资料回归分析-逐步回归分析
回归分析的回归方法
回归分析的回归方法
回归分析是一种统计分析方法，用于探索和建立自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，有多种回归方法可以使用，其中常见的包括线性回归、多项式回归、多元线性回归、逐步回归、岭回归和Lasso回归等。
1. 线性回归：最简单也是最常用的回归方法，假设自变量和因变量之间存在线性关系，通过最小化残差平方和来估计模型参数。
2. 多项式回归：在线性回归的基础上，将自变量的高阶项添加进模型，以更好地拟合非线性关系。
3. 多元线性回归：包含多个自变量和一个因变量的回归方法，考虑多个因素对因变量的影响。
4. 逐步回归：通过逐步选择自变量，不断添加或删除变量，以找出最合适的自变量集合。
5. 岭回归：一种通过引入正则化项来控制模型复杂度的回归方法，可以有效应对高维数据和共线性问题。
6. Lasso回归：与岭回归类似，也是一种使用正则化项来约束模型复杂度的方法，与岭回归不同的是，Lasso回归可以自动进行变量选择，倾向于将某些系数设为
零。
这些回归方法各有特点，选择合适的方法取决于具体问题的特点和数据的性质。
逐步回归分析
逐步回归分析引言逐步回归分析是一种回归分析的方法，它通过逐步加入和删除自变量，来选择最佳的自变量子集，以建立最佳的回归模型。
在统计学和数据分析中广泛应用，尤其在多变量分析中，逐步回归可以帮助我们确定对目标变量有较强预测能力的自变量。
逐步回归的基本原理在逐步回归中，我们首先选择一个自变量作为基础模型，并对其进行回归分析。
然后，我们逐步地加入剩余的自变量，并根据一定的准则来评估加入自变量后模型的性能。
如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么就将该自变量加入模型中。
反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么就将该自变量排除在外。
这样反复进行，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的基本原理可以用以下步骤总结：1.初始化一个基础模型，选定第一个自变量。
2.对基础模型进行回归分析并评估其性能。
3.遍历剩余的自变量，依次加入到基础模型中，并评估加入自变量后模型的性能。
4.根据一定准则（如F统计量、AIC、BIC等）来判断加入自变量后模型的性能是否显著提升。
5.如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么将该自变量加入模型中。
6.反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么将该自变量排除在外。
7.重复步骤3-6，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的优缺点逐步回归作为一种特定的变量选择方法，具有以下优点：•可以帮助我们快速确定对目标变量有较强预测能力的自变量，避免了将所有自变量都加入模型中的复杂性和冗余性。
•可以降低模型的复杂度，减少过拟合的可能性。
•可以提高模型的解释能力，筛选出与目标变量相关性高的自变量。
然而，逐步回归也存在一些缺点：•过于依赖于原始数据的初始情况，可能导致不同初始情况下得到不同的最终模型。
•不能保证得到全局最优解，只能得到局部最优解。
•在特征空间较大的情况下，计算复杂度较高。
逐步回归的应用场景逐步回归适用于以下情况：1.当自变量较多时，希望从中选出对目标变量有较强预测能力的子集。
实验3——逐步回归分析
会选入较多的自变量 。
取得较小（即临界值 F (1, n m 1)较大），将
会导致一些重要的自变量被删除 。
4. 模型摘要
模型1为首次引入变量铁所对应的回归方程 ; 模型2为在引入变量铁的基础上又引入变量钙所对 应的回归方程.
5.方差分析表
模型2所对应的统计量 F = 44.557 , p≈.000＜0.01, 认为变量铁、钙对血红蛋白的线性回归显著，
6.回归方程中变量对应的回归系数
Y1 0.657＋0.029X铁
多元线性逐步（Stepwise）回归分析
例 已知29例儿童的血红蛋白与钙、镁、铁、锰、 铜的含量如下表，试建立钙、镁、铁、锰、铜对血
红蛋白的最佳多元回归方程。
使用SPSS软件进行分析
1. 单击 “开始” → “程序” → SPSS for windows → SPSS10.0 for windows → type in data → OK → 单击 “Variable View”( 在第一列 输入钙 、镁 、铁 、锰 、铜 、血红蛋白 ；单击 “ Data View”。
回归方程：
Y2 1.072＋0.031X铁 0.041X钙
7. 各步被拒绝引入变量表
实际应用中, 使用逐步回归方法要恰当地选取显
著性水平 。
查表： 0.10, F0.1(1,5) 4.06
0.05, 0.01,
F0.05(1,5) 6.61 F0.01(1,5) 16.3
取得较大（即临界值 F (1, n m 1)较小），将
2. SPSS输入数据格式: 29行6列
2. 程序选项 Analyze: 血红蛋白 引入回归分析的自变量 : 钙、镁、铁、锰、铜
在多元回归方法（Method）中选：逐步引入法（Stepwise）
逐步回归分析
逐步回归分析逐步回归分析１、逐步回归分析的主要思路在实际问题中, ⼈们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择⼀些变量作为⾃变量, 应⽤多元回归分析的⽅法建⽴“最优”回归⽅程以便对因变量进⾏预报或控制。
所谓“最优”回归⽅程, 主要是指希望在回归⽅程中包含所有对因变量影响显著的⾃变量⽽不包含对影响不显著的⾃变量的回归⽅程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的⼀种回归分析⽅法。
它的主要思路是在考虑的全部⾃变量中按其对的作⽤⼤⼩, 显著程度⼤⼩或者说贡献⼤⼩, 由⼤到⼩地逐个引⼊回归⽅程, ⽽对那些对作⽤不显著的变量可能始终不被引⼈回归⽅程。
另外, ⼰被引⼈回归⽅程的变量在引⼊新变量后也可能失去重要性, ⽽需要从回归⽅程中剔除出去。
引⼈⼀个变量或者从回归⽅程中剔除⼀个变量都称为逐步回归的⼀步, 每⼀步都要进⾏检验, 以保证在引⼈新变量前回归⽅程中只含有对影响显著的变量, ⽽不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每⼀步都要对已引⼊回归⽅程的变量计算其偏回归平⽅和(即贡献), 然后选⼀个偏回归平⽅和最⼩的变量, 在预先给定的⽔平下进⾏显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归⽅程中剔除, 这时⽅程中其它的⼏个变量也都不需要剔除(因为其它的⼏个变量的偏回归平⽅和都⼤于最⼩的⼀个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平⽅和由⼩到⼤地依次对⽅程中其它变量进⾏检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引⼈回归⽅程中的变量分别计算其偏回归平⽅和, 并选其中偏回归平⽅和最⼤的⼀个变量, 同样在给定⽔平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引⼊回归⽅程, 这⼀过程⼀直继续下去, 直到在回归⽅程中的变量都不能剔除⽽⼜⽆新变量可以引⼊时为⽌, 这时逐步回归过程结束。
２、逐步回归分析的主要计算步骤(1) 确定检验值在进⾏逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验⽔平, 以作为引⼈或剔除变量的标准。
第一讲 逐步回归分析讲解
2 1 4 2
A(0)
1
1.5
3
4
4
3
10
5
0.5 0.5 2 1
A(1)
0.5
1
1 3
2
1 2 1
1.5-1×0.5=1 3-1×2=1 4-1×1=3
0.5-0.5×（-0.5）=0.75 2-0.5×1=1.5 1-0.5×3=2.5
SS
1b1
SP12 b2
SP13b3
SP1y
SP21b1 SS 2b2 SP23b3 SP2 y
SP31b1 SP32b2 SS 3b3 SP3y
2b1 1b2 4b3 2 1b1 1.5b2 3b3 4 4b1 3b2 10b3 5
x5
y，%
68.6
70.9
62.2
66.7
57.3
60.5
56.7
60.5
58.0
58.9
x
17.2
13.3
10.3
64.4
62.5
63.4
s
4.1
3.8
4.4
7.0
5.6
3.8
一、计算相关系数阵
1、计算各变量的平均数（为表1—1） 设自变量x1，x2，…，xm与依变量y存在线性关系，m元线性回归 方程为：
由x估测y的估计值 yˆ 的直线回归方程： yˆ =a+bx
第一节 逐步回归分析的基本方法
逐步回归分析的基本方法可以通过一个实例介绍其分析步骤。 例1 为考察舍内干球温度（x1）、湿球温度（x2）、露点温度（x3）、相对湿 度（x4）及舒适度指数（x5）对罗曼蛋鸡产蛋率（y）的影响。随机抽测12个位点 各64只鸡在56—67周令的平均周产蛋率如表1—1。
逐步回归分析
逐步回归分析１、逐步回归分析的主要思路在实际问题中, 人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。
另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。
引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。
２、逐步回归分析的主要计算步骤(1) 确定检验值在进行逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验水平, 以作为引人或剔除变量的标准。
逐步回归分析
逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y与自变量x之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y：历年病情指数x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株)x11：5月份均温 x12：5月份降水量 x13：6月份均温 x14：6月份降水量x2：前年冬季极端气温 x3：5月份最高气温x4：5月份最低气温x5：3~5月份降水量x6：4~6月份降水量x7：3~5月份均温x8：4~6月份均温x9：4月份降水量x10：4月份均温x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量 x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
逐步回归分析
值都近似相等。
故为方便起见，可取一个定数F*作为F检验的标准。
2. 计算每个变量的均数 j、离均差平方和(l ii、l jj)，每两个变量的离均差积和l ij，以及相关系数r ij，并以求得的rij为元素列出原始相关矩阵R(0)(阵中r ij(0)=r ij)：以后每引入或剔除一个变量都计为一步运算。
设R(0)经L步所得的R(L)为对于每一步，R(L)均同样按式(2)变换成R(L+1)。
设引入或剔除的变量为Xg(g为该变量的下标)，按式(2)作变换Lg，则R(L)成R(L+1)时，两矩阵中的各元素rij，有如下关系式：3. 选自变量。
(1) 引入未选量。
按式(3)计算各未选量的偏回归平方和V j(L+1)，找出其中最大者，记作Va(L+1)，就它所对应的自变量Xa按式(4)作F检验：式中m′为已引入变量的个数。
当F1>F*时引入变量X a，并对R(L)按式(2)作变换La，得R(L+1);当F1≤F*时挑选变量工作就此结束。
(2)剔除已选量。
引入新变量后，对原先引入的已选量分别计算其偏回归平方和Vj(L)：找出V j(L)中最小者，记作Vb(L)。
就Vb(L)所对应的自变量X b按式(6)作F检验。
当F2≤F*时，剔除Xb，并对R(L)按式(2)作变换Lb得R(L+1);下一步对其余已选量再按式(5)、(6)求Vj并作F检验，直到已选量中没有可剔除时为止;当F2>F*时，已选量都不能被剔除，于是再考虑从未选量中能否引入新变量。
如此反复进行到第L步，若已选量都不能被剔除，未选量都不能引入时，逐步运算结束。
4. 求回归方程。
由相关矩阵R(L)求得的回归方程称为标准回归方程，式中b′j是标准偏回归系数，按式(7)求得。
b'j=rj.m+1(L)。
(7)实用中多元线性回归方程常用变量Xj的原单位，因此须再按式(8)求化成原单位后X j的偏回归系数b j，＝l YY，即Y的离均差平方和，l jj为X j的离均差平方和。
逐步回归分析
第6节逐步回归分析逐步回归分析实质上就是建立最优的多元线性回归方程，显然既实用而应用又最广泛。
逐步回归分析概述1 概念逐步回归模型是以已知地理数据序列为基础，根据多元回归分析法和求解求逆紧凑变换法及双检验法而建立的能够反映地理要素之间变化关系的最优回归模型。
逐步回归分析是指在多元线性回归分析中，利用求解求逆紧奏变换法和双检验法，来研究和建立最优回归方程的并用于地理分析和地理决策的多元线性回归分析。
它实质上就是多元线性回归分析的基础上派生出一种研究和建立最优多元线性回归方程的算法技巧。
主要含义如下： 1）逐步回归分析的理论基础是多元线性回归分析法；2）逐步回归分析的算法技巧是求解求逆紧奏变换法；3）逐步回归分析的方法技巧是双检验法，即引进和剔除检验法； 4）逐步回归分析的核心任务是建立最优回归方程；5）逐步回归分析的主要作用是降维。
主要用途：主要用于因果关系分析、聚类分析、区域规划、综合评价等等。
2 最优回归模型1）概念最优回归模型是指仅包含对因变量有显著影响的自变量的回归方程。
逐步回归分析就是解决如何建立最优回归方程的问题。
2）最优回归模型的含义 最优回归模型的含义有两点： （1）自变量个数自变量个数要尽可能多，因为通过筛选自变量的办法，选取自变量的个数越多，回归平方和越大，剩余平方和越小，则回归分析效果就越好，这也是提高回归模型分析效果的重要条件。
（2）自变量显著性自变量对因变量y 有显著影响，建立最优回归模型的目的主要是用于预测和分析，自然要求自变量个数尽可能少，且对因变量y 有显著影响。
若自变量个数越多，一方面预测计算量大，另一方面因n 固定，所以Q S k n Q→--1增大，即造成剩余标准差增大，故要求自变量个数要适中。
且引入和剔除自变量时都要进行显著性检验，使之达到最优化状态，所以此回归方程又称为优化模型。
3 最优回归模型的选择方法最优回归模型的选择方法是一种经验性发展方法，主要有以下四种：(1）组合优选法组合优选法是指从变量组合而建立的所有回归方程中选取最优着。
逐步回归方法
逐步回归方法
逐步回归是一种常用的回归分析方法,它通过逐步调整每个自变量的值来最小化残差平方和(sum of Squared Error,SSE)。
具体来说,逐步回归方法通过迭代计算每个自变量对目标变量的预测贡献,然后逐步调整每个自变量的值,直到
达到最小化SSE的目的。
逐步回归方法的基本原理是,通过逐步调整每个自变量的值,使得预测结果
与实际结果之间的残差平方和最小化。
在具体实现中,逐步回归方法通常包括以下步骤:
1. 确定目标变量和残差平方和的测量方式。
2. 初始化所有自变量的值,并计算每个自变量对目标变量的残差平方和的
贡献。
3. 确定每个自变量的最佳初始值,通常通过最小化残差平方和来寻找最佳值。
4. 逐步调整每个自变量的值,直到残差平方和不再发生变化。
5. 重复步骤3和4,直到所有自变量都被调整完毕。
逐步回归方法可以应用于多种回归分析场景,例如多元线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
在实际应用中,逐步回归方法可以帮助研究人员更好地理解模型的结构,并优化模型的预测性能。
除了逐步回归方法,还有其他的回归分析方法,例如岭回归、局部线性回归等。
这些方法各有优缺点,应根据具体情况进行选择。
在回归分析中,还应该考虑数据预处理、特征选择等方法,以提高模型的预测性能和泛化能力。
逐步回归分析计算公式
逐步回归分析计算公式
1 什么是逐步回归分析
逐步回归分析是用于确定预测变量和因变量之间关系的一种统计
分析方法。
它是指在回归分析中，系统地添加或删除一组变量，然后
用残差（即预测可解释的差异）来衡量模型的拟合度。
它的优势在于，可以用一组解释变量构建解决模型，然后将预测乏味的变量剔除出去，从而减少不必要的参数，从而帮助我们构建更有用的模型。
2 逐步回归分析的步骤
逐步回归分析的步骤包括：
（1）选择变量：首先，将解释变量划分为完全回归和分步回归，
然后在完全回归变量上开展分析；
（2）运行完全回归：依据变量组合，在完全回归模型中运行变量，以检验哪些变量对预测因变量有显著影响；
（3）添加其他变量：根据完全回归模型，仔细检查模型中有哪些
变量，以便加入更多变量；
（4）删除不必要的变量：从有效的模型中移除不必要的变量，以
避免多重共线性；
（5）重复步骤2：重复步骤2并继续检验其中解释变量的有效性，测试将每个新变量添加到回归模型中是否可以改进拟合度。
3 逐步回归分析的优缺点
逐步回归分析的优点是，它有助于减少多重共线性的可能性；它也提高了模型的准确性和可解释性；它可以检查变量对主题的对照作用，以进一步框定研究的范围。
然而，它也有相应的缺点，如它的拟合评估可能不准确，主要由于它忽略了随机游走现象，因此受多重共线性和附加变量影响较大。
因此，利用逐步回归分析时，需要仔细考虑变量之间的关系，并严格观察模型的拟合度，以确保模型的准确性和可解释性。
逐步回归分析的原理
逐步回归分析的原理
逐步回归分析是一种利用回归模型来预测和解释变量之间关系的统计方法。
其原理是通过逐步引入和排除变量来建立一个最优的回归模型。
具体过程如下：
1. 初始模型：从变量集合中选择一个作为初始模型。
2. 逐步迭代：在每一步迭代中，将未被包含在模型中的变量逐个引入，并计算引入后的模型的性能指标（如最小二乘法的残差平方和）。
3. 变量选择：根据性能指标选择最优的变量，并将其纳入模型中。
可以使用各种准则，如AIC（赤池信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）等。
4. 终止条件：重复上述步骤，直到不能再引入新的变量或者所有剩余变量均无法进一步提升模型的性能指标。
5. 模型评估：对最终选定的模型进行评估，包括检验模型的合理性和假设的成立程度，如残差分析、正态性检验等。
逐步回归分析的优点在于可以在包含大量自变量的情况下选择出对因变量具有显著影响的变量，降低了维度和提高了模型的预测能力。
然而，逐步回归也存在一些问题，如可能出现过拟合问题，选择的变量可能与样本数据具体情况相关，不一定适用于其他数据集。
因此，在进行逐步回归分析时需要谨慎选择变量和进行模型评估。
回归分析多元逐步回归
多元回归模型首先将实际问题所提取的全部变量引 入方程，然后再根据变量的显著性检验把方程中不重 要的变量逐一剔除，建立新方程。
缺点：（1）首先在实际问题中，要提取合 适的变量来建立回归方程本身不是一件很容易 的事情，变量间可能存在高度的相互依赖性会 给回归系数的估计带来不合理的解释；
有更大的回归平方和。
§2.5.1 逐步回归算法的形成思路
如此继续下去，假设已经进行到 l 1 步，那第 l 步
是在未选的变量中选出这样一个变量，它与已选入回 归方程的变量组成 元回归方程，比其他余下的任何
一个变量组成的l 元回归方程，有更大的回归平方和。
逐步回归不仅考虑到按贡献大小逐一挑选重要变量， 而且还考虑到较早选入回归方程的某些变量，有可能 随着其后一些变量的选入而失去原有的重要性，这样 的变量也应当及时从回归方程中剔除，使回归方程中 始终只保留重要的变量。
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
（2）其次变量的一次性引入方程，易导致计 算量增大，运算效率降低，精度不够等问题。
§ 2.5 多元逐步回归算法原理
为了得到一个稳健的、可靠的回归模 型，这就需要给出一种方法，使得能从 影响 y 的因素中自动根据某种准则将y 对
逐步回归分析
逐步回归分析字体[大][中][小]逐步回归是多元回归中用以选择自变量的一种常用方法。
本条目重点介绍的是一种“向前法”。
此法的基本思想是：将自变量逐个地引入方程，引入的条件是该自变量的偏回归平方和在未选入的自变量(未选量)中是最大的，并经F检验是有显著性的。
另一方面，每引入一个新变量，要对先前已选入方程的变量(已选量)逐个进行F检验，将偏回归平方和最小且无显著性的变量剔除出方程，直至方程外的自变量不能再引入，方程中的自变量不能再剔除为止。
另一种是“向后法”，它的基本思想是：首先建立包括全部自变量的回归方程，然后逐步地剔除变量，先对每一自变量作F(或t)检验，剔除无显著性的变量中偏回归平方和最小的自变量，重新建立方程。
接着对方程外的自变量逐个进行F检验，将偏回归平方和最大且有显著性的变量引入方程。
重复上述过程，直至方程中的所有自变量都有显著性而方程外的自变量都没有显著性为止(例见条目“多元线性回归”例1、2)。
此法在自变量不多，特别是无显著性的自变量不多时可以使用。
与一般多元回归相比，用逐步回归法求得的回归方程有如下优点：它所含的自变量个数较少，便于应用;它的剩余标准差也较小，方程的稳定性较好; 由于每步都作检验，因而保证了方程中的所有自变量都是有显著性的。
逐步回归分析的主要用途是：(1)建立一个自变量个数较少的多元线性回归方程。
它和一般多元回归方程的用途一样，可用于描述某些因素与某一医学现象间的数量关系，疾病的预测预报，辅助诊断等等。
(2) 因素分析。
它有助于从大量因素中把对某一医学现象作用显著的因素或因素组找出来，因此在病因分析、疗效分析中有着广泛的应用。
但通常还须兼用“向前法”、“向后法”，并适当多采用几个F 检验的界值水准，结合专业分析，从中选定比较正确的结果。
求回归方程的方法步骤如下：设有含量为n的样本，对每个观察单位观察了m个自变量X j(j=1，2，…m)和一个应变量Y(可记为X m+1)，得原始数据如表1。
逐步回归分析结果解读
逐步回归分析结果解读
一步回归分析是通过研究因变量Y和自变量X的关系来对研究对象的特征进行分析。
可以检验自变量中哪个变量对因变量（即结果）有影响，以及影响程度有多大，从而决定用哪几个自变量去预测因变量。
一步回归分析结果的解读一般包括以下三个方面：
一是研究自变量与因变量的相关性。
这一步回归结果中会列出每一个自变量的协整系数，可以清楚的知道每一个自变量与因变量相关性的大小，从而选择有用的因素用于预测结果。
二是建立统计模型。
研究的过程中，要构建一个定性和定量数据分析的统计模型来描述自变量和因变量之间的线性关系，同时也能准确预测因变量的值。
三是验证统计模型。
一步回归结果中也记录着一系列的统计检验，如F检验，偏差平方和，R方，可以用于检验回归模型的整体拟合水平，也可以更好的研究自变量与因变量之间的相关关系，判断回归模型可否用于预测因变量。
总的来说，从一步回归分析的结果来解读，可以了解自变量和因变量之间的关系，构建一个统计模型来准确预测因变量的值，还可以通过一系列的统计检验来验证回归模型的有效性。
逐步回归分析法及其应用
逐步回归分析法及其应用逐步回归分析法是一种广泛应用于统计学和数据分析领域的统计技术，它被用来探索变量之间的关系，以及预测和解释数据的模式。
逐步回归分析法通过逐步添加变量和移除变量，找到最优的变量组合来解释因变量，同时使模型的复杂性最小化。
本文将介绍逐步回归分析法的基本原理、应用场景、案例分析以及需要注意的事项。
逐步回归分析法的基本原理逐步回归分析法基于最小二乘回归，通过向前逐步添加变量和向后逐步移除变量来建立最优的回归模型。
它通过构造一个评价函数，如AIC (Akaike Information Criterion)或BIC (Bayesian Information Criterion)，来评估模型的复杂度和拟合度。
逐步回归分析法的目标是找到一个既能解释因变量又能使模型复杂性最小的最优模型。
应用场景逐步回归分析法适用于多种数据分析和统计学应用场景，例如：因果分析：通过逐步回归分析法，可以找出哪些自变量对因变量有显著影响，以及它们的影响程度。
特征选择：在处理高维数据时，逐步回归分析法可以用来选择最重要的特征，以便构建更有效的模型。
时间序列预测：通过逐步回归分析法，可以建立时间序列预测模型，预测未来的趋势和变化。
案例分析以一个实际的例子来说明逐步回归分析法的应用。
假设我们有一个数据集包含了汽车的各项性能指标（如马力、油耗、车重等）和汽车的销售价格。
我们想知道哪些性能指标最能影响汽车的销售价格。
我们使用逐步回归分析法建立一个价格预测模型。
通过向前逐步添加变量和向后逐步移除变量，我们最终找到了一个最优模型，该模型仅包含两个变量：马力（Horsepower）和车重（Weight）。
这个模型告诉我们，汽车的马力越大、车重越轻，销售价格就越高。
接下来，我们使用残差和斜率进一步分析这个模型。
残差是实际值与模型预测值之间的差异，斜率是因变量对自变量的变化率。
通过观察残差和斜率，我们可以得出以下马力对价格的影响比车重更大，因为马力的斜率大于车重的斜率。
逐步多元回归分析步骤
逐步多元回归分析步骤逐步多元回归分析是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与因变量之间的关系。
它通过逐步引入自变量，以逐步提高回归模型的准确性和预测能力。
本文将介绍逐步多元回归分析的步骤，包括问题定义、变量选择、模型拟合和模型评估等。
步骤一：问题定义在进行逐步多元回归分析之前，首先需要明确研究的目的和问题。
这包括确定因变量和自变量，并明确要解决的研究问题。
例如，我们可以研究一些产品的销量与价格、广告投入和市场规模之间的关系，以确定哪些因素对销量影响最大。
步骤二：变量选择变量选择是逐步多元回归分析中最关键的一步。
在这一步中，我们需要选择适当的自变量，并逐步引入到回归模型中。
通常，可以使用相关系数矩阵和散点图等方法来评估自变量与因变量之间的关系。
选择自变量时，应尽量选择与因变量显著相关的变量，并避免选择高度相关的自变量（即多重共线性）。
步骤三：模型拟合在确定自变量后，我们需要建立逐步多元回归模型。
一种常用的方法是逐步回归法，它分为前向选择和后向剔除两种方法。
前向选择从空模型开始，依次引入自变量，每次只引入一个自变量，并根据F检验或t检验判断是否显著，直到所有自变量都引入到模型中。
反之，后向剔除从包含所有自变量的模型开始，逐步剔除不显著的自变量，直到所有的自变量都被剔除。
步骤四：模型评估在模型拟合之后，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合程度和预测能力。
通常，可以使用拟合优度指标（如R方和调整的R方）来评估模型的拟合程度。
此外，还可以使用共线性统计量来检测模型中是否存在多重共线性问题。
如果模型存在多重共线性，应采取相应的措施，如去除高度相关的自变量或使用主成分分析等。
步骤五：模型解释和应用最后，在模型评估之后，我们可以对模型进行解释，并根据模型的结果进行相应的应用。
在解释模型时，应关注各个自变量的回归系数和显著性水平，以确定自变量对因变量的影响。
在应用模型时，可以使用模型进行预测、推断和决策等。
逐步回归分析
逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x 之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x 因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y 与自变量x 之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y 影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls ），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y ：历年病情指数 x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株) x2：前年冬季极端气温 x3：5月份最高气温 x4：5月份最低气温 x11：5月份均温 x12：5月份降水量 x13：6月份均温 x14：6月份降水量 x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量x5：3~5月份降水量x6：4~6月份降水量x7：3~5月份均温x8：4~6月份均温x9：4月份降水量x10：4月份均温x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
回归分析逐步回归分析
43(1)
最优回归方程的问题
• 在有p个自变量的情况下，根据自变量的不 同组合可能建立的回归方程众多。这些回 归方程的效果有好有坏，而人们希望的是 回归效果最好的，即“最优”的回归方程
• 最优回归方程的要求：
– 回归效果最佳 – 自变量的个数最少
• 一方面对因变量起显著作用的自变量都选进回归方 程，另一方面对因变量作用不显著的自变量都剔除 回归方程，选择一个最佳的变量组合
标准正规方程组
•
标准化正规方程组的解
ˆ
* j
称为标准回归系
数，其常数项 ˆ0* 为0 。由于因变量也进行
了标准化，其总离差平方和 Lyy=1
• 求解标准化正规方程组还需要解决以下两
个问题
①引入变量和剔除变量的标准；
②引入变量与剔除变量的方法。
43(10)
二、变量的引入、剔除与消去法的关系
• 假定已有 l 个自变量引入到回归方程，即
43(8)
标准正规方程组
• 由标准化数据建立的正规方程组的系数矩 阵即为变量间的相关系数矩阵，称为标准 化正规方程组
• 标准化正规方程组为：
r11ˆ1* r12ˆ2* r21ˆ1* r22ˆ2*
rp1ˆ1* rp2ˆ2*
r1
p
ˆ
* p
r1 y
r2
p
ˆ
* p
r2 y
rpp
ˆ
* p
rpy
43(9)
• 由于回归系数和自变量所取的单位(或数量级)有 关，而各个自变量取不同的量纲的情况是常见的， 因而不能将回归系数直接进行比较
43(7)
建立标准正规方程组
• 为了消除这个影响，对自变量和因变量都 要加以标准化
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逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x 之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x 因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y 与自变量x 之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y 影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls ），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y ：历年病情指数 x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株) x2：前年冬季极端气温 x3：5月份最高气温 x4：5月份最低气温 x5：3~5月份降水量 x6：4~6月份降水量 x7：3~5月份均温 x8：4~6月份均温 x9：4月份降水量 x11：5月份均温x12：5月份降水量x13：6月份均温x14：6月份降水量x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温x10：4月份均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
数据工作区如下图3-1显示。
图3-12）启动线性回归过程单击SPSS主菜单的“Analyze”下的“Regression”中“Linear”项，将打开如图3-2所示的线性回归过程窗口。
图3-2 线性回归对话窗口3) 设置分析变量设置因变量：将左边变量列表中的“y”变量，选入到“Dependent”因变量显示栏里。
设置自变量：将左边变量列表中的“x1”~“x21”变量，全部选移到“Independent(S)”自变量栏里。
设置控制变量: 本例子中不使用控制变量，所以不选择任何变量。
选择标签变量: 选择“年份”为标签变量。
选择加权变量: 本例子没有加权变量，因此不作任何设置。
4）回归方式在“Method”分析方法框中选中“Stepwise”逐步分析方法。
该方法是根据“Options”选择对话框中显著性检验（F）的设置，在方程中进入或剔除单个变量，直到所建立的方程中不再含有可加入或可剔除的变量为止。
设置后的对话窗口如图3-3。
图3-35)设置变量检验水平在图6-15主对话框里单击“Options”按钮，将打开如图3-4所示的对话框。
图3-4“Stepping Method Criteria”框里的设置用于逐步回归分析的选择标准。
其中“Use probability of F”选项，提供设置显著性F检验的概率。
如果一个变量的F检验概率小于或等于进入“Entry”栏里设置的值，那么这个变量将被选入回归方程中；当回归方程中变量的F值检验概率大于剔除“Removal”栏里设置的值，则该变量将从回归方程中被剔除。
由此可见，设置F检验概率时，应使进入值小于剔除值。
“Ues F value”选项，提供设置显著性F检验的分布值。
如果一个变量的F 值大于所设置的进入值（Entry），那么这个变量将被选入回归方程中；当回归方程中变量的F值小于设置的剔除值（Removal），则该变量将从回归方程中被剔除。
同时，设置F分布值时，应该使进入值大于剔除值。
本例子使用显著性F检验的概率，在进入“Entry”栏里设置为“0.15”，在剔除“Removal”栏里设置为“0.20”（剔除的概率值应比进入的值大），如图6-17所示。
图6-17窗口中的其它设置参照一元回归设置。
6）设置输出统计量在主对话图3-2窗口中，单击“Statistics”按钮，将打开如图6-18所示的对话框。
该对话框用于设置相关参数。
其中各项的意义分别为：图3-5 “Statistics”对话框①“Regression Coefficients”回归系数选项：“Estimates”输出回归系数和相关统计量。
“Confidence interval”回归系数的95%置信区间。
“Covariance matrix”回归系数的方差-协方差矩阵。
本例子选择“Estimates”输出回归系数和相关统计量。
②“Residuals”残差选项：“Durbin-Watson”Durbin-Watson检验。
“Casewise diagnostic”输出满足选择条件的观测量的相关信息。
选择该项，下面两项处于可选状态：“Outliers outside standard deviations”选择标准化残差的绝对值大于输入值的观测量；“All cases”选择所有观测量。
本例子都不选。
③其它输入选项“Model fit”输出相关系数、相关系数平方、调整系数、估计标准误、ANOVA 表。
“R squared change”输出由于加入和剔除变量而引起的复相关系数平方的变化。
“Descriptives”输出变量矩阵、标准差和相关系数单侧显著性水平矩阵。
“Part and partial correlation”相关系数和偏相关系数。
“Collinearity diagnostics”显示单个变量和共线性分析的公差。
本例子选择“Model fit”项。
7）绘图选项在主对话框单击“Plots”按钮，将打开如图3-6所示的对话框窗口。
该对话框用于设置要绘制的图形的参数。
图中的“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
图3-6“Plots”绘图对话框窗口左上框中各项的意义分别为：•“DEPENDNT”因变量。
•“ZPRED”标准化预测值。
•“ZRESID”标准化残差。
•“DRESID”删除残差。
•“ADJPRED”调节预测值。
•“SRESID”学生氏化残差。
•“SDRESID”学生氏化删除残差。
“Standardized Residual Plots”设置各变量的标准化残差图形输出。
其中共包含两个选项：“Histogram”用直方图显示标准化残差。
“Normal probability plots”比较标准化残差与正态残差的分布示意图。
“Produce all partial plot”偏残差图。
对每一个自变量生成其残差对因变量残差的散点图。
本例子不作绘图，不选择。
8) 保存分析数据的选项在主对话框里单击“Save”按钮，将打开如图3-7所示的对话框。
图3-7“Save”对话框①“Predicted Values”预测值栏选项：Unstandardized 非标准化预测值。
就会在当前数据文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名的变量，存放根据回归模型拟合的预测值。
Standardized 标准化预测值。
Adjusted 调整后预测值。
S.E. of mean predictions 预测值的标准误。
本例选中“Unstandardized”非标准化预测值。
②“Distances”距离栏选项：Mahalanobis: 距离。
Cook’s”: Cook距离。
Leverage values: 杠杆值。
③“Prediction Intervals”预测区间选项：Mean: 区间的中心位置。
Individual: 观测量上限和下限的预测区间。
在当前数据文件中新添加一个以字符“LICI_”开头命名的变量，存放预测区间下限值；以字符“UICI_”开头命名的变量，存放预测区间上限值。
Confidence Interval：置信度。
本例不选。
④“Save to New File”保存为新文件：选中“Coefficient statistics”项将回归系数保存到指定的文件中。
本例不选。
⑤ “Export model information to XML file”导出统计过程中的回归模型信息到指定文件。
本例不选。
⑥“Residuals” 保存残差选项：“Unstandardized”非标准化残差。
“Standardized”标准化残差。
“Studentized”学生氏化残差。
“Deleted”删除残差。
“Studentized deleted”学生氏化删除残差。
本例不选。
⑦“Influence Statistics” 统计量的影响。
“DfBeta(s)”删除一个特定的观测值所引起的回归系数的变化。
“Standardized DfBeta(s)”标准化的DfBeta值。
“DiFit” 删除一个特定的观测值所引起的预测值的变化。
“Standardized DiFit”标准化的DiFit值。
“Covariance ratio”删除一个观测值后的协方差矩隈的行列式和带有全部观测值的协方差矩阵的行列式的比率。
本例子不保存任何分析变量，不选择。
9）提交执行在主对话框里单击“OK”，提交执行，结果将显示在输出窗口中。
主要结果见表6-10至表6-13。
10) 结果分析主要结果:表6-10 是逐步回归每一步进入或剔除回归模型中的变量情况。
表6-11 是逐步回归每一步的回归模型的统计量：R 是相关系数；R Square 相关系数的平方，又称判定系数，判定线性回归的拟合程度：用来说明用自变量解释因变量变异的程度（所占比例）；Adjusted R Square 调整后的判定系数；Std. Error of the Estimate 估计标准误差。
表6-12 是逐步回归每一步的回归模型的方差分析，F值为10.930，显著性概率是0.001，表明回归极显著。
表6-13 是逐步回归每一步的回归方程系数表。
分析:建立回归模型：根据多元回归模型：从6-13中看出，过程一共运行了四步，最后一步以就是表中的第4步的计算结果得知：21个变量中只进入了4个变量x15、x4、x7和 x5。
把表6-13中“非标准化回归系数”栏目中的“B”列数据代入多元回归模型得到预报方程：预测值的标准差可用剩余标准差估计：回归方程的显著性检验：从表6-12方差分析表第4模型中得知：F统计量为622.72，系统自动检验的显著性水平为0.0000（非常小）。