人教版九年级数学中考复习实数

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九年级数学知识点归纳总结实数

九年级数学知识点归纳总结实数在九年级数学学习中，实数是一个非常重要的知识点。

实数是数学中的基本概念，对于理解和应用其他数学知识都起到了至关重要的作用。

本文将对九年级数学中与实数相关的知识进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握实数的性质和运算规则。

一、实数的基本性质实数是包含有理数和无理数的数集。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，可以是整数、分数或有限小数，而无理数则是不能表示为有理数的数。

实数具有以下几个基本性质：1. 实数可以按照大小进行比较。

对于任意两个实数a和b，有且只有以下三种情况之一：a>b，a=b或者a<b。

2. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，那么a>c。

3. 实数满足加法和乘法的封闭性，即两个实数的和或积仍然是一个实数。

二、实数的运算规则实数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。

以下是实数运算的几个重要规则：1. 加法和乘法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a，a*b=b*a，(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。

2. 加法和乘法满足分配律。

即对于任意实数a、b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。

3. 减法可以视为加法的逆运算。

即a-b=a+(-b)，其中- b表示b的相反数。

4. 除法可以视为乘法的逆运算。

即a÷b=a*(1/b)，其中1/b表示b的倒数，即 b的倒数是 1/b。

三、实数的分类实数可以进一步分类为有理数和无理数。

有理数包含整数、分数和有限小数，可以写成一个分数的形式。

而无理数则包含所有不能写成分数形式的实数，它们的小数部分是无限不循环的。

四、实数的近似表示由于无理数的小数部分是无限不循环的，无法精确表示出来，因此我们通常使用近似值来表示无理数。

对于根号2这样的无理数，我们可以使用2的近似值1.414来表示。

五、实数的应用实数在数学以及其他学科中有着广泛的应用。

九年级实数知识点归纳整理

九年级实数知识点归纳整理实数是数学中的一种数的集合，包括整数、有理数和无理数。

在九年级的数学学习中，实数是一个重要的概念。

本文将对九年级实数知识点进行归纳整理，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、整数整数是正整数、0和负整数的集合，用符号“Z”表示，如：-3，-2，-1，0，1，2，3等。

对于整数，有以下几个重要的概念和性质：1.1 相反数对于任意的整数a，都存在一个整数-b，使得a + (-b) = 0，称-b为a的相反数，-a也是a的相反数。

1.2 绝对值对于任意的整数a，a的绝对值表示a与0之间的距离，用符号“|a|”表示。

当a大于等于0时，|a|等于a；当a小于0时，|a|等于-a。

1.3 整数的四则运算整数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

在运算过程中，需要注意正负数之间的运算规则以及除法运算中的余数等问题。

二、有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数，用符号“Q”表示。

有理数的性质如下：2.1 分数分数是有理数的一种常见形式，由分子和分母组成，分母不能为0。

分数可以化简为最简形式，也可以相互比较大小。

2.2 有理数的四则运算有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

运算过程中需要注意有理数的相同/不同符号与大小关系，以及除法运算中的约分和倒数等问题。

三、无理数无理数是无法表示为两个整数的比值的数，其中最著名的无理数是π和开方号2。

无理数的性质如下：3.1 无理数的近似值由于无理数无法精确表示，因此可以使用无理数的近似值进行计算。

一般情况下，可以保留小数点后一定位数的近似值。

3.2 无理数与有理数的关系无理数与有理数可以通过对无理数进行逼近来进行简单的运算。

有理数的运算结果可能是无理数，而两个无理数的算术运算结果通常还是无理数。

四、实数的数轴表示实数可以通过数轴来进行图示表示，数轴上任意一点对应着一个实数。

整数和有理数可以准确地在数轴上表示，而无理数只能进行近似表示。

初三数学总复习(实数)

初三数学总复习数与式实数（一）知识梳理一.实数的有关概念 1、实数分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正整数整数零负整数有理数实数正分数分数负分数无理数－无限不循环小数------（有限小数和无限循环小数）注意：无理数有三种类型：（1）、π或者含π的式子；（2）、含有根号且开不尽方的数。

如：等；（3）、无限不循环的小数。

如：2.121121112.。

、3.141141114。

等。

实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。

解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。

特别要注意0是自然数。

2、数轴数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

3、绝对值绝对值的代数意义：绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。

数a 的绝对值记着┃a ┃。

4、相反数、倒数只有符号不同的两个数叫做互为相反数【若a+b=0,则a 与b 互为相反数】；数a 的相反数记为-a 【这是求一个数的相反数的方法。

求一个数或式的相反数就是在这个数或式的前面填上一个负号】。

数a （a ≠0）的倒数记为1a。

【这是求倒数的方法，若一个数是小数，求它的倒数时先将这个小数化为分数再求倒数】，若ab =1,则a 与b 互为倒数。

相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。

5、非负数2a a 、、（a ≥0）形式的数都表示非负数。

||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000②非负数的性质：几个非负数的和（积）仍是非负数；几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零。

6、负整数指数幂、零指数幂：1(0)p p a a a-=≠；01(0)a a =≠。

7、实数大小的比较：两个实数比较大小：正数大于零和一切负数；零大于一切负数；两个负数，绝对值大的数较小。

新人教版初中数学[中考总复习：实数--知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版初中数学[中考总复习：实数--知识点整理及重点题型梳理](基础)新人教版初中数学中考总复重难点突破实数—知识讲解（基础）考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.知识网络】考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数。

2.按性质符号分类：正整数、正有理数、正实数、正分数、正无理数、零、负整数、负有理数、负实数、负分数、负无理数。

要点诠释：有理数是指整数和分数的总称，而无理数是指无限不循环小数。

实数则是有理数和无理数的总称。

常见的无理数有以下几种形式：1）字母型：如π是无理数，而不是分数；2）构造型：如2.xxxxxxxx…（每两个1之间依次多一个）就是一个无限不循环的小数；3）根式型：2、5、…都是一些开方开不尽的数；4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等。

考点二、实数的相关概念1.相反数1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，如3和-3互为相反数；2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；3)互为相反数的两个数之和等于0，即a+b=0.2.绝对值1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；2)可用式子表示为：|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)。

2.减法a-b=a+（-b）；3.乘法同号两数相乘，积为正；异号两数相乘，积为负；4.除法a÷b=a（1÷b）（b0）.要点诠释：实数的四则运算：1）加法的运算规律：交换律、结合律、存在零元素、存在相反元素；2）减法的运算规律：a-b=a+（-b）；3）乘法的运算规律：交换律、结合律、存在单位元素1、存在相反元素；4）除法的运算规律：a÷b=a（1÷b）（b0）.本文介绍了数学中加减乘除、乘方开方等基本运算及其运算律。

九年级数学中考第一轮复习实数人教实验版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习实数人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：复习一：实数1. 借助数轴理解有理数、实数、相反数、绝对值的概念.2. 掌握用科学记数法表示一个数，会求近似数和有效数字.3. 会用多种方法比较实数的大小.二、知识要点： 1. 实数的分类整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负分数）实数有理数无理数正无理数负无理数无限不循环小数有限小数或无限循环小数实数正实数负实数负有理数负无理数正有理数正无理数正整数正分数零负整数负分数2. 实数中的几个重要概念（1）数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.实数与数轴上的点总是一一对应的，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大. 正数都大于0；负数都小于0；两个负数，绝对值大的反而小.（2）相反数只有符号不同的两个数，叫做互为相反数. 从数轴上看，互为相反数的两个数位于原点的两侧，且与原点距离相等.非零实数a 的相反数是－a ，0的相反数是0，相反数总是成对出现的. （3）绝对值数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作︱a ︱.负数的绝对值是其相反数，非负数的绝对值是其本身. 即︱a ︱＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a >0)0 (a ＝0)－a (a <0).去绝对值符号时关键是判断绝对值符号中代数式的正负，如果是非负数，应等于其本身；如果是负数，则应是它的相反数.（4）近似数、有效数字与科学记数法一个与实际数比较接近的数，称为近似数.对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字.把一个数记作a ×10n 的形式（其中1≤︱a ︱<10，n 为整数）叫做科学记数法.①当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤︱a ︱＜10，n 为整数，其值等于原数中整数部分的位数减去1；②当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤︱a ︱＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的那个零）.（5）倒数乘积为1的两个实数互为倒数. 只有零没有倒数，其他任何实数都有倒数.（6）平方根、算术平方根、立方根若一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，正数a的正的平方根叫做a的算术平方根. “0”的算术平方根是“0”；若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根；只有非负数才有平方根，且正数的平方根有两个；任何实数都有立方根，且一个数的立方根只有一个.3. 实数的运算（1）加法①同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 满足运算律：a＋b＝b＋a；a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c.（2）减法减去一个数等于加上这个数的相反数.（3）乘法①两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘.②n个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负.③n个数相乘，有一个因数为0，积就是0.④满足运算律：ab＝ba；（ab）c＝a（bc）；a（b＋c）＝ab＋ac.（4）除法①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.②0除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）乘方与开方乘方与开方互为逆运算.（6）实数的运算顺序加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算，运算顺序按从高到低进行，如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左到右依次进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.三、重、难点：1. 实数的有关概念；2. 实数的运算；3. 绝对值的性质.四、考点分析：本讲内容既考查分类讨论思想与数形结合的思想，又考查学生的运算能力、观察能力、解决实际问题的能力，以及探索知识，发现规律的能力，在中考中以近似数、有效数字、科学记数法等知识为考查对象的题目为必考内容，这样的题目贴近社会生活，多以生活中的热点、焦点问题为背景.【典型例题】例1.完成下列各题：（1）下列判断正确的是（）A. 所有的整数都是正数B. 正整数、负整数统称为整数C. 分数一定是有理数D. 有理数包括小数和整数解析：整数包括正整数、负整数和零，故选项A和选项B错，小数中的无限不循环小数是无理数，故选项D错；分数是有理数，选项C正确.（2）2009的相反数是（）A. －2009B. 2009C. －12009D.1 2009解析：根据相反数的定义，知2009的相反数是－2009，故选A.（3）已知︱a︱－2＝0，则a的值是（）A. ±2B. －2C. 2D.解析：本例考查绝对值的性质，绝对值为同一个正数的数有两个，而且它们互为相反数，故选A.（4）如果a的倒数是－1，那么a2009等于（）A. 1B. －1C. 2009D. －2009解析：因为a的倒数是－1，所以a＝－1，所以（－1）2009＝－1. 故选B.（5）在“（110）0、3.14、（3）3、（3）－2、sin45°、cos60°”这六个数中，无理数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：直接运用概念知道3.14是有理数，又（110）0＝1，（3）3＝33，（3）－2＝13，sin45°＝22，cos60°＝12，所以（3）3、sin45°是无理数. 故选A.例2.填空题（1）实数中绝对值最小的数是__________，最大的负整数是__________，最小的正整数是__________.解析：结合数轴，可知实数中绝对值最小的数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1.（2）如图所示，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有__________个.解析：设A、B之间表示整数的点为x，则－2＜x＜7. ∵－2＜－1＜0＜1＜4＜7. ∴－2＜－1＜0＜1＜2＜7. 即符合条件的整数x有－1，0，1，2，共4个.例3.如图所示是一台计算机D盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小，请用科学记数法表示该硬盘容量（保留3位有效数字）（）A. ×1010字节B. ×1010字节C. ×109字节D. ×1010字节解析：本题考查了计算机方面的相关问题，读懂图是最为关键的，同时要注意“保留3位有效数字”这一条件及科学记数法的要求. 选B已用空间 10,086,826,854字节9.40GB 可用空间 10,093,173,145字节 9.41GB 容量： 20,180,000,000字节 18.81GB驱动器D 磁盘清理(D)例4. （1）如图所示，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ，若点C 表示的数是1，则点A 表示的数是（） A. 7 B. 3 C. －3 D. －2解析：由C 点位置表示1，可知点B 表示－4，则点A 表示－2. 故选D.（2）实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（） ①b ＋c ＞0；②a ＋b ＞a ＋c ；③bc ＞ac ；④ab ＞ac . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个21-2-1ab c解析：实数与数轴上的点是一一对应的，由实数在数轴的位置，既能比较大小，又能确定它们的符号，观察数轴知，a ＞0，b ＞0，c ＜0且︱a ︱＞︱c ︱＞︱b ︱，∴b ＋c ＜0，即①不对；a ＋b ＞a ＋c ，即②对；∵b ＜a ，c ＜0，∴bc ＞ac ，即③对；∵a ＞0，b ＞c ，∴ab ＞ac ，即④对，故选C.例5. 完成下列各题：（1）下列计算结果为1的是（） A. （＋1）＋（－2） B. （－1）－（－2） C. （＋1）×（－1） D. （－2）÷（＋2）解析：（＋1）＋（－2）＝1－2＝－1；（－1）－（－2）＝－1＋2＝1；（＋1）×（－1）＝－1；（－2）÷（＋2）＝－1. 故选项B 正确.（2）下列计算：①0－（－5）＝－5；②（－3）＋（－9）＝－12；③23×（－94）＝－32；④（－36）÷（－9）＝－4. 其中正确的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：∵0－（－5）＝5；（－3）＋（－9）＝－12；23×（－94）＝－32；（－36）÷（－9）＝4. ∴②③正确，选B.例6. 计算：3－1－sin45°＋（2－1）0＋︱－22︱. 分析：本例考查了零指数幂、负指数幂、特殊三角函数值以及绝对值的性质，注意负指数幂的公式、非零数的零次幂等于1的结论.解：3－1－sin45°＋（2－1）0＋︱－22︱＝13－22＋1＋22 ＝13＋1 ＝43评析：实数的混合运算，一定要注意运算顺序，出现零指数幂或负指数幂的运算，要注意底数不为零才有意义，同时还要注意熟练掌握特殊三角函数值.【方法总结】实数是初中数学的基础内容，命题一般围绕以下几部分展开：1. 借助数轴，以数形结合的形式探究相反数、绝对值、算术平方根等概念与性质以及实数的大小比较. 2. 用实际生活的题材为背景，结合当今社会的热点、焦点问题考查近似数、有效数字、科学记数法等. 3. 实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算也是命题的重点，备考时要注意把握好符号关. 4. 通过对实数有关概念的学习，探究实数的不同分类方法，探究实数中的非负数及其性质. 5. 用生活、生产、科学技术等领域的数据来考查科学记数法.【预习导学案】（复习二：代数式）一、预习前知1. 用字母可以表示任意一个__________，如用字母a 可以表示数字2，也可以表示－2. 2. 用__________把数或字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或__________也是代数式.3. 一般地，用__________代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的__________叫做代数式的值.二、预习导学1. 整式分为__________和__________.2. 形如AB（A 、B 为整式，B 中含有__________）的式子叫分式.3. 用式子表示分式的基本性质：____________________.4. 式子__________叫做二次根式. 反思：（1）整式、分式、二次根式的运算法则是怎样的？（2）整式乘法和因式分解的关系.（3）对比体会实数的运算与代数式的运算.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. －6的倒数是（）A. －6B. 6C. －16D. 162. 下列计算正确的是（） A. －2＋︱－2︱＝0 B. 20÷3＝0C. 42＝8D. 2÷3×13＝23. 下列是互为相反数的一组为（） A. （－2）3与（－3）2 B. －23与（－2）3 C. －22与（－2）2 D. 2与︱－2︱4.亿用科学记数法表示为（结果保留2个有效数字）（） ×103×103×103×104*5. 下列判断正确的是（）A. 32＜3＜2 B. 2＜2＋3＜3 C. 1＜5－3＜2 D. 4＜3·5＜5 6. 下列各选项中，最小的实数是（） A. －3 B. －1 C. 0 D. 37. 在3.14、227、－3、364、π这五个数中，无理数的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4*8. 如图所示，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（） A. a ＋b ＞0 B. ab ＞0 C. a －b ＞0 D. ︱a ︱－︱b ︱＞0*9. 下列运算错误的个数有（）①（－3）3＝－9；②（－3）－2＝9；③23×23＝29；④－24÷（－2）2＝（－2）2＝4；⑤（2－3）0＝1；⑥5÷16×6＝5÷1＝5.A. 3B. 4C. 5D. 6**10. 如图所示，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A. －2－ 3B. －1＋ 3二、填空题1. －13的相反数是__________，－12的绝对值是__________，－15的倒数是__________.2. 近似数0.030万精确到__________位，有__________个有效数字，用科学记数法表示记作__________万.3. 4的算术平方根是__________.4. 9的平方根是__________.5. －2的倒数是__________.6. 我们知道，1纳米＝10－9米，一种花粉直径为35000纳米，那么这种花粉的直径用科学记数法可记为__________米.*7. 在等式3×－2×＝15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是__________.**8. 如图所示，某计算装置有一数据输入口A 和一运算结果的输出口B ，下表是小明输按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是__________.A 输入输出三、解答题1. 计算下列各题：（1）（13）－1＋（－2）3÷︱－4︱－9＋（－2009）0；（2）︱2－2︱－（3－π）0＋2cos60°＋418.2. 下面两个集合圈内各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“＋、－、×、÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数.**3. 某数学俱乐部有一种“秘密”的记账方法：当他们收入200元时，记为－180，当他们用去200元时，记为220元. 猜一猜：当他们收入100元时，可能记为多少？当他们用去100元时，可能记为多少？说说你的理由.**4. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…，它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示. 有规律排列的一列数：1、－2、3、－4、5、－6、7、－8，…. （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3）2009是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？【试题答案】一、选择题1. C2. A3. C4. A5. A 【32＝1.5，3≈1.732，∴32<3<2，故选A 】6. A 【∵负数<0<正数，又︱－3︱＞︱－1︱，∴－3最小. 】7. B 【－3和π是无理数，364＝4，是有理数】8. C 【从数轴上可以看出a ＞0，b <0，且︱a ︱<︱b ︱，∴a －b ＞0，故选C 】9. C 【①（－3）3＝－33＝－27；②（－3）－2＝19；③23×23＝26；④－24÷（－2）2＝－24÷22＝－22＝－4；⑤（2－3）0＝1，正确；⑥5÷16×6＝5×6×6＝180. 】10. A 【设点C 表示的数为x ，则由题意得3－（－1）＝－1－x ，解得x ＝－3－2，故选A 】二、填空题1. 13，12，－5 ×10－2×104×10－2，“3”后面的“0”是十位上的数字，故应填精确到十位，根据有效数字的概念，0.030万有两个有效数字，即3、0，写成科学记数法的形式时，要紧紧抓住a 、n×10－2万】3. 24. ±35. －22×10－57. 3【两个方格内的数互为相反数，说明两个方格内的数仅差一个符号，设第一个方格内的数为x ，则3x －2（－x ）＝15，即5x ＝15，x ＝3】8. 101【一般地，若输入的数为n ，则输出的数是n 2＋1. 对于这类题，要注意观察、归纳、寻求规律，会发现12＋1＝2，22＋1＝5，32＋1＝10，42＋1＝17，52＋1＝26，…. 所以若输入的数是10，则输出的数是102＋1＝101】三、解答题1. （1）原式＝3＋（－8）÷4－3＋1＝3－8÷4－3＋1＝3－2－3＋1＝－1；（2）原式＝2－2－1＋2×12＋2＝2.2. 本题属于开放性试题，答案不唯一，只要符合要求即可. 如：2÷23－2×（－8）＝3＋4＝7等.3. 从题意中可以看到收入为a 元时记为（－a ＋20）元，用去b 元时记为（b ＋20）元. 所以当他们收入100元时，记为－100＋20＝－80（元），当他们用去100元时，记为100＋20＝120（元）.4.（1）因为奇数项为正，偶数项为负，所以各项符号可用（－1）n ＋1表示，其中n 为正整数. 所以它的每一项可用（－1）n ＋1n 表示，答案不唯一. （2）由（1），当n ＝100时，它的第100个数是－100. （3）2009是这列数中的第2009个数.。

九年级数学知识点归纳总结实数

九年级数学知识点归纳总结实数实数是数学中一个重要的概念，它包含了有理数和无理数。

在九年级数学中，我们学习了很多与实数相关的知识点。

本文将对这些知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握实数概念。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数、零以及正、负分数等。

无理数是不能表示成两个整数的比的数，如π、√2等。

二、实数的表示实数可以用小数、分数和百分数表示。

小数是将数用十进制形式表示，可以是有限位数的小数，也可以是无限循环小数。

分数是用分子和分母表示的数，分子分母都是整数且分母不为零。

百分数是百分数与百分号（%）组成的数，表示百分之几。

三、实数的运算1. 实数的加法和减法：实数的加法是满足交换律、结合律和对加法逆元素的封闭性。

减法可以看作加法的逆运算。

2. 实数的乘法和除法：实数的乘法是满足交换律、结合律和对乘法逆元素的封闭性。

除法可以看作乘法的逆运算。

3. 实数的乘方和开方：实数的乘方是将实数连乘若干次的运算，记作an。

实数的开方是指找到一个数的平方等于该数的运算。

四、实数的性质1. 实数大小比较：实数可以通过大小比较运算符进行大小比较，如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

2. 实数的相反数和绝对值：实数a的相反数是-b，满足a + (-b) = 0。

实数的绝对值表示数与0之间的距离，用|a|表示，如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。

3. 实数的数轴表示：实数可以用数轴上的点来表示，其中0代表原点，正数向右延伸，负数向左延伸。

4. 实数的有序性：实数在数轴上是有序排列的，即可以通过大小比较来确定其顺序关系。

五、实数的应用实数在日常生活和实际问题中有广泛的应用：1. 金融领域：利率、股票价格、汇率等都是实数，它们的增长和变动可以通过实数的运算和比较来计算和预测。

2. 科学研究：物理学中的物理量、化学中的化学反应速率、生物学中的物种丰富度等都与实数密切相关。

初三数学复习实数基础知识梳理

初三数学复习实数基础知识梳理实数是数学中最基本也是最广泛应用的概念之一，它包括了整数、分数和无理数，是数轴上所有点的集合。

实数的研究是数学中的一个重要分支，也是数学教育中的重点内容之一。

在初三数学的学习过程中，掌握实数的基础知识是非常重要的。

本文将对初三数学复习实数基础知识进行梳理和总结。

一、自然数、整数和有理数的定义实数的基础是自然数、整数和有理数。

自然数是指从1开始的正整数，用符号N表示。

整数是全体自然数、0和它们的相反数的集合，用符号Z表示。

有理数是可以表示为两个整数的比例的数，包括整数和分数，用符号Q表示。

在数轴上，自然数、整数和有理数都可以找到对应的位置，自然数位于数轴的右侧，整数包括自然数，位于数轴上的0点，而有理数则覆盖了整个数轴。

二、无理数的定义与性质无理数是指不能表示为两个整数的比例的数，它的小数部分是无限不循环的。

无理数包括了开方不尽的根号数和圆周率π等。

无理数是实数的一个重要组成部分，也是数学中一个重要的研究对象。

当我们用小数形式表示无理数时，大多数情况下是近似值，无理数的近似值可以用有理数的无限循环小数来表示。

三、实数的运算法则实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面将具体梳理实数的运算法则。

1. 加法与减法实数的加法和减法法则与整数的运算法则相同。

同号相加，异号相减。

即正数加正数仍为正数，负数加负数仍为负数；正数减负数等于正数加正数，负数减正数等于负数加负数。

2. 乘法与除法实数的乘法与除法法则也与整数的运算法则相同。

同号相乘，异号相除。

即正数乘正数仍为正数，负数乘负数仍为正数；正数除以正数为正数，负数除以负数为正数。

需要注意的是，当除数为0时，任何数除以0的结果是无定义的。

四、实数的大小比较实数的大小可以通过大小比较符号进行比较。

常见的大小比较符号有大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)和等于号(=)。

通过数轴可以很直观地判断实数的大小关系。

(word完整版)九年级数学中考实数专题复习1.1实数

【知识点】考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 (1) 按定义分(2)按性质分2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： (1)开方开不尽的数，如 ~7\ 2等；n(2) 有特定意义的数，如圆周率n 或化简后含有 n 的数，如—+8等； 3(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；(4)某些三角函数，女口 sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：只有 ________ 不同的两个数叫做互为相反数，数 a 的相反数为 _______ , x — y 的相反数为 _____若a 与b 互为相反数，贝U ;互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离 __________ . 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|%。

若|a|=a,贝U a%;若|a|=-a ，贝U aO 。

3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是 1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根：如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做 a 的平方根(或二次方跟)一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“.a ”正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

3、立方根如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的立方根(或a 的三次方根) 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

第一讲：实数专题a 的平方根记做“aVa 2 a注意：3 a?a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

初三数学复习实数知识点梳理

初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。

在初三数学中，实数是一个重要的考点。

为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。

二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。

无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。

无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。

2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。

例如，3/4表示三除以四的结果。

3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。

例如，√9表示9的平方根，结果为3。

三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

（2）有理数的乘积仍然是有理数。

（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。

2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。

（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。

3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。

例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。

四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。

3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。

人教版初中数学中考第一轮复习——实数课件

跟踪训练
11.计算：3-（-1）=_____4______
2、常见的运算类型及法则
知识点6：实数的大小比较
差值比较法
商值比较法
绝对值比较法
其他方法
设a, b是任意两实数，则a－ b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝
0⇔a＝b
设a, b是两正实数，则 a/b >1⇔a>b； a/b ＝1⇔a＝b； a/b
<1⇔a<b
设a, b是两负实数，则 |a|>|b|⇔a<b；|a|＝|b|⇔a＝b；
和县石杨中学九年级数学
第一轮考点系统复习
第一章数与式
第一节实数
知识清单梳理
知识点1：实数的概念及分类
1．按定义分类：
实数
有理数
整数
分数
正整数零负整数
正分数有限小数或负分数无限循环小数
无理数
正负无无理理数数无限不循环小数
2．按正负分类：
正有理数
正实数
直线
数轴上的点与实数一一对应
只有__符__号__不同的两个数互为相反数
若a、b互为相反数，则有a＋b＝0，|a|＝ |b|.0的相反数是0
乘积 ________为1的两个数 0没有倒数，倒数等于
互为倒数
本身的数是1或－1
绝对值
数轴上表示数a的点与
原点的__距__离____，记作
|a|
a（a>0） |a|＝0（a＝0）
3. 若 a 1 =a-1,则a的取值范围是（A）
4.(2016 .玉林、防城港）在实数 1 ，， 2 中，分数的个数是（C）

九年级数学中考知识点归纳复习第1讲实数

（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数
例：
-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.
知识点三：科学记数法、近似数
6.科学记数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.
知识点二：实数的相关概念
2.数轴
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.
例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.
4.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：|a|= a (a≥0)；|a-b|= a-b(a≥b)
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0，p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x= .其中是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x= .
10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，

初三中考数学复习实数

九年级数学复习一——实数一、中考要求：1．主要考查实数及其相关概念，如：相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等概念。

会进行实数的简单四则运算。

2．了解实数与数轴上的点一一对应关系，会用数轴比较大小。

3．科学记数法，近似数和有效数字，会按照题目要求取近似数。

二、知识要点： 1．实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数或实数0⎧⎪⎨⎪⎩正实数负实数强调：（1）分数一定是有理数（2）无限不循环小数叫无理数.从形式上看有以下三类无理数：⑴含π的数：如π＋2，31-π；⑵开不尽的方根：如39,2，sin 60°；⑶无限不循环小数如1.212112….2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

3.相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． 4.绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 注意：（1）若a a =，则a_0，若a a =-，则a_0。

（2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离（3）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，不能写成 22±=-． 5.倒数实数a (a ≠0)的倒数是a1。

强调：零没有倒数．6.科学记数法：10na ⨯，其中1≤a ＜10，n 为整数有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．例如：15876保留两个有效数字是1.6×104，不能写成160007．⑴正数a 有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫__________. 负数没有平方根，0的平方根为______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 . ⑶=2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .（4）无理数的估算：记住常用的1.414≈ 1.732≈2.236≈3.162≈8．零指数幂和负指数幂：0a = ，其中；pa -= ，其中。

九年级数学中考复习—实数课件全

a2 0 a 0 a 0 (a 0)
练习一
（1） 3 的倒数是 1/3 ；
（2） 3－2的绝对值是 2 － 3；
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y= 3或－3 。
（4） 2 1 的倒数与 2 3 的相反数的和列式为
，
计算结果为；
（5）若（x-2）2 +︱y+3︱+ 2 z 1 =0 ，则x+y-z=
数轴,相反数,倒数
绝对值
科学记数法,近似数和有效数字
零指数、负整数指数幂的运算
加、减、乘、除、乘方、开方及混合运算
无理数
无限不循环小数
(1)、
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数,三角函数值的大部分
(3)、类似于0.0100100010 0001
练习二
B
1 -1 0
A
（C）
C.4.2×106个 D.420×105个
3. 据中新社报道：2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000千克，用
科学记数法表示这个粮食产量为 5.4×1011 千克。
科学记数法：把一个数记成 a 10n 的形式，其中 1 a 10 ，
n 为整5
,
若10 a 102 a (a,b为正整数)
b
b
则a b 109
发现与探索
• 1.（2002年济南）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多很细的面条。如图所示：
• 这样捏合到第几次后可拉出128根面条？
12 2
如图:OA=OB,数轴上A点对应的数是什么?

九年级数学复习——实数

初中数学知识复习第一讲:实数一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ；（2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0,a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；(2)a 和b 互为倒数⇔1=ab ；(3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3)去掉绝对值符号(化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负)确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0,称a ±叫a 的平方根,a 叫a 的算术平方根。

(2）正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根.三、实数与数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素.2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0；负数小于0;正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小.五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

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