历年广州中考二次函数试题
2020-2021广州中考数学 二次函数 综合题
2020-2021广州中考数学 二次函数 综合题一、二次函数1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．2．已知，抛物线y ＝ax 2+ax+b （a≠0）与直线y ＝2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D的坐标为（-12，-94a）；（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=-2，∴y=2x-2，则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a -2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94， 由222y x x y x⎧=--+⎨=-⎩， -x 2-x+2=-2x ，解得：x 1=2，x 2=-1，∴G （-1，2），∵点G 、H 关于原点对称，∴H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0，t=94，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2y mx2mx3m=--（m＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）．∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =-,22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】 试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．5．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
2012-2017年广东省中考数学试题之二次函数
14、二次函数22. （2012广东）如图，抛物线 y=：x 2-2连接BC AC（1 ）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线I 平行BC 交AC 于点D.设AE 的长为m △ ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接 CE 求A CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心,与BC 相切的圆的面积（结果保留n ）.考点：二次函数综合题。
解答：解：(1)已知：抛物线 y 二丄x 2-卫x - 9; 当 x =0 时，y =- 9，则：C (0,- 9);当 y =0 时，丄x 2- x - 9=0,得：X 1=- 3, X 2=6,则：A (- 3, 0)、B (6, 0); 2 2••• AB=9, OC9.(2) •/ ED/ BCAED^A ABC1 g (3 ) S ^AE(= ^AE^OCy^m $△ AED=S』x -9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,22，得:s=m (0 V R K 9).21 2.F ；则：SA ED'AEC -SA AE D =-£m+^g-g (m ■弓)818• △ CDE 的最大面积为生此时,8AE=心,BE=AB-咤.SAABC=£丨即: =(过 E 作 EF l BC 于 F ,贝V Rt A BED Rt A BCQ 得:EF =BC 相切的圆的面积 So E = n E.F=-——L52I kt*2 223. (2013广东省)已知二次函数 y=x - 2mx+m- 1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点0( 0, 0)时，求二次函数的解析式；(2) 如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D,求C D 两点的坐标；(3) 在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P ,使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点考点：二次函数综合题；最值问题；轴对称 -最短路线问题.分析：(1)根据二次函数的图象经过坐标原点 0( 0, 0)，直接代入求出 m 的值即可；(2)根据m=2代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与 y 轴交点即可； (3)根据当P 、C D 共线时PC+PD 最短，利用平行线分线段成比例定理得出 P0的长即可 得出答案.解答：解：(1) •••二次函数的图象经过坐标原点0(0, 0),2 2 2•代入二次函数 y=x - 2mx+m- 1,得出：m -仁0, 解得：m=± ,二二亠，即:OC BC2丿=g 3Vi3•••以E 点为圆心，与2 2•••二次函数的解析式为：y=x - 2x或y=x +2x ；(2) •/ m=22 2 2 2•••二次函数y=x - 2mx+m- 1 得：y=x - 4x+3= (x - 2) - 1,•••抛物线的顶点为：D (2, - 1), 当 x=0 时，y=3, • C 点坐标为:(0, 3);(3)当P 、C 、D 共线时PC+PD 最短, 过点D 作DE I y 轴于点E ,A 、函数有最小值B、对称轴是直线x=-21C 、当XV 1, y 随x 的增大而减小D 、当-1 < x < 2时，y>0210. (2015) 如题10图，已知正厶ABC 勺边长为2, E , F , G 分别是AE , BC CA 上 的点，且AE=BF=CG 设 △ EFG 勺面积为y , AE 的长为x ,贝V y 关于x 的函数图象 大致是( )D-I.--「-,•」 / 一一一一 畀一」一解得：叱,点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线 问题等知识，根据数形结合得出是解题关键.10、( 2014)二次函数y = ax 2 • bx • c a = 0的大致图象如题关于该二次函数，下列说法错误的是(D )题10图• PC+PD 最短时，P 点的坐标为:精品文档【答案】D.【解析】根据题意，有 AE=BF=C ,且正三角形ABC 的边长为2, 故BE=CF=AG=2-x 故厶AEG △ BEF △ CFG^个三角形全等. 在厶 AEG 中, AE=x, AG=2-x, 则 S△ AEG= 1AE^AG^sinA= -^x (2-x );24故可得其图象为二次函数，且开口向上，选D 。
2022年广东省广州市中考数学总复习：二次函数
2022年广东省广州市中考数学总复习：二次函数
1．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
2．对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y＝ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y＝ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．（1）如图，直接写出二次函数y＝（x+1）2﹣2的关联正方形OPMN顶点N的坐标，并验证点N是否为伴随点（填“是“或“否“）：
（2）当二次函数y＝﹣x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：
②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y＝﹣x2+4x+c的解析式；
③关联正方形OPMN被二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别
为S1与S2，若S1≤1
3S2，请直接写出c的取值范围．
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广东中考二次函数题
广东中考二次函数题23．（2013广东省）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．22．（2012•广东）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．15．已知一元二次方程022=+-m x x 。
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且3321=+x x ，求m 的值。
17．已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）。
（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围。
第17题图15．（2011广东中山，15,6分）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围；(2)抛物线212y x x c =++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值．22．（2011广东中山，22,9分）如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）. （1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.17．已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0）， 与y 轴的交点坐标为（0，3）。
广东中考数学二次函数综合练习题
二次函数综合大题1.如图，抛物线2=++交x轴于点A，B两点，1y x bx cOA=，与y轴交于点C，连接AC，tan3∠=，抛物线的对称轴与x轴交于点D．OAC（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且满足2∠=∠，求直线PA在与y轴交点的坐标；PAB ACO（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM DN+为定值，并求出这个定值．2.如图，抛物线22y ax ax c=-+与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，点1(2，33)4a--在抛物线上．（1）求c的值；（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD DE=，①求抛物线所对应的函数表达式；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C的长为半径作⊙C，点T为⊙C TF+的最小值．3. 已知：如图，抛物线23y ax bx =++与坐标轴分别交于点A ，(3,0)B -，(1,0)C ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，PAB ∆的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作//PE x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使PDE ∆为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．4. 如图，抛物线(3)(2)y x x a =--交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），23OA OB =． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接BC ，点P 在抛物线上，且12BCO PBA ∠=∠．求点P 的坐标；（3）如图②，M 是抛物线上一点，N 为射线CB 上的一点，且M 、N 两点均在第一象限内，B 、N 是位于直线AM 同侧的不同两点，tan 2AMN ∠=，点M 到x 轴的距离为2L ，AMN ∆的面积为5L ，且ANB MBN ∠=∠，请问MN 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5. 在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；6.如图，在平面直角坐标系中，直线26=+与x轴交于点A，与y轴交点C，y x抛物线2y x bx c=-++过A，C两点，与x轴交于另一点B．2（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在点E，使BE与AC的交点F恰好为BE的中点？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，说明理由．（3）若点E在抛物线上且横坐标为2-，点N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点M的坐标．7. 如图，已知抛物线2)(4)y x x =+-与x 轴交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，//CD x 轴交抛物线于点D ，M 为抛物线的顶点．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）设动点(2,)N n -，求使MN BN +的值最小时n 的值；（3）P 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P ，使以P 、A 、B 为顶点的三角形与ABD ∆相似(PAB ∆与ABD ∆不重合）？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8. 抛物线24y ax bx =+-交x 轴于(2,0)A -，(4,0)B 两点交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D 在线段BC 上．①把点D 绕点A 逆时针方向旋转90︒，恰好落在y 轴正半轴的点E 处，求点E 的坐标；②若点M 在抛物线上，ADM ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求点D 的坐标． （3）如图2，若点P 在第四象限的抛物线上，过A,B,P 作⊙O 1，作PQ ⊥x 轴于Q ，交⊙O 1于点H ，求HQ 的值．9. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A ，(5,0)B 两点，与y 轴交于点C ．抛物线顶点纵坐标为4-．（1）求抛物线的解析式及C 点坐标．（2）如图1，过C 作x 轴的平行线，与抛物线交于点M ，连接AM 、BM ，在y 轴上是否存在点N ，使ANB AMB ∠=∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）把线段OC 绕O 点顺时针旋转，使C 点恰好落在抛物线对称轴上的点P 处，如图2，再将线段OP 绕P 点逆时针旋转45︒得线段PQ ，请计算Q 点坐标，并判断Q 点在抛物线上吗？10.如图，已知二次函数y1=－x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0,3），过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数的解析式及直线AB的解析式；（2）已知点P为直线AB上方抛物线上一动点，△ABP的面积为S，求S的最值；（3）M为抛物线对称轴上一动点，是否存在这样的点M，使得△ABM为等腰三角形？若存在，求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．12.如图①抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A 点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q。
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5 7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5 8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．10．（2017•广州）当x＝时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．20．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】函数及其图象．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，不是2a+b＜0，错误；C、当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴3a+c＝a﹣b+c＜0，所以C正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，可得：ax2+bx+c﹣3＝0，此方程有一个实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y ＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．【解答】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，故C错误；D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5【考点】二次函数的最值；代数式求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，当b＝3时，S有最大值为＝2．故选：C．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，则AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化简得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化简得ab＝1．则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．故选：A．【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．【解答】解：∵二次函数y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y 轴，开口向上，此题难度不大．10．（2017•广州）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．【考点】二次函数的最值．【专题】推理填空题．【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是多少．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+x n）x+（x12+x22+…+x n2），∵n＞0，∴当x＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）设该产品的销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．【点评】本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式．14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x 元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，则，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】函数及其图象．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°＝，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝3，设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（﹣2，0），y2经过（﹣2，0）和A，符合题意；当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），∴﹣＝﹣1，＝1或9，解得m＝﹣2，n＝0或8，∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，∴y2＝5x+10．②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，解得；∴y2＝x+．【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF＝BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABD＝×5＝，设D（x，y），∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，当y＝3时，由﹣x2+x+2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y＝﹣3时，由﹣x2+x+2＝﹣3，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2，∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE＝＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，。
2022年广东省广州市中考数学总复习：二次函数
2022年广东省广州市中考数学总复习：二次函数1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为劣弧BD 的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．140°B ．40°C ．70°D ．50°【解答】解：连接AC ，∵点C 为劣弧BD 的中点，∠DAB ＝40°， ∴∠CAB =12∠DAB ＝20°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°﹣20°＝70°， 故选：C ．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x =−12，结合图象分析下列结论： ①abc ＞0； ②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； ④b 2−4ac 4a＜0；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解答】解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x =−12可得， 9a ﹣3b +c ＝0，−b 2a =−12，即a ＝b ，与x 轴的另一个交点为（2，0），4a +2b +c ＝0， 抛物线开口向下，a ＜0，b ＜0， 抛物线与y 轴交于正半轴，因此c ＞0， 所以，abc ＞0，因此①正确； 由9a ﹣3b +c ＝0，而a ＝b ， 所以6a +c ＝0，又a ＜0， 因此3a +c ＞0，所以②正确；抛物线的对称轴为x =−12，a ＜0，因此当x ＜−12时，y 随x 的增大而增大，所以③不正确；由于抛物线的顶点在第二象限，所以4ac−b 24a＞0，因此b 2−4ac 4a＜0，故④正确；抛物线与x 轴的交点为（﹣3，0）（2，0），因此当y ＝﹣3时，相应的x 的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧， 因此m ＜﹣3，n ＞2，所以⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故选：B ．3．式子√2x −3成立的条件是（ ） A ．x ＞32B ．x ≥32C ．x ＜32D ．x ≤32【解答】解：要使二次根式√2x −3成立，必须2x ﹣3≥0，解得：x≥3 2，故选：B．4．用﹣a表示的一定是（）A．正数B．负数C．正数或负数D．正数或负数或0【解答】解：如果a是小于0的数，那么﹣a就是正数；如果a大于0，那么﹣a就是负数；如果a是0，那么﹣a也是0．所以﹣a表示的一定是正数或负数或0．故选：D．5．在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在0.1微米左右，0.1微米等于0.000001米，数字0.000001用科学记数法表示为是（）A．1×10﹣7B．1×10﹣6C．1×10﹣5D．0.1×10﹣5【解答】解：0.000001＝1×10﹣6．故选：B．6．永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.236.236.536.336.236.436.3 A．36.3和36.2B．36.2和36.3C．36.2和36.2D．36.2和36.1【解答】解：将这组数据重新排列为36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5，所以这组数据的众数为36.2，中位数为36.3，故选：B．7．下列计算中正确的是（）A．a2+b3＝2a5B．（3a）2＝6a2C．（a+2）2＝a2+4D．（﹣a2）3＝﹣a6【解答】解：A．a2和b3不能合并，故本选项不符合题意；B．（3a）2＝9a2，故本选项不符合题意；C．（a+2）2＝a2+4a+4，故本选项不符合题意；D．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意；故选：D．8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．9．若a＜b，则（）A．a+1≤b B．b﹣1≤a C．a﹣1＜b+1D．a+1＜b﹣1【解答】解：A、∵a＜b，∴a+1＜b+1，原变形错误，故此选项不符合题意；B、∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；C、∵a＜b，∴a﹣1＜b+1，原变形正确，故此选项符合题意；D、∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．10．下列命题：①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②两直线平行，内错角相等；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④等腰三角形的底角必为锐角，其中假命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①如果两个角相等，那么它们是对顶角，错误，是假命题，符合题意；②两直线平行，内错角相等，正确，是真命题，不符合题意；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，是真命题，不符合题意；④等腰三角形的底角必为锐角，正确，是真命题，不符合题意，故选：A．。
专题07 二次函数(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(原卷版)
专题07 二次函数1．（2019•深圳）已知y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则y =ax +b 和y c x=的图象为A ．B ．C ．D ．2．（2019·广东初三中考模拟）抛物线y =（x -4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A ．（4，-5），开口向上B ．（4，-5），开口向下C ．（-4，-5），开口向上D ．（-4，-5），开口向下3．（2019·广东初三中考模拟）将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是A ．()22y x =-B ．()226y x =-+ C ．2y x = D ．26y x =+ 4．（2019·广州大学附属中学初三中考模拟）在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随着x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >-15．（2019·广东初三中考模拟）二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx -t =0（t 为实数）在-1<x <4的范围内有解，则t 的取值范围是A ．0<t <5B ．-4≤t <5C ．-4≤t <0D ．t ≥-46．（2019·广东初三中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y =ax -b 和二次函数y =-ax 2-b 的大致图象是 A ． B ．C ．D ．7．（2019·广东初三中考模拟）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x =－1；②c =3：③ab >0；④当x <1时，y >0；⑤方程20ax bx c ++=的根是13x =-和21x =，正确的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．（2019·广东初三中考模拟）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线x =1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是A ．（0，12-） B ．（12-，0） C ．（0，-1） D ．（-1，0）9．（广东省广州市天河区2019届九年级第一次诊断性检测数学试题）下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值；③若n>3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n-4）个；④若函数图象过点（x0，m）和（x0-1，n），则m<n，其中真命题的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个10．（2019·广东初三中考模拟）已知抛物线y=ax2-3ax-4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．11．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校初三中考模拟）某纪念品专卖店上周批发买进100件A纪念品和300件B纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A纪念品和100件B纪念品，花费6200元．（1）求每件A纪念品和B纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a为多少时，该纪态品专卖店销售A纪念品每周获得的利润W最大？并求出最大利润．12．（2019·广东初三中考模拟）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y套．[参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）]． （1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？。
押广东广州卷第24-25题(二次函数、特殊四边形中动点问题)(原卷版)-备战2024年中考数学
押广东广州卷第24-25题押题方向一：二次函数3年广东广州卷真题考点命题趋势2023年广东广州卷第24题反比例函数和二次函数综合从近年广东广州中考来看，二次函数经常会与一次函数、反比例函数、几何图形结合一起来考查，依据几何图形的性质结合二次函数最值解决问题，综合难度较大；预计2024年广东广州卷还将继续重视对二次函数与其他函数和几何图形的综合考查。
2022年广东广州卷第24题一次函数和二次函数2021年广东广州卷第24题二次函数1．（2023·广东广州·中考真题）已知点(,)P m n 在函数2(0)y x x=-<的图象上．（1）若2m =-，求n 的值；（2）抛物线()()y x m x n =--与x 轴交于两点M ，(N M 在N 的左边），与y 轴交于点G ，记抛物线的顶点为E ．①m 为何值时，点E 到达最高处；②设GMN ∆的外接圆圆心为C ，C 与y 轴的另一个交点为F ，当0m n +≠时，是否存在四边形FGEC 为平行四边形？若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·广东广州·中考真题）已知直线l ：y kx b =+经过点（0，7）和点（1，6）．(1)求直线l 的解析式；(2)若点P （m ，n ）在直线l 上，以P 为顶点的抛物线G 过点（0，-3），且开口向下①求m 的取值范围；②设抛物线G 与直线l 的另一个交点为Q ，当点Q 向左平移1个单长度后得到的点Q '也在G 上时，求G在45m ≤x ≤415m+的图象的最高点的坐标．3．（2021·广东广州·中考真题）已知抛物线()2123y x m x m =-+++（1）当0m =时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．1.二次函数（含参）最值讨论技巧：已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)（下面以a ＞0为例进行讨论）。
广东省广州市第21中2024-2025学年九年级数学第22章 二次函数单元测(无答案)
二次函数全章测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．22y x =向上平移3个单位后，向右平移4个单位后的解析式（ ）A. ()2243y x =-+B. ()2243y x =++C. ()2243y x =++D.()2243y x =-+2．抛物线()2-+2-3y x =的顶点坐标是（ ）A. ()2,3--B. ()2,3C. ()23-，D.()2,3-3．若二次函数2y x m =+的图像经过原点，则m 的值是（ ）A. 1B. 0C. 1-D. 无法确定4．下列二次函数中，其图像对称轴为x=-2的是（ ）A. ()22y x =+B.222y x =-C. 222y x =--D. ()222y x =- 5．已知抛物线21y x x =++与x 轴交点的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无法确定6．抛物线2234y x x =++与y 轴的交点为（ ）．A. ()0,2B. ()0,4C. ()03，D.()0,07．二次函数()221y x =+-的图像大致为（ ） A B C D 8．函数231y x =+的最小值为（ ）A. 3B. 1C. 0D.1-9．已知（-1，1y ），（1，2y ）在抛物线()21y x =+的图像上，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A. 12y y ＞B. 12y y ＜C. 12=y yD.无法确定10.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠开口向下，对称轴x=1 ，与x 轴的一个交点为-1，则下列结论中正确的是 （ ）A. a ＞0B. 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C. c ＜0D.3是方程20ax bx c ++=的一个根二、选择题（每小题4分，共24分） 11.二次函数224y x x =-+-的开口方向___________，对称轴__________，图像是____线。
12．抛物线y=223x x -+的对称轴为__________13．抛物线232y x x =-+与x 轴的交点坐标为__________。
广州市九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典测试卷(含答案解析)
一、选择题1．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ） ①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<；④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④B 解析：B【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a =-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④．【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确； ②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a --=-=-==-， 当11222a <-<时，解得102a <<， ∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大，由此1222x a =-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a ﹣b+c ＞0；②3a+b ＝0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，即-2b a=1， ∴2a+b=0，∵a≠0，∴3a+b≠0，故②错误；∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与直线y=n 有唯一一个交点，即方程ax 2+bx+c=n 有两个相等的实数根，∴△=b 2-4a （c-n ）=0，∴b 2=4a （c-n ），故③正确；∵抛物线的开口向下，∴y 最大=n ，∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确；故选：C ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．3．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案．【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0，∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600，∴顶点坐标为（20，600），∵s 从0开始到最大值时停止，∴0≤t≤20，∴C 选项符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（ ）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小D 解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．5．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ） A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位C解析：C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x 2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =<B 解析：B【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小即可得出结论．【详解】解：二次函数2(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-，∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，∴13y y =，∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小，∴23y y >，∴312y y y =<，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴． 则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．8．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x 时，0y >，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤B解析：B【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；【详解】∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号，∵开口向下，∴0a <，0b >，∵函数图像与y 轴正半轴相交，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴12b x a=-=， ∴20a b +=，故②正确；∵20a b +=，∴2b a =-，∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；根据图示，当1m =时，有最大值；当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；故正确的答案是①②④；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的解析式是（ ）A ．25(1)3y x =-++B ．25(1)3y x =--+C ．25(1)3y x =-+-D ．25(1)3y x =---B解析：B【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--； 由“上加下减”的原则可知，抛物线()251y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2513y x =--+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 10．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---， ∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y 轴左侧判定ab 同号根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a ＜0抛物线的对称轴位于y 轴的左侧则ab 同号即解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y 轴左侧判定a 、b 同号，根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a ＜0，抛物线的对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，所以bc ＞0，即bc 的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线()20y ax bx c a =++≠中a 、b 、c 所表示的几何意义． 12．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．或【分析】先求出A1A2B1B2…的坐标若B1为直角顶点则A1A2的中点（10）到B1的距离与到A1和A2的距离相等求出d的值；同理：若B2为直角顶点求出d的值；若B3为直角顶点求出的d值是负数（舍解析：512或1112【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．【详解】解：直线l：1134y x=+，当x＝1时，y＝7 12，即：B1（1，712），当x＝2时，y＝11 12，即：B2（2，1112），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，即：1﹣d＝7 12，解得：d＝5 12；同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝11 12，解得：d＝11 12；若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是512或1112．故答案为：512或1112．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．13．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：3【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长． 【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3， 故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1， 则﹣1＝﹣13x 2， 解得：x ＝3故当水位上涨2m 时，水面宽CD 为3． 故答案为：3【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D 点横坐标是解题关键．14．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可． 【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°， ∴∠DBF=∠BDF=45°， ∴DF=BF=2． 当x=1时，y=-4a ， ∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∴EF=4a ． ∵DE=1， ∴4a-2=1 解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．15．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()ba b c a++的值为______．＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线解析：6 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以ba＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算ba（a ＋b ＋c ）的值． 【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2ba＝−1， ∴ba＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等， ∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3，∴ba（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16．已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得成立的取值范围是_______．的数据和二次函数的性质可以得到对称轴函数图象的开口方向再根据表格中的数据即可得到y-3＞0成立的x 取值范围【详解】解：由表格可知该二次函数的对称轴是直线函数图象开口向上故y-3＞解析：1x <-或3x > 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y-3＞0成立的x 取值范围． 【详解】 解：由表格可知，该二次函数的对称轴是直线1312x -+==，函数图象开口向上， 故y-3＞0成立的x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3， 故答案为：x ＜-1或x ＞3． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．【分析】先求得对称轴再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标即可求解【详解】抛物线的对称轴由图象得抛物线与轴的一个交点的坐标为(30)∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为(-10)∴元二次解析：11x =-，23x = 【分析】先求得对称轴1x =，再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可求解． 【详解】抛物线的对称轴212ax a-=-=， 由图象得抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0)， ∴元二次方程2230ax ax -+=两根为1213x x =-=，． 故答案为：1213x x =-=，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，理解方程20ax bx c ++=的根就是函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴的交点的横坐标是解题的关键．18．二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程28x bx c ++=-的根是____________．【分析】根据题目中的函数解析式可知当时从而可得到一元二次方程的根本题得以解决【详解】由图象可知当时即时∴一元二次方程的根是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系解答本题的关键是明确解析：122x x ==-【分析】根据题目中的函数解析式可知，当8y =-时，2x =-，从而可得到一元二次方程28x bx c ++=-的根，本题得以解决．【详解】 由图象可知，当8y =-时，2x =-，即2x =-时，28x bx c ++=-， ∴一元二次方程28x bx c ++=-的根是122x x ==-， 故答案为：122x x ==-． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5 【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根． 【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b=++=4， ∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b=++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-， ∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =， ∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5， 故答案为：x=﹣1或﹣5． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键．20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为_____．（）【分析】根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于AB两点与y轴交于点C得A（10）B（20）C（02）过点B作BM⊥BC 交CD延长线于点M过点M作MG⊥x轴于点G易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角解析：（715 ,24）【分析】根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直线CM的解析式为y＝12x+2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D的坐标．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），∴OB＝OC∴∠OBC＝45°，如图，过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，∴∠COB＝∠MGB＝90°∴∠CBO+∠MBG＝90°∴∠MBG＝45°∴MG＝BG∴等腰直角三角形OCB ∽等腰直角三角形GBM ∴BC BM＝OCBG ∵tan ∠DCB ＝MBBC＝3 ∴123BG = ∴BG ＝6 ∴MG ＝6∴M （8，6）设直线CM 解析式为y ＝kx +b ， 把C （0，2），M （8，6）代入， 解得k ＝12，b ＝2 所以直线CM 的解析式为y ＝12x +2 联立212232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得1102x y =⎧⎨=⎩，2272154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴D （715,24） 故答案为（715,24）． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．三、解答题21．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围． 解析：（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤ 【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得： （10+x ）（500﹣20x ）＝5520， 解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元； 答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++令6000w =，即22030050006000x x -++=， 解得125,10x x ==，20a =-<，∴要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤， 答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤． 【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．22．一网店经营一种玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查表明：当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：x 应定为多少元？ （3）若该网店要完成不少于550件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？解析：（1）101000x -+，210130030000x x -+-；（2）销售单价x 应定为50元或80元；（3）最大利润为8250元． 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解即可；（2）由（1）可得210x 1300x 3000010000-+-=，然后求解即可；（3）由题意易得101000550x -+≥，然后可得4045x <≤，最后由二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：销售量()6001040101000y x x =--=-+；销售玩具获得利润()()23010100010130030000w x x x x =--+=-+-；故答案为101000x -+，210130030000x x -+-； （2）由（1）及题意得：210x 1300x 3000010000-+-=，213040000x x -+=，解得：1250,80x x ==， ∵40x >， ∴1250,80x x ==；答：销售单价x 应定为50元或80元． （3）由题意得：101000550x -+≥，解得：45x ≤， ∵40x >， ∴4045x <≤，∵()2210130030000106512250w x x x =-+-=--+，∴100a =-<，对称轴为直线65x =， ∴当4045x <≤时，w 随x 的增大而增大，∴当x=45时，w 有最大值，即为()2104565122508250w =-⨯-+=；答：销售该玩具所获最大利润为8250元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．23．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？解析：能，理由见解析 【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A （﹣2，﹣4.4），B （2，﹣4.4），设这个函数解析式为y ＝kx 2．将A 的坐标代入，得y ＝﹣1.1x 2，∵货车装货的宽度为2.4m ，∴E 、F 两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x ＝1.2时 y ＝﹣1.584，∴GH ＝CH ﹣CG ＝4.4﹣1.584＝2.816（m ），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m ，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．24．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 解析：223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．25．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）．（1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．解析：（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+， 由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，∵让利给顾客，∴3x =，即当售价为57元时，利润最大，∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．26．平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）将点C 向右平移n 个单位，再次落在二次函数图象上，求n 的值；（3）对于这个二次函数，若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围．解析：（1）234y x x =--；（2）3n =；（3）12x >- 【分析】（1）把A,B 代入解析式求出b,c ，即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线的对称性即可求得；（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数2+y x bx c =+的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，∴164010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩， 解得34b c =-⎧⎨=-⎩， ∴234y x x =--．（2）依题意，点C 的坐标为()0,4-， 该二次函数图象的对称轴为322b x =-=， 设点C 向右平移n 个单位后，所得到的点为D ，由于点D 在抛物线上，∴C ，D 两点关于二次函数的对称轴32x =对称． ∴点D 的坐标为()3,4-．∴3n CD ==．（3）依题意，即当自变量取4x +时的函数值，大于自变量为x 时的函数值． 结合函数图象，由于对称轴为32x =，分为以下三种情况： ①当342x x <+≤时，函数值y 随x 的增大而减小，与题意不符； ② 当342x x <<+时，需使得33422x x -<+-，方可满足题意，联立解得1322x -<<； ③342x x ≤<+时，函数值y 随x 的增大而增大，符合题意，此时32x ≥． 综上所述，自变量x 的取值范围是12x >-． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．27．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？解析：（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．【详解】解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元.200(150)(105)6755x x --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；（2）200(150)(105)5x y x -=-+⨯ 2(180)900x =--+。
2025年广东省中考数学一轮复习：二次函数(附答案解析)
2025年广东省中考数学一轮复习：二次函数
一．选择题（共10小题）
1．将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣（x+1）2+1B．y＝﹣（x+3）2+1
C．y＝﹣（x﹣3）2+1D．y＝﹣（x+1）2+7
2．抛物线y=−122−3的顶点坐标是（）
A．（12，﹣3）B．（﹣3，0）C．（0，﹣3）D．（0，3）
3．抛物线y＝a（x﹣1）2﹣2（a≠0）当﹣1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a 的值为（）
A．1B．34C．34或−34D．54或−34
4．若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论正确的是（）
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是13＜＜34．A．①②③B．②④C．①③D．①③④5．函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点与y轴交于点C，对称轴为x＝1，则下列四个结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③﹣1＜x＜3时，y＞0；④4a+c ＜0．其中正确结论的个数为（）
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广东省 广州市 九年级 数学 二次函数单元测试(无答案)
二次函数单元测试 一. 选择题（每题3分, 共18分）1.下列函数中, 当 时, 随 的增大而减小的函数是（ ） A....B.. C...D.2.抛物线223y x x =++的对称轴是（ ） A.直线..B.直线. C.直线..D.直线3.抛物线如图所示, 抛物线的解析式可能是（ ） A....B.C.223y x x =-++ D.223y x x =-+-第3题 第4题 第6题4.二次函数 的图像如图所示, 关于 的一元二次方程 的一个解是 , 则二次函数的对称轴 =（ ） A...B.. C...D.05.已知函数 , 则当 ＜0时, 自变量 的取值范围是（ ） A. ＜ 或 ＞. B. ＜ ＜. C. ＜ 或 ＞. D. ＜ ＜16.平面直角坐标系xoy 中, 二次函数 的图像如图所示, 下列说法正确的是（ ） A...B..C.20,40abc b ac -＜＜ D.20,40abc b ac -＞＜ 7.将函数 的图像用下列方法平移后, 所得的图像不经过点 的方法是（ ）A.向左平移1个单...B.向右平移3个单.C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位8.点 均在二次函数 的图像上, 则 的大小关系是（ ） A...B.. C...D.9.足球运动员将足球与地面成一定角度的方向踢出, 足球飞行的路线是一条抛物线, 不考虑空气阻力, 足球距地面的高度 （单位: ）与足球被踢出后经过时间 （单位: ）之间的关系如下表:下列结论: ①足球距离地面的最大高度为20 ；②足球飞行路线的对称轴是直线 ；③足球被踢出 时落地；④足球被踢出1.5s 时, 距离地面的最大高度是11m, 其中正确的结论的个数是（ ） A...B...C...D.410.如图, 抛物线 的对称轴为直线 , 与 轴的一个交点在 和 之间, 其部分图像如图所示, 则下列结论: ① ；② ＜0；③ ＞0；④ （t 为实数）；⑤点 是抛物线上的点, 则 , 其中正确的个数有（ ） A.4..B.3.C.2个D.1个二. 填空题（每小题4分, 共24分）11.若抛物线 上的点P （0,4）, Q 两点关于它的对称轴 对称, 则点Q 的坐标为___________。
广州市中考数学总复习：二次函数
广州市中考数学总复习：二次函数2021年广州市中考数学总复习：二次函数解析版一．选择题（共50小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B．2．若二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在第二象限，且经过点（0，1），（1，0），则S＝a﹣b+c 的变化范围是（）A．﹣1＜S＜1B．S＞1C．1＜S＜2D．0＜S＜2【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在第二象限，且经过点（0，1），（1，0），∴易得：c＝1，a+b+c＝0，a＜0，b＜0，由b＝﹣a﹣1＜0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0，∴﹣2＜2a＜0，∴0＜2a+2＜2∵b＝﹣a﹣1，∴a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，∴S＝a﹣b+c＝2a+2，∴0＜S＜2．故选：D．3．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m 的取值范围是（）A．﹣4＜m＜6B．?254＜m＜﹣4C．6＜m＜334D．?254＜m＜6【解答】解：令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x 轴对称，则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，则△＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m=33 4；故选：C．4．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根x1，x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3；②m＞?14；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则a+b＝5．其中，正确结论的个数是A．0B．1C．2D．3【解答】解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m＝0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＝4m+1＞0，解得：m＞?14，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m，而选项①中x1＝2，x2＝3，只有在m＝0时才能成立，故选项①错误；二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m＝x2﹣5x+（6﹣m）+m＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），令y＝0，可得（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x＝2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故a+b＝5，故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个，为②③．故选：C．5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（）A．b2＞4acB．abc＞0C．a﹣c＜0。
广东省中考数学二次函数历年中考题(广东卷)
二次函数历年中考题（广东卷）一、选择题1．（2017年）如果2是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22.（2015年）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A.2a ≥B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜3．（2014•广东）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则 A ． 49＞m B ． 49＜m C ． 49=m D ． 49-＜m数，下列说法错误的是（ ）A. 函数有最小值B. B.对称轴是直线21=x C. 当21＜x ，y 随x 的增大而减小 D. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞05.（2015年）如题10图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设 △EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）6．（2018年）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）二、解答题：1．（2013•广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？2．（9分）（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．3．（2016年）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x ＞0）相交于点P（1，m ）．（1）求k的值；（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（，）；（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．4．（2017年）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．（2018年）如图，已知顶点为()0,3C -的抛物线()20y ax b a =+≠与x 轴交于,A B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数()20y ax b a =+≠的解析式（3）抛物线上是否存在点M ,使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2022年广东省广州市中考数学总复习：二次函数
2022年广东省广州市中考数学总复习：二次函数1．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）2．关于二次函数y＝﹣x2+6x﹣11的图象与性质，下列结论错误的是（）A．抛物线开口方向向下B．当x＝3时，函数有最大值﹣2C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由y＝x2经过平移得到3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b+c≤am2+bm+c（m为实数）其中结论错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系中，函数y＝（x+3）（x﹣5）的图象经变换后得到y＝（x+5）（x﹣3）的图象，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+t交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线顶点为D，下列四个结论：①无论t取何值，CD=√2恒成立；②当t＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的结论是（）A．①②④B．②③④C．①②D．①③6．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+47．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①abc＜0；②点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜0．正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况是（）A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根9．将抛物线y=12x2﹣2x﹣1先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，顶点是C点，连接AC、BC，则sin∠CAB的值为（）A ．2B ．12C ．2√55D ．√5510．若一次函数y ＝kx +b 的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）个 ①二次函数y ＝x 2+kx +b 的图象一定经过点（0，2）②二次函数y ＝x 2+kx +b 的图象开口向上③二次函数y ＝x 2+kx +b 的图象对称轴在y 轴左侧④二次函数y ＝x 2+kx +b 的图象不经过第二象限A ．1B ．2C ．3D ．411．抛物线y ＝（x ﹣1）2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x +1）2+3C ．y ＝（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣312．一副三角板（△ABC 与△DEF ）如图放置，点D 在AB 边上滑动，DE 交AC 于点G ，DF 交BC 于点H ，且在滑动过程中始终保持DG ＝DH ，若AC ＝2，则△BDH 面积的最大值是（ ）A ．3B ．3√3C ．32D ．3√3213．二次函数y ＝﹣x 2+2x ﹣4，当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围是（ ）A ．﹣7＜y ＜﹣4B ．﹣7＜y ≤﹣3C ．﹣7≤y ＜﹣3D ．﹣4＜y ≤﹣314．对于二次函数y ＝ax 2+（1﹣2a ）x （a ＞0），下列说法错误的是（ ）A ．该二次函数图象的对称轴可以是y 轴B ．该二次函数图象的对称轴不可能是x ＝1C ．当x ＞2时，y 的值随x 的增大而增大D ．该二次函数图象的对称轴只能在y 轴的右侧15．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（）A．﹣1B．2C．3D．416．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2 17．将一个抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝7x2，那么这样平移前抛物线的解析式是（）A．y＝7（x﹣1）2﹣2B．y＝7（x+1）2﹣2C．y＝7（x﹣1）2+2D．y＝7（x+1）2+218．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1对于下列说法：①abc＜0；②2a+b ＝0；③3a+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t＜15B．3≤t＜15C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜1520．函数y＝﹣2x2+1的图象是（）A．直线B．射线C．双曲线D．抛物线。
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历届中考广州数学二次函数试题
1.（2006年广州）25．(本小题满分14分)
已知抛物线Y=x2+mx一2m2(m≠0)．
(1)求证：该抛物线与X轴有两个不同的交点；
(2)过点P(0，n)作Y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是否存在
实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．
2.（2007广州）22、（14分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC.
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。
3. （2008广州）25、（14分）如图11，在梯形ABCD
中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值
≤≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
（2）当4t
图11
4.（2009广州）2
5.（本小题满分14分）
如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为
4
5。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线
与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD
为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请
说明理由。
5.（2010广东广州，14分）25．如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为
（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线 y ＝－
12
x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线
DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1
与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若
不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理
由.。