2020-2021学年江西省六校联考高考数学二模试卷(理)含解析
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
江西省八所重点中学2020-2021学年高三4月联考数学(理)试题及答案
江西省八所重点中学2021 届高三联考理科数学试卷2021.4考试时长：120 分钟分值：150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11. 已知复数，则下列说法正确的是（）z13i1A. 复数z 的实部为B. 复数的虚部为z23 4i1 3 z1 C. 复数z 的共轭复数为 D. 复数的模为i4 4 42. 设集合，，则集合中元素的个A x y x 2 y 2 2021,B x, y y 2A Bx2020数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 若，，，则（）a sin 20212021b0.21 c log 0.2120215A. B. C. D.c a b b a c b c a c b a0,1x y y x20204. 在区间上随机取两个数、，则事件“”发生的概率为（）1 1 2019 2020A. B. C. D.2020 2021 2020 202115. 已知正项数列 a 满足，是 a 的前n 项和，且S a2 a 14 ，则（）S Sn n n n n nn2n n2 15 n n3 52 15A. B. C. D.4 4 3 3 2 26. 定义在上的函数满足，，若R y f (x) f 6 x f (x) x 3 f '(x) 0x 3f 0 f 1 0 f (x) 5, 6，则函数在区间内（）A. 没有零点B. 有且仅有 1 个零点C. 至少有 2 个零点D. 可能有无数个零点na7. 在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含xx x 6的项系数为（）A. 45B. -45C. 120D. -120x y2 28. 已知点F ，分别是双曲线：的左、右焦点，点是右F C 2 2 1(a 0) M C1 2a 16 a支上的一点.直线与轴交于点，的内切圆在边PF 上的切点为Q ，若MF y P △MPF1 2 2PQ 2 3 C，则的离心率为（）5 3 3 3A. B. 3 C. D.3 2 2 3 39. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若角、、成等差数△ABC A B C a b c A C B列，角的角平分线交于点，且，，则的值为（）C ABD CD 3 a 3b c7 4 7A. 3B.C.D.2 32 310. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理0,1性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，1 2 1 2去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均, 0, ,13 3 3 3分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和4 18182n 0.1975小于，则操作的次数的最大值为（）（参考数据：，2021 3523 0.13176 722，，）0.0878 0.05853 3A. 4B. 5C. 6D. 711. 已知三棱锥的外接球的表面积为，，，，P ABC 64AB 2 AC 2 3 AB AC PA 8 P ABC，则三棱锥的体积为（）16 38 3A. 8B.C.D. 1633x2212. 已知函数 g (x )x 0 ，则关于 的方程 不可能xg (x )2k0 k Reg (x )x有（ ）个相异实根.A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 用 1，2，3，4，5 五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满 足条件的五位数共有____________个.（用数字作答） 14. 曲线上任意一点 到直线的最短距离为__________.y x 2 x ln xP 2x y 2 015. 给出下列命题：①垂直于同一个平面的两个平面平行；②“ ”是“ 与 夹角为钝角”的充分不必a b a b4要条件；③边长为 2 的正方形的直观图的面积为 2 ；④函数 f (x )sin 2 x 的最小sin x241值为 4；⑤已知，，则.tantantan 333其中正确的有____________（填上你认为正确命题的序号） 16. 平面向量、、，满足，，O AO B O CO A2 O B42O C O A O C O BO AO BO CO A O B0 0,2 ，则对任意 ，的最大值为1 cos1 sin4 2__________.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：f (x) m sin x m 0, 06①函数f (x) 的最大值为 2；②函数f (x) 的图象可由 2 sin 2 的图像平移得到；4y x③函数( ) 图像的相邻两条对称轴之间的距离为.f x（1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；f (x)（2）锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . A ，，a f A3求周长的取值范围.△ABC注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.18. 如图所示，在三棱锥P ABC 中，PC 平面ABC ，PC 2，ACB ，D ，E2分别为线段，上的点，且，.AB BC CD DE 2 CE 2EB 2（1）证明：平面平面；PDE PCD（2）求锐二面角的余弦值.A PD Cx y2 219. 已知椭圆： 2 2 1 0 .左焦点，点在椭圆外部，E F 1, 0M 0, 2Ea ba b点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.N E △NMF 2 5 4（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B 、C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB 、AC 分别与y 轴交于P 、Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.20. 4 月 30 日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有A B C D，，，四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题A ，B ，C ，D 分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答错任一题减 2 分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题，，，顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题，，A B C D A B3 1 1 1C D，回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.5 2 3 4（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望.E21. 已知函数( ) ln ，.f x x a x g(x) e x ln x 2x（1）讨论函数的单调性；f (x)x x0 0 0 ln 0（2）若，求的值；g x（3）证明：.x x ln x e x x2（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]x 3cos在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为xOy C Oysin极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.x l cos 13（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；C l1 1l C M N P2, 0PM PN（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.23. [选修 4-5：不等式选讲]已知函数.f (x) x 2 x 4（1）求不等式的解集；f (x) 8（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求a b c f (x) t 2a 2b c t的最小值.a2 b2c2江西省八所重点中学2021 届高三联考理科数学答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D D A B A D C B A D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.2 513．72 14．15．③⑤16．22 15三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17．（本小题满分12 分）sin（1）函数同时满足的条件为①③ (2)f x m x6分sin由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f x m x 满足的条件之一.由③可6T 1 2 sin知， 2 ，所以，与②中矛盾，所以函数f x m x 同时满足的条6件①③.又由①可知m ，所以22sinf x x . ………5 分6（2）由（1）a=2s in( ) 2,3 6b c a 2 4由正弦定理得，3,sin B sin C sin A sin 334 4则b 3 sin B, c 3 sin C ,设ABC周长为L,3 34 4L a b c 2 3 sin B 3 sin C3 34 42 3 sin B 3 sin(B ) 4 sin(B ) 23 3 3 60 B22由得，B B2 6 23 6 30 C B3 2所以ABC周长范围为（2 3+2，6]………8 分………10 分………12 分18．（本小题满分12 分）（1）证明：CD DEDE2 CD 2 2 4 CE 22又平面,且, ,ABC DE 平面ABC PC DEPC又PC交CD于点C , , ,DE 平面PCD DE 平面PDE平面PDE 平面PCD………4 分（2）以点为坐标原点为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，C CA x CB y CP z3过点做的平行线交于点，为中点，由三角形相似可得，D AC CE H H CE AC23 1A( ,0,0), D(1,1, 0),P (0,0,2)AD (,1,0), AP (2 2 32,0,2) (6)分3 设平面的法向量为x z ,解得n 2,1, PAD n x, y, z 0,1 x y 32 0,22 2又平面的法向量与共线PCD DEDE 平面PCDPCD DE (1,1, 0)平面的法向量为= ，………8 分1cos n, DE91 4 245829………11 分58A PD C锐二面角的余弦值为．………12 分2919. （本小题满分12 分）x y2 2解：(1) ……… 4分14 3(2) 由对称性可知,如果存在定点满足题设条件,则该定点必在x 轴上可设定点: (t,0), 两点关于轴对称,可设0 y C x y x0T BC x ( , ), ( , )B x ( 2)0 0 02y 2yl y x0 y xAB : ), 0,( 2) ( 2), P(0, Q( )同理可得……… 6分0 0x 2 x 20 0PT QT点T在以PQ为直径的圆上, ,代入可得:2 24y 4yt B、C2t 0 0, 又因为点在椭圆0(x ) 4 x2)( x 220 023xy 3上, ……… 10分424yt2 （ 3 ,0） 代入t 0 可得 3 圆过定点或4 x2（- 3,0）………12分20.（本小题满分12 分）解:设A，B，C，D 分别为第一，二，三，四个问题．用M (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第ii个问题回答正确，用N (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第i 个问题回答错误，则M 与N 是对i i i3 1 1 1立事件(i ＝1，2，3，4)．由题意得，P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，5 2 3 42 1 2 3所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.5 2 3 4（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，……… 2分P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)3 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 2 1 2 1 9＝× × ＋× × × ＋× × × ＋× × × ＋× × × ＝. ………5 2 3 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 406分（2）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4.由于每题答题结果相互独立，………7分所以P(ξ＝2)＝1，………8分53 1 1 3 1 2P(ξ＝3)＝× × ＋× × ＝5 2 3 5 2 3310，………9分P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12. ………10分随机变量ξ的分布列为ξ 2 3 4P 1531012 13 1 33所以E(ξ)＝ 3 4 . ………25 10 2 1012分21．（本小题满分12 分）(1)f当a1(x )0时，fa x a(x 0)x x) 0f(x 恒成立，则(x)在R上单调递增，当a 0时，f (x)在（0，a ）单调递减，在（a ,）单调递增.……… 3分（2）法一：x 0 ln x 0 0ln x x x e x e xx 0 若时，0 00 0 0 0e x 0 ln 0 0 e x xxx x x2 ln 0 所以0 与0 矛盾；0 0 0x x0 ln 0 0若时，ln x x x e x e x x 00 00 0 0 0e x 0 ln 0 0 e x x xxx x 2 ln 0 所以0 与0 矛盾；0 0 0x x0 ln 0 0当时，ln x x x e x e x x 00 00 0 0 02 ln 0e x x x x 0 ln x 0 0 得0 ，故成立，0 0e x2 0 ln0 x x 法二:0 e x0 x x x0 ln0 0e x 0 ln e x xx0 lnf ln f x 0 f x e x 0 xx x xe是增函数，，0 0即e x 0 x x ln x0 0 00 ………7分（3）证明：要证 2 ，即证，x x ln x e x x e x x2 x x ln x 0h x e x x x x x x 02 ln设，．h x e x x g x h xx 2 ln，令1x x 2 lng x e 2 0h x e x x，所以函数单调递增，x11 21h e e1 0 h 12 0又，，e e eh x e x x 1 ,1x 2 lnx 故在上存在唯一零点，即ee x xx2 ln 0．……… 9分0 0x x h x 0 x x h x 0 0,0 ,所以当，，当时，，h x x x h xx x0, 0 ,所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，故，………h x h x e x xx xx0 20 0 0 0ln 011分e x x x2 ln 0 由0 ，得0 0h x x x x h x 00 0 1 0 ln 0 0得，所以，即．………12分f xe x x2（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]xcos（1）由曲线C 的参数方程得，3sinyx2两式平方再相加可得曲线C的普通方程为1；y 29直线l的极坐标方程可化为 cos 3 sin 2,∴直线l的直角坐标方程为x 3y 2 0………4分3x 2t2x（2）由（1）知：直线l的参数方程为代入 1整理得：(2t为参数)，y 219y t23t 2 t PM t12 3 5 0，而P（2，0），直线l与曲线C交于M，N两点，设，2 3 5PNt .，即有t ,1 t t t22 1 23 3所以1PM1PNP MPMPNPNt1t1tt22tt12t t1 22 35( )4()2 (t t ) 4t t23312 1 2t t531 2 6 25………10 分23．[选修4—5：不等式选讲]x 4 24 xx 2可化为：或或，x 2 x 4 8 x 2 x 4 8x 2 84xx 4 x 2 2 x 35 4解得：或或，5,3所以，不等式的解集为. ………5分（2）因为f (x) x 2 x 4 x 2) (x .. ………6分( 4) 6f (x) t 6 2a 2b c6 所以的最小值为，即，由柯西不等式得：(a2 b2 c2 )(22 22 12 a 2b c)2 2 36.，) (2 6ab 4 2c, a b ,c当且仅当，即时，等号成立，2 23 3所以的最小值为4. (10)a2 b2 c2分。
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
湖南省六校联考高三数学模拟试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3] C．（3，5] D．[3，5]2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值X围是（）A．λ≥2B．λ＞3 C．λ≥3D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值X围是（）A．（1，3）B．（1，2] C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k （k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，某某数m的值．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明： |．2016年某某省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3] C．（3，5] D．[3，5]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，∴A∩B=[3，5]，故选：D．2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=6，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k 第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78 8第七次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78•log89 9…第61次循环 log23•log34•log45•log56•…•log6263 63第62次循环 log23•log34•log45•log56••…•lo g6263•log6364=log264=6 64故如果输出S=6，那么只能进行62次循环，故判断框内应填入的条件是k＜64．故选：C．4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行分析、判定即可．【解答】解：对于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；对于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函数，不满足题意；对于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上为减函数，满足题意；对于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先减后增，不满足题意．故选：C．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案．【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为1，高为6 的圆柱被截掉分开，相等的2 部分，∴V=π×12×6=3π，故选：C7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．24【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理求得a=2，再求定积分求得要求式子的结果．【解答】解：根据=（2+x+x2）•（1﹣+﹣）=2﹣+﹣+x﹣3+﹣+x2﹣3x+3﹣，故展开式中的常数项为a=2﹣3+3=2，则=•（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）=8﹣2=6，故选：A．8．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作图象，从而结合图象可知2m≤1，从而解得．【解答】解：由题意作图象如下，，结合图象可知，函数y=2x图象与y=3﹣x的交点A（1，2），则2m≤1，故m≤；故选：D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值X围是（）A．λ≥2B．λ＞3 C．λ≥3D．λ＞2【考点】数列的求和．【分析】通过a n=5﹣n可求出T n=8（1﹣）、S n=，利用4≤T n＜8及S n≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴数列{b n}是首项为4、公比为的等比数列，∴T n==8（1﹣），∴4≤T n＜8，又∵S n==，∴当n=4或n=5时，S n取最大值10，∵存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，∴10＜8+λ，即λ＞2，故选：D．10．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得S有三种结果，，，，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小为S3，再对A、B、C逐一分析得答案．【解答】解：∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，∴S可能情况有以下三种：，，，故D错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，∴S中最小为S3，若，则S min=S3=，∴A，B错误；若⊥，则S min=，与无关，与有关，故C正确．故选：C．11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值X围是（）A．（1，3）B．（1，2] C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得， +2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值X围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得 1＜p＜3，故实数p的取值X围是（1，3），故选：A．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，则|z|==，故答案为：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把点A、B的坐标分别代人圆O1，化简得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把点A、B的坐标代人圆O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上两式联立即可求出b的值．【解答】解：根据题意，把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆O1，得；+﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，+﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，①﹣②并化简得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把点A、B的坐标代人圆O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化简得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案为：．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，设x2=﹣x1，|f（x1）+f （﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，根据f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分0＜a＜1和a＞1时加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，求出满足条件的实数a的值；（4）对k的值分类讨论，将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解答】解：对于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，令x2=﹣x1，则|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是奇函数，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函数，（1）正确；对于（2），设x1＜x2，∵f（x）是R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数，（2）正确；对于（3），①当a＞1时，函数f（x）=在[0，2]上的最大值为f（1）=a，最小值为f（0）=1或f（2）=a﹣2；当a﹣1=时，解得a=，此时f（2）=＞1，满足题意，当a﹣（a﹣2）=0时，2=0不满足题意，∴a=；②当0＜a＜1时，在[0，1]上，f（x）=a x是减函数；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）符合题意；综上，实数a的取值集合为{， }，（3）错误；对于（4），关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①当k=时，方程（Ⅰ）有两个不同的实根±，方程（Ⅱ）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；②当k=0时，原方程恰有5个不同的实根；③当k=时，方程（Ⅰ）的解为±，±，方程（Ⅱ）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根；④当k=﹣2时，方程化为（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合题意，舍去）；所以x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2个实数根；所以存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）（2）、（4）．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC；…（2）解：取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，，设AB=x，则有，得AB=2，取DE的中点为G，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量=（，﹣1，2），设平面BCE的一个法向量=（1，y，z），由，由此得平面BCE的一个法向量=（1，，2），则cos＜，＞====所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为…19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，…∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为…由题设知X的可能取值为0，1，2．∴，，…∴X的概率分布为X 0 1 2PX的数学期望为…20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k （k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD 的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．【解答】解：（1）设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++•2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为，即有AM的方程为，BM的方程为，解得交点，则，知直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|=•=•=2p（1+k2），用代k得，，四边形ACBD的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3或，即或．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证成立，从而证明，设F（x）=1﹣xlnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为，由已知得，∴．所以，…设，则，在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当0＜x＜1时k（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时k（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）…（2）因为x＞0，要证原式成立即证成立，现证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，当x≥1时，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；当0＜x＜1时，e x＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F′（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F′（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1时，g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①…令G（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则G'（x）=e x﹣1＞0恒成立，所以G（x）在（0，+∞）上递增，G（x）＞G（0）=0恒成立，即e x＞x+1＞0，即．②当x≥1时，有：；当0＜x＜1时，由①②式，，综上所述，x＞0时，成立，故原不等式成立…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，某某数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明： |．【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）分类讨论x的X围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的X 围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．【解答】（1）解：由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（2）证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，∁R A={x|﹣4＜x＜1}，∴B∩∁R A={x|﹣1＜x＜1}，∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，要证＜|1+|，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴＜|1+|成立．。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
江西省红色七校2020-2021学年高三下学期第二次联考(3月)数学(理科)试卷(解析版)
2021年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．若z∈C且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．53．已知数据（x1，y1）、（x2，y2）、…、（x10，y10）满足线性回归方程＝x+，则“（x0，y0）满足线性回归方程＝x+”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．406．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．7．已知a＝0.8﹣0.4，b＝log53，c＝log85，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．9．若关于x的方程（x﹣2）2e x+ae﹣x＝2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（e，+∞）C．（1，e）D．（1，）10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π11．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，﹣1]D．[，] 12．若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的最大值为．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1（n∈N*），设b n＝1+log2a n，则数列{}的前n项和T n＝．15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．16．设直线l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|，（x≠1）图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是．三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．18．如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且MC＝MD＝CD＝4，BC＝4，N为BC中点．（1）求证：AN⊥MN；（2）求二面角A﹣MN﹣C的大小．19．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产﹣﹣腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11]，统计结果如表所示：[1，3）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11]所获纯利润（单位：万元）农户户数1015452010（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2≈2.12．若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间（1.9，8.2）内的户数．（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为．每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元．求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线E：x＝y2的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且•＝0，＝3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究S1+S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当x≥0时，f（x）≤3x+1．（3）证明：当x＞﹣1时，f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．22．在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π））．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点P（x0，y0）圆心C（2x0，2y0），若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值．23．已知函数f（x）＝|x|+|x+a|．（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤3a﹣1的解集为[b，b+3]，求实数a，b的值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}解：∵集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：D．2．若z∈C且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．5解：∵|z+2﹣2i|＝1，∴复数z对应点在以C（﹣2，2）为圆心、以1为半径的圆上．而|z﹣1﹣2i|表示复数z对应点与点A（1，2）间的距离，故|z﹣1﹣2i|的最小值是|AC|﹣1＝2，故选：A．3．已知数据（x1，y1）、（x2，y2）、…、（x10，y10）满足线性回归方程＝x+，则“（x0，y0）满足线性回归方程＝x+”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵故样本中心点（x0，y0）必满足线性回归方程，、反之，若（x0，y0）＝（x1，y1）时，也满足线性回归方程，故反过来不成立．故选：B．4．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则在β内，作n∥m，所以n⊥α，由于n⊂α，则α⊥β，故正确；②若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，由于n⊂β，则α⊥β；故正确．③若n⊥α，n⊥β，所以α∥β，由于m⊥α，则m⊥β；故正确．④若m⊥α，m⊥n，则n∥α也可能n⊂α内，故错误．故选：C．5．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．40解：由于（2x﹣1）（x+2）5＝（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x3项的系数为2×80﹣40＝120，故选：B．6．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．解：根据题意，在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，即a62+2a6a8+a82＝（a6+a8）2＝25，变形可得a6+a8＝5，又由a1a13＝a6a8≤（）2＝，当且仅当q＝1即a6＝a8时等号成立，故a1a13的最大值是，故选：B．7．已知a＝0.8﹣0.4，b＝log53，c＝log85，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b解：a＝0.8﹣0.4＝（）0.4＞1，b＝log53＝1﹣log5，c＝log85＝1﹣，因为log5＞log5＞，所以1﹣log5＜1﹣＜1，即b＜c＜1＜a．故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）+1的图象．若g（x1）g（x2）＝9，则g（x1）和g（x2）都取得最大值3，故g（x1）和g（x2）相差一个周期的整数倍．故当2x1+＝，2x2+＝﹣时，2x1﹣x2的取得最大值．∵x1＝，x2＝﹣，2x1﹣x2的取得最大值为，故选：D．9．若关于x的方程（x﹣2）2e x+ae﹣x＝2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（e，+∞）C．（1，e）D．（1，）解：∵（x﹣2）2e x+ae﹣x＝2a|x﹣2|，∴（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|e x+a＝0，令g（x）＝|x﹣2|e x＝，则g′（x）＝，∴当x≥2或x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，g（x）取得极大值t（1）＝e，又x→﹣∞时，g（x）→0，g（2）＝0，x→+∞时，g（x）→+∞，作出g（x）的函数图象如图所示：令g（x）＝t，由图象可知：当0＜t＜e时，方程g（x）＝t＜有3解；当t＝0或t＞e时，方程g（x）＝t有1解；当t＝e时，方程g（x）＝t有2解；当t＜0时，方程g（x）＝t无解．∵方程（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|e x+a＝0有6解，即g2（x）﹣2ag（x）+a＝0有6解，∴关于t的方程t2﹣2at+a＝0在（0，e）上有2解，∴，解得1＜a＜．故选：D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O．设三角形ABC的中心为O'，设外接球的半径为R，球心O到平面ABC的距离为x，即OO'＝x，连接O'A，则O'A＝5，∴R2＝x2+25，在三角形ABC中，取AC的中点E，连接O'D，O'E，则O'E＝AB＝3，DE＝AC＝2，∴O'D＝，在Rt△OO'D中，OD＝，由题意得当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面半径为r，则r2＝R2﹣OD2＝x2+25﹣（x2+13）＝12，所以截面圆的面积为πr2＝12π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2，∴πR2﹣12π＝16π，所以R2＝28，所以表面积S＝4πR2＝112π，故选：C．11．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，﹣1]D．[，]解：由已知，点B和点A关于原点对称，则点B也在椭圆上，设椭圆的左焦点为F1，则根据椭圆定义：|AF|+|AF1|＝2a＝10，根据椭圆对称性可知：|AF1|＝|BF|，因此|AF|+|BF|＝2a＝10①；因为AF⊥BF，则在Rt△ABF中，O为斜边AB中点，则|AB|＝2|OF|＝2c，那么|AF|＝2c sinα②，|BF|＝2c cosα③；将②、③代入①得，2c sinα+2c cosα＝2a，则离心率e＝＝＝，由α∈[，]，α+∈[，]，由sin＝，由函数的单调性可知：sin（α+）∈[，1]，则e∈[，﹣1]，故选：C．12．若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t＝，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）＝（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）＝﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）＝﹣lne+﹣1＝0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）＝e，若f（t）＝（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题13．实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的最大值为2．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z＝ax+by，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2a+b＝4，又a＞0，b＞0，∴4＝2a+b，即ab≤2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立．故答案为：2．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1（n∈N*），设b n＝1+log2a n，则数列{}的前n项和T n＝．解：令n＝1，a1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，整理得：a n＝2a n﹣1，所以a n＝2n﹣1，b n＝1+log22n﹣1＝n，T n＝++…+＝＝1﹣＝．故答案为：．15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．解：设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．∵点A，C在双曲线上，∴，两式相减得，∴．由，设t＝k1k2，则，∴求导得，由得t＝2．∴在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴t＝2时即k1k2＝2时取最小值，∴，∴．故答案为：．16．设直线l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|，（x≠1）图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（0，1）．解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）＝，当x＞1时，f′（x）＝，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2＝1．直线l1：，l2：．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝，∴＝＝．∵函数y＝x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴＞1+1＝2，则0，∴0＜＜1．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．解：（1）解法一：由已知，得a cos B+b cos A＝2c cos A．由正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A．（1分）即sin（A+B）＝2sin C cos A，因为sin（A+B）＝sin C．所以sin C＝2sin C cos A．因为sin C≠0，所以，因为0＜A＜π，所以．解法二：结合余弦定理，即b2+c2﹣a2＝bc．所以．因为0＜A＜π，所以．（2）解法一：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得bc+4＝b2+c2即（b+c）2＝3bc+4．因为所以．即b+c≤4（当且仅当b＝c＝2时等号成立）．又∵b+c＞a，所以4＜a+b+c≤6．解法二：，且a＝2，，所以，，所以因为，所以4＜a+b+c≤618．如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且MC＝MD＝CD＝4，BC＝4，N为BC中点．（1）求证：AN⊥MN；（2）求二面角A﹣MN﹣C的大小．解：（1）证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON，∵MC＝MD，O为CD中点，∴MO⊥CD，又∵平面MCD⊥平面BCD，MO⊂平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，则MO＝2，ON＝2，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24，AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48，∴MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN．（2）解：如图，以O为原点，OM，OC所在直线分别为x轴、y轴，CD的垂直平分线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，﹣2，），C（0，2，0），M（2，0，0），N（0，2，2），∴＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，﹣4），＝（2，﹣2，0）．设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），由，令z＝2，可得＝（）．同理可得平面MNC 的一个法向量为＝（1，，0）．∴cos ＜＞＝＝．由图可知二面角A﹣MN﹣C为钝角，故二面A﹣MN﹣C的大小为135°．19．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产﹣﹣腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11]，统计结果如表所示：[1，3）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11]所获纯利润（单位：万元）农户户数1015452010（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2≈2.12．若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间（1.9，8.2）内的户数．（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为．每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元．求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．解：（1）由题意知中间值246810概率0.10.150.450.20.1所以样本平均数为，所以Z～N（6.1，2.12）．所以（μ﹣2σ，μ+σ）＝（1.9，8.2），而，故1万户农户中，Z落在区间（1.9，8.2）内的户数约为10000×0.8186＝8186．（2）设中奖次数为i，则i的可能取值为0，1，2，3， (8)则所以．．令，①由，②由①﹣②得，所以，所以（元）．所以参与调查的某农户所获奖金X的数学期望为1020元．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线E：x＝y2的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且•＝0，＝3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究S1+S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线E：x＝y2，即为y2＝4x，则其焦点为（，0），∴a2﹣b2＝3，设A（a，0），圆A的半径为r，可得圆A的方程为：（x﹣a）2+y2＝r2，联立y＝x，可得：（1+）x2﹣2ax+a2﹣r2＝0，由＝3，可设P（m，n），Q（3m，3n），由韦达定理可得m+3m＝4m＝，3m2＝，∵•＝0，∴⊥，可得A到直线y＝x的距离为|PQ|＝r，即＝r，即有r2＝，a2﹣r2＝＝，则3m2＝＝＝3••，即有a＝2，b＝1，r2＝，则椭圆C的标准方程为+y2＝1，圆A的方程为（x﹣2）2+y2＝；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，且△＝16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2＝k1k2＝．∴﹣4k2m2+m2＝0，∴k＝±．∴x1+x2＝±2m，x1x2＝2m2﹣2∴|OM|2+|ON|2＝x12+y12+x22+y22＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2＝5，∴S＝S1+S2＝π|OM|2+π|ON|2＝π．故S1+S2的值是定值，定值为π．21．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当x≥0时，f（x）≤3x+1．（3）证明：当x＞﹣1时，f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．解：（1）g（x）的定义域为（0，+∞），，当a＞0，b＜0时，g'（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0，b＞0时，令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，则g（x）在上单调递减，在上单调递增；当a＜0，b＞0时，g'（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜0，b＜0时，令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，则g（x）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（3x+1），则．∵x≥0，∴，cos x∈[﹣1，1]，则h'（x）≤0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递减，∴h（x）＝f（x）﹣（3x+1）≤h（0）＝0，即f（x）≤3x+1．（3）证明：当a＝b＝1时，g（x）＝x﹣1﹣lnx．由（1）知，g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）＝x﹣1﹣lnx≥0，即x≥1+lnx．当x＞﹣1时，（x+1）2＞0，（x+1）2e sin x＞0，则（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，即（x+1）2e sin x≥2ln（x+1）+sin x+1，又（x2+2x+2）e sin x＞（x+1）2e sin x，∴（x2+2x+2）e sin x＞2ln（x+1）+sin x+1，即f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．22．在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π））．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点P（x0，y0）圆心C（2x0，2y0），若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值．解：（1）圆C的极坐标方程为，所以．因为ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以，所以圆C的直角坐标标准方程为．（2）由（1）知圆C的圆心的直角坐标为，则，所以，所以直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π））．将直线l的参数方程代入，得．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣12，＝，因此，当时，取得最大值为．23．已知函数f（x）＝|x|+|x+a|．（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤3a﹣1的解集为[b，b+3]，求实数a，b的值．解：（1）函数f（x）＝|x|+|x+a|≥|x﹣x﹣a|＝|a|，即f（x）的最小值为|a|，存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，可得|a|≤3a﹣1，即1﹣3a≤a≤3a﹣1，解得a≥；（2）由（1）可得﹣a＜0，f（x）＝，作出y＝f（x）的图象，由图象和题意可得：，解得a＝，b＝﹣．。
2020-2021学年江苏省六校联考中考数学第二次模拟试题及答案解析
江苏省最新中考联考九年级数学学科（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的。
） 1．722是 A ．整数 B ．自然数 C ．无理数 D ．有理数2．下列计算正确的是A ．a 3+a 4=a 7B ．a 3•a 4=a 7C ．a 3﹣a 4=a ﹣1D ．a 3÷a 4=a3．有一种病毒呈球形，其最小直径约为0.000 000 08米，用科学记数法表示为 A ．80×190-米 B ．0.8×170-米C ．8×180-米 D ．8×190-米4．如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是A ．B ．C ．D ．5. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所 示．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的 同学参加全国数学联赛，那么应选A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 6．一个正方形的面积等于10,则它的边长a 满足A. 3＜a ＜4B. 5＜a ＜6C.7＜a ＜8D. 9＜a ＜10 7．无论m 为何值，点A （m ，5﹣2m ）不可能在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．如图，点A 在双曲线y=上，点B 在双曲线y=（k ≠0）上，AB ∥x轴，过点A 作AD ⊥x 轴于D ．连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC=2CD ，则k 的值为 A ．6 B ．9C ．10D ．12甲 乙 丙 丁平均数 80 85 85 80 方差42 42 54 59二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
） 9．0的相反数是▲．10.分解因式：2mx 2－4mx ＋2m=▲．11．如果分式242--x x 的值为零，那么x ＝▲．12．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率 约为▲（精确到0.1）． 投篮次数（n ） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m ） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（m/n ）0.560.600.520.520.490.510.5013．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF=3：5，BE=12，那么CE 的长等于▲°． 14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为▲.15．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BC=8．已知重心G 到点A 的距离为6，则G 到点B 的距离是▲．16．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点E 、B 、C 在x 轴上，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是▲.17．如图①，在边长为8的等边△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙O 的圆心与点D 重合，⊙O 与线段CD 交于点E ，若将⊙O 沿DC 方向向上平移1cm 后，如图②，⊙O 恰与△ABC 的边AC 、BC 相切，则图①中CE 的长为▲cm ．18．若关于x 的一元二次方程－x 2＋2ax ＋2－3a ＝0的一根x 1≥1，另一根x 2≤－1，则抛物线y ＝－x 2＋2ax ＋2－3a 的顶点到x 轴距离的最小值是▲． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．） 19.（8分）（1）计算：)216tan 3012π-⎛⎫-︒++ ⎪⎝⎭（2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-+≤421-x 2)3(x 1)-4(x x π，并写出它的所有整数解.20.（本题满分8分）先化简，再求值：)1211(122+--÷--m m m m ，其中m 满足一元二次方程0342=+-m m .21. （本题满分8分）某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m ＝▲，n ＝▲，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是▲；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．22.（本题满分8分）小明有一个呈等腰直角三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图1所示的九个空格，图2是可供选择的A 、B 、C 、D 四块积木．（1）小明选择把积木A 和B 放入图3，要求积木A 和B 的九个小圆恰好能分别与图3中的九个小圆重合，请在图3中画出他放入方式的示意图（温馨提醒：积木A 和B 的连接小圆的小线段还是要画上哦！）；（2）现从A 、B 、C 、D 四块积木中任选两块，请用列表法或画树状图法求恰好能全部不重叠放入的概率．23.（本题满分10分）如图，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan ∠ADP.24.（本题满分10分）“上海迪士尼乐园”将于2016年6月16日开门迎客，小明准备利 用暑假从距上海2160千米的某地去“上海迪士尼乐园”参观游览，下图是他在火车站咨 询得到的信息：本地前往上海有城城际直达动车的平乘坐城际直达动车际直达动车和特快列车两种乘车方式可供选择！均时速是特快列车的1.6倍！要比乘坐特快列车少用6小时！根据上述信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．25.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ． （1）求证：EF ⊥AB ；BE ADCO（2）若∠C=30°，EF =EB 的长．26.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，对于(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若⎩⎨⎧<-≥=)1()1('a b a b b ，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--.（1）点)的限变点的坐标是▲；（2）判断点()2,1A --、()1,2B -中，哪一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点？ 并说明理由；（3）若点(,)P a b 在函数3+-=x y 的图象上，其限变点(,)Q a b '的纵坐标b '的取值范围是36'-≤≤-b ，求a 的取值范围.27.（本题满分12分）如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G。
2020-2021学年江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学(理)试题含解析
江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学（理）试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}{}3ln 12,=x M x y x N y y e x R -==-=,∈集合R M N ⋂=则C ( ) A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ B ．{}|0y y > C ．1|02x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．{}|0x x < 2. 如图，按英文字母表A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、…的顺序 有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O ”出现的个数为( ) A ．27 B ．29 C ．31D ．333．从随机编号为0001，0002，⋅⋅⋅⋅⋅⋅5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．4966B ．4967C ．4968D ．49694．写出不大于1000的所有能被7整除的正整数．．．，下面是四位同学设计的程序框图， 其中正确的是（ ）A B B B CC CC CD D D D D D DA ．B ．C ．D ．5．函数x x f x-=)31()(的零点所在区间为 （ ）A ．)31,0(B ．)21,31(C ．)1,21(D ．（1，2）6．实数a 使得复数1a ii+-是纯虚数，112,1b xdx c x dx ==-⎰⎰则c b a ,,的大小关系是 （ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b c a << D ．a b c <<7．下列四种说法中，错误的个数有（ ）①命题“x ∀∈R ，均有232x x --≥0”的否定是：“x ∃∈R ，使得x 2—3x-2≤0”②方程21|1|(21)0x y z -+++-=的解集为11,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭③“命题p ∨ q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④集合{0,1}A =,{0,1,2,3,4}B =,满足A C B ⊆Ø的集合C 的个数有7个 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．已知342sin ,cos (),552m m x x x m m ππ--==<<++则tan 2x=（ ）A ．39m m --B ． 3||9m m -- C ．1-55或 D ． 59．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平 桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”， 事件B 为“x ,y 中有偶数且y x≠”，则概率)|(A B P 等于（ ）A ．31B ．21 C ．61D ．41 10．已知0a >，若不等式316log log 5a a x x n n++-+≤+对任意*n N ∈恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[3,)+∞D ．[1,3] 11．已知2()()x x x m ϕ=-在1x =处取得极小值，且函数()f x ，()g x 满足(5)2,'(5)3,(5)4,'(5)f f m g g m ====，则函数()2()()f x F xg x +=的图象在5x = 处的切线方程为（ ）A ．32130x y --=B ．32130x y --=或230x y --=C ．230x y --=D ．230x y --=或23130x y +-=12．已知函数(1)20152017()2015sin 20151x x f x x ++=++在[,]x t t ∈-上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +的值为（ ）A ．0B ． 4032C ．4030D ．4034第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．若α是第二象限角，其终边上一点(,5)P x ，且2cos xα=，则sin α= ． 14．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+≤≤)0(14300a aya x y x ，若11y z x -=-的最小值为2531()x x -的展开式的常数项的140，则实数a 的值为 ． 15．已知一个正三棱柱,一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面 积是 ．16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u r u u u r ，316λμ=，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，点1(,)n n n a A n a +在直线1y kx =+上，当2n ≥时，均有111n n n n a aa a +--= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设23,(1)!n nn a b n =⋅-求数列{}n b 的前n 项和n S18．（本小题满分12分）我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。
江西省宜春市第二中学2021年高三数学理联考试卷含解析
江西省宜春市第二中学2020-2021学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：A2. 函数的定义域为（）A． B． C． D．参考答案：C3. 若时，函数取得最小值，则是（）A．奇函数且图像关于点对称 B.偶函数且图像关于直线对称C．奇函数且图像关于直线对称 D.偶函数且图像关于点对称参考答案：D4. 已知定义在(0,+∞)上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则m值等于（）A. 5B. 3C.D. 参考答案：D【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.5. 已知，若，则=A.1B.-2C.-2或4D.4参考答案：D由得，，解得或（舍去），选D.6. 复数的共轭复数等于（）参考答案：C7. 用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应添乘的式子是（★ ）A． B．C．D．参考答案：B8. 设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展开式的通项公式为：T r+1=?x2（5﹣r）?=?（﹣2）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展开式中含x项的系数为（﹣2）3=﹣80．故选：D．9. 已知，若，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则这个三角形必含有（）A．90°的内角B．60°的内角C．45°的内角D．30°的内角参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】先把已知条件等号左边的分子分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简后，根据三角形的内角和定理及诱导公式，得到2cosA=1，然后在等号两边都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简后，即可得到2A=B+C，由A+B+C=180°，即可解得：A=60°．【解答】解： =====，因为sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，得到sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，即sinB=sin（A+B）﹣sin（A﹣B）=2cosAsinB，得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，因为A+B+C=180°所以可解得：A=60°故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式以及诱导公式化简求值，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为正六边形，若向量，则▲▲（用坐标表示）．参考答案：【知识点】单元综合F4由=2则= +2=8-2 2 2 （- ）=12，则2，由2=（2，-2）。
江西省2021届高三下学期二模数学(理)答案
江西省2021届高三下学期二模数学（理）试题参考答案1．B 【思路点拨】先求出集合A ，再根据集合关系可求a 的值. 【解析】∵(1,),(,)A B a =+∞=+∞，∴(,1]A =-∞R，由()(0,1]RA B ⋂=可得a =0，故选：B.2．B 【思路点拨】根据复数的乘法运算和复数的相等可求得,m n ，代入可得结果.【解析】()212224mi i mi mi m mi n i +=+=-+=+，24m nm -=⎧∴⎨=⎩，解得：8n =-，484m n ∴+=-=-.故选：B.3．D 【思路点拨】由几何体的三视图可知，该几何体为34个球，从而可求得答案 【解析】解：由几何体的三视图可知，该几何体为34个球， 则该几何体的体积为334143ππ⨯⨯=.故选：D4．C 【思路点拨】根据已知条件求出点A 、F 的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【解析】点(03A x 在抛物线上，00124 3 x x ∴=⇒=，则(3,23A ，又抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，故()()2231234AF =-+=．故选：C5．C 【思路点拨】分析表格中的数据对每一个选项作出判断即可. 【解析】选项A,B,D 根据题中的信息很明显是正确的.2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额为262亿元，2014年至2017年的总额为218亿元.所以选项C 错误. 故选：C.6．D 【思路点拨】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数,进而排除A,C,再根据()0f π>排除B 得答案.【解析】函数的定义域为R ，51()cos 251x x f x x -=+，所以5115()cos(2)cos 25115x xx xf x x x -----=-=++， 所以()()0f x f x +-=，故()f x 为奇函数，由51()cos 2051f ππππ-=>+，所以B 选项不正确；故选：D .【名师指导】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．B 【思路点拨】根据11()(2)1(1)(1+1)f x f x f x f x ===+++，可得f (x )的周期为2，又由()sin f x x π=时，f (x )的周期为2，则x 取整数时，()(1)0f x f x =+=，和1()(1)f x f x =+无意义.根据充分必要条件的定义可判断得选项．【解析】解：当1()(1)f x f x =+成立时，有11()(2)1(1)(1+1)f x f x f x f x ===+++，则f (x )的周期为2， 所以"1()(1)f x f x =+"是"()f x 的周期为2"的必要条件，而当()sin f x x π=时，f (x )的周期为2，则x 取整数时，()(1)0f x f x =+=，1()(1)f x f x =+无意义.所以"()f x 的周期为2"是"1()(1)f x f x =+"的必要不充分条件，故选：B ．8．C 【思路点拨】5(23)x y z ++表示5个因式23x y z ++的乘积，所以它的展开式中含22xy z 的项是由其中一个因式取x ，其中两个因式取2y ，剩下的两个因式取3z 得到的，从而可求得结果【解析】解：5(23)x y z ++表示5个因式23x y z ++的乘积，所以它的展开式中含22xy z 的项是由其中一个因式取x ，其中两个因式取2y ，剩下的两个因式取3z 得到的， 所以22xy z 的系数为122225422356491080C C C ⋅⋅=⨯⨯⨯=⋅⋅， 故选：C9．C 【思路点拨】在BCD 中，利用余弦定理求出2BD ,再在BAD 中，利用余弦定理求出BAD ∠的余弦值.【解析】在△ABC 中，45ACB ∠=,在BCD 中，29045135,1122211DCB BD ∠⨯⨯⨯=+=∴=++=在BAD 中，cos6BAD ∠==. 故选：C【名师指导】方法点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边，对于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.10．D 【思路点拨】求出圆心到直线的距离后结合两圆的半径可判断各项的正误，从而可得正确的选项.【解析】原点到直线l 的距离221cos sin d αα==+，因为圆2C 的半径为1且原点为其圆心，∴直线l 与圆2C 相切，故①正确；原点为圆1C 的圆心，故||2212AB =-=，∴线段AB 的长度为定值，故②正确； 设AB 的中点为M ，则1OM d ==，故线段AB 的中点轨迹为2C ，故③正确. 故选：D.11．D 【思路点拨】依题意，方程()()g x g x -=-有且只有两个正根，即()ln m x m x x -+=-有且只有两个正根，因此转化为函数ln y x x =与(1)y m x =-在y 轴右侧的图像有两个交点，然后画出两函数的图像，利用图像求解即可【解析】依题意，方程()()g x g x -=-有且只有两个正根， 即()ln m x m x x -+=-有且只有两个正根， 方程可以化为：ln (1)x x m x =-，因此转化为函数ln y x x =与(1)y m x =-在y 轴右侧的图象有两个交点， 先研究函数ln y x x =的图象，因为(ln )ln 1y x x x ''==+， 当10x e<<时，0y '<；当1x e >时，0y '>且当x =1时，y =0，y '=1，在x =1处切线的斜率是1，简图如图所示：直线(1)y m x =-过点(1，0)斜率为m ，由图像有两个交点，可以得到m >0且1m ≠. 故选：D【名师指导】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数学转化思想和数形结合的思想，解题的关键是将问题转化为方程()()g x g x -=-有且只有两个正根，即()ln m x m x x -+=-有且只有两个正根，因此转化为函数ln y x x =与(1)y m x =-在y 轴右侧的图像有两个交点，从而利用函数图像求解，属于中档题12．A 【思路点拨】根据(0)1,(1)0f f ==求得函数解析式，由(4)2f =-知1211,,,22x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线x =4对称，从而设交点到对称轴的距离15546666x ππππα⎛⎫⎛⎫⨯+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则两个交点的距离为2α，求得cos α，从而求得()212f x x --.【解析】由15(0)1sin ,()226f ππϕϕπϕ=⇒=<<⇒=， 由(1)022,6f k k k Z πωϕππωπ=⇒+=+⇒=+∈，又因为周期24(10)402T ππωω>-⇒>⇒<<，所以512,()2sin 666T f x x ππωπ⎛⎫=⇒==+ ⎪⎝⎭.因为()11512sin 662f x x ππ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以151sin 664x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.因为在图示周期里，(4)2s 42in 566f ππ⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭=， 则点1211,,,22x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线x =4对称， 所以设15546666x ππππα⎛⎫⎛⎫⨯+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13511sin sin cos 26644x ππαπα⎛⎫⎛⎫-=+=-⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()2121552266666x x x x πππππαα⎛⎫⎛⎫+-+=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()2121522sin 2sin 26362f x x x x ππππα⎡⎤⎛⎫--=--+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭172cos 2221164α⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A.【名师指导】关键点点睛：从图像中的函数值求得函数解析式，找到12,x x 的关系，代入函数解析式，即可求得()212f x x --. 13．2π【思路点拨】对|23||23|a b a b +=-平方即可得结果. 【解析】由|23||23|a b a b +=-，平方得到0a b ⋅=，所以,a b 夹角为2π， 故答案为：2π. 14．2【思路点拨】作出可行域，结合图形即可求最大值． 【解析】由题意作出可行域，如图所示：由1010x y x -+=⎧⎨-=⎩的点()1,2A ，所以0(,2],0∞-==∈--y y z x x 当1,2x y ==时max 2z =. 故答案为：2.152求得FH 的方程为()ay x c b=--与渐近线方程联立方程组，求得H 2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，再由中点公式得到点22,22a c ab A c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程求得222c a =，即可求解.【解析】由题意，不妨设过右焦点F 作渐近线by x a=的垂线FH ，可得FH 的方程为()ay x c b=--，联立方程组()a y x c b b y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a ab x yc c ==，即点H 的坐标为2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由中点公式得到点22,22a c ab A cc ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入双曲线方程， 得到()2222222144c aca a c+-=，整理的222c a =，即22e =，所以2e =.故答案为：2.【名师指导】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 16．2133a 【思路点拨】根据题意作出截面，由此可求得答案． 【解析】如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN ，12,33EF GH MN a FG HM NE a ======，且六边形内角均为120，连接EG ，GM ，ME ，可知△EGM 为等边三角形，2222+cos120EG EF FG EF FG -⨯⨯⨯=222127+cos12033122339a a a a a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⎭⨯，所以面积为022113sin120+sin 602236EF FG E G ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.2a ． 17．【思路点拨】（1）由11n n n S S a ++-=得()12n n a a n N *+-=∈,进而由等差数列定义得数列{}n a 是以2为公差的等差数列，进而结合2315a S S =求解11a =得答案；（2）结合（1）得121n n b +=-，进而根据等比数列的前n 项和公式和分组求和法求和即可.. 【解析】解：（1）因为11n n n S S a ++-=，所以由12n n n S S a +=++，得()12n n a a n N *+-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列 由2315a S S =得()()22111114520,340a a a a a +=++-=，解得11a =或4-(舍)，∴()21n a n n *=-∈N；（2）122121n n n b +=⨯-=-， ∴()()()()231231221212122224n n n n T n n +++=-+-++-=+++-=--.【名师指导】本题考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式和分组求和法，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，证明数列{}n a 是以2为公差的等差数列.18．【思路点拨】（1）根据菱形的对角线的关系以及余弦定理、勾股定理的逆定理可得线线垂直，从而可证明线面垂直；（2）先建立空间直角坐标系，然后求出有关面的法向量，再用夹角公式即可. 【解析】（1）连接AC ，设AC BD ⋂于点G ， 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 且点G 是AC 的中点，又F A =FC ，所以AC ⊥FG ， 又因为BD ⊂平面BDEF ，FG ⊂平面BDEF 所以AC ⊥平面BDEF ，FD ⊂平面BDEF 所以AC ⊥FD ，因为60BAD ︒∠=，四边形ABCD 为菱形，所以2,BD AB ==在BDF 中，2,45,22BD AB DBF BF ∠====由余弦定理得FD =2，因为222FD BD BF +=， 即FD ⊥BD ，所以FD ⊥平面ABCD ；（2）如图，以点D 为坐标原点，过点D 且平行于CA 的直线为x 轴，DB ，DF 所在直线分别为y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)A B F DE BF ==-，平面BDE 的法向量(1,0,0)m =，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =， 由30n DA x y ⊥⇒+=，由n DE y z ⊥⇒=，令13x y z =⇒==- 即7(1,3,3),cos ,1133n n m =--<⨯>==++. 由（1）可知AG ⊥平面BDEF 于点G ，所以二面角A -DE -B 7. 19．【思路点拨】（1）直接利用平均数公式求解；（2）求出(8.27)0.15865P Z ≥=，即得合格的有多少人；（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，再求出其对应的概率即得解. 【解析】解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由（1）知(7,1.61)Z N ~，∴10.6827(8.27)0.158652P Z -≥==， ∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人. （3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=(人).【名师指导】方法点睛：求随机变量的分布列的一般步骤：（1）写出随机变量的取值；（2）求出每个随机变量对应的概率；（3）写出分布列. 20．【思路点拨】（1）由离心率为2P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π，列方程组解得a ，b ，即可得出答案；（2）设P （x 0，y 0），则220014x y +=，写出直线AP 的方程，令x ＝2时，得Q 得坐标，由QR ⊥BR ，推出k QR ，写出直线RQ 的方程，进而得A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，推出1122S d S d =，即可得出答案． 【解析】（1）由已知，12c b a a =⇒=，当点P 在短轴端点时，由△AOPΔ22ABQ BQ OP b ⇒==，此时圆C 的面积为2b ππ=，得b ＝1，a ＝2，故椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）设()00,P x y ，则2220002011444x y y x +=⇒=--①. A ，B 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，002AP y k x =⇒+直线AP ；00(2)2y y x x =++， 令2x =，则0042,2y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又002BP y k x =-，点R 在圆上，所以QR ⊥BR ，因此002RQ x k y -=， 所以直线RQ 的方程为：000042(2)2y x y x x y --=-+，即()()220000244(2)y x y y x x +-=--， 由①式得到220044x y -=，代入直线RQ 的方程，化简为：()0004240y x x y y -+-=，设A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为12,d d ，则1001120022184231842QRd y y S d S d y y QRd --====-，为定值.【名师指导】关键点点睛：点R 在圆上，得QR ⊥BR ，由002BP y k x =-，得002RQ x k y -=，得出直线RQ 的方程.21．【思路点拨】（1）先对函数求导，然后令()()g x f x '=，则()(2)x g x x e =+'，由此可得当x <2-时，()g x 单调递减，当x >2-时，()g x 单调递增，则于21(2)f a e -=-'，所以分210a e-≥、210a e -<和0a ≤讨论()'f x 的正负，进而可得f (x )极值点的个数； （2）依题意(2)2cos 40x x e ax x -+-+≥对任意的0x ≥恒成立，构造函数()(2)2cos 4x h x x e ax x =-+-+，连续两次求导后可判断出()h x '在[0,)+∞上单调递增，由于(0)1h a '=- ，所以分10a -≥和10a -<求出()h x 的最小值，使其最小值大于零即可【解析】解：（1）b =0，()()(1)x x f x xe ax f x x e a =+⇒+'=+，记21()(),()(2),()02,(2)x g x f x g x x e g x x f a e '''==+=⇒=--=-'， x <2-时，()0,()g x g x '<单调递减，21()a f x a e'-<<， x >2-时，()0,()'>g x g x 单调递增，21()f x a e >-'， ①当210a e -≥即21a e ≥，()0,()f x f x '≥单调递增，无极值点：②当210a e -<且0a >即210a e<<时，()0f x '=有两不同根，f (x )有两个极值点： ③当0a ≤时，()0f x '=有一根，f (x )有一个极值点.（2）依题意(2)2cos 40x x e ax x -+-+≥对任意的0x ≥恒成立，记()(2)2cos 4,(0)0x h x x e ax x h =-+-+=，()(1)2sin ,(0)1x h x x e a x h a =-++='-'，()2cos ,0,2x h x xe x x π⎡⎫=+∈⎪⎢⎣'⎭'时，0,2cos 0()0x xe x h x ≥>''⇒> ,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时2,2,()22cos 0,2x xe e h x x πππ''≥>>>+≥所以()h x '在[0,)+∞上单调递增，①10a -≥即1a ≥时，()(0)10,()h x h a h x ≥=-≥''在[0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ≥=恒成立；②10a -<即a <1时，4(0)0,(4)(3)2sin(4)32sin(4)0a h h a a e a a a a a -<-=-++-≥-++-'>'， 存在0(0,4)x a ∈-，使得()00h x '=，当00x x <<时，()0h x '<，所以h (x )在[]00,x 上单调递减，当00x x <<时，()(0)0h x h <=，与题意不符.综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【名师指导】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为(2)2cos 40x x e ax x -+-+≥对任意的0x ≥恒成立，构造函数()(2)2cos 4x h x x e ax x =-+-+，利用导数求()h x 的最小值即可，考查计算能力，属于较难题22．【思路点拨】（1）把参数方程1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t 即可得结果；极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，两边同乘以ρ，化简即可得出结果；（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，利用参数的几何意义知：12121212||||||||||||t t t t PA PB PA PB t t t t ⋅==--+∣，再把韦达定理代入，即可求得结果. 【解析】解：（1,y =，两式相加可得：10C y +-=， 将极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，两边同乘以ρ，得22sin 4cos ρθρθ=，又cos ,sin x y ρθρθ==所以22:4C y x =； （2）将1112:2x t C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入24y x =，21412t ⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，22333342,510,Δ044t t t t t ++=-+-=> 12125204,03334t t t t +==-=-<-，所以12,t t 异号， 故121212124||||1320||||||||53t t t t PA PB PA PB t t t t ⋅====--+∣. 【名师指导】方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：tan y xρθ==，cos ,sin x y ρθρθ==； 利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程；（2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ；（3）利用弦长公式12AB t t =-=.23．【思路点拨】（1）直接利用绝对值三角不等式证明； （2）等价于21|2|42m x x x x ≤++-+-，再求出21|2|42x x x x ++-+-的最小值即得解. 【解析】解：（1）111()||()2f x x a x x a x a a a a ⎛⎫=++-≥+--=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a =1且[1,1]x ∈-时等式成立：（2）由题可知：21()|2|42f x x x x x m =++-≥-++恒成立， 即21|2|42m x x x x ≤++-+-， 令15|2|22x x ++-≥，当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取等号： 244x x -≥-，当且仅当x =2时取等号；所以2153|2|44222x x x x ++-+-≥-=-，当且仅当x =2时取等号， 所以32m ≤-，故3,2m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦. 【名师指导】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式；（5）绝对值三角不等式；（6）柯西不等式. 要根据已知条件灵活选择方法求解.。
2021年江西省高考数学二模试卷(理科)(附答案详解)
2021年江西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|y=log2(x−1)}，B={x|x−a>0}，且(∁R A)∩B=(0,1]，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 22.已知m，n∈R，且mi(1+2i)=n+4i(其中i为虚数单位)，则m+n=()A. −2B. −4C. 2D. 43.某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为()A. π4B. π2C. 3π4D. π4.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，若点A(x0,2√3)在抛物线上，则|AF|=()A. 3B. 2√3C. 4D. 2√3+15.根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额(单位：亿元)的表格，以下结论中错误的是()年份2014201520162017201820192020投资额/47535662122140156亿元A. 该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2018年该地区环境基础设施投资增加额最大C. 2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小D. 2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少6.函数f(x)=5x−1cos2x的图象为()5x+1A.B.C.D.7. 已知定义在R 上的函数f(x)，则“f(x)的周期为2”是“f(x)=1f(x+1)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. (x +2y +3z)5的展开式中xy 2z 2的系数为( )A. 5B. 30C. 1080D. 21609. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数√2，√3，√5，…的图形之一，此图形中∠BAD 的余弦值是( )A. 4−√36B. 4+√36C. 2√3−√66D. 2√3+√6610. 已知动直线l ：xcosα+ysinα=1与圆C 1：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，圆C 2：x 2+y 2=1.下列说法： ①l 与C 2有且只有一个公共点； ②线段AB 的长度为定值； ③线段AB 的中点轨迹为C 2． 其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 定义：若存在n 个正数x 1，x 2…，x n ，使得f(−x i )=−f(x i )(i =1,2，…，n)，则称函数y =f(x)为“n 阶奇性函数”.若函数g(x)={mx +m,x ≤0xlnx,x >0是“2阶奇性函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π2<φ<π)的一个周期的图象如图所示，其中f(0)=1，f(1)=0.f(x1)=f(x2)=−12，则f(x2−x1−2)=()A. −74B. −√154C. 74D. √154二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设a⃗，b⃗ 为非零向量，且|2a⃗+3b⃗ |=|2a⃗−3b⃗ |，则a⃗，b⃗ 的夹角为______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−5≤0x−y+1≥0x−1≥0，则z=yx的最大值是______ ．15.已知F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为______ ．16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为a，且∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，点E在棱A1D1上，且A1E=2ED1，平面α过点E且平行于平面A1DB，则平面α与平行六面体ABCD−A1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+2，a32=S1S5，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，四边形BDEF是平行四边形，∠DBF=45°，BF=2√2，FA=FC．(1)求证：FD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−DE−B的余弦值．19.在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩(单位：环)，并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：成绩分组[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x−(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ,σ2)(其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2=1.61)，且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？(3)已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．[附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9545，√1.61≈1.27，结果取整数部分]20. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆E 上异于A ，B 的一个动点，直线l 过点B 且垂直于x 轴，直线AP 与l 交于点Q ，圆C 以BQ 为直径.当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设圆C 与PB 的另一交点为点R ，记△AQR 的面积为S 1，△BQR 的面积为S 2，试判断S 1S 2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求S 1S 2的取值范围．21. 已知函数f(x)=xe x +ax +bcosx ．(1)当b =0时，讨论函数f(x)极值点的个数；(2)当b =−2，x ≥0时，都有f(x)≥2e x −4，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P(1,√3)，曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求||PA|⋅|PB||PA|−|PB||.23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −1a |(a >0)．(1)求证：f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|x>a}，∴∁R A={x|x≤1}，且(∁R A)∩B=(0,1]，∴a=0．故选：B．可求出集合A，然后得出∁R A={x|x≤1}，并求出B={x|x>a}，然后根据(∁R A)∩B= (0,1]即可求出a的值．本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由mi(1+2i)=n+4i，得−2m+mi=n+4i，∴{−2m=nm=4，即m+n=−m=−4．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左侧，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体；故V=34×43⋅π⋅13=π．故选：D．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：点A(x 0,2√3)在抛物线上，可得12=4x 0，解得x 0=3， 所以|AF|=x 0+p2=3+1=4． 故选：C ．点的坐标代入抛物线方程，求出x 0，利用抛物线的定义转化求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由表格中的数据信息可知，该地区环境基础设施投资额逐年增加，故选项A 正确；2015～2020年的投资增额分别为：6，3，6，60，18，16，所以2018年该地区环境基础设施投资增加额最大，故选项B 正确；2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额为262亿元，2014年至2017年的总额为218亿元，故选项C 错误；2019年的投资增额为18，2019年的投资增额为16，所以2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少，故选项D 正确． 故选：C ．由题中给出的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了图表的应用，解题的关键是正确的从数表中读取信息，考查了逻辑分析能力．6.【答案】D【解析】解：∵f(−x)=5−x −15−x +1⋅cos(−2x)=1−5x 1+5x⋅cos2x =−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项A 和C ， 又f(π)=5π−15π+1⋅cos2π>0，排除选项B ，故选：D ．先判断函数的奇偶性，再计算f(π)的值，并与0比较大小，即可得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数对称性的性质是解决本题的关键． 根据函数对称性的定义，举实例，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：①当f(x)=1f(x+1)时，有f(x)=1f(x+1)=11f(x+2)=f(x +2)，则f(x)的周期为2，②当f(x)的周期为2，例如f(x)=sinπx ，当x 为整数时，f(x)=f(x +1)=0，则f(x)=1f(x+1)无意义，综上所述：f(x)的周期为2是f(x)=1f(x+1)的必要不充分条件． 故选：B ．8.【答案】C【解析】解：(x +2y +3z)5表示5个因式x +2y +3z 的乘积，故它的展开式中， 含xy 2z 2的项是由其中一个因式取x ，其中两个因式取2y ，剩下的两个因式取3z 得到的，故xy 2z 2的系数为C 51⋅C 42⋅22⋅C 22⋅32=5×6×4×9=1080．故选：C ．根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得xy 2z 2的系数． 本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意，在△BCD 中，∠DCB =135°，由余弦定理可得BD 2=CD 2+BC 2−2CD ⋅BC ⋅cos∠DCB =1+1+2×1×1×√22=2+√2，所以在△BAD 中，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=√22√3=2√3−√66． 故选：C ．由题意在△BCD 中可求∠DCB =135°，由余弦定理可得BD ，进而根据余弦定理可求cos∠BAD的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意，C2的圆心到直线l的距离d=1√cos2α+sin2α=1，∴直线1与圆C2相切，故①正确；因为|AB|=2√R2−r2=2√2−1=2，∴线段AB的长度为定值，故②正确；由①知l为C2的切线，而C1与C2为同心圆，则根据对称性，l与C2的切点即为线段AB的中点，故线段AB的中点轨迹为C2，故③正确．故选：D．利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系判断选项①②，由圆的对称性判断选项③．本题考查了直线与圆位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，圆的几何性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意可得，方程g(−x)=−g(x)有且只有两个正根，即m(−x)+m=−xlnx有且只有两个正根，方程可化为：xlnx=m(x−1)，因此转化为函数y=xlnx与y=m(x−1)在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数y=xlnx的图象，因为y′=lnx+1，当0<x<1e 时，y′<0，当x>1e时，y′<0，且当x=1时，y=0，y′=1，在x=1处切线的斜率为1，如图所示：而y=m(x−1)过点(1,0)斜率为m，由图象有两个交点，则只需m>0且m≠1，故m 的实数取值范围为(0,1)∪(1,+∞)， 故选：D ．由题意将已知问题转化为函数y =xlnx 与y =m(x −1)在y 轴右侧的图象有两个交点，然后分析出函数y =xlnx 的性质，画出图象，利用数形结合即可求解．本题考查了分段函数的性质，涉及到数形结合以及导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f(0)=1，可得sinφ=12，又π2<φ<π，所以φ=5π6，由f(1)=0，可得ω+φ=2kπ+π，可得ω=2kπ+π6，k ∈Z ， 又因为周期T >4(1−0)，所以2πω>4，可得0<ω<π2， 所以ω=π6，所以T =2πω=12， 所以f(x)=2sin(π6x +5π6)，因为f(x 1)=2sin(π6x 1+5π6)=−12，所以sin(π6x 1+5π6)=−14，因为f(4)=2sin 3π2=−2，所以点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，所以设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，则sin(3π2−α)=sin(π6x 1+5π6)=−14，可得cosα=14， 又(π6x 2+5π6)−(π6x 1+5π6)=2α，可得π6(x 2−x 1)=2α，所以f(x 2−x 1−2)=2sin[π6(x 2−x 1)−π3+5π6]=2sin(π2+2α)=2cos2α=2(2×116−1)=−74． 故选：A ．由题意求得φ、ω的值，写出函数f(x)的解析式，求图象的对称轴，可得点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，可得cosα=14，计算可得π6(x 2−x 1)=2α，从而可求得f(x 2−x 1−2)的值．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，函数值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：根据题意，a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，若|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b⃗ |2， 变形可得：4a ⃗ 2+12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2，即a⃗ ⋅b ⃗ =0， 则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π2． 故答案为：π2．根据题意，|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b ⃗ |2，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，由向量垂直的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由约束条件{x +y −5≤0x −y +1≥0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x −y +1=0，解得A(1,2)，z =yx 的几何意义为可行域内的点与定点O(0,0)连线的斜率． ∵k OA =2−01−0=2， ∴z =y x 的最大值等于2．故答案为：2．画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】√2【解析】解：由题意可知，FH 的方程为y =−a b (x −c)，与渐近线方程为y =ba x ，可得 H 的坐标为(a 2c ,abc)，A 是线段AF 2的中点(a 2+c 22c,ab 2c )，根据中点A 在双曲线C 上，∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故答案为：√2．设一渐近线方程为y =ba x ，则FH 的方程为y =−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，再把点A 的坐标代入双曲线求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键，是基础题．16.【答案】13√3 36a 2【解析】解：如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN ，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，连接EG ，GM ，ME ，可知三角形EGM 为等边三角形， 所以面积为13√3a 236， 故答案为：13√3a 236． 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN ，然后画出图形，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，进而可以求解．本题考查了平面的基本性质与应用，考查了学生的数形结合能力与分析问题的能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +2，整理得a n+1−a n =2(常数)，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，因为a 32=S 1S 5，所以(a 1+4)2=a 1(5a 1+20)，解得a 1=1或−4(负值舍去)， 故a n =2n −1．(2)因为a n =2n −1，所以b n =2n+1−1，所以T n =(22−1)+(23−1)+(24−1)+⋯+(2n+1−1) =(22+23+⋯+2n+1)−(1+1+⋯+1)=2n+2−n +4．【解析】(1)根据条件可得数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，再求出通项公式；(2)利用分组法求出数列{b n }的前n 项和T n ．本题考查的知识要点：数列的通过项公式的求法，分组法在数列的求和中的应用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：连接AC 交BD 于O ，连接OF ， 因为四边形ABCD 是菱形，所以O 点是AC 中点，AC ⊥BD ， 又因为FA =FC ，所以OF ⊥AC ，又因为BD ∩AC =O ，所以AC ⊥平面FBD ， 因为FD ⊂平面FBD ，所以AC ⊥FD ，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，所以BD =2， 又因为∠DBF =45°，BF =2√2，所以FD =√BF 2+BD 2−2⋅BF ⋅BD ⋅cos45°=2， 于是BF 2=BD 2+DF 2，所以FD ⊥BD ， 因为AC ∩BD =O ，所以FD ⊥平面ABCD ． (2)建立如图所示的空间直角坐标系， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3x +y =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令y =√3，m ⃗⃗⃗ =(−1,√3,√3)， 平面BED 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为二面角A −DE −B 为锐角， 所以二面角A −DE −B 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅1=√77．【解析】(1)证明FD 垂直于平面ABCD 内相交直线AC 和BD 即可； (2)求出平面BED 的法向量为n ⃗ ，用向量法计算二面角A −DE −B 的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数x −=4.5×0.05+5.5×0.18+6.5×0.28+7.5×0.26+8.5×0.17+9.5×0.06=7．(2)由(1)知Z ～N(7,1.61)，所以P(Z ≥8.27)=1−0.68272=0.15865，所以在这2000名学员中，合格的有2000×0.15865≈317人． (3)由已知得ξ的可能取值为1，2，3， P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15，P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35， P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15，所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2(人)．【解析】(1)由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式即可求出抽取的样本平均数；(2)根据正态分布的性质即可合格的人数；(3)ξ的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可求解分布列和期望． 本题考查平均数的求法、正态分布的性质、离散型随机变量的分布列与期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知，c a =√32⇒b a =12，当点P 在短轴端点时，由△AOP 相似于△ABQ ⇒BQ =2b ， 所以圆C 的面积为πb 2， 所以b =1，a =2， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1⇒y 02x 02−4=−14①，A ，B 的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，所以k AP =y 0x 0+2，⇒直线AP 的方程为y =yx 0+2(x +2)，令x =2时，Q(2,4y 0x0+2)，又k BP =yx 0−2，点R 在圆上，所以QR ⊥BR ，因此k QR =2−x 0y 0，所以直线RQ 的方程为y −4y 0x 0+2=2−x 0y 0(x −2)，即y 0(x 0+2)y −4y 02=(4−x 02)(x −2)， 由①是得到4−x 02=4y 02， 代入直线RQ 的方程，化简为4y 0x −(x 0+2)y −4y 0=0， 设A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，则S 1S 2=d1d 2=|−8y 0−4y 0||8y 0−4y 0|=3，为定值．【解析】(1)由离心率为√32，及当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π，列方程组解得a ，b ，即可得出答案． (2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02①，写出直线AP 的方程，令x =2时，得Q 得坐标，由QR ⊥BR ，推出k QR ，写出直线RQ 的方程，进而得A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，推出S 1S 2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)b=0，f(x)=xe x+ax⇒f′(x)=(x+1)e x+a，记g(x)=f′(x)，g′(x)=(x+2)e x，令g′(x)=0，得x=−2，f′(−2)=a−1e2，当x<−2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，a−1e2<f′(x)<a，当x>−2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，f′(x)>a−1e2，①当a−1e2≥0，即a≥1e2，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值点；②当a−1e2<0且a>0，即0<a<1e2时，f′(x)=0有两个不同的根，f(x)有两个极值点，③当a≤0时，f′(x)=0有一个根，f(x)有一个极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，记ℎ(x)=(x−2)e x+axx−2cosx+4，ℎ(0)=0，ℎ′(x)=(x−1)e x+a+2sinx，ℎ′(0)=a−1，ℎ″(x)=xe x+2cosx，所以x∈[0,π2]时，xe x≥0，2cosx>0⇒ℎ″(x)>0，x∈[π2,+∞)时，xe x≥π2eπ2>π>2，ℎ″(x)>2+2cosx≥0，所以ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a−1≥0即a≥1时，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=a−1≥0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，②a−1<0即a<1时，ℎ′(0)<0，ℎ′(4−a)=(3−a)e4−a+a+2sin(4−a)≥3−a+a+2sin(4−a)>0，所以存在x0∈(0,4−a)，使得ℎ′(x0)=0，当0<x<x0时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在[0,x0]上的单调递减，当0<x<x0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)f(x)=xe x+ax，求导得f′(x)=(x+1)e x+a，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，进而可得f(x)的极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，ℎ(x)=(x−2)e x+axx −2cosx +4，只需ℎ(x)min ≥0，即可解得答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，消去参数t 得：√3x +y −2√3=0．曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为y 2=4x ．(2)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，转换为标准式为{x =1+12t y =√3−√32t (t 为参数)， 代入y 2=4x ，得到：34t 2+5t −1=0， 所以t 1+t 2=−203，t 1t 2=−43． 故|PA|⋅|PB||PA|−|PB|=|t 1t 2||t 1+t 2|=15．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：f(x)=|x +a|+|x −1a |≥|(x +a)−(x −1a )|=|a +1a |=a +1a ≥2， 当且仅当a =1且−1≤x ≤1时，等号成立． 所以f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立， 即为|x +12|+|x −2|≥−x 2+4x +m 恒成立， 即有m ≤x 2−4x +|x −2|+|x +12|，设g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|，由y=x2−4x=(x−2)2−4≥−4，当x=2时，取得等号；又y=|x−2|+|x+12|≥|x−2−x−12|=52，当x=2时，取得等号，所以g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|的最小值为g(2)=−4+52=−32，则m≤−32，即m的取值范围是(−∞,−32].【解析】(1)由绝对值不等式的性质和基本不等式，注意等号成立的条件，即可得证；(2)由参数分离和二次函数的最值求法，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。
2020-2021学年辽宁省沈阳市皇姑区四年级(下)期末数学试卷(学生版+解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市皇姑区四年级（下）期末数学试卷一.填一填。
（19分）1. （2分）笑笑的身高是161厘米, 用小数表示为米, 她的体重是35千克500克, 用小数表示为千克。
2．（2分）三个角都是60°的三角形, 既是三角形, 又是三角形．3. （3分）横线上最大能填几？60.3＜60.620.68＞20.69.56＜9.54. （7分）在横线上填合适的数。
5米6分米＝米25元6角＝元5米6厘米＝米10.6吨＝吨千克5米6毫米＝米60平方分米＝平方米5. （4分）在横线上填“＞”或“＜”。
500.23×500.912100261000.520.9克20.87千克6. （1分）奇思有m元, 买书用去15元, 还剩元。
二、选择题（共4小题, 每小题2.5分, 满分10.0分）7．（2.5分）在下列各式中, 积最小的是, 积最大的是。
A.6.1×5.6B.0.56×61C.0.56×610D.61×568. （2.5分）等腰三角形的一个内角是50°, 它的另外两个内角可能是（）A. 60°和80°B. 65°和65°C. 50°和60°D. 66°和65°或60°和80°9．（2.5分）一个三角形的两条边长分别是2厘米、6厘米, 第三条边的长度可能是（）厘米。
A. 3B. 9C. 10D. 510．（2.5分）淘气比妙想大, 淘气y 岁, 妙想x 岁。
6年后, 淘气比妙想大（ ）岁。
A. 6 B. x ﹣y C. y ﹣x D. y ﹣x+6 三.算一算。
（32分）11. （12分）列竖式计算。
（最后一道要验算） 9.15×1.62.8×600 16.5﹣5.6512. （12分）简算。
26.35+15.85+3.651.25×6.2×81.56×99+1.56 13. （8分）解方程。
高三试卷数学(理)-江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学(理)试卷及参考答案
2021届高三第二次江西名校联考理科数学一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z ＝i （1-i ）（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为A ．-1B ．1C ．-i D ．i2．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2＋x-6≤0}，B ＝{x|y ＝ln （x ＋1）}，则A∩B 中的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为52°，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：3cos525︒≈）A ．13B ．23C ．34D ．254．双曲线22212x y b-=的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为A ．2B ．C ．4D ．5．函数f （x ）＝e 2x -sinx 的图象在点（0，f （0））处的切线方程为A ．y ＝x-1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x-1D ．y ＝x ＋16．若（1＋x ）（1-2x ）2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021x 2021，则a 1＋a 2＋…＋a 2021＝A ．0B ．2C ．-1D ．17．以下四组不等式中正确的是A ．log2.8e ＞ln2.8B ．0.40.2＜0.30.2C ．e π＞πe D >8．如图是函数f （x ）＝Acos （2x ＋φ）（A ＞0，0≤φ≤π）图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b]，若f （x 1）＝f （x 2），有()12f x x +=A ．f （x ）在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数B ．f （x ）在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭@上是减函数C ．f （x ）在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．f （x ）在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数9．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则△AOB （O为坐标原点）的面积为A ．32B．2C ．3D．10．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，设()112nn n a b n -=+，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＜t 对任意n ∈N *恒成立，则实数t 的最小值为A ．1B ．2C ．32D ．5211．在三棱锥P-ABC中，AB AC ==BAC ＝120°，PB PC ==，PA =锥的外接球的表面积为A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π12．已知函数f （x ）＝lnx ，若对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞），x 1≠x 2，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是A ．-1B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题。
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江西省六校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．12．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．83．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.37．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．608．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．311．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p= ．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z2=3﹣4i，则z的模是（）A．B．5 C．D．1【考点】A8：复数求模．【分析】由复数模的公式求解即可．【解答】解：∵复数z满足z2=3﹣4i，∴|z|2==5，∴|z|=，故选A．2．若全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】16：子集与真子集．【分析】根据题意，有补集的定义可得集合A，再由集合真子集的定义可得A的真子集有∅、{4}、{5}，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A={4，5}，A的真子集有∅、{4}、{5}，共3个；故选：A．3．函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）【考点】3G：复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．【解答】解：令t=﹣x2+2x+3，由﹣x2+2x+3＞0，得﹣1＜x＜3．函数t=﹣x2+2x+3的对称轴方程为x=1，二次函数t=﹣x2+2x+3在[1，3）上为减函数，而函数y=为定义域内的减函数，∴函数的单调增区间是[1，3）．故选：C．4．在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，即可得答案．【解答】解：由题意，挖出一个体积最大的长方体，由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，排除A，D选项．B选项视图可知，挖出是一个正方体，∴B不对．故而C满足题意．故选C5．设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）=（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.72%）A．13.59% B．15.73% C．27.18% D．31.46%【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，利用P（|X|＜1）=[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]，可得结论．【解答】解：由题意，P（1＜X＜3）=0.6826，P（﹣1＜X＜5）=0.9972，∴P（|X|＜1）=[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]=0.1573，故选B．6．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3【考点】8B：数列的应用．【分析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论．．【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得，解得a1=1.306，d=﹣0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=2.292这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.292+3.9+3≈9.2（升）．故选：C．7．上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24 B．36 C．42 D．60【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按3人选择通道口的数目分3种情况讨论，①、3人选择同一个通道口进站，②、3人选择2个通道口进站，③、3人选择3个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况，则此时有3×A33=18种进站方式，②、3人选择2个通道口进站，先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，在3个通道口中任选2个，有A32=6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22=2种情况，此时有3×6×2=36种进站方式，③、3人选择3个通道口进站，将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33=6种进站方式，则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6=60种；故选：D．8．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由范围α，β∈[0，π]，可求α﹣β∈[﹣π，π]，利用两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）=1，可求α﹣β=，进而求得2α﹣β的范围，利用余弦函数的图象即可得解．【解答】解：∵α，β∈[0，π]，则α﹣β∈[﹣π，π]，又∵sinαcosβ﹣sinβcosα=sin（α﹣β）=1，∴α﹣β=，∴2α﹣β∈[，]，∴cos（2α﹣β）∈[﹣1，0]．故选：B．9．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15] C．[0，25）D．[0，15]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据=|﹣|，两边平方求出•≥﹣15；再利用平面向量数量积的定义求出•＜25，从而得出的取值范围．【解答】解：在等腰△AOB中，|OA|=|OB|=5，=|﹣|，∴≥，即+2•+≥﹣•+，∴25+2•+25≥﹣•+，解得•≥﹣15；又•=5×5×cosA＜25，∴﹣15≤•＜25；即的取值范围是[﹣15，25）．故选：A．10．已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=，由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，在△OQA中，=，所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2，解得c2=b2=（c2﹣a2），即为3c2=7a2，可得e===．故选：B．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】由，得，即cosA=，得A=．由，得，⇒则m=2×=2×=2×．【解答】解：∵，∴⇒⇒，∴cosA=，得A=．∵O是△ABC外接圆的圆心，∴由，得，⇒⇒⇒∴m=2×=2×=2×=．故选：C12．已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【解答】解：，其中ω＞0，则函数=sin2（x）+sinωx﹣=﹣cosωx+sinωx﹣=sin（ωx﹣），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，或，解得≤ω≤或0＜ω≤，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是16 ．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=2018时满足条件i＞，退出循环，输出A的值为62018，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=6，i=1执行循环体，A=62，i=2，不满足条件i＞，执行循环体，A=63，i=3不满足条件i＞，执行循环体，A=64，i=4…不满足条件i＞，执行循环体，A=62018，i=2018满足条件i＞，退出循环，输出A的值为62018，可得输出数字A的末两位数字是16．故答案为：16．14．若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为﹣1280 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=1，则3n=729，解得n=6，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则3n=729，解得n=6，∴展开式的通项公式：T r+1=（﹣1）r（4x）6﹣r=（﹣1）r46﹣r，6﹣=2，解得r=3．∴该二项式的展开式中x2项的系数为﹣1280．故答案为﹣1280．15．抛物线y2=2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p= 3 ．【考点】67：定积分．【分析】直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，即可求p．【解答】解：直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2=2px（p＞0）⇒x=，根据定积分的几何意义得2（）dy=p2﹣6，∵（）′=，∴2×=p2﹣6，解得p=3，故答案为：3．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，作出f（x）的图象，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，解方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：化简可得f（x）=，当x≥0时，f（x）≥0，f′（x）==，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，故当x=时，函数f（x）有极大值f（）==；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）对应的图象如图：∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=．设t=f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0，即为t2﹣mt+m﹣1=0，解得t=1，或t=m﹣1．当t=1时，方程t=f（x）有3个不等实根，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有3个不相等的实数根，即有t=m﹣1=1，即m=2或无实数根．当m﹣1＜0，即m＜1时，t=m﹣1无实数根．则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2}．故答案为：（﹣∞，1）∪{2}．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由两天都下雨的概率求出p的值，写出基地收益X的可能取值，计算对应的概率；写出该基地收益X的分布列，计算数学期望E（X）；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望E（Y），比较E（X）、E（Y）即可得出结论．【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1﹣p）2=0.04，解得p=0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X=10）=0.64，P（X=8）=2×0.8×0.2=0.32，P（X=5）=0.04；所以该基地收益X的分布列为：X1085P0.640.320.04则该基地的预期收益为E（X）=10×0.64+8×0.32+5×0.04=9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）=11×0.8+6×0.2﹣0.5=9.5（万元）；此时E（Y）＞E（X），所以该基地应该外聘工人．19．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥PC，通过计算求解证明PC⊥PD，然后证明PC⊥平面PAD．（2）建系求出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，设直线AB与平面PBC所成的角是θ利用空间向量的数量积求解直线AB与平面PBC所成的角即可．【解答】（1）证明：由已知得：PA⊥PD，PA⊥CD，所以PA⊥平面PCD，即PA⊥PC 在直角梯形ABCD中，AB=1，，由△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形得：AP=PD=1由PC2+AP2=AC2，得，可算得：PC2+PD2=CD2所以：PC⊥PD，即PC⊥平面PAD．（2）如图建系，可得：A（1，0，0），，D（0，0，1），P（0，0，0），，设平面PBC的法向量为，则有，令x=1得：，设直线AB与平面PBC所成的角是θ，∴所以直线AB与平面PBC所成的角是．20．已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2=k3•k4，求OB2+OC2的值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）在△AF1F2中，由正弦定理得a，结合焦点坐标求出c，求解b，可得椭圆方程．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．通过斜率乘积转化求解OB2+OC2的值即可．【解答】解：（1）在△AF1F2中，由正弦定理得：，所以，解得，b=1，所以椭圆C的方程为：．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．由，所以，即，于是有，即∴．21．已知f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，得到恒成立，设，求出利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解a的范围．【解答】解：（1）由得：由于定义域为{x|x≠0}，所以由y'＞0得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0所以由y'＜0得：x＜﹣1或x＞1即得函数在区间（0，1），（﹣1，0）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，即恒成立设得：，因为它们的定义域（0，+∞），所以易得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；这两个函数在x=1处，g（x）有最小值，h（x）有最大值，所以要使不等式恒成立，则只需满足，即a＜﹣1﹣e．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C1，C2的普通方程，即可求C1，C2的极坐标方程；（2）利用极径的意义，求线段AB的长度．【解答】解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），则由得：x=4cosα，y=4+4sinα，消参得：x2+（y﹣4）2=16．转化为极坐标方程得：ρ=8sinθ，所以C2的极坐标方程ρ=8sinθ，同理可得C1的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）在极坐标系，可得，，所以．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为b≥f（x）max=a+2，求出b的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）＞1得，|2x+1|﹣|2x﹣1|＞|x|，x＞时，2x+1﹣2x+1＞x，解得：x＜2；0≤x≤时，2x+1+2x﹣1＞x，解得：x＞0，﹣＜x＜0时，2x+1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞0（舍），x≤﹣时，﹣2x﹣1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞2（舍），所以不等式f（x）≥1的解集为（0，2）；（2）不等式f（x）≤b得：b≥f（x）max，，∴b≥f（x）max=a+2，又因为对任意的a∈（0，1）恒成立，所以b≥3．。