2007北大高校自主招生数学试题及解答

2007年北京卷数学(理科)含详细解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接OCADB圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．A2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案1．∵ ，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。

2007理科数学试卷和答案-北京卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学<理工农医类）<北京卷）本试卷分第I卷<选择题）和第II<非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷<选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目地答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出地四个选项中，选出符合题目要求地一项．1．已知，那么角是< ）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数地反函数地定义域为< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．平面平面地一个充分条件是< ）Ａ．存在一条直线Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．记者要为5名志愿都和他们帮助地2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同地排法共有< ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组表示地平面区域是一个三角形，则地取值范围是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或7．如果正数满足，那么< ）Ａ．，且等号成立时地取值唯一Ｂ．，且等号成立时地取值唯一Ｃ．，且等号成立时地取值不唯一Ｄ．，且等号成立时地取值不唯一8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题地真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真地所有函数地序号是< ）Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学<理工农医类）<北京卷）第II卷<共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内地项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．．10．若数列地前项和，则此数列地通项公式为；数列中数值最小地项是第项．11．在中，若，，，则．12．已知集合，．若，则实数地取值范围是．13．2002年在北京召开地国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽地弦图为基础设计地．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成地一个大正方形<如图）．如果小正方形地面积为1，大正方形地面积为25，直角三角形中较小地锐角为，那么地值等于．14．已知函数，分别由下表给出则地值为；满足地地值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．<本小题共13分）数列中，，<是常数，），且成公比不为地等比数列．<I ）求地值；<II ）求地通项公式．16．<本小题共14分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点地斜边上．<I ）求证：平面平面；<II）当为地中点时，求异面直线与所成角地大小；<III ）求与平面所成角地最大值．17．<本小题共14分）矩形地两条对角线相交于点，边所在直线地方程为，点在边所在直线上．<I ）求边所在直线地方程；<II ）求矩形外接圆地方程；<III）若动圆过点，且与矩形地外接圆外切，求动圆地圆心地轨迹方程．18．<本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动<以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动地次数统计如图所示．<I ）求合唱团学生参加活动地人均次数； <II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等地概率．<III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差地绝对值，求随机变量地分布列及数学期望．19．<本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形地形状，下底是半椭圆地短轴，上底地端点在椭圆上，记，梯形面积为．<I ）求面积以为自变量地函数式，并写出其定义域； <II ）求面积地最大值． 20．已知集合，其中，由中地元素构成两个相应地集合：，．其中是有序数对，集合和中地元素个数分别为和．若对于任意地，总有，则称集合具有性质．<I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质地集合，写出相应地集合和；<II ）对任何具有性质地集合，证明：；<III ）判断和地大小关系，并证明你地结论．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学<理工农医类）<北京卷）答案一、选择题<本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｄ二、填空题<本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．11．12．1 2313．14．三、解答题<本大题共6小题，共80分）15．<共13分）解：<I ），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．<II ）当时，由于，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．16．<共14分）解法一：<I ）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．<II ）作，垂足为，连结<如图），则，是异面直线与所成地角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角地大小为．<III）由<I ）知，平面，是与平面所成地角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角地最大值为．解法二：<I）同解法一．<II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角地大小为．<III）同解法一17．<共14分）解：<I）因为边所在直线地方程为，且与垂直，所以直线地斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线地方程为．．<II）由解得点地坐标为，因为矩形两条对角线地交点为．所以为矩形外接圆地圆心．又．从而矩形外接圆地方程为．<III）因为动圆过点，所以是该圆地半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点地轨迹是以为焦点，实轴长为地双曲线地左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆地圆心地轨迹方程为．18．<共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次地学生人数分别为10、50和40．<I）该合唱团学生参加活动地人均次数为．<II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等地概率为．<III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；地分布列：地数学期望：．19．<共13分）解：<I）依题意，以地中点为原点建立直角坐标系<如图），则点地横坐标为．点地纵坐标满足方程，解得，其定义域为．<II ）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是地最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积地最大值为．20．<共13分）<I）解：集合不具有性质．集合具有性质，其相应地集合和是，．<II）证明：首先，由中元素构成地有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素地个数最多为，即．<III）解：，证明如下：<1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是地不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是地不同元素．可见，中元素地个数不多于中元素地个数，即，<2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是地不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是地不同元素．可见，中元素地个数不多于中元素地个数，即，由<1）<2）可知，．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)(必修+选修I)

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（必修+选修I ）注意事项:1 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟.2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。

3 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。

5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

6 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一．选择题 1. cos3300 =(A) 21(B) -21(C) 23 (D) -232.设集合U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则C U (A ∪B)=(A) {2}(B){3}(C) {1,2,4} (D) {1,4}3.函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(A)（-4π，4π） (B) （4π，43π）(C) （π，23π） (D) （23π，2π）4.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2) (C) ln2(D) ln2 5.不等式>0的解集是(A)(-3,2)(B)(2,+∞)(C) (-∞,-3)∪(2,+∞)(D) (-∞,-2)∪(3,+∞)6.在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2D ，=CB CA λ+31,则λ= 2112球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径7.已知正三棱锥的侧棱长与底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于(A) (B)(C)2(D)8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 (A)1(B) 2(C) 3(D) 4 9．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,0)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x +2 (B) e x -2(C) e x -2 (D) e x +210.5位同学报名参加两上课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为(A) 13(B) (C) (D)12.设F 1,F 2分别是双曲线x 2-=1的左右焦点，若点P 在双曲线上,且12PF PF ⋅ =0，则12||PF PF + =(A)(B)2(C)(D) 2第II 卷（非选择题）本卷共10题，共90分。

2007年高考.北京卷.文科数学试题及详细解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（）Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π 4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．()2142610CA 个Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为．11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．x 1 2 3 ()f x2 1 1x 1 2 3()f x3 2 116．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．17．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；19．（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．OC ADB2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B BD A C D C 1．∵ cos tan 0θθ<，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。

北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]

间V 上的线性变换 A ， B ，满足 AB − BA = E . 【注】若线性空间V 是无穷维的，则存在V 的线性变换 A ， B ，满足 AB − BA = E .
例如，设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间，定义 Af (x) = f ′(x) ， Bf (x) = xf (x) ， ∀f (x) ∈V ，
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ，B ，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
容易验证： AB − BA = E . （2）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ，则 A3 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量，则由 A 的各行元素之和为常数 c ，知 Aη = cη ，从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .

2007北大高校自主招生数学试题及解答

2007北大一、解答题1.设()f x =2x -53x+196+|2x -53x+196|，求f (0)+f (1)+f (2)+…+f (50)2.求证：对任意实数k,方程22x y +-2kx-(6+2k)y-2k-31=0过两定点3.解方程组21348328xy x y xz x z yz y z =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩4.设长方体的三边长分别为a,b,c,且a>b>c,设P 和Q 为此长方体最远的两个顶点，求从P 沿长方体表面到Q 的最短路程的长度 a bcF E DC B AQP5.有333人考试，一共做对了1000道题。

做对3道及以下为不合格，做对6道及以上为优秀，不是所有人做对的题的数量的奇偶性相同，问不及格及优秀的人数哪个多？ ##Answer##1.【简解】2x -53x+196=(x-4)(x-49),故4≤x ≤49时，2x -53x+196≤0，f (x)=0于是f (0)+f (1)+f (2)+…+f (50)=f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+f (50)=10522.【简解】原方程可以化为22x y +-6y-31-2k(x+y-1)=0，它过22x y +-6y-31=0与x+y-1=0的交点，解二者联立方程组，得交点为(-6，5)，(2，-3)3.111231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2223521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 4.【简解】将面EFDQ 沿EF 展开与面PAFE 共面时，如图：abcQD F EA P 此时同理，将面AFQB 沿AF 展开与面PAFE 共面时；将面ABQF 沿AB展开与面ABCP 共面是，因a>b>c故2ab>2ac>2bc ，PQ 5.【解析】设有x 人不合格，y 人优秀，则做对4道或5道的中等生人数为333-x-y ，于是 64(333x y)10002x y 116163(333x y)10003y y y x +--≤⇔-≥⎧⎪⎨+--≤⇔-≤⎪⎩①② 由②及x,y ∈N ，知y ≤x如果y=x,根据333-x-y ≥0得到x ≤166，再有①x ≤166故x=y=166，此时，有166人不合格，166人优秀，1人中等；优秀者至少做对6×166=996道题，1个中等只能做对4道，166不合格者做对0道题，与“不是所有人做对的题的数量的奇偶性相同”矛盾。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.理)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i 2a +++是实数，则a =（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （） A ．垂直 B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）A ．(11)， B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（） AB ．2C．D ．4A B1B1A1D1C C D（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．数学试卷（理科）2007-7-25二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin ab A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．DBCS（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2s i n a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=．2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，．（18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元． (200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为2000.4E η=⨯+240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO B C ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin1352S AB AD ==设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得 121133h S SO S = ，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛ ⎝，，1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=A所以，直线SD 与平面SAB所成的角为arcsin 11．（20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+12BD x x =-== ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+12)k k b +2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

北京大学2007年数学分析试题及解答

注此处的证明手法与我写的北京大学 2016 年数学分析第一题相同. 其中找到的那个数叫做 Lebesgue 数, 与之相关的定理在谢惠民等人的《数学分析习题课讲义》上册 82 页例题 3.5.3 (加强形式的覆盖定理), 书上那个证明借助了几何直观, 但是我更喜欢上面这种证明方式.
2. 设有界区间为 I. 若 I 不是闭区间, 由于 f (x) 在 I 上一致连续, 利用 Cauchy 收敛原理可知 f (x) 在 I 的两个端点处的单侧极限均存在, 从而我们可以把 f (x) 连续延拓到 I 的闭包 I 上, 对 g(x) 也是一样的, 这时 f (x)g(x) 在有界闭集 I 上连续, 从而 f (x)g(x) 在有界闭集 I 上一致连续, 故 f (x)g(x) 在 I 上一致连续. 若 I 是闭区间, 则不延拓, 然后用前面一样的方法就能证明原命题.
注其实只是对一道经典的题目进行了一下包装, 相关的题目见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第 44 页例 11, 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 151 页例 2.2.6, 谢惠民等人的《数学分析习题课讲义》上册第 140 页例题 5.4.5. 另外一种做法是先证明 f (x) 和 g(x) 有界, 然后用不等式 |f (x)g(x) − f (y)g(y)| ⩽ |f (x)g(x) − f (x)g(y)| + |f (x)g(y) − f (y)g(y)|.
当0<p⩽
1 2
时, g(x),
h(x) 在 [1, +∞) 上的广义积分收敛, i(x) 在
[1, +∞) 上的广义积分发散,
从而 f (x)
在 [1, +∞) 上的广义积分发散.

2007年北京大学自主招生试题【强基必备】北大自招近十年23套绝密原题对外

2007年北京大学自主招生试题01密度为的液体在容器的下部，密度为/3的液体在容器的上部，两种液体互不溶合.高H、密度为/2的长方体固体静止在液体中，如图1所示，试求图中两个高度量、.02一定质量的理想气体，由于外界条件的变化，其状态变化曲线如图2所示，由状态A 经B、C回到A.试问A→B等压过程、B→C等容过程、C→A等温过程中：（1）哪几个过程，气体对外做正功，为什么？（2）哪几个过程，气体内能减少，为什么？（3）哪几个过程，气体从外界吸热，为什么？03如图3所示，两个点电荷，，两者相距d=0.30 m，现在放入第三个点电荷，要使这三个点电荷都处于平衡状态，试求，并确定所放位置.04已知地球半径R=6400 km，结合你熟知的某些物理量，估算一个人以奥运会短跑纪录的速度，每天跑8个小时，需经多少个月方能从地球表面“跑”到月球表面？05如图4所示的电路中，电源电动势E=6 V，电源内阻r=1.2Ω，其余各部分电阻如图所示，则：（1）取何值时，上的电功率为零？（2）取该值时，电源输出功率为多大？06如图5所示，置于空气中的半圆柱形玻璃的折射率，在垂直于柱体轴的平面内，光线以45°角入射在半圆柱的平表面上.问光线从半圆柱的什么范围内射出？（用角度表示）07如图7所示，固定斜面ABC的水平底面长为l，两个底角分别为和，小物块从A端以某初速度沿AB面向上运动，到达顶端B处后能平稳地拐弯再沿BC面向下运动，到达C端时速度恰为在A处初速度的倍.将小物块到达C端时的速度记为v，设小物块与斜面体间的摩擦因数处处相同.（1）试求摩擦因数.（2）小物块若以同样的初速度改从C端沿CB面向上运动，试求小物块到达A端时的速度和小物块到达顶端B处时的速度；并取=45°，=30°，，计算.08如图8所示，水平面上放有质量为m、带电量为+q的滑块，滑块和水平面之间的动摩擦因数为，水平面所在位置有场强大小为E、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场.若，物块由静止释放后经过时间t离开水平面，求这期间滑块经过的路程s.。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-北京卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．OCADB18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．123A2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ7．Ａ 8．Ｄ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i - 10．211n - 311．212．(23)，13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+= ，，．16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O = ， CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD所成角的大小为arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D，OA OB OD AB ==tan CDO = CD ∴与平面AOB所成角的最大值为arctan3．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ，(00OA ∴= ，，(CD =-，cos OA CDOACD OA CD∴<>=，== ∴异面直线AO 与CD所成角的大小为xOCADBE（III ）同解法一 17．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+即PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤． 18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ的数学期望：0129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（共13分）解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy-（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4xy y r r+=≥，解得)y x r =<<1(22)2S x r =+ 2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r xx r =+-<<，，则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 2．即梯形面积S 2． 20．（共13分）（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤．（III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．≤，可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n m．由（1）（2）可知，m n。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(北京)

图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的
，那么 cos 2 的值等于
．
14．已知函数 f (x) ， g(x) 分别由下表给出
图为基础（如锐角为
x
1
2
3
x
1
2
3
f (x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
则 f [g(1)] 的值为
；满足 f [g(x)] g[ f (x)] 的 x 的值是
．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13 分）
数列 an 中， a1 2 ， an1 an cn （ c 是常数， n 1，2，3，），且 a1，a2，a3 成公比不为1的等比数
列．
（I）求 c 的值；
A
（II）求an 的通项公式．
Hale Waihona Puke 16．（共 14 分）解法一：
（I）由题意， CO AO ， BO AO ，
BOC 是二面角 B AO C 是直二面角，
又二面角 B AO C 是直二面角，
CO BO ，又 AO BO O ，
CO 平面 AOB ，
又 CO 平面 COD ．
平面 COD 平面 AOB ．（II）作 DE OB ，垂足为 E ，连结 CE （如图），则 DE ∥ AO ，
解：（I） a1 2 ， a2 2 c ， a3 2 3c ，因为 a1 ， a2 ， a3 成等比数列，所以 (2 c)2 2(2 3c) ，解得 c 0 或 c 2 ．当 c 0 时， a1 a2 a3 ，不符合题意舍去，故 c 2 ．（II）当 n≥ 2 时，由于 a2 a1 c ， a3 a2 2c ，

2007年高考北京数学(理)试题

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若AB =∅，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；O ADB（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值． 17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值． 20．（本小题共13分）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．123A（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．。

北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答

5. 设 n 阶复矩阵 A 满足: 对任意 k ∈ N+, 都有 Tr(Ak) = 0. 求 A 的特征值.
6. 设 n 维线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式与特征多项式相同. 求证: 存在 α ∈ V, 使得 α, A α, · · · , A n−1α 为 V 的一组基.
7. P 是球内一定点, A, B, C 是球面上三动点, ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = π/2. 以 P A, P B, P C 为棱作平
(3) 按题中方法选出的 r 阶子式一定不为 0. 可以参考丘维声的《高等代数》创新教材第 162 页例 6.
(4) 列向量组不一定等价, 例如考虑
[]
[]
10
00
A=
, B=
.
10
10
行向量组一定等价. 由题意可得
[]
A
AX = 0,
X =0
B
是同解的, 从而 B 的行向量组一定可以由 A 的行向量组线性表示, 否则将导致 []
7.
(法一) 设球的中心为 O, 半径为 r,
−−→ OP
=
d,
则由
−→ OA
=
−−→ OP
+
−→ PA
得
r2 = d2 + 2−O−→P · −P→A +
−→ 2 PA .
同理由
−−→ −−→ −−→ OB = OP + P B,
−−→ −−→ −−→ OC = OP + P C
可得
r2
=
d2
+
−−→ 2OP
(2) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为常数 c, 问 A3 的各行元素之和是否均为常数?

2007年高考.北京卷.理科数学试题及详细解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若AB =∅，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．x 1 2 3 ()f x131x 1 2 3()g x3 21三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．O C A DB12319．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．20．（本小题共13分）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案ＣＢＤＡＢＤＡＤ1．∵ cos tan 0θθ<，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(北京卷.文)

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．()2142610C A 个Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．5a <Ｂ．7a ≥Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线,a b a b a b αββα⊂⊂，，，∥，∥8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为．11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围． 16．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 17．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 19．（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于不同两点11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．OCADB2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｃ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．3 10．211n -11．3-12 13．72514．1 1三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共12分）解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 16．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．17．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，ADECE ∴=12DE AO == ∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD所成角的大小为arctan3．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ，(00OA ∴=，，(CD =-，cos OA CD OACD OA CD∴<>=，4322==．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arccos4． 18．（共13分）解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为610661512.15121010A P ==0≥．（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010C P ⨯===． 19．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M，．所以M 为矩形ABCD外接圆的圆心．又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．x（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b =从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤． 20．（本小题共14分）解：（I ）由方程22y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得220x kx -+=． ① 依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，解得k >（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，由2112y x =+，并令0y =，得1112x t x =-1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，故1x ==k > 1x 是关于k 的减函数，所以1x的取值范围是(0．t 是关于1x的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，（III ）当12x x <时，由（II ）可知1112x OM t x ==-+．类似可得2212x ON x =-．1212122x x x x OM ON x x ++-=-+．由①可知122x x =．从而0OM ON -=．当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i - 10．211n - 311．212．(23)， 13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=。

又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当n=1时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴==又12DE AO ==．∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB==，tan CDO =CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为arctan．解法二：（I ）同解法一。

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题北京卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）北京卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分考试时间120分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第I 卷（选择题共40分）注意事项：1 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ第一或第二象限角Ｂ第二或第三象限角Ｃ第三或第四象限角Ｄ第一或第四象限角2 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ (0)+∞，Ｂ (19]，Ｃ (01)，Ｄ [9)+∞，3 函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是（）Ａπ2Ｂ πＣ 2πＤ 4π4 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ 102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ 202⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｃ 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ 212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 5 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ()2142610C A 个Ｂ 242610A A 个Ｃ()2142610C 个Ｄ 242610A 个若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ 5a <Ｂ 7a ≥Ｃ 57a <≤Ｄ 5a <或7a ≥7 平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥Ｄ存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥8 对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ ①② Ｂ ①③ Ｃ ② Ｄ ③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2 答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9 ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是10 若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为11 已知向量2411()() ，，，a =b = 若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB=13 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于14 已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围16 （本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式17 （本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB = Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角 D 是AB的中点（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小x1 2 3 ()f x211x1 2 3 ()f x321 ABCDO（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的求：（I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；19 （本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程20 （本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）T NMD CBAoyx7年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）北京卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 Ｃ 2 Ｂ 3 Ｂ 4 Ｄ 5 Ａ6 Ｃ7 Ｄ 8 Ｃ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9 310 211n -11 3-121021372514 11三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15 （共12分）解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<< （II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，16 （共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+= ，，17 （共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD∴平面COD ⊥平面AOB（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，225CE CO OE ∴=+=又132DE AO == ∴在Rt CDE △中，515tan 33CE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3解法二：（I ）同解法一（II ）建立空间直角坐标系O x y z -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，，(0023)OA ∴= ，，，(213)CD =-，，，cos OA CD OACD OA CD ∴<>=，6642322== ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos418 （共13分）ABCDEOABCDx ozyI ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为610661512.15121010A P ==0≥（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010C P ⨯=== 19 （共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+320x y ++=（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心又22(20)(02)22AM =-++=从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以22PM PN =+，即22PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支因为实半轴长2a =，半焦距2c =所以虚半轴长222b c a =-=从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤ 20 （本小题共14分）T NMD CBAoyxI ）由方程22y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得220x kx -+= ····················· ①依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，解得22k > （II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，由2112y x =+，并令0y =，得1112x t x =- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，故2128428k k x k k --==+-，22k >， 1x 是关于k 的减函数，所以1x 的取值范围是(02)，t 是关于1x 的增函数，定义域为(02)，，所以值域为()-∞，0，（III ）当12x x <时，由（II ）可知1112x OM t x ==-+ 类似可得2212x ON x =- 1212122x x x x OM ON x x ++-=-+由①可知122x x =从而0OM ON -=当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=所以OM ON =。

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