【学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)作业:2.3 等差数列的前n项和(2)

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高中数学新人教A版必修5教案2.3等差数列的前n项和

高中数学新人教A版必修5教案2.3等差数列的前n项和

等差数列的前n 项和一、教材剖析1.教课内容:本节课是高中人教 A 版必修 5 第二章第三节第一课时的内容。

主要研究等差数列的前n 项和公式的推导及其简单应用。

2.地位与作用本节课是前方所学知识的持续和深入,又是后边学习“等比数列及其前n 项和” 的基础和前奏。

学好了本节课的内容,既能加深对数列相关观点的理解,又能为后边学好等比数列及数列乞降供给方法。

同时还蕴涵着深刻的数学思想方法(倒序相加法、数形联合、方程思想),所以“等差数列的前n 项和”不论是在《数列》这一章中仍是在高中数学中都有极为重要的地点,拥有承前启后的重要作用。

二、学情剖析1.知识基础:高二年级学生已学习了数列及等差数列相关基础知识,而且在初中已认识特别的数列乞降及小高斯的故事。

2.认知水平与能力:高二学生已初步拥有抽象逻辑思想能力,能在教师的指引下独立地解决问题。

3.学生特色:平行班里有许多学生基础不差且思想较活跃,能带动其余学生踊跃学习,但办理抽象问题的能力还有待进一步提升。

三、目标剖析知识技术目标:1.掌握等差数列前 n 项和公式;2.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程 ;3. 会简单运用等差数列前n 项和公式 .过程与方法:1.经过平等差数列前n 项和公式的推导, 领会倒序相加乞降的思想方法;2.经过公式的运用领会方程的思想。

感情态度:习兴趣 , 并经过平等差数列乞降历史的认识, 浸透数学史和数学文化.教课要点、难点1、教课要点:等差数列前n 项和公式的推导和应用.2、教课难点:在等差数列前n 项和公式的推导过程中领会倒序相加的思想方法.3、要点、难点解决议略:本课在设计上采纳了由特别到一般、从详细到抽象的教课策略.利用数形联合、类比概括的思想,层层深入,经过学生自主研究,剖析、整理出推导公式的思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,师生互动、讲练联合,进而突出要点、打破教课难点。

四. 教法、学法本课采纳“研究——发现”教课模式.教师的教法突出活动的组织设计与方法的指引 . 学生的学法突出研究、发现与沟通 .五 . 教课过程教课过程设计为六个教课环节:(以以下图)指导思想:就是从特别到一般,由详细到抽象,类比概括总结出指导等差数列前n 项和公式的倒序相加法,而后指引学生认识和熟记公式并活应用,同时在应用过程中领会方程的思想方法。

高中数学新人教A版必修5学案2.3等差数列的前n项和(第2课时)

高中数学新人教A版必修5学案2.3等差数列的前n项和(第2课时)

2.3等差数列的前n 和 ( 第 2)学目一步熟掌握等差数列的通公式和前n 和公式 , 认识等差数列的一些性, 并会用它解决一些有关, 提升意图 .合作学一、 , 情境复引入1.通公式 :2.乞降公式 :3. 两个公式中含有五个量, 分是, 把公式当作方程, 能解决几个量 ?4.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数存在最, 怎样求最 ?5.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n, 怎样求数列 {a n} 的通公式 ?二、信息沟通 , 揭露律6. 两个公式中含有五个量, 分是S n,a n,n,d,a1,两个公式两个方程, 所以已知此中的三个量 , 就能够求其余的两个量, 即“知三求二”.a n=a1+(n-1)d,S n==na1+d.7.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数能够求最, 求二次函数的最, 不要注意自量n 是正整数 ; 能够从研究数列的性及的正而研究前n 和 S n的最 , 方法更拥有一般性.S=,有最大;有最小.n8.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n怎样求数列 {a n } 的通公式 ?S n-1 =a1+a2+a3+⋯+a n-1 (n ≥2)只需两式相减就会获得a n=S n-S n-1 (n ≥2), 只不个表达式中不含有a1, 需要独考a1能否切合a n=S n-S n-1 .似于分段函数.a n=, 最后能否能够用一个式子来表示.三、运用律 , 解决9. 已知一个等差数列{a n} 的前 10 的和是 310, 前 20 的和是 1220, 由此能够确立求其前n 和的公式?10.已知等差数列 5,4,3, ⋯的前 n 和 S n , 求使得 S n最大的序号 n 的 .2n n. 个数列能否是等差数11. 已知数列 {a } 的前 n 和S =n +n, 求个数列的通公式列 ?四、式 , 深入提升12. 已知 {a n} 是一个等差数列, 且 a2=1,a 5=-5.(1)求 {a n} 的通项公式 a n;(2)求 {a n} 前 n 项和 S n的最大值 .2n n13. 已知数列 {a} 的前 n 项和为 S =n +n+1,求这个数列的通项公式, 这个数列能否是等差数列 ?五、反省小结 , 看法提炼参照答案一、设计问题 , 创建情境1.a n=a1+(n-1)d2.S n==na1+d3.S n,a n,n,d,a1二、信息沟通 , 揭露规律7.n 2+n=8.a n=三、运用规律 , 解决问题9.剖析 : 将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后 , 可获得两个对于 a1与 d 的二元一次方程 , 而后确立a1与 d, 进而获得所求前n 项和的公式 .解: 由题意知 S10 =310,S 20=1220,将它们代入公式S n=na1+d, 获得解这个对于a1与 d 的方程组 , 获得 a1=4,d=6,所以 S n=4n+×6=3n 2+n这就是说 , 已知 S10与 S20能够确立这个数列的前n 项和的公式 ,这个公式是S n=3n2+n.10.解: 方法一 : 令公差为 d, 则d=a2-a 1=a3-a 2=3-4=-,所以 S n==-.*又 n∈ N , 所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .方法二 :d=a 2-a 1 =a3-a 2=3-4=-,其通项公式为a n=5+(n- 1) ×=-n+.由于 a1=5>0,d=-<0,所以数列{a n}的前n项和有最大值.即有解得即7≤n≤8, 又 n∈ N* ,所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .211n11. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a=S =, 当 n≥2时,S =n +n,①S n-1 =(n-1) 2+(n-1),②由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 时,2 ×1-=a 1, 所以当 n=1 时 ,a 1也知足 a n=2n-,则数列 {a n} 的通项公式为a n=2n- (n ≥1,n ∈ N).这个数列是等差数列,a n-a n-1 ==2( 这是一个与n 没关的常数 ).四、变式训练 , 深入提升12. 解:(1)设{a n}的公差为d, 由已知条件 , 解出 a1=3,d=-2,所以 a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)S n=na1+d=-n 2+4n=4-(n-2)2,所以当 n=2 时 ,S n取到最大值 4.13. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a 1=S1=,当 n≥2时 ,S2①S2②=n +n+1,=(n-1) +(n-1)+1,n n-1由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 ,2 ×1- ≠a1, 所以当 n=1 ,a 1不足 a n=2n-,数列 {a n} 的通公式a n=个数列不是等差数列,a 2-a 1≠a3-a 2=a4-a 3=⋯=2.五、反省小 , 点提略。

人教版A版高二数学必修五2.3.1等差数列的前n项和导学案

人教版A版高二数学必修五2.3.1等差数列的前n项和导学案

2.3.1 等差数列的前n项和导学案【学习目标】1.理解等差数列前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列前n项和公式.3.能利用等差数列前n项和公式解决实际问题.【自主预习】1.数列的前n项和(1)定义:对于数列{a n},一般地,称a1+a2+a3+…+a n为数列{a n}的.(2)表示:常用符号表示,即S n=a1+a2+a3+…+a n. 2.等差数列的前n项和公式【互动探究】1. (1)设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=________;(2)已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N*.若a3=16,S20=20,则S10的值为________.2.在等差数列{a n}中,(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11;(3)已知前4项之和是40,最后4项之和为80,所有项之和是210,求项数n.3.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150 元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?【课堂练习】1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4=18-a 5,则S 8等于( ) A .72 B .54 C .36 D .18 答案:A2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .12 答案:B3.等差数列{a n }中,a 3=-5,a 6=1,设S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 8=________. 答案:-164.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6=S 3=12,则{a n }的通项公式为a n =________________________. 答案:2n5.已知等差数列{a n }中,(1)a 1=32,d =-12,S n =-15,求n 及a n ;(2)a 1=1,a n =-512,S n =-1 022,求d .。

人教版高中数学必修五导学案:2.3等差数列的前n项和(1)

人教版高中数学必修五导学案:2.3等差数列的前n项和(1)

二、新学◆ 学研究研究:等差数列的前 n 和公式:1.算 1+2+⋯+100=?2.怎样求 1+2+⋯+n=?新知:数列 { a n } 的前n的和:一般地,称数列 { a n } 的前n的和,用 S n表示,即 S n反省:①怎样求首 a1,第n a n的等差数列 { a n} 的前n的和?②怎样求首 a1,公差d的等差数列 { a n} 的前n的和?:依据以下各中的条件,求相的等差数列⑴ a14, a818, n8;{ a n } 的前n 和S n.⑵a1 14.5, d 0.7, n 15 .小:1. 用S n n( a1an),必具三个条件:2.2. 用S n na1n (n 1)d,必已知三个条件:2.◆ 典型例例 1(1)已知等差数列 {an} 中 , a1 =4, S8 =172,求 a8和 d ;(2)等差数列 -10,-6, -2,2,⋯前多少的和是54?例 2 已知一个等差数列{ a n}前 10 的和是 310,前 20 的和是 1220. 由些条件能确立个等差数列的前 n 和的公式?式:等差数列 { a n } 中,已知 a1030 , a2050 , S n242 ,求n.小:等差数列前 n 和公式就是一个对于a n、a1、n或许a1、n、d的方程,已知几个量,通解方程,得出其他的未知量 .◆ 学研究:假如一个数列a n的前n和 S n pn2qn r ,此中p、q、r常数,且p0 ,那么个数列必定是等差数列?假如是,它的首与公差分是多少?例 1 已知数列{ a n}的前n S n n21 n ,求个数列的通公式.个数列是2等差数列?假如是,它的首与公差分是什么?式:已知数列 { a n } 的前n S n 1 n22n 3 ,求个数列的通公式43小:若数列 { a n} 的前数列 { a n } 是等差数列.◆ 手n 的和S n An2Bn(A0 ,A、B是与n 没关的常数),1(1)已知a13, a50101 ,求 S50;(2)已知 a1 3 ,d 1,求 S10.2(3)已知 a712 ,求 S13 .练 2一个凸多边形内角成等差数列,此中最小的内角为120°,公差为 5°,那么这个多边形的边数 n 为().A. 12 D.16或 9练 3 在等差数列a n中,已知a6a9a12a1534,求前20项之和.练4求会合M m | m 7n, n N * 且 m 100 的元素个数,并求这些元素的和练 5 已知等差数列{a n}前四项和为21,最后四项的和为67,全部项的和为286,求项数n.练 6 已知数列Sn的前n项和为Tn且n21S n n n ,求T n 三、学习小结1.等差数列前 n 项和公式的两种形式;2.两个公式合用条件,并能灵巧运用;3.等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之 a1, a n , q, n, S n五个量中随意的三个,列方程组能够求出其他的两个 .◆当堂检测3.在等差数列 { a n } 中, a1 2 , d1,则 S8.4.在等差数列 { a n } 中, a125 , a533 ,则 S6.25.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n +2n+5,则 a6+a7+a8=______.6. 数列{a n}是等差数列,公差为3,a n=11,前n和S n=14,求n和a3 .。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3等差数列的前n项和导学案(1)

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3等差数列的前n项和导学案(1)

n 项和,其方法如下:
Sn= a1+ a2+a3+…+ an-1+ an
= a1+( a1+ d) + ( a1 +2d) +…+ [ a1+ ( n-2) d] + [ a1+ ( n- 1) d] ;
Sn= an+ an-1+ an-2+…+ a2+ a1
= an+( an- d) + ( an -2d) +…+ [ an- ( n-2) d] + [ an- ( n- 1) d] .
(2) 若等差数列的项数为 (3) 若等差数列的项数为
2
n(
n∈
*
N
)
,则
S2n= n( an+an+ 1) ,且
S奇 an
S


S
奇=
nd,
S偶

an+
.
1
2n-
1(
n∈
*
N
)

S奇 n 则 S = 2n-1 (2 n- 1) an,且 S奇 -S 偶= an, S 奇= nan, S偶= ( n-1) · an, S偶= n- 1.
)
A. 2
B. 3
C. 6
D. 7
答案 B
解析 方法一
S2= 2a1+ d= 4, 由
S4= 4a1+ 6d= 20,
解得 d= 3.
方法二 由 S4-S2=a3+ a4= a1+ 2d+ a2+ 2d=S2+ 4d,所以 20- 4=4+ 4d,解得 d=3.
3.在一个等差数列中,已知 a10= 10,则 S19= ________.
类型一 等差数列前 n 项和公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 1 已知一个等差数列 { an} 的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220 ,由这些条件能确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗?

高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和(二)导学案新人教A版必修5

高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和(二)导学案新人教A版必修5

§2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质,并能灵活运用. 2.掌握等差数列前n 项和的最值问题. 3.理解a n 与S n 的关系,能根据S n 求a n .1.前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n },S n 是前n 项和,S n 与a n 的关系可以表示为a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n =1,S n -S n -1 n ≥2. 2.等差数列前n 项和公式S n =n a 1+a n 2=na 1+n n -12d .3.等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0,d <0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n +1≤0确定;当a 1<0,d >0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n +1≥0确定.(2)因为S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n ,若d ≠0,则从二次函数的角度看:当d >0时,S n 有最小值;当d <0时,S n 有最大值;且n 取最接近对称轴的自然数时,S n 取到最值.一个有用的结论:若S n =an 2+bn ,则数列{a n }是等差数列.反之亦然.一、选择题1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A .nB .n 2C .2n +1D .2n -1 答案 D2.数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( ) A .-2 B .-1 C .0 D .1 答案 B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为:S n =an 2+bn , ∴λ=-1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k 为( ) A .9 B .8 C .7 D .6 答案 B解析 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1, n =1S n -S n -1, n ≥2,∴a n =2n -10.由5<2k -10<8,得7.5<k <9,∴k =8.4.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 方法一S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d =13⇒a 1=2d , S 6S 12=6a 1+15d 12a 1+66d =12d +15d 24d +66d =310. 方法二 由S 3S 6=13,得S 6=3S 3.S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9仍然是等差数列,公差为(S 6-S 3)-S 3=S 3,从而S 9-S 6=S 3+2S 3=3S 3⇒S 9=6S 3,S 12-S 9=S 3+3S 3=4S 3⇒S 12=10S 3,所以S 6S 12=310.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于( )A .1B .-1C .2 D.12答案 A解析 由等差数列的性质,a 5a 3=2a 52a 3=a 1+a 9a 1+a 5=59,∴S 9S 5=92a 1+a 952a 1+a 5=95×59=1. 6.设{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误的是( ) A .d <0 B .a 7=0C .S 9>S 5D .S 6与S 7均为S n 的最大值 答案 C解析 由S 5<S 6,得a 6=S 6-S 5>0.又S 6=S 7⇒a 7=0,所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0,因此,S 9-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9 =2(a 7+a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题7.数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2-n ,(n ∈N *),则通项a n =________. 答案 2n -28.在等差数列{a n }中,a 1=25,S 9=S 17,则前n 项和S n 的最大值是________. 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质.由S 17=S 9,得25×17+172×(17-1)d =25×9+92×(9-1)d ,解得d =-2,所以S n =25n +n2(n -1)×(-2)=-(n -13)2+169,由二次函数性质可知,当n =13时,S n 有最大值169. 方法二 先求出d =-2,因为a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =25-2n -1≥0,a n +1=25-2n ≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312,n ≥1212.所以当n =13时,S n 有最大值.S 13=25×13+13×13-12×(-2)=169.因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17=S 9,得a 10+a 11+…+a 17=0, 而a 10+a 17=a 11+a 16=a 12+a 15=a 13+a 14, 故a 13+a 14=0.由方法一知d =-2<0, 又因为a 1>0,所以a 13>0,a 14<0, 故当n =13时,S n 有最大值.S 13=25×13+13×13-12×(-2)=169.因此S n 的最大值为169.9.在等差数列{a n }中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n =________.答案 10解析 由已知,a 1+a 2+a 3=15,a n +a n -1+a n -2=78,两式相加,得 (a 1+a n )+(a 2+a n -1)+(a 3+a n -2)=93,即a 1+a n =31.由S n =n a 1+a n 2=31n 2=155,得n =10.10.等差数列{a n }中,a 1<0,S 9=S 12,该数列在n =k 时,前n 项和S n 取到最小值,则k 的值是________.答案 10或11解析 方法一 由S 9=S 12,得d =-110a 1,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+n -1d ≤0a n +1=a 1+nd ≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧1-110n -1≥01-110n ≤0,解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时,S n 取最小值, ∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二 由S 9=S 12,得d =-110a 1,由S n =na 1+n n -12d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n , 得S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-120a 1·n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a 1·n =-a 120⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2122+44180a 1 (a 1<0),由二次函数性质可知n =212=10.5时,S n 最小.但n ∈N *,故n =10或11时S n 取得最小值. 三、解答题11.设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解 (1)由a n =a 1+(n -1)d 及a 3=5,a 10=-9得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1+9d =-9,可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n .(2)由(1)知,S n =na 1+n n -12d =10n -n 2.因为S n =-(n -5)2+25,所以当n =5时,S n 取得最大值.12.已知等差数列{a n }中,记S n 是它的前n 项和,若S 2=16,S 4=24,求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 由S 2=16,S 4=24,得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+2×12d =16,4a 1+4×32d =24.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =16,2a 1+3d =12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n (n ∈N *).(1)当n ≤5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-n 2+10n .(2)当n ≥6时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-a 6-a 7-…-a n =2S 5-S n=2×(-52+10×5)-(-n 2+10n )=n 2-10n +50,故T n =⎩⎪⎨⎪⎧-n 2+10n n ≤5,n 2-10n +50 n ≥6.能力提升13.数列{a n }的前n 项和S n =3n -2n 2 (n ∈N *),则当n ≥2时,下列不等式成立的是( ) A .S n >na 1>na n B .S n >na n >na 1 C .na 1>S n >na n D .na n >S n >na 1 答案 C解析 方法一 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n =1S n -S n -1 n ≥2, 解得a n =5-4n .∴a 1=5-4×1=1,∴na 1=n ,∴na n =5n -4n 2,∵na 1-S n =n -(3n -2n 2)=2n 2-2n =2n (n -1)>0. S n -na n =3n -2n 2-(5n -4n 2)=2n 2-2n >0. ∴na 1>S n >na n .方法二 ∵a n =5-4n , ∴当n =2时,S n =-2, na 1=2,na n =-6, ∴na 1>S n >na n .14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,且S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由.解 (1)根据题意,有:⎩⎪⎨⎪⎧12a 1+12×112d >0,13a 1+13×122d <0,a 1+2d =12,整理得:⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+11d >0,a 1+6d <0,a 1+2d =12.解之得:-247<d <-3.(2)∵d <0,而S 13=13a 1+a 132=13a 7<0,∴a 7<0.又S 12=12a 1+a 122=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大.1.公式a n =S n -S n -1并非对所有的n ∈N *都成立,而只对n ≥2的正整数才成立.由S n求通项公式a n =f (n )时,要分n =1和n ≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *,结合二次函数图象的对称性来确定n 的值,更加直观.(2)通项法:当a 1>0,d <0,⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0时,S n 取得最大值;当a 1<0,d >0,⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0时,S n 取得最小值.3.求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和,关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.。

人教A版高中数学必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和教案(4)

人教A版高中数学必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和教案(4)

2.3等差数列的前n 项和(第1课时)一、教学内容分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(人教A 版)中第二章的第三节“等差数列的前n 项和”(第一课时).本节对等差数列前n 项和的推导,是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列,分两个课时,本节课内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用,其学习平台是学生已经掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究,为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法:倒序相加求和法,具有承上启下的重要作用。

二、学情况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的定义和通项公式,掌握了一些等差数列的性质,而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法,这都为倒序相加法的教学提供了基础;同时学生已有了函数知识,因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离,如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍.三、教学目标知识与技能:掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.方法与过程:经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度与价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美.通过具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前n 项和公式,初步学会用公式解决一些简单问题,学会用公式解决一些实际问题;难点是等差数列前n 项和公式推导思路的获得.五、教学过程设计(一)双基回眸,巩固已学知识促进新知生成①等差数列定义:即d a a n n =--1()2≥n 或d a a n n =-+1.②若三个数b A a ,,成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,即b a A +=2. 若{}n a 为等差数列,则)2(211≥+=+-n a a a n n n .③等差数列{}n a 通项公式:()d n a a n 11-+=. ()d m n a a m n -+= ④若{}n a 为等差数列,如果()*∈=+=+N r q p n m r q p n m ,,,,2,则 r q p n m a a a a a 2=+=+.(二)创设情景,唤起学生知识经验一个V 形架上面有一堆铅笔,最下面一层放一支,依次每一层都比下面一层多放一支,最上面一层放100支.问:这个V 形架上共放有多少支铅笔?[设计意图] 通过情景引入活动、任务,让学生亲身经历,将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,其作用就在于提升学生的经验,从实际问题入手,图中蕴含算数,能激发学生学习新知识的兴趣,并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用,为新课的讲解作铺垫.(三)由特殊到一般,自主探究与合作问题1:如何求=++++99321Λ?问题2:如何求=++++n Λ321?[设计意图]从项数为偶数到项数为奇数再到项数为n,由特殊到一般问题由浅入深层层深入,学生思维自然过渡,引导学生自主探究。

人教A版高中数学必修五 2-3等差数列的前n项和 学案 精

人教A版高中数学必修五 2-3等差数列的前n项和 学案 精

2.3等差数列的前n项和(第1课时)一、学习目标1.掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.2.了解等差数列前n项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;3.能用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求S n,a1,d,n;等差数列通项公式与前n项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值.二、设计问题,创设情境问题1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?三、信息交流,揭示规律1.公式推导设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,S n=a1+a2+a3+…+a n=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一:运用基本量思想,将各项用a1和d表示,得S n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],有以下等式a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=…,问题是一共有多少个,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二:上面的等式其实就是a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…,为回避个数问题,做一个改写S n=a1+a2+a3+…+a n-2+a n-1+a n,S n=a n+a n-1+a n-2+…+a3+a2+a1,两式左右分别相加, 得2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n-2+a3)+(a n-1+a2)+(a n+a1),2S n=n(a1+a n)于是有.这就是倒序相加法.思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得2S n=n[a1+a1+(n-1)d],于是S n=na1+d.综合思路二和思路三得到了两个公式: 和.四、运用规律,解决问题1.求和:(1)101+100+99+98+97+ (64)(2)2+4+6+8+…+2n(结果用n表示).2.等差数列2,4,6,…中前多少项的和是9900?3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?五、变式训练,深化提高1.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,求公差d.2.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若满足a n=a n-1+2(n≥2),且S3=9,求首项a1.六、反思小结,观点提炼参考答案二、设计问题,创设情境1.“1+2+3+4+…+100=?”三、信息交流,揭示规律1.a1+[a1+(n-1)d] S n= S n= S n=na1+d四、运用规律,解决问题1.解:(1)101,100,99,98,97,…,64可以看做是一个首项为101,公差为-1的等差数列,由等差数列的通项公式,可得64=101+(n-1)(-1),解得n=38,于是S n==3135.另外也可用公式S n=na1+d来求解,S n=38×101+×(-1)=3135.(2)2+4+6+8+…+2n可以看做是等差数列{2n}的前n项和,则S n==n2+n,另外可运用公式S n=na1+d来求解.2.解:由题知,等差数列首项a1=2,公差d=2,由S n=na1+d,得2n+×2=9900,即n2+n-9900=0,解得n=-100(舍去),或n=99,所以等差数列2,4,6,…中的前99项的和是9900.3.解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以,可以建立一个等差数列{a n},表示从2001年起各年投入的资金,其中a1=500,d=50.那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为S10=10×500+×50=7250(万元)答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.五、变式训练,深化提高1.解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,∵S3=6,即a1+a2+a3=6∴a2=2.∵a4=8,∴8=2+2d,∴d=3.2.解:∵a n=a n-1+2(n≥2),∴a n-a n-1=2(n≥2),∴等差数列{a n}的公差是2.由S3=3a1+×2,即3a1+6=9,解得a1=1.。

人教A版数学必修五导学案 2.3等差数列前n项和(1)

人教A版数学必修五导学案 2.3等差数列前n项和(1)

2.3 等差数列前n 项和(1)【学习目标】1.探索等差数列的前n 项和公式的推导方法;2.能应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题. 【重点难点】1.重点:等差数列的前n 项和公式的推导过程和思想.2.难点:在具体的问题情境中,如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题 【学习过程】 一、自主学习:任务1: 等差数列的通项公式 和其变形公式 . 任务2: 等差数列重要推广公式 二、合作探究归纳展示探究1:等差数列的前n 项和公式 问题:1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =? 新知:数列{}n a 的前n 项的和:一般地,称 为数列{}n a 的前n 项的和,用n S 表示,即n S = 反思:① 如何求首项为1a ,第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和? ② 如何求首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和? 试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=,,; ⑵114.50.715a d n ===,,. 小结:1. 用1()2n n n a a S +=,必须具备三个条件: . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+,必须已知三个条件:三、讨论交流点拨提升例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?小结:解实际问题的注意:①从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型;② 写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?变式:等差数列{}n a 中,已知1030a =,2050a =,242n S =,求n .小结:等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程,已知几个量,通过解方程,得出其余的未知量.. 四、学能展示课堂闯关 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+(A 0≠,A 、B 是与n 无关的常数),则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列,S n 是其前n 项和,设232,,,k k k k kk N S S S S S +∈--也成等差数列,公差为1. 在等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( ). A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间,所有末位数字是1的整数之和是(..). A .5880..B .5684..C .4877..D .45663.已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67,前n 项和为286,则项数n 为( ) A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中,12a =,1d =-,则8S = .5. 在等差数列{}n a 中,125a =,533a =,则6S = 五、学后反思1. 等差数列前n 项和公式的两种形式;2. 两个公式适用条件,并能灵活运用;3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.【课后作业】1. 数列{n a }是等差数列,公差为3,n a =11,前n 和n S =14,求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少?。

人教A版高二数学必修五第二章 数列 导学案(含答案,精排版) 2.3 等差数列的前n项和

人教A版高二数学必修五第二章 数列 导学案(含答案,精排版)  2.3  等差数列的前n项和

§2.3 等差数列的前n项和班级:.组名:. 姓名:.时间:年月日【本卷要求】:1.动脑思考2.听懂是骗人的,看懂是骗人的,做出来才是自己的3.该背的背,该理解的理解,该练习的练习,该总结的总结,勿懈怠!4.多做多思,孰能生巧,熟到条件反射,这样一是能见到更多的出题方式,二是能提高做题速度5.循环复习6.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法7.做完本卷,总结该章节的知识结构,以及常见题型及做法8.独立限时满分作答9.步骤规范,书写整洁10.明确在学习什么东西,对其中的概念、定律等要追根溯源,弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活11.先会后熟:一种题型弄懂了,再多做几道同类型的,总结出这种题型的做法,直到条件反射【一分钟德育】是谁这些年来,在茫茫的人海中,是谁最关心你最疼爱你?在你最需要帮助的时候,是谁向你伸出援助之手?在你出门在外的时候,是谁总是牵挂着你惦念着你?是谁总是盼着你回家等着你吃饭?在你生病的时候,是谁最紧张最着急?在你最高兴的时候,是谁比你更高兴?在你最痛苦的时候,是谁比你更痛苦?在你最失落无助的时候,是谁来安慰你鼓励你?在你最孤独寂寞的时候,是谁来陪伴你?是谁对你的生命影响最大?【导读导思】自主学习、课前诊断先通读教材,画出本节课中的基本概念及物理规律,回答导学案预习中涉及的问题,独立完成,限时25分钟。

一、等差数列前n项和公式是什么?你能推导出来吗?它们什么时候用比较合适?二、等差数列前n项和有什么性质?题目中出现什么特征时使用?三、如何找到前n项和最大值或最小值,以及是前几项?如何应用等差数列前n 项和二次式的轴对称性的性质?四、在等差数列的基础上,加绝对值,再求前n项和,如何处理?五、涉及等差数列奇数项和偶数项和,一般如何处理?六、如何证明构造的新数列为等差数列?七、1-1,1,2nn nS naS S n=⎧=⎨-≥⎩什么时候使用?以及如何使用?【知识小结】1.2.常用技巧1.用首项和公差表示题中出现的量2.特殊值法3.罗列法【巩固练习】选择题、填空题每题6分,解答题、计算题每题12分题型一、等差数列前n项和公式的基本应用1.已知等差数列{}n a中,(1)131,,15 22na d S==-=-,求n及n a;(2)11,512,1022 n na a S==-=-,求d;(3)524S=,求24a a+2.等差数列{a n}中,a1+a7=42,a10-a3=21,则前10项的S10等于()A、720B、257C、255D、不确定3.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新数列{C n},其通项公式为()A、C n=4n-3B、C n=8n-1C、C n=4n-5D、C n=8n-9题型二、等差数列的前n项和性质的应用4.等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定其前n项和的公式吗?5.等差数列的前10项之和是100,前100项之和是10,求前110项之和。

高中数学必修五教案-2.3 等差数列的前n项和(3)-人教A版

高中数学必修五教案-2.3 等差数列的前n项和(3)-人教A版

2.3 等差数列的前n项和(第一课时)三维目标:一、知识与技能掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.二、过程与方法通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.三、情感态度与价值观通过公式的推导过程,展现数学中的对称美,通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感.教学重点:等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点:获得推导公式的思路。

[克服难点的关键是通过具体例子发现一般规律].教具准备:多媒体课件、投影仪等教学过程一、导入新课1.故事引入:泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见上图),奢靡之程度,可见一斑。

你知道这个图案一共耗费了多少宝石吗?(这问题赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)学生:只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.老师:问题转化为求这100个数的和.将这100个数组成数列,就是我们之前所认识的等差数列。

1+2+3+…+100这个式子实质上是求这个等差数列的前100项的和. 这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题:2.3.1等差数列的前n项和。

2. 等差数列的前n项和的定义:一般的,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn =a1+a2+a3+…+an3.高斯算法——首尾配对相加法:教师出示图片:高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5 050.”教师问:“你是如何算出答案的?”高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以101×50=5 050.老师:这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?学生:高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是:1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.老师:高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5 050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.4.高斯启发——倒序相加法:根据等差数列的特点,首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。

人教A版高中数学必修五等差数列的前n项和学案新

人教A版高中数学必修五等差数列的前n项和学案新

2.3《等差数列的前n 项和》学案(第一课时)
一、预习问题:
1、等差数列前n 项和公式=n S = 。

2、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2(B A ,为常数),则数列{}n a 为 。

3、等差数列的两个求和公式应根据题目条件灵活选用:当已知首项1a 和末项n a 时,应选用=n S ;当已知首项1a 和公差d 时,应选用=n S 。

二、实战操作:
例1、一堆钢管共10层,第一层钢管数为1,第十层钢管数为10,且下一层比上一层多一根,问一共有多少根钢管?
例2、已知等差数列{}n a 中,21,231-==
d a ,15-=n S ,求n 和n a 。

【变式1】已知等差数列{}n a 中,512,11-==n a a ,1022-=n S ,求公差d 。

【变式2】已知等差数列{}n a 中,41=a ,1728=S ,求公差8a 和d 。

【变式3】已知等差数列{}n a 中,245=S ,求42a a +。

高中数学2.3《等差数列前n项和》导学案新人教A版必修5

高中数学2.3《等差数列前n项和》导学案新人教A版必修5

《等差数列的前n 项和(2)》导教案【学习目标】1.进一步娴熟掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式;2.认识等差数列的一些性质,并会用它们解决一些有关问题;3.会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n的最大(小)值.【要点难点】重难点:在详细的问题情境中,怎样灵巧运用等差数列的前n项和公式解决相应的实质问题;【知识链接】(预习教材P45~ P46,找出迷惑之处)复习 1:等差数列 { a n } 中,a4=- 15,公差d= 3,求 S5 .复习 2:等差数列 { a n } 中,已知 a3 1 , a511 ,求 a n和 S8 .【学习过程】※ 学习研究问题:假如一个数列 a n的前n项和为 S n pn2 qn r ,此中p、q、r为常数,且 p 0 ,那么这个数列必定是等差数列吗?假如是,它的首项与公差分别是多少?※ 典型例题21. 这个数列是等差数列吗?假如例 1 已知数列 { a n } 的前n项为 S n n n ,求这个数列的通项公式2是,它的首项与公差分别是什么?变式:已知数列{ a n } 的前n项为 S n 1 n22n 3 ,求这个数列的通项公式 .43S1(n 1)小结:数列通项 a n和前n项和 S n关系为 a n =S n 1,由此可由 S n求 a n .S n(n 2)例 2 已知等差数列, 2 , 4, ....的前 n 项和为Sn,求使得 S n最大的序号n的值 .5 4377式:等差数列{ a n } 中,a4=- 15,公差d= 3,求数列 { a n } 的前n和 S n的最小 .小:等差数列前和的最大(小)的求法.(1)利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n和有最大,可由 a n≥ 0,且 a n 1≤ 0,求得n的;当 a n <0,d>0,前 n和有最小,可由a n≤0,且a n 1≥0,求得 n的( 2)利用 S n:由 S n d 2dn的. n (a1)n ,利用二次函数配方法求得最大(小)※ 手221. 已知 S n 3n22n ,求数列的通 a n .2.有两个等差数列2,6, 10 ,⋯, 190 及 2,8, 1 4,⋯ 200,由两个等差数列的公共按从小到大的序成一个新数列,求个新数列的各之和.【学反省】※ 学小1.数列通 a n和前n和 S n关系;2.等差数列前和最大(小)的两种求法 . ※ 知拓展等差数列奇数与偶数的性以下:1°若数偶数 2n, S - S = nd ;S奇=a n(n2);偶奇S偶an 12°若数奇数2n+ 1, S奇- S偶= a n 1; S偶 na n 1; S奇=(n1)a n 1S偶=n.;S奇n1【基达】※ 自我价你达成本教案的状况() .A. 很好B.好C.一般D.差※ 当堂(量: 5 分分: 10 分)分:1. 以下数列是等差数列的是() .A. a n n 2B.S n 2n1C. S n2n 2 1D.S n2n 2n2. 等差数列 { a n } 中,已知 S 15 90 ,那么 a 8 () .A. 3D. 123. 等差数列 { a n } 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为() .A. 70B. 130C. 140D. 1704. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 .5. 在等差数列中,公差d = 1, S 100 145,则 a 1a 3 a 5 ... a 99.2【拓展提高】1. 在项数为 2n +1 的等差数列中,全部奇数项和为165,全部偶数项和为 15 0 ,求 n 的值 .2. 等差数列 { a n } , a 1 0 , S 9 S 12 ,该数列前多少项的和最小?。

人教A版高中数学必修5教案2.3等差数列的前n项和(2)

人教A版高中数学必修5教案2.3等差数列的前n项和(2)
课题:2.3等差数列的前n项和(二)第课时总第个教案
课型:新授课编写时间:年月日执行时间:年月日




1.知识与技能
等差数列前n项和公式.
2.过程与方法
等差数列前n项和公式及其获取思路;
3.情感、态度与价值观
培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
教学重点
等差数列前n项和公式的理解及应用.
解:依题意,得
两式相加得
又 所以
又 ,所以n=26.
例4.已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗?.
思考:(1)等差数列中S6,S12-S6,S18-S12成等差数列吗?
(2)等差数列前k项和为 ,则 是等差数列吗?
解:设 首项是 ,公差为d
教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学方法
讲练结合
教学过程:
批注
活动一:创设情景,揭示课题(5分钟)
1.等差数列的前n项和公式1: ;
2.等差数列的前n项和公式2: .
活动二:步入新知,师生交流(10分钟)
教材第118页练习第1、3题讲评
活动三:合作学习,探究新知(28分钟)
例1.求集合 的元素个数,并求这些元素的和.
解:由 得
∴正整数 共有14个即 中共有14个元素
即:7,14,21,…,98是 等差数列.
∴ 答:略.
例2、等差数列 的前 项和为 ,若 ,求 .
(学生练 学生板书 教师点评及规范)
练习:⑴在等差 .
例3.等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.

人教A版高中数学必修5学案2.3等差数列的前n项和(2)

人教A版高中数学必修5学案2.3等差数列的前n项和(2)

2.3等差数列的前n 项和(二)学习目标: 1.由等差数列的特点掌握等差数列的前n 项和的性质;2.由等差数列前n 项和公式结合二次函数特征,会求前n 项和的最大(小)值. 学习重点:等差数列前n 项和的性质学习难点:等差数列前n 项和与二次函数的关系一 、问题导学 阅读课本P44---45页,完成下列的空1.等差数列}{n a 的前n 项和公式S n = = 。

2.能将等差数列}{n a 的前n 项和公式S n =1na +()12n n d -化成关于n 的函数吗?它是什么函数,有什么特点?3.因数列}{n a 的前n 项和S n =12a a ++…+n a ,故前n —1项的和S 1n -=_______________。

能从以上两式得到n a 与S n 的关系式吗? 。

4.等差数列前n 项和的最值(1)若10,0a d <>,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加即得{}n S 的最 值;(2)若10,0a d ><,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加即得{}n S 的最 值;(3)若10,0a d >>,则 是{}n S 的最 值;(4)若10,0a d <<,则 是{}n S 的最 值。

5.求等差数列前n 项和的最值的常用的方法通项法:(1)当10,0a d ><时,由100m m a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 的最大值; (2)当10,0a d <>时,由100m m a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 的最小值。

【合作探究】例1 数列}{n a 的前n 项和公式S n =24n +23n +3,求此数列的通项公式;它是等差数列吗?思考:若数列}{n a 的前n 项和公式S n =2pn +qn +r ,则当常数p 、q 、r 满足什么条件时,数列}{n a 是等差数列?例2 当n 取何值时,等差数列5,427,347,…的前n 项和S n 最大?变式:等差数列}{n a 中,1a =13,S 3= S 11,求前n 项和S n 的最大值。

人教版数学高二必修5导学案 2.3 等差数列的前n项和(二) 教师版

人教版数学高二必修5导学案 2.3 等差数列的前n项和(二) 教师版

2.3 等差数列的前n 项和(二)【教学目标】1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系,能根据S n 求a n .【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题:通过学生对课本的预习,让学生通过观看《2.3 等差数列的前n 项和(二)》课件“复习回顾”部分,通过四个问题对上节课的内容进行简单回顾,从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3~P 45,完成下列问题.1.S n 与a n 的关系a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,(n =1)S n -S n -1.(n ≥2) 2.等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中,其前n 项和为S n ,则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,…构成等差数列.(2)数列{a n }是等差数列⇔S n =an 2+bn (a ,b 为常数).3.等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0,d >0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值.(2)若a 1>0,d <0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值.特别地,若a 1>0,d >0,则S 1是{S n }的最小值;若a 1<0,d <0,则S 1是{S n }的最大值.三、合作探究问题1已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,怎样求a 1,a n?提示:a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1,又n =1时也适合上式,所以a n =2n -1,n ∈N *.问题2我们已经知道当公差d ≠0时,等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n =d 2n 2+(a 1-d 2)n ,类比二次函数的最值情况,等差数列的S n 何时有最大值?何时有最小值? 提示:由二次函数的性质可以得出:当a 1<0,d >0时,S n 先减后增,有最小值;当a 1>0,d <0时,S n 先增后减,有最大值;且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值.探究点1 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+12n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?提示:根据S n =a 1+a 2+…+a n -1+a n 可知S n -1=a 1+a 2+…+a n -1(n >1,n ∈N *),当n >1时,a n =S n -S n -1=n 2+12n -[(n -1)2+12(n -1)]=2n -12,① 当n =1时,a 1=S 1=12+12×1=32,也满足①式. ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -12. 故数列{a n }是以32为首项,2为公差的等差数列. 变式探究例1中前n 项和改为S n =n 2+12n +1,求通项公式. 提示:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(n 2+12n +1)-[(n -1)2+12(n -1)+1]=2n -12. ①当n =1时,a 1=S 1=12+12+1=52不符合①式. ∴a n=⎩⎨⎧ 52,n =1,2n -12,n ≥2,n ∈N *.探究点2 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427,347,…的前n 项和为S n ,求使得S n 最大的序号n 的值. 提示:方法一 由题意知,等差数列5,427,347,…的公差为-57, 所以S n =5n +n (n -1)2(-57)=-514(n -152)2+112556. 于是,当n 取与152最接近的整数即7或8时,S n 取最大值. 方法二 a n =a 1+(n -1)d =5+(n -1)×⎝⎛⎭⎫-57 =-57n +407. 令a n =-57n +407≤0,解得n ≥8, 且a 8=0,a 9<0.故前n 项和是从第9项开始减小,又S 7=S 8,所以前7项或前8项和最大.探究点3 求等差数列前n 项的绝对值之和例3 若等差数列{a n }的首项a 1=13,d =-4,记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求T n . 提示:∵a 1=13,d =-4,∴a n =17-4n .当n ≤4时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n=na 1+n (n -1)2d =13n +n (n -1)2×(-4)=15n -2n 2; 当n ≥5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=(a 1+a 2+a 3+a 4)-(a 5+a 6+…+a n )=S 4-(S n -S 4)=2S 4-S n=2×(13+1)×42-(15n -2n 2) =56+2n 2-15n .∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧15n -2n 2,n ≤4,n ∈N *,2n 2-15n +56,n ≥5,n ∈N *. 四、当堂检测1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ,则a n 等于( )A .4n -2B .n 2C .2n +1D .2n2.已知数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( )A .-2B .-1C .0D .13.首项为正数的等差数列,前n 项和为S n ,且S 3=S 8,当n =________时,S n 取到最大值.4.已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ,求a n .提示:1.D 2.B 3.5或64.解 当n =1时,a 1=S 1=3+2=5.当n ≥2时,S n -1=3+2n -1,又S n =3+2n ,∴a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1.又当n =1时,a 1=5≠21-1=1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧5, n =1,2n -1,n ≥2,n ∈N *. 五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示:1.因为a n =S n -S n -1只有n ≥2时才有意义.所以由S n 求通项公式a n =f (n )时,要分n =1和n ≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n 项和最值的方法:(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *,结合二次函数图象的对称性来确定n 的值,更加直观. (2)通项法:当a 1>0,d <0,⎩⎨⎧ a n ≥0,a n +1≤0时,S n 取得最大值;当a 1<0,d >0,⎩⎨⎧a n ≤0,a n +1≥0时,S n取得最小值.3.求等差数列{a n}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{a n}的正负项的分界点.。

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§2.3 等差数列的前n 项和(二) 课时目标1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质,并能灵活运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系,能根据S n 求a n .1.前n 项和S n 与a n 之间的关系 对任意数列{a n },S n 是前n 项和,S n 与a n 的关系可以表示为a n =⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n =1),S n -S n -1 (n ≥2). 2.等差数列前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d . 3.等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中当a 1>0,d <0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n +1≤0确定; 当a 1<0,d >0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n +1≥0确定. (2)因为S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n ,若d ≠0,则从二次函数的角度看:当d >0时,S n 有最小值;当d <0时,S n 有最大值;且n 取最接近对称轴的自然数时,S n 取到最值.一个有用的结论:若S n =an 2+bn ,则数列{a n }是等差数列.反之亦然.一、选择题1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A .nB .n 2C .2n +1D .2n -1答案 D2.数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( )A .-2B .-1C .0D .1答案 B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为:S n =an 2+bn ,∴λ=-1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k 为( )A .9B .8C .7D .6答案 B解析 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1, n =1S n -S n -1, n ≥2,∴a n =2n -10. 由5<2k -10<8,得7.5<k <9,∴k =8.4.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.19答案 A解析 方法一 S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d =13⇒a 1=2d , S 6S 12=6a 1+15d 12a 1+66d =12d +15d 24d +66d =310. 方法二 由S 3S 6=13,得S 6=3S 3.S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9仍然是等差数列,公差为(S 6-S 3)-S 3=S 3,从而S 9-S 6=S 3+2S 3=3S 3⇒S 9=6S 3,S 12-S 9=S 3+3S 3=4S 3⇒S 12=10S 3,所以S6S 12=310.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S9S 5等于( ) A .1 B .-1C .2 D.12答案 A解析 由等差数列的性质,a 5a 3=2a 52a 3=a 1+a 9a 1+a 5=59, ∴S 9S 5=92(a1+a9)52(a 1+a 5)=95×59=1. 6.设{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误的是() A .d <0 B .a 7=0C .S 9>S 5D .S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析 由S 5<S 6,得a 6=S 6-S 5>0.又S 6=S 7⇒a 7=0,所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0,因此,S 9-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9=2(a 7+a 8)<0即S 9<S 5.二、填空题7.数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2-n ,(n ∈N *),则通项a n =________.答案 2n -28.在等差数列{a n }中,a 1=25,S 9=S 17,则前n 项和S n 的最大值是________.答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质.由S 17=S 9,得25×17+172×(17-1)d =25×9+92×(9-1)d ,解得d =-2,所以S n =25n +n 2(n -1)×(-2)=-(n -13)2+169,由二次函数性质可知,当n =13时,S n 有最大值169.方法二 先求出d =-2,因为a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧ a n =25-2(n -1)≥0,a n +1=25-2n ≤0, 得⎩⎨⎧ n ≤1312,n ≥1212.所以当n =13时,S n 有最大值.S 13=25×13+13×(13-1)2×(-2)=169.因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17=S 9,得a 10+a 11+…+a 17=0,而a 10+a 17=a 11+a 16=a 12+a 15=a 13+a 14,故a 13+a 14=0.由方法一知d =-2<0,又因为a 1>0,所以a 13>0,a 14<0,故当n =13时,S n 有最大值.S 13=25×13+13×(13-1)2×(-2)=169. 因此S n 的最大值为169.9.在等差数列{a n }中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n =________. 答案 10解析 由已知,a 1+a 2+a 3=15,a n +a n -1+a n -2=78,两式相加,得(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+(a 3+a n -2)=93,即a 1+a n =31.由S n =n (a 1+a n )2=31n 2=155,得n =10. 10.等差数列{a n }中,a 1<0,S 9=S 12,该数列在n =k 时,前n 项和S n 取到最小值,则k 的值是________. 答案 10或11解析 方法一 由S 9=S 12,得d =-110a 1,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+(n -1)d ≤0a n +1=a 1+nd ≥0,得 ⎩⎨⎧ 1-110(n -1)≥01-110n ≤0,解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时,S n 取最小值,∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二 由S 9=S 12,得d =-110a 1, 由S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n , 得S n =⎝⎛⎭⎫-120a 1·n 2+⎝⎛⎭⎫2120a 1·n =-a 120⎝⎛⎭⎫n -2122+44180a 1 (a 1<0), 由二次函数性质可知n =212=10.5时,S n 最小. 但n ∈N *,故n =10或11时S n 取得最小值.三、解答题11.设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.解 (1)由a n =a 1+(n -1)d 及a 3=5,a 10=-9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1+9d =-9,可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n .(2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2d =10n -n 2. 因为S n =-(n -5)2+25,所以当n =5时,S n 取得最大值.12.已知等差数列{a n }中,记S n 是它的前n 项和,若S 2=16,S 4=24,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解 由S 2=16,S 4=24,得⎩⎨⎧ 2a 1+2×12d =16,4a 1+4×32d =24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =16,2a 1+3d =12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=9,d =-2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n (n ∈N *).(1)当n ≤5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-n 2+10n .(2)当n ≥6时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-a 6-a 7-…-a n =2S 5-S n=2×(-52+10×5)-(-n 2+10n )=n 2-10n +50,故T n =⎩⎪⎨⎪⎧ -n 2+10n (n ≤5),n 2-10n +50 (n ≥6). 能力提升13.数列{a n }的前n 项和S n =3n -2n 2 (n ∈N *),则当n ≥2时,下列不等式成立的是( )A .S n >na 1>na nB .S n >na n >na 1C .na 1>S n >na nD .na n >S n >na 1答案 C解析 方法一 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n =1)S n -S n -1(n ≥2), 解得a n =5-4n .∴a 1=5-4×1=1,∴na 1=n ,∴na n =5n -4n 2,∵na 1-S n =n -(3n -2n 2)=2n 2-2n =2n (n -1)>0.S n -na n =3n -2n 2-(5n -4n 2)=2n 2-2n >0.∴na 1>S n >na n .方法二 ∵a n =5-4n ,∴当n =2时,S n =-2,na 1=2,na n =-6,∴na 1>S n >na n .14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,且S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由. 解 (1)根据题意,有:⎩⎨⎧12a 1+12×112d >0,13a 1+13×122d <0,a 1+2d =12, 整理得:⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+11d >0,a 1+6d <0,a 1+2d =12. 解之得:-247<d <-3. (2)∵d <0,而S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0,∴a 7<0. 又S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0, ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大.1.公式a n =S n -S n -1并非对所有的n ∈N *都成立,而只对n ≥2的正整数才成立.由S n 求通项公式a n=f (n )时,要分n =1和n ≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *,结合二次函数图象的对称性来确定n 的值,更加直观.(2)通项法:当a 1>0,d <0,⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0时,S n 取得最大值;当a 1<0,d >0,⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0,a n +1≥0时,S n 取得最小值. 3.求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和,关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.。

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