，注重扩大人才的储备，故 D 项正确。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第一节函数及其表示

课时规范练A 组　基础对点练1．函数y ＝的定义域是( )lg (x ＋1)x －2A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需Error!，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.答案：C2．函数f (x )＝的定义域为( )1log2x －1A ．(0,2) B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．答案：C3．设f (x )＝Error!则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14C.D.1232解析：∵f (－2)＝2－2＝，∴f (f (－2))＝f ＝1－＝，故选C.14(14)1412答案：C4．f (x )＝Error!则f ＝( )[f(19)]A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析：∵f (x )＝Error!∴f ＝log 3＝－2，∴f ＝f (－2)＝－2＝9.故选C.(19)19[f(19)](13)答案：C5．已知函数f (x )＝Error!则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1 B ．π2＋1C ．πD ．0解析：由函数的解析式可得f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π.故选C.答案：C6．设函数f (x )＝Error!若f ＝4，则b ＝( )(f(56))A ．1 B.78C.D.3412解析：f ＝f＝f .当－b <1，即b >时，3×－b ＝4，解得b ＝(舍)(f(56))(3×56－b)(52－b)5232(52－b)78．当－b ≥1，即b ≤时，2＝4，解得b ＝.故选D.523252b 12答案：D7．已知函数f (x )＝Error!若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3 B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.答案：A8．函数f (x )＝＋的定义域为( )1－2x 1x ＋3A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得Error!，所以－3＜x ≤0.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．答案：B10．设x ∈R ，则f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2B ．f (x )＝，g (x )＝(x )2x x(x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝，g (x )＝x －3x 2－9x ＋3解析：对于A ，f (x )＝x 2(x ∈R)，与g (x )＝＝|x |(x ∈R)的对应关系不同，所以不是同一函x 2数；对于B ，f (x )＝＝1(x ＞0)，与g (x )＝＝1(x ＞0)的定义域相同，对应关系也相(x )2x x(x )2同，所以是同一函数；对于C ，f (x )＝1(x ∈R)，与g (x )＝(x －1)0＝1(x ≠1)的定义域不同，所以不是同一函数；对于D ，f (x )＝＝x －3(x ≠－3)，与g (x )＝x －3(x ∈R)的定义域不同，x 2－9x ＋3所以不是同一函数．故选B.答案：B11．已知函数f (x )＝Error!则f (0)＝( )A ．－1 B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0.答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝Error!若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1，由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B.答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________.解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0.答案：015．已知函数f (x )＝Error!则f的值是__________．(f(14))解析：由题意可得f ＝log 2＝－2，(14)14∴f ＝f (－2)＝3－2＋1＝.(f(14))109答案：10916．设函数f (x )＝Error!则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是__________．解析：当x ≥8时，x ≤3，x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立．13综上，x ∈(－∞，27]．答案：(－∞，27]B 组　能力提升练1．(2018·郑州教学质量监测)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 016]，则函数g (x )＝的定f (x ＋1)x －1义域是( )A ．[－1,2 015] B ．[－1,1)∪(1,2 015]C ．[0,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 016]解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 015]，所以函数g (x )有意义的条件是Error!，故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 015]．答案：B2．(2018·大同质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )(1－x1＋x )A. B.21＋x 21＋x 2C.D.1－x 21＋x 21－x 1＋x解析：令＝t ，则x ＝，代入f ＝1＋x ，得f (t )＝1＋＝，故选A.1－x1＋x 1－t1＋t (1－x 1＋x )1－t 1＋t 21＋t 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意 x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0 B ．1C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝Error!，则f (－2 017)＝( )A ．1 B ．eC.D ．e 21e 解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2017)＝f (2016＋1)＝f (1)＝e.答案：B6．函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(，＋∞)D ．(，＋∞)1010解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >，故选C.10答案：C7．已知函数f (x )＝Error!则f (－1＋log 35)的值为( )A. B.11553C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝(13)＝，故选A.3log 15115答案：A8．设函数f (x )＝Error!若f (f (a ))＝－，则实数a ＝( )12A ． 4B ．－2C ．4或－D ．4或－212答案：C9．已知函数f (x )＝Error!，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞) B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝Error!，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.答案：D11．已知实数a ≠0，函数f (x )＝Error!若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－B ．－3234C ．－或－D.或－32343234解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－，不合题意；当a <0时，321－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－，所以a 的值34为－，故选B.34答案：B12．给出定义：若m －＜x ≤m ＋(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作1212{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①f＝；(－12)12②f (3.4)＝－0.4；③f＝f ；(－14)(14)④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是.[－12，12]其中真命题的序号是( )A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④解析：①∵－1－＜－≤－1＋，121212∴＝－1，{－12}∴f ＝＝＝，∴①正确．(－12)|－12－{－12}||－12＋1|12②∵3－＜3.4≤3＋，∴{3,4}＝3，1212∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，∴②错误．③∵0－＜－≤0＋，∴＝0，121412{－14}∴f＝＝.∵0－＜≤0＋，∴＝0，∴f ＝＝，(－14)|－14－0|14121412{14}(14)|14－0|14∴f ＝f ，(－14)(14)∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是，∴④错误．故选B.[0，12]答案：B13．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是________．解析：因为函数f (2x )的定义域是[－1,1]，所以－2≤2x ≤2，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]，所以f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域应满足的条件为－2≤2x －1≤2且－2≤2x ＋1≤2，即－≤x ≤且－≤x ≤，所以－≤x ≤，所以函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是.123232121212[－12，12]答案：[－12，12]14．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得Error!或Error!解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]．答案：[－4,2]15．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝Error!则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝Error!f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8.答案：－816．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：∀a ，b ∈R ，都有3f ＝f (a )＋2f (b )，且f (1)(a ＋2b 3)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________.解析：由已知得f＝.(a ＋2b 3)f (a )＋2f (b )3取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f＝.(a ＋2b 3)f (a )＋2f (b )3由f (1)＝1，f (4)＝7得Error!，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033.答案：4 033。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第二节直线的交点与距离公式含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．已知直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行，则点(a ，b )在( ) A ．圆a 2＋b 2＝1上 B ．圆a 2＋b 2＝2上 C ．圆a 2＋b 2＝4上D ．圆a 2＋b 2＝8上解析：∵直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行，∴(b ＋2)(b －2)＝－a 2，即a 2＋b 2＝4.故选C. 答案：C2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23B ．－32C.23D.32解析：由题意得，直线l 的斜率为k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a (a ≠0)，所以－1a ·⎝⎛⎭⎫－23＝－1，所以a ＝－23，故选A.答案：A3．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－12B ．1C ．2D.12解析：由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.答案：C4．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y ＝－x ＋m ，因为与圆相切于第一象限，所以m >0且d ＝|m |2＝1，故m ＝2，所以切线方程为x ＋y －2＝0，故选A. 答案：A5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 2解析：由圆的标准方程(x ＋1)＋y ＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离d ＝|－1－0＋3|2＝ 2.答案：C6．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．x －2y ＝0 C ．2x －y －3＝0D ．2x －y ＋3＝0解析：因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，所以直线l 的斜率为2，且直线l 过点(2,1)，故选C. 答案：C7．直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C8．(2018·北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6D ．k >－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.故选A. 答案：A9．(2018·哈尔滨模拟)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.132C.21313D.71326解析：由直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋7＝0互相平行，得m ＝4，所以直线分别为3x ＋2y－3＝0与3x ＋2y ＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B.答案：B10．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C. 答案：C11．圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线l ：x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A ．36 B ．18 C ．6 2D ．5 2解析：将圆C 的方程x 2＋y 2－4x －4y －10＝0变形为(x －2)2＋(y －2)2＝18，可知圆心C (2,2)，半径r ＝3 2.圆心C (2,2)到直线l ：x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝5 2.所以圆C 上的点到直线l 的最大距离与最小距离的差为(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62，故选C. 答案：C12．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：|OP |＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．答案：0<d <213．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝014．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：1215．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0B 组能力提升练1．已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－16B ．6C ．0D ．0或－16解析：由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D. 答案：D2．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－14 C ．10D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：如图，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a 4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b216＝10.答案：D4．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×(－1x 2)＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎨⎧y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)y ＋ln x 2＝－1x2(x －x 2)，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △P AB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △P AB 的取值范围是(0,1)，故选A.答案：A5．直线2x ＋3y －6＝0分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(0,0)D.⎝⎛⎭⎫12，－12 解析：由已知可得B (0,2)，A (3,0)，A (3,0)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(0，－3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，由几何意义知，当B ，P ，A ′共线时|P A ′|＋|PB |最小，即|P A |＋|PB |最小，此时直线BA ′与直线y ＝－x 的交点为(0,0)，即使|P A |＋|PB |取得最小值的点P 的坐标为(0,0)．故选C. 答案：C6．(2018·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( ) A.102B.10 C ．5D ．10解析：由题意可知，P (0,1)，Q (－3,0)，且l ⊥m ， ∴M 在以PQ 为直径的圆上．∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 答案：D7．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B. 答案：B8．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4 B.13 C.15D.17解析：根据中点坐标公式得⎩⎨⎧x －22＝1，5－32＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，所以点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17，故选D. 答案：D9．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝32a 2≠18a ≠2a ≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝|6－23|2＝823，故选B.答案：B10．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．±6 C ．－ 5D ．±5解析：因为圆心C 到y 轴的距离为1，所以圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，选D.答案：D11．平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ，又因为A ，B 两点相异，则cos θ≠0，sin 2θ≠1，所以k ＝tan α＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案： ⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 12．(2018·晋中模拟)直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k P A ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]13．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)，此点即为所求点．因为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |，取异于P 点的任一点P ′. 则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D | ＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |) >|AC |＋|BD |＝|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.故P 点就是到A 、B 、C 、D 的距离之和最小的点．答案：(2,4)。

人教版A版2019版一轮创新思维文科数学练习：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时规范练 A 组基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－AB x －C B，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－C B>0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D. 答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．4x ＋3y ＋6＝0C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋ (x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C.答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α≤π4B.π2<α<π C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．(2018·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a，此直线在x轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．(2018·北京二十四中模拟)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( )A ．(－2，－1)B ．(2,3)C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝x 0＋＋1x 0＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－214．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－915．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]B 组能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B.π6 C.π4D.3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D.答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A. 答案：A4．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B. 答案：B5．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －4＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A.答案：A6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34. 答案：D7．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2θ＋cos 2θ3sin 2θ－cos 2θ＝2θ＋3tan 2θ－1＝1013，故选C. 答案：C8．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．11D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n≥5＋22n m·2mn＝9.当且仅当2n m ＝2mn时取等号．故选B.答案：B9．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)10．(2018·黑龙江鹤岗一中检测)过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝011．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即PA ⊥PB .所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|PA |·|PB |的最大值为5.答案：512．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax＋by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.答案：π4。

2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含

课时规范练A组基础对点练1直线x+ .3y+ a = 0（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A . 30 °B . 60 °C. 120 ° D . 150 °解析：直线x+J3y+ a= 0（a为实常数）的斜率为一普，令其倾斜角为0,则tan归一^3, 解得0= 150°故选D.答案：D2. 如果AB<0，且BC<0，那么直线Ax+ By + C = 0不通过（）A .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限A C解析：直线Ax + By+ C = 0可化为y=—Ax —C,B BA C••• AB<0, BC<0,「.—B>0，—B>0. •••直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选 D.答案：D3. 直线x+ （a2+ 1）y+ 1 = 0的倾斜角的取值范围是（）n 3 n 、A . [0 , 4]B .打，冗）n n 、__ _ n n 3 n 、C. [0, 4]u（2，n）D. [4，2）u[—, n）1 1解析：由直线方程可得该直线的斜率为—-^7，又—1 w—寸7<0,所以倾斜角的取值范a十I a十I3 n围是[宁，n）4答案：B4. 若方程（2m2+ m—3）x+ （m2—m）y—4m+ 1 = 0表示一条直线，则参数m满足的条件是（）3A . m^—B. m^ 0C. m^ 0 且m^ 1 D . m丰 1.■ 22m 十m—3 = 0, 解析：由2解得m= 1，故m z 1时方程表示一条直线.m2—m= 0,答案：D5. 设a € R,则“ a = 1” 是“直线I1：ax+ 2y—1 = 0 与直线I?: x+ 2y+ 4 = 0 平行”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由a = 1可得l i // I 2,反之，由l i // I 2可得a = 1，故选C. 答案：C6. 设直线I 的方程为x + ycos 0+ 3= 0（匪R ），则直线I 的倾斜角a 的取值范围是（ A . [0 , n )n解析：当cos 0= 0时，方程变为x + 3 = 0,其倾斜角为2；当cos 0工0时，由直线I 的方程，可得斜率 k = 因为 cos 0€ [ — 1,1]且 cos 時 0,所以 k € (―a, — 1]U [1 , + a ), 即 ta n a€ (—a,— 1] U [1 , + a ),答案：C17. （2018开封模拟）过点A （ — 1,— 3），斜率是直线y = 3x 的斜率的—的直线方程为（）A . 3x + 4y + 15= 0B . 4x + 3y + 6 = 0C . 3x + y + 6 = 0D . 3x — 4y + 10= 01 3解析：设所求直线的斜率为 k ,依题意k = — j x 3 =—又直线经过点A(— 1,— 3)，因此所、3求直线方程为 y + 3 = — 4(x + 1)，即 3x + 4y + 15 = 0. 答案：A&直线(2m + 1)x + (m + 1)y — 7m — 4= 0 过定点( )A . (1, — 3)B . (4,3)C . (3,1)D . (2,3)解析：2mx + x + my + y — 7m — 4= 0, 即(2x + y — 7)m + (x + y — 4)= 0,2x + y =乙x = 3,由’，解得F则直线过定点(3,1)，故选C.x + y = 4y = 1.In )2，41 cos 0综上知，直线I 的倾斜角又久€ [0, n)所以a€ -,a 的取值范围是n匚,答案：C9. (2018张家口模拟)直线I经过A(2,1),值范围是()•••直线MN垂直于直线x+ 2y —3= 0,1 直线x+ 2y —3= 0的斜率k= —2X o+ 2答案：B 2B(1, —m )(m € R)两点，则直线l的倾斜角a的取n A. OF 4nB・2< a< nn a<2解析:2直线l的斜率kwn .=12—- = mn°<2.答案:10. (2018西安临潼区模拟)已知直线截距和最小时，正数a的值是(x+ a2y—a = 0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的C. ,22 1解析：直线x+ a y—a= 0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y a轴上的截距和为a+ ->2,当且仅当a= 1时，等号成立.故当直线x+ a2y—a= 0在X轴，y a轴上的截距和最小时，正数a的值是1,故选D.答案：D11 . (2018北京二十四中模拟)已知点M(0, —1)，点N在直线X—y+ 1 = 0上，若直线MN 垂直于直线x+ 2y—3 = 0,则点N的坐标是(A . (- 2,—1)B . (2,3)C . (2,1)解析：T点N在直线X—y+ 1 = 0上,D . (—2,1)•••可设点N坐标为(x o, X o+ 1).根据经过两点的直线的斜率公式,得k MN = 4也=X0^X o X o解得X o= 2•因此点N的坐标是(2,3)，故选 B.12 .直线I 过点P(1,0)，且与以A(2,1), B(0, 取值范围为_______________ ..3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的解析：如图，因为 k AP = 1—0 = 1, k BP = 3_0 =— 3,2 — 1 0 — 1 v 所以k € (——3] U [1 , + 00 ) •答案：(一O,— 3] U [1 , +O )13.已知直线I : ax + y — 2— a = 0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数 a = __________ .2 解析：令x = 0,则丨在y 轴上的截距为2 + a ；令y = 0，得直线I 在x 轴上的截距为1 + -.依a2题意 2+ a = 1 + -，解得 a = 1 或 a =— 2.a答案：1或—214. 若三条直线 y = 2x , x + y = 3, mx + 2y + 5= 0相交于同一点，贝U m 的值为 ________________ .y = 2x , x = 1, 解析：由 <解得*所以点(1,2)满足方程mx + 2y + 5 = 0,即m X 1 + 2X 2 + 5l x +y = 3,y = 2.=0，所以 m = — 9. 答案：—915. ___________________________________________________________________________设点A(— 1,0), B(1,0),直线2x + y — b = 0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 ___________________ .解析：b 为直线y = — 2x + b 在y 轴上的截距，当直线 y = — 2x + b 过点A(— 1,0)和点B(1,0) 时，b 分别取得最小值和最大值.••• b 的取值范围是[—2,2]. 答案：[—2,2]B 组能力提升练1 .已知 f(x) = asin x — bcos x ,若 f 4— x = f 4+ x ，则直线 ax — by + c = 0 的倾斜角为()nB・63 nn贝U f(0) = fgj,即一b = a ,则直线ax — by + c = 0的斜率k =*=— 1,其倾斜3 n 角为[•故选D.答案：D2. 过点P(1,1)的直线，将圆形区域｛(x , y)|x 2+ y 2< 4｝分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()B . y — 1 = 0 D . x + 3y — 4= 0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径.因为过点的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为— 1,方程为x + y — 2 = 0.nC・解析：令x= 4A . x + y — 2= 0 C . x — y = 0P(1,1)答案：A3.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= 1的两条切线，切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（）A . 2x + y — 3 = 0B . 2x — y — 3= 0C . 4x — y — 3 = 0D . 4x + y — 3= 0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点（3,1）, （1,0）的连线垂直，而这两点连线所在直j n j n j n解析：当2< a n 时，tan a 0,即卩k w 0,而当k>1时，即tan o>1，则4< a <2，所以P 是q 的必要不充分条件，故选 B.答案：B5. 若经过点（1,0）的直线l 的倾斜角是直线 x — 2y — 2 = 0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（）A . 4x — 3y — 4= 0B . 3x — 4y — 3 = 0C . 3x + 4y — 3= 0D . 4x + 3y — 4= 0解析：设直线x — 2y — 2 = 0的倾斜角为 a 则其斜率tan a 1，直线I 的斜率tan 2 a= 2tan 221 — tan a4=3•又因为I 经过点（1,0），所以其方程为4x — 3y — 4 = 0,故选A.答案：A6. —条光线从点（一 2, — 3）射出，经y 轴反射后与圆（x + 3）2+（y — 2）2= 1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）解析：由题知，反射光线所在直线过点（2, — 3），设反射光线所在直线的方程为 y + 3= k （x—2），即 kx — y — 2k — 3 = 0.•••圆（x + 3）2+ （y — 2）2 = 1的圆心为（一3,2）,半径为1，且反射光线与该圆相切，线的斜率为2故直线AB 的斜率一定是— 答案：A4. 已知p ： “直线I 的倾斜角o>n ; q ： A .充分不必要条件 C .充要条件2，只有选项A 中直线的斜率为一2,故选A.“直线I 的斜率k>1 ”，贝U p 是q 的（）B •必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件A .B .—；或-2|—3k—2 —2k—3|=1，化简得12" 2时12= °，解得k=-詼k=-2 .'k2+ 1答案：DC . 11解析：T 直线2x + (n — 1)y — 2 = 0与直线 mx + ny + 3 = 0互相平行,2 1/• 2n = m(n — 1)，二 m + 2n = mn ,两边同除以 mn 可得一+ -= 1, T m , n 为正整数, m n ••• 2m + n = (2m + n) - + - = 5 + 直+ 细》5+ 2 単细=9. 如 n 丿 m n m n当且仅当沪罟时取等号.故选B. 答案：B9.直线xcos — y — 1 = 0(灰R)的倾斜角 a 的取值范围为解析：直线的斜率为k = cos 张[—1,1], 即卩tan a€ [ — 1,1]，所以a€ [0 ,》u [:n 3答案：[0 , 4】u q n, n10. (2018黑龙江鹤岗一中检测 )过点A(1,2)且与直线 x — 2y + 3 = 0垂直的直线方程为1解析：直线x — 2y + 3 = 0的斜率为1，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为— 2,所以所求方程为 y — 2=— 2(x — 1)，即 2x + y — 4= 0.答案：2x + y — 4= 0 11.设m € R ,过定点 A 的动直线x + my = 0和过定点B 的动直线 mx — y — m + 3= 0交于点P(x , y),则|PA| |PB|的最大值是解析：动直线x + my = 0(m M 0)过定点A(0,0)，动直线 mx — y — m + 3= 0过定点B(1,3).由题意易得直线x + my = 0与直线mx — y — m + 3= 0垂直，即PA 丄PB.所以|FA| |PB|w |PA I : |PB f = 2『+ 32号 =—2— = 5,即|PA| |PB|的最大值为5.一 27.已知倾斜角为 0的直线与直线x — 3y + 1 = 0垂直，贝U 2 r-=()3sin 0— cos 0 10 10 ~3 10 C.届10 13解析：依题意，tan 0= — 3([0, n ))2 2 222 sin 0+ cos 02 tan 0+ 1以2— = 22 =2~ 3sin 0- cos 0 3sin 0- cos 0 3tan 0— 11013，故选c.答案：C& (2018天津模拟)已知m , n 为正整数，且直线互相平行，则2m + n 的最小值为()2x + (n — 1)y — 2 = 0 与直线 mx + ny + 3 = 0163n, n答案：5n12 已知直线x=;是函数f(x) = asin x—bcos x(ab丰0)图象的一条对称轴，则直线ax+ by+ c4=0的倾斜角为 ___________ •解析：f(x)=寸a2+ b2sin(x—册，其中tan $= £，将x=才(弋入，得sin^—妨=±1，即n—片k n + —, k € Z,解得©=—k n—n, k € 乙所以tan ©= tan 丨一k n— - ；=一1 = b，所以直线ax+ by2 4 . 4 a+ c= 0的斜率为一a= 1，故倾斜角为nb 4答案：-4。

人教版A版2019版一轮创新思维文数练习：第八章第七节抛物线

课时规范练 A 组基础对点练1．(2018·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎪⎫116，0解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．(2018·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3．(2018·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C. 答案：C4．(2018·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.答案：435．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为__________．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.答案：12或46.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x7．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋－m2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33. (2)由 (1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2，所以|AB |＝1＋32·3p2＋4×4p 2＝16p ，因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .8．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54. (2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p)．由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22x 22－x 214p2＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组能力提升练1．(2018·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ， y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m2m 2－，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.2.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k2，y B ＝1－k k，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ ＝k1－2k，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0， ∴x A ＝－2k k 2＋1，y B ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1， ∴k AQ ＝－1k，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k 1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系

√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11，解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为 y＝－12(x－3)，即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率分别为－sina A，sinb B，又在△ABC 中，sina A＝sinb B，所以－sina A·sinb B＝－1，所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第五节椭圆

课时规范练 A 组基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B.55C.14D.5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.答案：A5．(2018·郑州模拟)如图，△P AB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，若tan ∠ADP ＋2tan ∠BCP ＝10，则点P 在平面α内的轨迹是( ) A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分解析：由题意可得|P A ||AD |＋2|PB ||BC |＝10，则|P A |＋|PB |＝40>|AB |＝6，又因为P ，A ，B 三点不共线，故点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆的一部分．答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1.答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C的值等于________．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1.解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ，∴a 2－c 2＝36ac . ∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →.(1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意．则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0.则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组能力提升练1．若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[1,2)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：联立直线与椭圆的方程，消去y 得(2k 2＋m )x 2＋4kx ＋2－2m ＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k 2－4(2k 2＋m )(2－2m )≥0，即2k 2＋m －1≥0恒成立，因为k ∈R ，所以k 2≥0，则m －1≥0，所以m ≥1，又m ≠2，所以实数m 的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞)．答案：C2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝c a ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤32.答案：A3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：根据已知条件画出图形，如图．设MN 的中点为P ，F 1、F 2为椭圆C 的焦点，连接PF 1、PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线，PF 2是△MBN 的中位线， ∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝2×6＝12.答案：125．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程．(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△POQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时， l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 6．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解析：(1)因为e ＝32＝c a，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：古典概型

课时规范练 A 组基础对点练1抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 1 Ay 1 D.12解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 3的情况有：1,4; 4,1；2,5;5,2; 3,6； 6,3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有 36种，所以所求概率 6 1P = 366'故选B. 答案：B X ,第二次向上的点 2 •某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以（x , y ）为坐标的点落在直线 2x -y = 1上的概率为（） 1 A.12 5 C.361 D.6 解析：先后投掷两次骰子的结果共有 6X 6= 36种, 而以（x , y ）为坐标的点落在直线 2x -y = 1上的结果有（1,1）, （2,3）, （3,5），共3种，故所求概率为36=12. 答案：A3.甲、乙两人有三个不同的学习小组 A , B , C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（） 1 代32 B.3 1 C.6 5 D.6 解析：甲、乙两人参加三个不同的学习小组共有 9个基本事件，其中两人参加同一个小组有 3 1 3个基本事件，因此所求概率为 9 = 3，故选A. 答案：A 4•若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为（） 2 A.3 2 B.5 C.|9 D.103的概率是（）1 C.18解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲, 乙丁 )，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁 )，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁 )，(乙, 丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件 “甲或乙被录用”的可能结果有9种，9所求概率P =二.答案：D 5.从 1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为 2的概率是( )1A .21 B.3 C1 C.4 1 D.6解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), 满足取出的2个数之差的绝对值为 2的有(1,3), (2,4)，故所求概率是-=16 3答案：B6•从字母a , b , c , d , e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为 _________ .解析：总的取法有：ab ,ac , ad , ae , be , bd , be , cd , ce , de 共10种，其中含有a 的有答案：27.某校有A , B 两个文学社团，若 a , b , c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团, 则三人不在同一个社团的概率为 ____________________ .答案：3&设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m , n ,令平面向量a = (m , n), b = (1, - 3).(1) 求使得事件“ a 丄b ”发生的概率； (2) 求使得事件“ |a|w |b|”发生的概率.解析：(1)由题意知，m € {1,2,3,4,5,6} , n € {1,2,3,4,5,6} , 故 (m , n)所有可能的取法共 36 种.2 1a 丄b ，即m -3n = 0，即m = 3n ,共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a 丄b 的概率为36= 182 1况，其中3人同在一个文学社团中有2种情况，因此3人同在一个社团的概率为 2=：.由对8 4立事件的概率可知，三人不在同一个社团的概率为 1-134.ab , ac , ad , ae 共4种，故所求概率为4 = 210一 5.解析：a , b , c 三名学生各自随机选择参加A ,B 两个文学社团中的一个社团，共有 8种情⑵|a|w|b|,即m2+ n2< 10,共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6 种，其概率为点=；•9•某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的 300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了 8名学生的视力数据.其中高三(1) 班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据 4.04.14.24.3 4.44.5 4.64.7 4.8 4.95.0 5.15.25.3人数22211(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；⑵已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、48若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2的概率.解析：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4X 2+ 4.6 X 22+ 4.9 + 5.1 = 4.7 ,8故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有 15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5), (4.3,4.6),(4.3,4.7), (4.3,4.8), (4.4,4.6), (4.4,4.7), (4.4, 4.8), (4.5,4.7), (4.5,4.8), (4.6,4.8)，共有 10 种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于B 组能力提升练1. (2018河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有 2个红球、3个白球.现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为 ( )A 3 A .47 B.10c 4 C.5°.| 解析：设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ,从中随机抽取2个，则有(a , b),(a , A), (a , B), (a , C), (b , A), (b , B), (b , C), (A , B), (A , C), (B , C),共 10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有 6个，则所求概率为 P = 6 = 3.10 5答案：D 2.在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字的概率为( )A.4 1 D.410 20.2的概率为p = 15= 3.2是取出的三个不同数的中位数C.^解析：分析题意可知，共有(0,1,2), (0,2,5), (1,2,5) , (0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P= 2答案：C1 32 23. (2018商丘模拟)已知函数f(x)= 3X3+ ax2+ b2x+ 1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()7 Ay1 B.3C.9解析：f' (x)= x2+ 2ax+ b2,2D.3要使函数f(x)有两个极值点，则有△= (2a)2—4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9 个，即(1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1),(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值•满足a2>b2的共有6个，P=；=2—3.答案：D4•将一颗骰子投掷两次分别得到点数a, b，则直线ax—by= 0与圆(x-2)2+ y2= 2相交的概率为_________ .解析：圆心(2,0)到直线ax—by= 0的距离d =」纠2,当d< 2时，直线与圆相交，则有d\/a2+ b2=迈，得b>a，满足b>a的共有15种情况，因此直线ax —by= 0与圆(x—2)2+ y2 =2相交的概率为15=36 125答案：誇5. (2018长沙长郡中学检测)在所有的两位数10〜99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是_________ .解析：所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15 个, 所以能被2或3整除的共有45+ 30 —15= 60(个)，所以所求概率是器=答案：26. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；⑵将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1, A2, A3, A , A5, A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.解析：⑴应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.⑵①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A i, A2} , {A i, A3} , {A i, A4} , {A i ,A5} , {A i , A6} , {A2, A3} , { A2, A4} , {A2, A5} , { A2 , A6} , { A3 , A4} , {A3 , A5}, {A3 , A6}, {A4 , A5}, {A4 , A6} , {A5 , A6},共i5 种.②编号为A5和A6的两名运动员中至少有i人被抽到的所有可能结果为{A i , A5}, {A i, A6}, {A2 , A5},{A2 , A6}, {A3 , A5} , {A3 , A6} , {A4 , A5} , {A4 , A6}, {A5 , A6},共9 种.9 3因此，事件A发生的概率P(A)= “ =匚i5 57•某校夏令营有3名男同学A , B , C和3名女同学X , Y, Z ,其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1) 用表中字母列举出所有可能的结果；⑵设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有i名男同学和i名女同学”，求事件M发生的概率.解析：⑴从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A , B} , {A , C}, {A , X}, {A , Y}, {A , Z}, {B , C}, {B , X}, {B , Y} , {B , Z} , {C , X}, {C , Y} , {C , Z}, {X , Y}, {X , Z}, {Y , Z},共i5 种.(2) 选出的2人来自不同年级且恰有i名男同学和i名女同学的所有可能结果为{A , Y} , {A , Z}, {B ,X}, {B , Z}, {C , X}, {C , Y},共6 种.因此，事件M发生的概率为i；= I-。

[推荐学习]2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第八节直线与圆锥曲线的位置关系

课时规范练 A 组基础对点练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2018·西安模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3D ．8解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.答案：C3．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) ①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3； ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 答案：C4．(2018·郴州模拟)过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为( ) A.33B ．±33C. 3D ．±3解析：∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34， ∴sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3， ∴圆心到直线l 的距离为32. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴32＝|3k |1＋k2， ∴k ＝±33.答案：B5．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案：16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b2)，根据已知得a 2(1＋p 24b 2)＝c 2①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x . 答案：y ＝±x7．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________.解析：∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4. 答案：48．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k O M ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.9.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得：⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝6，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以|t ＋k |1＋k2＝1⇒2k ＝1－t 2t (t ≠0)，把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k2，y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t3＋4k 2，因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t(3＋4k 2)λ，又因为点C 在椭圆上，所以， 8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1⇒λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t2＋1，因为t 2>0，所以⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．B 组能力提升练1．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－32，故选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)可知其焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以b ＝p2，又a ＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k ＝p42，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1，x 2＝2py可得x 2＝2p ⎝⎛⎭⎫p 42x －1＝p 222x －2p ，得x 2－p222x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝⎛⎭⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.答案：A3．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3)D ．(2,4)解析：当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0.又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D. 答案：D4．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP→的最小值为________．解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x29＝19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝⎛⎭⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝⎛⎭⎫x ＋922≤22536， ∴6≤19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6. 答案：65．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 答案：(－2,4)，(1,1)6．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________. 解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)，由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故|BF |＝32.答案：327．定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到点A 的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE 、CF 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1k 2.解析：(1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，易知|P A |＋|PM |＝23>22＝|AM |，所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝23，2c ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝ 2.所以b 2＝1，故曲线W 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1x 1，又CE⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1，记－x 1y 1＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6mk1＋3k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋3k 2，由题意知x 1≠x 2，∴k 1＝k DE ＝y 2＋y 1x 2＋x 1＝－13k ＝y 13x 1，∴直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 13x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)．可得k 2＝－y 1x 1.∴k 1k 2＝－13. 8．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2. (1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解析：(1)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入方程y 2＝4x ，得：k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2kb k 2＝2，得b ＝2k －k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k，∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，2k ， ∴AB 的中垂线方程为y ＝－1k (x －1)＋2k ＝－1k x ＋3k .∵AB 的中垂线经过点P (0,2)，故3k ＝2，得k ＝32，∴直线AB 的方程为y ＝32x －16.(2)由(1)可知AB 的中垂线方程为y ＝－1k x ＋3k ，∴点M 的坐标为(3,0)，∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0，∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k2＝2k 2＋1|k |，由⎩⎪⎨⎪⎧k 2x －ky ＋2－k 2＝0，y 2＝4x得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8－4k 2k 2，|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝41＋k 2k 2－1k 2.∴S △MAB ＝4⎝⎛⎭⎫1＋1k 2 1－1k2，设1－1k2＝t ，则0<t <1， S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8，由S ′＝0，得t ＝63，即k ＝±3时，S max ＝1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.。

【配套K12】2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第八节直线与圆锥曲线的位置关系

创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课时作业8.2两直线的位置关系(含答案详析)

课时作业一、选择题1．(2014 ·济南调研 )设 a∈R，则“ a＝1”是“直线 l 1： ax＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2：x＋(a＋ 1)y＋ 4＝0 平行”的()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件1a＋1 A[ 易知当 a＝0 时，两直线不平行．当 a≠0 时，若两直线平行，则有a＝2 4，解得 a＝－ 2 或 a＝1，故 a＝ 1 是两直线平行的充足不用要条件． ]≠－12．当＜＜1时，直线 l 1：kx－ y＝k－1 与直线 l2： ky－x＝2k 的交点在 () 0k2A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [ 解方程组kx－y＝k－1，得两直线的交点坐标为k2k－1ky－x＝2k，，，因为 0k－ 1 k－1＜ k＜1，所以k＜0，2k－1＞0，故友点在第二象限． ]2k－1k－13．(2014·湖南张家界一模)若动点 1 1，y1)， 22，y2)分别在直线l1：x－y－5P (x P (x＝ 0，l2：x－y－15＝ 0 上挪动，则 P1 2的中点 P 到原点的距离的最小值是 ()P5A. 22B．5215C. 22D．152B[ 由题意得 P1P2的中点 P 的轨迹方程是 x－ y－ 10＝0，则原点到直线 x－y －10＝0 的距离为 d＝10＝ 5 2.]24．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2 对于点(2，1)对称，则直线l 2 恒过定点()A．(0，4)B．(0，2)C．(－2，4)D．(4，－ 2)B[ 因为直线 l 1： y＝k(x－4)恒过定点 (4，0)，其对于点 (2，1)对称的点为 (0，2)．又因为直线l1： y＝ k(x－ 4)与直线 l2对于点 (2，1)对称，故直线l2恒过定点 (0，2)．]5．(2014 ·河南安阳一模 )平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－ 3)两点， D 点在直线 3x－y＋1＝ 0 上挪动，则 B 点的轨迹方程为 ()A ．3x－y－20＝ 0B．3x－ y－10＝0C．3x－y－9＝0D．3x－ y－ 12＝05A[ 设 AC 的中点为 O，则2，－ 2 .设 B(x，y)对于点 O 的对称点为 (x0， y0)，x0＝ 5－ x，即 D(x0， y0)，则y0＝－ 4－y，由 3x0－y0＋1＝0 得 3x－y－20＝0.]6．(2014 ·福建龙岩一模 )已知直线 l 1的方向向量为a＝ (1，3)，直线 l2的方向向量为 b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是()A ．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋ 15＝0B[ 因为直线 l 2经过点 (0， 5)，且方向向量为 b＝(－1，k)，所以直线 l2的方程为 y－5＝－ kx.又因为直线 l 1的方向向量为a＝(1， 3)，且 l1⊥l2，1所以－ k·3＝－ 1? k＝3，1所以直线 l2的方程为 y－5＝－3x，即 x＋ 3y－15＝0.]二、填空题7．已知平面上三条直线x ＋ 2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ ky ＝0，假如这三条直线将平面区分为六部分，则实数 k 的全部取值为 ________．分析若三条直线有两条平行，此外一条与这两条直线订交，则切合要求，此时 k ＝0 或 2；若三条直线交于一点，也切合要求，此时 k ＝1，故实数 k 的全部取值为 0，1，2.答案 0，1，28．若两平行直线 3x －2y －1＝0，6x ＋ ay ＋c ＝0 之间的距离为 2 13，则 c ＋2a 的值13为 ________．3－2 －1分析由题意得， 6＝ a ≠ c ，∴a ＝－ 4 且 c ≠－2，c则 6x ＋ay ＋c ＝0 可化为 3x － 2y ＋2＝0，c2 132＋1由两平行线间的距离，得13＝ 13，c ＋2解得 c ＝2，或 c ＝－ 6，所以a＝±1.答案±19．(2014 ·绍兴模拟 )已知 0＜k ＜4，直线 l 1：kx －2y －2k ＋8＝0 和直线 l 2：2x ＋k 2y－ 4k 2－ 4＝0 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 k 值为 ________．分析由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2，4)，直线 l 1 的纵截距为 4－k ，直线l 2 的横截距为 2k 2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(4－ k)＋12× 4× (2k 2＋2)＝ 4k 2－ k ＋8，故面积最1小时， k＝8.1答案8三、解答题1 110．(2014 舟·山模拟 )已知a＋b＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)，求点 (0，b)到直线 x－ 2y－a＝0的距离的最小值．a＋2b1(a＋2b)1＋1分析点(0，b)到直线 x－2y－ a＝ 0 的距离为 d＝＝＝55 a b13＋2b a≥1(3＋2 2)＝3 5＋2 10a＋b5，55当且仅当 a2＝2b2，a＋b＝ab，2＋ 2即 a＝1＋ 2， b＝2时取等号．3 5＋2 10所以点 (0， b)到直线 x－2y－a＝0 的距离的最小值为5.11．过点 P(1，2)的直线 l 被两平行线 l 1：4x＋3y＋1＝0 与 l2：4x＋ 3y＋6＝0 截得的线段长 |AB|＝ 2，求直线 l 的方程．分析设直线 l 的方程为 y－ 2＝ k(x－1)，y＝kx＋ 2－ k，解得 A 3k－7 －5k＋8由，3k＋4；4x＋ 3y＋1＝0，3k＋4y＝kx＋ 2－ k，解得 B 3k－12 8－ 10k由，3k＋ 4.4x＋ 3y＋6＝0，3k＋4∵|AB|＝ 2，∴525k22，3k＋4＋3k＋4＝整理，得 7k2－48k－7＝0，1解得 k1＝ 7 或 k2＝－7.所以，所求直线l 的方程为 x＋7y－15＝0 或 7x－y－5＝0.12．已知直线 l ：3x－ y＋ 3＝ 0，求：(1)点 P(4， 5)对于 l 的对称点；(2)直线 x－ y－ 2＝0 对于直线 l 对称的直线方程．分析设 P(x，y)对于直线 l：3x－ y＋ 3＝ 0 的对称点为 P′(x′，y′)．y′－y∵k PP′·k l＝－ 1，即×3＝－1.①x′－x又 PP′的中点在直线 3x－y＋3＝0 上，x′＋x y′＋y∴3×2－2＋3＝0.②由①②得－4x＋ 3y－9x′＝5，③3x＋4y＋3y′＝5.④(1)把 x＝4，y＝5 代入③④得 x′＝－ 2， y′＝ 7，∴P(4，5)对于直线 l 的对称点 P′的坐标为 (－2，7)．(2)用③④分别代换 x－y－ 2＝0 中的 x， y，得对于 l 的对称直线方程为－4x＋3y－ 9 3x＋4y＋ 35－5－2＝0，化简得 7x＋y＋22＝ 0.。

一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

π α∈0，2 且由
π π 0 增大到 α≠ 2 时，k 由 0 增大到＋∞. 2 也是关于 α 的单调函数，当 α 在此区
π α∈2，π时，k
π π 间内由 α≠ 2 增大到 π(α≠π)时，k 由－∞趋近于 0(k≠0)． 2 (3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．
3 答案：(－∞，－4]∪4，＋∞
解析答案
考点一
考点二
考点三
求直线方程|方法突破 [例 2] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； 1 (2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－倍； 4 (3)求过点(2,1)且在 x 轴上的截距与在 y 轴上的截距之和为 6 的直线方程． (4)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
135° ．倾斜角为________
考点一
考点二
考点三
直线的倾斜角与斜率|易错突破 [ 例 1] (1)(2018· 常州模拟 ) 若 ab<0 ，则过点
1 P 0，－b 与
1 Qa，0的直线
PQ 的倾斜角的取值范围是________．
(2)直线 l：ax＋(a＋1)y＋2＝0 的倾斜角大于 45° ，求 a 的取值范围．
π 3 或 π 4 4 ． 3．已知直线斜率的绝对值为 1，其倾斜角为________
4．(必修 2· 3.2 练习改编)过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为 2
3x＋5y－15＝0 或 7x＋5y－35＝0 ．的直线方程为________________________________

人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何(选择性必修第一册)

人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何（选择性必修第一册）本节内容包括直线的定义、直线的斜率、直线的方程以及点斜式、两点式和截距式等三种直线方程的推导和应用。

重点介绍如何根据斜率和已知点确定直线方程，以及如何根据两点确定直线方程。

同时，还讲述了直线方程的性质和应用场景。

本节内容主要介绍直线与直线的位置关系，包括重合、平行和相交等情况。

通过线段之间的相交和角的关系，引入了重要的判定定理：两直线平行的充分必要条件、两直线垂直的充分必要条件等。

同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。

本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。

重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。

同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。

将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。

本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。

重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。

同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。

将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。

本节内容主要介绍直线与圆的位置关系，包括相切、相交和不相交等情况。

通过切线和弦的性质，引入了切线定理和割线定理等重要的判定定理。

同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。

本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。

通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。

同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。

本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。

通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。

同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 Word版含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －CB，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．4x ＋3y ＋6＝0C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋ (x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4B.π2<α<π C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．(2018·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．(2018·北京二十四中模拟)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x 0＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－214．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－915．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]B 组能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B.π6 C.π4D.3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D.答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A.答案：A4．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q的必要不充分条件，故选B. 答案：B5．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －4＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A.答案：A6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D7．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C.答案：C8．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．11D ．16 解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2mn ≥5＋22n m ·2mn＝9. 当且仅当2n m ＝2mn 时取等号．故选B.答案：B9．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)10．(2018·黑龙江鹤岗一中检测)过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝011．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5. 答案：512．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax ＋by ＋c＝0的倾斜角为________．解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π4＝－1＝ba ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－ab ＝1，故倾斜角为π4.答案：π4。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第二节 直线的交点与距离公式

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