概率论独立性习题及答案

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概率论与数理统计习题集和答案

第1章概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。

A B L R C D1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案§1 .8. 1：用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。

概率论-事件的独立性

P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立．证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则

《概率论》第1章§6独立性

第一章
两两独立三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进行下去，小概率事件几乎必然要发生

概率与统计中的独立性与相关性练习题及解析

概率与统计中的独立性与相关性练习题及解析独立性与相关性是概率与统计中的重要概念，对于理解和应用概率统计理论至关重要。

本文将为读者提供一些关于独立性与相关性的练习题，并附带详细解析。

通过解析这些题目，我们可以更好地理解并运用独立性与相关性的概念。

题目1：假设有一批产品，每个产品质量良好的概率为0.8。

现从中随机抽取3个产品，求以下概率：a) 3个产品质量良好；b) 至少有1个产品质量不良。

解析：a) 由于每个产品质量良好与其他产品的质量无关，我们可以将每个产品的质量视为独立事件。

因此，三个产品全部质量良好的概率为0.8 * 0.8 * 0.8 = 0.512。

b) 求至少有一个产品质量不良的概率，等于1减去没有产品质量不良的概率。

即，1 - 0.512 = 0.488。

题目2：某小组有5个男生和3个女生。

现从小组中随机选取2个人，求以下概率：a) 两个人都是女生；b) 两个人不是同性别。

解析：a) 由于每个人的性别与其他人的性别无关，我们可以将每个人的性别视为独立事件。

因此，两个人都是女生的概率为（3/8） * （2/7） = 6/56 = 3/28。

b) 求两个人不是同性别的概率，可以分为两种情况：一种是第一个人是男生，第二个人是女生；另一种情况是第一个人是女生，第二个人是男生。

两种情况的概率求和即可。

即，（5/8）* （3/7）+ （3/8）* （5/7） = 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28。

题目3：某种疾病在人群中的患病率为0.1。

现从人群中随机选取3个人，求以下概率：a) 三个人都患有该疾病；b) 至少有一个人患有该疾病。

解析：a) 由于每个人患病与其他人的患病无关，我们可以将每个人的患病情况视为独立事件。

因此，三个人都患有该疾病的概率为 0.1 * 0.1 *0.1 = 0.001。

b) 求至少有一个人患有该疾病的概率，等于1减去没有人患有该疾病的概率。

即，1 - 0.9 * 0.9 * 0.9 = 1 - 0.729 = 0.271。

条件概率与事件的独立性例题和知识点总结

条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。

理解它们对于解决各种概率问题至关重要。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。

一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。

例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。

从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。

解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。

则P(A) ＝ 5/8 。

P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。

所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。

例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。

解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。

P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。

所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。

二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。

即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。

例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。

概率论课后习题答案

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤；（2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或；（4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为22,,41p p p -，求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

(完整版)事件的独立性练习题

巩固与提高（事件的独立性）A 组、选择题1若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（A ）A. A 与 AB.A 与 BC. A 与 BD. A 与 B2、抛掷一颗骰子一次，记A 表示事件：出现偶数点，B 表示事件：出现3点或 6点，则事件A 与B 的关系。

（B ）A 、相互互斥事件B 、相互独立事件C 、既相互互斥事件又相互独立事件D 、既不互斥事件又不独立事件3、在下列命题中为假命题的是（B ）A. 概率为0的事件与任何事件都是互相独立的B. 互斥的两个事件一定不是相互独立的，同样互相独立的两个事件也一定不是互斥的C. 必然事件与不可能事件是相互独立的D. 概率为1的事件与任何事件都是相互独立的1 1 4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为 -、-、2 4一次，目标被设计中的概率是（C ）3、填空题5、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则连续三位顾客都使用信用卡的概率为 __________________ 0.0646、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为R ,P 2,P 3,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是 ______________________________ P|P 2 1 F 3 PP 3 1 F 2 F 2 F 3 1 P7、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为 0.8,乙射中的概率为0.9，贝U 2人中至少有一人射中的概率是 _______ 0.98 三、解答题&甲•乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为 -、-、5 517），求: （1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。

解：设甲•乙、丙答题及格分别为事件 A 、B 、C ,则A 、B 、C 相互独立（1）三人中有且只有2人及格的概率为2，现在三人射击一个目标各A. 丄 96B. 47 96C.21 32 D.P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C4 37 4 3 7 437 1131 -1 -1 -5 5 10551055 10 250(2).三人中至少有一人不及格的概率为4 3 783 1 P ABC1 P A P B P C15 5 10125B 组.选择题2•假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-P ,且各引擎是否有故障是独立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（A ） 2 211A .-,1 B. 0,-C.丄，1D 0,丄3334二、填空题3、每门高射炮射击飞机的命中率为 0.6,至少要 ______ 门高射炮独立的对飞机同时进行一次射击就可以使击中的概率超过 0.98. 54、甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为 0.5和 0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率 — ________________ 0.7 三、解答题5、设A 、B 为两个事件，若 P （A ）=0.4, p AUB 0.7,P B x ，试求满足下列条件的X 的值：（1） A 与B 为互斥事件（2） A 与B 为独立事件解：（1）因为A 与B 为互斥事件，所以AI B .故P AI B p AUB --P A -- P B =0.7--0.4—X,所以 X=0.3⑵.因为A 与B 为独立事件，所以P AI B = P A P B ，由此可得，p AUB = P A + P B -- P AI B = P A + P B -- P A P B ，即 0.7=0.4+X-0.4X 解得 X=0.51.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件 A 发生的概率P （ A ）是（A ）A. B. C.18。

独立性测试题及答案

独立性测试题及答案一、选择题1. 在统计学中，独立性指的是两个事件的发生互不影响。

以下哪项描述正确地反映了独立性的概念？A. 事件A的发生增加了事件B发生的概率B. 事件A的发生减少了事件B发生的概率C. 事件A的发生不影响事件B发生的概率D. 事件A和B不能同时发生答案：C2. 假设有两个事件A和B，已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，要判断A 和B是否独立，需要计算：A. P(A ∩ B)B. P(A) + P(B)C. P(A|B) - P(A)D. P(A ∪ B)答案：A3. 如果事件A和B是独立的，那么P(A ∩ B)等于：A. P(A) * P(B)B. P(A) + P(B)C. |P(A) - P(B)|D. P(A) / P(B)答案：A二、填空题4. 如果P(A) = 0.2，P(B) = 0.5，并且A与B独立，那么P(A ∩ B)等于_________。

答案：0.15. 在一次随机抽样调查中，如果P(事件A发生) = 0.3，P(事件B发生|事件A发生) = 0.4，那么事件A和B独立的概率是_________。

答案：0.4三、简答题6. 解释为什么事件A和B的独立性意味着P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

答案：如果事件A和B是独立的，那么意味着事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

因此，我们可以将两个独立事件同时发生的概率看作是它们各自发生概率的乘积，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

7. 如果事件A和B不独立，那么P(A ∩ B)与P(A) * P(B)的关系是什么？答案：如果事件A和B不独立，那么它们同时发生的概率P(A ∩ B)不等于它们各自发生概率的乘积P(A) * P(B)。

在这种情况下，P(A ∩ B)可能会大于或小于P(A) * P(B)，具体取决于一个事件的发生是否增加了或减少了另一个事件发生的概率。

四、计算题8. 假设在一个班级中，学生通过数学考试的概率是0.7，通过物理考试的概率是0.6。

概率事件独立性的判别式练习题

概率事件独立性的判别式练习题问题一某餐厅中午用餐的男性占比为45%，女性占比为55%。

在该餐厅中选取两名顾客，他们的性别是否独立？问题二某批产品中，有30%的产品存在瑕疵。

从该批产品中随机抽取两个产品，它们是否存在瑕疵是独立事件吗？问题三某班级有60%的学生是喜欢数学的，70%的学生是喜欢英语的。

从该班级中随机选择两名学生，他们是否喜欢数学和英语是独立事件吗？问题四某电视剧在广告投放期间，男性观众占比为40%，女性观众占比为60%。

观众在观看广告期间使用手机的比例为30%。

从观众群体中随机选取一人，他使用手机和性别是否独立？答案1. 性别是否独立的判别式是，如果选取的两名顾客的性别出现概率与整体男女顾客的比例相近，则性别是独立事件。

如果选取的两名顾客的性别出现概率有明显的偏差，则性别不是独立事件。

2. 抽取两个产品存在瑕疵是独立事件的判别式是，如果两个产品的瑕疵与整体产品的瑕疵比例相近，则存在瑕疵是独立事件。

如果两个产品的瑕疵比例有明显的偏差，则存在瑕疵不是独立事件。

3. 喜欢数学和英语是独立事件的判别式是，如果两名学生喜欢数学和英语的概率与整体学生喜欢数学和英语的比例相近，则喜欢数学和英语是独立事件。

如果两名学生喜欢数学和英语的概率有明显的偏差，则喜欢数学和英语不是独立事件。

4. 使用手机和性别是否独立的判别式是，如果观众使用手机的概率与整体观众使用手机的比例相近，则使用手机和性别是独立事件。

如果观众使用手机的概率与性别之间有明显的偏差，则使用手机和性别不是独立事件。

注意：判断独立性时，需要比较选取的样本与整体的比例，如果比例相近，则认为事件独立；如果比例有明显的偏差，则认为事件不独立。

概率论与数理统计习题库-第三章

长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417#00001，与*00001解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z 、W 的取值。

从上表可以确定Z 的取值域为{0,1},W 的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。

例如P{Z=0}=0.12+0.18=0.3于是，Z 、W 的分布律分别为：#00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令(1)求(X,Y)的分布律。

(2)求X 与Y 的相关系数 *00002 解：（1）显然X 、Y 的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=2522C C ，同理计长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417ij（2）256)(256)(52)(52)(====Y D X D Y E X E#00003设(X,Y)具有概率密度⎩⎨⎧<<<=其它01||0},{y x c y x f ，1)求常数c ；2)求P{Y>2X} ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域由归一性图3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。

故有 #00004已知(X,Y)的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--=----其它00101),(x y ye e yx xe e y x F yy y x （1）求X 与Y 的边缘概率密度。

（2）问X 与Y 是否相互独立？ *00004解：（1）⎩⎨⎧<≥-=∞=-0x 00x e 1)F(x,(x)F xX（2）不独立与Y X y x F y F x F Y X ∴≠),()()(#00005(X,Y)的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--=----其它00101),(x y ye e yx xe e y x F yy y x .（1）求X 与Y 的联合概率密度及边缘概率密度。

概率论随机事件的独立性

解设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章概率论的基本概念
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
第一章概率论的基本概念
容易证明，只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )

第一章概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在一次射击中，目标被击中的概率.
第一章概率论的基本概念
三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下四个等式：
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,

数学选修2-3课后训练：2.3 独立性含解析精品

2.3 独立性练习1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少一人被录取的概率为__________．2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为__________．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率为__________．4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少一项合格的概率为__________．5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率为12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是__________．6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(AB)＝__________，P(A|B)＝__________.7．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为__________．8．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班同学平均分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品，而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．参考答案1.答案：0.88解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以至少有1人被录取的概率为1－0.12＝0.88.2.答案：3 5解析：由题意知P(AB)＝310，P(B|A)＝12，∴3()310()1(|)52P ABP AP B A===.3.答案：14 25解析：设“甲中靶”为事件A，“乙中靶”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7.则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56＝14 25.4.答案：2 5解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝15，P(B)＝14.又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝433545⨯=.故至少有一项合格的概率为P＝1－P(A B)＝32 155 -=.5.答案：2个球不都是白球解析：从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件是相互独立的，故两个小球都是白球的概率为111326⨯=，所以两球不都是白球的概率为15166P=-=.6.答案：0.150.3解析：∵A、B相互独立，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.3×0.5＝0.15.∴P(A|B)＝()()P ABP B＝P(A)＝0.3.7.答案：11 24解析：甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A，则()1111 112344P A⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；乙生解出，而甲、丙不能解出为事件B，则1111 ()113248 P B⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；丙生解出，而甲、乙不能解出为事件C，则1111 ()1142312P C⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝11111481224++=.8.解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，101()404P A ==. (2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．在事件B 发生的条件下，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415. 9. 解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A ，“从1号箱中取出的是红球”为事件B .42()243P B ==+，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝314819+=+. (2)∵P (A |B )＝31813=+， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝421111933327⨯+⨯=. 10. 解：(1)设A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意知1(),41(),122(),9P AB P BC P AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即()()()()()()1([1]41[1]122.9P A P B P B P C P A P C ⎧⋅-⎪⎪⎪⋅-⎨⎪⎪⋅⎪⎩＝，①＝，②＝ ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0，解得P (C )＝23或119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③得P (A )＝13，P (B )＝14.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝231513436-⨯⨯=. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.。

概率论练习题

(C) ( A B)(A B)
(B) ( A B)(A B)
(D) A B
例3 某车间有3台车床，在1小时内不需要工人维护
的概率依次为0.9，0.8，0.85，求1小时内3台车床至少
有一台不需要维护的概率. 解记 Ai={第 i 台不需要维护} i =1 , 2 , 3
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )
所以
B=BA0 +BA1 +BA2 +AB3
P(B)=P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B |A2) + P(A3)P(B |A3) P(B |A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B |A2)=0.6, P(B |A3)=0.9, P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504 P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398 P(A2)=0.2×0.3×0.9+0.2×0.7×0.1+0.8×0.3×0.1=0.092 P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006 P(B)=0×0.054+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402
P(B)=0×0.054+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402
P( BA1 ) P( B1 ) P( A | B1 ) 3 P(A1|B)= P( B) P( Bk ) P( A｜Bk )
k 0
0.398 0.2 796 0.1402 1402
则称事件 A，B，C 相互独立

概率论作业1

第三节条件概率一、已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=A B P ，求)(B A P 。

二、有人来访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4，0.5，0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐汽车，迟到的概率是0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。

三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？第四节独立性一、选择题：（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则下列结论正确的是（）。

（A ）A B ⊃ （B ）)()()(B P A P B A P +=⋃ （C ）事件A 与事件B 相互独立（D ）事件A 与事件B 互逆（2）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)()(=+B A P B A P ，则（）。

（A ）事件A 与B 互不相容（B ）事件A 与B 互逆（C ）事件A 与B 不相互独立（D ）事件A 与B 相互独立二、已知α=)(A P ，3.0)(=B P ，7.0)(=⋃B A P ，（1）若事件A 与B 互不相容，求α；（2）若事件A 与B 相互独立，求α。

三．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为80，求此射手每次射击的命中率。

四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。

第一节随机变量第二节离散型随机变量一、填空题（1）设随机变量X 只能取0，1，2，且X 取这些值的概率依次为151,,244c c c，则ｃ＝。

(2) 某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p （0<P <1），以X 表示射击的次数，则X 的分布律为。

《独立性》习题

独立性一、判断题1.概率为零的事件与任何事件都是独立的。

（）2.设()()0,0>>B P A P 若A 与B 为对立事件，则A 与B 相互独立（）3. ()()0,0>>B P A P 若A 与B 相互独立，则A 与B 相容（）4. A ,B ,C 相互独立的充分必要条件是他们两两相互独立（）5.从一大批产品中“不返回”地抽取，则可以认为各次抽取间产生的事件是独立的（）二、填空题1.设事件A 与B 相互独立，已知()()8.0,5.0=⋃=B A P A P ，则()=B A P ()=⋃B A P2.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为,91A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()=A P三、选择题1.设()()()8.0,7.0,8.0===B A P B P A P ，则下列结论正确的是A ．A 与B 互不相容 B.B A ⊂C ．A 与B 相互独立 D.()()()B P A P B A P +=⋃2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： }{1掷第一次出现正面=A }{2掷第二次出现正面=A}{3正反面各出现一次=A }{4正面出现两次=A ，则A ．321,,A A A 相互独立 B. 432,,A A A 相互独立C ．321,,A A A 两两独立 D. 432,,A A A 两两独立四、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有 2只蓝球，3只绿球，4只白球。

独立的分别在两只盒子中各取一只球。

1.求至少有一只蓝球的概率；2.求有一只蓝球一只白球的概率；3.已知至少有一只蓝球，求一只篮球一只白球的概率。

五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7 。

今各投三次。

求：1.两人投中次数相等的概率；2.甲比乙投中次数多的概率。

六、证明下列各题1.已知()()()pq q B A P q B P p A P +-=⋃==1,,，证明B A ,相互独立；2.设A , B ,C 三个事情相互独立，试证： B A AB B A -⋃,,皆与C 相互独立。

概率随机变量均值方差独立性正态分布早练专题练习(三)带答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习《概率随机变量均值方差独立性正态分布》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A．14B．12C．34D．782．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（）A．17B．27C．37D．47(汇编安徽理)3．（汇编湖北理数）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是A512 B 12 C 712 D 344．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．12（汇编江西文）5．如图，矩形AB C D 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形AB CD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．23(2011年高考福建卷理科4)6．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A.12 B.35 C.23 D.34 （汇编广东理）.,43212121)()A ()(,A B ,B ;i ,1,2)i (A :211211i D A A P P B P A A 故选则事件表示甲队获得冠军局获胜甲在第表示继续比赛时设解析=⨯+=+=∴+==7．2．事件A B 、互斥，则下列等式成立的是----------------------------------------------------------（）(A)()1()P A P B =- (B)()1P A B += (C)()1P A B += (D )()1P A B += 8．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是-------------------------------------（） (A)18 (B) 38 (C) 78(D) 589．3．在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 至少发生()k k n ≤次的概率为______________________________________________________.（要求只列出算式 10．4．若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是---------------------------------------------（）(A)A 与A (B)A 与B (C )A 与B (D)A 与B 11．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是[答]（） (A)．5216 (B) 25216． (C) 31216． (D) 91216．12．7名同学站成一排，甲站在中间，乙站在末尾的概率是（） A ．41 B ．51 C ．61 D ．71第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．从批量较大的成品中随机抽出5件产品进行质量检验，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这5件产品中的合格品数，则随机变量X 的数学期望()_______E X =．14．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为（结果用最简分数表示）(汇编年高考湖北卷理科12) 15．设~(2,),~(4,)X B p Y B p ，已知5(1)9P X ≥=，则(1)__P Y ≥=.65.8116．一个总体分为A ,B 两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128,则总体中的个体数为_____｡〖解〗17．已知随机事件A 、B 是互斥事件，若()0.25()0.78P A P A B =⋃=，，则()P B = ．18．将,,,A B C D 四个人平均分成两组，则“,A B 两人恰好在同一组”的概率为评卷人得分三、解答题19．口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（I I ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．20．有1，2，3，…，9这就个数字构成可重复数字的五位数，求：（1）“数字9至少出现一次”的概率；（2）“9至多出现一次”的概率。

概率论__练习题

一、简答题(每题8分, 共计40分)1. 事件的独立性是否存在传递性? 即事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，能否推知事件A 与事件C 相互独立？试举例说明.解答事件的独立性不存在传递性. (3分)反例独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下}{出现正面=A ，}6{点掷出第=B ，}{C 出现反面= (6分)则事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，但事件A 与事件C 不相互独立. (8分)2. 给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事件组的独立性？解答设n 维随机变量),,,(21n X X X 的联合分布函数为),,(21n x x x F ，若对所有实数组),,(21n x x x 均有)()()(),,(221121n n n x F x F x F x x x F =成立, 称n X X X ,,,21 相互独立. (3分)若对一切1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n 及),(21i i x x 都有)()(),(221211i i i i i x F x F x x F = 成立则n 维随机变量),,,(21n X X X 两两独立. (5分)根据分布函数的定义, n 维随机变量),,,(21n X X X 相互独立即对任意实数向量(x 1 , x 2, …, x n ), n 个随机事件A k ={X k ≤ x k }, k =1,2, …, n ，都相互独立. (8分)3. 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：P {X =－1}= P {Y =－1}=21, P {X =1}= P {Y =1}=21，试计算概率P {X=Y }和P {X+Y =0}.解答根据X 与根据随机变量X 与Y 有下表可得注用其他表达形式得到结果,类比给分.4. 在区间[0, 2]上任意取两个数x , y ，试求两数满足不等式x y x 442≤≤的概率.解答 “任意选取两个数”意味x 和 y 在[0, 2]上等可能被选取，即二维随机点( X , Y )在边长为2 的正方形上服从均匀分布， (3分)所求概率为.31)41(41202=-=⎰dx x x p (8分)5.假设随机变量X 服从指数分布，试求 Y = min{X , 2}的分布函数，并讨论随机变量Y 是否为连续型随机变量，为什么？解 })2,{m in()(y X P x F X ≤= ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤≤<=.2,1;20},{;0,0y y y X P y (3分)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-.2,1;20,1;0,0y y e y y λ (6分) 连续型随机变量的分布函数处处连续,)(x F X 在y =2处不连续，故Y 非连续型随机变量 (8分)二、证明题 (12分)已知随机变量X 与Y 相互独立, 且X ~U (0,1), Y~B (1, p ). 证明X 2与Y 2相互独立.证明需证对任意的R y ∈及k = 0,1，随机事件}{2y X ≤与}{2k Y =相互独立. (3分) 因Y 与Y 2同分布，且X 与Y 相互独立, 当0≥y ，k =0,1 (5分) }{}{}{}{222y X P y X y P k Y y X y P k Y y X P ≤=≤≤-==≤≤-==≤ (9分)当0<y ，k =0,1}{0}{222y X P k Y y X P ≤===≤ (12分)故X 2与Y 2相互独立.或证明任意实数对(x , y ), (X 2, Y 2)联合分布函数G (x , y )满足)()(),(22y F x F y x G Y X =三、 (14分) 设电源电压)25,220(~2N X （单位：V ），通常有三种状态：（a ）电压不超过200V ；（b ）电压在200V ~240V 之间；（c ）电压超过~240V . 在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1）该电子元件损坏的概率； 2）在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？（附：8849.0)2.1(,7881.0)8.0(=Φ=Φ）解记 =1A {电压处于状态a }, =2A {电压处于状态b }, =3A {电压处于状态c },B ={该元件损坏}，则321,,A A A 构成Ω的一个划分，且1.0)(1=A B P ，001.0)(2=A B P ，2.0)(3=A B P (3分)2119.0)8.0()25220200(}200{)(1=-Φ=-Φ=≤=X P A P ， 2119.0)8.0(1)25220240(1}240{)(3=Φ-=-Φ-=≥=X P A P 5762.0)()(1)(312=--=A P A P A P (8分)由全概率公式 0642.0)()()(31==∑=i iiA B P A P B P (10分)（2）由贝叶斯公式3301.00642.01.02119.0)()()()(111=⨯==B P A B P A P B A P ，0090.0)()()()(222==B P A B P A P B A P ，6601.0)(3=B A P ， (12分)在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态（c ）. (14分)四、(14分)设随机变量321,,X X X 相互独立且都服从参数为p 的0-1分布，已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221X X X X 为正定矩阵的概率为81. 试求1)参数p 的值; 2) 随机变量3221X X X X Y =的概率}0{=Y P .解 1) 因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于0, 故有 (3分))1(}1,0,1{}0,0{81232122311p p X X X P X X X X P -=====>->= 解得21=p . (7分) 2) 随机变量2231X X X Y -=的全部取值为1,0,1-, (10分)}0{}0{2231=-==X X X P Y P}1,1,1{}0,0,0{321321===+====X X X P X X X P }0,0,1{}1,0,0{321321===+===+X X X P X X X P}1{}1{}1{}0{}0{}0{321321===+====X P X P X P X P X P X P }0{}0{}1{}1{}0{}0{321321===+===+X P X P X P X P X P X P2184==(14分) 五、（20分）随机变量（X , Y ）的联合概率密度函数是)()(2121),(2222y g x g e ey x f y x πππ-+-+= (x , y )∈R 2 其中 ⎩⎨⎧>≤=ππx x x x g 0cos )(1) 证明X 与Y 都服从正态分布；2) 求随机变量Y 关于X 的条件概率密度; 3）讨论X 与Y 是否相互独立？ 4) 根据本题的结果，你能总结出什么结论？解 1)dy y g x g e dy edy y x f x f y x X ⎰⎰⎰∞∞--∞+∞-+-∞+∞-+==)()(π21π21),()(222π2（3分）R x e dy y x e e x x ∈=+=----⎰,21cos cos 212122222ππππππ （5分）即)1,0(~N X .dx y g x g e dx e dx y x f y f y x Y ⎰⎰⎰ℵ∞--∞+∞-+-∞+∞-+==)()(2121),()(2222πππR y e y ∈=-,2122π)1,0(~N Y （9分）2）对任意 R x ∈，因0)(>x f XR y y g x g e e x f y x f y f x y X X Y ∈+==+--),()(2121)(),()()2(2222πππ（14分）3）因 ),,()()(y x f y f x f Y X ≠故X 与Y 不相互独立.或因 )()(x f y f Y X Y =，故X 与Y 不相互独立. （17分）4）如 ① n 维正态随机变量的每一分量均服从正态分布，反之不成立； ② 可由条件分布确定两个随机变量的独立性；等等，只要是总结出可用的结论均可（20分）1. 设)(),(21x F x F 为两个分布函数，问：（1） )()(21x F x F +是否分布函数？（2）)()(21x F x F 是否分布函数？给出证明。

高三数学二轮复习精选试题汇编：独立性_(有答案)

独立性一、选择题1. 在独立性检验中，统计量0k 有两个临界值：3.841和6.635，当随机变量2K 的观测值 3.841k >时，有95%的把握说明两个事件有关，当 6.635k >时，有99%的把握说明两个事件有关，当 3.841k ≤时，认为两个事件无关。

在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算20.87k ≈，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间A ．约有95%的打鼾患者患心脏病B ．有95%的打鼾者患心脏病C ．约有99%的打鼾者患心脏病D ．有99%的我把认为打鼾与患心脏有关2. 已知某人每次投篮投中的概率为p ，各次投篮结果互不影响，直至进行第n 次投篮，才有r （1≤r ≤n ）次投中的概率为（）A 、r n r r n )p (p C --1B 、r n r r n )p (pC -1-1--1 C 、r n r )p (p --1D 、r n r r n )p (pC -1-1-1--1 3. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（）A ．B ．C ．D ．4.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .5.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A ．B ．C ．D ．6. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）7. 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 (A)0.1536 (B)0.1808 (C)0.5632 (D)0.97288.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648二、填空题9. 某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.10. 已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是。