2018年吉林省吉林市高三数学三模试卷(理科)Word版含解析

2018年吉林省吉林市高三三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2． =（）A．1+2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．﹣1﹣2i3．已知数列{an }为等差数列，若a1，a2，a3成等比数列，且a1=1，则公差d=（）A．0B．1C．2D．44．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，1]上的偶函数，则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣2，2）B．∅C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）5．下列有关命题的说法错误的是（）A．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为πB．函数在区间（2，3）内有零点C．已知函数，若，则0＜a＜1D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.46．运行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A ．﹣2B ．3C ．4D ．87．某综艺节目固定有3名男嘉宾，2名女嘉宾．现要求从中选取3人组成一个娱乐团队，要求男女嘉宾都有，则不同的组队方案共有多少种（ ） A ．9B ．15C ．18D ．218．=（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 9．函数（1＜x ＜4）的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则（+）•=（ ）A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．810．已知数列{a n }的前n 和为S n ，a 1=1．当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，则S 2016=（ ）A ．B ．1006C ．1007D ．100811．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为=1（a ＞b ＞0），则椭圆在其上一点A （x 0，y 0）处的切线方程为=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C 1： =1（a ＞b＞0），其焦距为2，且过点．点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．212．已知y=f （x ）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x ﹣1）[2f （x ）+xf′（x ）]＞0（x≠1）恒成立，f （1）=2，若曲线f （x ）在点（1，2）处的切线为y=g （x ），且g （a ）=2016，则a 等于（ ）A ．﹣500.5B ．﹣501.5C ．﹣502.5D ．﹣503.5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．设，则f （1）= ．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．15．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．16．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=，设，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．18．吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N1；（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．21．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（a ＞b ＞0，φ为参数），且曲线C 1上的点M （2，）对应的参数φ=．且以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C 2交于点D （，）．（1）求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；（2）若A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+）是曲线C 1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）=2|x ﹣2|+|x+1| （1）求不等式f （x ）＜6的解集；（2）设m ，n ，p 为正实数，且m+n+p=f （2），求证：mn+np+pm≤3．2018年吉林省吉林市高三数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，∵CUA={4，6，7，8}，∴（CUA）∩B={4，6}．故选B．2． =（）A．1+2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B3．已知数列{an }为等差数列，若a1，a2，a3成等比数列，且a1=1，则公差d=（）A．0B．1C．2D．4【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】由a1，a2，a3成等比数列，且a1=1，得到a22=a1•a3，即（1+d）2=1•（1+2d），解得即可．【解答】解：由a1，a2，a3成等比数列，且a1=1，得到a22=a1•a3，∴（1+d）2=1•（1+2d），解得：d=0，故选：A．4．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，1]上的偶函数，则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣2，2）B．∅C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称便可得出a=﹣2，而根据f （﹣x ）=f （x ）便可以得出2bx=0，从而得出b=0，这样便得出f （x ）=﹣2x 2+2，从而解不等式﹣2x 2+2＞0便可得出f （x ）＞0的解集．【解答】解：f （x ）为定义在[1+a ，1]上的偶函数； ∴1+a=﹣1； ∴a=﹣2；又f （﹣x ）=f （x ）； 即ax 2﹣bx+2=ax 2+bx+2； ∴2bx=0； ∴b=0；∴f （x ）=﹣2x 2+2；∴由f （x ）＞0得，﹣2x 2+2＞0； 解得﹣1＜x ＜1；∴f （x ）＞0的解集为（﹣1，1）． 故选：D ．5．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）=sinxcosx 的最小正周期为πB ．函数在区间（2，3）内有零点C ．已知函数，若，则0＜a ＜1D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A ．根据三角函数的周期公式进行判断． B ．根据函数零点的判断条件进行判断． C ，根据对数的性质进行判断． D ．根据正态分布的性质进行判断．【解答】解：A ．f （x ）=sinxcosx=sinx2x ，则函数的周期是π，故A 正确，B ．函数在（0，+∞）上为增函数，则f （2）=ln2+1﹣2=ln2﹣1=ln ＜0，f （3）=ln3+﹣2=ln3﹣=ln3﹣ln =ln＞0，即函数在区间（2，3）内有零点，故B 正确，C ．∵f （）=log a （）=log a ，若，则a ＞1，故C 错误，D ．ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（3，+∞）内取值的概率为0.1，则ξ在（1，3）内取值的概率为1﹣0.1﹣0.1=0.8，即ξ在（2，3）内取值的概率为0.4，故D 正确 故选：C ．6．运行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．﹣2B．3C．4D．8【考点】程序框图．【分析】会根据s←s+（﹣1）n n计算s的值及判断出当n←5时跳出循环结构，即可得出答案．【解答】解：∵n←1，s←1+（﹣1）1×1；∴n←2，s←0+（﹣1）2×2；∴n←3，s←2+（﹣1）3×3；∴n←4，s←﹣1+（﹣1）4×4；∴n←5，s←3+（﹣1）5×5．当n=6时，应跳出循环程序，并输出s的值是﹣2．故选A．7．某综艺节目固定有3名男嘉宾，2名女嘉宾．现要求从中选取3人组成一个娱乐团队，要求男女嘉宾都有，则不同的组队方案共有多少种（）A．9B．15C．18D．21【考点】计数原理的应用．【分析】不同的组队方案：选取3人组成一个娱乐团队，要求男女嘉宾都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答【解答】解：直接法：一男两女，有C31C22=3种，两男一女，有C32C21=6种，共计9种，间接法：任意选取C53=10种，其中都是男嘉宾有C33=1种，于是符合条件的有10﹣1=9种．故选：A．8． =（）A．1B．2C．3D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： =（1﹣x）dx=（x﹣x2）|=1﹣=，故选：D．9．函数（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+）•=（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先确定点A（2，0）再射出点B（x1，y1），C（x2，y2），由题意可知点A为B、C两点的中点，故x1+x2=4，y1+y2=0．将点B、C代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知 B、C两点的中点为点A（2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4，y 1+y2=0∴（+）•=（（x1，y1）+（x2，y2））•（2，0）=（x1+x2，y1+y2）•（2，0）=（4，0）•（2，0）=8 故选D．10．已知数列{an }的前n和为Sn，a1=1．当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2016=（）A． B．1006C．1007D．1008 【考点】数列的求和．【分析】通过当n≥2时an +2Sn﹣1=n与an+1+2Sn=n+1作差、整理，进而可知a2n﹣1=1、a2n=0，计算即得结论．【解答】解：∵当n≥2时，an +2Sn﹣1=n，∴an+1+2Sn=n+1，两式相减，得：an+1﹣an+2an=1，即an+1+an=1，又∵a2+2S1=2，即a2=0满足上式，∴a2n﹣1=1，a2n=0，∵2016=2×1008，∴S2016=1×1008=1008，故选：D．11．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x，y）处的切线方程为=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1： =1（a＞b＞0），其焦距为2，且过点．点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】依题意得：椭圆的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），可得c=1，代入点，计算即可求出a ，b ，从而可求椭圆C 1的方程；设B （x 2，y 2），求得椭圆C 1在点B 处的切线方程，分别令x=0，y=0，求得截距，由三角形的面积公式，再结合基本不等式，即可求△OCD 面积的最小值．【解答】解：由题意可得2c=2，即c=1，a 2﹣b 2=1，代入点，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y 2=1，设B （x 2，y 2），则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x+y 2y=1令x=0，y D =，令y=0，可得x C =，所以S △OCD =••=，又点B 在椭圆的第一象限上，所以x 2，y 2＞0，+y 22=1，即有==+≥2=，S △OCD ≥，当且仅当=y 22=，所以当B （1，）时，三角形OCD 的面积的最小值为．故选：B ．12．已知y=f （x ）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x ﹣1）[2f （x ）+xf′（x ）]＞0（x≠1）恒成立，f （1）=2，若曲线f （x ）在点（1，2）处的切线为y=g （x ），且g （a ）=2016，则a 等于（ ）A ．﹣500.5B ．﹣501.5C ．﹣502.5D ．﹣503.5 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值．【解答】解：令F（x）=x2f（x），由（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y﹣2=﹣4（x﹣1），即有g（x）=6﹣4x，由g（a）=2016，即有6﹣4a=2016，解得a=﹣502.5．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．设，则f（1）= 3 ．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．故答案为：3．14．已知x，y满足则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：715．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：416．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=，设，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y的最大值为 4 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】以O为坐标原点，GC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设菱形的边长为2，从而求出D，H点的坐标，这样便可得到向量、的坐标．再设P（X，Y），根据条件即可得出x+y的解析式，设x+y=z，X，Y的活动域是菱形的边上，根据线性规划的知识求出z的最大值，即求出x+y的最大值．【解答】解：如图所示，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：D（1，），H（﹣3，﹣）；设P（X，Y），则（X，Y）=x（1，）+y（﹣3，﹣）；∴；∴x+y=Y﹣X；设z=Y﹣X；∴Y=X+z， z表示在y轴上的截距；∴当截距最大时，z取到最大值；根据图形可看出，当直线经过点E（0，2）时，截距最大；∴2=0+z；解得z=4；∴x+y的最大值为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由已知和余弦定理可得cosA=，可得；（Ⅱ）由题意和三角函数公式可得，由三角函数的最值可得，可判△ABC是直角三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得，∵A∈（0，π），∴；（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，∵B∈（0，π），∴当，即时，f（B）取最大值，∴此时易知道△ABC是直角三角形．18．吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（Ⅰ）求N和[30，35）之间的参加者人数N1；（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45，55）之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7，P 4=0.04×5=0.2，从而，由此能求出[30，35）之间的志愿者人数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人，设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B ；从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C ，由此推导出女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ． 【解答】解：（Ⅰ）设频率分布直方图中7个组的频率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7，P 4=0.04×5=0.2，所以…由题意P 1+P 2+P 3+P 4+P 5+P 6+P 7=1，而P 3=1﹣（P 1+P 2+P 4+P 5+P 6+P 7）=1﹣5（0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3∴[30，35）之间的志愿者人数N 1=40×P 3=40×0.3=12人… （Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之间有40×0.3=12人设从[30，35）之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B ； 从[35，40）之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C ， 因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，所以…[45，55）之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师， 从中选取3人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3…所以；；…Eξ=2，… 19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1的大小； （Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段AB 1上是否存在点E ，使得DE ∥面AA 1C 1C ？若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）根据线面线面垂直的判定定理即可证明AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）建立坐标系求出二面角的法向量，利用向量法即可求二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1的大小； （Ⅲ）根据线面平行的性质定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，所以AA 1⊥AC ，… 因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C 且平面ABC∩平面AA 1C 1C=AC ，… 所以AA 1⊥平面ABC…（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以AC ，AB ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示：（图略） 则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1点坐标分别为：A （0，0，0）；B （0，3，0）；C （4，0，0）；A 1（0，0，4）；B 1（0，3，4）；C 1（4，0，4）…则设平面CA 1B 1的法向量所以，所以…令x′=1，所以，又易知平面A 1B 1C 1的法向量为…所以所以二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1的大小为45°…（Ⅲ）设E （x 1，y 1，z 1）；平面AA 1C 1C 的法向量．因为点E 在线段AB 1上，所以假设AE=λAB 1，所以（0＜λ≤1）即E （0，3λ，4λ），所以．…又因为平面AA 1C 1C 的法向量易知．而DE ∥面AA 1C 1C ，所以，所以…所以点E 是线段AB 1的中点．…若采用常规方法并且准确，也给分．20．已知抛物线C 的方程为y 2=2px （p ＞0），点R （1，2）在抛物线C 上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点Q （l ，1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线l ：y=2x+2于M ，N 两点，求|MN|最小时直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由点R （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2y 2），设直线AB 的方程为x=m （y ﹣1）+1，m≠0，设直线AR 的方程为y=k 1（x ﹣1）+2，由已知条件推导出x M =﹣，x N =﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵点R （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上， ∴4=2p ，解得p=2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2y 2），直线AB 的方程为x=m （y ﹣1）+1，m≠0，由，消去x ，并整理，得：y 2﹣4my+4（m ﹣1）=0，∴y 1+y 2=4m ，y 1•y 2=4（m ﹣1），设直线AR 的方程为y=k 1（x ﹣1）+2，由，解得点M 的横坐标，又==，∴x M ==﹣，同理点N 的横坐标x N =﹣，|y 2﹣y 1|==4，∴|MN|=|x M ﹣x N |=|﹣|=2||，=8=2，令m ﹣1=t ，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB 的方程为x+y ﹣2=0．21．设，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a 的值；（2）若∀x ∈[1，+∞），f （x ）≤m（x ﹣1）恒成立，求m 的范围．（3）求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求得函数f （x ）的导函数，利用曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a 的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为，设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令，得出，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．【解答】解：（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题设，∴∴1+a=1，∴a=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2），∀x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若m＞0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2当△≤0，即时，g'（x）≤0．∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，方程﹣mx2+x﹣m=0，其根，，当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．综上所述，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣累加可得即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（a ＞b ＞0，φ为参数），且曲线C 1上的点M （2，）对应的参数φ=．且以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C 2交于点D （，）． （1）求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；（2）若A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+）是曲线C 1上的两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C 1上的点M （2，）对应的参数φ=可得：，解得即可得到曲线C 1的普通方程．设圆C 2的半径为R ，由于射线θ=与曲线C 2交于点D （，），可得，解得即可得到圆C 2的极坐标方程．（2）曲线C 1的极坐标方程为：，化为，把A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+）代入曲线C 1即可得出．【解答】解：（1）由曲线C 1上的点M （2，）对应的参数φ=可得：，解得，∴曲线C 1的普通方程为．设圆C 2的半径为R ，由于射线θ=与曲线C 2交于点D （，）．可得，解得R=1．∴圆C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C 1的极坐标方程为：，化为，∵A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+）是曲线C 1上的两点，∴+==+==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）=2|x ﹣2|+|x+1|（1）求不等式f （x ）＜6的解集；（2）设m ，n ，p 为正实数，且m+n+p=f （2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围；（2）由基本不等式，可以解得m 2+n 2+p 2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p ）2=m 2+n 2+p 2+2mn+2mp+2np=9，代入m 2+n 2+p 2≥mn+mp+n p ，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f （x ）=2x ﹣4+x+1=3x ﹣3，由f （x ）＜6，∴3x ﹣3＜6，∴x ＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x ＜2时，f （x ）=4﹣2x+x+1=5﹣x ，由f （x ）＜6，∴5﹣x ＜6，∴x ＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f （x ）=4﹣2x ﹣1﹣x=3﹣3x ，由f （x ）＜6，∴3﹣3x ＜6，∴x ＞﹣1，可知无解， 综上，不等式f （x ）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。