高二数学竞赛班二试平面几何讲义

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第二讲 梅涅劳斯定理和塞瓦定理班级 姓名一、知识要点：1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=1A B C C B AC A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则： 2. 梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021P Q R PC CQ ARQA RB∆∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，若，则、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R BQA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设 '''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘； 3. 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设,1BCM ACMABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCM AP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：＝M QRACPB11BP CQ AR AP BQ M CM AB R PC QA RBBP CQ AR AR ARR R PC QA R B R B RB AB R R AP BQ CR M ⋅⋅=⋅⋅=‘’’’‘‘’ 再证充分性：若，设与相交于，且直线交于，由塞瓦定理有：，于是：＝因为和都在线段上，所以必与重合，故、、相交于一点点；二、例题精析1//ABC CK CE ACK E AK D AC F DE CK BF CE ∆∠例：若直角中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。

2ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB∆∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是，证明：K LNM CBA3AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA∆∠∠例：设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝1111111111111114sin sin sin sin sin sin ABC BC CA AB A B C AC BA CB ACC BAA CBB C B AC B A C CB A AC B BA ∆∠∠∠⋅⋅=⋅⋅∠∠∠例：在的边、、上取点、、，证明：三、精选习题1．K A B C D 从点引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于、、、111111111111::ACA D AC AD ABCD BC BD B C B D =和、、、，试证：2．ABC BC CA AB ∆设不等腰的内切圆在三边、、上D E F EF BC FD CA DE AB X Y Z 的切点分别为、、，则与，与，与的交点、、在同一条直线上；四、拓展提高：3．如图，锐角ABC ∆中，T 是高线AD 上的任意一点，BT 交AC 于E ，CT 交AB 于F ，EF 交AD 于G ，过点G 的一直线l 与,,,AB AC BT CT 相交，交点分别为,,,M N P Q ；证明：MDQ NDP ∠=∠．N QPG F ED TAB CM第2讲 梅涅劳斯定理和塞瓦定理例1：,901EBC B BH EBC ACK HBC ACE HBC HCB ACE HCB BH CE EBC BC EP CK EPCD AE KFACK D E F DA EK FCKF EK CK EP BP BK KF BK FC AE AC AC BC BE FC BEKF BKFKB KC KE∆∠∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠=︒⊥∴∆=∆⋅⋅=====∴∆≅证：在中，作的平分线则：即：为等腰三角形作上的高，则：对于和三点、、依梅涅劳斯定理有：于是＝即：＝依分比定理有：＝//CKE BF CE∆∴111CK AB CK BM AN P CK BM AN AM CN BKMC CNMC NB AKAM BK AM ALAML AKC AK NB AK ACBK BC AL BCBNL BKC NB BL AC BL⊥⋅⋅==⋅=∆≅∆⇒=∴∆≅∆⇒=⋅=证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点，依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证1AL BCAC BLCK BM AN P CP AB⋅=∴∴⊥依三角形的角平分线定理可知：、、三线共点，且为点 A AD DE DF M N EDA FDA ∠=∠证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。

欲证，AM AN =可以转化为证明//,,,1AD BC MN BC AME CDE ANF BDFAM AE AN AF AE CD AF BDAM AN CD CE BD BF CE BFBD CE AFAD BE CF P DC EA FBAE CD AF BD AM AN EDA FDACE BF⊥∆≅∆∆≅∆⋅⋅∴====⋅⋅=⋅⋅∴=∴=∴∠=∠故，可得，于是、、共点于，根据塞瓦定理可得： 11111111111111111111111111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ,sin sin sin sin sin ACC BCC AC ACC CC AC ACC BB C C A C B C CB C B C CB A BA BAA CB CBB C A AC A AC B B A B BA C AC BA CB C B AC B A ∆∆∠∠∠∠===⋅∠∠∠∠∠∠∠∠=⋅=⋅∠∠∠∠⋅⋅=证：如图对和应用正弦定理，可得：即：同理：从而111111sin sin sin sin sin ACC BAA CBB C CB A AC B BA ∠∠∠⋅⋅∠∠∠11111111111111111111111111111111//11111:AD A D AD A D L A AL B BL LD A K A C LC B KAD LC AK BC LD A D AK AC A K LC LC B C BK B D LD BK BD B K LD A C B D AD BC AC BD A D B C A AC AD BC BD ∆∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅==练习的证明证：若，结论显然成立；若与相交与点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：将上面四条式子相乘可得：即：1111111:C AD B C B D2．11BX CE AFABC XFE XC EA FB∆⋅⋅=证：被直线所截，由定理可得：12BX FBAE AF XC CECY DC AZ EAYA AF ZB BDBX CY AZXC YA ZBX Y Z ABC X Y Z =⋅⋅=∆又代人上式可得：＝同理可得：＝＝将上面三条式子相乘可得：又、、都不在的边上，由定理可得、、三点共线3．证： CF 截ABE ∆，得1AC ET BFCE TB FA⋅⋅=，又由BC 截ATE ∆，得1AD TB EC DT BE CA ⋅⋅=，即AD BE ACDT BT CE⋅=⋅；由EF 截ABT ∆，则有1TG AF BE GA FB ET ⋅⋅=，即TG BF ETGA AF BE⋅=⋅， 所以1AD TG AC ET BF DT AG CE TB FA ⋅=⋅⋅=⋅，因此AD TG AG TD ⋅=⋅ … ① 由于,GA BGA GP BGPGT BGT GM BGM∆∆==∆∆，,AB GAB BP GBPBM GBM BT GBT∆∆==∆∆， 所以GA GP AB BPGT GM BM BT ⋅=⋅ … ②， 据①有GA AD GT DT =；又过点,M P 分别作BC 的垂线，垂足分别为,R H ，因GP DHGM DR =，AB AD BM MR =，BP PH BT TD =，则②化为PH DHMR DR=， 所以Rt MDR PDH ∆∆，MDR PDH ∠=∠，即TDM TDP ∠=∠， 又据对称性，有TDN TDQ ∠=∠，因此MDQ NDP ∠=∠． 【附注】：这里所说的对称性是指：因ABT ∆与ACT ∆的地位对称，我们已经证得： 若直线l 与ABT ∆的两边,AB BT 分别交于,M P ，就有TDM TDP ∠=∠；R HN QPGF EDTA B C M今直线l 与ACT ∆的两边,AC CT 分别交于,N Q ，故也应有TDN TDQ ∠=∠．法2 调和点列 法3 迪沙格定理。