2020-2021学年河北省唐山市高一上学期期末考试数学试卷及答案

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人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版含解析)

人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。

2020-2021学年唐山一中高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年唐山一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若全集U =R ，集合A ={x|x 2−4≥0}，则∁U A =( )A. (−2,2)B. (−12,12)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. (−∞,−12]∪[12,+∞)2. 已知函数f(x)=2x−1+2x +3与g(x)=x −x 12−1的零点分别为x 1，x 2，ℎ(x)=(12)x 且ℎ(x 3)=13，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( )A. x 1<x 2<x 3B. x 1<x 3<x 2C. x 2<x 3<x 1D. x 3<x 1<x 23.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，实数的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)4.半径为3cm 的圆中，π7的圆心角所对的弧长为( )A.3π7cmB. π21cmC. 37cmD.9π7cm5.要得到y =cos(4x −π3)的图象，只需将函数y =cos4x 图象( )A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位 C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位6.若函数f(x)的定义域为[0,4]，则函数f(x 2)的定义域为( )A. [0,2]B. [0,16]C. [−2,2]D. [−2,0]7.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则( )A.B.C.D.8.若奇函数在区间[3,7]上递增且最小值为5，则f(x)在[−7,−3]上为( )A. 递增且最小值为−5B. 递增且最大值为−5C. 递减且最小值为−5D. 递减且最大值为−59.在△ABC 中，sinA =45，cosB =213，则△ABC 为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形10. 设a =，b =，c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. a <b <cC. b <a <cD. a <c <b11. 已知sin(π+α)=√3sin(π2−α)，且α∈(−π,0)，则α=( )A. π3B. −2π3C. 4π3D. −π312. 下列函数中，为偶函数的是( )A. f(x)=sin(2015π2+x) B. f(x)=cos(2015π2+x) C. f(x)=tan(2015π2+x)D. f(x)=sin(2014π2+x)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的定义域为；的零点是．14. 若函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)为偶函数，则φ的最小正值是______ ． 15. 函数y =√log 12(3x −4)−1的定义域是______ ．16. 若f(x)表示−2x +2与−2x 2+4x +2中的较小者，则函数f(x)的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知角α的终边在直线y =√3x 上，求α的正弦，余弦的值．18. 已知函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω>0)的部分图象如图所示． (Ⅰ)ω=______；(将结果直接填写在答题卡的相应位置上) (Ⅱ)求x 0的值．19.已知函数f(x)=2x−1，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；x+1(2)求该函数的最大值和最小值．20.要建造一个容量为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，求当水池的长在什么范围时，才能使水池的总造价不超过61200元(规定长大于等于宽)．21.命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根。

河北省唐山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)

+
2
2
≤
2 + 2
，当且仅当
2
= 时等号成立，D 正确．
故选：CD．
11. 下列函数中，既是奇函数又在区间(5,6)内是减函数的是（
）
A. = −−
B. = −||
C. = −sin
D. = 3 + 3−
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A：由 = −−为增函数否定结论；
的大小关系．
【详解】解： ∵ 0 < 0.32 < 0.30 = 1，30.3 > 30 = 1
∴ 0 < < 1 < ，
∵ log0.32 < log0.31 = 0， ∴ < 0，
∴ < < ，
故选：A．
sin(−) + cos(−)
6. 已知sin(−) + cos(2−) = 3，则tan等于（
−

8
= sin 2−

4
，故 D 正确，C 错误；
故选：BD
10. 已知两个不为零的实数 x，y 满足 > ，则下列结论正确的是（
A.
C.
1

1
B.
>
||
||
||
1

D.
+ || ≥ 2
）
1
<
+
2
2
<
2 + 2
2
【答案】CD
【解析】
【分析】由基本不等式判断 CD，由不等式的性质（举反倒判断 AB）．
）
B. (1,2)

河北省唐山市第一中学2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题含答案

（2）若 f (a + 2) f (1− 2a) ，求实数 a 的取值范围.
21.已知函数
g
(
x)
=
x+b 2x2 + a
，x (−1,1)
，从下面三个条件中任选一个条件，求出
a,b 的
值，并解答后面的问题.
①已知函数 f ( x) = x2 − ax + 4 ，若 f ( x +1) 在定义域b −1,b +1 上为偶函数；
g(x) = x2 − 2x + m ，如果对于任意 x1 −2, 2，存在 x2 −2, 2，使得 g ( x2 ) = f ( x1 ) ，
则实数 m 的取值范围是
（）
A．[−7, −4]
B．[−5, −2]
C． (−, −11
D．[−5, −3]
9.（多选题）已知 a，b，c 为实数，且 a b 0 ，则下列不等式正确的是（）
C． y = x2 +1 x
（）
D． 3 2
（）
D． y = x2 +1
5．已知 a = 0.32 ； b = 0.31.5 ； c = 20.3 ，则
A． b c a
B． b a c
C． c a b
6．“ a 1 ”是“关于 x 的方程 x2 − 3x + a = 0 有实数根”的
（）
f ( x) 0 ，则函数 f ( x) 满足
（）
A． f (0) = 0
B． y = f (x) 是奇函数
2
C． f (x) 在m, n 上有最大值 f (n)
D． f (x −1) 0 的解集为(−,1)
卷Ⅱ(非选择题共 90 分)

河北省唐山市高一上学期期末考试数学试题扫描版含答案

唐山市2019～2020学年度高一年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：A 卷：CDDBC DADCA BAB 卷：CDABC DADBA BA二、填空题：（13）(－∞，－5)∪(1，＋∞) （14）x（15）33 （16）①5；②2三、解答题：（17）解：（Ⅰ）解：因为x ＝log 32，所以3x ＝2，3－x ＝ 12．则9x －9－x ＋1 3x ＋3－x ＝9x －9－x ＋1 3x ＋3－x ＝4－ 14＋12＋ 1 2＝ 1910．…5分（Ⅱ）原式＝(π－3)×1＋[(2＋3)×(2－3)]2019＝π－3＋1＝π－2…10分（18）解：（Ⅰ）由已知cos α＝mm 2＋2＝－33，m ＜0，解得m ＝－1．…4分所以P (－1，2)，tan α＝－2．…6分（Ⅱ）原式＝sin α＋2cos αcos α＋sin α＝tan α＋21＋tan α＝－2．…12分（19）解：（Ⅰ）f (x )＝cos 4x －3sin 4x ＝2cos (4x ＋ π3)．…4分 ∴f (x )的最小正周期T ＝ 2π 4＝ π2．…6分（Ⅱ）由2k π－π≤4x ＋ π3≤2k π，k ∈Z ，解得k π 2－ π 3≤x ≤k π 2－π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π 2－ π 3，k π2－π12]，k ∈Z ．…12分（20）解：（Ⅰ）因为函数f (x )＝log 0.52－axx －2为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝log 0.52－ax x －2＋log 0.52＋ax －x －2＝log 0.54－a 2x 24－x 2＝0．所以4－a 2x 24－x 2＝1，即a 2＝1． …4分当a ＝1时，f (x )没有意义，舍去；当a ＝－1时，函数f (x )＝log 0.52＋xx －2 (x ＜－2或x ＞2)满足题意.综上，a ＝－1. …6分（Ⅱ）设h (x )＝2＋xx －2＝1＋4x －2，则h (x )在⎣⎡⎦⎤103，6单调递减，所以2≤h (x )≤4，所以－2≤f (x )≤－1， …9分对任意x ∈⎣⎡⎦⎤ 10 3，6都有f (x )＞t －3成立，所以t －3＜f (x )min ＝－2所以t 的取值范围是t ＜1.…12分（21）解：（Ⅰ）若a ＝1，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4－x －2－x ．当x ∈[－1，0)时，f (x )＝f (－x )＝4x －2x ．所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2x ，－1≤x ＜0，4－x －2－x ，0≤x ≤1． …4分（Ⅱ）因为函数f (x )为定义在[－1，1]的偶函数，所以只需求x ∈[0， 1]的最小值．当x ∈[0，1]时，f (x )＝4－x －a ·2－x ．设t ＝2－x ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则4－x ＝t 2．令h (t )＝f (x )，h (t )＝t 2－at ＝(t －a 2) 2－a24， …6分①当a ≤1时，a 2≤ 12，f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1 2＝ 1 4－ 12a ；②当a ≥2时，a2≥1，f (x )min ＝h (1)＝1－a ； ③当1＜a ＜2时，1 2＜a 2＜1，f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24．综上，f (x )min＝⎩⎨⎧1 4－ 12a ，a ≤1－a24， 1＜a ＜2 1－a ， a ≥2…12分（22）解：（Ⅰ）在Rt △OEC 中，∠DCO ＝θ＝π6，OC ＝4，则OE ＝4sin π6＝2，又OF ＝1．所以AD ＝EF ＝OE －OF ＝1．…4分（Ⅱ）在Rt △OEC 中，CE ＝4cos θ，OE ＝4sin θ，EF ＝4sin θ－1，因为E 为CD 的中点，所以CD ＝8cos θ，…6分四边形ABCD 的面积S ＝ 12×(AB ＋CD )×EF＝ 12(2＋8cos θ)(4sin θ－1)＝(1＋4cos θ)(4sin θ－1)＝16sin θcos θ＋4(sin θ－cos θ)－1…9分设t ＝sin θ－cos θ，π4≤θ＜π2，t ∈[0，1)，则sin θcos θ＝1－t 22．所以S ＝4t ＋16×1－t 22－1＝－8t 2＋4t ＋7当t ＝ 1 4时，S max ＝152．所以四边形ABCD 的面积的最大值为152． …12分。

2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同，故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0，当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立；当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足；当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ，当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10，根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x，所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0，即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的充分必要条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2，即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞）．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1．实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1，解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4，故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）．所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数；（2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0，所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小，此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74．故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞）．解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n，所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0；若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1，若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18，所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1，当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意，综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1，令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ，因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ，设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

2020-2021学年河北省唐山市高一上期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年河北省唐山市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．﹣2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3} 2．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+13．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知a＝，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a5．已知关于x不等式ae x≥x+b对任意x∈R和正数b恒成立，则的最小值为（）A．B．1C．D．26．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣17．已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）的图象，g（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g （x）图象的一个对称中心为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）8．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为4，则（）A．ω＝1，a＝3B．ω＝2，a＝3C．ω＝2，a＝7D．ω＝1，a＝7二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤10．关于函数g（x）＝，下列结论正确的（）A．g（x）的图象过原点B．g（x）是奇函数C．g（x）在区间（1，+∞）上单调递增D．g（x）是定义域上的增函数11．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数C．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在[﹣π，π]上是增函数D．，若恒成立，则a的最小值为12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x﹣3，则f（1）＝．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值．16．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．19．（1）求函数的值域；（2）已知，求f（x）的解析式．20．设x∈R，函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．2020-2021学年河北省唐山市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．﹣2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，所以A说法正确，因为A＝{0，2}，所以C，D说法正确，B说法错误，故选：B．2．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+1【解答】解：命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为：“∃x0≥0，都有＜﹣x0+1”．故选：C．3．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由x2﹣1＞0且x≠0得x＞1或x＜﹣1，f（﹣x）＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C 当x→+∞，f（x）＞0，排除A，故选：D．4．已知a＝，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵，，，∴a＞b＞c．故选：A．5．已知关于x不等式ae x≥x+b对任意x∈R和正数b恒成立，则的最小值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：不等式ae x≥x+b，化为不等式ae x﹣x≥b，设f（x）＝ae x﹣x，f′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，若a＞0时，令f′（x）＝ae x﹣1＝0，x＝﹣lna，在x＞﹣lna时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在x＜﹣lna时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．由题意可得f（x）min≥b，当a≤0时，f（x）在R上单调递减，无最小值，不符合题意，当a＞0时，f（x）min＝f（﹣lna）＝1+lna≥b，∴≥，设h（a）＝，则h′（a）＝，当a∈（0，1]，h′（a）＜0，h（a）递减；a∈[1，+∞），h′（a）≥0，h（a）递增，∴h（a）min＝h（1）＝1．则≥1，的最小值为1．故选：B．6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣1【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，B，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除D，故选：C．7．已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，得到g （x）的图象，g（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g （x）图象的一个对称中心为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【解答】解：由已知得数f（x）＝cos（ωx﹣），函数g（x）的最小正周期为，则，解得ω＝2，所以g（x）＝cos（2x﹣），由（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数g（x）图象的对称中心为（）（k∈Z）．显然当k＝﹣1时，g（x）图象的一个对称中心为（﹣）．故选：C．8．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为4，则（）A．ω＝1，a＝3B．ω＝2，a＝3C．ω＝2，a＝7D．ω＝1，a＝7【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0），＝sin2ωx﹣cos2ωx+a﹣1＝2sin（2ωx﹣）+a﹣1，因为的最小正周期为π，最大值为4，故2ω＝2即ω＝1，2+a﹣1＝4，所以a＝3故选：A．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．10．关于函数g（x）＝，下列结论正确的（）A．g（x）的图象过原点B．g（x）是奇函数C．g（x）在区间（1，+∞）上单调递增D．g（x）是定义域上的增函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数g（x）＝，则有g（0）＝0，则函数g（x）的图象经过原点，A正确，对于B，函数g（x）＝，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，B错误，对于C，函数g（x）＝，其导数g′（x）＝，在区间（1，+∞），g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，C正确，对于D，函数g（x）＝，有g（0）＝0，g（2）＝﹣4，g（x）是定义域上的增不是函数，D错误，故选：AC．11．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数C．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在[﹣π，π]上是增函数D．，若恒成立，则a的最小值为【解答】解：如图所示：，∴T＝6π，∴，∵f（2π）＝2，∴，即，∴（k∈Z），∴（k∈Z），∵|φ|＜π，∴，∴，故A正确；把y＝f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故B正确；把y＝f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，∵x∈[﹣π，π]，∴，∴在[﹣π，π]上不单调递增，故C错误；由可得，恒成立，令，，则，∵，∴，∴，∴，∴a的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0【解答】解：要使log a3＜log b3成立，只要＜，∴＜，∴0＞lga＞lgb，或lga＜0，lgb＞0．求得1＞a＞b＞0，或b＞1＞a＞0，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．【解答】解：∵x2﹣xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥＝6xy，即xy≤，当且仅当x＝3y，即，y＝时，等号成立，∴（x+3y）2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×＝，∴≤x+3y≤，∴x+3y的最大值为．故答案为：．14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x﹣3，则f（1）＝1．【解答】解：设f（x）＝kx+b（k≠0），则f（f（x））＝k2x+kb+b＝4x+9，从而，解得k＝2，b＝﹣1或k＝﹣2，b＝3，则f（x）＝2x﹣1或f（x）＝﹣2x+3，故f（1）＝1．故答案为：1．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值8．【解答】解：由已知定点P坐标为（﹣2，﹣1），由点P在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+＝（2m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+4＝8当且仅当m＝，n＝取等号．故答案为：8．16．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝﹣．【解答】解：将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x+）的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+）的图象，则＝﹣，故答案为：﹣．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}＝（﹣∞，a）∪（2a，+∞），B＝{x|x2﹣x ﹣6≥0}＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），若x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴a＞0，且2a≤3．解得0＜a≤．18．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．【解答】（1）解：∵，∴f（x）是偶函数；（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴，则f（x2）＞f（x1），即当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数；（3）解：要比较f（x+1）与f（x）的大小，∵f（x）是偶函数，∴只要比较f（|x+1|）与f（|x|）大小即可．当|x+1|≥|x|时，即时，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，∴f（x+1）≥f（x）；当|x+1|＜|x|时，即当时，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，∴f（x+1）＜f（x）．19．（1）求函数的值域；（2）已知，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）设t＝，则t≥0，x＝，代入f（x）得，y＝+t＝，因为t≥0，所以函数y的最大值是1，即函数f（x）的值域是（﹣∞，1]；（2）由题意得，，①令x取代入得，，②由①②解得f（x）＝．20．设x∈R，函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1＝sin2x﹣（cos2x﹣sin2x）+1＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1令：﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．（2）令：2x﹣＝+kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ+，（k∈Z），所以函数的对称轴方程为：x＝kπ+，（k∈Z），令：2x﹣＝kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ+，（k∈Z），所以函数的对称中心为：（kπ+，1），（k∈Z）．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．【解答】解：（Ⅰ）由＝，由，得sin（α+）＝0，又α∈[0，2π]，得或．（Ⅱ）由题知，，由g（x）≤2，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求x的集合为，或．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．。

2020-2021学年河北省唐山市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

河北省唐山市2020-2021学年高一上学期期末考试试题一、单项选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,4}A ，{3,4}B =，则()UAB =（）A. {2，3，4}B. {1，2，4，5}C. {2，5}D. {2}『答案』B『解析』因为全集{1,2,3,4,5}U =， {3,4}B =，所以{1,2,5}UB =，又因为集合{2,4}A ，所以(){1,2,4,5}U A B ⋃=，故选：B. 2.()sin 1080-︒=（）A. 12-B. 1C. 0D. ﹣1『答案』C 『解析』()sin(1080)sin 33600sin 00-︒=⨯-︒+︒=︒=⎡⎤⎣⎦．故选：C ．3. 命题“∀∈x R ，210x x -+=”的否定为（） A. ∀∈x R ，210x x -+≠B.∃∈x R ，210x x -+=C.∃∈x R ，210x x -+≠D. ∃∉x R ，210x x -+≠『答案』C『解析』根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀∈x R ，210x x -+=”的否定为 “∃∈x R ，210x x -+≠”.故选：C.4. 已知lg =a e ，ln0.8b =，0.12c =，则（）A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. b c a <<『答案』B『解析』因为0lg1lg lg101e =<<=，01a <<，ln0.8ln10<=，0b <，0.10221c =>=，所以b a c <<．故选：B ．5. 已知集合{}2log ,2A y y x x ==<∣，1,22x B y y x ⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（） A. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭ B. (0,1)C.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭『答案』D『解析』因为22log 1x x <⇒<，11224xx ⎛⎫<⇒>⎪⎝⎭，所以{}2log ,2{|1}A y y x x y y ==<=<∣，11,2|24x B y y x y y ⎧⎫⎧⎫==<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣，则11,141|4y y AB ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎛⎫= ⎪⎝⎭⎭，故选：D ．6. 已知幂函数()y f x =的图像过点⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（） A. 奇函数B. 偶函数C. 定义域为[0,)+∞D. 在(0,)+∞单调递减『答案』D『解析』设幂函数为(),f x x R αα=∈，因为函数过点⎛ ⎝⎭，所以12222α-==，则12α=-，所以()12f x x -=，该函数定义域为(0,)+∞，则其既不是奇函数也不是偶函数，且由102-<可知，该幂函数在(0,)+∞单调递减.故选：D.7. 已知函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+的零点分别1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（）A.231x x x << B.123x x x << C.213x x x << D.321x x x <<『答案』A『解析』因为3()log 3f x x x =+在()0,∞+上递增，当13x =时，311log 1033f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以113x =；因为()33xg x x =+在(),-∞+∞上递增，当0x ≥时，()3310x g x x =+≥>恒成立，故()g x 的零点小于0，即20x <；因为3()3h x x x =+在(),-∞+∞上递增，当0x =时，(0)0h =，故30x =，故231x x x <<．故选：A ．8. “不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.12m >B. 01m <<C.14m >D. 1m『答案』C『解析』因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，所以“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2>0140∆⎧⎨=-<⎩m m ，解得12m >.A 选项是充要条件，不成立；B 选项中，12m >不可推导出01m <<，B 不成立；C 选项中，12m >可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14m >是12m >的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m 可推导1>2m ，且1>2m 不可推导1m ，故>1m 是12m >的充分不必要条件，D 不正确. 故选：C.二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的函数是（）A. ||x y e =B. x xy e e -=- C.()2ln 1y x =+D.cos y x =『答案』AC『解析』对于A 选项，设()1x f x e=，该函数的定义域为R ，()()11xxf x ee f x --===，所以，函数||x y e =为偶函数，当0x >时，xy e =，该函数在区间()0,∞+上单调递增， A 选项合乎要求；对于B 选项，设()2x xf x e e -=-，该函数的定义域为R ，()()22x x f x e e f x --=-=-，所以，函数x xy e e -=-为奇函数，B 选项不合乎要求；对于C 选项，设()()23ln 1f x x =+，该函数的定义域为R ，()()()233ln 1f x x f x -=+=，所以，函数()2ln 1y x =+为偶函数，当0x >时，内层函数21u x =+单调递增，外层函数ln y u =也为增函数，所以，函数()2ln 1y x =+在区间()0,∞+上单调递增，C 选项合乎要求；对于D 选项，函数cos y x =为偶函数，但该函数在区间()0,∞+上不单调，D 选项不合乎要求. 故选：AC.10. 已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（）A. 2a b +≥B. 11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C. 22a b ≥+D.111a a +>+『答案』BCD『解析』因为222a b ab +≥，所以()()2222222a b ab a b a b +≥++=+，所以2a b +≤A 不成立11()224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即a b =时等号成立，故B 成立2222a ba b ++2221()()()22a ba b a b a b a b ab +∴++=+⋅+⋅，22a b+，当且仅当a b =时等号成立，故选项C 成立；1111211111a a a a +=++--=++，当且仅当0a =时等号成立，故等号取不到， 111a a ∴+>+，故选项D 成立.故选：BCD11. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A (0)1f=B. 在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 将()f x 的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是偶函数D.2()3f x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 『答案』BD『解析』由函数图象得：A =2，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以,2T πω==，又因为函数图象过点 7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以72sin 26πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即 7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得 73262k ππϕπ+=+，即 23k πϕπ=+，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+A.(0)2sin3f π==B. 因为,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,,33322x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故正确； C.将()f x 的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是22sin 22sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故错误；D. 2252sin 22sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 52sin 222sin 233x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2()3f x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故正确；故选：BD12. 已知函数211,1()22(2),1x x f x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，函数()()g x b f x =-，且0b >，则()g x 零点的个数可能为（） A. 4B. 3C. 2D. 1『答案』BCD『解析』函数()()g x b f x =-，且0b >，则()g x 零点的个数，即为函数(0)y b b =>与函数()y f x =在R 上的交点个数，在直角坐标系中画出函数(0)y b b =>和函数()y f x =的图象如下：由图象可知，函数(0)y b b =>和函数()y f x =可能有1个，2个或3个交点，所以()g x 零点的个数可能为1,2,3. 故选：BCD ．三、填空题13. 若1sin 63x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 3x π⎛⎫+=⎪⎝⎭________. 『答案』13-『解析』632x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴326x x πππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，则1cos cos sin 32663x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：13-．14. 当0x >时，函数2()1xf x x =+的最大值为________.『答案』12『解析』0x，∴211()11212x f x x x x x===++⨯，当且仅当1x =时取等号，即函数2()1x f x x =+的最大值为12，故答案为：12．15. 将函数sin y x =图象上所有的点向右平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.『答案』1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 『解析』将函数sin y x =图象上所有的点向右平行移动6π个单位长度，可得函数为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数为1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 16. 某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量 Q 之间的关系为2log 10Qv a =（其中a 、b 是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为18m/s ，则a =________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60 m/s ，其耗氧量至少要________个单位.『答案』 (1). 6 (2). 10240『解析』由题意，知28018log 10a =，解得6a =，所以26log 10Qv =，要使飞行速度不能低于60m/s ，则有60v ≥，即26log 6010Q ≥，即2log 1010Q≥，解得102410Q≥，即10240Q ≥，所以耗氧量至少要10240个单位.故答案为：6；10240四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各式的值：（1）11241814⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯.『解』（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1211234341232⨯⨯⨯⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112322=+-=-；（2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯3325log 4log 36log 52log 2=-+⨯34lg 52lg 2log 36lg 2lg 5=+⨯31log 29=+23log 32-=+220=-+=18. 已知{}2log (32)0A x x =-<∣，{}2(2)20B x x a x a =-++<∣．若A B ⊆，求a 的取值范围. 『解』由2log (32)0x -<，得0321x <-<，解得312x <<，即312A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣，由2(2)20x a x a -++<，得()(2)0x a x --<，当2a =时，B 是空集，不满足A B ⊆，不符合题意，舍去；当2a >时，{}B xx a =<<∣2，不满足A B ⊆，不符合题意，舍去；当2a <时，解得{2}B xa x =<<∣，因为A B ⊆，所以a 的取值范围是1a ≤.19. 已知函数2()2sin sin 26f x xx.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 『解』由已知2()2sin sin26fx xx11cos 22cos 22x x x =-+12cos 212x x =-+sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）函数()f x 的最小正周期T π=；（2）因为,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以72,066x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 20. 某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2150400004y x x =-+，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.『解』（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为14000050501504y x x x =+-≥=，当且仅当1400004x x =，即400x =时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.（2）不获利，设该单位每月获利为W 元，则2110010050400004W x y x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 221115040000(300)1750044x x x =-+-=---，因为[200,500]x ∈，所以300x =时W 取最大值17500-，500x =时W 取最小值27500-，所以[27500,17500]W ∈--.故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.21. 已知定义域为R 的函数13()33xx n f x +-=+是奇函数. （1）求()y f x =的解析式；（2）若428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.『解』（1）因为函数13()33xx n f x +-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即11333333x xx x n n --++--=-++，所以113133333x xx x n n ++⋅--=-++，所以()()3031113x x x n n n ⋅-=-+⇒-+=，可得1n =，函数113()33xx f x +-=+. （2）由（1）知()11313112()333313331x x x x x f x +--==-⋅=-++++所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减. 由428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭，得428log log (42)f x f a x ⎛⎫⋅>-- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是奇函数，所以428log log (24)f x f a x ⎛⎫⋅>- ⎪⎝⎭，所以()42log 3log 24x x a ⋅-<-，整理得()221log 3log 242x x a ⋅-<-，设2log t x =，∈t R ，则()213242t t a -<-，当32t =时，()2132y t t =-有最大值，最大值为98. 所以9248a ->，即4116a >.22. 如图，在Rt △ACB 中，斜边2AB =，1BC =，在以AB 为直径的半圆上有一点D （不含端点），DAB θ∠=，设ABD △的面积1S ，ACD △的面积2S .（1）若2l S S =，求θ；（2）令12S S S =-，求S 的最大值及此时的θ. 『解』因为Rt ACB △中，2AB =，1BC =，所以AC =6BAC π∠=，3ABC π∠=.又因为D 为以AB 为直径的半圆上一点，所以2ADB π∠=.Rt △ADB 中，2cos AD θ=，2sin BD θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.作CF AD ⊥于点F，则6CF πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 1112cos 2sin sin 222S AD BD θθθ=⨯⨯=⨯⨯=，2112cos sin 2266S AD CF ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）若12S S，则sin 2sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为cos 0θ≠，所以2sin 6πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以32sin sin 2θθθ=+，整理得1sin 2θθ=，所以tan θ=3πθ=.（2）sin 2sin 6S πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 2θθθθ⎫=+⎪⎪⎝⎭3sin 2sin 2cos 2)4θθθ=-+1sin 224θθ=-1sin 2234πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为02πθ<<，所以22333πππθ-<-<，当232ππθ-=时，即512πθ=，S有最大值124-.。

2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)

2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8；（3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确；对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确；对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确；对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =，所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥，所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤，所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞．故选：B【点睛】关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=，解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <，即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确；由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确．故选：ABCD ．【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误；最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--，则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点，又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立，当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ，综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根，即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===；（2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=；（3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0．【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0，即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0；（2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦，由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>，当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π，所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+，又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=，可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元．【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可．（2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =．所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3．答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。

人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)

故选：B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）且；
（3）且为等差数列；
（4）为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，所以，即，
又因为为的内角，
所以．
解得，，
，；
（2），
，
又，由题得，即，
，即
由题知且，故，
故，
故只需考虑，时，时，时，
17.（10分）已知中，点 .
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量， .
（1）若，其中，求坐标；
（2）若与的夹角为，求的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】，
，等号成立时， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

2020-2021学年河北省唐山市某校高一(上)期末考试数学试卷

2020-2021学年河北省唐山市某校高一(上)期末考试数学试卷一、选择题1. 已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，B={3,4}，则A∪(∁U B)=( )A.{2,3,4}B.{1,2,4,5}C.{2,5}D.{2}2. sin(−1080∘)=( )A.−12B.1C.0D.−13. 命题” ∀x∈R，x2−x+1=0 ''的否定为( )A.∀x∈R，x2−x+1≠0B.∃x∈R，x2−x+1=0C.∃x∈R，x2−x+1≠0D.∃x∉R，x2−x+1≠04. 已知a=lge，b=ln0.8，c=20.1，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a5. 已知集合A={y|y=log2x，x<2}，B={y|y=12x,x<2}，则A∩B=( )A.(0,14) B.(0,1) C.(−∞,14) D. (14,1)6. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，则下列关于f(x)说法正确的是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域为[0, +∞)D.在(0, +∞)上单调递减7. 已知函数f(x)=log3x+3x，g(x)=3x+3x，ℎ(x)=x3+3x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为( )A.x2<x3<x1B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x2<x18. “不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.m>12B.0<m<1 C.m>14D.m>1二、多选题下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是( ) A.y=e|x| B.y=e x−e−x C.y=ln(x2+1) D.y=cosx已知a>0，b>0，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有( )A.a+b2≥√a2+b22B.(a+b)(1a+1b)≥4C.22√ab≥a+b D.a+1a+1>1函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )A.f(0)=1B.在区间[−π3,0]上单调递增C.将f(x)的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数D.f(x)=−f(2π3−x)已知函数f(x)={(12)|x|+12,|x|≤1，(x−2)2,|x|>1，函数g(x)=b−f(x)，且b>0，则g(x)零点的个数可能为( )A.4B.3C.2D.1三、填空题已知sinα=−35，α是第四象限角，则tan(α−π4)=________.当x>0时，函数f(x)=xx2+1的最大值为________.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=alog 2Q10（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为 18m/s ，则a =________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s ，其耗氧量至少要________个单位．四、解答题计算下列各式的值. (1)(14)12+√83−8114；(2)2log 32−log 336+log 25×log 54．已知A ={x|log 2(3−2x )<0}，B ={x|x 2−(a +2)x +2a <0}．若A ⊆B ，求a 的取值范围．已知函数f (x )=2sin 2x +sin (2x +π6)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[−π2,π12]，求f (x )的值域．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y =14x 2−50x +40000，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？(2)该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求出月最大利润；如果不获利，求出月最大亏损额．已知定义域为R 的函数f (x )=n−3x3+3x+1是奇函数． (1)求y =f (x )的解析式；(2)若f (log 4x ⋅log 28x )+f (4−2a )>0恒成立，求实数a 的取值范围．如图，在Rt △ACB 中，斜边AB =2，BC =1，在以AB 为直径的半圆上有一点D （不含端点）， ∠DAB =θ ，设△ABD 的面积S 1，△ACD 的面积S 2.(1)若S 1=S 2，求θ；(2)令S =S 1−S 2，求S 的最大值及此时的θ.参考答案与试题解析2020-2021学年河北省唐山市某校高一(上)期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用补集的思想解得C U B，再利用集合的并集得解.【解答】解：由题设∁U B={1,2,5}，所以A∪(∁U B)={1,2,4,5}.故选B.2.【答案】C【考点】诱导公式【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值得解.【解答】解：sin(−1080∘)=sin[360∘×(−3)+0∘]=sin0∘=0.故选C.3.【答案】C【考点】全称命题与特称命题【解析】利用全称命题的否定为特称命题，进行“改量词，否结论”即可.【解答】解：命题∀x∈R，x2−x+1=0为全称命题，其否定为特称命题，其否定为∃x∈R，x2−x+1≠0.故选C.4.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用a=lge<log e e=1，b=ln0.8 \lt ln1=0，c=20.1>20=1，可得解. 【解答】解：因为0<a=lge<lne=1，b=ln0.8<ln1=0，c=20.1>20=1，所以b<a<c.故选B.5.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：已知A={y|y=log2x，x<2}，B={y|y=12x，x<2}，则A={y|y<1}，B={y|y>14}，∴ A∩B=(14,1).故选D.6.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．【解答】解：由题意，设幂函数f(x)=xα.∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，∴2α = √22，解得α = − 12，∴f(x) =x−12=√x，∴y=f(x)的定义域为(0, +∞)，且在(0, +∞)上单调递减，故选项C错误，选项D正确；∵函数y=f(x)的定义域为(0, +∞)，不关于原点对称，∴函数y=f(x)不具有奇偶性，故选项A错误，选项B错误.故选D.7.【答案】A【考点】函数的零点【解析】利用代值验证函数的零点.【解答】解：令f(x)=log3x+3x=0，解得x1=13.当x=0时，g(0)=1，当x=−1时，g(−1)=−83<0，所以x2∈(−1,0).令ℎ(x)=x3+3x=0，解得x3=0，所以x2<x3<x1.故选A.8.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断不等式恒成立的问题【解析】先求出不等式mx2+x+m>0在R上恒成立的充要条件，再利用充分必要条件的判定即可得到结论. 【解答】解：当m>0时，要使不等式mx2+x+m>0在R上恒成立，则Δ=12−4m2<0，解得m>12，故“不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>14.故选C.二、多选题【答案】A,C 【考点】函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合【解析】函数是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增，故正确；f(x)=e x−e−x,f(−x)=e−x−e x=−f(x)，函数为奇函数，故错误；y=f(x)=ln(x2+1)，f(−x)=ln(x2+1)=f(x)，函数为偶函数，由复合函数的单调性得(0,+∞)单调递增，故正确；y=cosx是偶函数，但在(0,+∞)不具备单调性，故错误.【解答】解：对于A，y=f(x)=e|x|，f(−x)=e|−x|=f(x)，函数是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，故该选项正确；对于B，y=f(x)=e x−e−x，f(−x)=e−x−e x=−f(x)，函数为奇函数，故该选项错误；对于C，y=f(x)=ln(x2+1)，f(−x)=ln(x2+1)=f(x)，函数为偶函数.由复合函数的单调性得，函数在(0,+∞)上单调递增，故该选项正确；对于D，y=cosx是偶函数，但在(0,+∞)上不具备单调性，故该选项错误.故选AC.【答案】B,C,D【考点】基本不等式不等式性质的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由a2+b2≥2ab，得2(a2+b2)≥(a+b)2，所以√a2+b22≥a+b2，故A错误；由a>0，b>0，得(a+b)(1a+1b)=2+ab+ba≥2+2√ab⋅ba=4，当且仅当ab=ba，即a=b时等号成立，故B正确；由a>0，b>0，得(a2+b2)2−ab(a+b)2=(a−b)(a3−b3)=(a−b)2(a2+ab+b2)≥0，即(a2+b2)2≥ab(a+b)2，所以(a 2+b2)2ab≥(a+b)2，即22√ab≥a+b，故C正确；由a>0，得a+1>1，所以a+1a+1=(a+1)+1a+1−1≥2√(a+1)⋅1a+1−1=1，当且仅当(a+1)=1a+1，与a>0矛盾，故等号不成立，所以a+1a+1>1，故D正确.故选BCD.【答案】B,D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性【解析】由函数的图象得f(x)=2sin(2x+π3)，在逐项分析得解. 【解答】解：由图象得A=2，34T=7π12−(−π6)，则T=π=2πω，解得ω=2.将(−π6,0)代入f(x)=2sin(2x+φ)，解得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)，所以f(0)=2sinπ3=√3，故A错误；令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，当k=0时，单调递增区间为[−5π12,π12]，[−π3,0]在[−5π12,π12]内，故B正确；将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到的函数解析式为：g(x)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3)，显然不是偶函数，故C错误；f(2π3−x)=2sin[2(2π3−x)+π3]=2sin(5π3−2x)=2sin[2π−(2x+π3)]=−2sin(2x+π3)，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数的零点分段函数的应用【解析】函数零点的个数可转化为b=f(x)的解，其中b>0，即y=b与y=f(x)的交点的个数，由图象可得交点的个数可能为1个，2个，3个【解答】解：作出函数f(x)的图象，如图所示，函数g(x)=b−f(x)零点的个数可转化为b=f(x)的解，其中b>0，即y=b与y=f(x)的交点的个数，由图象可得交点的个数可能为1个，2个，3个.故选BCD.三、填空题【答案】−7【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的正切公式【解析】由α为第四象限角，得到cosα的值大于0，进而根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，可得出tanα的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵ sinα=−35，α是第四象限角，∴ cosα=√1−sin 2α=45，∴ tanα=sinαcosα=−34，则tan(α−π4)=tanα−11+tanα=−34−11−34=−7．故答案为：−7. 【答案】 12【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式进行求解即可. 【解答】解：∵ x >0， ∴ f (x )=x x 2+1=1x+1x≤2√x⋅1x=12，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立， ∴ 函数f (x )的最大值为12. 故答案为：12.【答案】 y =sin (12x −π6)【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的平移变换及周期变换得到答案即可. 【解答】解：将函数y =sinx 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，得y =sin (x −π6).再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得y =sin (12x −π6)，故所得图象的函数解析式为y =sin (12x −π6).故答案为：y =sin (12x −π6). 【答案】 6,10240【考点】对数及其运算函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，v =alog 2Q10（其中a 是实数），当该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为 18m/s ，故18=alog 28010，解得a =6， ∴ v =6log 2Q 10.若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s ，则v =6log 2Q 10≥60，则log 2Q10≥log 2210，解得Q ≥10240，即耗氧量至少要10240个单位. 故答案为：6；10240. 四、解答题【答案】解：(1)原式=12+2−3=−12.(2)原式=log 34−log 336+log 25×2log 52 =log 319+2=−2+2 =0.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)原式=12+2−3=−12.(2)原式=log34−log336+log25×2log52=log319+2=−2+2=0.【答案】解：由log2(3−2x)<0，得0<3−2x<1，解得1<x<32，即A={x|1<x<32}．由x2−(a+2)x+2a<0，得(x−a)(x−2)<0.当a≥2时，A⊈B，不符合题意，舍去；当a<2时，则B={x|a<x<2}．因为A⊆B，所以a的取值范围是a≤1．【考点】集合的包含关系判断及应用一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由log2(3−2x)<0，得0<3−2x<1，解得1<x<32，即A={x|1<x<32}．由x2−(a+2)x+2a<0，得(x−a)(x−2)<0.当a≥2时，A⊈B，不符合题意，舍去；当a<2时，则B={x|a<x<2}．因为A⊆B，所以a的取值范围是a≤1．【答案】解：(1)由已知f(x)=2sin2x+sin(2x+π6) =1−cos2x+√32sin2x+12cos2x=√32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1，∴函数f(x)的最小正周期T=π.(2)因为x∈[−π2,π12]，所以2x−π6∈[−7π6,0]，所以sin(2x−π6)∈[−1,12]．所以f(x)∈[0,32]．【考点】三角函数的周期性及其求法二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知f(x)=2sin2x+sin(2x+π6) =1−cos2x+√32sin2x+12cos2x=√32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1，∴函数f(x)的最小正周期T=π.(2)因为x∈[−π2,π12]，所以2x−π6∈[−7π6,0]，所以sin(2x−π6)∈[−1,12]．所以f(x)∈[0,32]．【答案】解：(1)由题意可知，二氧化硫每吨的平均处理成本为：y x =14x+40000x−50≥2√14x⋅40000x−50=150，当且仅当14x=40000x，即x=400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元．(2)不获利．设该单位每月获利为W元，则W=100x−y=100x−(14x2−50x+40000)=−14x2+150x−40000=−14(x−300)2−17500．因为x∈[200,500]，所以W∈[−27500,−17500]，故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，二氧化硫每吨的平均处理成本为：y x =14x+40000x−50≥2√14x⋅40000x−50=150，当且仅当14x=40000x，即x=400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元．(2)不获利．设该单位每月获利为W元，则W=100x−y=100x−(14x2−50x+40000)=−14x2+150x−40000=−14(x−300)2−17500．因为x∈[200,500]，所以W∈[−27500,−17500]，故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元．【答案】解：(1)因为函数f(x)=n−3x3+3x+1是定义在R上的奇函数，所以f(0)=n−13+3=0，所以n−1=0，即n=1．所以函数f(x)=1−3x3+3x+1．(2)由(1)知f(x)=1−3x3+3x+1=−13⋅[3x+1−23x+1]=−13+23⋅(3x+1)，所以f(x)在R上单调递减．由f(log4x⋅log28x)+f(4−2a)>0，得f(log4x⋅log28x)>−f(4−2a).因为函数f(x)是奇函数，所以f(log4x⋅log28x)>f(2a−4)，所以log4x(3−log2x)<2a−4，整理得12log2x(3−log2x)<2a−4.设t=log2x，t∈R，则12(3t−t2)<2a−4.当t=32时，12(3t−t2)有最大值，最大值为98，所以2a−4>98，即a>4116．【考点】函数奇偶性的性质函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为函数f(x)=n−3x3+3x+1是定义在R上的奇函数，所以f(0)=n−13+3=0，所以n−1=0，即n=1．所以函数f(x)=1−3x3+3x+1．(2)由(1)知f (x )=1−3x 3+3x+1=−13⋅[3x +1−23x +1]=−13+23⋅(3x +1)，所以f (x )在R 上单调递减．由f (log 4x ⋅log 28x )+f (4−2a )>0，得f (log 4x ⋅log 28x )>−f (4−2a ). 因为函数f (x )是奇函数，所以f (log 4x ⋅log 28x )>f (2a −4)，所以log 4x (3−log 2x )<2a −4，整理得12log 2x (3−log 2x )<2a −4.设t =log 2x ，t ∈R ，则12(3t −t 2)<2a −4.当t =32时，12(3t −t 2)有最大值，最大值为98，所以2a −4>98，即 a >4116．【答案】解：(1)在Rt △ACB 中，AB =2，BC =1，所以AC =√3，∠BAC =π6，∠ABC =π3．又因为D 为以AB 为直径的半圆上的一点，所以∠ADB =π2．在Rt △ADB 中，AD =2cosθ，BD =2sinθ，θ∈(0,π2). 过点C 作CF ⊥AD 于点F ，则CF =√3sin (θ+π6)，则S 1=12AD ⋅BD=12×2cosθ×2sinθ =sin2θ， S 2=12AD ⋅CF=12×2cosθ×√3sin(θ+π6） =√3cosθsin(θ+π6). 若S 1=S 2，则sin2θ=√3cosθsin(θ+π6). 因为cosθ≠0，所以2sinθ=√3sin(θ+π6)，所以2sinθ=32sinθ+√32cosθ，整理得12sinθ=√32cosθ，所以tanθ=√3，所以θ=π3．(2)由(1)得，S =sin2θ−√3cosθsin (θ+π6)=sin2θ−√3cosθ(√32sinθ+12cosθ)=sin2θ−34sin2θ−√34(1+cos2θ)=14sin2θ−√34cos2θ−√34 =12sin(2θ−π3)−√34. 因为0<θ<π2，所以−π3<2θ−π3<2π3，当2θ−π3=π2，即θ=5π12时，S 有最大值为12−√34．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值在实际问题中建立三角函数模型函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在Rt△ACB中，AB=2，BC=1，所以AC=√3，∠BAC=π6，∠ABC=π3．又因为D为以AB为直径的半圆上的一点，所以∠ADB=π2．在Rt△ADB中，AD=2cosθ，BD=2sinθ，θ∈(0,π2). 过点C作CF⊥AD于点F，则CF=√3sin(θ+π6)，则S1=12AD⋅BD=12×2cosθ×2sinθ=sin2θ，S2=12AD⋅CF=12×2cosθ×√3sin(θ+π6）=√3cosθsin(θ+π6).若S1=S2，则sin2θ=√3cosθsin(θ+π6). 因为cosθ≠0，所以2sinθ=√3sin(θ+π6)，所以2sinθ=32sinθ+√32cosθ，整理得12sinθ=√32cosθ，所以tanθ=√3，所以θ=π3．(2)由(1)得，S=sin2θ−√3cosθsin(θ+π6)=sin2θ−√3cosθ(√32sinθ+12cosθ)=sin2θ−34sin2θ−√34(1+cos2θ)=14sin2θ−√34cos2θ−√34=12sin(2θ−π3)−√34.因为0<θ<π2，所以−π3<2θ−π3<2π3，当2θ−π3=π2，即θ=5π12时，S有最大值为12−√34．。

2021-2022学年河北省唐山市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省唐山市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}=Z 03A x x ∈≤≤，{}N 3B x x =∈<，则A B =（） A ．{}0,1,2 B ．{}0,1,3C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】A【分析】由集合的交运算求A B 即可.【详解】由题设，A B ={0,1,2,3}⋂{0,1,2}{0,1,2}=. 故选：A.2．函数()lg f x x = ） A ．()0,4 B ．()1,2C ．(]0,2D ．(]1,2【答案】C【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数不小于0可得．【详解】由题意240x x >⎧⎨-≥⎩，解得02x <≤．故选：C ．3．设命题():0,1p x ∀∈3x ，则p ⌝为（）A ．()0,1x ∀∈3xB ．()0,1x ∃∈3xC ．()0,1x ∀∈3xD ．()0,1x ∃∈3x【答案】D【分析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题():0,1p x ∀∈3x ，所以p ⌝： ()0,1x ∃∈3x . 故选：D4．函数()(0,1)x f x a a a =>≠对于任意的实数x 、y 都有（） A ．()()()f xy f x f y = B ．()()()f x y f x f y += C ．()()()f xy f x f y =+ D ．()()()f x y f x f y +=+ 【答案】B【分析】由指数的运算性质得到x y x y a a a +=⋅，逐一核对四个选项即可得到结论.【详解】解：由函数()(0,1)x f x a a a =>≠，得()()()x y x y f x y a a a f x f y ++==⋅=⋅，所以函数()(0,1)x f x a a a =>≠对于任意的实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=. 故选：B.【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题. 5．已知0.3log 2a =，0.33b =，20.3c =，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A【分析】利用指数函数的单调性得到01c b <<<，再利用对数函数的单调性得到0a <，从而比较出a ，b ，c 的大小关系．【详解】解：2000.30.31<<=，0.30331>=01c b ∴<<<，0.30.3log 2log 10<=，0a ∴<，a cb ∴<<，故选：A ．6．已知()()()()sin cos 3sin cos 2αππααπα-+-=-+-，则tan α等于（） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3【答案】B【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为tan 13tan 1αα--=-+，即可求值.【详解】()()()()sin cos sin cos tan 13sin cos 2sin cos tan 1αππαααααπαααα-+-----===-+--+-+， ∴tan 13tan 3αα--=-+，可得tan 2α=. 故选：B.7．已知x ，y 是实数，则“x y >”是“33x y >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若x y >，则223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则0x y ->，即x y >，所以33x y x y >⇔> ，即“x y >”是“33x y >”的充要条件，故选：C.8．在下列区间中，函数()23xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用零点存在定理即可判断.【详解】函数()23xf x e x =+-的定义域为R .因为函数,23x y e y x ==-均为增函数，所以()23xf x e x =+-为R 上的增函数.又()0120320f e =+⨯-=-<，114211552304422f e e ⎛⎫=+⨯-<-=< ⎪⎝⎭，1211232022f e ⎛⎫=+⨯-=< ⎪⎝⎭，334433112304422f e e ⎛⎫=+⨯-=->> ⎪⎝⎭.由零点存在定理可得：()f x 的零点所在的区间为13,24⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C 二、多选题9．要得到sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位，再把横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向右平移4π个单位，再把横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移8π个单位D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位【答案】BD【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得结论；【详解】解：将sin y x =向右平移π个单位得到sin y x π⎛⎫=-，再将sin y x π⎛⎫=-横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确，A 错误；将sin y x =横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =向右平移8π个单位得到sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确，C 错误；故选：BD10．已知两个不为零的实数x ，y 满足x y >，则下列结论正确的是（） A ．11x y> B ．11x y< C ．2x yy x+≥D ．22222x y x y ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】由基本不等式判断CD ，由不等式的性质（举反倒判断AB ）．【详解】当0x y >>时，得11x y<，A 错；当0x y >>时，11x y>，B 错；0,0x y y x >>，2x y y x+≥=，当且仅当x y =时，等号成立．C 正确；,x y 是实数，则222x y xy +≥，222222()2()x y x xy y x y +≥++=+，所以22222x y x y ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，D 正确．故选：CD ．11．下列函数中，既是奇函数又在区间()5,6内是减函数的是（） A ．x x y e e -=- B ．y x x =- C ．sin y x =- D ．33x x y -=+【答案】BC【分析】对于A ：由x x y e e -=-为增函数否定结论；对于B ：由奇偶性的定义和二次函数的单调性直接判断；对于C ：由奇偶性的定义和正弦函数的单调性直接判断；对于D ：由奇偶性的定义直接判断.【详解】对于A ：因为x y e =和x y e -=-为增函数，所以x x y e e -=-为增函数，故A 错对于B ：y x x =-的定义域为R..记()f x x x =-.因为()()()f x x x x x f x -=---==-，所以()f x x x =-为奇函数.因为()220x x f x x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩. 当0x ≥时，()2f x x =-为减函数，所以在区间()5,6内是减函数.故B 正确；对于C ：sin y x =-为奇函数.因为35622ππ<<<，所以在区间()5,6内是减函数.故C 正确；对于D ：33x x y -=+定义域为R.记()33x x f x -=+，因为()()33x xf x f x --=+=，所以33x x y -=+为偶函数，故D 错误.故选：BC.12．已知函数()f x 的定义域为R ，()()4f x f x +=，()()11f x f x +=-，且当[]1,1x ∈-时，()41xf x =-，则以下结论正确的是（）A ．()20220f =B ．()()12G x f x =-在[]2,4-内零点之和为6C ．()f x 在区间[]4,5内单调递减D ．()f x 在2,6内的值域为[]0,3【答案】ABD【分析】由题设()f x 的周期为4且关于1x =对称，结合区间解析式画出()f x 的部分图象，应用数形结合法及图象的对称性、周期性判断各选项的正误. 【详解】由题设，()f x 的周期为4且关于1x =对称， ∴()2022(45052)(2)(0)0f f f f =⨯+===，A 正确；又[]1,1x ∈-时()41xf x =-，可得()f x 的部分图象如下：由图知：()()12G x f x =-在[]2,4-内6个零点关于1x =对称，故零点之和为6，B 正确；由图象及对称性知：()f x 在[]4,5内单调递增，在2,6内的值域为[]0,3，C 错误，D 正确. 故选：ABD. 三、填空题13．cos75sin135sin 45cos15︒︒+︒︒=______． 3【分析】利用诱导公式和两角和公式即可求得. 【详解】由诱导公式可得：()3cos 75sin135sin 45cos15sin15cos 45sin 45cos15sin 1545sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=.314．幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()4f =______．【答案】64【分析】由幂函数()y f x x α==的图象过点()2,8，求出()3f x x =，由此能求出()4f ．【详解】幂函数()y f x x α==的图象过点()2,8，28α∴=，解得3α=，()3f x x ∴=，()34464f ∴==．故答案为64．15．不等式tan 14x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】,4k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，k Z ∈【分析】根据正切函数性质求解、【详解】由正切函数性质，由tan 14x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得442k x k πππππ+≤+<+，Z k ∈，所以4k k x πππ≤<+，Z k ∈，故答案为：[,)4k k πππ+，Z k ∈．四、双空题16．已知函数()()13,,,22132,,.22cos x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪--∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩①()5f =______；②函数()f x 与函数112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，二者图象有______个交点．【答案】 14--0.25 3【分析】①根据函数解析式，代值求解即可；②在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果. 【详解】①由题可知：()()()1111531cos 2444f f f π=-===-； ②根据()f x 的解析式，在同一坐标系下绘制()f x 与112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象如下所示：数形结合可知，两个函数有3个交点. 故答案为：14-；3.五、解答题(1)2lg 2lg 2lg 5lg 5++；(2)(sin 40tan10︒︒．【答案】(1)1 (2)1-【分析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得. (1)原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5 ＝lg2＋lg5 ＝1 (2)原式＝sin40°(sin10cos10︒︒＝＝2sin 40sin(50)cos10︒︒︒- ＝2sin 40cos 40cos10︒︒︒- ＝sin 80cos10︒︒- ＝cos10cos10︒︒- ＝－118．设函数()22sin cos 2cos cos 3f x x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)求函数()f x 在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值以及此时对应的x 的值．【答案】(1)π(2)5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ (3)()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值为32，此时3x π=【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得()f x ＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12根据周期公式计算即（2）令2π＋2k π≤2x －6π≤32π＋2k π，k Z ∈，计算即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由0≤x ≤2π，可得－6π≤2x －6π≤56π，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的x的值． (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋2cos x cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos2x ＋2cos x cos cos sin sin 33x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos2x ＋1cos22x +xx －12cos2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12．函数f (x )的最小正周期为T ＝22π＝π． (2)令2π＋2k π≤2x －6π≤32π＋2k π，k Z ∈，解得3π＋k π≤x ≤56π＋k π，k Z ∈，函数f (x )的单调递减间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． (3)因为0≤x ≤2π，－6π≤2x －6π≤56π，所以1sin 2 1.26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，f (x )有最大值为32．19．已知关于x 的不等式：()23130ax a x -++<．(1)当2a =-时，解此不等式； (2)当0a >时，解此不等式．【答案】(1)1{|2x x <-或}3x >(2)当13a =时，解集为∅；当103a <<时，解集为1{|3}x x a <<；当13a >时，解集为1{|3}x x a<< 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可变形为(x －3)(x －1a )＜0，然后分a ＝13、0＜a ＜13、a ＞13三种情况讨论(1)当a ＝－2时，不等式－2x 2＋5x ＋3＜0整理得(2x ＋1)(x －3)＞0，解得x ＜－12或x ＞3，当a ＝－2时，原不等式解集为{x |x ＜－12或x ＞3}． (2)当a ＞0时，不等式ax 2－(3a ＋1)x ＋3＜0整理得：(x －3)(x －1a)＜0，当a ＝13时，1a ＝3，此时不等式无解；当0＜a ＜13时，1a ＞3，解得3＜x ＜1a ；当a ＞13时，1a ＜3，解得1a ＜x ＜3；综上：当a ＝13时，解集为∅；当0＜a ＜13时，解集为{x |3＜x ＜1a }；当a ＞13时，解集为{x |1a ＜x ＜3}.20．某工厂以kg/h x 的速度生产运输某种药剂（生产条件要求边生产边运输且310x <≤），每小时可以获得的利润为8100212x x ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭元． (1)要使生产运输该药品3h 获得的利润不低于4500元，求x 的取值范围； (2)x 为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？【答案】(1)[]6,10；(2)当x 为4kg/h 时，每小时获得的利润最小，最小利润为1300元. 【分析】（1）由题设可得2x ＋1＋82x -≥15，结合310x <≤求不等式的解集即可. （2）应用基本不等式求y ＝100(2x ＋1＋82x -)的最小值，并求出对应的x 值. (1)依题意得：3×100(2x ＋1＋82x -)≥4500，即2x ＋1＋82x -≥15，由3＜x ≤10，故82x -＞0，可得x 2－9x ＋18≥0，即(x －3)(x －6)≥0，解得x ≤3或x ≥6， ∴x 的取值范围为[6,10]. (2)y ＝100(2x ＋1＋82x -)＝100[2(x －2)＋82x -＋5]＝100(8＋5)＝1300，当2(x －2)＝82x -时取等号，此时x ＝4．于是当生产运输速度为4kg/h ，每小时获得的利润最小，最小值为1300元．21．已知函数())lnf x ax =是奇函数． (1)求实数a 的值；(2)当0a >时，①判断()f x 的单调性（不要求证明）；②对任意实数x ，不等式()()2sin cos 320f x x f m ++-<恒成立，求正整数m 的最小值．【答案】(1)1a =或1a =-(2)①()f x 在R 上单调递增②3【分析】（1）依题意可得()()0f x f x +-=，即可得到方程，解得即可；（2）①根据复合函数的单调性判断可得；②根据函数的单调性与奇偶性可得2sin cos 23x x m +<-在R 上恒成立，由22155sin cos cos 244x x x ⎛⎫+=--+≤ ⎪⎝⎭，即可得到不等式，解得m 的取值范围，即可得解； (1)解：因为函数())ln f x ax =是一个奇函数，所以()()0f x f x +-=，即))lnln 0ax ax +=，可得)1ax ax =，即()22211x a x -+=，则220(1)a x -＝，得1a =或1a =-．此时定义域为R ，满足题意.(2)①因为0a >，所以1a =．函数())ln f x x =，定义域为R ，因为y x 与ln y x =在定义域上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增． ②对任意实数x ，2sin cos 32()0()f x x f m ++-<恒成立，2sin cos 3()()()223f x x f m f m +-=-<-，由①知函数()f x 在R 上单调递增，可得2sin cos 23x x m +<-在R 上恒成立．因为222155sin cos 1cos cos cos 244x x x x x ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以5234m ->，即178m >．于是正整数m 的最小值为3．22．如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，23CD =，DAB CDB θ∠=∠=，02πθ<<，2ADB π∠=，BE CD ⊥于点E ．(1)求四边形ABCD 面积的最大值；(2)求DA DB DE ++的取值范围．【答案】(1)23+(2)(2,122+【分析】（1）依题意可得2cos DA θ=，2sin DB θ=，再由CDB θ∠=，得到22sin BE θ=，2sin cos DE θθ=，再根据ABCD DAB DCB S S S =+四边形，利用三角恒等变换化简2sin 233ABCD S πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭四边形（2）依题意可得2cos 2sin 2sin cos DA DB DE θθθθ++=++，再令cos sin t θθ=+，则22)1(DA DB DE t ++=-+，再根据二次函数的性质计算可得；(1)解：因为90ADB ∠=︒，2AB =，DAB θ∠=，所以2cos DA θ=，2sin DB θ=.又因为CDB θ∠=，所以2sin 2sin BE BD θθ==，2sin cos DE θθ=．则ABCD DAB DCB S S S =+四边形1122DA DB DC BE =⨯⨯+⨯⨯ 22sin cos 23θθθ=+)sin 21cos2θθ=-2sin 23πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为02πθ<<，22333πππθ-<-<，所以sin 213πθ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ-=时，即512πθ=时，S 四边形ABCD 最大值为2 (2) 解：2cos 2sin 2sin cos DA DB DE θθθθ++=++．设cos sin t θθ=+，则()2222cos sin cos 2cos sin sin 12cos sin t θθθθθθθθ=+=++=+，所以22cos sin 1t θθ=-，则222(11)2DA DB DE t t t =-++++-=.因为4t πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，02πθ<<，所以(t ∈．而22)1(DA DB DE t ++=-+在(单调递增，可得DA DB DE ++的取值范围(2,1+．。

浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。