正方体的展开图
正方体11种平面展开图(精心整理)
正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类.
口诀：需背诵
正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法—141)
中间三个面，一二隔河见（3种摆法—132/231）
中间二个面,楼梯天天见（1种摆法—222）
中间没有面，三三连一线（1种摆法—33)
“田”“凹”应弃之
第一类：“1-4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
口诀:中间四个面,上下各一面（上下面随便放）
第二类:“1—3—2"型，其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）
第三类:“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
口诀：中间二个面，楼梯天天见
第四类：“3-3"型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
中间没有面，三三连一线（1种摆法—33）。
正方体的11种展开图形
02
CHAPTER
正方体的展开图形分类
一字型展开图形
总结词
一字型展开图形是最简单的正方体展 开图形，它由两个矩形和四个等长的 三角形组成。
详细描述
在展开后，正方体的一个面完全展开 ，与底面平行，其他五个面则形成等 长的三角形。这种展开图形通常用于 折叠正方体纸盒。
L型展开图形
总结词
L型展开图形由一个矩形和两个等长的三角形组成，展开后的形状类似于英文 字母"L"。
VS
详细描述
在正方体的展开图形中，面数相等是判断 是否能够还原成正方体的一个重要标准。 如果展开图形中的面数与正方体的面数相 等，那么这个图形就有可能通过折叠还原 成正方体。
04
CHAPTER
正方体展开图形的应用
折纸艺术
折纸艺术是一种以纸张为主要材料的艺术形式，通过折叠、剪裁、拼贴等手法创 造出各种形态和形象。正方体的展开图形在折纸艺术中有着广泛的应用，如千纸 鹤、纸盒等。
在展开后，正方体的八个角完全展开， 形成等长的三角形，同时还有一个正 方形面完全展开。这种展开图形通常 用于折叠正方体纸盒的顶部和底部以 及四个侧面。
混合型展开图形
总结词
混合型展开图形由多种形状组成，包括矩形、三角形和正方形等。
详细描述
混合型展开图形是最复杂的正方体展开图形，它由多种形状组合而成，通常用于折叠复杂的正方体纸盒结构。这 种展开图形需要较高的空间想象能力和手工技巧才能完成。
谢谢
折纸艺术不仅可以培养人的创造力和动手能力，还可以作为装饰品和礼物赠送给 亲朋好友，传递美好祝福。
空间几何教学
空间几何是数学中的一门学科，主要研究空间图形的性质和 关系。正方体的展开图形是空间几何教学中的一个重要内容 ，通过让学生亲手制作正方体的展开图形，可以帮助学生更 好地理解空间几何的概念和原理。
正方体的截面展开图
正方体的截面与展开图一、正方体的截面：
二、正方体的展开图：
第一类：中间四连方，两侧各有一个，共六种， 如下图：
第二类：中间三连方，两侧各有一、两个，共三种。
如图7、8、9
前
图1
前
图2
前
图3
前
图4 前
图5
前
图6
第三类：中间二连方，两侧各有两个，只有一种。
如图10
第四类：两排各有三个，只有一种如图11.
前
图9
前
图8
前
图7
前
图10
前
图11
如何快速识别正方体的展开图：
一：“田”字、“一”字、“7”字，“凹”字不能法。
因为正方体的每个顶点处只有3条棱，故不可能有四个面相连，所以含有“田”的图形一定不是正方体的表面展开图，同样含有“一”、“7”“凹”字的图形也不是的表面展开图。
如下图：
二、标面法：
所谓标面法就是在所给的图形上结合空间想像，标出正方体的上、下、左、右、前、后。
如果标出后的图形的这6个面既完整、又不重复，那么就是正方体的表面展开图。
否则就不是。
标面时最好选定中间的正方形为定面。
“田”字
“凹”字
“一”字
“7”字。
正方体展开全图11种情况
三 棱 锥
四棱锥
五棱锥
正方体展开图
“一四一” 型
“二三一” 型
“三三” 型
“二二二” 型
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开1
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开2
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开3
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一各有一个。
展开5
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开6
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开7
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开8
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开9
展开10
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的 两个对面，如图6中的A面和B面；“Z”字两端处的小正方形 是正方体的对面，如图7、图8的A面和B面．
A
A
B
A
B
图6
图7
B
图8
图9
例3．（2005河南）如图9，一个正方体的每个面上都写有 一个汉字，其平面展开图如图9所示，那么在该正方体中， 和“超”相对的字是 ．
A
B
变形：如图有一长方体房间，在房间内一角A 处有一只小虫，它想到房间的另一角 B处去吃食物，它采取怎样的行走路线最近？
A
B
一、一线不过四
是指在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会 超过四个，如图1、图2都不是正方体的展开图．
图1
图2
例1．（2004连云港）下面每个图片都是由6个大小相同的 正方形组成，其中不能折成正方体的是（ ）
(完整版)正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：互逆正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
正方体展开图
正方体展开图11种
“一四一”型 6种
巧记立方体展开图，有一首小儿歌
中间4个一连串，两边各一随便放。
二三紧连错一个，三一相连一随便。
两两相连各错一，三个两排一对齐。
要找两个相对面，切记相隔一个面。
“二三一”型 3种
“三三”型 1种 “二二二”型 1种
正方体展开图11种
1、“141”型，中间4个，上下各一，共6种
2、“231”型，中间三个，共3种
3、“33”型，两行只能一个正方形相连，一种
4、“222”，两行只能一个正方形相连，一种
正方体展开11种，找规律很好记。
中间4个一连串，两边各一随便放。
二三紧连错一个，三一相连一随便。
两两相连各错一。
三个两排一对齐。
要找两个相对面，切记相隔一个面。
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：互逆正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
正方体展开图
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(15)
(16)
(17)
(18)
原正方体中相对面在展开图中的位置关 关系？ 正方体的每对相对面展开后总是间隔出 现，展开后有公共边或有公共顶点的两 个正方形一定是相邻面．
将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可 以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对 面是几号面？
正方体的表面展开图用“口诀”：
一线不过四，
田凹应弃之;
相间、“Z”端是对面， 间二、拐角邻面知。
一线不过四
×
×
田凹应弃之
×
×
×
×
相间、“Z”端是对面
A
B
A
B
A和B为相对的两个面
间二、拐角邻面知
C D C
D
C和D为相邻的两个面
判断下列图形能不能折成正方体？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
长（正）方体展开图
将正方体剪开展成一个平面图形。
注意：剪开时保证每两个正方形有一条公共 边。
上 左
前 下 右 后
上
上
左 左 。 后 右 右
前
下
下
前
上
上 前 左 左 前 下 下
后
右
右
正方体 的11种不 同的展开图
“一四一”型，共六种。
“二三一”型，共3种。
“三三”型
“二二二” 型
总结规律：
上 前 左 后 右
下
2.如图有一正方体房间，在房间内的一角B处 有一只小虫，它想到房间的另一角A处去吃食 物，它采取怎样的行走路线最近？ A
B
变形：如图有一长方体房间，在房间 内一角A 处有一只小虫，它想到房间 的另一角B处去吃食物，它采取怎样 的行走路线最近？
正方体11种展开图
类型六：十字型
总结词
由两个相同的等腰直角三角形和两个相同的矩形组成的展开图，呈十字形状。
详细描述
这种类型的展开图在正方体的两个相对的面上保留了一个矩形，而其他面则由两个等腰直角三角形组成，整体呈 十字形状。
类型七：二字型
总结词
由两个相同的矩形和两个相同的等腰直角三角形组成的展开图，呈二字形状。
详细描述
正方体11种展开图
• 正方体的基本特性 • 正方体的11种展开图 • 正方体展开图的制作方法 • 正方体展开图的应用场景 • 正方体展开图的挑战与未来发展
01
正方体的基本特性
定义与特性
01
正方体是一种三维几何体，由六 个正方形面组成，每个面都是等 大的正方形。
02
正方体的体对角线、棱和面都是 对称的，具有高度的空间对称性 。
05
正方体展开图的挑战与未来发展
当前面临的挑战
寻找新的展开方式
目前已知的正方体展开图种类有 限，需要探索新的展开方式以丰
富其多样性。
证明无解的存在
对于某些特定条件下的正方体展开 问题，需要证明无解的存在，这需 要深入的数学理论支持。
实际应用中的限制
正方体展开图在实际应用中可能受 到材料、工艺等因素的限制，需要 解决这些实际问题。
正方体的几何属性
正方体的体积是边长的三次方，记作 V=a^3，其中a是正方体的边长。
正方体的表面积是6倍的边长的平方， 记作A=6a^2。
正方体的展开与折叠
正方体的展开是将正方体的表面沿某些边展开成平面的过程，通常用于制作纸盒等 包装材料。
正方体的折叠则是将展开的平面重新折回成立体的过程，常用于制作纸艺模型和玩 具。
详细描述
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正方体的展开图
叶榭学校克锦芳【教学内容】上海市九年义务教育课本(小学数学)五年级第二学期P52 【教学目标】
1、用不同的剪法剪出正方体多个表面展开图，并认识到正方体的表面展开图有都由6个相同的正方形组成。
2、通过想象、尝试画出正方体展开图的形状，再把所画的6个正方形的组合图形相拼，验证能否围成成正方体，在折的过程中认识到不是所有的6个正方形的组合图形都能围成正方体的。
3、初步感受平面图形与立体图形的相互转换，发展空间想象能力。
4、进一步感受图形学习的乐趣，增强合作意识。
【教学重点】
通过操作活动认识到正方体的展开图由6个相同的正方形组成。
【教学难点】
通过想象和拼折，判断所提供的图形中，哪些能沿棱相折围成正方体，并尝试发现其中的规律。
【教学准备】
准备剪刀、正方体纸盒、正方体学具（可展开）及课件。
【教学过程】
一、新课探索，获取新知
（一）正方体的展开
教师出示一下正方体纸盒。
1、提问：想像一下，沿着棱剪开，摊开后的图形是由几个正方形组成的？为什么？
2、学生猜想后，教师演示剪开的过程，并展开展开图。
3、小结：这就是原来正方体的展开图。
它果然是由6个相同的正方形组成的。
正方体还有几种不同的展开图，请同学们用自己的方法来剪剪看。
注意：沿棱剪开，不能剪散。
3、学生独立操作，教师巡视指导。
4、让学生观察、对比、交流得出：
正方体有好多不同的展开图，展开图中都有6个相同的正方形。
（二）6个正方形的组合图形的拼折
1、判断题:
有6个相同的正方形组成的图形就一定能折叠成正方体吗？下面两个图形哪个图形想折后能围成正方体？哪个不能？
①②
（1）学生思考后汇报。
（2）教具演示，得出①号图形能折叠成正方体，而②号图形不能。
（3）得出：看来，6个相同的正方形组成的图形不一定能折叠成正方体。
那么，什么样的图形才能折叠成正方体呢？下面，我们就一起来研究“正方体的展开图”。
（出示课题）
2、想象
（1）思考：正方体的展开图绝对不可能是什么样的？
……
（2）观察你手中的正方体，想像一下，如果把这个正方体展开，可能会是什么图形？把自己想象的结果画下来。
3、验证
（1）4人小组合作，每组都有6个小正方形，按照画出的草图进行拼折。
（2）把拼折成功的草图剪下来展示。
共计11种，学生没想到的，让学生验证。
4、归纳
正方体的展开图有什么特征？试着归纳一下
5、课本练习
探一探、试一试（能折成正方体的打√、不能折成正方体的打×），可以借助正方体学具验证。
二、巩固强化，拓展新知
1、请把不能折成正方体的图形选出来 （ ）
B
2、下图中，哪两面是相对的。
1534
62
1号面与（ ）号面相对
2号面与（ ）号面相对
3号面与（ ）号面相对
三、课堂总结，深化认识
这节课我们研究了什么，你有什么收获和体会吗？你对自己的表现满意吗？还有什么疑惑？
课后反思:
“正方体的展开图”是上海九年义务教育课本五年级第二学期“几何小实践”中的内容之一，是“正方体和长方体的展开图”中的第一课时。
该内容是后面学习“长方体的展开图”和“正方体的表面积”等知识的基础。
此外还渗透了组合的思想。
“6个正方形的组合图形有35个”，其中只有11个能相折围成正方体。
学生只须认识到正方体的展开图有多个，有哪些图形组成。
6个正方形的组合图形也有多个，但不是每个都可以相折围成正方体的。
五年级的学生，在生活中他们对正方体的展开图已经有了模糊的影像，已经了解一些平面图形的基本特征，。
但真正从正方体到正方体的展开图的相互转换，是一次挑战。
教师需要通过丰富的活动和猜想验证的环节，让学生充分感知和理解正方体的展开图，增强对立体图形的认识，并将对以后学习圆柱和圆锥产生积极的影响。
在“正方体的展开”这一环节中，因为课前准备了大量的正方体纸盒模型，所以很容易就得出很多种不同的展开图。
孩子们看到不同的展开图，很惊奇！教学的确达到了预期的效果，但却出现了意外，一位男生不小心剪到手，所幸只是受了一点皮外伤。
心痛之余，我暗暗下定决心：动手操作若有危险因素存在，活动前就必须提醒学生注意安全。
在“6个正方形的组合图形的拼折”这一环节中，学生通过对“6个正方形的组合图形的拼折能否围成正方体”进行自主判断、想象、验证的过程，较好地归纳了正方体的展开图的特征，并充分发展了学生的空间想象能力。
课堂练习的反馈情况表明学生不仅较好地掌握了正方体的展开图的特征，空间想象能力也有了进一步的发展。
为自己的充分准备带来的教学效果高兴，也为自己不断努力、承担更多的教学使命而信心倍增。