2012高考数学复习专题-函数图象变换

专题辅导 图象变换题型
一、三种基本变换规律：
1．平移变换规律
(1)水平平移：y ＝f (x ＋ )的图象，可由y ＝f (x )的图象向左( ＞0), 或向右( ＜0)
平移| |个单位得到。

(2)垂直平移：y ＝f (x )+b 的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b |
个单位得到。

2．对称变换规律
(1) y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称。

(2) y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称。

(3) y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称。

(4) y ＝－f -1(－x )与y ＝f (x ) 的图象关于直线y ＝－x 对称。

(5) y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称
3．伸缩变换规律
(1) 水平伸缩：y ＝f (ωx )(ω＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸长(0＜ω
＜1) 或缩短( ω＞1)到原来的1 ω
倍(纵坐标不变)得到。

(2) 垂直伸缩:y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)得到。

注：函数y ＝Asin (ωx ＋ )(A ＞0, ω＞0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变
换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y =Af (ωx ＋ ) (A ＞0, ω＞0)也成立。

例1：要得到函数y ＝sin (2x －π3
)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) (A)向左平移 π3 个单位 (B)向右平移π3
个单位 (C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π6
个单位 例2：函数y ＝－1x ＋1
的图象是( )
例3：如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )
(A) －13 (B)－3 (C) 13
(D)3 例4：设函数f (x )＝1－1－x 2 (-1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是( )
例5：将y ＝2x 的图象( )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位
(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。

例6：函数y ＝tan (x 2 －π3
)在一个周期内的图象是( )
例7：函数y ＝12 cos 2x ＋ 3 2
sinxcosx ＋1的图象可由y ＝sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
图象问题总结
根据给出的特定条件确定函数图象或给定函数图象确定函数解析式的问题是一种好题型，它既能考查对函数性质运用的掌握情况，又可以考查综合分析能力，在近年高考题中已成为必考之题型。

正确地解决此类问题，不但要熟练掌握函数各方面的性质，而且需要把握一定的方法与技巧。

一般而言，可以归结为以下几种方法来解决。

1、利用函数的性质判断
函数的各种性质如：定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等，总能在图象中得到直观的体现，因而在确定函数的图象时可针对函数的某一性质进行比较，从而确定正确的结果。

例1：函数y ＝log 4(1-2x+x 2)的图象是( )
例2：已知函数y＝f(x)的图象如图2(甲)所示，y＝g(x)的图象如图2(乙)所示，则函数
y=f(x)·g(x)的图象可能是图3中的 ( )
2、利用函数图象的变换判断
结合函数表达式之间的联系，通过正确的变换得到结果。

了解各种常见的变换方法是运用于解题的前提条件。

例3：已知图4(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )
(A)y＝f(|x|)(B)y=|f(x)| (C)y＝f(-|x|)(D)y＝-f(|x|)
例4：设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于()。

(A)直线y＝0对称(B)直线x＝0对称
(C)直线y＝1对称(D)直线x＝1对称
3、特值验证
通过某一特殊值代入，求出函数值来确定函数图象必定经过某一点，从而缩小选择的范围或是直接得到正确的结果。

正确把握特值的选择是问题的关键。

例5：已知函数f(x)＝ax3+bx2+cx+d的图象如图5，则()
(A)b∈(-∞，0)(B)b∈(0，1)
(C)b∈(1，2)(D)b∈(2，+∞)
4、趋势判断
结合实际问题分析其大致图象的增减趋势，是增减速度越来
越快还是越来越慢，然后正确地反馈到图象上，增减速度的快慢实际上是指图象上每一点的切线的斜率大小的变化，k＞0且越来越大，则增长速度加快，k＜0且越来越小，则减速越来越快。

例6：甲工厂八年来某种产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图6所示，现有下列四种说法：
①前三年该产品产量增长速度越来越快；
②前三年该产品产量增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品年产量保持不变，其中说法正确的是
()
(A)②与③(B)①与③(C)②与④(D)①与④
5、相对位置判断
通过两个函数在相同的自变量情况下函数值大小的比较，确定两个函数图象的相对位置来确定选项。

一般地，当f(x0)＞g(x0)时，对应x0处f(x)的图象在g(x)图象的上方，反之则表示对应x0处f(x)的图象在g(x)图象的下方。

例7：如图7，半径为2的圆O切直线MN于P点，射线PK从PN出发绕着P点逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交圆O于点Q，记∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S＝f(x)，那么f(x)的大致图象是图8中的()
6、分类比较
对于含参数的函数，通过参数变化对图象形状、位置的影响，比较两者的位置，从而确定正确的结果。

例8：函数y＝a-x和函数y=log a(-x)的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的()
函数图象变换及综合运用
1．若f(x)的图象过(0,1)点，则f- －1(x)的图象过______点，f(x＋1)的图象过______点，f-－1(x＋1)的图象过______点。

2．1）把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式为_____。

2）将函数y＝2x的图象向________平移_________个单位，再作关于直线y＝x对称的图象可得出函数y＝log2(x+1)的图象。

3．函数y＝21－x与y＝21＋x的图象关于________对称。

4．函数y＝x2－3|x|＋1
4(x∈R)的单调区间有________。

5．已知函数f(x)的图象如图，求作y＝f-－1(－x＋1)的图象。

6．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π
+=x y 的图象上所有
的点的( )
A. 横坐标缩短到原来的
21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8
π个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动
4
π个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 7．已知f(x)当x ∈R 时恒满足f (2＋x )＝f (2－x )，若方程f (x )＝0恰有5个不同的实数根，求
各根之和。

8．已知x 1是方程x ＋lgx ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝_______.
9．若f (x )＝|lgx |,当a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (c )＞f (b ).则下列不等式中正确的为（ ）。

A .(a －1)(c －1)＞0 B. ac ＞1 C .ac ＝1 D. ac ＜1
10.已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是 （ ） A 函数
)(x g x f y ⋅=）（的周期为π2 B 函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1
C 将
)(x f 的图像向左平移2π
单位后得)(x g 的图像 D 将
)(x f 的图像向右平移2π
单位后得)(x g 的图像 11.求函数]2)32[sin(log 3++=π
x y 的定义域、值域、单调性、周期性、最值. 12.已知函数1cos sin 2
3cos 212++=x x x y ,R x ∈． (1) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
(2) 该函数的图象可由
)(sin R x x y ∈=经过怎样的平移和伸缩变换得到？。