勾股定理的综合应用经典例题
勾股定理的典型例题
勾股定理是初中数学中的基本定理，常用于解决与直角三角形相关的问题。以下是一些典型的勾股定理例题：
例题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。即斜边的长度x²= 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度x = √25 = 5cm。
例题二：已知一边长为5cm的直角三角形的斜边长度为13cm，求另一条直角边的长度。解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。即5² + x² = 13²，即x² = 169 - 25 = 144，所以直角边的长度x = √144 = 12cm。
例题三：已知一条直角边长为8cm，另一条直角边长x cm，且斜边的长度为10cm，求直角边的长度x。
解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。即x² + 8² = 10²，即x² + 64 = 100，即x² = 100 - 64 = 36，所以直角边的长度x = √36 = 6cm。
这些例题都是基于勾股定理的基本原理进行求解的。通过掌握勾股定理的应用，可以帮助我们解决一些与直角三角形相关的数学问题。其中√指代根号。
勾股定理经典例题(含参考答案)
勾股定理经典例题(含参考答案)
勾股定理经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，.求BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
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根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.
解析：连结BM ，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。.
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
长.
解析：作于D，则因，
∴〔的两个锐角互余〕
∴〔在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半〕.
依据勾股定理，在中，
.
依据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解析：连结BM，依据勾股定理，在中，
.
而在中，则依据勾股定理有
.
∴
又∵〔已知〕，
∴.
在中，依据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。.求：四边形ABCD的面积。
勾股定理经典例题(含参考答案)
勾股定理经典例题(含参考答案)
勾股定理经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，.求BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
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根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.
解析：连结BM ，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6, c=10，求b, （2)已知a=40,b=9，求c；(3）已知c=25，b=15，求a。
思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中,∠C=90°，a=40，b=9，c=
（3) 在△ABC中，∠C=90°,c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】：如图∠B=∠ACD=90°, AD=13，CD=12, BC=3，则AB的长是多少？
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13，CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知:在中，，,. 求:BC的长。
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
长。
解析:作于D，则因，
∴（的两个锐角互余)
∴（在中，如果一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)。
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：,，于P。求证：.
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
。
而在中，则根据勾股定理有
。
∴
又∵(已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积。
勾股定理经典例题(全解版)
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
勾股定理 典型例题
例1 如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
思路与技巧 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是两条直角边还是一直角边一斜边，因此要分两种情况讨论．
解答 分两种情况：
（1）当两条直角边是6cm 和8cm 时，根据勾股定理得 斜边长
()cm 108622=+= 所以周长＝6＋8＋10＝24(cm ) 面积()
2
248621cm =⨯⨯= (2)当斜边为8cm ，一直角边为6cm(斜边大于直角边)时，
根据勾股定理得 另一直角边
()cm 726822=-= 所以周长()cm 72147286+=++= 面积
()
27667221cm =⨯⨯=
例2 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
思路与技巧 搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt △ABC 中，其中BC 为底面直径．
解答 如图19—11，当搅拌棒在AB 位置时最长，过B 画底面直径BC ，则在Rt △ABC 中，
AC ＝15cm ， BC ＝4×2＝8cm
根据勾股定理得
()cm BC AC AB 178152222=+=+=
所以可放的最长搅拌棒为17cm ．
例3 已知直角三角形的一直角边为9，另两边的长为整数，求三角形的周长．
勾股定理典型例题
6.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, （1）AD平分∠BAC,交BC于D点。求CD长 （2）BE平分∠ABC,交AC于E，求CE长
B
D
A
C
B AEC
7．(2009年甘肃,如图13，△ACB和△ECD都是等 腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边
上一点，求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）AD2 DB2 DE2
A B
C
4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个 得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ）
A C
B
5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶 点画一个边长为3、 、 的三角形．所画的三角
形是直角三角形吗?说明理由
6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中 画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求
8.（2009年牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量 得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角 形，且扩充部分是以8cm为直角边的直角三角形，
求扩充后等腰三角形绿地的周长．
• 【答案】在中 Rt△ABC ，ACB 90°，AC 8，BC 6
•
由勾股定理有： 等腰 △ABD，
AB 10 ，扩充部分为 应分以下三种情况．
A
E
B
D
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9,求c; (3）已知c=25,b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b=
（2) 在△ABC中，∠C=90°,a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25,b=15，a=
举一反三
【变式】：如图∠B=∠ACD=90°, AD=13，CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，。求：BC的长。
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的
长.
解析:作于D,则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中,如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
。
∴。
举一反三【变式1】如图，已知:，，于P. 求证：。
解析:连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
。
∴
又∵（已知），
∴.
在中,根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知:如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°,AB=4,CD=2。求：四边形ABCD的面积。
勾股定理经典应用题整理
S 3S 2
S 1C
B A 勾股定理经典应用题
1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的
最短路程（保留
）是 多少
2、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′（ ）．
A ．小于1m
B ．大于1m
C ．等于1m
D ．小于或等于1m
3、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱
形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）．
A ．h ≤17cm
B ．h ≥8cm
C ．15cm ≤h ≤16cm
D ．7cm ≤h ≤16cm
4、如图所示，以Rt △ABC 的三边向 外作正方形，其面积分别为 s 1、s 2、s 3,且s 1=4，s 2=8，则s 3= 。
A
B
5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的
边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2
。
6、如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m ，棚宽a=2.4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
7、如图3，已知长方形ABCD 中AB=8cm ，BC=10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长．
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法 1.在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求 a. 思绪点拨:写解的进程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用. 解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
触类旁通
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是若干?
【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2=52－32=16
∴AB= 4
∴AB的长是 4. 类型二：勾股定理的结构运用 2.如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.
思绪点拨：由前提,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理盘算出AD.DC的长,进而求出BC的长. 解析：作于D,则因, ∴（的两个锐角互余）∴（在中,假如一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
依据勾股定理,在中,
. 依据勾股定理,在中,
. ∴.
触类旁通【变式1】如图,已知：,,于P. 求证：.
解析：贯穿连接BM,依据勾股定理,在中,
. 而在中,则依据勾股定理有
. ∴又∵（已知）, ∴. 在中,依据勾股定理有
, ∴. 【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.
勾股定理应用题型大汇总(经典)
勾股定理题型汇总
一、用勾股定理解决实际问题 【经典例题】 1.水中芦苇问题
在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。 2.梯子滑动问题
一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
【练一练】
1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
勾股定理经典例题（含答案）
勾股定理经典例题（含答案）
勾股定理经典例题
类型⼀：勾股定理的直接⽤法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，⼀定要先写上在哪个直⾓三⾓形中，注意勾股定理的变形使⽤。
举⼀反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型⼆：勾股定理的构造应⽤
2
、如图，已知：在中，，
，. 求：BC的长.
1、某市在旧城改造中，计划在市内⼀块如图所⽰的三⾓形空地上种植草⽪以美化环境，已知这种草⽪每平⽅⽶售价a元，则购买这种草⽪⾄少需要（）
A、450a元
B、225a 元
C、150a元
D、300a元
举⼀反三【变式1】如图，已知：
，，于P. 求证：.
150°
20m 30m
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的⾯积。
类型三：勾股定理的实际应⽤
（⼀）⽤勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩明从营地A点出发，沿北偏东60°⽅向⾛了到达B 点，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了500m到达⽬的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定⽬的地C在营地A的什么⽅向。
举⼀反三
【变式】⼀辆装满货物的卡车，其外形⾼2.5⽶，宽1.6⽶，要开进⼚门形状如图的某⼯⼚，问这辆卡车能否通过该⼯⼚的⼚门?
（⼆）⽤勾股定理求最短问题
4、如图，⼀圆柱体的底⾯周长为20cm，⾼ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底⾯的直径．⼀只蚂蚁从点A出发，
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解析：连结BM，根据勾股定理，
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积解析：延长AD、BC交于E。
类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂
门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
勾股定理经典例题(含标准答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解读：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2 =52－32 =16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
长.
解读：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解读：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
（1)已知a=6，c=10，求b，(2）已知a=40，b=9，求c; （3)已知c=25,b=15,求a。
思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2）在△ABC中，∠C=90°,a=40，b=9,c=
（3) 在△ABC中,∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】：如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12，BC=3，则AB的长是多少？
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13，CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图,已知:在中，，，。求:BC的长。
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D,则有,，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
长.
解析:作于D,则因,
∴（的两个锐角互余）
∴(在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理，在中，
。
根据勾股定理，在中，
.
∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，,于P。求证：.
解析:连结BM,根据勾股定理，在中，
。
而在中,则根据勾股定理有
。
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴。
【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。
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勾股定理的应用
授课题目（教学章节或教学主题）：
勾股定理在三角形中的应用
重点难点
1、 勾股定理的理解；
2、 勾股定理在三角形中的应用。
知识点一：勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b 和c 分别表示直角三角形的两直角
边和斜边，那么222a b c +=。
经典例题：
如右图：图形A 的面积是 。
变式练习：
1、已知直角三角形的三边长为6、8、x ，x 为斜边，则以x 为边的正方形的面积为____ 。
2、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A ．25
B ．14
C ．7
D ．7或25
3、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为256厘米2，则X 的长为多少厘米？
144225A
知识点二：勾股定理在直角三角形中的应用
勾股定理在三角形中的应用：在直角三角形中，已知两边运用勾股定理求第三边；同时在等腰直角三角形中，已知一边运用等腰三角形性质和勾股定理求另外两边长。
经典例题：
1、如图，从电线杆离地面9米处向地面拉一条长15米的缆绳，
这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米。
2、如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=4，
则AD2= 。
变式练习：
1、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面
的长为hcm，则h的取值范围是（）
A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24
2、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，
使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6cm2 B．8cm2
C．10cm2 D．12c m2
3、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则
AB米。
________
4、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，
则地毯长度为米。
5、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别
为20、3、2，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点
有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台
阶面爬到B点最短路程是。
6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，
如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
7、有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树
上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它几秒能赶回巢中？
课后小结：
自我评价：