二次函数(2)

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07 二次函数(2)

二次函数（二）【基础再现】1．一元二次方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是________．【答案】－2<a <0[解析] 设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)，由题意可知，f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－a >0，解得－2<a <0. 2．设k ∈R ，x 1，x 2是方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两实根，则x 12＋x 22的最小值为________．【答案】1.分析：二元函数（多元）求最值，两种思路：（1）确定二元之间的关系；(2) 将二元化为一元，消元或者换元．【解析】由根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2，则x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6k 2－2 又△＝4k 2＋4k 2－4≥0，∴k 2≥12，x 12＋x 22≥1，∴x 12＋x 22的最小值为1．3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，则m 的取值范围是______．【答案】m ∈(0，1)．【典型例题】例1已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为（1，3）．（1）若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；（2）若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力．【解析】（1）∵f (x )＋2x >0的解集为（1，3），则f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0，因此f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a ① 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0②因为方程②有两个相等的根，所以△＝[－(2＋4a )]2－36a 2＝0，即5a 2－4a －1＝0，得a ＝1或a ＝－15．由于a ＜0，舍去a ＝1．将a ＝－15代入①得f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35．（Ⅱ）由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a (x －1＋2a a )2－a 2＋4a ＋1a及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a．由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0a ＜0解得 a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0．故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是（－∞，－2－3）∪（－2＋3，0）．例2已知f (x )＝x 2＋2ax ＋a ＋2，x 1，x 2是方程f (x )＝0的两根，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． ①x 1，x 2都大于0； ②x 1＜0＜x 2 ③x 1，x 2都小于2； ④x 1＜2＜x 2；⑤两根都在［－2，－1］之间【解析】①x 1，x 2都大于0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0△＝4a 2－4(a ＋2)≥0⇔－2<a <－1；（这里判别式不能丢）②x 1＜0＜x 2⇔x 1x 2<0⇔a ＋2<0⇔a <－2；（这里不需要再写判别式，为什么？）③x 1，x 2都小于2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＋x 2－2＜0(x 1－2)(x 2－2)＞0△＝4a 2－4(a ＋2)≥0⇔a ∈(－65，－1]∪[2，＋∞)④x 1＜2＜x 2⇔(x 1－2)(x 2－2)<0⇔ x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＜0⇔a <－65⑤两根都在［－2，－1］之间⇔⎩⎨⎧f (－1)≥0f (－2)≥0△≥0－a ∈[－2，－1]⇔⎩⎨⎧3－2a ＋a ≥04－4a ＋a ＋2≥0a ≥2或a ≤－1a ∈[1，2]⇔a ＝2变式1：设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2－2x －2a ，若f (x )≤0的解集为A ，B ＝{x |1<x <3}，若B ∩A ＝B ，求实数a 的取值范围．【解析】B ∩A ＝B ⇔不等式 f (x )≤0在1<x <3时恒成立（这样问题转化为求函数f (x )＝ax 2－2x －2a 在x ∈[1，3]上的最大值），对称轴为x ＝1a＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0 f (1)≤0f (3)≤0或⎩⎨⎧a <0f (1)≤0或⎩⎨⎧a ＝0f (1)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0－a －2≤07a －6≤0或⎩⎨⎧a <0－2－a ≤0或a ＝0⇔0<a ≤67或－2≤a <0或a ＝0⇔－2≤a ≤67．变式2：设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2－2x －2a ，若f (x )>0的解集为A ，B ＝{x |1<x <3}，A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．（自己思考）（06全国高考）【解析】题目可以转化为：存在x ∈(1，3)，使得f (x )＞0；其否定是对任意的x ∈(1，3)，使得f (x )≤0⇒－2≤a ≤67，因此本题的答案是(－∞，－2)∪(67，＋∞).例3已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求实数a 的取值范围．【解析】方法1：函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，即方程f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1，1]上有解， a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0，方程f (x )＝0在[－1，1]上有解⇔f (－1)f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧af (－1)≥0af (1)≥0△＝4＋8a (3＋a )≥0－1a∈[－1，1]⇔1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5⇔a ≤－3－72或a ≥1．所以实数a 的取值范围是a ≤－3－72或a ≥1．方法2：a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0，又∴f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1，1]上有解，⇔（2x 2－1）a＝3－2x 在[－1，1]上有解⇔1a ＝2x 2－13－2x 在[－1，1]上有解，问题转化为求函数y ＝2x 2－13－2x 在[－1，1]上的值域；设t ＝3－2x ，x ∈[－1，1]，则2x ＝3－t ，t ∈[1，5]，y ＝12·(t －3)2－2t ＝12(t ＋7t－6)，设g (t )＝ t ＋7t ，g ′(t )＝t 2－7 t2，t ∈[1，7)时，g ′(t )<0，此函数g (t )单调递减，t ∈（7，5]时，g ′(t )>0，此函数g (t )单调递增，∴y 的取值范围是[7－3，1]，∴f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1，1]上有解 1a∈[7－3，1] a ≥1或a ≤－3＋72．变式：m 取何值时，关于x 的方程sin 2x ＋cos x ＋m ＝0有实数解．【答案】[－54，1]备用题例4已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且｜f (－1)｜≤1，｜f (0)｜≤1，｜f (1)｜≤1，证明：当－1≤x ≤1时，｜f (x )｜≤54．【分析】题中已知的是f (－1)、f (0)、f (1)的范围，要证明的二次函数中含有未知范围的系数a ，b ，c 怎么处理？要寻找系数a ，b ，c 与这三个值之间的关系．如何表示？请同学们注意以下常见的变形，a ＝12[f (1)＋f (－1)]－f (0)，b ＝12[f (1)－f (－1)]，c ＝f (0)，对此合并关于三个值的项得到，f (x )＝12f (1)x (x ＋1)＋f (0)(1＋x )(1－x )＋12 f (－1)x (x －1)∵－1≤x ≤1，|f (x )|≤12|x |(x ＋1)＋(1＋x )(1－x )＋12|x |(1－x )＝－x 2＋|x |＋1（说明：此题放缩时可能会用｜x ｜≤1将其去掉，这样放大过头了．）回顾：此题用特殊点1，－1，0的值，表示出系数a ，b ，c 将行的．这也是证明与二次函数有关不等式问题的常用方法【解析】∵f (－1)＝a －b ＋c ，f (1)＝a ＋b ＋c ，f (0)＝c ，∴ a ＝12(f (1)＋f (－1)－2f (0))，b ＝12(f (1)－f (－1))，c ＝f (0)∴ f (x )＝f (1)(x 2＋x 2)＋f (－1)(x 2－x 2)＋f (0)(1－x 2)．∴ 当－1≤x ≤0时，|f (x )|≤| f (1)||x 2＋x 2|＋ | f (－1)||x 2－x2| ＋|f (0)(1－x 2)|≤|x 2＋x 2|＋|x 2－x2|＋|1－x 2|＝－(x 2＋x 2)＋(x 2－x 2)＋(1－x 2)＝－x 2－x ＋1 ＝－(x ＋12)2＋54≤54当0≤x ≤－1时，|f (x )|≤| f (1)||x 2＋x 2|＋ | f (－1)||x 2－x2| ＋|f (0)(1－x 2)|≤|x 2＋x 2|＋|x 2－x2|＋|1－x 2|＝x 2＋x 2＋(－x 2＋x 2)＋(1－x 2)＝－x 2＋x ＋1＝－(x －12)2＋54≤54综上，问题获证．[证明问题备选题]1．已知a ，b ，c 是实数且f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b 当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1 (1)求证：│c │≤1(2)求证：当x ∈［－1，1］时，│g (x )│≤2(3)若a ＞0，当－1≤x ≤1时g (x )最大值为2，求f (x ).【解析】(1)证明:由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x ＝0得│c │＝│f (0)│≤1，则│c │≤1.(2)证法一:当a >0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1，1]上是增函数，∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1(－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≤│f (1)│＋│c │≤2， g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≥－(│f (－1)│＋│c │≥－2， ∴│g (x )│≤2; 当a <0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1(－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≤│f (－1)│＋│c │≤2， g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≥－(│f (1)│＋│c │)≥－2，由此得│g (x )│≤2; 当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c . ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│＝│f (1)－c │≤│f (1)│＋│c │≤2. 综上得│g (x )│≤2. 证法二：∵x ＝(x ＋1)2－(x －1)24 ，可得g (x )＝ax ＋b＝ a [(x ＋12)2－(x －12)2]＋b (x ＋12－x －12)＝ [a (x ＋12)2＋b x ＋12＋c ]－[a (x －12)2＋b (－x －12)＋c ]＝f (x ＋12)－f (x －12)当－1≤x ≤1时，有0≤x ＋12≤1，－1≤x －12≤0，根据含绝对值的不等式的性质，得| f (x ＋12)－f (x －12)|≤|f (x ＋12)|＋|f (x －12)|≤2即│g (x )│≤2. (3)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x ＝1时取得最大值2，即g (1)＝a ＋b ＝f (1)－f (0)＝2.① ∵－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1，∴c ＝f (0)＝－1. 因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x ＝0为f (x )的图象的对称轴，由此得－b2a ＝0，即b ＝0.由① 得a ＝2. ∴f (x )＝2x 2－12．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，则f (0)f (1)＞0，求证： (1)－2＜ba＜－1；(2)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤| x 1－x 2|＜23【分析】本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．【证明】(1)f (0)f (1)＞0⇒c (3a ＋2b ＋c )>0，又若a ＋b ＋c ＝0，因此－(a ＋b )(2a ＋b )＞0，若a ＝0，则－2b 2>0，因此a ≠0，因此(b a ＋1)(2＋b a )<0⇒－2<ba<－1(2)由条件，知x 1＋x 2＝－2b 3a ， x 1·x 2＝c 3a ＝－ a ＋b 3a ，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2 －4x 1·x 2＝49(b a ＋32)2＋13．因为－2＜ba＜－1所以13≤(x 1－x 2)2＜49，故 33≤|x 1－x 2|＜23．3．已知关于x 的实系数二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等的实数根α、β证明：（1）如果|α|<2，|β|<2，那么2|α|<4＋b ， |b |<4；（2）如果2|α|<4＋b ， |b |<4，那么|α|<2，|β|<2．【证明】(1）由韦达定理，得|b |=|α·β＝|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线. 又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⎩⎨⎧4＋2a ＋b ＞04－2a ＋b ＞0⇒4+b >2a >－(4+b )又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线. ∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当－1≤x ≤1时，有－1≤f (x )≤1，求证：当－2≤x ≤2时，有－7≤f (x )≤7．【分析】研究f (x )的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数a ，b ，c ．确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑f (1)，f (－1)，f (0)，这样做的好处有两个：一是a ，b ，c 的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的．要考虑|f (x )|在区间[－7，7]上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑|f (x )|在区间端点和顶点处的函数值．【解析】由题意知：f (－1)＝a －b ＋c ， f (0)＝c ， f (1)＝a ＋b ＋c ，，∴a ＝12(f (1) ＋f (－1)－2f (0))，b ＝12(f (1) －f (－1))，c ＝f (0)，∴ f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝f (1)(x 2＋x 2)＋ f (－1)(x 2－x 2)＋f (0)(1－x 2)．由－1≤x ≤1时，有－1≤f (x )≤1，可得| f (1) |≤1， | f (－1) |≤1， | f (0) |≤1．∴ |f (2)|＝ |3f (1) ＋f (－1)－3f (0))|≤3|f (1) |＋|f (－1)|＋3|f (0))|≤7，|f (－2)|＝ |f (1) ＋3f (－1)－3f (0))|≤|f (1) |＋3|f (－1)|＋ 3|f (0))|≤7．（1）若－b2a∈∕[－2，2]，则f (x )在[－2，2]上单调，故当x ∈[－2，2]时，|f (x )|max ＝max （|f (2)|，|f (－2)|）∴ 此时问题获证．（2）若b2a∈[－2，2]，则当x ∈[－2，2]时，|f (x )|max ＝max （|f (2)|，|f (－2)|，|f (－b2a)|）又|f (－b 2a )|＝|c －b 24a |≤|c |＋|b 2a ||b 2|＝|f (0)|＋ |b 2a ||f (1)－f (－1)4|≤1＋2·1＋14＝2<7，∴ 此时问题获证．综上可知：当－2≤x ≤2时，有－7≤f (x )≤7．5．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2．（1）如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1；（2）如果|x 1|＜2，| x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．【分析】条件x 1＜2＜x 2＜4实际上给出了f (x )＝x 的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化．【解析】设g (x )＝ f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的二根为x 1和x 2．（1）由a ＞0及x 1＜2＜x 2＜4，可得⎩⎨⎧g (2)<0g (4)＞0，即⎩⎨⎧4a ＋2b －1<016a ＋4b －3＞0，即⎩⎨⎧3＋3b 2a －34a＜0－4－2b 2a ＋34a＜0两式相加得b2a＜1，所以，x 0＞－1;（2）由（x 1－x 2）2＝(b －1a )2－a4，可得2a ＋1＝(b －1)2＋1．又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．∴|x 1|＜2，|x 1－x 2|＝2等价于⎩⎨⎧0＜x 1＜2＜x 22a ＋1＝(b －1)2＋1或⎩⎨⎧x 1＜－2＜x 2＜02a ＋1＝(b －1)2＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧g (2)>0g (0)＞02a ＋1＝(b －1)2＋1 或⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)>0g (0)＞02a ＋1＝(b －1)2＋1解之得b ＜14或b ＞74．【课后强化】1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】（－2，2]2．关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1大，另一根比1小，则a 的取值范围是________．【答案】(－2，1)3．设方程x 2－ax ＋1＝0的两根为m ，n ，且0<m <1，1<n <2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎩⎨⎧f (0)>0f (1)<0f (2)＞0即⎩⎨⎧2－a <05－2a ＞0，解得2<a <524．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <2)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是_______．【答案】f (x 1)<f (x 2) ；【解析】主要考查二次函数的单调性及其应用；f (x )＝ax 2＋2ax ＋4的对称轴为x ＝－1，向上，x 1＋x 2＝1－a ∈(－2，1)，所以有两种情况，x 1，x 2位于－1的两侧或x 1，x 2都在[－1，＋∞)上，若x 1，x 2都在[－1，＋∞)上，则f (x 1)<f (x 2)；若两侧则离对称轴越远值越大，则须比较－1－x 1与x 2＋1的大小，（x 2＋1）－（－1－x 1）＝2＋（x 1＋x 2）＝3－a ＞0，也有f (x 1)＜f (x 2)．5．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ∈R ＋)满足f (m )＜0，则f (m ＋1)的符号是__________．【答案】f (m ＋1)＞06．已知二次函数f (x )满足条件f (2＋x )＝f (－x )且y max ＝15，又f (x )＝0两根立方和等于17，则f (x )的解析式是．【答案】f (x )＝－6x 2＋12x ＋97．函数y ＝(m －2)x 2－4mx ＋2m －6的图象与x 轴的负半轴有交点，则实数m 的取值范围是________．【答案】1≤m <3【解析】此题正面不易解决，从反面解决，在有解的前提下，去掉两根都在[0，＋∞)内的情况， ① m ＝2符合题意； ② m ≠2时，由△＝16m 2－4(m －2)(2m －6)≥0，即m 2＋5m －6≥0得到m ≤－6或m ≥1，由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －2)≥0(m －2)(m －3)≥0m ≠2得到m ≤0，或m ≥3，所以所求m 的范围是1≤m <3． 8．若方程2ax 2－x －1＝0在x ∈(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________．【答案】a >1；【解析】f (0)＝－1<0，因此f (1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝012a －1∈(0,1)，∴a >19．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2(a ＜b )，且α，β是是方程f (x )＝0的两个根(α＜β)，则a ，b ，α，β从大到小的顺序为________________．【答案】β，b ，a ，αf (a )＝f(b)＝－2＜0，由图象可知，α＜a ＜b ＜β10．（1）对任意的实数x 不等式x 4＋2mx 2＋m 2－m 2－32>0恒成立，求实数m 的取值范围；（2）设A ＝｛x ｜x 2－2x ＋a ≥1｝，B ＝[a ，a ＋1]，若B ∩A ＝∅，求a 的取值范围．【分析】（2）B ∩A ＝∅(即B 中每一个元素都不在A 中，即B 中的每一个元素都在C R A 中⇔B ⊆C R A【解析】（1）t 2＋2mt ＋m 2－m 2－32>0，t 2＋2mt >0在t ≥0时恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥0－m 2－32>0or ⎩⎪⎨⎪⎧－m ＜0m 2－m 2－32>0⇔m ＜－32or m＞32（2）∵A ＝｛x ｜x 2－2x ＋a ≥1｝，∴C R A ＝｛x ｜x 2－2x ＋a <1｝，又B ∩A ＝∅⇔B ⊆C R A ⇔不等式x 2－2x ＋a <1在x ∈[a ，a ＋1]时恒成立，（问题：不等式恒成立问题，有哪些常用的处理方法？）方法1：（最值法）设f (x )＝x 2－2x ＋a ，x ∈[a ，a ＋1]，此函数的最大值只能在端点取得，所以B ∩A ＝∅⇔⎩⎨⎧f (a )＜1f (a ＋1)＜1⇔1－52＜a ＜1方法2：（数相结合法）设f (x )＝x 2－2x ＋a ，此二次函数的开口向下，原问题等价于其在x ∈[a ，a ＋1]时图象恒在x 轴的下方⇔图象的两个端点在x 轴的下方⇔（前面的不等式组）．小结：不等式恒成立的处理方法． 11．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点．已知函数f （x ）＝ax 2＋（b ＋1）x ＋b －1（a ≠0）．（1）当a ＝1，b ＝－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝1，b ＝－2时，f （x ）＝x 2－x －3＝x ⇔x 2－2x －3＝0⇔（x －3）（x ＋1）＝0⇔x ＝3或x ＝－1，∴f （x ）的不动点为x ＝3或x ＝－1．（2）对任意实数b ，f （x ）恒有两个相异不动点⇔对任意实数b ，ax 2＋（b ＋1）x ＋b －1＝x 恒有两个不等实根⇔对任意实数b ，Δ＝（b ＋1）2－4a （b －1）＞0恒成立⇔对任意实数b ，b 2＋2（1－4a ）b ＋1＋4a ＞0恒成立⇔Δ＝4（1－4a ）2－4（1＋4a ）＜0⇔（1－4a ）2－（1＋4a ）＜0⇔4a 2－3a ＜0⇔a （4a －3）＜0⇔0＜a ＜34．12（选做题）．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程f (x )－x ＝0的两个根为x 1，x 2，满足0<x 1<x 2<1a ，(1)x ∈(0，x 1)时，证明x <f (x )<x 1；（2）设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明x 0<12x ．【分析】此问题中b ，c 都是未知量，而a ，x 1，x 2为已知量．这就考虑将b ，c 都用a ，x 1，x 2来表示，如何表示？方法1：根与系数的关系；方法2：二次三项式的因式分解；方法3：求根公式．问题（1）用前两种方法都可以得到简单的解决；问题（2）三种方法都可以．【解析】（1）方法1：（根与系数的关系） ∵f (x )－x ＝ ax 2＋（b －1）x ＋c ，方程f (x )－x ＝0的两个根为x 1，x 2，∴－b －1a ＝x 1＋x 2， x 1x 2＝c a ，∴f (x )＝ax 2－[a （x 1＋x 2）－1]x ＋ ax 1x 2．（下面利用作差法比较大小） f (x )－x ＝a (x －x 1) (x －x 2)， f (x )－x 1＝a (x －x 1) (x －x 2＋1a)∵0<x <x 1<x 2，a ＞0，∴x －x 1＜0，x －x 2＜0，1a －x 2＞0，∴x －x 2＋1a＞0∴f (x )－x >0，f (x )－x 1<0，∴x < f (x )<x 1．方法2：二次三项式的因式分解 ∵方程f (x )－x ＝0的两个根为x 1，x 2，∴f (x )－x ＝a (x －x 1)(x －x 2)，∴f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)＋x ，以下同方法1．（2）方法1：∵f (x )－x ＝ ax 2＋（b －1）x ＋c ，方程f (x )－x ＝0的两个根为x 1，x 2，∴由根与系数的关系可知，－b －1a ＝x 1＋x 2，x 0＝－b 2a ＝x 1＋x 22－12a ，∴x 0－x 12＝12(x 2－1a )＜0∴x 0＜x 12．方法2：∵方程f (x )－x ＝0的两个根为x 1，x 2，∴f (x )－x ＝a (x －x 1)(x －x 2)，∴f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)＋x ＝ ax 2－[a （x 1＋x 2）－1]x ＋ ax 1x 2，∴x 0＝x 1＋x 22－12a，以下同方法1．回顾提高：（1）以上两问题的方法1，2，都将函数中系数b 、c 用表示，（2）中方法3将问题中对x 1，x 2的限制，转化为对a ，b ，c 之间的关系．就问题（1）来讲方法2简单，就问题（2）来讲方法1简单．（2）凡是遇到某两数是一元二次方程的两根，有三种处理思路：（1）根与系数的关系，可以将系数很快地用两根表示出来；（2）二次三项式的因式分解，可以很快地用两根表示出此二次三项式；（3）求根公式，用系数表示出方程的根；（4）将根代入方程，得到关于系数的方程或方程组．。

二次函数复习(2)

练习
y ax 2 bx c 1、已知二次函数
的图象经过点（1，0），（0，-2），（2， 3）。求解析式。 2、二次函数当x=3时，y有最大值-1，且图象过（0，-3）点，求此二次函数解析式。 3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离等于2，且图象经过点（4，3）。求这个二次函数解析式。
练习1 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高（） A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元
练习2
课后训练： 7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(－8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以 AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C. (1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式； y (3)判定(2)中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利为多少？
例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的解析式为 y＝－ 1 x2－1。
y
x
归纳小结：
1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：（1）根据条件设出合理的表达式；（2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数的值；（3）写出函数解析式。 2、二次函数的三种表达式： Y=ax2+bx+c(a≠0) （1）一般式： Y=a(x-h)2+k (a≠0) （2）顶点式：（3）交点式： Y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) ；；。

二次函数 2

二次函数知识回顾1、二次函数的三种形式（1）一般式：y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 均为常数）；（2）顶点式：y=a(x －h)2＋k [a ≠0，对称轴为x=h,（h ，k ）为顶点坐标]；（3）交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) [a ≠0；(x 1，0)和(x 2，0)为抛物线与x 轴的两个交点]。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

2、二次函数的性质：（1）、二次函数的图象：总平行于y=ax 2的一条抛物线。

（2）、开口方向：a>0，抛物线开口向上，并向上无限延伸。

a<0，抛物线开口向下，并向下无限延伸；开口大小由a 决定，a 大开口小，a 小开口大。

（3）、对称轴：x=ab 2- （4）、顶点坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22。

（5）、抛物线与坐标轴的交点坐标：可总结为公式，也可按照与y 轴有交点x=0，与x 轴有交点y=0 ,然后解方程即可。

（6）、增减性：以对称轴为界限，左右两部分增减性不相同，增减性可看右方箭头。

3、最值（1）a>0时，当4ab 4ac y 22-=-=最小时，a b x （2）a<0时，当4ab -4ac y 22=-=最大时，a b x 特别地当c=0时，抛物线过原点，反之也成立。

4．抛物线与x 轴的位置关系（1）Δ=b 2-4ac<0，抛物线与x 轴无交点。

（2）Δ=b 2-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点，交点坐标为（ab 2-，0）（3）Δ=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标为（a ac b b 242-±-，0） 5、抛物线与x 轴两交点之间的距离若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、抛物线与一次函数或反比例函数相交一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y b kx y 2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。

专题讲解二次函数(2)

海豚教育个性化简案海豚教育错题汇编1. 如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长海豚教育个性化教案专题讲解：二次函数1．已知抛物线y=x2-2bx+c（1）若抛物线的顶点坐标为（2，-3），求b，c的值；（2）若b+c=0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由；（3）若c=b+2且抛物线在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值．2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-4mx+2m-1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A的坐标是（-1，-2），求点B的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为-1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a-3（a≠0）的顶点为A．（1）求顶点A的坐标；（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2-4ax+4a-3（a≠0）交于B，C两点．①当a=2时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（-3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？（3）将抛物线y=x2-2mx+m2+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．6．已知二次函数y=x2-2mx+m2+m+1的图象与x轴交于A、B两点，点C为顶点．（1）求m的取值范围；（2）若将二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D，若CD=8．求四边形ACBD的面积．7．已知抛物线y1=ax2-4ax+3（a≠0）与y轴交于点A，A、B两点关于对称轴对称，直线OB分别与抛物线的对称轴相交于点C．（1）直接写出对称轴及B点的坐标；（2）已知直线y2=bx-4b+3（b≠0）与抛物线的对称轴相交于点D．①判断直线y2=bx-4b+3（b≠0）是否经过点B，并说明理由；②若△BDC的面积为1，求b的值．8. 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（-1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2-y1与0的大小，并说明理由13. 已知抛物线y=x 2-（m 2+8）x+2（m 2+6）．（1）求证：无论m 取任何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点；（2）设这个二次函数的图象与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值．14. 已知二次函数)()(2m x a m x a y ---=（a 、m 为常数，且0≠a ）(1)求证：不论a 与m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点；(2) 设该函数的图像的顶点为C,与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点D.①当△ABC 的面积等于1时,求a 的值：②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求m 的值。

26.1二次函数(2)

开口
对称性
顶点增减性
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0) ,对称轴是 y轴 , 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大；在对称轴左侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 值是 0 (2)抛物线时,函数y的值最小,最小 ,抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶点外).
2 2 y x 3
3、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
开口对称轴顶点
开口向上开口向下 a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最低点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
做一做：
2、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1， 2）的点的解析式，
y 2 x 2 上？如果不例2 问：点A（1，7）是否在抛物线
在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的抛物线经过A点？
y 4 x 2 c 与直线 y=-x+k相交于A、B 例3 已知抛物线
两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；

中考数学二次函数2及答案解析 (32)

函数——二次函数2一．选择题（共9小题）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④D．②③④3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b4．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④ C．①③④D．①②5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）A．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜06．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．57．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位8．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7）9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2二．填空题（共6小题）10．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________ ．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．12．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________ 元．14．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是_________ ．15．请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_________ ．三．解答题（共8小题）16．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．20．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．21．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？23．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？函数——二次函数2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个 C 2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．2．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．点评：主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 Bb＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣，若x=1，则2a+b=0，故可能成立；由于当x=﹣3时，y＞0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．解答：解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．∴c＜﹣1；故A错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0；故B错误；∵抛物线对称轴为直线x=﹣，∴若x=1，即2a+b=0；故C错误；∵当x=﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．4．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c 的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，∴y1＜y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．5如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）A．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对C选项进行判断；由于x=2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以C选项错误；∵当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．6．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B﹣1 C．2 D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：整体思想．分析：把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．7．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C向上平移2个单位D．向下平移2个单位考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据图象左移加，可得答案．解答：解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选：A．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．8．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7）考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先根据顶点式确定抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二．填空题（共6小题）10．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：计算题．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．12．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4 ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．解答：解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为25 元．考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解答：解：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3 ．考点：二次函数与不等式（组）．专题：计算题．分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．解答：解：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴﹣1＜x＜3故填：﹣1＜x＜3点评：此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．15．请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是y=﹣（x+2）2等．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：在对称轴左侧部分是上升的抛物线必然开口向下，即a＜0，直线x=﹣2为对称轴可直接利用配方法的形式写出一个二次函数的解析式．解答：解：根据题意得：y=﹣（x+2）2．（答案不唯一）．点评：配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．二次函数当a＞0，函数开口向上，当a＜0，函数开口向下．三．解答题（共8小题）16．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），∴将A与B坐标代入得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），∵对称轴与x轴交于点E，∴DE=4，OE=1，∵B（﹣1，0），∴BO=1，∴BE=2，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD===2．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．专题：待定系数法．分析：（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）根据图象直接写出答案．解答：解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x==﹣1．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式．专题：数形结合．分析：（1）配方后求出顶点坐标即可；（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．解答：解：（1）y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣4+3=（x﹣2）2﹣1，所以顶点C的坐标是（2，﹣1），当x＜2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）解方程x2﹣4x+3=0得：x1=3，x2=1，即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），过C作CD⊥AB于D，∵AB=2，CD=1，∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．解答：解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．20．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．考点：二次函数的应用；反比例函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．解答：解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=，则y=＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．点评：此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．21．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．点评：本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？。

二次函数2期末复习

时函数y随着x的增大而增大？
___ 当x为
时函数y随着x的增大而减小？
___ ___ 10．y=x2-2x-3当x为
时y>0；当x
时y<0
11.已知二次函数 y=x2+2x – 3,填空:
(1)化成顶点式为 y x 12 4
开口方向是向上 ,
对称轴是 x 1 ,顶点坐标是 1, 4 .
（3）确定自变量取值范围
x0 12－2x 0
0<x<6
（4）列出二次函数，求出最值
当x
b
S＝x（12－2x）＝－2x2＋12x ＝－2(x-3)2＋18 3(属于0 x 6范围内)时，S 有最大值为18
2a
∴当x＝3m时，S最大值＝18 平方米
1、如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的矩形花圃.求花圃的最大面积.
7.抛物线y=x2-8x+4与坐标轴的交点个数是 ___ y=x2-x+4与坐标轴的交点个数___ y=x2-x与坐标轴的交点个数是___
8(1)y=-x2+4x+5当为x
时，有最大值？最大值是___
(2) y=-2x2+4x+6当x为
时有最大值？
(3)y=x2-4x+8有最
值是___
___ 9. y=x2-2x-3当x为
（1）确定自变量和函数
A
D
设AB为x，面积为S
x
（2）相关变量代数式化
B
24－4x
C
BC=24－4x
变式：如果在搭建花圃时一面靠墙（如图）已知墙
（3）确定自变量取值范围 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6

2 二次函数的图象与性质(2)课件

…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
y x2
y 2x2
只是开口大小不同.
北师大版九年级（下）
2
倍速课时学练
二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
倍速课时学练
y=x2 y=2x2
的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数 y的值最大.
倍速 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). 课 (2)最值不同:分别是c和0. 时 3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移学 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移). 练
习题
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.

二次函数问题(2)

二次函数问题（2）1.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？2.如图：抛物线y=-x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A，B不重合），D是OC的中点，联结BD并延长，交AC于点E（1）用含m的代数式表示点A，B的坐标；（2）求CE／AE 的值；（3）当C，A两点到y轴的距离相等，且S△CED=1.6时，求抛物线和直线BE的解析式3.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．4.如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由5.如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位6.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由2的⊙C与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，且点C在x轴的上方．7.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为5（1）求圆心C的坐标；（2）已知一个二次函数的图象经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图象上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．8.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-3，该抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，4），以AB为直径的⊙M恰好经过点C．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）设⊙M与y轴的另一个交点为D，请在抛物线的对称轴上求作一点E，使得△BDE的周长最小，并求出点E的坐标；（3）过点C作⊙M的切线CF交x轴于点F，试判断直线CF是否经过抛物线的顶点P？并说明理由二次函数问题（2）答案1.解：(1) M(12，0)，P(6，6). (2) 设抛物线解析式为：6)6(2+-=x a y . ∵抛物线6)6(2+-=x a y 经过点(0，0)，∴6)60(02+-=a ，即61-=a ∴抛物线解析式为：x x y x y 261,6)6(6122+-=+--=即 (3) 设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，)261,12(2m m m C +--，)261,(2m m m D +-. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB = )261()212()261(22m m m m m +-+-++-=15)3(311223122+--=++-m m m . ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当m = 3米时，AD+DC+CB 有最大值为15米.2．解：：（1）∵抛物线y=-x2+mx+2m2（m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，∴关于x 的方程-x2+mx+2m2=0有两个不相等的实数根x1和x2；解得x1=-m ，x2=2m ．∵点A 在点B 的左边，且m ＞0，∴A （-m ，0），b （2m ，0）．（2）过点O 做OG ∥AC 交BE 于点G ．∴△GED ∽△OGD ∴；∵DC=DO ，∴CE=OG ；∵OG ∥AC ，∴△BOG ∽△BAE ，∴ ．∵OB=2m ，AB=3m ．∴ = = = ．（3）连接OE ．∵D 是OC 的中点，∴S △OCE=2S △CED ∵= = ∴ = ．∴S △AOC=5S △CED=8∵S △AOC= OA•|yC|= m•2m2=m 3∴m3=8，解得m=2．∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8，点C 的坐标为（2，8），点B 的坐标为（4，0）．分别过点D 、C 作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ．∴DM ∥CN ，∵D 是OC 的中点．∴OM= ON=1，DM= CN=4，∴点D 的坐标为（1，4）．设直线BE 的解析式为y=kx+b ，则有解得：，∴直线BE 的解析式为y=-x+ ．3．解：（1）根据题意，得解得 ∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3．（2）存在．在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．令y=0，得x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3．∴A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）．又y=（x-1）2-4，∴顶点M （1，-4）．容易求得直线CM 的表达式是y=-x-3．在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．∴N （-3，0），∴AN=2．在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2．∴CP=2，∴AN=CP ．∵AN ∥CP ，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时P （2，-3）．（3）△AEF 是等腰直角三角形．理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D （0，3），B （3，0）．∴OD=OB ，∴∠OBD=45度．又∵点C （0，-3），∴OB=OC ．∴∠OBC=45度．由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45度．∴∠EAF=90°，且AE=AF ．∴△AEF 是等腰直角三角形．（4）当点4．解：（1）∵直线y=-x+3与x 轴相交于点B ，∴当y=0时，x=3，∴点B 的坐标为（3，0）．又∵抛物线过x 轴上的A ，B 两点，且对称轴为x=2，根据抛物线的对称性，∴点A 的坐标为（1，0）．（2）∵y=-x+3过点C ，易知C （0，3），∴c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （1，0），B （3，0），∴a+b+c=0,9a+3b+3=0，解，得a=1，b=-4，∴y=x 2-4x+3．（3）连接PB ，由y=x 2-4x+3=（x-2）2-1，得P （2，-1），设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，∵在Rt △PBM 中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=2，由点B （3，0），C （0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC 中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=32．假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．①当BQ ／BC=BP ／BA ，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ ∽△ABC ．即BQ ／32= 2／2，，∴BQ=3，又∵BO=3，∴点Q 与点O 重合，∴Q 1的坐标是（0，0）．②当BQ ／BA=BP ／BC ，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP ∽△ABC ．即BQ ／2=2／32，∴QB= 2／3．∵OB=3，∴OQ=OB-QB=3-2／3=7／3，∴Q 2的坐标是（7／3，0）．∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC ＜135°，∴∠PBx ≠∠BAC ．∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上综上所述，在x 轴上存在两点Q 1（0，0），Q 2（7／3，0），能使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似5.解：（1）由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt △AOD 和Rt △BMC 中，∵OD=MC ，AD=BC ，∴△AOD ≌△BMC ，∴OA=MB=MA ，设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，，解得m=1；∴DC=2，OA=1，OB=3；∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+ ，代入A点坐标可得a=- ，抛物线的解析式为y=- （x-2）2+ ；（3）设抛物线的解析式为y=- （x-2）2+k，代入D（0，）可得k=5 ，所以平移后的抛物线的解析式为y=- （x-2）2+5 ，平移了5 - =4 个单位．6.解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x1）（x-x2），∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，∴y=a （x+1）（x-3），又∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），∴a（0+1）（0-3）=-3，∴a=1∴y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3，（2）∵点A（-1，0），点C（0，-3），∴OA=1，OC=3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA=90°，∵OC⊥x轴，∴∠COA=∠COQ=90°，∠OAC+∠OCA=90°，∴∠DCO=∠OAC，∴△QOC∽△COA，∴OQ／OC=OC／OA，即OQ／3=3／1，∴OQ=9，又∵点Q在x 轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y=mx+n，则n=-3,9m+n=0，解得m=1／3，n=-3，∴直线QC的解析式为：y=（x／3）-3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴y=（x／3）-3，y=x2-2x-3，解得：x1=7／3，y1=-20／3，x2=0，y2=-3（不合题意，应舍去），∴点D（7／3，-20／3）（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A（-1，0），∴AE=2，∵抛物线y=x2-2x-3的顶点为P，对称轴为x=1，∴P（1，-4），∴PE=4，则PM=|y+4|，∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC=0.5×1×（3+4）+0.5×1×3=0.5×（7+3）=5，又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，S△AEP=0.5AE×PE=0.5×2×4=4，∴S△ACP=5-4=1，∵S△MAP=2S△ACP，∴0.5×2×|y+4|=2×1，∴|y+4|=2，∴y1=-2，y2=-6，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，点M的坐标为（1，-2）或（1，-6）．7.解：（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，垂直为H，由垂径定理得：AH=0.5AB=2，则OH=1，由勾股定理得：CH=4．又点C在x轴的上方，∴点C的坐标为（1，4）．（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得0=a-b+c，0=9a+3b+c，4=a+b+c，解这个方程组，a=-1，b=2，c=3，∴这二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．（3）①当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK⊥x轴，∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，∴△AOP≌△BKM，则BK=OA=1，则点M的横坐标为2，∴y=-4+4+3=3，∴此时点M的坐标为（2，3）；②∵当PM∥AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形，则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5，则此时点M的坐标为（4，-5）；③当四边形ABPM是平行四边形时，设点M的坐标为（-4，y），则可得y=-16-8+3=-21，则此时点M的坐标为（-4，-21）．∴点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）8.解：（1）连接MC．在Rt△MCO中，由勾股定理得MC=5．∴MA=MB=5，∴A（-8，0）、B（2，0），由A（-8，0）、B （2，0）、C（0，4）可求得这条抛物线所对应的函数关系式为y=-0.25x2-1.5x+4；（2）连接AD交抛物线的对称轴于点E，则点E即为所求作的点，由A（-8，0）、D（0，-4）可求得直线AD所对应的函数关系式为y=-0.5x-4，当x=-3时，y=-2.5，∴点E的坐标为（-3，-2.5）；（3）∵直线CF为⊙O的切线，∴∠MCF=90°．又∵∠OMC=∠CMF，∴Rt △OMC∽Rt△CMF．OM／CM= CM／FM，即3／5=5／FM．解得MF=25／3．∴OF=16／3，∴F（16／3，0），由C（0，4）、F（16／3，0）可求得直线CF所对应的函数关系式为：y=-0.75x+4，又∵y=-0.25x2-1.5x+4=-1，4（x+3）2+25／4，∴抛物线的顶点P（-3，25／4），经检验，点P（-3，25／4）在直线CF：y=-0.75x+4上，即直线CF过抛物线的顶点P。

二次函数2

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解:(1)设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)=a(x2-4x+3),
∴f(x)=ax2-(4a+2)x+3a.
由f(x)+6a=0有两个相等的实根,
即ax2-(4a+2)x+9a=0有两相等实根.
故Δ=(4a+2)2-4×9a2=0,得a=1或a=- 1 . 又f(x)>-2x的解集为(1,3)知a<0, 5
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笑对高考第三关技巧关
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二次函数是高考考查的重点,一方面它是基本的函数模型,重点考查二次函数的最值、单调性或性质的应用等方面,另一方面三次函数求导后,就变为二次函数,再结合二次不等式、二次方程等知识进行综合考查,而二次函数、方程、不等式的核心是二次函数的图象及性质.
由韦达定理得
2 6 2 6
a 2b a3
a
得
a b
4 8
f x 4x2 16x 48.
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点评: 二次函数、二次方程、二次不等式这“三个二”紧密相连, 密不可分,在解题时一定要抓住这三者之间的关系.
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例2若函数f(x)=x2-4x+2在[0,m]上的值域为,则m的取值范围是________. 答案:2≤m≤4 解析:∵f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴当x=2时,f(x)min=-2,故 2∈[0,m]中,故m≥2,由x2-4x+2=2,得x=0或x=4,结合二次函数的图象可知2≤m≤4. 点评:研究二次函数,其核心是图象,因此在解题时一定要结合图象去研究问题.

22.1 二次函数(2)

2
小组合作
例 1：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出注意：在列表、它们有何共同点？有何不同点？（1 ） y 2 x 2 （2） y 2 x 2 描点时，要注意合理
灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接
a 0 时， a 越大，抛物线的开口越_________；因此， a
越大，抛物线的开口越________，反之， a 越小，抛物线的开口越________．例 2：已知 y (k 2) xk
2 k 4
是二次函数，且当 x 0 时，y 随
x 的增大而增大．（1）求 k 的值；
解：
（2）求顶点坐标和对称轴．
例 3：已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2．（1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长；（3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量 C 的取值应在取值范围内．
课题课时
22.1 二次函数（2）
主备人:张红亮
一、教材内容分析
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点五、教学难点六、教学方法自主、合作、探究八、教学过程教师活动激情导入
我们知道，一次函数 y 2 x 1 ，反比例函数 y 象分别是、，
1．抛物线 y＝ax2 的性质
2．抛物线 y x 2 与 y －x 2 关于________对称，因此，抛物线 y ax 2 与 y －ax 2 关于 _______ 对称，开口大小 _______________． 3．当 a 0 时， a 越大，抛物线的开口越___________；当

21.1二次函数(2)

小结：本节课你有什么收获？布置作业：必做题：书本第5页第5、6题选做题：
已知一个二次函数，当自变量x的值为1时，函数y 的值为6，试写出一个符合条件的二次函数。
+kx+1 (x≠0)是一次
3 5 或 2
3或1或2 函数,则k的值一定是______
例题2：
例题3：已知y与x2成正比例，且当x=2时，y=8。（1）求y与x之间的函数关系式，并判断y是否为x的二次函数；（2）当x=-2时，求y的值。
解：（1）依题意设y=kx2 因为x=2时，y=8，所以4k=8，所以k=2 所以，y=2x2是的二次函数。（2）当x=2时，y=2×(-2)2=8
(10)y=(k2+1)x2+kx+2 (k为实数)
例题1：如果函数y=
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函数,
0或 3 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函数,
0 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3) x
k 2 - 3k+ 2
21.1二次函数的基本概念（2）
一、复习
1、什么叫二次函数？二次函数成立的条件是什么？
2、下列函数是否为二次函数，若是，分别说出二次项系数，一次项系数及常数项a,b,c。 (1)y=π x2(2)y= 2x(3)y Nhomakorabea1-3x2
(4)y=20x2+40x+20 (5)y= 6x2+2x－1 (6)y=－x2+3x+2 (8)y=x(x+1）-x2 (7)y=2x(x－3) (9)y=ax2+2x+5 (a为实数)

二次函数2

第二章二次函数知识点一：二次函数的概念知识提炼：(1) 形如y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.例如：①y=x 2-2x-3，②y=2x 2+x ，③y=-3x 2+1，④y=-5x 2等，y 都是x 的二次函数.(2) 等号左边是y ，右边x 的最高次数是2次；a 是二次项系数、b 是一次项系数、c 是常数项。

(3) 凡是可以化成y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)形式的函数都是二次函数，否则就不是二次函数。

因此，把y=ax 2+bx+c(a ≠0)叫二次函数的一般式. 例1：下列函数：①y=3x 2+2x-1；②y=2x 2+x(1-2x)；③y=x 2-21x；④y=x 3+x 2+2；⑤y=-2x 2+6；⑥y=mx 2+2x-1；⑦y=x 3-x （x 2+x-3）；⑧y=（a 2+1）x 2+bx+2⑨y=ax 2+bx+c 中，是x 的二次函数的是___________（只填写序号即可），如果是，请指出各项的系数a 、b 、c 。

练1、若函数y=(m 2+m)221m m x--是二次函数，那么m 的值是________.2.已知函数y=(m 2-m) x 2+(m-1)x+m+1，①若函数是二次函数，则m 的值为________;②若函数是一次函数，则m 的值为___________.3.二次函数y=2(3x-1)(x+4)的一般形式是___________________________.4.下列函数中，不是二次函数的是（）A. y=1-2x 2 B ．y=2（x-1）2+4 C ．y=2（x-1）（x+4） D ．y=2（x-2）2-2x 25. 已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y 的值. 当y=8时,求x 的值.知识点二：二次函数y=ax 2的图像及性质知识提炼：（1）图像：函数y=ax 2 (a ≠0)图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴或直线x=0，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0，0）.(2)性质：函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔函数有最小值； ②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔函数有最大值. 二次函数y=ax 2 (a ≠0)的性质如下表.函数a 的符号图像开口方向顶点坐标对称轴函数值得变化最值y=ax2(a ≠0)a ＞0向上(0,0)y 轴x ＞0,y 随x 的增大而增大；x ＜0,y 随x 的增大而减小当x=0时， y 最小=0a ＜0向下(0,0)y 轴x ＞0,y 随x 的增大而减小；x ＜0,y 随x 的增大而增大当x=0时， y 最大=0（3）抛物线y=ax 2的开口大小由｜a ｜决定，｜a ｜越大，抛物线的开口越小；｜a ｜越小，抛物线的开口越大。

二次函数的图象及性质(2)

2 2

2.填写下表:
y=a(x-h)² +k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
中考语录
中考是人生的第一个十字路口，车辆很多，但要勇敢地穿过去。
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?

３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
2
图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有最小值:且最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y 3x 1 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2有什 2 y 3x 1 么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 2