易错地带扫雷-不丢分系列之十五分层抽样中的易误点

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高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列十六概率分布直方图中的易误点

【三维设计】2022届高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列十六概率分布直方图中的易误点新人教版[典例] 2022·山东高考如图是根据部分城市某年6月份的平均气温单位：℃数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[，]，样本数据的分组为[，，[，225，[，，[，，[，，[，]已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为[尝试解题] 最左边两个矩形面积之和为×1＋×1＝，总城市数为11÷＝50，最右边矩形面积为×1＝,50×＝9[答案] 9——————[易错提醒]———————————————————————————1忽视频率分布直方图中纵轴的含义为频率/组距，误认为是每组相应的频率值，导致失误2不清楚直方图中各组的面积之和为1，导致某组的频率不会求3不理解由直方图求样本平均值的方法误用每组的频率乘以每组的端点值，而导致失误4由直方图确定众数时应为最高矩形中点对应的横坐标值，中位数应为左右两侧的频率均等各为1 2——————————————————————————————————————针对训练对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是解析：选C 寿命在100～300 h的电子元件的频率为错误!×100＝错误!＝错误!；寿命在300～600 h的电子元件的频率为错误!×100＝错误!则它们的电子元件数量之比为错误!∶错误!＝错误!。

高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列十三概率计算的易误点新人教版

【三维设计】2013届高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列
十三概率计算的易误点新人教版
[典例] 抛掷一枚骰子，事件A 表示“朝上
一面的点数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的
点数不超过2”．
求：(1)P (A )；(2)P (B )；(3)P (A ∪B )．
[尝试解题] 基本事件总数为6个．
(1)事件A 包括出现1,3,5三个基本事件．
故P (A )＝36＝12.
(2)事件B 包括出现1,2两个基本事件．
故P (B )＝26＝13.
(3)事件A ∪B 包括出现1,2,3,5四个基本事件．
故P (A ∪B )＝46＝23.
——————[易错提醒]———————————————————————————
1．因忽视判断事件A 与B 是否互斥，错用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝56
而导致第(3)问失误．
2．应用加法公式求概率的前提为事件必须是互斥事件，在应用时特别注意是否具备应用公式的条件，否则会出错．
——————————————————————————————————————针对训练
某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )
A ．0.95
B ．0.7
C ．0.35
D ．0.05
解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.。

专题15 随机抽样(知识精讲)(解析版)

专题十五随机抽样知识精讲一知识结构图二.学法指导1.简单随机抽样必须具备的特点(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．2. 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．3．应用抽签法时应注意的问题：(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；(2)号签要求大小、形状完全相同；(3)号签要均匀搅拌；(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．4.随机数法的注意点(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．(3) 掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则．5.使用分层随机抽样的前提分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．6．使用分层随机抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．7.分层随机抽样的步骤8.进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． (3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ω＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －＝M M ＋N x －＋N M ＋N y －.9.选择获取数据的途径的依据选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 10.在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．三.知识点贯通知识点1 简单随机抽样的判断简单随机抽样的概念例题1.下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．知识点二抽签法的应用抽签法先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以使卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．例题2：从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．【解析】第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02， (20)第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．知识点三随机数法及其综合应用随机数法(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数根据产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数，②用信息技术生成随机数．例题3 .某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验，(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g ，二是10袋质量的平均数≥500g ，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．【解析】 (1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量． (2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068. (3)y ＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．知识点四对分层随机抽样概念的理解分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．例题4．(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )A ．抽签法法B ．随机数法C ．简单随机抽样法D ．分层随机抽样法(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )A ．每层等可能抽样B ．每层可以不等可能抽样C ．所有层按同一抽样比等可能抽样D ．所有层抽取的个体数量相同 (1)【答案】D【解析】总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法． (2)【答案】C【解析】保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．知识点五分层随机抽样的应用例题5.某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．【解析】抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18.第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人)．第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．知识点六分层随机抽样中的计算问题样本平均数的计算公式在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M 和N ，抽取的样本量分别为m 和n ，第1层和第2层样本的平均数分别为x 和y ，则样本的平均数ω＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －＝M M ＋N x －＋N M ＋Ny －.例题6，(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012(2)将一个总体分为A ，B ，C 三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取个个体． (1)【答案】B【解析】因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为1296＝18，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷18＝808(人)．(2)【答案】20【解析】∵A ，B ，C 三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C 中抽取100×210＝20(个)个体。

高考数学易失分、易误点特别提醒(珍藏版)

2009年高考数学易失分、易误点特别提醒（珍藏版）在高考备考的过程中，熟知这些解题的小结论，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。

请同学们每次考试前不妨一试，成绩可以提高5——20分哦！1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.已知集合A 、B ，当∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集时是否忘记∅？例如：（1）()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？（2）已知集合},121{},52{-<<+=<<-=p x p x B x x A 若A B A =⋃，则实数p 的取值范围是。

（3≤p ）4.对于含有n 个元素的有限集合M , 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n5.反演律：B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(，B C A C B A C I I I ⋃=⋂)(.6．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

7.“p 且q”的否定是“非p 或非q ”；“p 或q”的否定是“非p 且非q ”。

8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。

9.函数的几个重要性质：错误！未找到引用源。

如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称⇔()y f x a =+是偶函数；②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称；函数()x a f y -=与函数()xb f y +=的图象关于直线2ba x -=对称；特例:函数()x a f y +=与函数()x a f y -=的图象关于直线0=x 对称.错误！未找到引用源。

《概率统计》易错题归类剖析

例抽样。分层抽样是高考考查的一个热点, 概型的定义,验证基本事件的有限性及等可
因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大 ,应引起考生的重视。
能性。正解:掷两枚骰子可能出现的情况:
正解:显然总体差异明显,并且按比例抽样 ,所以是分层抽样。
同型号的产品,产品数量之比依次为 2∶3∶
5∶1,现用分层抽样方法抽出一个容量为 n
的样本,样本中 A 型号有 16 件,那么此样本
容量n 的值是
。
错解 :样本容量 16×2+32 +5+1≈3。
结果(1,2),(2,1),所以 P(A)=326=118。
总体中逐个抽取;系统抽样法常常用于总体
个数较多时;分层抽样常常用于总体由差异
明显的几部分组成,主要特征是分层并按比
能数值为{2,3,4,…,12},故 P(A)=111。失分原因与防范措施:对于公式 P (A )
例 1 某校高三年级有男生 400 人,女
生300人,为了解该年级学生的健康情况,从
男生中任意抽取20人,从女生中任意抽取15
人进行调查。这种抽样方法是
。
错解 :简单随机抽样法。
失分原因与防范措施:简单随机抽样常
常用于总体个数较少时,它的主要特征是从

初中数学易错点提前干预的教学实践探索

初中数学易错点提前干预的教学实践探索发布时间：2021-01-26T14:30:38.837Z 来源：《中小学教育》2020年16期作者：陆培[导读] 初中阶段的数学教学所涉及到的知识与小学时的知识相比，在难度上有着较大的提升陆培山东省淄博第十五中学 255100摘要：初中阶段的数学教学所涉及到的知识与小学时的知识相比，在难度上有着较大的提升，而此时很多学生还未养成良好的数学学习习惯，逻辑思维也还未得到更多发展。

因此，在初中数学教学过程中，教师应当认真分析学生在数学认识上容易出现的问题，针对学生的易错点进行干预性的教学，通过合理地运用教学策略来帮助学生纠正知识误区，提高教学的质量。

关键词：初中数学；易错点干预；教学实践初中阶段的学生对数学知识很难产生全面客观的认识，学生难以将所学知识与现实生活中的实际问题联系起来，从而导致学生容易出现普遍性问题的现象。

在初中数学教学过程中，教师要积极分析学生产生错误的根本原因，提出有意义的解决策略，解决学生思维能力不足、对数学学习方法掌握不充分的问题，从而通过易错点的提前干预来促进学生数学思维的不断提高，减少学生犯错误的概率。

对此，在实际教学中，我们可以从以下几方面入手：一、做好预习工作课堂教学的时间是有限的，如果只利用课堂上的时间让学生学习所有的新知识，很容易导致出现“贪多嚼不烂”的情况，从而影响学生的学习效果。

因此，在初中数学课堂上，为了降低学生的出错率，教师要重视起预习工作的展开，让学生在正式上课之前就对教学知识产生基本的理解，并且掌握教学的重难点，如此，让学生带着充分的准备参与进来，可以更好地奠定学生的基础，让学生能够跟上教师授课的脚步，减少错误的产生。

比如，在教学“一元一次方程的应用”这一节内容时，在让学生预习时，我除了让学生掌握基础的理论知识，包含如何利用图形来解决实际的问题、如何找出等量关系并且建立方程模型等，还让学生尝试了解生活中常见的利率问题，试着在网络或者电视上搜集各银行所设置的银行利率数据，并且根据这个实际的问题去建立一个一元一次方程模型。

扫描统计解题中的思维误区

解题篇•易错题归类剖析高一数学2019年2月十摩隸訊麵軸思議儀K■苗子涵本文针对统计解题中常见的易错、易混、易忘的典型问题进行错解剖析，帮助大家识破命题者精心设计的陷阱，希望对同学们的学习有所帮助。

误7!对系统抽样的特征理解不到位例1中央电视台动画城节目为了对本周的热心观众给予奖励，要从2 014名小观众中抽取50名幸运小观众。

先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在 2 014人中，每个人被抽取的可能性& ' #设在第1段内用简单随机抽样的方法确定的个体编号为按照系统抽样，则抽取样本$a n满足a n---(n一1)($为总体容n#为样本容量）#误72:忽视分层抽样的特征例 2 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人&1人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是（）#A.简单随机抽样B. 系统抽样A.均不相等B. 不全相等25 C. 都相等，且为％0+C.直接运用分层抽样—先从老年人中随机剔除1人，再用分层抽样—都相等，且为1错解：应选A或剖析：上述解法对个体的入样可能性与抽样间隔理解不透。

认为由于剔除14人，被抽取到的机会就不相等了，从而错选A#由于利用了剔除后的数据计算，从而错选正解：在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体。

本题应先剔除14人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，也即每个个体被抽到的机会都相等。

故在2 014人中，错解：因为总体由差异明显的三部分组成，所以可考虑用分层抽样。

因为总人数为3628 +54 +81.163,样本容量为36，抽)3样时无法得到整数，因此考虑先剔除1人，将36 2抽样比变为12.9#若从老年人中随机剔丄6除1人，则老年人应抽取27x9.6(人），中年人应抽取54x|.12(人），青年人应抽取81x|.18(人'从而组成容量为36的样每个人被抽取的可能性均为204.107#应选C#警示：当总体容量较大，总体可以分为均匀的几个部分时，用系统抽样较为合理，当总体容量除以样本容量不是整数时，要先在总体中剔除部分个体。

高考数学概念方法题型易误点技巧总结(十二)统计

2008高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十二）统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。

共同点：每个个体被抽到的概率都相等n N。

如（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。

为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A ；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B ，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A 为_______，B 为_____。

（答：分层抽样，简单随机抽样）；（2）从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为______（答：60143）；（3）某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______（答：200）；（4）容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______（答：0.16）；（5）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，则某一个体a “第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是______________（答：111,,10105）；（6）某班试用电子投票系统选举班干部候选人。

全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=号同学当选号同学不同意第，第号同学当选号同学同意第，第j i j i a ij 01，其中，，k j k i ,,2,1,,2,1 ==，则同时同意第1,2号同学当选的人数为A．kk a a a a a a 2222111211+++++++ B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++ （答：C ）2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。

2022届高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列三导数几何意义应用的易误点

【三维设计】2022届高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列三导数几何意义应用的易误点新人教版[典例] 2022·杭州模拟若存在过点1,0的直线与曲线＝3和＝a2＋错误!－9都相切，则a等于A．－1或－错误!B．－1或错误!C．－错误!或－错误!D．－错误!或7[尝试解题] 设过1,0的直线与＝3相切于点0，错误!，所以切线方程为－错误!＝3错误!－0，即＝3错误!－2错误!，又1,0在切线上，则0＝0或0＝错误!，当0＝0时，由＝0与＝a2＋错误!－9相切可得a＝－错误!，当0＝错误!时，由＝错误!－错误!与＝a2＋错误!－9相切可得a＝－1[答案] A——————[易错提醒]——————————————————————————错误!——————————————————————————————————————针对训练1．2022·广州模拟已知曲线C：f＝3－a＋a，若过曲线C外一点A1,0引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为B．－2C．2 D．－错误!解析：选A 设切点坐标为t，t3－at＋a．由题意知，f′＝32－a，切线的斜率为＝′|＝t＝3t2－a①所以切线方程为－t3－at＋a＝3t2－a－t．②将点1,0代入②式得－t3－at＋a＝3t2－a1－t，解得t＝0或t＝错误!分别将t＝0和t＝错误!代入①式，得＝－a和＝错误!－a，由题意得它们互为相反数，得a＝错误!2．已知曲线＝3－3及点P2,2，则过点P的切线条数为________．解析：∴设A0，0为切点，∵′＝3－32，∴′错误!∵AP＝′|＝0，∴错误!＝3－3错误!，即错误!－3错误!＋2＝0，解得0＝1或0＝1±错误!故切线有3条．答案：3。

易错地带扫雷-不丢分系列之十三视图中的易误点

[典例](2012·陕西高考)将正方体(如图(1)
所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，
则该几何体的侧视图为()
[尝试解题]还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
[答案] B
——————[易错提醒]——————————————————————————
1.因没有区分几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选A、
C.
2.因为忽视了B1C被遮挡，误认为无投影，不用画出，误选D.
3.对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出，其次要注意三视图的长、宽、高的要求及排放规则.
——————————————————————————————————————针对训练
1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
解析：选B由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．
2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()
解析：选D被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．。

小学易错系列之数学卷如何避免错位漏项等常见错误

小学易错系列之数学卷如何避免错位漏项等常见错误数学作为小学生的必修课程，是培养逻辑思维和解决问题能力的重要学科。

然而，由于学生对于数学概念理解不深入或者疏忽粗心等原因，常常会在数学卷中犯下错位、漏项等常见错误。

本文将就数学卷常见的错误，并提供一些解决方法，帮助小学生避免这些错误。

一、错位错误错位错误是指在计算过程中，将数字或运算符号放置在错误的位置，导致答案错误的现象。

这种错误通常是由于粗心、注意力不集中、计算速度过快等原因造成的。

下面将分别对加减乘除四则运算进行讨论。

1.1 加法中的错位错误加法是小学生最早接触到的运算之一，但在加法中经常出现的错位错误是将进位数放错位置。

例如，在计算"23+15"时，有些学生可能会将进位数"1"加到个位上，而忽略了十位上的进位，导致结果错误。

为避免这种错误，我们可以采用按位进行计算的方法，先计算个位，再计算十位，并逐位递进。

1.2 减法中的错位错误在减法中，常见的错位错误是将减数与被减数的位置搞混。

例如，在计算"127-38"时，有些学生可能会直接计算为"38-127"，导致结果错误。

为避免这种错误，我们可以采用借位的方法，确保被减数与减数的位置保持一致。

乘法是较为复杂的运算，常见的错位错误是将进位数或乘积数放错位置。

例如，在计算"42×7"时，有些学生可能会将进位数"2"放在十位，而将个位上的积"4"忽略掉，导致结果错误。

为避免这种错误，我们可以采用竖式乘法的方法，逐位相乘并保持进位。

1.4 除法中的错位错误除法是小学生最晚接触到的运算之一，常见的错位错误是将被除数与除数位置搞混。

例如，在计算"84÷6"时，有些学生可能会将被除数"84"放在除数的位置，导致结果错误。

高考数学复习专题14 计数原理与概率统计随机抽样易错点

随机抽样易错点主标题：随机抽样易错点副标题：从考点分析随机抽样易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：简单随机试验，系统抽样，分层抽样，易错点难度：2重要程度：4内容：【易错点】1．对简单随机抽样的认识(1)(教材思考问题改编)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．(×)(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．(×) 2．对系统抽样的理解(3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体．(√)(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(×)3．对分层抽样的理解(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．(√)(7)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．(√) [剖析]两点提醒一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样，如(2)．二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，如(1)、(4)、(5).忽视抽样规则致误[典例] 总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个A.08 B．07 C．02 D．01[思路点拨] 可依据题设中的条件，依次选出符合条件的个体编号即可．[解析] 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.[答案] D[名师点评] 1.如果第5次选取02时，若不考虑重复编号只计一次而计入第5次，则易选C.2．抽签法和随机数法的区别相同点：(1)都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；(2)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．不同点：(1)在总体容量较小的情况下，抽签法比随机数法简单；(2)抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，而随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本．。

高中数学易失分点和注意点总结

高中数学易失分点和注意点总结1. 遗忘空集致误：在解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

2. 忽视集合元素的三性致误：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，特别是带有字母参数的集合，要注意对字母参数的要求。

3. 混淆命题的否定与否命题：注意命题的否定是对命题p的判断是否成立，而否命题是对形如"若p，则q"的命题，既要否定条件也要否定结论。

4. 充分条件、必要条件颠倒致误：要正确判断条件A是否是B的充分条件，B是否是A的必要条件，避免颠倒充分性与必要性。

5. "或""且""非"理解不准致误：要理解命题中"或"是真或真、"且"是真且真、"非"是真非假的含义，可以与集合的并、交、补运算对应起来进行理解。

6. 函数的单调区间理解不准致误：学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法，对函数的几个不同的单调递增（减）区间应准确理解。

7. 判断函数奇偶性忽略定义域致误：判断函数的奇偶性时，首先要考虑函数的定义域是否关于原点对称，否则函数可能是非奇非偶函数。

8. 函数零点定理使用不当致误：注意在使用函数零点定理时，要确保函数在区间内是连续的曲线，并注意是否满足定理的条件。

9. 三角函数的单调性判断致误：对带有绝对值的三角函数应根据图像，从直观上进行判断。

10. 忽视零向量致误：零向量是向量中最特殊的向量，要注意它在向量中的位置与数学中0的位置类似。

11. 向量夹角范围不清致误：解决向量夹角范围问题时要全面考虑问题，特别是要注意当夹角为钝角时的情况。

12. 在数列问题中，数列的通项an与前n项和Sn之间的关系：an= Sn-Sn-1，要根据n的值分段讨论，注意在n=1和n≥2时该关系式表现形式的差异。

13. 对数列的定义、性质理解错误：注意等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数，而等差数列的充要条件是常数项为零。

不可轻视的概率题，注意易错点，大多数同学失分在这里

不可轻视的概率题，注意易错点，大多数同学失分在这里
考查内容方面，文理科差别大，文科一般考查古典概型，通过列举基本事件计算概率；理科则往往通过考查分布列、期望等知识间接考查概率计算，计算时还会用到排列、组合、概率的加法公式等内容。

正确解答概率问题的关键，一是要正确划分基本事件空间，保证每个事件的发生是等可能的，二是要准确计算事件空间中基本事件的个数。

虽然试题一般较容易，但失分现象却失十分普遍。

要保证得满分，首先要保证计算准确，文科同学要学会按规律或树状图写出事件，避免重复和遗漏。

其次，还要注意步骤的完整性，一是要有分析过程，即说明数据是怎么来的，不能只有式子和计算，二是要有“设……为事件A”这样的步骤，三是应用题的随后要有答或总结性的语句。

大多数同学失分都是因为步骤不全，答案正确却没有得满分，这种情况是最可惜的。

对于理科考生，考查分布列的题目计算量较大，因此很容易出现计算错误，要加强检验，注意每个概率一定要单独计算，最后用分布列中各个概率之和为1来检验。

有的同学在求最后一个概率时，是用1减去前面各个概率的和得到的，这样做风险是极大的，当然，时间紧迫的情况下，一些地方是可以特殊处理，但是注意不是万能的，所有平时计算不要偷懒，仔细地做，写好步骤，最后的试卷呈现的一定是你最常用而又熟悉的方法。

2017理科1卷真题。

高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列八基本不等式应用中的易误点新人教版

高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列八基本不等式应用中的易误点新人教版[典例] (2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5[尝试解题] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b2a≥52＋2 2ab ·b2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2ab ＝b2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.[答案] C——————[易错提醒]——————————————————————————1.解答本题易两次利用基本不等式，如：∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴ab ≤2()4a b ＋＝1. 又y ＝\f(1,a )＋\f(4,b )≥24ab ＝41ab，又ab ≤1，∴y ≥411＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a .这显然是不能同时成立的，故不正确.2.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.3.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.——————————————————————————————————————针对训练1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝3π2，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D. 2．(2012·郑州质检)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b a －b的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋1b a－b ≥a2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b＋a－b22＝a2＋4a2≥2a2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b＝a－b＞0，a2＝4a2，即a＝2，b＝22时取等号，因此a2＋1b a－b的最小值是4.。