2020-2021学年江苏省高考数学预测卷(1)及答案解析

江苏省高考数学预测卷（1）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，3，4}，N={x|x2+2x＞3}，则M∩N= ．2．已知复数z满足i•z=3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|= ．3．某校为了解800名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取50名同学进行检查，将学生从1～800进行编号，现已知第17组抽取的号码为263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为．4．函数f（x）=ln（x+1）+的定义域是．5．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X，则X=3的概率是．6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为．7．将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为．8．已知双曲线x2+ny2=1（n∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．9．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a2与a7的等比中项，S5=50，则S8等于．10．若x，y满足不等式则的最大值是．11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=0，则椭圆的离心率为．12．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）﹣f'（x）＜2，f（0）=2018，则不等式f（x）＞2017e2x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．13．在平面内，，动点P，M满足，，则的最大值是．14．已知函数，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．16．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB，点D是BC的中点，点M在CC1上，且．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间消耗氧气0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，消耗氧气的总量最少．18．已知过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N 两点，记椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，上下两个顶点分别为B2，B1．当线段MN的中点落在四边形F1B1F2B2内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*满足，且a1=1，正项数列{b n}满足b n+12﹣b n+1=b n2+b n（n∈N*），其前7项和为42．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n≥2n+a，求实数a的取值范围；（3）将数列{a n}，{b n}的项按照“当n为奇数时，a n放在前面；当n为偶数时，b n放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和P n．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线方程；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．数学Ⅱ（理科加试）[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠APE 的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）DE=CE；（2）．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（4，16），求矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．26．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知，试利用（1）的结论计算z10．江苏省高考数学预测卷（1）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，3，4}，N={x|x2+2x＞3}，则M∩N= {2，3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，分化简集合B，进而求其交集可得答案．【解答】解：全集为R，集合M={﹣1，1，2，3，4}，N={x|x2+2x＞3}=（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则M∩N={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}．2．已知复数z满足i•z=3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z满足i•z=3﹣4i（其中i为虚数单位），∴﹣i•i•z=﹣i（3﹣4i），∴z=﹣3i﹣4．则|z|==5．故答案为：5．3．某校为了解800名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取50名同学进行检查，将学生从1～800进行编号，现已知第17组抽取的号码为263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为7 ．【考点】B2：简单随机抽样．【分析】根据系统抽样的特征，从800名学生从中抽取一个容量为50的样本，抽样的分段间隔为16，结合从第17组抽取的号码为263，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵从800名学生从中抽取一个容量为50的样本，∴系统抽样的分段间隔为16，设第一部分随机抽取一个号码为x，则抽取的第17编号为x+16×16=263，∴x=7．故答案为：7．4．函数f（x）=ln（x+1）+的定义域是（﹣1，）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数的真数大于0，二次根式被开方数大于或等于0，分母不为0，列出不等式组求解集即可．【解答】解：函数f（x）=ln（x+1）+，∴，解得，即﹣1＜x＜；∴f（x）的定义域为（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．5．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X，则X=3的概率是．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：当X=3时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，故P（X=3）==．故答案为：．6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为0.6 ．【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出A值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 A n循环前/0.2 1第一圈是0.4 2第二圈是0.8 3第三圈是0.6 4第四圈是0.2 5第五圈是0.4 6…第4n圈是0.2/第4n+1圈是0.4/第4n+2圈是0.8/第4n+3圈是0.6/…第2007圈是0.6 2008第2008圈是0.2 2009第2009圈否故最终的输出结果为：0.6故答案为：0.67．将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【解答】解：将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（2x﹣2m﹣），再根据所得图象关于y轴对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，即m=+，则m 的最小值为，故答案为：．8．已知双曲线x2+ny2=1（n∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的方程可得其椭圆的焦点坐标，再由双曲线的几何性质可得n＜0，且1+（﹣）=4，解可得n的值，即可得双曲线的方程，由双曲线的几何性质，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点在x轴上，且c==2，即焦点在坐标为（±2，0），若双曲线x2+ny2=1的焦点在坐标为（±2，0），则有n＜0，且1+（﹣）=4，则n=﹣，则双曲线的标准方程为：x2﹣=1，则其渐近线方程为：y=±x；故答案为：y=±x．9．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a2与a7的等比中项，S5=50，则S8等于104 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=6，d=2，由此能求出S8．【解答】解：∵公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a4是a2与a7的等比中项，S5=50，∴，解得a1=6，d=2，∴S8==104．故答案为：104．10．若x，y满足不等式则的最大值是 2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合的几何意义，求出其最大值即可．【解答】解：画出x，y满足不等式的平面区域，如图示：由，解得A（2，4），而的几何意义表示过平面区域内的点与原点的直线的斜率，由图象得直线过OA时斜率最大，∴（）max==2．故答案为：2．11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=0，则椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，﹣），F2（c，0），C（x，y），∵+2=0，（2c，）+2（﹣x+c，﹣y）=0，∴y=，x=2c．∴C（2c，），代入椭圆，+=1，由b2=a2﹣c2，整理得：5c2=a2，解得e==．椭圆的离心率．故答案为：．12．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）﹣f'（x）＜2，f（0）=2018，则不等式f（x）＞2017e2x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=e﹣2x f（x）﹣e﹣2x，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，不等式f（x）＞2017e2x+1两边同乘e﹣2x得出g（x）＞2017，从而得出x的范围．【解答】解：设g（x）=e﹣2x f（x）﹣e﹣2x，则g′（x）=﹣2e﹣2x f（x）+e﹣2x f′（x）+2e﹣2x=﹣e﹣2x[2f（x）﹣f′（x）﹣2]，∵2f（x）﹣f'（x）＜2，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增．∵f（x）＞2017e2x+1，∴e﹣2x f（x）＞2017+e﹣2x，即g（x）＞2017，∵g（0）=f（0）﹣1=2017，∴x＞2017．故答案为．13．在平面内，，动点P，M满足，，则的最大值是．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由可知△ABC是边长为2的等边三角形，P在以A为圆心的圆上，建立坐标系，设出P点坐标，求出的坐标，根据模长公式即可得出||2关于θ的函数，利用三角恒等变换求出此函数的最大值即可．【解答】解：∵，∴=0，=0，=0，∴△ABC是等边三角形，设△ABC的边长为a，∴=a2cos60°==6，∴a=2．∵||=2，∴P在以A为圆心，以2为半径的圆上，∵，∴M是PC的中点，以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立坐标系，则B（﹣，0），C（，0），A（0，3），设P（cosθ，3+sinθ），则M（，+sinθ），∴=（+cosθ，+sinθ），∴||2=（+cosθ）2+（+sinθ）2=cosθ+sinθ+=3sin（θ+）+，∴当sin（θ+）=1时，||2取得最大值．故答案为．14．已知函数，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为（0，1）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数的图象，从而可得x3x4=1，推出x1x2的范围即可求解结果．【解答】解：作函数的图象如下，结合图象可知，﹣log2x3=log2x4，故x3x4=1，令﹣x2﹣2x=0得，x=0或x=﹣2，令﹣x2﹣2x=1得，x=﹣1；故x1x2∈（0，1），故x1x2x3x4∈（0，1）．故答案为：（0，1）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．（2）由三角形的面积公式求出ab=2，再根据余弦定理即可求出b+c的值．【解答】解：（1）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=，A是三角形内角，∴A=．（2）∵S=bcsinA=，∴bc=2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，∴b+c=3．16．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB，点D是BC的中点，点M在CC1上，且．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABM．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】如图以A为原点，以AC，AA1为y、z轴建立空间直角坐标系．设AB=4，则AA1=8，CM=1．则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）．A1（0，0，8），B1（2，2，8），C1（0，4，8），D（，3，0），M（0，4，1），利用向量法求解．【解答】解：如图以A为原点，以AC，AA1为y、z轴建立空间直角坐标系．设AB=4，则AA1=8，CM=1．则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）．A1（0，0，8），B1（2，2，8），C1（0，4，8），D（，3，0），M（0，4，1）（1）设面AB1D的法向量为由可取，，则∵A1C⊄面AB1D，∴A1C∥平面AB1D（2）设面ABNM的法向量为，由，可取由（1）得面AB1D的法向量为，=+（﹣1）×（﹣3）+12×=0∴，∴平面AB1D⊥平面ABM17．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间消耗氧气0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，消耗氧气的总量最少．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分别计算潜入水底用时用氧量，水底作业时用氧量和返回水面用时用氧量，即可得到总用氧量的函数y；（2）求导数y′，判断函数y的单调性，讨论c的取值，求出下潜速度v取什么值时消耗氧气的总量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时单位时间，用氧量为[+1]×=+（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时=单位时间，用氧量为×1.5=（升），∴总用氧量为y=++9（v＞0）；（2）求导数y′=﹣=，令y'=0，解得v=10，在0＜v＜10时，y'＜0，函数y单调递减，在v＞10时，y'＞0，函数y单调递增；∴当c＜10时，函数y在（0，10）上递减，在（10，15）上递增，此时v=10时用氧量最少；当c≥10时，函数y在[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．18．已知过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N 两点，记椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，上下两个顶点分别为B2，B1．当线段MN的中点落在四边形F1B1F2B2内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，列出方程组，求出a=2，b=4，由此能求出椭圆C的方程．（2）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等关系，求出k的范围．【解答】解：（1）∵过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．∴设椭圆方程为=1（a＞b＞0），则，解得a=2，b=4，∴椭圆C的方程为=1．（2）椭圆C的左准线方程为x=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0），由题意知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=k（x+4）如图，设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0）由，得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0，解得﹣＜k＜．②因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=k（x0+4）=．因为x0=﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，即，即，解得≤k≤，由②得：≤k≤．故直线l斜率的取值范围是[，]．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*满足，且a1=1，正项数列{b n}满足b n+12﹣b n+1=b n2+b n（n∈N*），其前7项和为42．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n≥2n+a，求实数a的取值范围；（3）将数列{a n}，{b n}的项按照“当n为奇数时，a n放在前面；当n为偶数时，b n放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和P n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*满足，且a1=1，可得数列是等差数列，首项为1，公差为．利用通项公式可得S n．利用递推关系即可得出a n．正项数列{b n}满足b n+12﹣b n+1=b n2+b n（n∈N*），化为：（b n+1+b n）（b n+1﹣b n）=b n+1+b n，可得b n+1﹣b n=1．再利用等差数列的求和公式即可得出．（2）c n==2+2，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．（3）n=2k时，P n=P2k=（a1+a2+…+a k）+（b1+b2+…+b k）．n=2k﹣1时，2k被2整除而不能被4整除时，P n=P2k﹣b k．2k被4整除时，P n=P2k﹣a k．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*满足，且a1=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为．∴=1+（n﹣1），解得S n=．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n，n=1时也成立．∴a n=n．正项数列{b n}满足b n+12﹣b n+1=b n2+b n（n∈N*），化为：（b n+1+b n）（b n+1﹣b n）=b n+1+b n，∴b n+1﹣b n=1．∴数列{b n}是等差数列，公差为1．∵其前7项和为42，∴7b1+×1=42，解得b1=3．∴b n=3+n﹣1=n+2．（2）c n==2+2，∴数列{c n}的前n项和T n=2n+2+…++=2n+2=2n+2，T n≥2n+a，化为：2≥a，∴a≤．∴实数a的取值范围是．（3）n=2k时，P n=P2k=（a1+a2+…+a k）+（b1+b2+…+b k）=+=k2+3k=+3×=．n=2k﹣1时，2k被2整除而不能被4整除时，P n=P2k﹣b k=﹣（k+2）=k2+2k ﹣2．2k被4整除时，P n=P2k﹣a k=﹣k=k2+2k．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线方程；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设出切点坐标，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出单调递减区间；（3）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．【解答】解：（1）f（x）=，f′（x）=，设出切点坐标（a，），而曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线的斜率k=，故=，解得：a=e2，故切点坐标是：（e2，e2），故切线方程是：y﹣e2=（x﹣e2），即x﹣y+e2=0；（2）f′（x）=，由f′（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）；（3）因为g（x）=aelnx+x2﹣（a+e）x，由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+x2﹣•lnx•f（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可，又g（x）=aelnx+x2﹣（a+e）x，则g′（x）=，a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（e）=﹣，∴a≥﹣，∵a≤e，∴﹣≤a≤e，a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，综上所述，a≥﹣．数学Ⅱ（理科加试）[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠APE 的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）DE=CE；（2）．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明∠PEB=∠PAC，∠EPC=∠CPA，可得∠ECD=∠EDC，即可证明结论；（2）证明△EPB∽△APE，得=，PC是∠APE的平分线，得=，即可证明结论．【解答】证明：（1）∵PE是⊙O的切线，∴∠PEB=∠PAC，∵PC是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠CPA，∴∠PEB+∠EPC=∠PAC+∠CPA，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE；（2）∵∠PEB=∠PAC，∠EPB=∠APE，∴△EPB∽△APE，∴=，∵PC是∠APE的平分线，∴=，∴．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（4，16），求矩阵M．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．【解答】解：设，∵特征值λ=8及对应的一个特征向量=，矩阵M将点（﹣1，3）变换为（4，16），∴，解得，∴M=…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）已知直线l的参数方程是（t为参数），普通方程为y=+3，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ，化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．…（2）由直线与抛物线方程，消去y得x2﹣4x﹣12=0…设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点M（2，9）…又点P的直角坐标为（2，6），…所以|PM|=3…D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式．【分析】利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（4x+3y+12z）2≤（x2+y2+z2）（42+32+122），变形即可得答案．【解答】解：根据题意，实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，则有（4x+3y+12z）2≤（x2+y2+z2）（42+32+122），即1≤169（x2+y2+z2），即有x2+y2+z2≥；即x2+y2+z2的最小值为；故答案为：．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】取AD中点O，连结PO，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出在线段AB 上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，且AG=．【解答】解：假设在线段AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．取AD中点O，连结PO，∵底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰直角三角形，其中PA=PD，∴PO⊥平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=PD=，则G（1，t，0）（0≤t≤2），C（﹣1，2，0），P（0，0，），D（﹣1，0，0），=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（1，t，﹣），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，﹣1），设平面PDG的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，﹣，﹣1），∵二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，∴==，解得t=，∴在线段AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，且AG=．26．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知，试利用（1）的结论计算z10．【考点】RG：数学归纳法．【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．（2）利用（1）的结论即可得出．【解答】证明：（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k=coskθ+isinkθ，则当n=k+1时，（cosx+isinθ）k+1=（cosθ+isinθ）k•（cosθ+isinθ）=（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）=（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ∴当n=k+1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ．（2）=2（﹣）=2（cos+isin），∴z10=210（cosπ+isinπ）=210（cos+isin）=210（+i）=512+512i。