2019高考北师版(理)数学一轮复习：课时分层训练33 数列求和

2019年高考数学一轮训练含答案(理科)：课时分层训练33 数列求和北师大版

课时分层训练(三十三) 数列求和A 组基础达标一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12B ．2n 2－n ＋1－12C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( ) A ．100 B ．110 C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：79140183】A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n项和为S n ，则S 2 019＝( ) A. 2 018－1 B ． 2 019－1 C. 2 020－1D ． 2 020＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.所以a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 020－2 019)＝ 2 020－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N ＋，则S 2 018＝__________.1 [a n ＝sinn π2，n ∈N ＋，显然每连续四项的和为0.S 2 018＝S 4×504＋a 2 017＋a 2 018＝0＋1＋0＝1.]7．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n＝__________.4－n ＋42n[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.所以S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n＝4－n ＋42n.]8．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11Sk＝________.2nn ＋1[设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴∑nk ＝11S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.] 三、解答题9．(2018·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2＋2n ，n ∈N＋.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和.【导学号：79140184】[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，a 1＝S 1＝3也满足a n ＝2n ＋1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，则T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝16－14n ＋6＝n6n ＋9. 10．(2018·太原模拟(二))已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n＋1(n ∈N ＋)．(2)若c n ＝2a n·(b n －1)(n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ，当n ＝1时，a 1＝1，符合上式， ∴a n ＝n (n ∈N ＋)， ∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n ＋1.(2)由(1)得a n ＝n ，b n ＝2n ＋1，∴c n ＝2a n·(b n －1)＝n ×2n ＋1，∴T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1， ①①×2得2T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n ×2n ＋2， ② ①－②得－T n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－n ×2n ＋2＝(1－n )×2n ＋2－4，∴T n ＝(n －1)×2n ＋2＋4.B 组能力提升11．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )的图像关于x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0D ．－50B [因为函数f (x )的图像关于x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.] 12．(2017·合肥二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n ＝__________.【导学号：79140185】n ·2n (n ∈N ＋) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N ＋)．]13．(2017·广州综合测试(二))设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N＋)．(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. ∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n.(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n， ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n. ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n]＝(n －1)·3n ＋1＋3.。

2019北师大版高考第一轮复习——等差数列与等比数列(理)(讲义).docx

高考第一轮复习一一等差数列与等比数列HIS锻輛定位【明确目标有的放矢】一、学习目标：1.了解数列的函数特性，理解等差数列与等比数列的概念。

2.掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式及其应用。

3.掌握等差数列、等比数列的性质及其简单的应用。

4.利用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。

二、重点、难点：重点：（1）等差数列、等比数列的概念、函数特性、通项公式、前n项和公式的简单应用;（2）利用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。

难点：利用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。

三、考点分析：数列是新课标高考的重点，考查的题型有选择题、填空题、综合题。

选择题、填空题重点考杳基础知识，综合题除考査数列的基础知识外还考查函数与方程、不等式等综合性的知识，综合题难度大，通过数列的综合性试题进一步考查学生用数学思想和方法处理问题的能力。

O壬点犒itt 【事难要点点点突破】一、等差数列和等比数列的概念、有关公式及性质二、判断和证明数列是等差(等比)数列的三种常用方法：1. 定义法：对于n22的任意自然数，数列｛色｝是等差数列或等比数列。

aa n -a n _! =dI^^- = q(qHO)； a n-j2. 通项公式法：数列｛〜｝是等差数列oan=pn+q(p,q 为常数)；3. 中项公式法：数列｛a n ｝是等差数列或等比数列 O 2a n+1 =a n +a n+2 5Ka^+1 =a n a n+2(a nH O,HW N)都成立。

3.用二次函数求最值的方法求解。

注：在解含绝对值的数列的最值问题时，注意转化思想的应用。

四、等差数列的奇、偶项的问题若数列｛%｝是公差为d 的等差数列，S 奇，S 他分别表示英奇数项、偶数项的和。

1. 若数列｛色｝的项数是(2n-l),则鱼=丄S 行—s 侶=色(中间项)S 偶 n-\ 2. 若数列｛色｝的项数是2n,则坠=S 偶 °“+]五、建立等差、等比数列模型解决实际问题(等差、等比数列的应用)1. 解答数列实际问题的基本步骤：审题；建模(建立数列模型，分清是等差还是等比数列)；求解；还原。

2019高三数学北师大版理科一轮：课时规范练31 数列求

课时规范练31数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1--D.n2-n+1-2.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=()A.-495B.765C.1 080D.3 1053.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m,其中m,n为正整数,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.554.已知函数f(x)=x a的图像过点(4,2),令a n=,n∈N+.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018等于()A.-1B.+1C.-1D.+15.已知数列{a n}中,a n=2n+1,则--+…+-=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n〚导学号21500545〛6.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,若S n+1=S n,则数列的前2 018项和为.7.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和S n.综合提升组8.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和S n>1 020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.109.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A. B.D.-〚导学号21500546〛C.-10.(2017福建龙岩一模)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N+都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则+…+=.11.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=a n-1(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3+1,求+…+.-创新应用组12.(2017全国Ⅰ,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是() A.440 B.330 C.220 D.110 〚导学号21500547〛参考答案课时规范练31数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+…=n2+1-.2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1.5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以--+…+-+…+--=1-=1-.6.∵S n+1=S n,∴.又a1=2,∴当n≥2时,S n=----- (1)----·…·×2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.∴-.则数列的前2 018项和=--…--.7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+--=n2+2n+2n+1-2.8.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.9.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n=---,∴S n=--…--,故选B.10.对n∈N+都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为.∴a n=.∴b n=log2a n=-n.∴---.则+…+--+…+-=1-.11.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2 ②∴①-②得a n=---,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,∴+…+-+…+--=--+…+-----.12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为--=2n-1,前n组总共的和为---n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N+,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N+,n≥14 所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.。

【北师大版理科】2019年高考数学一轮复习学案第5章数列第4节数列求和

第四节数列求和[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第87页)[基础知识填充]1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16D ．130B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( ) A ．9 B ．99 C ．10D ．100B [∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝9，得n ＝99，故选B.]4．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________.9 [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.2n ＋1－2＋n 2[S n ＝2(1－2n)1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.](对应学生用书第87页)(2016·北京高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． [解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…)．设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n1－3＝n 2＋3n－12.n n 1345(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， ∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)．∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1) ＝(－2)×n ＝－2n .(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． [解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.[规律方法] 利用裂项相消法求和的注意事项, 1 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项., 2 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项., 3 将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. [跟踪训练] (2017·石家庄一模)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.【导学号：79140181】[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n.(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋…＋12－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .n n m －1S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N ＋).【导学号：79140182】(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N ＋)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3.∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2.设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ， ∴T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2， ①2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1， ②①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1＝2－1(1－2n)1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1， ∴T n ＝(n －1)·2n －1＋12(n ∈N ＋)．。

高考数学北师大理一轮复习第章数列数列求和文档

求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200B ．－200C ．400D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，则f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．10 答案 B解析当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)121121222112442(44)1.42424(444)x x x x x x x x x x x x x x ⨯+⨯+====++++++ 设S ＝f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫1011＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫911＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1011＋f ⎝⎛⎭⎫111＝10，即S ＝5.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2017＝________.答案 1008解析因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. ∴S 2017＝S 2016＋a 2017 ＝20164×2＋2017·cos 20172π ＝1008.题型一分组转化法求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 引申探究例1(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2.当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n2－2， n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n项和S n .解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln3＝3n ＋n2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln2－ln3)＋(n －12－n )ln3＝3n－n －12ln3－ln2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln3－1，n 为偶数，3n－n －12ln3－ln2－1，n 为奇数.题型二错位相减法求和例2 (2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.思维升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．已知数列{a n }满足首项为a 1＝2，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)．设b n ＝3log 2a n －2(n ∈N ＋)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .(1)证明由已知可得，a n ＝a 1q n －1＝2n ， b n ＝3log 22n －2，∴b n ＝3n －2，∴b n ＋1－b n ＝3，∴数列{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列． (2)解 c n ＝a n b n ＝(3n －2)×2n .S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n －2)×2n ， ① 2S n ＝1×22＋4×23＋7×24＋…＋(3n －5)×2n ＋(3n －2)×2n ＋1， ②①－②得－S n ＝2＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －2)×2n ＋1 ＝2＋3×4(1－2n －1)1－2－(3n －2)×2n ＋1＝－10＋(5－3n )×2n ＋1， ∴S n ＝10－(5－3n )×2n ＋1. 题型三裂项相消法求和命题点1 形如a n ＝1n (n ＋k )型例3 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.(1)解由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3，又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)．所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n . 又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n . (3)证明当n ＝1时， 1a 1(a 1＋1)＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a n (a n ＋1)＝12n (2n ＋1)＜1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13. 所以对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.命题点2 形如a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017＝________. 答案2018－1解析由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2017－2016)＋(2018－2017)＝2018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k＝1k(n ＋k －n )，1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n－12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.四审结构定方案典例 (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .(1)S n ＝－12n 2＋nk ――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大――→根据S n 结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n――→根据S n求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n ＝n2n －1――→根据数列结构特征确定求和方法T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――→错位相减法求和计算可得T n 规范解答解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .[6分](2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[7分] ②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要通过题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数． (3)可以通过n ＝1,2时的特殊情况对结论进行验证．[方法与技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和． [失误与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2017等于( ) A ．31009－2 B ．2×31007 C.32014－12D.32014＋12答案 A解析由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2016)＝1－310091－3＋3(1－31008)1－3＝31009－2.2．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110答案 D解析通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为( )A ．1－n ＋22n ＋1B ．2－n ＋42n ＋1C ．2－n ＋42nD ．2－n ＋22n ＋1答案 B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，因为S 3＝6，S 5＝252，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎨⎧a 1＝32，d ＝12，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1.4．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82答案 B解析由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10200答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 4＝1，a 12＝3，a 95＝5，则数列{a n }的前100项和S 100＝________. 答案 298解析由题意可得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，所以a 4＝1＝a 1，a 12＝3＝a 3，a 95＝5＝a 2，所以数列{a n }的前100项和S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋1＝198. 7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________．答案－13解析由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，易得该数列是周期为6的数列，且a n ＋2＋a n －1＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2000，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2013，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1013，a 2＝1000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－13，a 4＝－1013，依次可得a 5＝－1000，a 6＝13，由此可知a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋a n ＋4＋a n ＋5＋a n ＋6＝0， ∴S 2015＝S 5＝－13.8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，任意n ∈N ＋，2S n ＝a 2n ＋a n ，令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________．答案 9解析 ∵2S n ＝a 2n ＋a n ， ① ∴2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0.(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0. 又∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋1－a n －1＝0. 即a n ＋1－a n ＝1.在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，可得a 1＝1. ∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n . ∴b n ＝1n n ＋1＋(n ＋1)n＝(n ＋1)n －n n ＋1[n n ＋1＋(n ＋1)n ][(n ＋1)n －n n ＋1]＝(n ＋1)n －nn ＋1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝1－1n ＋1，∴T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2， a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1. 两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n<564. (1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N ＋)． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(2)证明由a n ＝2n (n ∈N ＋)，得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122 ＝564(n ∈N ＋)．即对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564.B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5n n ＋1答案 B解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4nn ＋1. 12．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S 2016等于( )A ．2008B ．2010C ．1D ．0 答案 D解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2016＝6×336， ∴S 2016＝0.13．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．答案 16解析设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0；当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…， b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞…. 因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.14．在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________．答案100101解析由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列， ∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101. 15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图像上(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n ＋1.(2)证明由c n ＋1－c n ＝log 12a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)． ∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1＝12×⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证．。

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第5章第4节数列求和

第四节数列求和[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第87页)[基础知识填充]1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S n＝a1－a n＋11－q.()(2)当n≥2时，1n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1.()(3)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()(4)如果数列{a n}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么S km＝mS k.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝1n(n＋1)，则S5等于()A．1 B.5 6C.16D．130 B[∵a n＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，前n项和为9，则n等于()A．9 B．99 C．10 D．100B[∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(n＋1－n)＋(n－n－1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n＋1－1，令n＋1－1＝9，得n ＝99，故选B.]4．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________.9 [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.2n ＋1－2＋n 2 [S n ＝2(1－2n)1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.](对应学生用书第87页)(2016·北京高考)已知{an }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． [解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…)．设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.n n 13＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， ∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1) ＝(－2)×n ＝－2n .(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和．[解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时， a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.[规律方法] 利用裂项相消法求和的注意事项,(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.,(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.,(3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. [跟踪训练] (2017·石家庄一模)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和. 【导学号：79140181】[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.(2017·山东高考)已知{an }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)－1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .n n m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N ＋).【导学号：79140182】(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N ＋)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ， ∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3. ∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2. 设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，∴T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2， ①2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1， ② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1 ＝2－1(1－2n )1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1，∴T n ＝(n －1)·2n －1＋12(n ∈N ＋)．。

高考数学总复习课时作业32数列求和理北师大版

A1． { a } 是公比q的等比数列，S是其前n和，若 { S} 是等差数列，q () n n nA．－ 1B．1C．± 1D．0112123123＋⋯＋9，⋯，若b n＝12．已知数列 { a n} ：，＋，＋＋，⋯，＋＋，23344410 10 1010a n a n＋1那么数列 {n}的前n 和n()b Sn4nA.n＋1B.n＋13n5n C. ＋1 D.＋ 1 n n3．数列1＋ 2，⋯，a k＋2，⋯，10＋20共有十，且其和240，a1＋⋯＋k＋⋯a k a a ＋ a10的()A． 31B．120C． 130D．1854．已知函数f ( ) ＝n2当n奇数，且n＝f() ＋(n＋ 1)，1＋ 2＋－ n2当 n偶数，3 n a n f a a a＋⋯＋100 等于()aA． 0B．100C．－ 100D．10 2005．等差数列 {n}的首1，公差，前n 和n.“d>|a1|”是“n 的最小a a d S SS1，且 S n无最大”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不是充足条件也不是必需条件6．在等差数列 { a } 中，S表示前n和，a＋a＝ 18－a，S＝ ________.n n285939 2565n7．数列2，4，8，16，⋯的前n和 S ________．8．已知 { a1} 是等比数列， a ＝ 2，a ＝4， S ＝ a ＋ a ＋⋯＋ a 的取范是 ________．n25n12n9．于数列 { a } ，定数列 { a－ a }数列{ a }的“差数列”，若 a ＝2，{ a }的“差n n＋ 1n n1n数列”的通n2 ，数列 { a n} 的前n和S n＝ ________.n10．数列 {a} 足1＝1，数列2是公差 1 的等差数列．na n(1)求数列 { a n} 的通公式；(2)b n＝ n( n＋1) a n，求数列{ b n}的前 n 和 S n.211．若数列 { a n } 足： a 1＝3， a 2＝ 2,3( a n ＋ 1－2a n ＋ a n － 1) ＝ 2.(1) 明数列 { a n ＋ 1－ a n } 是等差数列；(2) 求使 1＋ 1 ＋1＋⋯＋1 ＞5建立的最小的正整数 n .aaaan2123B1． (201 2·福建卷 ) 数列 { a n } 的通公式 a n ＝ n cosn π，其前 n 和 S n ， S 2 012 等于2()A ． 1 006B ． 2 012C ． 503D ． 02．数列 {a n }是以 2 首， 1 公差的等差数列，{n }是以 1 首， 2 公比的等b比数列， ab 1＋ ab 2＋⋯＋ ab 10＝ ________.3．(2012 · 川 ) 在等比数列 { n } 中， n ＞0(n ∈ N ＋) ，公比 q ∈ (0,1) ，且 3 5＋24 6aaa a a a＋ a 3a 9＝ 100，又 4 是 a 4 与 a 6 的等比中．(1) 求数列 { a n } 的通公式；(2) b n ＝ log 2a n ，求数列 {| b n |} 的前 n 和 S n .解答案作 ( 三十二 )A1．B据意可知， 2S 2＝S 1＋ S 3，故 2( a 1＋ a 1q ) ＝ a 1＋( a 1＋ a 1q ＋ a 1q 2) ，即 a 1q ＝ a 1 q 2，∵a 1≠0， q ≠0，∴ q ＝ 1. 故 B.n1＋ 2＋3＋⋯＋ n n2． B a ＝n ＋ 1＝ 2，n＝ 1 ＝4＝ 4 1 －1∴ bn ＋ 1，a n a n ＋1 nn n ＋ 1＝4 1－ 11 111n2 ＋－3 ＋⋯＋－∴ S 2 n n ＋ 114n ＝4 1－n ＋ 1＝n ＋ 1.3． C a 1＋⋯＋ a k ＋⋯＋ a 10＝ 240－ (2 ＋⋯＋ 2k ＋⋯＋ 20)2＋ 20×10＝ 240－2＝ 240－ 110＝ 130.4．B由意，1＋2＋ 3＋⋯＋100＝12－ 22－ 22＋ 32＋ 32－ 42－ 42＋ 52 ＋⋯＋ 992－ 1002－a a a a1002＋ 1012 ＝－ (1 ＋ 2) ＋ (3 ＋ 2) ＋⋯－ (99 ＋ 100) ＋ (101 ＋ 100) ＝－ (1 ＋ 2＋⋯＋ 9 9＋ 100)＋ (2 ＋ 3＋⋯＋ 100＋101) ＝－ 1＋ 101＝100. 故 B.nn1nd 2 1－ d n1d且 S 无最大，必足d >0 且－ a 1 －2d ≤1，即 d ≥－ 2a ，且 d>0，故 d>| a | 可推条件成n112×2立，而条件建立不可以推出 d > | a 1| 建立，因此 A.6．分析：由等差数列的性， a 2＋ a 8＝ 18－ a 5，即 2a 5＝ 18－ a 5，∴ a 5＝ 6，9a 1＋ a 9×95又∵ S ＝2＝ 9a ＝ 54.答案： 547．分析：31 9 1 251 65 ＝ 4＋ 1∵＝1＋，＝2＋， 8＝3＋，16，⋯2 2 44 8 163 9 25 651∴ S n ＝＋＋＋＋⋯＋ n ＋ n2481621 1 11＝ (1 ＋2＋ 3＋⋯＋ n ) ＋ 2＋ 22＋ 23＋⋯＋ 2n1 1 nn n ＋ 121－2＝ n n ＋ 11＝＋12 ＋ 1－ n .221－ 2n n ＋11答案：2＋ 1－2n8．分析：因 { a } 是等比数列，因此可n －1a ＝ a q .nn1a 1q ＝ 2a 1＝ 41因a 2＝2，a 5＝4，因此a 1q 4＝14 4× 1－因此 S n ＝ a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ＝11－ 21 n1因 0＜ 2≤ 2，因此 4≤ S n ＜ 8.答案：[4,8)，解得1 .q ＝21 n21 n＝8－8× 2 .n9．分析：∵a n ＋ 1－a n ＝2 ，∴ a n ＝( a n － a n － 1) ＋ ( a n － 1－ a n － 2) ＋⋯＋ ( a 2 －a 1) ＋ a 1nn －1n －222－ 2nn＝2＋ 2 ＋⋯＋ 2 ＋2＋ 2＝＋2＝2 －2＋ 2＝2 .n2－ 2n ＋ 1n ＋ 1∴ S ＝ 1－2＝2－2.答案：2 n ＋ 1－ 210．分析：(1) 由已知有 2n ＝ 2 ＋ ( n －1) ×1＝ n ＋ 1，∴ a n ＝ 2na a .n ＋ 1n 1(2) 由(1)知 b n ＝n · 2n ，n23nS ＝1·2＋2·2 ＋3·2＋⋯＋n ·2，n23nn ＋ 12S ＝1·2＋2·2 ＋⋯＋ ( n －1) ·2＋ n ·2 ，n2 3＋⋯＋nn ＋ 1 2 1－ 2nn ＋ 1n ＋ 1n ＋1.相减得：－ S ＝2＋ 2 ＋ 22 － n ·2 ＝1－ 2－ n ·2 ＝ 2 － 2－n ·2∴ S n ＝( n －1) ·2n ＋1＋ 2.11．分析：( 1) 明：由 3( a n ＋ 1－ 2a n ＋ a n －1) ＝ 2 可得：22a n ＋ 1－ 2a n ＋ a n － 1＝ 3，即 ( a n ＋ 1－ a n ) － ( a n － a n － 1) ＝ 3，∴数列 { a － a } 是以 a － a ＝ 423 首， 3 公差的等差数列．n ＋ 1n2 1(2) 由(1)n ＋1 n4 22知 a － a ＝ 3＋ 3( n － 1) ＝3( n ＋ 1) ，于是累加乞降得：2 1a ＝ a ＋3(2 ＋ 3＋⋯＋ n) ＝3n( n ＋ 1) ，n11 ＝ 3 11∴ n n －n ＋ 1，a∴ 1＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1＝3－ 35a a a a n ＋＞，∴ n ＞5. 1212 3 n∴最小的正整数 n6.Bn π1． A 因 cos2 呈周期性出，察此数列乞降律，列以下：a 1＝ 0， a 2＝－ 2， a 3＝0， a 4＝ 4，此 4 的和 2. a 5＝ 0， a 6＝－ 6， a 7＝ 0，a 8＝ 8，此 4 的和2. 挨次推，得S 2 012 ＝ ( a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4) ＋( a 5＋ a 6＋ a 7＋a 8) ＋⋯＋ ( a 2 0092 012＋ a 2 010 ＋a 2 011 ＋ a 2 012 ) ＝×2＝ 1 006. 故 A.42．分析：a n ＝ n ＋ 1，b n ＝2n －1，∴ ab 1＋ ab 2＋⋯＋ ab 10＝ a 1＋ a 2＋ a 22＋ a 23＋⋯＋ a 29＝ 1＋1＋ 2＋ 239＋11＋2 ＋ 1＋ 2 ＋1＋⋯＋ 2 ＝ 10＋(1 ＋ 2＋22＋⋯＋ 29)1－ 21010＝10＋ 1－2 ＝ 10＋2 － 1＝ 1 033.答案： 1 0333．分析： (1) ∵a 3a 5 ＋ 2a 4a 6＋ a 3a 9＝100，∴ a 24 ＋2a 4a 6＋ a 26＝ 100，∴ ( a 4＋ a 6) 2＝100，又 a n ＞0，∴ a 4＋ a 6 ＝10，∵ 4 是 a 4 与 a 6 的等比中，∴ a 4a 6＝ 16，而q ∈(0,1) ，∴ a 4＞ a 6，∴ a 4＝8， a 6＝ 2，11n － 17－ n∴ q ＝2， a 1＝ 64，∴ a n ＝64· 2 ＝2.(2) b n ＝ log 2a n ＝ 7－ n ，数列 { b n } 的前 n 和 T n ＝n 13－ n，2n 13－ n∴当 1≤ n ≤7 ， b n ≥0，∴ S n ＝2.当 n ≥8 ， b n ＜ 0，∴ S n ＝b 1＋ b 2＋⋯＋ b 7－ ( b 8＋ b 9＋⋯＋ b n )＝－ ( b 1＋ b 2＋⋯＋ b n ) ＋ 2( b 1＋ b 2＋⋯＋ b 7) ，n 13－ n＝－＋2×213 －2nn 2∴S n ＝n 2－ 13n ＋ 84 27×6n 2－ 13n ＋ 842＝2，1≤ n ≤7且 n ∈ N ＋，n ≥8且 n ∈ N ＋ .。

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练33 数列求和 Word版含解析

课时分层训练(三十三) 数列求和(对应学生用书第页)组基础达标一、选择题．数列，，，，…，(－)＋，…的前项和的值等于( )．＋－．－＋－．＋－．－＋－[该数列的通项公式为＝(－)＋，则＝[＋＋＋…＋(－)]＋＝＋－.]．在数列{}中，＋－＝，为{}的前项和．若＝，则数列{＋＋}的前项和为( ) ．．．．[{＋＋}的前项和为＋＋＋＋…＋＋＝(＋＋…＋)＋－＝＋×＝.故选.]．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：】．里．里．里．里[由题意，知每天所走路程形成以为首项，公比为的等比数列，则＝，解得＝，则＝，即第二天走了里．故选.]．已知数列，－，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于( )．．．．[根据题意这个数列的前项分别为，－，－，－，发现从第项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为，前项和为＋＋＋(－)＋(－)＋(－)＝.又因为＝×＋，所以这个数列的前项之和＝×＋＝.故选.]．已知函数()＝的图像过点()，令＝，∈＋，记数列{}的前项和为，则＝( ) )－．)－)－．)＋[由()＝得＝，解得＝，则()＝).所以＝＝＝－，＝＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋()－))＝)－.]二、填空题．设数列{ }的前项和为，且＝，∈＋，则＝.[＝，∈＋，显然每连续四项的和为.＋＋＝＋＋＝.]＝×．计算：·－＋·－＋·－＋…＋(＋)·－＝.－[设＝×＋×＋×＋…＋(＋)×，则＝×＋×＋×＋…＋(＋)×.两式相减得＝×＋－.所以＝＋－＝＋))－())－＝－.]．(·全国卷Ⅱ)等差数列{}的前项和为，＝，＝，则＝.[设等差数列{}的公差为，则由(\\(＝＋＝，＝＋(×)＝，))得(\\(＝，＝.))∴＝×＋×＝，＝＝.∴＝＋＋＋…＋＝＝＝.]三、解答题．(·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{}的前项和满足：＝＋，∈＋.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练30 数列的

课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法A 组基础达标一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]2．(2017·安徽黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47D [∵a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，即S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N ＋)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N ＋)，∴数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S 5＋1＝3×24，解得S 5＝47.故选D.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．图511则第6个三角形数是( )【导学号：79140168】A ．27B ．28C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．nD [∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21·1＝n .] 5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则该数列的前 2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3C [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504·a 1a 2a 3＝3.] 二、填空题6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第______项．10 [令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．所以a 10＝0.08.]7．(2017·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________.12 [∵S n ＝a 1(4n－1)3，a 4＝32， ∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.] 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________.【导学号：79140169】2n －n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n.因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n(n ∈N ＋)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n＋2n ＋1＝3·2n.10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .B 组能力提升11．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A.215B ．225C.235D ．245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]12．(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9B [∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N ＋，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.]13．在一个数列中，如果任意n ∈N ＋，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.28 [依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.] 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围.【导学号：79140170】[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.因为n ∈N ＋，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。

精品高考数学一轮复习课时分层训练33数列求和理北师大版

课时分层训练(三十三) 数列求和A 组基础达标一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12B ．2n 2－n ＋1－12C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( ) A ．100 B ．110 C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )【导学号：79140183】A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n项和为S n ，则S 2 019＝( ) A. 2 018－1 B ． 2 019－1 C. 2 020－1D ． 2 020＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.所以a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 020－2 019)＝ 2 020－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N ＋，则S 2 018＝__________.1 [a n ＝sinn π2，n ∈N ＋，显然每连续四项的和为0.S 2 018＝S 4×504＋a 2 017＋a 2 018＝0＋1＋0＝1.]7．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n＝__________.4－n ＋42n[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.所以S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n。

2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：33 数列求和

课时作业提升(三十三) 数列求和A 组夯实基础1．(2018·江南十校联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130解析：选C {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C ．2．数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：选B 数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0，所以其在y 轴上的截距为－9.故选B ．3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为( ) A ．2 500 B ．2 600 C ．2 700D ．2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，所以a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，所以a n ＝n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n 为奇数)，n (n 为偶数)，于是S 100＝50＋(2＋100)×502＝2 600.4．(2018·安溪质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A ．9B ．8C ．17D ．16解析：选A S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.5．(2018·济宁模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析：选C 根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－ 1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.6．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N ＋，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2，∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.7．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，所以前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.8．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．解析：由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，所以T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：609．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝ (a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . 所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－210．(2018·焦作模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n ＋1(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n －1)·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝2S 1＋1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，由a n ＝2S n ＋1，得a n －1＝2S n －1＋1，两式相减得a n －a n －1＝2a n ，化简得a n ＝－a n －1，所以数列{a n }是首项为－1，公比为－1的等比数列，则可得a n ＝(－1)n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·(－1)n ，当n 为偶数时，b 1＋b 2＝2，b 3＋b 4＝2，…，b n －1＋b n ＝2，则T n ＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝(n ＋1)－(2n ＋1)＝－n . 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n ·n .11．(2018·佛山模拟)已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3d ＝q 21＋q ＋q 2＝2＋5d ，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1；(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n ·2n －1，则T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1①2T n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ②①－②得：－T n ＝1·20＋1·21＋1·22＋…1·2n －1－n ·2n＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1.所以T n ＝(n －1)·2n ＋1.B 组能力提升1．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N ＋)． (1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .(1)证明：由已知，b n ＝2a n ＞0. 当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .所以数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列． (2)解：函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为 y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，所以a n ＝n ，b n ＝2n ，则a n b 2n ＝n ·4n . 于是S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n,4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1.因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49.2．设数列{a n }的各项均为正数，且a 1,22，a 2,24，…，a n,22n ，…成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S k ≥30(2k ＋1)，求正整数k 的最小值．解：(1)设等比数列的公比为q ，则q 2＝2422＝22，又由题意q ＞0，故q ＝2，从而a n ＝22nq＝22n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由(1)知a 1＝2，数列{a n }是以22为公比的等比数列，故S n ＝2[1－(22)n ]1－22＝23(22n－1)．因此不等式S k ≥30(2k ＋1)可化为23(22k －1)≥30(2k ＋1)，即23(2k －1)(2k ＋1)≥30(2k ＋1)，因为2k ＋1＞0，所以2k ≥46，即k ≥log 246，又5＜log 246＜6，所以正整数k 的最小值为6. 3．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋1.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列，并求{b n }的通项公式； (2)设c n ＝tan b n ·tan b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋1得， a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋1，由b n ＝a n ＋1－a n 得，b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 2－a 1＝5－1＝4，所以{b n }是首项为4，公差为1的等差数列．且b n ＝b 1＋(n －1)d ＝4＋n －1＝n ＋3.(2)解：c n ＝tan b n ·tan b n ＋1＝tan(n ＋3)·tan(n ＋4)，由tan[(n ＋4)－(n ＋3)]＝tan (n ＋4)－tan (n ＋3)1＋tan (n ＋4)tan (n ＋3)，可得t an(n ＋3)·tan(n ＋4)＝tan (n ＋4)－tan (n ＋3)tan 1－1，即有数列{c n }的前n 项和S n ＝tan 5－tan 4tan 1＋tan 6－tan 5tan 1＋…＋tan (n ＋4)－tan (n ＋3)tan 1－n ＝tan (n ＋4)－tan 4tan 1－n .4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }满足b 1＝12，b n ＋1＝n ＋12n b n. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{b n }的前n 项和，f (n )＝2S n (2－T n )n ＋2，试问f (n )是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋10d ＝15.解得a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝n .由题意知b n ＋1n ＋1＝b n2n，所以b n n ＝b 11⎝⎛⎭⎫12n －1，所以b n＝n 2n. (2)由(1)，得T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n ，又因为S n ＝n (n ＋1)2，所以f (n )＝2S n (2－T n )n ＋2＝n 2＋n2n .f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)2＋n ＋12n ＋1－n 2＋n 2n ＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1. 当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0. 当n ＜3时，f (n ＋1)－f (n )≥0. 又因为f (1)＝1，f (2)＝32，f (3)＝32.所以f (n )存在最大值，最大值为32.。

2019年高考数学一轮复习学案训练课件(北师大版理科) 第5章数列第4节数列求和学案理北师大版

第四节数列求和[考纲传真] (教师用书独具).掌握等差、等比数列的前项和公式.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．公式法()等差数列的前项和公式：＝＝＋；()等比数列的前项和公式：＝(\\(，＝，,(－－)＝((－)－)，≠.))．几种数列求和的常用方法()分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．()裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和．裂项时常用的三种变形：①＝－；②＝；③＝－.()错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．()倒序相加法：如果一个数列{}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．()并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如＝(－)()类型，可采用两项合并求解．例如，＝－＋－＋…＋－＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝ .[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()如果数列{}为等比数列，且公比不等于，则其前项和＝.( )()当≥时，＝.( )()求＝＋＋＋…＋之和时只要把上式等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得．( )()如果数列{}是周期为(为大于的正整数)的周期数列，那么＝.( )[答案]()√()√()×()√．(教材改编)数列{}的前项和为，若＝，则等于( )．．[∵＝＝－，∴＝＋＋…＋＝－＋－＋…－＝.]．数列{}的通项公式是＝，前项和为，则等于( )．．．．[∵＝＝－，∴＝＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－，令－＝，得＝，故选.]．数列{}的前项和为，已知＝－＋－＋…＋(－)－·，则＝.[＝－＋－＋－＋…＋－＋＝＋(－＋)＋(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)＋(－＋)＝＋＋＋…＋＝.]．若数列{}的通项公式为＝＋－，则数列{}的前项和＝.＋－＋[＝＋＝＋－＋.](对应学生用书第页)(·北京高考)已知{}是等差数列，{}是等比数列，且＝，＝，＝，＝.()求{}的通项公式；()设＝＋，求数列{}的前项和．[解] ()设等比数列{}的公比为，则＝＝＝，所以＝＝，＝＝，所以＝－(＝，…)．设等差数列{}的公差为.因为＝＝，＝＝，所以＋＝，即＝.所以＝－(＝，…)．()由()知＝－，＝－.因此＝＋＝－＋－.。

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【北师大版理科】2019年高考数学一轮复习学案 第5章 数列 第4节 数列求和

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