【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 阶段滚动检测(三)理 新人教A版

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 阶段滚动检测（三）理 新人教A 版（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)已知集合A={x|x 2-4x-5>0},集合B={x|4-x 2>0},则A ∩B= ( )(A){x|-2<x<1} (B){x|-2<x<-1} (C){x|-5<x<1}(D){x|-5<x<-1}2.(滚动单独考查)已知复数2a iz i-=在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则实数a= ( ) (A)-12 (B)12(C)1 (D)-1 3.(滚动单独考查)已知正项数列{a n }中,a 1=1,a 2=2, 2a n 2=a n+12+a n-12(n ≥2),则a 6等于( )(A)16(B)8(D)44.(滚动单独考查)已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,当x>0时f(x)=4x-mx,且f(2)=2f(-1),则实数m 的值等于 ( ) (A)0(B)6(C)4(D)25.(滚动交汇考查)已知平面向量a =(1,x),b =(2,y),且a ⊥b ,则|a +b |的最小值等于 ( )(A)1(D)36.设函数f(x)=x 2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是 ( ) (A)f(m+1)≥0 (B)f(m+1)≤0 (C)f(m+1)>0(D)f(m+1)<07.(滚动交汇考查)已知命题p:∀x ∈R,函数()2x 3f x cos22=+≤，则 ( )(A)p 是假命题;﹁p:∃x 0∈R,()2000x 3f x cos222=+≤(B)p 是假命题﹁p:∃x 0∈R,()2000x 3f x cos222=+>(C)p 是真命题;﹁p:∃x 0∈R,()2000x 3f x cos22=≤ (D)p 是真命题;﹁p:∃x 0∈R,()2000x 3f x cos22=> 8.已知x,y 满足x 3y 70x 1y 1+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，，，则z=|y-x|的最大值为 ( )(A)1(B)2 (C)3 (D)49. (滚动单独考查)如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,2π≤φ≤π)的部分图象,其中A,B 两点之间的距离为5,那么f(-1)= ( )(()()()A B C 2D 2-10.(2013·梅州模拟)已知命题p:∃a,b ∈(0,+∞),当a+b=1时,113,a b+=命题q:∀x ∈R,x 2-x+1≥0恒成立,则下列命题是假命题的是 ( ) (A)﹁p 或﹁q (B)﹁p 且﹁q (C)﹁p 或q (D)﹁p 且q 11.(滚动单独考查)若*n 122n S sinsin sin (n N )S S 777πππ=++⋯+∈⋯，则在，，，S 100中， 正数的个数是( )(A)16 (B)72 (C)86 (D)10012．(滚动交汇考查)已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5 ，若存在两项a m ,a n14a =，则14m n+的最小值为( ) ()()()()23A 4BC 9D 32二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2013·石家庄模拟)若不等式2x>x 2+a 对于一切x ∈[-2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是 . 14.(滚动单独考查)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线则 △ADC 的面积S △ADC = .15.已知区域D 是由不等式组x 2y 0x 3y 0-≥⎧⎨+≥⎩，所确定的，则圆x 2+y 2=4在区域D 内的弧长等于_______.16.(滚动交汇考查)对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1=0，s,t 是互不相等的正整数，则有(s-1)a t -(t-1)a s =0”.类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是_________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)(滚动交汇考查)已知集合A={x ∈R||x+2|≥3}.集合B={x|(x+3m)(x-2)<0}. (1)若(R A ð)⊆B,求实数m 的取值范围. (2)若(R A ð)∩B=(-1,n),求实数m,n 的值. 18.(12分)已知数列()()1111,1335572n 12n 1⋯⨯⨯⨯-+，，，，其前n 项和为S n . (1)求出S 1,S 2,S 3,S 4. (2)猜想前n 项和S n 并证明.19.(12分)(滚动交汇考查)已知向量p =(x,1),q =(x+a,b)(a,b ∈R).(1)若当a=0时，关于x 的不等式|p+q |≥4对x ∈［-3,1］恒成立，求实数b 的取值范围. (2)令f(x)=p·q ，且f(x)的最小值为0，当关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(k-3,k+3)时，求实数c 的值. 20.(12分)某企业计划2013年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3-x 与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2013年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完. (1)将2013年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.(2)该企业2013年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用)21.(13分)(滚动交汇考查)已知函数()()a x 1f x ln x .x 1-=-+ (1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围.(2)利用(1)的结论比较m 2(1)m n ln m n 1n-+与(m,n 为正实数，m>n)的大小.22.(13分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在x=1处取得极小值. (1)求f(x)的单调区间.(2)若对任意的x ∈［1,+∞)，不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立，求实数a 的取值范围. 答案解析1.【解析】选B.由已知得A={x|x 2-4x-5>0}={x|x>5或x<-1},B={x|4-x 2>0} ={x|-2<x<2},所以A ∩B={x|-2<x<-1}. 2.【解析】选B.由于z=2a ii-=-1-2ai,因此复数z 对应的点是(-1,-2a),而它在一、三象限的角平分线上,必有-2a=-1,故a=12. 3.【解析】选 D. 由2a n 2=a n+12+a n-12知，数列{a n 2}是等差数列，且公差d=a 22-a 12=22-12=3，所以a 62=a 12+(6-1)d=1+15=16.又{a n }为正项数列，所以a 6=4.4.【解析】选B.由于f(2)=42-2m=16-2m,f(-1)=-f(1)=-(4-m)=m-4,所以依题意得16-2m=2(m-4),解得m=6,故选B.5.【思路点拨】由两个向量垂直的条件得到x,y 满足的关系式,再将|a +b |用x,y 表示,用基本不等式求解. 【解析】选D.由a ⊥b 可得1×2+xy=0, 即xy=-2,于是|a +b3.===【方法技巧】应用不等式的前提条件一般地,涉及两个变量的代数式求最值时,都可考虑运用基本不等式,但要注意基本不等式成立的条件,由x 2+y 2≥2xy 可知x 2+y 2≥2|xy|也是成立的. 6.【解析】选C.因为函数f(x)图象的对称轴是x=-12,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.7.【解析】选D.由于f(x)=cos2x 21cos x2+=sin(x+6π)+12,因此当x ∈R 时,sin(x+6π)+12≤32,故p 是真命题,则﹁p:∃x 0∈R,f(x 0)=cos20x20>32.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1,2),B(4,1), 由z=|y-x|=y x y x x y y x.-≥⎧⎨-<⎩，，，(1)当z=y-x 时,目标函数过A(1,2)时,z max =2-1=1. (2)当z=x-y 时,目标函数过B(4,1)时,z max =4-1=3. 由(1)(2)可得,z max =3,故选C.9.【解析】选C.如图,由已知可得BC=4,而AB=5,所以AC=3,即12·2πω=3,解得ω=3π,于是f(x)=2sin(3πx+φ).又因为函数图象经过点(0,1),代入得2sin φ=1,而2π≤φ≤π,故φ=56π,因此f(x)=2sin(3πx+56π),故f(-1)=2.10.【解析】选B.当a,b ∈(0,+∞),且a+b=1时,()1111b aa b ()2a b a b a b+=++=++≥4≠3,所以命题p 为假命题.因为Δ=-3<0,所以x 2-x+1≥0恒成立,因此命题q 是真命题,所以﹁p 且﹁q 是假命题.11.【思路点拨】分析当n 取前面几个较小的数值时S n 的符号，再结合正弦函数的周期性，由归纳推理得到S n 的取值规律，从而得出结论. 【解析】选C.由于n y sin7π=的周期为2147π=π，因此只需求出S 1,S 2,S 3，…，S 14的值即可. 1231314S sin0,72S sin sin 0,7723S sin sin sin 0,7772313S sinsin sin sin 0,77772314S sin sin sin sin 0,7777π=>ππ=+>πππ=++>⋯ππππ=+++⋯+=ππππ=+++⋯+=，因此在S 1,S 2,S 3，…，S 14中只有2项等于0，其余12项都是正数.故在S 1,S 2,S 3，…，S 100中，一共有100-7×2=86个正数.12.【思路点拨】求出数列{a n }的公比，由等比数列的性质得到m,n 的关系式，再利用常值代换，运用基本不等式求最值.【解析】选D.设{a n }的公比为q ，则有a 5q 2=a 5q+2a 5，即q 2-q-2=0，解得q=2(q=-1舍去）.14a =可得2222m n 113a a 16a (a q )a ===，所以m+n=6. 于是()141141n 4m 3m n ()(5)m n 6m n 6m n 2+=++=++≥，当且仅当n 4m m n =,即m=2,n=4时，14m n +取最小值3.213.【解析】不等式2x>x2+a可化为a<-x2+2x,函数g(x)=-x2+2x在区间[-2,3]上的最小值为g(-2)=-8,故实数a的取值范围是(-∞,-8).答案:(-∞,-8)14.【解析】由已知可得cos∠ADB=222 AD BD AB2AD BD+-22222+-==-于是∠ADB=135°,因此∠ADC=45°,故S△ADC=12AD·DCsin∠ADC=12×2×sin45°=2.答案:215.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数，可以根据边界直线的斜率得到倾斜角，再求出圆心角的大小.【解析】画出可行域如图，依题意可知，111123tan AOx tan BOx tan AOB1AOB.11234123+π∠=∠=∠==∠=-⨯，，于是，因此又圆的半径等于2，所以弧长l=2.42ππ⨯=答案:2π16.【解析】从等差数列到等比数列的类比.等差数列中+，-，×，÷类比到等比数列经常是×，÷，（）n， 0类比1.故若{b n}是等比数列，b1=1，s，t是互不相等的正整数，则s1t1s1t1t1s1t1s1b b q1.b b q------==（）（）答案:若{b n}是等比数列，b1=1，s，t是互不相等的正整数，则有s1tt1sb1b--=17.【解析】由|x+2|≥3,得x+2≥3或x+2≤-3,即x≥1或x≤-5,所以集合A={x|x≥1或x≤-5},故RAð=(-5,1).(1)由R A ð=(-5,1),(R A ð)⊆B 知必有B=(-3m,2),且-3m ≤-5,解得m ≥53,故实数m 的取值范围为[53,+∞).(2)因为(R A ð)∩B=(-1,n),所以-1是方程 (x+3m)(x-2)=0的根, 因此代入得3(1-3m)=0,所以m=13. 此时不等式(x+1)(x-2)<0的解为-1<x<2, 所以(R A ð)∩B=(-1,1), 即n=1.18.【解析】(1)由已知得:123411S ;133112S ;133551113S ;133557711114S .133557799==⨯=+=⨯⨯=++=⨯⨯⨯=+++=⨯⨯⨯⨯(2)由(1)可归纳猜想得S n =n.2n 1+ 证明:∵()()12n 12n 1-+()()n 111(),22n 12n 11111S 1335572n 12n 111111111(1)()()2323522n 12n 1111111(1)23352n 12n 11112n n (1).22n 122n 12n 1=--+∴=+++⋯+⨯⨯⨯-+=-+-+⋯+--+=-+-+⋯+--+=-=⨯=+++ 19.【解析】(1)当a=0时,p +q =(2x,1+b), 所以|p+q |≥4,4,因此4x 2+(b+1)2≥16,所以(b+1)2≥16-4x 2.令h(x)=16-4x 2,由于x ∈[-3,1],所以h(x)在[-3,1]上的最大值为16,因此(b+1)2≥16,故b ≥3或b ≤-5,故实数b 的取值范围为(-∞,-5]∪[3,+∞).(2)f(x)=p ·q =x 2+ax+b,由于f(x)的最小值为0,所以a 2-4b=0,即b=2a 4.所以不等式f(x)<c,即x 2+ax+2a 4<c,即(x+a 2)2<c,故a a x .22<< 因为不等式f(x)<c 的解集为(k-3,k+3)，所以aa )()6c 9.22-===，解得【变式备选】已知函数f(x)=mx 2-mx-1.(1)若对于x ∈R,f(x)<0恒成立,求实数m 的取值范围.(2)若对于x ∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由题意可得m=0或()2m 0,m 4m 0<⎧⎪⎨∆=-+<⎪⎩ ⇒m=0或-4<m<0⇒-4<m ≤0,故m 的取值范围为(-4,0].(2)∵f(x)<-m+5⇒m(x 2-x+1)<6,又x 2-x+1>0恒成立,∴m<26x x 1-+对于x ∈[1,3]恒成立,记g(x)= 26x x 1-+,x ∈[1,3],记h(x)=x 2-x+1,则h(x)在[1,3]上为增函数, 从而g(x)在[1,3]上为减函数,∴g(x)min =g(3)=67,∴m<67. 所以m 的取值范围为(-∞, 67).20.【解析】（1）由题意：k3x ,t 1-=+ 将t=0,x=1代入得k=2，2x 3.t 1∴=-+ 当年生产x （万件）时，年生产成本=299t 3532x 332(3)3.t 1t 1++=-+=++ 当销售x(万件)时，年销售收入=99t 351150%t.t 12+⨯++ 由题意，生产x 万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,即()2t 98t 35y (t 0).2t 1-++=≥+()()2t 98t 352y 2t 1t 13250()2t 15042,-++=++=-++≤-=当且仅当t 132,t 7,2t 1+==+即时y max =42, ∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大.21.【解析】(1)f'(x)=()()()()()()()22222a x 1a x 11x x 1x 12axx x 1x 22a x 1.x x 1+---++-=++-+=+因为f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即x 2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立.当x ∈(0,+∞)时,由x 2+(2-2a)x+1≥0,得2a-2≤x+1x . 设g(x)=x+1x,x ∈(0,+∞),则g(x)=x+1x ≥x x=2. 所以当且仅当x=1x, 即x=1时,g(x)有最小值2, 所以2a-2≤2,所以a ≤2. 即a 的取值范围为(-∞,2]. (2)构造函数: 设h(x)=lnx-()2x 1x 1-+,由(1)知h(x)在(1,+∞)上是单调递增函数.又mn>1, 所以h(mn)>h(1)=0,即ln m n -m 2(1)n m 1n -+>0成立,从而ln m n >m 2(1)n m 1n-+. 22.【解析】（1）()1f x 1.x m '=-+由于函数f(x)在x=1处取得极小值， 所以f ′(1)=0，即1101m -=+，因此m=0. 于是()1x 1f x 1.x x-'=-=由f ′(x)>0得x>1；由f ′(x)<0得0<x<1，故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，单调递减区间是(0,1). （2）由（1）知f(x)=x-1-ln x.若a ≤0，取x=2，则f(x)=1-ln 2>0不满足f(x)≤a(x-1)2，因此必有a>0.不等式f(x)≤a(x-1)2，即为x-1-ln x ≤a(x-1)2，所以a(x-1)2-x+1+ln x ≥0在x ∈［1,+∞)上恒成立.令g(x)=a(x-1)2-x+1+ln x,则g ′(x)=2a(x-1)-1+1x =22ax 2ax x 1x--+()12a(x )x 12a .x --= ①当111a 2a 2≤≥即时，当x>1时，有g ′(x)>0恒成立，即g(x)在［1,+∞)上单调递增， g(x)在［1,+∞)上的最小值为g(1)=0，故g(x)≥0在x ∈［1,+∞)上恒成立，②方法一:当1110a 2a 2><<即时， 由()()12a(x )x 112a g x 01x x 2a --'=<<<可得，即函数g(x)在1(1,)2a 上单调递减，又g(1)=0，所以当x ∈(1,12a)时，g(x)<0，因此g(x)≥0在x ∈［1,+∞)上不能恒成立.综上，实数a 的取值范围是1.2+∞［，） 方法二:当112a >即10a 2<<时，函数g(x)在1(1,)2a 上单调递减，在1(,)2a+∞上单调 递增， 因此g(x)在1x 2a=取得极小值，亦即最小值，最小值为- 11 - ()()22211h a g()a ln(2a)2a 4a 11(2a 1)h a 104a a 4a ==-+--'=+-=>，而，所以h(a)在1(0,)2上单调递增. 又1h()02=，所以当10a 2<<时，g(x)在［1,+∞)上的最小值h(a)<0，故不满足g(x)≥0在［1,+∞)上恒成立.综上，实数a 的取值范围是［12,+∞).【方法技巧】求解不等式恒成立的方法求解不等式恒成立问题时，一种方法是分离参数求最值，另一种方法是转化为研究函数的最值.例如，本题中，要使不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立，只需使g(x)=a(x-1)2-f(x)的最小值大于或等于0即可.。