高中函数对称性总结
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数 关于 对称
函数关于对称一、函数关于对称的相关知识函数的对称性可是个超有趣的话题呢！咱就先从函数关于x轴、y轴以及原点对称说起吧。
要是一个函数关于x轴对称，那就是说对于函数y = f(x)，存在y = - f(x)。
比如说y = x²这个函数，它的图像是开口向上的抛物线，如果有个函数y = - x²，那这两个函数就是关于x轴对称的。
你看，就像是镜子里和镜子外的关系，只不过这个镜子就是x轴啦。
再说说关于y轴对称的函数。
对于函数y = f(x)，如果它关于y轴对称，那就有f(-x) = f(x)。
就像y = cos x这个函数，不管x取正还是取负，函数值都是一样的，所以它就是关于y轴对称的。
这就好像这个函数在y轴两边是完全一样的，就像一个轴对称图形一样。
然后就是关于原点对称的函数啦。
对于y = f(x)，要是关于原点对称，就有f(-x)= - f(x)。
比如说y = sin x这个函数，它就是关于原点对称的。
你可以想象把这个函数的图像绕着原点转180度，还能和原来的图像重合呢，是不是很神奇？还有一些函数可能关于某条直线x = a对称，这时候就有f(a + x)= f(a - x)。
比如说函数y = (x - 2)²，它就是关于x = 2对称的。
你可以把x = 2左右两边的x值带进去看看，会发现函数值是相等的哦。
函数的对称性在很多地方都有用呢。
比如在解题的时候，如果知道一个函数是对称的，那我们就可以只研究函数的一半，另一半根据对称性就可以知道啦，这样能节省好多时间呢。
而且在画图的时候，知道函数的对称性，也能让我们更快更准确地画出函数的图像。
哎呀呀，函数的对称性就像一个神秘的宝藏，越挖掘越有趣呢！。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。
函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。
本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。
2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。
设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。
偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。
3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。
设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。
•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。
•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。
4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。
函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。
4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。
5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。
它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。
函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。
1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。
这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。
函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。
偶函数的图像在y轴对称。
- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
周期函数的图像在某一段距离上重复。
1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。
因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。
又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。
因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。
二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。
- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。
- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。
2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。
一、有关对称性的常用结论
函数的对称性 一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系1、轴对称(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称。
2、中心对称（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-⇔b x f x a f 2)()2(=+-（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(c b a + 对称。
（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称。
推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(c a b -对称。
推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。
函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。
本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。
对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。
2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。
常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。
常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。
3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。
常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。
常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。
函数对称性5个结论的推导
函数对称性5个结论的推导1.奇函数的推导：奇函数是指函数关于原点对称。
设函数f(x)是奇函数，那么有f(x)=-f(-x)。
为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=-f(x)。
这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值也会发生变化，并保持相反的正负号。
例如，f(2)=-f(-2)，f(3)=-f(-3)等等。
因此，奇函数关于原点对称。
2.偶函数的推导：偶函数是指函数关于y轴对称。
设函数f(x)是偶函数，那么有f(x)=f(-x)。
为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=f(x)。
这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值保持不变。
例如，f(2)=f(-2)，f(3)=f(-3)等等。
因此，偶函数关于y轴对称。
3.半个周期对称的推导：半个周期对称是指函数的两个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。
设函数f(x)是半个周期对称，那么有f(x)=f(x+T/2)，其中T表示函数的周期。
为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/2得到f(x+T/2)=f(x+T/2+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/2)。
这表明，函数在每个周期的半个周期上关于y轴对称。
4.四分之一周期对称的推导：四分之一周期对称是指函数的四个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。
设函数f(x)是四分之一周期对称，那么有f(x)=f(x+T/4)，其中T表示函数的周期。
为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/4得到f(x+T/4)=f(x+T/4+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/4)。
这表明，函数在每个周期的四分之一周期上关于y轴对称。
5.中心对称的推导：中心对称是指函数关于一些点对称，该点称为中心。
设函数f(x)是中心对称，那么有f(x)=f(2a-x)，其中a表示中心点的横坐标。
为了推导这个结论，我们考虑将自变量x替换成2a-x，得到f(2a-x)=f(x)。
高中函数对称性的总结
高中函数对称性的总结
什么是函数的对称性？对称可以被定义为当某一对象被某种对
称变换（包括旋转，移动等）后，依然能够得到完全相同的对象。
函数的对称性指的是在函数的几何图像上，经过某种变换，图形的形状仍然不变。
在函数的对称性中，常见的有偶函数和奇函数。
偶函数是指函数图形以y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
而奇函数是指函数图形以极点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
此外，在函数的对称性中，还有可以定义为函数的X轴对称性和Y轴对称性。
X轴对称性是指函数图形以X轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
而Y轴对称性是指函数图形以Y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
除了以上这些，我们还可以从参数的角度来看函数的对称性，有时候我们会将函数的参数的取值范围改变，会发现函数的图形也会发生变化，比如函数形如y=f(x+a)的参数a的取值变化，会使得函数的图形发生水平移动的变化，当a的取值为负值时，可以使得函数的图形整体向左移动，当a的取值为正值时，可以使得函数图形整体向右移动。
综上所述，高中函数对称性主要有偶函数，奇函数，X轴对称函
数，Y轴对称函数，以及参数变换引起的函数对称性等。
这些函数的对称性都是高中函数的有趣的特点，并且这些特性也可以帮助我们更好地理解函数，从而更好地解决函数相关的数学问题。
函数的对称性
函数的对称性知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②2、; ;轴对称;|ln |y x =。
1、（1）轴对称①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.（2）中心对称①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-。
②c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称.相邻对 x x =)有等根，则)(x f ＝ ．例2.（★★）已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)3()1(x f x f +=-，已知2≥x 时，x x x f -=2)(， 求2<x 时)(x f 的解析式. 巩固练习（自对称）1.（★★）已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(2)(6)f x f x -=-，当02x ≤≤时，2()235f x x x x =++++，则(1)(3)f f = .2. （★★）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ）3. （★★）设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知[]2,2-∈x 时，1)(2+-=x x f ，求[]2,6--∈x 时，)(x f 的解析式.例3. （★★）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()xf x e x R =∈ B ． )0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 例4. （★★）已知函数2()3f x x x =++，函数()g x 与()f x 的图像关于轴03x =对称，求函数()g x 在区间[]34，上的最值. 巩固练习1.（★★）若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿；2.在同一直角坐标系中，函数()y g x =的图像与x y e =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是（ ）A ．e -；B ．1e-； C ．1e ； D ．e ． 3.若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为4.（★★）函数()101x y a a =+<<的反函数的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）关于点对称例5.（★★）已知函数()y f x =满足：(2)()4f x f x -+=，则函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(1,1)M 对称B ．关于点(0,1)M 对称C ．关于点(1,0)M 对称D ．关于点(1,2)M 对称例6.（★★）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．求函数)(x f 的解析式．练习1.（★★★）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．7B ．3C ．4D ．52. （★★）已知函数f(x)＝a x a x -+-1的反函数的图象的对称中心是 (1，21)，则函数g(x)＝)2(log 2x x a -的单调递增区间是 ； 函数对称性与周期性的联系21，则x 21-=，1. 函数(1)y f x =-与函数()1y f x =-的图象关于关于__________对称。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
高中--函数的对称性
函数的对称性一．函数的轴对称定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二．函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三.函数周期性的一些结论：结论1：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-推论：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论2：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-推论：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论3：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-推论：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a=1.设函数的定义域为R ，且满足，则的图象关于__________对称。
函数对称性的总结
函数对称性的总结1. 两个关于函数图象对称性的结论1.x=02.x=(a+b)/2.∵y=f(a+x)=f[(a+b)/2+(a-b)/2+x]=f[(a+b)/2+t]，其中t=(a-b)/2+x,而y=f(b-x)=f[(a+b)/2-(a-b)/2-x]=f[(a+b)/2-((a-b)/2+x)]=f[(a+b )/2-t],所以：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。
楼主你好：2的答案就是x=(a+b)/2.不是x=(b-a)/2.若是后者，当a=b时对称轴就成x=0了，这明显错误。
其实当a=b时对称轴明显是x=a，与我这里的答案符合。
2. 函数对称性结论是怎样推出的周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化，正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值)，假如一个函数能找到满意这一条件的T，那么这个函数就叫做周期函数，周期为T.f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为1，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=1对称.同理，f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为2，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=2对称.假如一个函数同时具备两个对称轴，那么，相临的轴的间距就是函数的半个周期，你可以对比正弦、余弦函数的图像发觉这个规律.这样，本题的函数周期为2，那么函数必定还关于x=0对称，所以函数是偶函数.依据定义或者画图象，不过画图象比较麻烦，一般选择用定义3. 求真正有用的函数周期性对称性结论对于函数y=f(x)周期性1.关于x=a and x=b(a&gt;b) 都对称函数周期2(a-b)2.关于（a,0） (b,0)都对称周期同上3.关于（a,0）和x=b 都对称周期是4(a-b)对称性1. f(a+x)=f(b-x) 那么y=f(x)的图像关于y=(a+b)/2对称2.f(a-x)=-f(b+x)，那么y=f(x)的图像关于（（a+b）/2 ,0 ）对称…………许多可以搜一下，更具体的现在考得不多了我感觉开辟思路吧。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
函数对称性知识点梳理总结
函数对称性知识点梳理总结一、轴对称轴对称是最常见的一种函数对称性，它指的是函数图象关于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴，通常用方程 x=a 来表示。
如果函数 f(x) 满足 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 轴对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,y) = f(a-x,y)，那么 f(x,y) 关于直线 x=a 对称；如果 f(x,a+y) = f(x,a-y)，那么 f(x,y) 关于直线 y=a 对称。
轴对称性在几何学中有着广泛的应用，许多平面图形都具有轴对称性，比如圆形、椭圆形等。
函数的轴对称性也有很多实际的应用，比如在电路分析中，对称性可以帮助简化复杂的电路分析问题。
另外，在数学建模和图像处理领域，轴对称性也经常被用来简化问题求解。
二、中心对称中心对称是指函数图象关于某一点对称，这一点称为中心。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 点对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,b+y) = f(a-x,b-y)，那么 f(x,y) 关于点 (a,b) 对称。
中心对称性在几何学中也有很多重要应用，比如圆形就是一个非常常见的中心对称图形。
在实际应用中，中心对称性也经常被用来简化问题求解，比如在物理学和工程学中，很多问题都具有中心对称性，通过利用中心对称性可以大大简化问题求解的复杂度。
三、旋转对称旋转对称是指函数图象关于某一点旋转一定角度后，与原图象完全重合。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(x-a)，那么 f(x) 关于点 x=a 有旋转对称性。
对于二元函数 f(x,y)，如果f(a+x,a+y) = f(x-a,y-a)，那么 f(x,y) 关于点 (a,a) 有旋转对称性。
旋转对称性在几何学中有着重要的应用，很多图形都具有旋转对称性，比如正方形、菱形等。
在实际应用中，旋转对称性通常被用来简化问题求解，比如在工程学和建筑学领域，很多结构都具有旋转对称性，通过利用旋转对称性可以简化结构分析和设计的复杂性。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在数学中，函数可以具有对称性和奇偶性。
函数的对称性和奇偶性是函数图像的特征，它们能够提供有关函数行为的重要信息。
一、函数的对称性函数的对称性指的是函数图像相对于某一基准轴的镜像对称关系。
常见的对称形式包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
1. 关于x轴对称的函数如果一个函数的图像关于x轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = -f(-x)，则该函数关于x轴对称。
常见的对称函数包括y = x^2 和 y = sin(x)。
2. 关于y轴对称的函数如果一个函数的图像关于y轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则该函数关于y轴对称。
常见的对称函数包括y = x^3 和 y = cos(x)。
3. 关于原点对称的函数如果一个函数的图像关于原点对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数关于原点对称。
常见的对称函数包括y = x^4 和 y = tan(x)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性指的是函数的输入为正数或负数时的输出表现。
函数可以是奇函数、偶函数或者既不奇也不偶。
1. 奇函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的特点是关于原点对称，即对于函数图像中的任意一点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
常见的奇函数包括y = x 和 y = sin(x)。
2. 偶函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。
高中数学对称知识点总结
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。
⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
函数对称知识点高中总结
函数对称知识点高中总结一、函数对称的定义1. 函数对称轴函数对称轴是指当函数关于某个直线对称时，这条直线就是函数的对称轴。
对称轴可以是x轴、y轴，也可以是直线y=x或y=-x等。
2. 函数对称关系当函数关于某个直线对称时，函数图象在这条直线上的对应点互相关于对称轴对称。
具体地说，设函数为y=f(x)，对称轴为直线x=a，若对于任意点(x,y)，都有a-x对称点也在函数图象上，即有f(a-x)=f(x)。
3. 偶函数若函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即对于任意x，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。
偶函数的图象关于y轴对称。
4. 奇函数若函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称。
二、函数对称的性质1. 对称关系的性质（1）关于y轴对称的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数；（2）关于原点对称的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数。
2. 函数对称轴的性质（1）当函数对称于y轴时，其对称轴为y轴，表现为f(x)=f(-x)；（2）当函数对称于x轴时，其对称轴为x轴，表现为f(x)=-f(-x)；（3）当函数对称于直线y=x时，其对称轴为y=x，表现为f(y)=f(x)；（4）当函数对称于直线y=-x时，其对称轴为y=-x，表现为f(-y)=f(-x)。
3. 对称函数的图象（1）偶函数的图象关于y轴对称；（2）奇函数的图象关于原点对称。
三、函数对称的分类1. 偶函数与奇函数（1）偶函数：满足f(x)=f(-x)的函数称为偶函数。
例如，y=x^2、y=cosx等都是偶函数。
（2）奇函数：满足f(x)=-f(-x)的函数称为奇函数。
例如，y=x^3、y=sinx等都是奇函数。
2. 关于坐标轴的对称函数（1）关于y轴对称：函数图象关于y轴对称，即f(x)=f(-x)的函数。
【最新】高中函数对称性总结
【最新】高中函数对称性总结高中函数的对称性是一个重要的数学概念，对于理解和运用函数有着重要的意义。
在高中数学的教学中，对称性是一个常见的考点和解题方法。
本文将对高中函数的对称性进行总结，包括函数关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称以及关于直线对称等四种对称性。
一、函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指当函数图象关于x轴对称时，函数具有关于x轴对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(x, -y)也在图象中。
函数关于x轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于x轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。
二、函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指当函数图象关于y轴对称时，函数具有关于y轴对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, y)也在图象中。
函数关于y轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于y轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。
三、函数关于原点对称函数关于原点对称是指当函数图象关于原点对称时，函数具有关于原点对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, -y)也在图象中。
函数关于原点对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于原点对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。
四、函数关于直线对称函数关于直线对称是指当函数图象关于一条直线对称时，函数具有关于直线对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点关于直线的对称点也在图象中。
函数关于直线对称的特点包括：1. 函数的图象关于直线对称；2. 函数的解析式中可能包含奇次幂的项，如x³、x⁵等；3. 函数的奇偶性为奇函数，即f(-x) = -f(x)。
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高中函数对称性总结安徽省太湖县朴初中学/苏深强新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。
所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。
⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴，例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”两边画得一样齐？学生们立刻明白并记忆深刻。
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。
二、函数的对称性猜测1、具体函数特殊的对称性猜测①一个函数一般是不会关于x轴的这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。
但我们在此略微引申，一个曲线是可能关于x轴对称的。
例1判断曲线y^2=4x的对称性。
②函数关于y轴对称例2判断函数y=cos(sin(x))的对称性。
③函数关于原点对称例3判断函数y=（x^3）×sinx的对称性。
④函数关于y=x对称例4判断函数y=1/x的对称性。
⑤函数关于y=-x对称例5判断函数y=-4/x的对称性。
我总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。
2、抽象函数的对称性猜测①轴对称例6如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。
（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称）例7如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。
（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）例8如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。
（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称例9如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）例10如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。
（按上例一样的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特殊的中心对称）例11如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n为对称轴，（2k，0）为对称中心，其中k∈Z）我总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆。
②而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。
例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。
③当x前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力。
3、两个抽象函数之间的对称性猜测例12求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。
（当第一个函数的x取0时，值为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那么多，他们的正中间为-1.5，因而猜测对称轴为x=-1.5）我总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们仍然可以用特殊值代入来猜测,这里仍然不主张记结论，因为很容易与前面的结论相混淆。
②而当x前面的符号相同时告诉我们的是图像平移。
例如y=f(x+2)与y=f(x-1)，前者是由后者向左移三个单位得到。
三、对称性的证明如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的，我们要辅以完整的证明才行。
1、一个函数的对称性证明例13证明如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。
证明：在y=f(x)上任取点（m，n），则n=f(m)，而点（m，n）关于x=(a+b)/2的对称点为（a+b-m，n）,又因为f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,这正表明（a+b-m，n）也在原函数图像上，从而原函数关于直线x=(a+b)/2对称。
我总结为：核心是间接法，即在函数上任取一点，对称点如果仍在函数图像上，我们就可以下结论该函数关于它对称。
2、两个函数之间的对称性的证明例14证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2对称。
（注意不是(a-b）/2,证明的方法类似于上例方法）我总结为：仍是间接法，但是多一次，需在函数上任取一点，对称点如果在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对称点又在该函数图像上，我们才可以下结论该函数关于它对称。
取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。
3、特别地关于y=x对称性的证明例15证明y=（2x+1）/(3x-2)关于y=x对称。
（只需求出它的反函数是自己即可）我总结为：①一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的间接法，只需要证明它的反函数是自己就可以了。
②两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法，只需证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另外一个就可以了。
③反过来这句话也成立，如果需要证明两个函数互为反函数，只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。
四、对称性的运用1、求值例16已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。
（我们只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是否为定值，验证果然。
而这里显然隐含的是函数的对称性）我总结为：“配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。
2、“对称性+对称性”可以推导出周期性例17如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求该函数的最小正周期。
（因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4）我总结为：两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。
3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。
4、三角函数的奇偶性例18如果函数y=3sin(2x+θ+π/4)（其中0<θ<π）是奇函数，求θ的值。
(2x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以θ+π/4=kπ，在要求的范围上只有θ=3π/4)我总结为：几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y轴是其中的一条（或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个）。
5、关于y=x对称的应用例19求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。
（因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x 对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1）6、对称性的本义（既然关于x=π/4对称，则f(0)=f(π/2)例20如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。
代入求出a和b的关系即可）我总结为：对称性的本义就是关于对称中心（或对称轴）对称的两个自变量的函数值的紧密关系。
这就是我关于函数对称性的简单总结，难免挂一漏万，还请大家批评指正。
最后笔者建议新课标教材能类似于函数周期性，给对称性独立的一节，介绍它的概念和运用，同步练习上也给安排一节对它的独立的练习，这样教师在教学上就可以用适当引申的方法，而不是象现在这样，老师忙于查资料，学生忙于记笔记，耗时费力地试图尽可能系统而完整地补充。