2016-2017年广东省清远市清城区高一上学期期末数学试卷(a卷)与答案Word版

2016-2017学年广东省清远市清城区高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（60分，每题5分）1．（5.00分）已知三条直线a，b，c，若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面2．（5.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，表面的对角线中与AD1成60°的有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．10条3．（5.00分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4．（5.00分）下面四个说法：①长方体和正方体不是棱柱；②五棱柱中五条侧棱相等；③三棱柱中底面三条边都相等；④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．其中正确说法的个数为（）A．0 B．2 C．3 D．45．（5.00分）用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm6．（5.00分）已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，若平行四边形中有一条边为4，则此正方形的面积是（）A．.16或36 B．36或64 C．16或64 D．367．（5.00分）方程|x|﹣1=所表示的图形是（）A．.一个半圆B．一个圆C．两个半圆D．两个圆8．（5.00分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定9．（5.00分）过三个点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣1）的圆交y轴于M，N 两点，则|MN|=（）A．2 B．3 C．2 D．510．（5.00分）已知经过M（﹣2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（）A．1 B．3 C．4 D．3或411．（5.00分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=012．（5.00分）直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0交于一点，则k的值是（）A．B．C．2 D．﹣2二、填空题（20分，每题5分）13．（5.00分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是．14．（5.00分）已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则=．15．（5.00分）函数的定义域为．16．（5.00分）已知=（1，2），=（﹣3，x），若与平行，则x=．三、解答题（70分）17．（12.00分）某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t°C才能给病人服用，若把m1kg汤药放入m2kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t1℃与热水降低的温度t2℃满足关系式m1t1=0.8m2t2，某次治疗时，王护士把x瓶温度为10°C汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．（1）求x关于t的函数解析式；（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？18．（12.00分）设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若，求λ的值；（Ⅱ）若，求λ的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）图象的最高点D的坐标为，与点D相邻的最低点坐标为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足f（x）=1的实数x的集合．20．（10.00分）已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）＜2的解集为B，求A∪B，（∁R A）∩B．21．（12.00分）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程f （x）=x有两个相等的实数根．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈（0，2）时，求函数f（x）的值域．22．（12.00分）已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．2016-2017学年广东省清远市清城区高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．（5.00分）已知三条直线a，b，c，若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，取D1C1=a，BB1=b，若取DC=c时，则a和b是异面直线，b和c是异面直线，直线a和c是平行直线；若取A1D1=c时，则a和b是异面直线，b和c是异面直线，直线a和c是相交直线；若取AD=c时，则a和b是异面直线，b和c是异面直线，直线a和c是异面直线．综上：直线a和c的位置关系是平行、相交或异面．故选：D．2．（5.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，表面的对角线中与AD1成60°的有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．10条【解答】解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体平面的对角线与它组成的角都是60°，这样就有4条，根据正方体的性质，在正方体的和做出的面上的对角线平行的也满足条件，故一共有8条，故选：C．3．（5.00分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．4．（5.00分）下面四个说法：①长方体和正方体不是棱柱；②五棱柱中五条侧棱相等；③三棱柱中底面三条边都相等；④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．其中正确说法的个数为（）A．0 B．2 C．3 D．4【解答】解：①长方体和正方体是四棱柱，故①错误；②五棱柱的五个侧面都是平行四边形，可得五条侧棱相等，故②正确；③三棱柱的底面可以是任意三角形，底面三条边不一定相等，故③错误；④由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B．5．（5.00分）用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm【解答】解：∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为L，根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则32：L2=1：4，∴L=6，故棱台的高是6﹣3=3故棱台的高为：3cm，故选：D．6．（5.00分）已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，若平行四边形中有一条边为4，则此正方形的面积是（）A．.16或36 B．36或64 C．16或64 D．36【解答】解：若水平放置的正方形的直观图中水平放置的边长为4则原图中正方形的边长为4，原图面积为：4×4=16若水平放置的正方形的直观图中竖直放置的边长为4则原图中正方形的边长为8，原图面积为：8×8=64故选：C．7．（5.00分）方程|x|﹣1=所表示的图形是（）A．.一个半圆B．一个圆C．两个半圆D．两个圆【解答】解：由题意，首先|x|＞1，平方整理得（|x|﹣1）2+（y﹣1）2=1，若x＞1，则是以（1，1）为圆心，以1为半径的右半圆若x＜﹣1，则是以（﹣1，1）为圆心，以1为半径的左半圆总之，方程表示的曲线是以（1，1）为圆心，以1为半径的右半圆与以（﹣1，1）为圆心，以1为半径的左半圆合起来的图形故选：C．8．（5.00分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．9．（5.00分）过三个点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣1）的圆交y轴于M，N 两点，则|MN|=（）A．2 B．3 C．2 D．5【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣4，E=﹣2，F=0，∴x2+y2﹣4x﹣2y=0，令x=0，可得y2﹣2y=0，∴y=0或2，∴|MN|=2．故选：C．10．（5.00分）已知经过M（﹣2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（）A．1 B．3 C．4 D．3或4【解答】解：根据题意，经过M（﹣2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则有k MN==1，解可得m=1；故选：A．11．（5.00分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：因为直线2x﹣3y+9=0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣，则直线l的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化简得3x+2y﹣1=0故选：A．12．（5.00分）直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0交于一点，则k的值是（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：联立，解得，所以直线的交点为（﹣1，﹣2），因为三条直线交于一点，所以，﹣1﹣2K=0，k=．故选：B．二、填空题（20分，每题5分）13．（5.00分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是[﹣3，1] ．【解答】解：由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤，化简得|a+1|≤2，故有﹣2≤a+1≤2，求得﹣3≤a≤1，故答案为：[﹣3，1]．14．（5.00分）已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则=．【解答】解：设球的半径为r，由题意可得：球的体积为V2=；圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1=πr2•2r，则==．故答案为：．15．（5.00分）函数的定义域为{x|x≥2且x≠3} ．【解答】解：由函数可得x≥2 且x≠3，故函数的定义域为{x|x≥2且x≠3}，故答案为{x|x≥2且x≠3}．16．（5.00分）已知=（1，2），=（﹣3，x），若与平行，则x=﹣6．【解答】解：∵与平行，∴﹣6﹣x=0，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．三、解答题（70分）17．（12.00分）某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t°C才能给病人服用，若把m1kg汤药放入m2kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t1℃与热水降低的温度t2℃满足关系式m1t1=0.8m2t2，某次治疗时，王护士把x瓶温度为10°C汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．（1）求x关于t的函数解析式；（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？【解答】解：（1）依题意，可得0.25x（t﹣10）=0.8×2.5（90﹣t），整理得x关于t的函数解析式为[．…（4分）（2）解法一：设30≤t1＜t2≤40，则因为30≤t1＜t2≤40，所以（t1﹣10）（t2﹣10）＞0，t2﹣t1＞0，所以，即x（t1）﹣x（t2）＞0，所以x（t1）＞x（t2），所以x（t）在[30，40]上为减函数．…（10分）所以，所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…（12分）解法二：由，可得．…（6分）由t∈[30，40]，可得，因为x+8＞0，所以3（x+8）≤72+x≤4（x+8），解得．所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…12分18．（12.00分）设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若，求λ的值；（Ⅱ）若，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）则存在唯一的μ使，∴=．∴，∴当时，；（Ⅱ）则，∴化简得，∵，是两个相互垂直的单位向量，∴λ=2∴当λ=2时，．19．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）图象的最高点D的坐标为，与点D相邻的最低点坐标为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足f（x）=1的实数x的集合．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的部分图象知，A=2，，解得T=π，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又∵在函数f（x）上，∴，∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴，即；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又∵|ϕ|＜π，∴，∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由，得，所以或，k∈Z；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即或，k∈Z；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以实数x的集合为{x|或，k∈Z}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（10.00分）已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）＜2的解集为B，求A∪B，（∁R A）∩B．【解答】解：不等式log2（x+1）＜2等价于0＜x+1＜4，解得﹣1＜x＜3，所以B=（﹣1，3）；…（4分）又因为A={x|2x﹣3≥x﹣2}={x|x≥1}=[1，+∞），所以A∪B=（﹣1，+∞）；…（7分）因为∁R A=（﹣∞，1），所以（∁R A）∩B=（﹣1，1）．…（10分）21．（12.00分）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程f （x）=x有两个相等的实数根．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈（0，2）时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由f（0）=f（1），可知函数f（x）图象的对称轴为直线，所以，解得m=﹣1，所以f（x）=x2﹣x+n．因为方程f（x）=x即x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根，所以其根的判别式△=（﹣2）2﹣4n=0，解得n=1．所以f（x）=x2﹣x+1．…（6分）（Ⅱ）因为，所以当时，，且f（x）＜f（2）=3．所以函数f（x）的值域为．…（12分）22．（12.00分）已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．（2）依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1．（3）解法一：由（2）可知，所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t ，它的图象的对称轴为直线．依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，只需，解得．所以实数t的取值范围是．解法二：由（2）可知，所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根，即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．观察图形，可知当，即时，两个图象有两个不同的交点．所以实数t 的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。