线性时不变系统描述与系统响应PPT讲稿
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第二章讲义——线性时不变系统
LTI systems can be analyzed in considerable detail
The Contents of Chapter 2
Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum √ Continuous-Time LTI System:The Convolution Integral √ Properties of linear time-invariant systems √ Causal LTI systems Described by Differential and Difference Equations Singularity functions √
y[n] =
k =+∞ k =−∞
∑ x[k]⋅ h[n − k]
y[n] = x[n]* h[n]
Convolution Sum
Example 2.1、2.2 、
Determine y[n]
Calculation of convolution sum
Method 1: concept of LTI system Method 2: slide
↓ ∆ →0 x(t ) =
−∞
∫ x(τ ) ⋅ δ (t −τ ) ⋅ dτ
∞
sifting property
Prove:
∞ −∞
∫ x(τ ) ⋅ δ (t −τ ) ⋅ dτ = ∫ x(t ) ⋅ δ (t −τ ) ⋅ dτ
−∞
∞
= x(t ) ⋅ ∫ δ (t −τ ) ⋅ dτ
−∞
y[n] at some specific time n
x[k] and h[n-k] viewed as function of k x[k] h[n-k] summing all samples.
线性时不变系统及其特性.ppt
叠加性：
e ( t ) rt ( ) 1 1 e ( t ) et ( ) rt ( ) rt ( ) 1 2 1 2 et ( ) rt ( ) 2 2
e1 (t)
H H
H
r1 ( t )
r2 ( t )
r1 (t) r2 (t)
e2 (t)
e1 (t) e2 (t)
d A r ( t ) 1 0 A r ( t )5 A e ( t ) d t 原方程两端乘A：
d r ( t ) A 1 0 r ( t )5 A e ( t ) d t
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0( 1 )
t 0( 2 )
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
例： 微分方程 r 所代表的系统是否是因果系统 ( t ) e ( t ) e ( t 2 ) 解：
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
e( t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
若 则
未来的激励
所以该系统为非因果系统。
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
e ( t ) rt ( ) 1 1 e ( t ) et ( ) rt ( ) rt ( ) 1 2 1 2 et ( ) rt ( ) 2 2
e1 (t)
H H
H
r1 ( t )
r2 ( t )
r1 (t) r2 (t)
e2 (t)
e1 (t) e2 (t)
d A r ( t ) 1 0 A r ( t )5 A e ( t ) d t 原方程两端乘A：
d r ( t ) A 1 0 r ( t )5 A e ( t ) d t
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0( 1 )
t 0( 2 )
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
例： 微分方程 r 所代表的系统是否是因果系统 ( t ) e ( t ) e ( t 2 ) 解：
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
e( t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
若 则
未来的激励
所以该系统为非因果系统。
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
讲义——线性时不变系统PPT教案
easier
Example 2.7
第31页/共68页
Example 2.7
x
t
1 0
0 t T otherwise
and
h
t
t 0
determine y t
0 t 2T otherwise
第32页/共68页
The Distributive Property
x[n]* (h1[n] h2[n]) x[n]* h1[n] x[n]* h2[n] x(t)* (h1(t) h2(t)) x(t)* h1(t) x(t)* h2(t) ( x1[n] x2[n])* h[n] x1[n]* h[n] x2[n]* h[n] ( x1(t) x2(t))* h(t) x1(t )* h(t ) x2(t )* h(t )
❖ The unit impulse response of a nonlinear system does not completely characterize the behavior of the system
第29页/共68页
Example 2.9
h[n]
1 0
n 0,1 otherwise
h[n] u[n]
y[n]
2n1 ,
4
2
,
0n4
1a
y[n]
an4 1
a a
n+1
, 4n6
an4 a7
1a
, 6 n 10
0
, n 10
第12页/共68页
Example 2.5
x[n] 2n un and hn un determine y n
2n1 , n 0 y[n]
2 , n0
Example 2.7
第31页/共68页
Example 2.7
x
t
1 0
0 t T otherwise
and
h
t
t 0
determine y t
0 t 2T otherwise
第32页/共68页
The Distributive Property
x[n]* (h1[n] h2[n]) x[n]* h1[n] x[n]* h2[n] x(t)* (h1(t) h2(t)) x(t)* h1(t) x(t)* h2(t) ( x1[n] x2[n])* h[n] x1[n]* h[n] x2[n]* h[n] ( x1(t) x2(t))* h(t) x1(t )* h(t ) x2(t )* h(t )
❖ The unit impulse response of a nonlinear system does not completely characterize the behavior of the system
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Example 2.9
h[n]
1 0
n 0,1 otherwise
h[n] u[n]
y[n]
2n1 ,
4
2
,
0n4
1a
y[n]
an4 1
a a
n+1
, 4n6
an4 a7
1a
, 6 n 10
0
, n 10
第12页/共68页
Example 2.5
x[n] 2n un and hn un determine y n
2n1 , n 0 y[n]
2 , n0
第二章线性时不变系统详解演示文稿
othxe(rw)ishe(t )d
2.3
线
求: y(t) x(t) h(t)
x( )h(t )d
x(t )h( )d
性 时 不
解：这里利用卷积 x的(t积分)h微(分)d性质。
xt xt ut ut T
变
h( )
2T
系
统
的
0
性 x(t)
质
(1)
0
2T
y(t)
2T
T
y
t
t
y
注意：①上述结论都是针对LTI而 言的； ②卷积运算必须收敛。
24
第二十四页，总共四十页。
例① 对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：
x(t) 平方
乘2 y(t) 2x2 (t)
交换两个级联单元的顺序后
2.3
x(t )
y(t) 4x2 (t)
线
乘2
平方
性
时
系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统
23
第二十三页，总共四十页。
由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。具
体的推导过程看课本P78页。
2.3
xn h1n h2n xn h2n h1n
线
性
时
不
变 系
x(t) h1(t)
h2 (t) y(t) 结论：
统
LTI系统总响应与系统
的
级联的次序无关。
性 质
x(t) h2 (t)
y (t ) h1 (t )
将x(t)用一系列的矩形脉冲近似。
x(t)
2.2
连
x(k)
续
x (t)
时
间
2.3
线
求: y(t) x(t) h(t)
x( )h(t )d
x(t )h( )d
性 时 不
解：这里利用卷积 x的(t积分)h微(分)d性质。
xt xt ut ut T
变
h( )
2T
系
统
的
0
性 x(t)
质
(1)
0
2T
y(t)
2T
T
y
t
t
y
注意：①上述结论都是针对LTI而 言的； ②卷积运算必须收敛。
24
第二十四页，总共四十页。
例① 对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：
x(t) 平方
乘2 y(t) 2x2 (t)
交换两个级联单元的顺序后
2.3
x(t )
y(t) 4x2 (t)
线
乘2
平方
性
时
系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统
23
第二十三页，总共四十页。
由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。具
体的推导过程看课本P78页。
2.3
xn h1n h2n xn h2n h1n
线
性
时
不
变 系
x(t) h1(t)
h2 (t) y(t) 结论：
统
LTI系统总响应与系统
的
级联的次序无关。
性 质
x(t) h2 (t)
y (t ) h1 (t )
将x(t)用一系列的矩形脉冲近似。
x(t)
2.2
连
x(k)
续
x (t)
时
间
信号与系统 第二章 线性时不变系统 课件 优质课件
y(2) 1 0 2 1 y(3) y(4) y(5) y(6)
y(n) x(n) h(n) { 1, 2, 2,8,3,6,5,1, }
优点：计算非常简单。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和；
②一般情况下，无法写出 y(n)的封闭表达式。
x(n) h(n) x(k)h(n k) k
x( ) (t ) x( ) h(t )
x( ) (t )d x( )h(t )d
x(t) y(t)
y(t) x( )h(t )d
表明:连续LTI系统可以完全由它的单位冲激响应
h(t)
x(t)
h1(t)
y(t)
+
h2(t)
y t xth1 t xt h2 t xt h1 t h2 t
yt xtht
ht h1t h2 t
结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响
一. 用单位冲激信号表示连续时间信号
x( ) (t )d x(t) (t )d
x(t) (t )d
x(t)
x(t) x( ) (t )d
x(t) lim x( ) (t ) 0
为积分变量 ； 2. 反转：将h()变为h(- )； 3. 平移：将h(- )平移t，变为h[-(-t)]； 4. 相乘： 将x()和h(t- )相乘； 5. 积分：求x()h(t- )乘积下的面积。
例: x(t) eatu(t) , a 0
h(t) u(t)
y(n) x(n) h(n) { 1, 2, 2,8,3,6,5,1, }
优点：计算非常简单。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和；
②一般情况下，无法写出 y(n)的封闭表达式。
x(n) h(n) x(k)h(n k) k
x( ) (t ) x( ) h(t )
x( ) (t )d x( )h(t )d
x(t) y(t)
y(t) x( )h(t )d
表明:连续LTI系统可以完全由它的单位冲激响应
h(t)
x(t)
h1(t)
y(t)
+
h2(t)
y t xth1 t xt h2 t xt h1 t h2 t
yt xtht
ht h1t h2 t
结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响
一. 用单位冲激信号表示连续时间信号
x( ) (t )d x(t) (t )d
x(t) (t )d
x(t)
x(t) x( ) (t )d
x(t) lim x( ) (t ) 0
为积分变量 ； 2. 反转：将h()变为h(- )； 3. 平移：将h(- )平移t，变为h[-(-t)]； 4. 相乘： 将x()和h(t- )相乘； 5. 积分：求x()h(t- )乘积下的面积。
例: x(t) eatu(t) , a 0
h(t) u(t)
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
《线性时不变系统》课件
奈奎斯特准则
1 奈奎斯特稳定判定条件
奈奎斯特准则是评估线性时不变系统稳定性的另一种方法。我们将讲解稳定判定条件。
2 奈奎斯特绘图法
借助奈奎斯特绘图法，我们可以直观地观察线性时不变系统的稳定性。
总结
线性时不变系统的重要性
线性时不变系统在控制领域扮演 着重要角色。我们将总结其重要 性和应用。
线性时不变系统在控制领 域的应用
线性时不变系统的传递函数
传递函数的定义
传递函数是描述线性时不变系 统输入和输出之间关系的强大 工具。让我们深入探讨它的定 义。
传递函数与系统响应 的关系
我们将了解传递函数与系统对 不同输入的响应之间的密切关 系。
是否稳定的判定方式
通过传递函数，我们可以判断 线性时不变源自统是否稳定。我 们将探讨判定方式。
2 系统的状态空间表示
了解系统的状态空间表示将帮助我们更好地分析和理解线性时不变系统的行为。
系统的稳定性分析
1
稳定性的概念
我们将介绍稳定性的概念，并了解稳定性对系统性能的重要影响。
2
渐进稳定
渐进稳定是我们评估线性时不变系统稳定性的一种方法。让我们探讨这个重要的 概念。
3
有界稳定
了解有界稳定性有助于我们判断系统是否能够在特定范围内保持稳定。
《线性时不变系统》PPT 课件
欢迎来到《线性时不变系统》的PPT课件。本课程将探讨线性和时不变系统的 定义、特点、描述以及稳定性分析和传递函数等内容。让我们一起来学习吧！
什么是线性时不变系统？
线性时不变系统具有令人惊叹的特性。我们将定义线性时不变系统，探讨线性和非线性系统的差异，并理解时 变和时不变系统的区别。
线性时不变系统的特点
第2章__线性时不变系统
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
第2章线性时不变系统描述和系统响应PPT课件
？
信号 系统 响应
(1) 列出特征方程，解出特征根;
(2) 根据系统的初始条件解出待定系数。
？
信号 系统 响应
2.2 LTI离散时间系统的零状态响应—卷积和
系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应 零状态响应：系统的初始状态为零时，由系统的
外部激励单独作用而产生的响应。 冲激响应h[n] : 冲激信号为激励信号时，系统
a)求出特征根； b)根据n<0时，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系数 (2)根据线性时不变系统的线性性和非时变性，求出激 励信号为其他信号时对应的hi[n]，h[n]= h1[n]+... hi[n]
2. 零状态响应的求解
？
信号 系统 响应
f [n]
？
系统的零状态响应 y[n]
h[n]
？
例：已知一LTI离散时间系统的差分方程为： y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=x[n+1]-2x[n]， 初始条件为:y[0]=0，y[-1]=1，求其零输入响 应 yzi[n]
？
信号 系统 响应
解：设 y[n]An，代入差分方程激 同励 时信 令号0，为 则：An2＋3An1＋2An＝0， 即特征方程为 2＋3； ＋2＝0， 特征根： 1 1,2 2,
激励信号由两 不项 能组 直成 接 1的 ， 用 方例 法
？
信号 系统 响应
分析：
令h1[n]-h1[n-1]-2h1[n][n] h2[n]-h2[n-1]-2h2[n][n-2]
根据线性时不变系线统性的性和非时变性
[n] [n-2]
[n-][n-2]
h1[n]
h2[n]h1[n- 2]h[n] h1[n]h2[n]
第四章 线性时不变离散时间系统
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
x(n)和 y(n) 分别表示输入和输出序列，则系统的输入输出
关系可记为：
y(n) T[x(n)]
其中，T 表示将输入信号转换为输出信号，系统的一般
输入输出关系图为：
x(n)
y(n)
h(n)
系统的输入输出关系图
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
线性
线性系统基本特征就是满足叠加原理。假设系统的输 入分别为 x1(n) 和 x2 (n) ，相应的输出分别为 y1(n) 和 y2 (n) ， 即：
y1(n) T [x1(n)]
y2(n) T[x2(n)]
则当且仅当
T[ x1(n) x2(n)] T[x1(n)] T[x2(n)]
y1(n) y2(n)
s (n)
1 M
M 1
x(n
l 0
l)
1 M
M
1
x
(n
l0
l)
x(n
M)
x(n
M
)
1 M
M l1
x(n
l)
x(n)
x(n
M )
1 M
M
1
x(n
l0
1 l)
x(n)
x(n
M )
M 1 s (n 1) 1 x(n) x(n M )
M
M
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
假设输入信号经过m 步移位得到 x(n m) ，送入同一系
统，若系统的输出为 y(n m) ，用公式表示就是:
时，系统为线性系统，其中, 为任意常数。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
举例
3线性时不变系统的描述
用 表示冲击函数串
可见， 是 在离散时刻 的取值 抽样信号 的频谱
的集合。
版权所有 违者必究 第一章第2讲
9
抽样定理与A/D转换器
由频域卷积定理得：
将
和
带入
式中，得:
可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其
频谱为周期性频谱，且以抽样频率
Ωs=2π/T为间隔周期无限延拓。
版权所有 违者必究 第一章第2讲
P(2)n 3 P(2)n 2 P(2)n 2n
2
4
y
p
(n)
1 3
(2)n
解得：P 1
3
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4
例 2 经典解法
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(n)
yh (n)
yp (n)
C1 (1) n
C2 (2)n
1 3
(2)n
将初始条件代入上式，得：
10
抽样定理与A/D转换器
理想抽样信号的频谱周期延拓图示例
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11
抽样定理与A/D转换器
理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明
1、设xa (t)的频谱 X a ( j)为被限制在某一最高频率Ωh
范围内，其频谱如上页图a所示，则称其为带限信号。
对带限信号的抽样，当满足Ωh基≤带Ω谱s/2时,原来频谱和 各次延拓分量的频谱不重叠,如上页图b所示。如果选
即： h M • 如果 h不是的整数倍，可将人为地向频率的
低端或高端进行扩展，使 h 成为扩展后的带宽的整
数倍。 如果将带宽向频率的低端扩展到Ω0 ，扩展后Ωh 是 新的带宽 Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按Ωs = 2Ωh/M 选择M进行抽样。如令M=3，则有：
可见， 是 在离散时刻 的取值 抽样信号 的频谱
的集合。
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9
抽样定理与A/D转换器
由频域卷积定理得：
将
和
带入
式中，得:
可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其
频谱为周期性频谱，且以抽样频率
Ωs=2π/T为间隔周期无限延拓。
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P(2)n 3 P(2)n 2 P(2)n 2n
2
4
y
p
(n)
1 3
(2)n
解得：P 1
3
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4
例 2 经典解法
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(n)
yh (n)
yp (n)
C1 (1) n
C2 (2)n
1 3
(2)n
将初始条件代入上式，得：
10
抽样定理与A/D转换器
理想抽样信号的频谱周期延拓图示例
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抽样定理与A/D转换器
理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明
1、设xa (t)的频谱 X a ( j)为被限制在某一最高频率Ωh
范围内，其频谱如上页图a所示，则称其为带限信号。
对带限信号的抽样，当满足Ωh基≤带Ω谱s/2时,原来频谱和 各次延拓分量的频谱不重叠,如上页图b所示。如果选
即： h M • 如果 h不是的整数倍，可将人为地向频率的
低端或高端进行扩展，使 h 成为扩展后的带宽的整
数倍。 如果将带宽向频率的低端扩展到Ω0 ，扩展后Ωh 是 新的带宽 Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按Ωs = 2Ωh/M 选择M进行抽样。如令M=3，则有：
第二章 线性时不变系统描述和系统响应
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
2 卷积和
如果已知LTI离散时间系统的输入信号 f [n] 和冲 ？ 系统的零状态响应 y[n] 激响应 h[ n]
根据 δ [ n] 的筛选性
f[1]δ[n − 1]
f[n]
f[0]δ[n]
f [n]可表为一系列冲激信号的和
iii
−2
−1
iii
0
1
2
n
f [ n] =
2
3
n
图2.2.3
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
例2.2.1 已知因果LTI离散时间系统差分方程为
1 y[n] + y[n − 1] = f [ n] 2
求系统的单位冲激响应 h[ n ] 解： 因为：
1 h[n] = δ [ n] − h[ n − 1], 2
h[ −1] = 0
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
1 y[n] = f [ n] + f [n − 1] 2
试求其冲激响应 h[ n ] 。
解：由于该系统是零阶的，无需初始条件。
2.2 LTI离散时间系统响应—卷积和
f [ n] = δ [ n]
1 h[n] = δ [n] + δ [ n − 1] 2
系统的冲激响应如图
1
h[n]
1/ 2
−1
0
1
f[n]
y[n]
线性常系数差分方程的一般形式可以表示为
c0 y[n] + c1y[n −1] +⋯+ cN y[n − N] = d0 f [n] + d1 f [n −1] +⋯+ dM f [n − M]
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(2) 根据系统的初始条件解出待定系数。
？
信号 系统 响应
2.2 LTI离散时间系统的零状态响应—卷积和
系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应
零状态响应：系统的初始状态为零时，由系统的 外部激励单独作用而产生的响应。
冲激响应 h[n] :
冲激信号为激励信号时，系统 的零状态响应。
f[n] [n]
离散时间系统 {零状态}
则：h[n] A12n A2 3n
1. 冲激响应h[n]的求解
h[n] A12n A23n
？
信号 系统 响应
由系统为因果系统，所以n 0时，h[n] 0
h[n] - 5h[n 1] 6h[n - 2] [n]
n 0时 h[0] - 5h[-1] 6h[-2] [0] 1,即h[0] 1; n 1时 h[1] - 5h[0] 6h[-1] [1] 0,即h[1] 5;
例：已知一LTI离散时间系统的差分方程为： y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]， 初始条件为:y[0]=0，y[-1]=1，求其零输入响 应 yzi[n]
？
信号 系统 响应
解：设y[n] An，代入差分方程同时令激励信号为0， 则：An 2＋An 1＋An＝0， 即特征方程为；2＋3＋2＝0， 特征根：1 1,2 2, 则：y zi[n] A1(1)n A2(2)n
由初始条件：
yzi[0] A1(1)0 A2 (2)0＝0 yzi[1] A1(1)1 A2 (2)1＝1， 得：A1 2，A2 2 所以：yzi[n] [2(1)n 2(2)n ]u[n]
2.零输入响应的求解 零输入响应的求解过程:
？
信号 系统 响应
(1) 列出特征方程，解出特征根;
2 3
2n{[u[n]
u[n
2]}
1. 冲激响应h[n]的求解
？
信号 系统 响应
h[n]的求解过程： (1)求出激励信号为δ[n]时对应的冲激响应h1[n]
a)求出特征根； •根据n<0时，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系数 (2)根据线性时不变系统的线性性和非时变性，求出激 励信号为其他信号时对应的hi[n]，h[n]= h1[n]+... hi[n]
1 . LTI离散时间系统的差分方程
产生系统响应的原因：系统的初始状态＋系统的输入 (LTI的特性)
系统的全响应＝ 零输入响应 ＋ 零状态响应
即：y[n]=yzi[n]+yzs[n]
零输入 响应
零状态 响应
2.零输入响应的求解
？
信号 系统 响应
零输入响应：输入信号为零，仅由系统的初始状 态单独作用而产生的响应。
所以：1 1, 2 2,
则：h1[n] A1[1]n A2 2n 由系统为因果系统，所以n时，h[n] 0,
得：n 0时，h1[0]- h1[-1]- 2h1[-2] [0] 1,即h1[0] 1, n 1时，h1[1]- h1[0]- 2h1[-1] [1] 0,即h[1] 1,
所以：A1 2，A2 3， 所以：h[n] (2 2n 3 3n )u[n]＝(3n＋1－2n＋1)u[n]
？
信号 系统 响应
考虑：激励信号由多项组成，h(n)如何求解？
例2：一LTI离散时间因果系统的差分方程为: y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=f[n]- f[n-2] ，求h[n]=?
y[n] h[n]
1. 冲激响应h[n]的求解
？
信号 系统 响应
例1：一LTI离散时间因果系统的差分方程为 y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=f[n]，求h[n]=?
解：由f [n] [nห้องสมุดไป่ตู้ 得：h[n] - 5h[n 1] 6h[n - 2] [n] 特征方程为： 2 5＋6＝0 所以：1 2, 2 3,
1 . LTI离散时间系统的差分方程
线性常系数差分方程的一般形式可以表示为
c0 y[n] c1y[n 1] L cN y[n N] d0 f [n] d1 f [n 1] L dM f [n M ]
初始条件： y[1], y[2],L , y[N] 全解＝齐次解＋特解。
？
信号 系统 响应
解：由y[n]- y[n -1]- 2y[n - 2] f [n]- f [n - 2]
得：h[n]- h[n -1]- 2h[n] [n]-[n - 2]
激励信号由两项组成，不能直接用例1的方法
？
信号 系统 响应
分析：
令h1[n]- h1[n -1]- 2h1[n] [n] h2[n]- h2[n -1]- 2h2[n] [n - 2]
所以：A1
1 3
，A2
2， 3
？
信号 系统 响应
1. 冲激响应h[n]的求解
所以：h1[n]
{1 3
(1)n
2 2n }u[n]
3
所以：h2[n]
h1[n
2]
{31 (1)n 2
2 2n 2}u[n
3
2]
因为：h[n] h1[n] h2[n]
所以：h[n
]＝
1 3
(1)n{u[n
]
u[n
2]}
2. 零状态响应的求解
？
信号 系统 响应
[n]
系统的零状态响应 h[n]
？
f [n]
系统的零状态响应 y[n]
h[n]
？
信号 系统 响应
练习：一离散时间LTI系统的差分方程为：
y[n+2]-3 y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]
系统的初始条件为：y[0]=1，y[-1]=1，输入信号 f[n]=u[n];分别求出系统的零输入响应和冲激响应
？
信号 系统 响应
线性时不变系统描述与系统响 应课件
？
信号 系统 响应
2.1 LTI离散时间系统的差分方程描述
1 . LTI离散时间系统的差分方程
对于LTI离散时间系统，其输入和响应间的映 射关系可以用一个线性常系数差分方程及一 组初始条件来描述
线性常系数
f[n]
差分方程
y[n]
{初始条件}
？
信号 系统 响应
根据线性时不变系统的线性性和时不变性
[n]
h1[n]
[n - 2] [n]-[n - 2]
h2[n] h1[n - 2]
h[n] h1[n] h2[n]
h[n] h1[n] h1[n - 2]
？
信号 系统 响应
1. 冲激响应h[n]的求解
由h1[n]- h1[n -1]- 2h1[n] [n] 特征方程为：0 1 22＝0，