全新高考数学一轮函数仿真课件2-1034页PPT文档
全新高考数学一轮函数仿真课件2-4
答案：D
1 3．函数y＝5x与函数y＝－ x的图像关于( 5 A．x轴对称 C．原点对称 B．y轴对称 D．直线y＝x对称
)
1 － 解析：因为y＝－ x＝－5 x，所以关于原点对称. 5
答案：C
4．设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1) 与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
答案：(1)A (2)C
解后反思：对于给定函数的图像，要能从图像的 左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面 研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶 性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关 系，常用的方法有：①定性分析法：通过对问题 进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降) 的趋势，利用这一特征分析解决问题．②定量计 算法：通过定量的计算来分析解决问题．③函数 模型法：由所提供的图像特征，联想相关的函数 模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
x＋3 2．(2009· 北京)为了得出函数y＝lg 的图像，只需把函数y 10 ＝lgx的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
＋ ＋
＋
(3)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图像完全相同， 又y＝sin|x|为偶函数，其图像关于y轴对称，如图 ③. (4)首先作出y＝log2x的图像c1 ，然后将c1 向左平 移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图像c2，再把c2 在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像，即为所 求函数y＝|log2(x＋1)|图像c3.如图④(实线部分)．
函数与方程版高三数学(新高考)一轮复习课件PPT
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[解析] (1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0. 若f(1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f(2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f(4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D． (2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c， 则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分 别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．
函数与方程版高三数学（新高考）一 轮复习 课件PPT 【PPT 实用课 件】
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] A．函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．B．函数图象若没有 穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.C．若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．D．y ＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．故 选A、B、C、D．
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第二章 函数、导数及其应用
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考点一 函数的零点
考向1 确定函数零点所在区间——自主练透
例 1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下 列命题正确的是( D )
新高考一轮复习人教A版第二章第一讲函数的概念及其表示课件(43张)
题组一 走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的函数.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相 等.( )
(3)已知 f(x)＝5(x∈R)，则 f(x2)＝25.( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
B.y＝ 3 x3 ＋1
D.y＝ x2＋1
题组三 真题展现
4.(2019 年上海春季)下列函数中，值域为[0，＋∞)的
是( ) A.y＝2x
1
B.y＝x 2
C.y＝tan x
D.y＝cos x
答案：B 5.(2020 年北京)函数 f(x)＝x＋1 1＋ln x 的定义域是 ________.
答案：(0，＋∞)
所以 f(15)＝f(－1)＝12，因此 f(f(15))＝f12＝cos
π4＝
2 2.
答案：
2 2
考向 2 分段函数与方程、不等式问题
[例 5](1)设函数 f(x)＝32xx，－xb≥，1x.<1， 若 ff56＝4，则
b＝( )
A.1
B.78
C.34
D.21
解析：f56＝3×56－b＝52－b，若25－b<1，即 b>23，则 ff56＝f25－b＝352－b－b＝4，解得 b＝87，不合题意舍 去.若52－b≥1，即 b≤23，则 252－b＝4，解得 b＝12.
原不等式化为 2x＋x＋21>1，该不等式恒成立；
当
x>12时，f(x)＋fx－12＝2x＋2
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.10 函数的图象
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第二章 函 数§2.10 函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练内容索引第一部分1.利用描点法作函数图象的方法步骤：、、 .列表描点连线2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换f(x)＋kf(x＋h)f(x－h)f(x)－k(2)对称变换①y ＝f (x ) y ＝ .②y ＝f (x ) y ＝ .③y ＝f (x ) y ＝ .④y ＝a x (a >0，且a ≠1) y ＝ .－f (x )f (－x )－f (－x )log a x (a >0，且a ≠1)(3)翻折变换①y ＝f (x ) y ＝ .②y ＝f (x ) y ＝ .|f (x )|f (|x |)常用结论1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换.2.函数图象自身的对称关系(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x).常用结论3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝|f (x )|为偶函数.( )(2)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位长度得到.( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同.( )(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称.( )××××√2.函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为√A.0B.1C.2D.3由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点.3.函数y＝f(x)的图象与y＝e x的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右e－x＋1平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.∵f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.第二部分例1 作出下列各函数的图象：(1)y＝|log2(x＋1)|；将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示.(3)y＝x2－2|x|－1.思维升华函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域.跟踪训练1 作出下列各函数的图象：(1)y＝x－|x－1|；(3)y＝|log2x－1|.先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示.例2 (1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝的图象大致为√由解析式知，定义域为{x|x≠0}，(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是√对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；思维升华识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.√√所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故选项A，C错误；当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，故选项D错误，选项B正确.命题点1 利用图象研究函数的性质例3 (多选)已知函数f (x )＝ ，则下列结论正确的是A.函数f (x )的图象关于点(1,2)成中心对称B.函数f (x )在(－∞，1)上单调递减C.函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴D.函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称√√所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；命题点2 利用图象解不等式例4 (2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为√根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，命题点3 利用图象求参数的取值范围例5 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是A.(0,1)B.[0,1)√C.(1,3)∪{0}D.[1,3)∪{0}因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示，所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为√A.1B.2C.3D.4把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________.第三部分1.为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象√A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象.√方法一 (特值法)方法二 令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D；3.(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是√4.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为√要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确.5.已知f (x )是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x ≤0时，f (x )的图象如图所示，则不等式 <0的解集为A.(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]B.(－π，－2)∪(π，5]C.[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]D.[－5，－2)∪(π，5]√因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得f(x)>0的解集为[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集为(－2,2)，当x∈[－5,5]时，sin x>0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x<0的解集为(－π，0)∪(π，5]，。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.12 函数模型的应用
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A； 根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.
教材改编题
3.某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位： 元)之间的关系为y＝－2x52 ＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当 日售价为___1_5_0___元.
的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要
“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)
A.4
B.5
√C.6
D.7
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn， 则vn＝100×0.9n－1. 由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6， 则(n－1)ln 0.9<ln 0.6， 即 n－1>llnn 00..69≈－－00..150115≈4.87，则 n>5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为6.
√A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物
发挥治疗作用
√B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于
2小时，一定会产生药物中毒
√C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗 作用，A正确； 根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最 大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物 中毒，B正确；
回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全
高考数学第一轮复习函数的应用课件
若求曲线关于(1,0) 的对称曲线方程？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 2)对于R上可导的任意函数 f ( x )，若 满足( x 1) f ( x ) 0, 则必有( ) A、f (0) f ( 2) 2 f (1) B、f (0) f ( 2) 2 f (1) C、f (0) f ( 2) 2 f (1) D、f (0) f ( 2) 2 f (1)
x x x
意x R恒成立，求实数 k的取值范围。
练习：已知定义域为 R的函数f ( x )满足 f ( x ) f ( x 4), 当x 2时，f ( x )单调递 增，如果x1 x 2 4且( x1 2)( x 2 2) 0, 则 f ( x1 ) f ( x 2 )的值( A、恒小于0 C、可能为0 ) B、恒大于0 D、可正可负
2
求证：3 l 2 3 .
例6、定义在R上的单调函数 f ( x )满足 f ( 3) log 2 3且对任意的x，y R都有 f ( x y) f ( x) f ( y) (1)求证：f ( x )为奇函数; ( 2)若f ( k 3 ) f ( 3 9 2) 0对任
例2、设函数f ( x )在( ,)上满足 f ( 2 x ) f ( 2 x ), f (7 x ) f (7 x ), 且在[0， 7]上只有f (1) f ( 3) 0. (1)试判断函数y f ( x )的奇偶性； ( 2)试求方程f ( x ) 0在[2005， 2005]上 的根的个数，并证明你 的结论。
导数的应用：函数的单调性、极值、 最值，曲线的切线的斜率。
( 3)定义在R上的函数f ( x )满足f ( x ) f ( x 2), 当x [3， 5]时，f ( x ) 2 x 4 , 则( A、f (sin ) f (cos ) 6 6 B、f (sin 1) f (cos 1) 2 2 C、f (cos ) f (sin ) 3 3 D、f (cos 2) f (sin 2) )
全新高考数学一轮函数仿真课件2-10
由题意，生产x万件化妆品正好销完，所以年利润＝年销收 入－年生产成本－年促销费， －t2＋98t＋35 即y＝ (t≥0)． 2t＋1
t＋1 32 ≤50－2 (2)y＝50－t＋1 32 当且仅当 ＝ ，即t＝7时，ymax＝42. 2 t＋1 故当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．
失误防范 1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正解理解题
意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定 义域． 3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实 际问题的合理性．
中求得的2011年每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解．
设2007～2011年间每年平均生产成本降低的百分率为y，依 题意，得 5 000(1－y)4＝3 200. 2 5 2 5 解得y1＝1－ ，y2＝1＋ (舍去)． 5 5 2 5 y＝1－ ≈0.106≈0.11＝11%. 5 故2007年至2011年生产成本平均每年降低约11%.
第十节 函数模型及其应用
考点精讲 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式
f(x)＝ax＋b 一次函数模型 (a，b为常数，a≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c 二次函数模型 (a，b，c为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c 指数函数模型 (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1) 对数函数模型 幂函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
答案：D
3．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与 年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出
高考数学一轮复习函数的图象ppt课件
• 解析 由题图可知，函数在定义域内为减 函数，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即 logac＞0，所以0＜c＜1.
• 答案 D
基础诊断 考点突破
12
课堂总结
• 4．(2014·丽水模拟)函数y＝xsin x在[－π，π] 上的图象是
•( )
基础诊断 考点突破
13
课堂总结
解析 容易判断函数 y＝xsin x 为偶函数，可排除 D.当 0＜x＜2π 时，y＝xsin x＞0，当 x＝π 时，y＝0，可排除 B，C，故选 A. 答案 A
它们的图象分别向右平移 1 个单位长度得到函数 y＝f(x－1)与 y
＝f(1－x)的图象；即 y＝f(x－1)与 y＝f(1－x)的图象关于直线 x
＝1 对称．
答案 D
基础诊断 考点突破
38
课堂总结
• 点评 本题的难点在于对函数图象的各种 对称的正确理解，熟练掌握这些基础知识 是化解难点的关键．在复习备考中要对函 数图象的各种对称进行总结.
• 解析 (1)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的 解析式可作图如下
• 可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；当x＞10 时，|lg x|＞1.
• 因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．
基础诊断 考点突破
33
课堂总结
• (2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1， ∴a≥－1.
＝xx22－ ＋22xx－ －11
x≥0， x＜0.
图象如图 2.
基础诊断 考点突破
19
课堂总结
考点二 函数图象的辨识 【例 2】(1)(2014·台州三诊)函数 y＝22x|2cxo－s21x|的部分图象大致为
高考数学一轮复习 2.1函数及其表示课件
ppt精选
3
(5)对于三角函数中的y=tan x,有x≠kπ+ ,k∈Z;
2
(6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f(g(x))的定义域,即求g(x)∈D的解集; (7)已知函数f(g(x))的定义域,求函数f(x)的定义域,只需x∈{y|y=g(x)},即求g (x)的值域. 5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式 子来表示,这种函数称为分段函数. 6.复合函数 如果y是u的函数,记为y=f(u),u又是x的函数,记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u) 的定义域的交集非空,则确定了一个y关于x的函数y=f(g(x)),这时y叫做x的 复合函数,其中u叫做中间变量,y=f(u)叫做外层函数,u=g(x)叫做内层函数.
(2)要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1. 解之得x>2或0<x< 1 .
2
故f(x)的定义域为
0
,
12∪ (2,+∞).
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11
1.函数的定义域是研究函数性质的基础.一定要树立函数定义域优先的意 识. 2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法.三者之间是可以互 相转化的.求函数解析式比较常见的方法有:配凑法、换元法、待定系数法 和方程法等.特别注意将实际问题转化为函数问题时,要通过设变量,写出 函数解析式并明确定义域.
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2
2.函数的三要素:① 定义域 ,② 值域 ,对应关系. 3.函数的表示方法主要有:③ 解析法 ,列表法,④ 图象法 . 4.函数的定义域 (1)⑤ 分式 的分母不为零; (2)⑥ 偶次方根 的被开方数大于或等于零; (3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; (4)零次幂的⑦ 底数 不为零;
2025届高中数学一轮复习课件《函数的奇偶性、周期性》PPT
高考一轮总复习•数学
第26页
已知函数奇偶性可以解决的几个问题 (1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值． (4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区 间上的单调性．
高考一轮总复习•数学
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对点练 2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若 f(m)＝2，则 f(－m)
＝( )
A．4
B．5
C．7
D．－2
(2)已知函数 f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且 2 019f(－x)＝2 0119fx，f(x)在[0,1]
高考一轮总复习•数学
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(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1) ＝1.
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售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－
115690(60－x)2＋
119 2
(60－x)(万
元)．问从10年的总利润看，该规划方
案是否具有实施价值？
解析：在实施规划前，由题设P＝－
1 160
(x－40)2＋100知
，每
年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润
解析：由于2009年的垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年的垃 圾量为a＋ab＝a(1＋b) t．同理，可知2019年的垃圾量为a(1＋b)2 t，…， 2019年的垃圾量为a(1＋b)5 t.
答案：a(1＋b) a(1＋b)5
5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产 一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的 函数，K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润L(Q)的最大值是_______．
获得利润P＝－
1 160
(x－40)2＋100(万元)．当地政府拟在新的十年
发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后
对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年
中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修
成，通车前该特产只能在当地销售；
公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销
解析：总利润L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000 ＝－210(Q－300)2＋2 500. 故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元.
答案：2 500元
题型一 一次函数与二次函数模型的应用
例1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销
售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x万元，可
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：
在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax 会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0 时，有ax＞xn.
A．10%
B．12%
C．25%
D．40%
解析：利润300万元，纳税300·p%万元． 年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1 000×2%＝180(万元)， 纳税180·p%万元． 共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)， ∴p%＝14＝25%.
答案：C
4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产 生的垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2019 年的垃圾量为__________t.
考点精练
1．下列函数中，随x的增大而增大，速度最快的是( )
A．y＝ 1010ex
B．y＝100lnx
C．y＝x100
D．y＝100·2x
解析：因指数函数型增长快，又e＞2，则应选A.
答案：A
2．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲 地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到 甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的 时间x的函数图像为( )
第十节 函数模型及其应用
考点精讲
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a，b为常数，a≠0)
二次函数型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1)
解后反思：(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系 是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下 降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单 调性求解．
(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润 问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解 决．
题型二 指数函数模型的应用 例2 某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2019年平均每台电脑 生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2019年开始，公司更新 设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低．预计 2019 年 平 均 每 台 A 种 型 号 的 家 庭 电 脑 尽 管 出 厂 价 仅 是 2019 年 出 厂 价 的 80%，但可实现纯利润50%的高效益． (1)求2019年每台电脑的生产成本； (2)以2019年生产成本为基数，求2019年至2019年生产成本平均 每年降低的百分(精数确．到0.01，以下数据可供参考： 5≈2.236， 6≈2.449)
为W1＝100×10＝1 000(万元)．
实施规划后的前5年中，修建公路的费用为30×5＝150(万
元)，又由题设P＝－
1 160
(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，
利润P＝7895(万元)．
前5年的利润和为7985×5－150＝2 7875(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝[－
1 160
(x－40)2＋100]×5＋(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝－5(x
－30)2＋4 950.
当x＝30时，(W2)max＝4 950(万元)．从而10年的总利润为
2 7875＋4 950(万元)．
∵2 7875＋4 950＞1 000，∴该规划方案有极大实施价值．
(2)对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)： 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总 会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0 时，有logax＜xn.
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的 增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一 个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.
解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不 是位移，用定性分析法不难得到答案D.
答案：D
3．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元 与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超 出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共 纳税120万元．则税率p%为( )