备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题30 小题不小——比较大小
备战人教版2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极(最)值问题
专题12 函数的极（最）值问题【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.(一)函数的极值问题 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点，极大值与极小值统称为极值 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点 （2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 （二）函数的最值问题 1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到.()f x 没有最大值.） （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.2．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.【经典例题】例1【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1【答案】A【解析】例2【2019届湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考】已知函数（1）当时，求的极值；（2）若有两个不同的极值点，求的取值范围;【答案】（1）极小值（2）故在处有极小值；（2）依题意可得，有两个不同的实根.设，则有两个不同的实根,，若，则，此时为增函数，故至多有1个实根，不符合要求；若，则当时，，当时，，故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值为,故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求.综上所述：的取值范围为.（分离变量的方法也可以）点睛：本题考查了函数极值点问题，利用导数知识对其求导，当遇到含有参量的时候可以采用分离参量的方法，也可以带着参量一起运算，分离参量后求出直线与曲线的交点问题即可，本题没有分离参量，进行的对参量的分类讨论，本题有一定难度例3【2019届江苏省淮安市等四市高三上一模】已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．试题解析：（1）函数的定义域为当时，，所以所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以，代入得：设，则不妨设则当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时,又当时因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是．例4【2019届福建省厦门市高三下第一次检查（3月）】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数极值点的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题解析：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.记，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即，原不等式成立.（2）.记（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.∴存在唯一，且当时，；当.①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.∴对任意.此时令，得；令，得.∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.此时令，得；令得.点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.例5【2017北京，理19】已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 例6【2019届北京市人大附高三十月月考】已知a 是实数,函数()()2f x x x a =-（Ⅰ）若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （Ⅱ）求()f x 在区间[]0,2上的最小值. 【答案】(1) 0.a = 320.x y --= (2)见解析.【解析】试题分析：（I ）首先根据导数()13f '=求a ，再根据切线方程()()()111y f f x '-=-求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， 1220,3x x a ==，比较23a 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值.试题解析：（Ⅰ） ()232f x x ax '=-因为()1323,f a =-=所以0.a = 当0a =时, ()()11,13,f f '==所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为320.x y --= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ()232f x x ax '=-.令()0,f x '=解得1220,.3ax x == 当20,3a≤即0,a ≤ ()f x 在[]0,2上单调递增,从而()min 00.f f == 当22,3a ≥即3,a ≥ ()f x 在[]0,2上单调递减,从而()min 284.f f a ==-当202,3a <<即03,a << ()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而3min 24.327a a f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 综上所述, 3min0,04{,0 3 2784,3a a f a a a ≤=-<<-≥.例7【2019届北京市城六区高三一模】．已知函数(I)当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）当时，故令，得故的单调递增区间为（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，故当时，；当时，↗极大值↘故故，解得故的值为.（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.↗极大值↘故的最大值为，即.例8【2019届北京市清华附中高三十月月考】已知()()320f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值,且()11f =-.（Ⅰ）试求常数a , b , c 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2x ∈上的最大值. 【答案】（1）13,0,22a b c ===-（2）当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值.再由()11f =-, 所以1a b c ++=-,③联立①②③解得13,0,22a b c ===-; （Ⅱ）()31322f x x x =-,()()()233311222f x x x x =-=+-',当1x <-或1x >时, ()0f x '>, 当11x -<<时, ()0f x '<,所以,当1x =-时, ()f x 有极大值,当1x =时, ()f x 有极小值. 例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知函数()()()322111.32f x x x x a x x a R ⎛⎫=-++--∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值点,求实数a 的取值范围及函数()f x 的极值; （Ⅱ）当1a ≥时,求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1,a <极小值为()11126f a =-,极大值为()321162f a a a =-+.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数a 的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a 与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论. 试题解析：解: ()()()()()221111f x x x a x x x a =-++--=--'（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值,则1,a <列表分析如下:x(),a -∞a(),1a1()1,+∞()f x ' + 0-+ ()f xZ()321162f a a a =-+]()11126f a =- Z所以最大值可能为()11126f a =-或()22;3f = ①当513a ≤<时,最大值为()22;3f =②当523a ≤<时,最大值为()11126f a =-综上所述,当513a ≤<时,最大值为()22;3f =当53a ≥时,最大值为()11126f a =-例10【2019届陕西省榆林市二模】已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围. 试题解析：列表：- 0 +极小值所以，函数的最小值为.（2），定义域为，.记，，，①当时，，在上单调递增，故在上至多有一个零点，此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当时，令，可得，列表：+ 0 -极大值若，即，，即，且当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.由于，且 （事实上，令，，故在上单调递增，所以）.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.【精选精练】1.【2019届安徽省安庆市2019届高三二模】已知函数()()2ln xf x ef e x e'=-（e 是自然对数的底数）， 则f （x ）的极大值为（ ） A. 2e-1 B. 1e -C. 1D. 2ln2【答案】D 【解析】()()()()()22111,ef e ef e f x f e f e x e e e e=-∴=-''''='Q ， ()210,2f x x e x e∴=-=='∴ ()f x 的极大值为()22ln222ln2f e e ∴=-=，选D. 2．【2019届福建省三明市第一中学高三下开学】函数在的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D.【答案】B【解析】，令得，或，令得，，所以在，单调递增，在单调递减，，.本题选择B选项.3.【2019届广东省茂名市五大联盟学校高三3月联考】已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D由，可得f(x）在区间，上单调递增；由，可得f(x)在区间上单调递减，故f(x)在x=1处取得极大值，所以若函数f(x)在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是.本题选择D选项.【名师点睛】反思这类型题型，首先先利用导函数的解析式，判断得出极值点存在并且只有一个并得出极值点的范围.由于极值点与参数有关，因此就需要假设，假设后，再代进行化简消元最终求得参数的取值范围.4.【2019届海南省高三第二次联考】若1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，则实数a =__________． 【答案】e -【解析】因为()1ln +x x f x e x e a x='+⋅（），且1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，所以()10f e a '=+=，解得a e =-.5．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x =在x =______________处取得极值.【答案】-1【点睛】本题考查函数的极值的判定.本题的易错点是将2看成一个极值点，要注意()00f x '=是可导函数()f x 在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而本题中函数()f x 在2x =附近单调递增. 6．【2019届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【名师点睛】此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②. 7【2019届北京市清华附中高三十月月考】设函数()ln f x x a x =-（其中a R ∈）. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在1x =时的切线方程; （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（1）1y =（2）当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.【解析】试题分析： ()1将1a =代入，算出1x =时的切线方程()2求导，讨论当0a ≤时、当0a >时的极值情况解析：（Ⅰ）定义域为()0,+∞,1a =时, ()ln f x x x =-,()11f x x'=-,()11101f =-=',()11ln11f =-=,所以切线方程为1y =; （Ⅱ）()1a x af x x x'-=-=,定义域为()0,+∞, ①当0a ≤时, ()0f x '>,函数()f x 在()0,+∞上为增函数,此时函数()f x 无极值;②当0a >时,令()0f x '=,解得x a =,当()0,x a ∈时, ()0f x '<,当(),x a ∈+∞时, ()0f x '>,所以函数()f x 在x a =处取得极小值,且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值, 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极值,当0a >时,函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -,无极大值.8．【2019届北京市丰台区高三一模】已知函数()()()=e ln 1xf x a x a R -+∈.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，求a 的取值范围． 【答案】(1) ()e y a x =-;(2) e ,e 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由题意()e x af x x='-，因为()1e f a =-， ()1e f a '=-，利用点斜式方程即可求解切线的方程； （Ⅱ）由()e x af x x='-，分0a ≤和0a >讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅱ）()e x a f x x='-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，都有()0f x '>，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则()2e 0x ag x x=+>'．9．【2019届江西省上饶市高三下二模】设函数()22ln x e kf x k x x x=++（k 为常数， 2.71828e =L 为自然对数的底数）．（1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数()f x 在()0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数k 的取值范围. 试题解析：(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()2423222xx x x e kxx e xe k k f x x x x x -+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0xe kx +>，所以当()0,2x ∈时， ()0f x '<；当()2,x ∈+∞时， ()0f x '>.故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；当0k <时，令0x xe e kx k x +=⇒-=， ()x e g x x =，依题函数y k =-与函数()xe g x x=， ()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.()()21x e x g x x ='-，当()0,1x ∈时， ()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，当()1,3x ∈时， ()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；而()()()231,2,3.23e e g e g g ===和极大值点2x .综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】本题的难点在第（2）问，主要是对函数xy e kx =+的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破. 10．【2019届北京市城六区高三一模】已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，其中a R ∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当()0,ln2a ∈时，证明： ()f x 存在极小值． 【答案】（Ⅰ）0a =．（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) ()f x 的导函数为()221e ln xf x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭． 依题意()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =．(Ⅱ) 由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭．令()221ln g x a x x x =+-+， ()()223311220x x x g x x x -+-+==>'恒成立，故()g x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈， ()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =．可得f(x)在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭减，令()221ln g x a x x x=+-+， 则 ()()22331122x x x g x x x-='+-+=． 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈，所以()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =． ()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：x01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x()0,1x()f x ' -+()f x↘极小值↗所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值()0f x ．11【2019届北京师范大学附中高三下二模】已知函数，其中，为自然对数底数．（1）求函数的单调区间； （2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．【解析】【试题分析】(1)求导后令导数等于零,求得极值点后写出单调区间.(2)结合(1)求得函数的最小值,由此得到的取值范围.再利用导数求得 的取值范围.【试题解析】 （1）因为，因为，由得，所以当时，，单调递减；当时，单调递增．综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因为，由函数对任意都成立，得，因为，所以．所以，设，所以，即的最大值为，此时，．【名师点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.12．【2019届新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数()1xf x e ax =++（a R ∈）.若0x =是()f x 的极值点.（I ）求a ,并求()f x 在[]2,1-上的最小值；（II ）若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立，其中k 为整数， ()'f x 为()f x 的导函数，求k 的最大值.【答案】（I ）1a =-，最下值2；(II ）2.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据0x =是()f x 的极值点得到1a =-，再利用导数求函数的单调区间，求函数()f x 在[]2,1-上的最小值.(2)第（2）问，先分离参数得到11x x xe k e +<-，再求函数()11x x xe g x e +=-（0x >）的最小值，即得到k 的最大值. 试题解析：（I ）()'xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得()'00f =，∴1a =-.易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 所有当0x =时， ()f x 在[]2,1-上取得最小值2. （II ）由（I ）知1a =-，此时()'1xf x e =-，∴()()'111x x x kf x xe k e xe <+⇔-<+∵0x >，∴10xe ->，∴11x x xe k e +<-令()11x x xe g x e +=-（0x >），∴()min k g x <()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）【名师点睛】本题的难点在求出()()2'1x x x e e x g x e --=-（0x >）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数()2xh x e x =--，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果()'()0x ><不方便解出，一般要考虑二次求导.。
备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题
专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发. （一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=r r r r 可得：22a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若(),a x y =r ，则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 （二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量,a b r r，则有：（1）若,a b r r 共起点，则利用平行四边形法则求a b +r r ，可得a b +r r 是以,a b r r为邻边的平行四边形的对角线 （2）若,a b r r首尾相接，则利用三角形法则求出a b +r r ，可得a b +r r ，,a b r r 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λr（1）共线（平行）特点：a λr 与a r 为共线向量，其中0λ>时，a λr 与a r 同向；0λ<时，a λr 与a r反向（2）模长关系：a a λλ=⋅r r3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC V 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60o的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 【答案】B【解析】连结BC ，则=90ACB ∠︒ ∵AP PC ⊥∴()21AC PB PC⋅=≤u u u r u u u r u u u r∴AC PB ⋅u u u r u u u r的最大值为1故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例2.已知向量,a b r r 的夹角为45o，且1,210a a b =-=r r r ，则b =r （ ）A. 2B. 2C. 22D. 32 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,104AB B AC π===，只需利用余弦定理求出BC 即可.解1：如图可得：b BC =r ，在ABC V 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-例3. 已知向量,a b r r ，且1,2a b ==r r ，则2b a -r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6【答案】[]3,5解2：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=-r r r r r r r r r r r r因为[]cos ,1,1a b ∈-r r []229,25b a ∴-∈r r 即[]23,5b a -∈r r例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度. 例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M （1+cosα，1+sinα）， N （﹣1+cosβ，﹣1+sinβ）， 则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos （α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B 错误；故选B ．例6.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4，25【解析】【名师点睛】本题通过设入向量,a b r r的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos 54cos a b a b θθ++-=++-r r r r，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=or r r r r r 所以|2|1223a b +==r r.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +r r的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴ ∵，∴∴所以向量与的夹角是120°. 故填120°.例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量a 与b 的夹角为30°，2a b -=，则a b +的最大值为_________． 【答案】423+【解析】分析：由题意2a b -=vv ，利用基本不等式和向量的运算，求的23a b ⋅≤-v v ，进而可求得a b +vv 的最大值.所以()2222024444cos30423a ba b a b a b a b a b b +=+=++⋅=+⋅=+⋅=+⋅v v v v v v v v v v v v v v44232816323≤+⨯=+-，当且仅当a b =vv 时，等号成立，所以28163423a b +≤+=+vv .点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．例10.已知平面向量,,a b c r r r 满足1,2a b ==r r ，且1a b ⋅=-r r ，若向量,a c b c --r r r r 的夹角为60o，则c r 的最大值是_________. 【答案】22132212sin 3BDd R BAD ===，即max 2213c =r答案：2213CDBA【精选精练】1．已知正方形ABCD 的边长为1， 则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，则，因为，所以，故选C．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D. 4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.5．已知向量a ， b 满足： 324,a b a b ==+=r r r r ，，，则a b =r r ﹣ 35310 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．详解：∵|a r |=3，|b r |=2，|a r +b r|=4，∴|a r +b r |2=|a r |2+|b r |2+2a b ⋅rr =16， ∴2a b ⋅rr =3，∴|a r ﹣b r |2=|a r |2+|b r |2﹣2a b ⋅r r =9+4﹣3=10，∴|a r ﹣b r|=10，故选：D ．6．【2019届四川省绵阳市三诊】ABC ∆中， 5AB =， 10AC =， 25AB AC ⋅=u u u v u u u v，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=-u u u v u u u v u u u v R λ∈（），则AP u u u v 的最大值是（ ） A.332B. 37C. 39D. 41 【答案】B因为10λ-≤≤，所以2AP u u u v 的最大值为37，故max37AP=u u u v，选B.点睛：本题中向量,AB AC u u u v u u u v 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP λλ=-+u u u v ，其中λ的取值范围可以由P 的位置来确定.7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知m v ， n v 是两个非零向量，且1m =v ， 23m n +=v v，则m n n ++v v v的最大值为（ ）A. 5B. 10C. 4D. 5 【答案】B 【解析】9．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，则CM u u u u v的最小值为（ ） A. 22 B. 23 C. 4 D. 25 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，20002510641,88,64x x x =++--≤≤Q ()()2min 2581086412 2.64CM -∴==+⨯-+-=u u u u r ，选A. 10．设向量a v ， b v ， c v满足1a b ==v v ， 1·2a b =-v v ， ,60a c b c --=︒v v v v 则c v 的最大值等于（ ）A. 2B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】∵1a b ==vv，且1·2a b =-vv ，∴a b vv ，的夹角为120°， 设,,OA a OB b OC c ===u u u v u u u v u u u v v v v则,CA a c CB b c =-=-u u u v u u u v v v v v如图所示，则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆，∵AB b a =-u u u v v v ， 2222|||2?|3AB a b a a b b =-=-+=u u u v v v v v v v ∴ 3.AB =u u u v由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=2sin ABACB=∠.当OC 为直径时， c v最大，最大为2．故选：A ．点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v vv v ，二是1212a b x x y y ⋅=+v v ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=v v v v （此时·a b v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， av在b v 上的投影是a b b ⋅v v v ；（3）,a b v v 向量垂直则0a b ⋅=v v ;(4)求向量ma nb +vv 的模（平方后需求a b ⋅v v ）.11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】,,即的最小值是.12.【2019届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，，即的最小值为，故答案为.。
【配套K12】[学习]备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题30 小题不小——比较大
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专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =） log log m na a n N N m =（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22bca abc ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22xxx y y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小.详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函数单调性比较大小； （3）借助中间变量比较大小.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.且，，在上单调递减，，即，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．详解：当时，，则在上是增函数，故选D ．例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴∴∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴故选D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有即即有或故选：D．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时， , , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A故选A ．3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以，所以选B.4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知0<， 01＜，1>，即01a <<， 0b <，1c >，∴b a c <<，故选C.5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.【答案】D点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( ) A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. a c b << 【答案】B，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论.可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即 可化为 2.22.12.12.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<，所以c a b <<，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题. 7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，设()3l o g 0.2a f =，()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( ) A. c a b >> B. a b c >> C. c b a >> D. b a c >> 【答案】A【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f =()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A.9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2018 ()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】Dcos sin αα>，令()()sin xf x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x x α=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设 ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 【答案】A，且()21xf x =-在[]0,1上单调递增， ，即()()f a f b < 故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ）A. a<c<bB. a<b<cC. c<a<bD. c<b<a 【答案】B【解析】 ()()()12212222cos x f x sin x ϕϕ++=++- ()()122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭53532242464b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b c <<．选B ．。
2020高考数学必备30题百度文库版
43
33
3
10 m2 . 9
故存在常数 4 ，使得 PT 2 PA PB . 5
19.【抛物线】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点 为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两 点． （I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点， 证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的 两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
10【平面向量】已知非零向量 m，n 满足
4│m│=3│n│，cos<m，n>= 1 .若 n⊥ 3
（tm+n），则实数 t 的值为
（A）4
（B）–4
（C） 9 4
（D）– 9 4
【答案】B
11【离心率与渐近线】已知双曲线 的左焦点为 ，离心率
为 .若经过 和
两点的直线平行于
双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
又 S1＝b1，所以 b1＝23，b2＝2－2(b1＋b2)，则 b2＝29， 当 n≥2 时，由 bn＝2－2Sn，可得 bn－bn－1＝－ 2(Sn－Sn－1)＝－2bn. 即bbn－n1＝13，所以{bn}是以 b1＝23为首项，13为公 比的等比数列，所以 bn＝2·31n. (2)证明 数列{an}为等差数列，公差 d＝12(a7 －a5)＝3，可得 an＝3n－1， 从而 cn＝an·bn＝2(3n－1)·31n， ∴Tn＝ 2 2×13＋5×312＋8×313＋ …＋（3n－1）·31n
(
)
A.
B.
C.
D.
12 解答. 题意得
选 B.
13【命题逻辑充要条件】下列命题错误的是 () A.命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否 命题为“若 x≠1，则 x2－3x＋2≠0” B.命题 p：∃x0∈R，使得 x20＋x0＋1＜0，则┑ p：对∀x∈R，都有 x2＋x＋1≥0 C.若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题 D.“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要 条件
2020高考数学命题趋势与备考建议
复习备考建议
（3）专题讲座，进行输血 当学生的知识线条清晰，真正体会到了高考考什么和怎样考，
教师的任务就是把大专题分设为几个小专题进行讲解，尤其要注意在 主干知识的交汇点处精心选择和改编问题，使学生的思维进入柳暗花 明又一村的境地.
三、复习备考建议
（4）专题训练，学会造血 完成了以上三个环节，教师要精选题目， 通过专题训练，使学生对每一专题的常见题型， 形成一些解题套路，加深学生对知识的理解和 记忆，提高学生运用知识解决实际问题的能力. 使学生的思维达到“横看成岭侧成峰，远近高 低各不同”的境界.
角的表示
角的扩充
角的度量
锐角三角函数定义
(2)若你所带班级学生的整体水平较好，适合题型讲座的复习方 式.按题型复习：针对学生学习的弱点和难点，穿插探索开放性问题、 分类讨论、最值问题、恒成立问题和应用题，总结题型思路，固定 解题方法.
复习备考建议
二轮复习
4.复习建议 第一轮复习结束后，学生的思绪是繁乱的，对知识的感受是零
乱的，精神是高度紧张的，对高考的认识是盲目的，要想使知识的线条 在学生的头脑中形成清晰的脉络，要想使学生对高考有一个正确全面的 认识，教师很有必要做好以下几个方面的工作：
在问题情境上，依托课本素材加工改造，将解决问 题所需要的核心知识、思想方法、关键能力和数学 文化内隐其中进行命题，反映数学的本质，甄别学 生的数学学科核心素养。
贴近教材命题的“六字方针”
迁移
能力立意
整合
知识立意
六字方针
演变
素养立意
学生存在问题
高考一轮复习： 解题教学 常见两种误区 （1）“罗列考点、讲解例题、强化练习”三部曲复习方式 （2） 采用“大容量、高起点、快推进”的复习模式
备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题01利用数轴解决集合运算问题
专题01 利用数轴解决集合运算问题【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算. 1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分. :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和.:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可. 3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x<}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A 【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以，结合数轴得{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.例2【2018届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ）A. 0a =B. 2a ≤C. 2a ≥D. 2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,结合数轴得2a ≤,故选C.例3【2018届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数a R ∈，集合()(){}|120A x x x =--≥， {}|B x x a =≥，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】由题得{|21}A x x x =≥≤或，因为A B R ⋃=，所以通过画数轴分析得到1a ≤，（注意一定要取等），故选B.【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点； （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合； （3）注意考虑端点处是否可以重合.例4【2018届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合{}A x x a =<， {}2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥【答案】D例5.已知函数()221,02()1,,20xx g x ax f x x x ⎧-≤≤⎪=+=⎨--≤<⎪⎩，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________ 【答案】【解析】思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-()[]24,3f x ∴∈-[)1,0a ∴∈-综上所述：[]1,1a ∈- 答案：[]1,1a ∈-.例6.已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，则ba=________ 【答案】4-【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围.从而确定出,a b 的值， 1,4a b =-=，所以4ba=-. 例7. 已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围为 【答案】53(,)22-【解析】先解出,A B 的解集，A B ⋂≠∅意味着,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合B 两端点的位置，进而求出m 的范围22(21)0x m x m m -+++<()()()10x m x m ∴-+-< 1m x m ∴<<+AB ≠∅312m ∴+>-且32m < 53,22m ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.例8：在R 上定义运算:2xx y y⊗⊗=-，若关于x 的不等式(1)0x x a ⊗+->的解集是{|22,}x x x R -≤≤∈的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a -≤≤B ．12a -≤≤C ．31a -≤<-或11a -<≤D ．31a -≤≤ 【答案】D【解析】首先将(1)0x x a ⊗+->变为传统不等式：()()1001xx x a x a ⊗+->⇒<-+，不等式含有参数a ，考虑根据条件对a 进行分类讨论。
(人教版)备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题
专题58 巧选数学模型解排列组合问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.【经典例题】例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）A. 48B. 72C. 64D. 96 【答案】A由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个，即的正偶数因数的个数是，故选A.例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B【解析】分析：分别从集合A ，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：故选：B例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）A. 48B. 60C. 96D. 120 【答案】C对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()()()()()()2,2,4,6,6,4,2,2,8,6,6,8,2,6,4,2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=. 本题选择C 选项. 例4.已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈， (){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（ ）A. 77B. 49C. 45D. 30 【答案】C例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有( )A. 192种B. 128种C. 96种D. 12种 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先分析A 、B 两个方格，由于其大小有序，则可以在l 、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C 、D 两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．根据题意，对于A 、B 两个方格，可在l 、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，有246C =种情况，对于C 、D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种， 故选C ．例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种A. 432B. 576C. 720D. 864 【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有4424A =种，列交换共有4424A =种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有2424=576⨯种，故选B.例7. 设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 130 【答案】D例8.已知{}1,2,3,,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A. 460B. 760C. 380D. 190 【答案】C【解析】思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ，所以一共有2202380C ⋅=种.例9.【2019届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个 【答案】D例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 【答案】正整数解有84种，非负整数解有286种【解析】思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C=种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w+++=⇒+++++++=，则1,1,1,1x y z w++++这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得：313286C=种【精选精练】1.【2019届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.2.【2019届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D3.【2019届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.4. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C【解析】思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -∉且1k A +∉”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C =种5.一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==，则符合这样条件的数列{}n a 有（ ）个A. 30B. 35C. 36D. 40 【答案】36种6.【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（ ）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.7．【2019届上海市松江、闵行区二模】13．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．8．【2019届天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）【答案】169．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.【答案】 310．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为511．【2019届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．【答案】32【解析】若数学老师分到,B C两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B D两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C D两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,D E两班，共有2222=4A A种分法，共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法，故答案为32 .12.圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个【答案】4845个。
专题30 小题不小——比较大小-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m= （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22bcaa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A.B.C.D.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（ ）A.B.C.D.例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）A.B.C.D.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（ ） A.B.C.D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B. C.D.【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( ) A.B.C.D.2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A.B.C.D.3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. ()21log 2a b a a b b +<<+ B. ()21log 2a b a b a b <+<+ C. ()21log 2a b a a b b +<+< D. ()21log 2a ba b a b +<+<4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ） A.B.C.D.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x -=，设()3log 0.2a f =， ()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( )A. c a b >>B. a b c >>C. c b a >>D. b a c >>9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ） A.B.C.D.10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设1lna π=， 2ln5b e-=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a <<12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a。
【名师推荐资料】备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题45 直线与方程
专题45 直线与方程【热点聚焦与扩展】高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧. （一）直线与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x -=-，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关.3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x -=-证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x -=-，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x -=-，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x -=- 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x --=--④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a-==-- ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴-=--⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况. 2、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ ① 121212,k k b b l l =≠⇒∥② 若直线12,l l 的斜率存在，则1212l l k k ⇒=∥（2）一般式方程：设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则 ① 当111222A B C A B C =≠时，1l ∥2l ② 1221A B A B =，且1221AC A C ≠和1221B C B C ≠中至少一个成立，则1l ∥2l （此条件适用于所有直线） 3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则12121l l k k ⊥⇔⋅=- （2）一般式方程：设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则：1212120A A B B l l +=⇒⊥4、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程0Ax By C ++=对应的向量：(),a A B =，即有：()()11111112222222:0,,:0,l A x B y C a A B l A x B y C a A B ++=⇒=++=⇒=，从而12,a a 的关系即可代表12,l l 的关系，例如：12211212AB A B a a l l =⇒⇒∥∥（注意验证是否会出现重合的情况） 121212121200A A B B a a a a l l +=⇒⋅=⇒⊥⇒⊥（三）距离问题：1、两点间距离公式：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB =2、点到直线距离公式：设()00,,:0P x y l Ax By C ++= 则点P 到直线l 的距离P l d -=3、平行线间的距离：1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++= 则12,l l的距离为d =（四）对称问题 1、中心对称：（1）几何特点：若',A A 关于O 点中心对称，则O 为线段'AA 的中点（2）解析特征：设()00,A x y ，(),O a b ，则与A 点关于O 点中心对称的点()',A x y 满足：0002222x x a x a x y y y b y b +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩ 2、轴对称（1）几何特点：若若',A A 关于直线l 轴对称，则l 为线段'AA 的中垂线，即'AA l ⊥，且'AA 的中点在l 上 （2）解析特征：设()00,A x y ，:l y kx b =+，则与A 点关于l 轴对称的点()',A x y 满足：'0000122AA y y k x x k y y x x k b -⎧==-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩ ，解出()',A x y 即可 （3）求轴对称的直线：设对称轴为直线l ，直线1l 关于l 的对称直线为'1l ① 若1l ∥l ，则'1l ∥1l ，且'1l 到对称轴的距离与l 到对称轴的距离相等② 若1l 与l 相交于P ，则取1l 上一点A ，求出关于l 的对称点'A ，则'A P 即为对称直线'1l（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值（1）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By m ++=（m 为参数，且m C ≠） （2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay m -+=（m 为参数） 2、过定点的直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可（2）已知11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=（1l 与2l 不重合），则过12,l l 交点的直线系方程为：()1211122200l l A x B y C A x B y C λλ+=⇒+++++=（该直线无法表示2l ）3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程【经典例题】例1.过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或4 D ．1或2 【答案】A 【解析】依题意有41,12aa a -==+． 例2.已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为（ ） A.60 B.30060或 C. 30 D.33030或 【答案】C【解析】由直线方程为,3300sin 300cos =+y x所以直线的斜率为3360sin 60cos )60sin()60cos()60360sin()60360cos(300sin 300cos ==---=---=-= k 因为直线倾斜角的范围)180,0[所以倾斜角为 30 故答案为C .例3. 坐标平面内有相异两点2(cos ,sin ),(0,1)A B θθ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】34παπ≤< 【解析】22sin 1cos cos [1,1]cos cos ABk θθθθθ--===-∈-，且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α，当01AB k <≤时，则0tan 1α<≤，所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当10AB k -≤<时，则1tan 0α-≤<，所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 例4. 直线l 过点(4,1)P -，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 【答案】14y x =-或30x y +-=.例5. 已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】直线12l l ⊥的充要条件是()()20300a a a a a a ++=∴+=∴= 或3a =- .故选A.例6.【2018届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线()12:210,:20l ax a y l ax y +++=-+=.若12//l l ，则实数a 的值是（ ）A. 0或3-B. 2或1-C. 0D. 3- 【答案】A【解析】12//l l ，则()()12a a a ⨯-=+ 即230a a += 03a a ∴==-或 经检验都符合题意 故选A.例7．已知(2,4),(1,1)A B 两点，直线l 过点(0,2)C 且与线段AB 相交，直线l 的斜率k 的取值范围是 . 【答案】[1,1]-例8. 设直线l 的方程为12()()0a x y a a R ∈＋＋＋－＝． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3x y 0x y 20＋＝或＋＋＝.(2)(1]∞－，－． 【解析】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a 2＝，方程即为3x y 0＋＝. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴21a a -+＝a 2－，即a 11.a 0∴＋＝＝，方程即为x y 20＋＋＝.综上，l 的方程为3x y 0x y 20＋＝或＋＋＝. (2)将l 的方程化为y (a 1)x a 2＝－＋＋－，∴()1020a a -+>⎧⎪⎨-≤⎪⎩或()1020a a -+=⎧⎪⎨-≤⎪⎩,a 1.∴≤－综上可知a 的取值范围是(1]∞－，－． 点睛：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.例9.【2018.求（1（22的直线方程.【答案】（12【解析】试题分析：(1)(2)先求两条直线的交点，设出直线方（2当斜率不存在，则方程为例10. 已知直线1:30l x y -+=，直线10l x y --=：，若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，求直线2l 的方程．【答案】50x y --=. 【解析】直线12,l l 关于直线l 对称， 所以1l 与2,l l 与l 间的距离相等．=，解得5m =-或3m =（舍去）， 所以直线2l 的方程为50x y --=.法二：由题意知12//l l ，设直线()2:03,1l x y m m m -+=≠≠-， 在直线1l 上取点()0,3M ，设点M 关于直线l 的对称点为(),M a b '，于是有311031022b aa b -⎧⨯=-⎪⎪⎨++⎪--=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=-⎩，即()4,1M '-．把点()4,1M '-代入2l 的方程，得5m =-， 所以直线2l 的方程为50x y --=．【精选精练】1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二），直线）A. -2B. -3C. -4D. -52.已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为 ( ) A.12 B ．12- C.2 D.2- 【答案】A 【解析】由题意，112m -=-，即12m =,选A. 3.平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．4.已知直线():10,0x yl a b a b +=>>在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ）A. 4 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】直线():10,0x yl a b a b+=>>在两坐标轴上的截距之和为4，所以4a b +=，即14422ab ab ≥⇒≤⇒≤ ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2 .5．若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． ()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，，C.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()1 1 2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，， 【答案】D 【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11(,)(2,1)(,1)(,)2CB CA k k a a-∈=-⇒∈-∞-+∞，选D. 6.直线2:10l mx m y --=经过点()2,1P ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ）A ．10x y --=B ．230x y --=C ．30x y +-=D ．240x y +-=【答案】C【解析】将点()2,1P 代入得2210,1m m m --==，直线方程为10x y --=，斜率为1，倾斜角为4π.故和其垂直的直线斜率为1-，故选C.7.点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）（A ）(6,7) （B ）(7,6)（C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--【答案】A8. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．．6 C ．．【答案】A【解析】由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝A ．9.若直线l ： 1(0,0)x y a b a b+=>>经过点()1,2，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最 小值是 ．【答案】3+ 【解析】由题意得，∴截距之和为33≥+=+，即时，等号成立，即的最小值为． 10.已知两直线1:80l mx y n ++=和210l x my +-=：2．试确定,m n 的值，使（1）1l 与2l 相交于点(,1)P m -；（2）1l ∥2l ；（3）1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1．【答案】（1）1=m ，7=n ；（2）4=m ，2-≠n 或4-=m ，2≠n ；（3）0=m ，8=n .【解析】试题分析：（1）将点()1,-m p 代入两直线方程，解出m 和n 的值；（2）由1l ∥2l 得斜率相等，求出m 值，再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于1-，∴42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠⎩即4=m ，2-≠n 时或4-=m ，2≠n 时，21//l l ．（3）当且仅当082=⋅+⋅m m ，即0=m 时，21l l ⊥．又18-=-n ，∴8=n ． 即0=m ，8=n 时，21l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．11.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线1l 的方程为34120x y +-=，求2l 的方程，使得：（1）2l 与1l 平行，且过点()1,3-；（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为4.【答案】（1）3490x y +-=（2）43y =±【解析】试题分析：（1）由2l 与1l 平行可设2:340l x y m ++=，再代点()1,3-得9m =.（2）由2l 与1l 垂直可设2:430l x y n -+=，再得与坐标轴的交点，根据面积公式得1243AOB n n S ∆=⋅，最后解方程得n 试题解析：解：（1）设2:340l x y m ++=，∵2l 过点()1,3-，∴9m =.∴2l 方程为3490x y +-=.∴n =±.∴2l 方程为430x y -+=或430x y --=.433y =± 12．已知|m |1<，直线12:1,:1l y mx l x my =+=-+， 12l l 与相交于点P ，1l 交y 轴于点A ，2l 交x 轴于点B（1）证明：12l l ⊥；（2）用m 表示四边形OAPB 的面积S ，并求出S 的最大值；（3）设S= f (m), 求1U S S=+的单调区间. 【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.【解析】（1）证明：可把两条直线化为12:10,:10l mx y l x my -+=+-=（3）221111U S m S m =+=+++, 又11(,1],(,1]22S U ∈且在是单调递减的函数, 而11S m =+2在（－1，0）上递增，在（0，1）上递减， 1U S S∴=+在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数。
备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题16 恒成立问题——参变分离法
专题16 恒成立问题——参变分离法【热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：()21log a x x -<，111ax x e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤=()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <=②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M >③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <=④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=（2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比）② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题】例1．【2019年（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】设，则故选例2.【2019届河北省邯郸市高三1月】已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】最大值,因为当时令因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选C.例3．【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在上是增函数，在上恒成立故选例4．【2019届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.例5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________【答案】【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：，其中只需要，令（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.例6【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.试题解析：（1）由可得的定义域为，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.∵当时，，∴，即证当时，大于的最大值.又∵当时，，∴，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法① 求得的范围.例7【2019届广东省肇庆市高三三模】已知函数，，.（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若 ,且恒成立. 求的最大值.【答案】（1）见解析;（2）6.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调区间. (2) 先分离参数，再求的最小值,即得k的最大值.（2）由得，令，，，，，，，点睛：分离参数是处理参数问题的一种重要方法.处理参数问题，常用的有分离参数和分类讨论，如果分离参数方便，就选分离参数.本题就是分离参数，大大地提高了解题效率，优化了解题.例8【2019届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断性测验】设函数，，其中为非零实数.（1）当时，求的极值；（2）是否存在使得恒成立？若存在，求的取值范围，若不存在请说明理由.【答案】(1)有极大值，无极小值；(2)见解析.试题解析：（1）∵，∴，当时，，，∴有极大值，无极小值；（2）当时，，，∴，设，则，∴，故恒成立，当时，，由于，，而，∴时，，故取，显然，由上知当时，，，∴，综上可知，当时，恒成立.例9【2019届黑龙江省大庆市高三第二次检测】已知函数.(I) 当时，求函数的单调区间;(II) 当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）∵，函数定义域为：∴令，由可知，从而有两个不同解.令，则当时，；当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由题意得，当时，恒成立. 令，求导得，设，则，∵∴∴，∴在上单调递增，即在上单调递增，∴当时，单调递减；当时，，单调递增.∴有，∴恒成立矛盾∴实数的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.例10【2019届山东天成高三第二次大联考】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).解析；（1），定义域所以.讨论：当时，对或，成立，所以函数在区间，上均是单调递增；当时，对或，成立，所以函数在区间，上均是单调递减；当时，函数是常函数，无单调性.（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则.讨论：①当，即时，且不恒为0，所以函数在区间单调递增. 又，所以对任意恒成立. 故符合题意综上实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）. 【精选精练】1．【2019年【衡水金卷】（三）】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞【答案】C设()2136ln 3g x x x x =++， 则()()()()2229182361892333x x x x x x g x x x x ----+-+-=='=， 可知函数()g x 在区间()0,6内单调递增，在区间()6,+∞内单调递减，可知()()max 666ln6g x g ==+，故实数b 的取值范围为[)66ln6,++∞，故选C.点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题2．已知函数f(x)＝x 2＋4x ＋aln x ，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (－6，＋∞)B. (－∞，－16)C. (－∞，－16]∪[－6，＋∞)D. (－∞，－16)∪(－6，＋∞)【答案】C 【解析】，因为函数在区间上具有单调性，所以或在上恒成立，则有或在上恒成立，所以或在上恒成立，令，当时，，所以或，所以的取值范围是.3．【2019届上海市浦东新区高三下学期（二模）】已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意，恒成立，则实数的取值范围是________【答案】点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.4．若函数f(x)＝sin x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.5．【2019年（衡水金卷信息卷）三】已知函数，其中为实数.（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】试题分析：由题意点处的切线方程为，求出的值，继而求出函数的单调性利用单调性将问题中的绝对值去掉，构造新函数来证明结论.解析：（1）函数的定义域为，，，可知..当，即时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数.则变为，即，设函数，由，得在时为单调递减函数，即，即，也即对与恒成立.因为，可知时，取最大值，即 .对时恒成立，由，可知，即取值范围为.6．【2019届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】已知函数（且）. （1）若函数在处取得极值，求实数的值；并求此时在上的最大值；（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【试题解析】解：（1）函数的定义域为，，，∴在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；又，，.当时，在的最大值为（2）由于所以函数存在零点②时，，.在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取最小值.解得综上所述：所求的实数的取值范围是.7．函数的定义域为（为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，求出右边对应的函数在定义域内的最小值，即可求得的取值范围．试题解析：（1）任取，则有，即恒成立，所以（2）恒成立∵，∴函数在上单调减，∴时，函数取得最小值，即.8．【2019届江苏省无锡市高三第一学期期末】已知函数，，其中. （1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.9．【2019届河南省焦作市高三第四次模拟】已知()()22xf x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()()'g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在()()1,1f 处的切线与()223y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在()0,1上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）(],21a e ∈-∞-.立，设()2xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2x g x m e =-，当0m ≤时， ()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <，所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立. 设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221x x x x h x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上， ()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上， ()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时， ()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.10．【2019届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】函数()xf x xe lnx ax =--.(1)若函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线()()211y e x =--平行,求实数a 的值； (2)若函数()f x 在[)1,∞+上单调递增,求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下,求()f x 的最小值. 【答案】(1) 1a =；(2) 21a e ≤-；(3)1.单调性，即可求出()min g x ，从而可得实数a 的取值范围；（3）根据（1）的条件，利用导数研究函数的单调性，可推出()'0f x '>恒成立，从而()f x '在()0∞+，上递增，结合零点存在性定理，即可求得()f x 的最小值.试题解析：（1）∵函数()xf x xe lnx ax =--∴()()11,(0)x f x x e a x x'=+-->∵函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线()()211y e x =--平行 ∴()()12121f e a e =-='-- ∴1a =（2）由题意，需()()110x f x x e a x =--'+≥在[1∞+，）恒成立，即()11x a x e x≤+-在[1∞+，）恒成立. 令()()11x g x x e x =+-，则()()2120x g x x e x+'=+>.又∵()10,10f f e ⎛⎫⎪⎝⎭''∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，此时01x ex =∴()00,x x ∈时()()0,f x f x '<递减， ()0,x x ∈+∞时()()0,f x f x '>递增 ∴()()00000000min 011ln ln 1x x f x f x x e x x x x x e==--=--= 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.11．【2019届江西省高三监测】已知函数()ln f x x =.（1）若函数()()212g x f x ax x =-+有两个极值点，求实数a 的取值范围； （2）若关于x 的方程()()1f x m x =+， ()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值.【答案】(1) 2a >;(2)0.【解析】试题分析：（1）函数()()212g x f x ax x =-+有两个极值点等价于()21y x ax g x x -+='=有两个可变零点，即方程210x ax -+=有两个不等的正实数根,（2）方程()ln 1x m x =+,即ln 1x m x =+,记函数()ln 1x h x x =+,(0)x >，问题转化为直线y m =与()ln 1x h x x =+的交点情况.(2)方程()ln 1x m x =+,即ln 1x m x =+,记函数()ln 1x h x x =+,(0)x >， ()()21ln 1x x x h x x +-+'=, 令()1ln x x x x ϕ+=- (0)x >,()2110x x xϕ'=--<, ()x ϕ单调递减, ()()()()222222110,011e h e h e e e e e -=>=<++'',存在()20,x e e ∈,使得()00h x '=,即0001ln x x x +=, 当()00,x x ∈,()0h x '>, ()h x 递增, ()()0,,0x x h x ∈+∞<', ()h x 递减,()02max 00ln 111,1x h x x x e e ⎛⎫∴==∈ ⎪+⎝⎭,即()max m h x ≤,()m Z ∈, 故0m ≤,整数m 的最大值为0.12【2019届山东高三天成大联考第二次】已知函数，.（1）讨论函数的单调性； （2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数的单调性，通过导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.解析；（1），定义域 所以.讨论：当时，函数是常函数，无单调性.（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则.讨论：①当，即时，且不恒为0，所以函数在区间单调递增.又，所以对任意恒成立.故符合题意综上实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题32 均值不等式常见应用
学 习 资 料 专 题专题32 均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型. 1、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 4、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：n Q =5、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n=时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 【经典例题】例1.【2019届辽宁省辽南协作校高三一模】若lg lg 0a b +=且a b ≠，则21a b+的取值范围为（ ）A. )⎡+∞⎣B. ()+∞ C. )()3,⎡⋃+∞⎣D. )()3,⎡⋃+∞⎣【答案】A【解析】∵lg lg 0a b +=且a b ≠ ∴lg 0ab =，即1ab =.∴212ab b a a b ⎛⎫+⋅=+≥= ⎪⎝⎭2a b ==.∴21a b+的取值范围为)⎡+∞⎣ 故选A.例2.【2019届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】若直线平分圆，则的最小值为（ ）A.B. 2C.D.【答案】C则（当且仅当，即时取等号）.故选C ．例3.【2019届北京师范大学附中二模】已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为（ ）A. 16B. 9C. 5D. 4 【答案】A【解析】∵，，成等差数列， ∴.∴，当且仅当且，即时等号成立.选A.例4.【2017天津，理12】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 例5.已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.【答案】【解析】分析：详解：因为，所以的最大值为.例6.【2019届广东省模拟（二）】已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________． 【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值. 详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是.例7．【2019届百校联盟高三TOP20四月联考】已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：例8.【2019届北京市北京19中十月月考】已知正数,x y 满足22,x y +=则18y x+的最小值为_________. 【答案】9【点睛】本题考查基本不等式的应用.利用基本不等式求带有限制条件的不等式的最值问题时，要合理配凑，如本题中将18y x+等价变形为182482x y x yy x y x+++=+，再利用基本不等式的条件（一正、二定、三相等）进行求解.例9.【2019届四川省成都市石室中学二诊】已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.【答案】；【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故.【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.例10.【2019届湖南省株洲市统一检测二】已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4【解析】分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得数列满足利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性质即可得出．时也成立．则数列中第4项最小．即答案为4.【精选精练】1．已知二次函数的值域为，则的最小值为( )A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】B故选：B．2．【2019届陕西省咸阳市三模】已知圆的半径为1，，，，为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．详解：如图所示，由知，ABDC为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，所以当AD是圆的直径时，面积的最大.∴当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值为.故答案为：A点睛：本题主要考查向量的平行四边形法则和基本不等式等基础知识.看到，联想到平行四边形法则，是解题的一个关键.平面向量里高考的高频考点有向量的加法法则、减法法则、平行四边形法则、基底法和坐标法等，要做到心中有数.3．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．【2019届河北省衡水金卷一模】已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（）A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】,又因为,,当且仅当x=y 时取等号,,即的最大值为,故选C.5．【2019届贵州省贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】∵∴由∴∴综上，可得.故选A ．6．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知（），则的最小值为（ ）A.B. 9C.D.【答案】B7．【2019届山东省天成大联考第二次】若，且，则的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选B.8．在ABC 中,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且2a c b +=,则角B 的取值范围是A. π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D点睛：本题考查了余弦定理和基本不等式的性质、三角函数的图象与性质等知识点的综合应用，解答中利用题设条件和余弦定理、基本不等式求得1cos 2B ≥，再利用三角函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．9．【2019届山西省一模】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∠APB=90°，∴由不等式可得∴故选：B10．【2019届安徽省宣城市第二次调研】已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．【答案】9+【解析】因为()()()2cos 0,2sin f x x f x x x f x =->-=-+=-'，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()()()211212,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b + ()14242999b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当b =时取等号. 11．已知直线恒过定点A ，则A 点的坐标为_______；若点A 在直线（，）上，则的最小值为_______.【答案】 （2,1）12.【2019年天津市十二校二模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.。
2020年高考数学(理)一轮复习30考点必刷题含解析
【答案】A
【解析】试题分析：若 ，则直线 与直线 平行，充分性成立；若直线 与直线 平行，则 或 ，必要性不成立．
8．“x为无理数”是“x2为无理数”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】 为无理数，不能推出 为无理数，例如 ，反过来， 是无理数，那么 一定是无理数，故 为无理数是 为无理数必要不充分条件，故选B.
A．{2}B．{1,2}
C．{－2,1,2}D．{－2，－1,0}
【答案】C
【解析】∵A，B为两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，∴A－B＝{－2,1,2}．故选C.
20．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________.
A． 甲是乙的充分不必要条件
B． 甲是乙的必要不充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】“甲⇒乙”的逆否命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”显然不正确，而“乙⇒甲”的逆否命题为“若x＝2且y＝3，则x＋y＝5”是真命题，因此甲是乙的必要不充分条件．故选 B.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合 ， ，所以A∩B={0,1}.
故答案为：A.
6．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
A．M＝NB．M⊆N
2020年高考数学考点题型全归纳(理)
2020年高考数学考点题型全归纳随着2020年高考的结束，我们不禁要对其中的数学考点题型进行一个全面的总结和归纳。
数学作为高考中的一门重要科目，其考点题型的总结对于备战高考的同学们具有重要的指导意义。
本文将对2020年高考数学考点题型进行全面的归纳，希望能够对广大学生提供帮助。
一、选择题2020年高考数学选择题考点主要集中在以下几个方面：1.函数与导数函数与导数作为数学的基础知识，在高考中占据了相当重要的地位。
在2020年高考中，函数与导数的选择题主要涉及函数的性质、导数的运算和应用等方面。
2.数列与数学归纳法数列与数学归纳法同样是高考中的热门考点。
2020年高考数学选择题涉及了等差数列、等比数列等常见数列的性质和求和公式，同时还出现了一些利用数学归纳法证明结论的题型。
3.平面向量平面向量是高考数学的难点之一，但也是一大考点。
2020年高考选择题中的平面向量题主要涉及了向量的运算、共线、垂直和平行等基本性质的运用。
4.平面几何平面几何一直是高考数学的重要考点，2020年高考选择题中的平面几何题型主要涉及了三角形、圆、直线与圆的性质和应用等方面。
5.概率统计概率统计是高考数学中的另一个热门考点，2020年高考选择题中的概率统计题目主要涉及了基本概率，包括事件的概率、概率的计算和概率分布等内容。
二、计算题2020年高考数学计算题的考点主要集中在以下几个方面：1.导数与微分导数与微分是高考数学计算题中的热门考点，包括了函数的求导、高阶导数、微分中值定理等内容。
在2020年高考中，导数与微分题型的难度也较大，考查了考生对导数与微分的灵活应用能力。
2.几何向量几何向量题型的难度适中，主要涉及了向量的运算、共线、垂直和平行等基本性质的灵活运用。
在2020年高考中，几何向量题型的难度相对较大，需要考生具备较强的解题能力。
3.平面解析几何平面解析几何是高考数学计算题中的重要考点，涉及了平面直角坐标系、直线和圆的方程等内容。
专题02 常用逻辑用语--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一 充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 热点二 充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（ ） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。
2020年全国高考数学(文)热点、重点、难点考点专题突破(含解析)
热点01多选题与多空题（新高考）【变化情况】☆题型（顺序）新高考的选择题由原“12个单选题”变为“8个单选题和4个多选题”；填空题由原“4个单空题”变为“3个单空题和1个多空题”；解答题由原“5个必考题和2个选考题”变为“6个必考题，无选考题”.☆题量（小题量）新高考的选择题总题量不变，共12个；填空题总题量不变，共4个；解答题原来是必考题5个，选考题二选一，现在是必考题6个，无选考题，故总题量不变，但试卷上呈现的解答题的数量减少一个.☆分值新高考的选择题和填空题总分值无变化，解答题分值有变化，解答题分值有变化，解答题第一题10分，其余5道大题每题12分.☆考查知识点的分布（各模块的知识占比、是否为常规意义的高频等）新高考的选择题的多选题的难度增加，重视统计、圆锥曲线、立体几何的部分以及函数专题，但也要注意三角、向量等其他知识的多选题，对其要求的学科思想与学科核心素养要求较高.填空题，增加一道多空题（有一个空变成了两个空），难度加大，但所占的分值比重与全国卷的相当.解答题，原来的全国卷，17题的位置是解三角的问题及数列的问题二选其一，且考查形式较新颖，新高考对数列及解三角形的模块地位一样考查.注意不分文理之后，文科生增加了立体几何空间向量的部分，19题的第二问正是很好的体现.选考题第22，23题不再考查，故不等式的选讲及极坐标与参数方程不作考试要求.其余专题部分基本保持不变.【满分技巧】☆掌握规则多项选择题由1个题干和4个备选项组成，备选项中至少有2个正确选项，所选正确答案将是2个、3个或4个.因此，在做多项选择题时应该注意，如果应考者所选答案中有错误选项，该题得零分；如果全部选对得5分，如果所选答案中没有错误选项，但是正确选项未全部选出，则得3分.多空题只是填空题有原来的一个空改成了两个空，原来一道题一个空5分，现在这道题的两个空一个2分一个3分.实际上得分的几率更高，一般前一个空较简单，如果太难的试题，至少能拿到2分.☆常规方法通用做多项选择题同样可以用直接选择法、排除法、比较法等常用的选择题做题方法，而且，有时可以综合使用多种方法来完成一个题目.做多空题也同样用平时求解一般填空题的方法即可.☆注意内容互相对立的选项在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他三项不存在内容对立的情况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为正确选项.例如，ABCD四个待选项中，AB互相对立，CD互相对立，则两个正确选项往往需从AB组以及CD组中分别择一产生.当然，该规则也存在例外情况.☆注意互近选项或类似选项在多项选择题中，如果存在两对内容互近选项或类似选项，而这两对选项内容对立，则其中一对互近或类似选项应该为正确选项.例如，ABCD四个待选项中，AB两项内容相近、类似，CD两项内容相近、类似，而AB组与CD组内容对立.如果判断A项正确，那么AB组都正确；如果判断C项正确，那么CD组都正确.☆注意有承接关系或递进关系的选项在多项选择题中，如果两个或两个以上的选项之间存在承接关系或递进关系，即数个选项能同时成立，则往往这几个选项应一起被选择.例如在ABCD四个待选项中，ABC三个选项间存在承接、递进关系，能同时成立，若A正确，则ABC都应该为正确选项.☆坚持宁缺勿滥做多项选择题时，谨慎选择的意识要更加明确.一般首先选出最有把握的2个选项，同时，在有足够把握确定还有其他正确答案时才继续选择，否则不选，以免选出错误选项.这样，才能保证该题目得分.因此，要坚持宁缺勿滥，这一点与单项选择题不同.☆重点保证多项选择题有一定难度，考试成绩的高低往往取决于多项选择题的得分.所以应考者应抓紧时间，保证在考试时间内把所有的多项选择题题目都做完.无论是单选还是多选，都要注意看清楚题目要求是选择正确选项还是选择错误选项.一般规范的考试应该是要求选择正确选项，但是，有时也因为某个知识点的特殊性，不便要求选择正确选项，只能要求选择错误选项，因此，也要谨慎.【常考知识】此类考题常与函数、向量、三角函数、概率、统计、圆锥曲线、立体几何等.【限时检测】（建议用时：30分钟）1．已知向量(1,2)=-a ，||4||=b a ，a b ∥，则b 可能是A ．(4,8)B ．(4,8)-C ．(4,8)--D ．(4,8)-【答案】BD【解析】设(),x y =b，依题意有20y x =+=⎪⎩48x y =⎧⎨=-⎩或48x y =-⎧⎨=⎩.故选BD.【名师点睛】本小题主要考查平面向量模的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.求解时，设出b 的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b 的可能取值.2．设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221c a b =+D ．121c b a=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b =，1log 9M c=. log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a =-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD.【名师点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.求解时，利用与对数定义求出a ，b ，c ，再根据对数的运算性质可得log 4log 92log 6M M M +=，然后进行化简变形即可得到.3．已知函数()π2sin 23()1f x x =-+，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的图象关于点π(,0)3对称B ．函数()f x 图象的一条对称轴是π12x =-C ．若ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()fx 1+D ．若120πx x <<<，则()()12f x f x <【答案】BC【解析】A.令π2π()3x k k -=∈Z ，知函数()f x 关于点ππ(,1)()62k k +∈Z 对称，所以A 不成立；B.令ππ2π()32x k k -=+∈Z ，知函数()f x 关于轴5ππ()122k x k =+∈Z 对称，所以B 成立；C.若ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦则函数()f x 1+，C 成立；D.由于当120πx x <<<时，()f x 不单调，所以不成立.故答案选择BC.【名师点睛】研究三角函数性质，我们只需牢记sin ;cos ;tan y x y x y x ===的图象及性质，其他都可以通过整体思想进行类比完成.求解时，()π2sin 23(1f x x =-+的性质的研究，我们更多去考虑()(si )n f x A x B ωϕ=-+的性质，利用整体思想能解决本题.4．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%﹣0.48%3.82%0.86%则下列判断中正确的是A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48%，是亏损的，所以A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，所以B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，所以C 正确；剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，所以D 正确．故选ACD ．【名师点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．求解时，根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．5．已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为AB．3C ．102D【答案】BC【解析】由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±.当3a =时，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，则e ==当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，e ==则离心率为：3或2.故选BC.【名师点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解a 的取值，属于中档题.求解时，由等比数列的性质求出a ，再判断曲线类型，进而求出离心率.6．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC =B ．ABC △是钝角三角形C ．ABC △的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC △外接圆半径为7【答案】ACD【解析】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=，所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===，所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又()()()2222224561cos 022458x x x a b c C ab x x +-+-===>⨯⨯，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又()()()2222226543cos 22654x x x c b a A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2cos A C =，由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：()20,πA ∈，π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==，所以2R =，解得：7R =，所以D 正确.故选ACD.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，还考查了二倍角的余弦公式及计算能力，考查方程思想及转化能力，属于中档题.求解时，由已知可设91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，求得4,5,6a x b x c x ===，利用正弦定理可得A 正确；利用余弦定理可得cos 0C >，三角形中的最大C 角为锐角，可得B 错误；利用余弦定理可得3cos 4A =，利用二倍角的余弦公式可得：cos2cos A C =，即可判断C 正确；利用正弦定理即可判断D 正确，问题得解.7．关于x 的方程2||0ax x a -+=有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】BCD【解析】方程20ax x a -+=中，0a =时，只有一个解0x =，因此方程20ax x a -+=有四个不同的解，则0a ≠，0x ≠，因此方程可变为211x a x+=1x x =+．作出函数1y x x =+的图象和直线1y a=，如图，函数1y x x =+的最小值为2，因此当12a>时，直线1y a =与函数1y x x =+的图象有四个不同的交点，即原方程有四个解，满足12a>的有BCD ．故选BCD ．【名师点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在解决方程解的个数问题时常常采用分离参数法，把问题转化为直线与函数的图象的交点问题．求解时，分离参数，把方程变为211x a x+=1x x =+．利用勾形函数的性质求解．8．若函数()f x 具有下列性质：①定义域为(1,1)-；②对于任意的,(1,1)x y ∈-，都有()()f x f y +=1x y f xy ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭；③当10x -<<时，()0f x >，则称函数()f x 为δ的函数.若函数()f x 为δ的函数，则以下结论正确的是A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为单调递减函数D ．()f x 为单调递增函数【答案】AC【解析】()f x 定义域关于原点对称，令y x =-则有：()()(0)f x f x f +-=，令0x y ==，则有(0)0f =，所以()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数，A 正确，B 错误；令1x x =，2y x =-，且12x x <，所以121212()()()1x x f x f x f x x -+-=-，又120x x -<且111x -<<，211x -<<，则122112(1)()(1)(1)0x x x x x x ---=+->，即1212101x x x x --<<-，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 是单调减函数，C 正确，D 错误.故选AC.【名师点睛】判断抽象函数的单调性和奇偶性，一般采用令值的方法解决问题.令值的时候注意构造出()f x 与()f x -之间的关系以及12()()f x f x -与0的大小.求解时，分析奇偶性：通过令值找到()f x 与()f x -之间的关系；分析单调性：通过令值找到12()()f x f x -与0的大小关系.9．如图1，点E 为正方形ABCD 边BC 上异于点,B C 的动点，将ABE ∆沿AE 翻折，得到如图2所示的四棱锥B AECD -，且平面BAE ⊥平面AECD ，点F 为线段BD 上异于点,B D 的动点，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有A ．直线BE 与直线CF 必不在同一平面上B ．存在点E 使得直线BE ⊥平面DCEC ．存在点F 使得直线CF 与平面BAE 平行D ．存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直【答案】AC【解析】A.假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以E 在平面BCF 上，又E 在线段BC 上，BC I 平面BCF =C ，所以E 与C 重合，与E 异于C 矛盾，所以直线BE 与直线CF 必不在同一平面上，A 正确；B.若存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ，AE ⊂平面AECD ，所以BE AE ⊥，又AB BE ⊥，所以△ABE 中有两个直角，与三角形内角和为180 矛盾，所以不存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ，B 不正确；C.取F 为BD 的中点，12EC AD =，再取AB 的中点G ，则EC FG 且EC =FG ，四边形ECFQ 为平行四边形，所以FC EG ，则直线CF 与平面BAE 平行，C 正确；D.过B 作BO ⊥AE 于O ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE 平面AECD =AE ，所以BO ⊥平面AECD .过D 作DH ⊥AE 于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE 平面AECD =AE ，所以DH ⊥平面BAE ，所以DH BE ⊥.若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D = ，所以AE ⊥平面AECD ，所以E 与O 重合，与三角形ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，D 不正确.故选AC.【名师点睛】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间直线、平面之间的位置关系，反证法的运用，属于难题.求解时，分别判断各个选项是否正确，对于A ，证明两直线异面考虑用反证法；对于B ，C ，D 只要能找到某个位置成立，则命题正确，否则利用反证法进行证明.10．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值可能为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【解析】不妨设过点2(,0)F c 与双曲线的一条渐近线平行的直线为()by x c a=-，与双曲线另一条渐近线b y x a =-交点为(,)22c bcP a-，因为点P 在以线段12F F 为直径的圆外，所以120PF PF ⋅>uuu r uuu r ，即22222233(,)(,)0,0,30,222244c bc c bc c b c a b a a a-⋅>-+>-+>222230,4a c a e -+->>，2e ∴>，故选BCD.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.求解时，先求点P 坐标，再根据向量数量积列不等式，化简得到关于离心率e 的不等式，解得离心率取值范围.11．设函数()3,2,x x af x x x a ⎧≤=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为______；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是______．【答案】0(,0)-∞【解析】①若0a =，则()3,02,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，3()f x x =，此时函数为增函数，当0x >时，()2f x x =-，此时函数为减函数，故当0x =时，()f x 的最大值为()00f =；②当0a >时，()3,2,x x af x x x a⎧≤=⎨->⎩图象如图所示：由图可知存在最大值；当0a <时，()3,2,x x af x x x a ⎧≤=⎨->⎩图象如图所示：由图可知此时不存在最大值；由（1）知当0a =时，函数()f x 有最大值，综上所述，若()f x 无最大值，则0a <．故答案为：0；(,0)-∞.【名师点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．求解时，①当0a =时，研究其单调性，根据单调性求出最大值；②若()f x 无最大值，则302a a a <⎧⎨->⎩，解不等式组即可得答案．12．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2n S n =，若2n a n b =，则n a =________；数列{}n b 的前n 项和n T =__________．【答案】21n -()2413n -【解析】当111,1n a S ===2,n ≥121n n n a S S n -=-=-，满足11a =，故n a =21n -，若2n a n b =，则212n n b -=，故数列{}n b 的前n 项和()()214241143n n n T -==--.故答案为：21n -；()2413n -.【名师点睛】本题考查利用前n 项和求通项公式，考查等比数列求和，是基础题.求解时，由2,n ≥1n n n a S S -=-得数列{}n a 的通项，利用等比数列求和得数列{}n b 的前n 项和.热点02集合与常用逻辑用语【命题趋势】1.在新一轮课改中集合仍然作为一个必考内容出现，集合之间的混合运算以及集合信息的迁移一直高考的一个热点，主要还是放在选择题前两题为主，此部分内容较为简单，常与函数、方程、不等式结合起来考查.2.常见的逻辑用语部分对于数学来说是一种工具类的知识点，很容易与各个知识点相结合起来进行考查.立体几何，数列，三角函数，解析几何等.但是近几年全国卷出现的频率较少.但随着新课标的进行，综合一些趋势方向，相信常用逻辑用语也会逐渐加入高考行列.【考查题型】选择题【满分技巧】给定集合是不等式的解集的用数轴.给定集合是点集的用数形结合去求.给定集合是抽象几何的用Venn 图去求.对于常见的逻辑词来说，重难点是要分清楚命题的否定与否命题之间的区别于联系.原命题与你否命题等价，剩下两个等价.亦可以采用逆向思维去求.对于充分必要条件问题，最好的理解方法亦是转化成集合与子集的观点去探究.充分亦是子集.充要亦是集合相等.主要是观察两个集合哪一个范围更大一些.范围小的就是范围大的的充分，亦是范围大的是范围小的的必要即可.【常考知识】集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019全国Ⅰ文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UA B ===，，，则U B A = ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】因为{}1234567234{}}23{567U A B ===，，，，，，，，，，，，，，，所以C 17{}6U A =，，，则{67 }U B A =I ，ð.故选C ．2.（2019全国Ⅱ文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅【答案】A【解析】(1,)A =-+∞，(,2)B =-∞，(1,2)A B =- .故选C.【名师点睛】对于有关不等式的集合之间的运算画数轴是最简便，不容易出错的3.（2019天津文1）设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B =，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B = （A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}【答案】D【解析】设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}13C x x =∈<R ，则{}1,2A C = .又{}2,3,4B =，所以{}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B == .故选D.4．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】集合{|32,}A x x n n N ==+∈，当0n =时，322n +=，当1n =时，325n +=，当2n =时，328n +=，当3n =时，3211n +=，当4n =时，3214n +=，∵{6,8,10,12,14}B =，∴A B 中元素的个数为2，选D ．【名师点睛】集合运算中，应当特别注意集合中的取值范围5．已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+∈≤，{(,)|||2,B x y x =≤||2,,}y x y Z ∈≤，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C 【解析】由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合A B ⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---，122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有：7535⨯=个；当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=，由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个，故应选C ．【名师点睛】本题主要考查学生的运算能力以及细心程度，属于新定义问题.通过理解新定义计算法则，此题容易遗漏某些点.6．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = ，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S∉【答案】B【解析】特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法：因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.7．已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{|024}x x x ≤<>或D ．{|024}x x x ≤≤≥或【答案】C 【解析】[)0,A =+∞，[]2,4B =，∴[0,2)(4,)R A B =+∞ ð【名师点睛】考查指数函数有关性质，注意指数函数底数为0到1的数，是单调递减函数另外集合属于一元二次不等式的解法.8．已知,A B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且{3}A B = ，{9}U B A = ð，则A =A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}【答案】D【解析】因为{3}A B = ，所以3∈A ，又因为{9}U B A = ð，所以9∈A ，所以选D ．本题也可以用Venn 图的方法帮助理解．9.（2019北京文6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】若0b =，则()cos f x x =是偶函数；反之，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()cos sin cos sin cos sin x b x x b x x b x -+-=-=+，即sin 0b x =对x ∀成立，可得0b =，故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.故选C.10.（2019浙江5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为a ＞0，b ＞0，若a +b ≤4，则4a b + ，则4ab ，即44a b ab +⇒ .反之，若4ab ，取1a =，4b =，则44ab = ，但5a b +=，即4ab 推不出a +b ≤4，所以a +b ≤4是4ab 的充分不必要条件.故选A ．11.（2019全国Ⅲ文11）记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+ ；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+ .下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】作出不等式组620x y x y +⎧⎨-⎩的平面区域如图阴影部分所示.由图可知，命题():,,29p x y D x y ∃∈+ ；是真命题，则p ⌝假命题；命题():,,212q x y D x y ∀∈+ 是假命题，则真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：p q ∨真； p q ⌝∨假；●p q ∧⌝真；❍p q ⌝∧⌝假；故答案●正确．故选A．【名师点睛】线性规划与逻辑词相结合是比较新颖的题型，需要对线性规划一个充分的理解，需要对图像有一个比较清晰的认识理解.从图形中去挖掘信息.另此题比较简单的方法在所在的区域找特殊点进行验证.12．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．13．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b d a c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a c b d =，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ．14．（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q⌝⌝∧【答案】B【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真.选B ．15．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】.C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >”充分必要条件，选C ．16．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据已知，如果直线,a b 相交，则平面,αβ一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面,αβ相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A ．17．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵22cos 2cos sin ααα=-，当sin cos αα=时，cos 20α=，充分性成立；当cos 20α=时，即22cos sin 0αα-=，∴cos sin αα=或cos sin αα=-，必要性不成立．18．函数()f x 在0=x x 处导数存在，若()00p f x '=：，0:q x x =是()f x 的极值点，则A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】C【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．【名师点睛】充分必要条件的选择与应用通过集合的观点去认识理解，对于这种题目迎刃而解.主要看的是谁的范围更小谁的范围更大.热点03函数及其性质【命题趋势】在新一轮高考改革中，函数仍旧是高中数学中的以后重难点.高中数学的学习当中，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年文科数学中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法.【考查题型】选择题，填空题【满分技巧】图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入.零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题.对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.M x f ≥)(恒成立则M 小于等于函数最小值，M x f ≤)(恒成立，则M 大于等于函数最大值，对于存在使的M x f ≤)(成立，则M 大于函数最小值.对于选择题则可以采用特殊值代入法.恒成立问题另外注意问题是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若)()(21x ≥g x f 恒成立，只要满足)(x f 定义域范围内最小值大于)(x g 最大值即可.分段函数单调性问题是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错.函数及其性质一般会放在选择题的最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.【常考知识】基本函数图像变换，奇偶性应用，周期性应用，单调性，不等式问题.【限时检测】（建议用时：60分钟）1（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.2．（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
2020高考数学大一轮复习课件 (31)
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略
思维导引
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略 题规范与策略
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略
答题规范
第(Ⅰ)问 ①对函数f(x)求导正确得2分; 采点得分 ②得出f '(0)=0得1分; 说明 ③写出切线方程y=1得2分.
第(Ⅱ)问
采点得分
说明
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略
(1)牢记求导法则,正确求导:在函数与导数类解答题中,通常
都会涉及求导,正确的求导是解题关键,因此要牢记求导公式,
做到正确求导,如本题就多次涉及对函数的求导. (2)注意利用第(Ⅰ)问的结果:在题设条件下,如果第(Ⅰ)问的 结果第(Ⅱ)问能用得上,就可以直接用,如本题第(Ⅱ)问即是在 第(Ⅰ)问的基础上求解.
思维导引
文科数学 素养提升1理科数学 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略 微专题1：高考中的函数与导数问题
文科数学 素养提升1理科数学 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略 微专题1：高考中的函数与导数问题
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略
感悟升华 命题 探源 素养 探源 素养 数学运算 逻辑推理 思想 方法 考查途径 导数的计算、解一元二次不等式、解分式不等式. 用导函数的符号判断函数的单调性,不等式的恒成 立转化为函数问题
分类讨论思 分类讨论解决含参数的函数的单调性 想 函数与方程 把不等式问题转化为函数问题 思想
文科数学 素养提升1 高考中函数与导数解答题的答题规范与策略
(人教版)备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题06 函数的图象
专题06 函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查. （一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。
在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. （3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-∞+∞，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线. 信息点：渐近线 注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。
「最新」2020版高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题38数列中的不等问题-可编辑修改
专题38 数列中的不等问题【热点聚焦与扩展】关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法. （一）数列中的不等关系1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等.4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定.进而把问题转化成为判断n a 的符号问题. （二）利用放缩法证明不等式1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试. （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可. （4）与数列中的项相关的不等式问题：① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即()1n n a a f n +-<或()1n na f n a +<（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为n a ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1）()()211111n n n n n <<+-，其中2,n n N ≥∈：可称21n为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择. 注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：()()22111111111211n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：()()22211411111412121221214n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭- （2=，从而有：22-=<<<2,n n N *<≥∈ （3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.（4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n --=<=------- ()1112,2121n nn n N *-=-≥∈-- 可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n nk k k k k k k k k k k k--=<=------- ()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 【经典例题】例1.【2018届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 13 【答案】B【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件，，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.例2. 已知函数，数列满足，且数列 是递增数列，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得，求解可得答案．详解：根据题意，a n=f（n）=，要使{a n}是递增数列，必有：，解得，4＜a＜8．故选：B．例3. 等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足．，，则以下结论不正确的是（）A. B.C. 的值是中最大的D. 使成立的最大自然数等于【答案】C【解析】分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．详解：∵,∴, ∴..，故D正确.故选C.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．例4.已知等差数列中，，，则使成立的最大的值为（）A. 97B. 98C. 99D. 100【答案】B【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求的最大值．∴．由，解得，又，∴，∴最大的值为98.故选B．例5.【2018届福建省宁德市5月检测】记为数列的前项和，满足，，若对任意的恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据数列{a n}求解S n，利用不等式的性质求解．详解：由a1=，2a n+1+3S n=3（n∈N*），则2a n+3S n﹣1=3．两式相减，可得2a n+1﹣2a n+3a n=0，即．∵a1=，∴a n==3•2﹣n．那么S n==1．∴≤S n．点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力．（2）解答本题的一个关键是求的范围，由于S n=1，所以奇数项都大于1，单调递减，偶数项都小于1，单调递增.所以最大，最小.例6.设数列的前项和为，它满足条件，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是一个单调递增数列，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) 或.【解析】分析：（1）根据与的关系消去可得，从而得到数列是等比数列，进而可求得数列的通项公式．（2）由条件得，又数列单调递增，故，即对恒成立．然后分和两种情况考虑，分别求出实数的取又，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2）由条件得，∵数列是单调递增数列，∴恒成立，即对恒成立．①当时，，∴对恒成立，∴对恒成立，∵，且，∴．②当，∴对一切恒成立，∴对恒成立，由①②可知或．∴实数的取值范围是．点睛：（1）根据与的关系求数列的通项公式时，利用是解题的关键，运用此结论时要注意使用的条件为．（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用函数的方法研究数列的有关性质． 例7. 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81． (1)求{a n }的通项公式； (2)设()2311log n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和S n ，求证： 2n S <．【答案】(1)a n ＝3n －1．(2)见解析.()()()21111211n b n n n n n n=<=-≥-- 所以数列{}n b 的前n 项和()2222211111111121122334111111111111223341122n S n n n n n n=+++<+++++⨯⨯⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-<L L L检验当n=1是符合不等式（或指明各项为正越加越大）．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项消去法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答本题确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“放缩、裂项”之后求和，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等． 例8.已知数列中，.（1）证明：是等比数列；（2）当是奇数时，证明：；（3）证明：.【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.∴数列是首项为，公比为2的等比数列．(2)由（1）可知故．当是奇数时，．(3)由（2）可知，当为偶数时，，∴．点睛：（1）证明数列为等比数列时，除了证明或为常数外，还要说明数列的首项不为零，这一点要特别注意． （2）对于数列的通项公式中含有或的情形，往往要分为为偶数和为奇数两种情况分别求解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式． （3）解题时注意数列中放缩的技巧．例9.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k k T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.例10. 设数列的前n 项和为，已知，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：对任意的正整数n ，都有，求数列的最大项．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由得，两式做差得，叠乘可得数列的通项公式；（2）由递推公式，作差化简可得，由（1）得，得到，作差即可判定数列的单调性，求解数列的最大项．详解：（1）由得，两式做差得所以………，叠乘可得（2），当时…两式做差，时，，满足．所以又，所以点睛：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的求和问题，其中解答中正确化简数列的递推关系式，得到数列的通项公式是解答的关键，同时数列的单调性的判定是解答的一个难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力．【精选精练】1．【2018年浙江省高考模拟】在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时， n 的最小值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出811520a a a =+<，891160a a a a +=+>，由此能求出0n S >时， n 的最小值．详解：∵数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和n S 有最小值 ∴公差0d >，首项10a <， {}n a 为递增数列∵981a a <- ∴890a a ⋅<， 890a a +>由等差数列的性质知： 811520a a a =+<， 891160a a a a +=+>. ∵()12n na a n S +=∴当0n S >时， n 的最小值为16． 故选C.点睛：本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题．解答本题的关键是根据80a <， 90a >，确定0n S >时， n 的最小值. 2．【2018届湖南省岳阳市第一中学一模】已知数列满足当时，若数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）A. 59B. 58C. 57D. 60 【答案】A【解析】分析：根据题意，分别得到各段上数列的通项公式及和的值，进而求得的的范围，即可求解的最小值.当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以，则，设在第到第中，则有项的和为，令，解得，所以使得时，，所以的最小值为，故选A.点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.3．已知数列的首项，且满足，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.所以当时，取最小值，选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B两式作差可得：，则a n=2(n+1),对a1也成立，故a n=2(n+1)，则a n−kn=(2−k)n+2，则数列{a n−kn}为等差数列，故S n⩽S6对任意的恒成立可化为：a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；即，解得：.实数的取值范围为.本题选择B选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5.【2018届浙江省绍兴市5月调测】已知等比数列的前项和，则_______，数列的最大项是第项，则_______.【答案】 19 4【解析】分析：由题意结合等比数列的前n项和特征可得r的值，进一步可得的值，利用比值的方法可求得数列的最大项.详解：等比数列前n项和公式具有特征：，据此可知：，则，，.点睛：本题主要考查数列的单调性，比值法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，数列的前n项和为，=1，，.若对于任意正整数，都有成立，则的最大值为_____________.【答案】【解析】∵=1，=,∴当时，=,=,…,=,=,∴当时，=++…++=++…+=，当时，,∴对于任意正整数，.∴，∴的最大值为. 7．在等差数列中，，公差为，为其前项和，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为___________．【答案】【解析】分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7<S8，S9<S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．详解：在等差数列中，当且仅当时取得最大值，所以.即，解得.故答案为：.点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，仅有一项最大时没有等号，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.8．已知等差数列的前项和为，，，当=_______时，有最小值.【答案】或【解析】分析：利用等差数列的与的关系，得到当，进而得到时，，当时，，当时，，即可得到结论．点睛：本题主要考查了等差数列的与的关系，及前项和的最值问题，解答中根据等差数列的与的关系，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列， 135246105,99a a a a a a ++=++=．则n a =______；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时， n =______． 【答案】 241n -+ 20【解析】分析：将条件转化为等差数列的基本量1,a d ，解关于1,a d 的方程组可求出1,a d ，由等差数列的通项公式即可写出()3921412n a n n =--=-.因为公差小于0，所以所有非负项的和最大，令4120n a n =-≥，可求得前多少项取正值.进而可得数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时， n 的取值.详解：将135246105,99a a a a a a ++=++=．转化为用1,a d 表示得1136105{3999a d a d +=+= ，即11235{333a d a d +=+=.解得139{2a d ==-，点睛：（1）求等差数列的通项公式，应先把条件转化成关于1,a d的方程，解方程组可求1,a d，再根据通项公式可写出na.（2）递减的等差数列，前面所有非负项的和最大；递增的等差数列，前面所有非正项的和最小.10.【2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知数列为等差数列，其中．（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为．求最小的正整数，使得．【答案】(1);(2)1009.【解析】分析：第一问利用题中所给的条件，建立首项和公差所满足的等量关系式，求得首项和公差的值，之后利用等差数列的通项公式求得结果，第二问利用裂项相消法求和，建立对应的不等关系式，借助于n的范围求得结果.详解：（1)设等差数列的公差为，依题意有令，解得，故取．点睛：该题考查的是有关等差数列的有关问题，一是涉及等差数列的通项公式，二是有关裂项相消法求和，在求通项公式的时候注意向首项和公差看齐，求得通项公式，二是利用其和建立相应的不等式，结合n的范围求得结果.11．【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区5月训练】已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.【答案】（I）.（II）的最小值为100.【解析】分析：（Ⅰ）根据，，成等差数列可求得，于是可得数列的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，然后根据裂项相消法求得，再由，得，从而得到，所以的最小值为100．详解：（I）∵，，成等差数列，∴，由，得，∴，又，∴的最小值为100.点睛：用裂项法求和的原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．12．如图是由正整数构成的数表，用a ij表示i行第j个数（i，j∈N＋）．此表中a il＝a ii＝i，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n行的第二个数为b n（n≥2），求b n．（3）令，记T n为数列前n项和，求的最大值，并求此时n的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第6行为：6、16、25、25、16、6 ；(2)观察数表累加求和可得 .(3)结合 (2)的结论可得时，则，裂项求和可得，则，结合均值不等式的结论可得当且仅当时取得最大值.(3)，，，点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
2020高考数学大一轮复习课件 (32)
a.得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.第(1)问中,写出面积公式, 用正弦定理求出结果.第(2)问中,诱导公式→恒等变换→正弦定理→余弦定 得分 要点 理→得出结果. b.得关键分:①面积公式,②诱导公式,③恒等变换,④正弦定理,⑤余弦定理都 是不可少的过程,有则给分,无则没分. c.得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证,如得分点4,5,7,8. 利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 答题 模板 第一步:找条件.寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向. 第二步:定工具.根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,进行边角 之间的转化. 第三步:求结果.根据前两步分析,代入求值得出结果. 第四步:再反思.转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.
2020版《高考帮》配套PPT课件
素养提升2
高考中三角函数、解三角形 解答题的答题规范与策略
素养解读 从近几年的高考试题来看,全国卷交替考查解三角 形和数列,该部分解
答题是高考得分的基本组成部分,学生要能够先从已知中抽象出可以利用正、
余弦定理的条件,然后应用三角恒等变换和定理求解,主要考查考生的数学 抽象、数学运算和逻辑推理素养.在解题过程中,要注意三角恒等变换公式 的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法, 灵活地实现问题的转化.
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感悟升华
教材 本题第(1)问源于人教A版教材必修5P20B组T1且相似度极高,本题第(2)问
探源
素养
在第(1)问的基础上进行拓展,考查正弦定理、余弦定理的应用.
素养 考查途径 三角恒等式的转换、一元二次方程的求解.
探源
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专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m= （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22x xx y y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.例4.【2019届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小. 详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函数单调性比较大小； （3）借助中间变量比较大小.例5.【2019年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.且，，在上单调递减，，即，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2019届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.例7．【2019届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．详解：当时，，则在上是增函数，故选D ．例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例9.【2019届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴∴∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴故选D.例10.【2019届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有即即有或故选：D．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．【精选精练】1.【2019届北京市海淀区二模】已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时， , , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 2．【2019届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】A故选A ．3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. ()21log 2a b a a b b +<<+B. ()21log 2a b a b a b <+<+ C. ()21log 2a b a a b b +<+< D. ()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab = ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.4．【2019届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知0<， 01＜，1>，即01a <<， 0b <，1c >，∴b a c <<，故选C.5．【2019届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．【2019届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 【答案】B【解析】分析：设()ln x f x x =，得()21ln xf x x-'=，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论. 详解：设()ln (0)x f x x x =>，则()21ln xf x x -'=， 可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即ln2.1ln2.22.1 2.2<， 可化为 2.22.12.12.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<，所以c a b <<，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.7．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.8.【2019年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x -，设()3l o g 0.2a f =，()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( )A. c a b >>B. a b c >>C. c b a >>D. b a c >> 【答案】A【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f =()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A.9．【2019届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2019届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】D【解析】令0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0sin 2α<<， cos sin αα>，令()()sin xf x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x xα=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2019届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设1lna π=， 2ln5b e-=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 【答案】A又1ln π2>=，且()21xf x =-在[]0,1上单调递增， ∴()1ln π2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f a f b < 故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．12.【2019届重庆市巴蜀中学月考七】已知sin(x+ ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a 【答案】B【解析】 ()()()12212222cos x f x x ϕϕ++=++- ()()122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭53532242464b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b c <<．选B ．。