2017-2018学年上海市浦东新区华师大二中高二(上)期中数学试卷

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2017-2018年上海市上海中学高二上数学期中考试

上海中学高二期中试卷2017.11一. 填空题1.直线350x --=的倾斜角大小为2. 过点(2,1)A -与(1,2)B 半径最小的圆的方程为3. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 4. 一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂直，则这条直线方程为5. 行列式351236724---中，元素6-的代数余子式的值为6. 过点(2017,2017)P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为7.4=上的点到原点的最短距离为8. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是9. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(6,0)A ，(2,6)B -，若点C 满足 OC OA OB αβ=+，其中21αβ+=，则点C 的轨迹方程为10. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值大小与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是11. 已知OA a =，OB b =，若13OC a =，34OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则OE = （用a 、b 表示）12. 已知正三角形的三个顶点(0,0)A 、(2,0)B、C ，一质点从AB 的中点0P 沿与 AB 夹角为θ的方向射到BC 边上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P ，若 1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为二. 选择题13. 已知向量(1,2)a =，(2,3)b x =-，若a //b ，则x =（）A. 3B. 34C. 3-D. 34-14. 若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m =（） A. 3- B. 1 C. 43D. 3 15. 动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++()λ∈R ，动点P 一定会过 △ABC 的（）A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a 、b ，||||1a b ==，0a b ⋅=，点Q 满足 2()OQ a b =+，曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤<，区域{|0P r Ω=<≤ ||,}PQ R r R ≤<，若C Ω为两段分离的曲线，则（）A. 13r R <<<B. 13r R <<≤C. 13r R ≤<<D. 13r R <<< 三. 解答题17. 若a 与b 是夹角为120°的两个单位向量. （1）若2a b -与a kb +垂直，求k ；（2）求2a b +与a b -的夹角.18. 运用行列式讨论关于x 、y 的方程组22(1)(1)1(1)(1)2a x a y a x a y ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩解的个数，并解出此方程组.19. 设集合1{(,)||2|}2A x y y x =≥-，{(,)|||}B x y y x b =≤-+，A B ≠∅.（1）求b 的取值范围；（2）若(,)x y A B ∈，且x y +的最大值为9，求b 的值；（3）当12b <≤时，若(,)x y AB ∈，求kx y +的最大值.20. 过点(2,1)P -的直线l 分别交12y x =(0)x ≥与2y x =-(0)x ≥于A 、B 两点. （1）设△AOB 的面积为245，求直线l 的方程；（2）当||||PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.21. 已知圆222:O x y r +=（O 为原点），与x 轴不重合的动直线l 过定点(,0)D m(0)m r >>，且与圆O 交于P 、Q 两点（允许P 、Q 重合），点S 为点P 关于x 轴的对称点. （1）若2m =，1r =，P 、Q 重合，求直线SQ 与x 轴的交点坐标；（2）求△OSQ 面积的最大值.参考答案一. 填空题 1. 3π 2. 22315()()222x y -+-= 3. 2- 4. 2114170x y -+=5. 296. 4034x y +=或y x =7.8. 3m ≥9. 65180x y +-= 10. a ≥11. 1293a b + 12.二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. A三. 解答题17.（1）54；（2）3π. 18. 当1a =时，无解；当1a ≠时，223(1)(22)a x a a a +=-++，21(1)(22)a y a a a -=-++. 19.（1）1b ≥；（2）9b =；（3）当(,1)k ∈-∞-，最大值2223k kb b -++；当[1,1]k ∈-，最大值b ；当(1,)k ∈+∞，最大值222kb k b -+-.20.（1）11122y x =-；（2）37y x =-.21.（1）1(,0)2；（2）当r m <≤，2max 2r S =；当m >，max 2r S m =.。

2017-2018年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一．填空题（每题3分，共12题，满分36分）1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，且a1+a5=12，a4=7，则a n=（n∈N*）．2．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则q=．3．（3分）b2=ac是a，b，c成等比数列的条件．4．（3分）若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为．5．（3分）已知向量⊥，则实数k=．6．（3分）已知数列{a n}的前n项的和S n=3n2+2n+1，则a n=．7．（3分）已知|=．8．（3分）在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n=（n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上．9．（3分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+4bx+c的图象与x轴交点的个数是．10．（3分）如果，则实数a的取值范围是．11．（3分）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一个项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列就叫做“等和数列”，这个常数叫做公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为6，求这个数列的前n项的和S=．12．（3分）在等差数列{a n}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n 成立（n＜19，n∈N*）．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9=1，则有等式成立．二、选择题（每小题4分，共4题，满分16分）13．（4分）使数列的自然数n 的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1114．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0与x2﹣2x+n=0（m≠n），的四个根可组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|的值为．（）A．1 B．C．D．15．（4分）直角坐标系xoy中，分别表示x轴，y轴正方向的单位向量，在Rt△ABC中，若，则k可能的取值个数为．（）A．1 B．2 C．3 D．416．（4分）已知数列{log 2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则（++…+）=（）A．1 B．C．2 D．三．解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）已知两个非零向量不平行，（1）如果=，求证A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k平行．19．（10分）已知数列{a n}满足a1=4，2a n+1=a n+1．（1）求{a n}的通项公式和a5；（2）若要使a≤，求n的取值范围．20．（8分）已知等比数列{a n}，它的前n项和记为S n，首项为a，公比为q （0＜q＜1），设G n=a12+a22+…+a n2，求的值．21．（10分）浦东新区某镇投入资金进行生态环境建设，2017年度计划投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，今年该镇旅游收入估计500万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加；（1）设n年内（今年为第一年）总投入为a n万元，旅游总收入为b n万元，写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入．2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（每题3分，共12题，满分36分）1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，且a1+a5=12，a4=7，则a n=n+3（n∈N*）．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1+a5=12，得2a3=12，即a3=6，又a4=7，∴d=a4﹣a3=7﹣6=1，∴a n=a4+（n﹣4）d=7+（n﹣4）×1=n+3．故答案为：n+3．2．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则q=±．【解答】解：设公比为q，∵a1+a2=30，a3+a4=60，∴=q2=2，∴q=±，故答案为：±3．（3分）b2=ac是a，b，c成等比数列的必要非充分条件．【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件故答案为：必要非充分4．（3分）若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为3：4：5．【解答】解：若直角三角形的三条边的长成等差数列，我们不妨设三边长为a﹣d，a，a+d（d＞0）则由勾股定理得：（a﹣d）2+a2=（a+d）2解得d=则三边长为：，a，故三边从小到大之比为3：4：5故答案为：3：4：55．（3分）已知向量⊥，则实数k=k=﹣3或k=4．【解答】解：根据题意，向量=（k﹣1，3），=（k，4），若⊥，则•=（k﹣1）k﹣12=0，解可得：k=﹣3或k=4；故答案为：k=﹣3或k=4．6．（3分）已知数列{a n}的前n项的和S n=3n2+2n+1，则a n=．【解答】解：根据题意，数列{a n}的前n项的和S n=3n2+2n+1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（3n2+2n+1）﹣[3（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=6n﹣1；当n=1时，a1=s1=3+2+1=6，且a1=6不符合a n=6n﹣1，故a n=；故答案为：．7．（3分）已知|=4．【解答】解：|=3且，则向量在向量上的投影等于||cos＜，＞===4．故答案为：48．（3分）在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n=（n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上4k+3．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+3+…+2k，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+2k+（2k+1）+（2k+2），即当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上2k+1+2k+2即为4k+3故答案为：4k+39．（3分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+4bx+c的图象与x轴交点的个数是2．【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，且ac＞0，令ax2+4bx+c=0（a≠0）则△=16b2﹣4ac=16ac﹣4ac＞0，所以函数f（x）=ax2+4bx+c的图象与x轴的交点个数是2个．故答案为：2．10．（3分）如果，则实数a的取值范围是﹣4＜a＜2．【解答】解：∵==∴∴∴﹣3＜a+1＜3∴﹣4＜a＜2故答案为：﹣4＜a＜211．（3分）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一个项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列就叫做“等和数列”，这个常数叫做公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为6，求这个数列的前n项的和S=．【解答】解：由题意知，a n+a n+1=6，且a1=2，所以，a1+a2=6，得a2=4，a3=2，a4=4， (2)=2，a2n=4…，﹣1当n为偶数时s n=（2+4）+（2+4）+（2+4）+…+（2+4）=6×=3n，当n为奇数时s n=（2+4）+（2+4）+…（2+4）+2=6×+2=3n﹣1，故答案为：．12．（3分）在等差数列{a n}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n 成立（n＜19，n∈N*）．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9=1，则有等式b1b2…b n=b1b2…b17﹣n（n＜17，n∈N*）成立．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n 成立（n＜19，n∈N*）．，故相应的在等比数列{b n}中，若b9=1，则有等式b1b2…b n=b1b2…b17﹣n（n＜17，n ∈N*）故答案为：b1b2…b n=b1b2…b17﹣n（n＜17，n∈N*）．二、选择题（每小题4分，共4题，满分16分）13．（4分）使数列的自然数n 的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：令数列前n项积为T n，则T n==，令，即n2+n＞110当n=10时，n2+n=110，当n=11时，n2+n＞110故选：D．14．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0与x2﹣2x+n=0（m≠n），的四个根可组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|的值为．（）A．1 B．C．D．【解答】解：设a，b为方程x2﹣2x+m=0的两根，则a+b=2，c，d为方程x2﹣2x+n=0的两根，则c+d=2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a=，则b=2﹣，这个等差数列的顺序为，c，d，，则c=，d=．∴m=ab=，n=cd=，∴|m﹣n|=||=．故选：C．15．（4分）直角坐标系xoy中，分别表示x轴，y轴正方向的单位向量，在Rt△ABC中，若，则k可能的取值个数为．（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当∠CAB为直角时，•=0即（2+）（3+k）=6+k=0，解得k=﹣6；当∠ABC为直角时，•=0即（2+）[+（k﹣1）]=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；当∠BCA为直角时，•=0即（3+k）[+（k﹣1）]=3+k（k﹣1）=0，无解；k可取的值有2个；故选：B．16．（4分）已知数列{log 2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则（++…+）=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，设其公差为d，则log2（a n﹣1）﹣log2（a n﹣1﹣1）=d，即=2d，又由a1=3，a2=5，则d=1，即=2，{a n﹣1}是以a1﹣1=2为首项，公比为2的等比数列，进而可得，a n﹣1=2n，则a n=2n+1，故a n﹣a n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，则（++…+）=（++…+）=1，故选：A．三．解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．∴，解得a1=9，d=﹣2，∴a n=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．（2）{a n}的前n项和S n==﹣n2+10n=﹣（n﹣5）2+25，∴当n=5时，S n取得最大值2518．（10分）已知两个非零向量不平行，（1）如果=，求证A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k平行．【解答】解：（1）∵=，∴=++=6+6=6，∴∥，∴A，B，D三点共线．（2）设k平行，∴，k2=1∴k=±1，∴k=±1时，k平行．19．（10分）已知数列{a n}满足a1=4，2a n+1=a n+1．（1）求{a n}的通项公式和a5；（2）若要使a≤，求n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足2a n+1=a n+1，﹣1）=a n﹣1，变形可得2（a n+1即=，又由a1=4，则a1﹣1=3，则数列{a n﹣1}是以a1﹣1=3为首项，公比为的等比数列，则有a n﹣1=3×（）n﹣1，则a n=3×（）n﹣1+1，a5=3×（）4+1=，（2）由（1）可得：a n=3×（）n﹣1+1，若a n≤，即3×（）n﹣1+1≤，解可得n≥10，又由n∈N，则n 的取值范围为n≥10且n∈N．20．（8分）已知等比数列{a n}，它的前n项和记为S n，首项为a，公比为q （0＜q＜1），设G n=a12+a22+…+a n2，求的值．【解答】解：∵数列{a}为等比数列，首项为a，公比为q．∴数列{}也为等比数列，首项为a2，公比为q2．∴那么：．21．（10分）浦东新区某镇投入资金进行生态环境建设，2017年度计划投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，今年该镇旅游收入估计500万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加；（1）设n年内（今年为第一年）总投入为a n万元，旅游总收入为b n万元，写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入．【解答】解：（1）∵2017年度计划投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，今年该镇旅游收入估计500万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加，∴设n年内（今年为第一年）总投入：a n=800+800（1﹣）+800（1﹣）2+…+800（1﹣）n﹣1 =800[1+〕=4000〔1﹣（）n〕旅游总收入：b n=500+500（1+）+500（1+）2+…+500（1+）n﹣1=500[1+]=2000〔（）n﹣1〕．（2）设经过n年，旅游业的总收入超过总投入：200[（）n﹣1]＞400[1﹣（）n]，∴（）n+2（）n﹣3＞0，∴[（）n﹣1][（）n﹣2]＞0，∴（）n＞2∴n≥4．故至少经过4年，旅游业的总收入才能超过总投入．。

上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、填空题1．4和10的等差中项是．2．等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=．3．向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=．4．=．5．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为．6．等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=．7．S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8=．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则=．9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为．10．在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．11．若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为．12．数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于．二、选做题13．=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣214．已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n是（）A．7 B．7或8 C．8 D．915．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a416．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0三、解答题17．在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式a n及前n项和S n．18．已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．=2a n+1（n∈N*）19．已知数列满足a1=1，a n+1（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．20．已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m的值．21．已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k之间插入b k（k∈N*）+1后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．4和10的等差中项是7．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项的定义即可得出．【解答】解：4和10的等差中项==7，故答案为：7．2．等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=162．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1=2，公比q=3，得a5=．故答案为：162．3．向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=（，﹣）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】与向量同向的单位向量是【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴与同向的单位向量=（，﹣），故答案为：（，﹣）．4．=2．【考点】极限及其运算．【分析】利用=，即可得出结论．【解答】解：==2，故答案为：2．5．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为（0，3）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】市场P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解：设P（a，b），点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，可得（a﹣2，b+1）=2（﹣1﹣a，5﹣b），可得a﹣2=﹣2﹣2a，b+1=10﹣2b，解得a=0，b=3．点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．6．等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=16．【考点】等比数列的通项公式．【分析】有已知求出q2，再由得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2=1，a4=4，得，∴．故答案为：16．7．S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n+2（n≥2，n∈N*），则S8=64．﹣1【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a n=a n+2（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是公差为2的等差数列，﹣1又a4=7，∴a1+3×2=7，解得a1=1．∴S8=8+=64．故答案为：64．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，等边三角形ABC的边长为1，可知两向量模已知，夹角已知，故易求【解答】解：由题意，等边三角形ABC的边长为1，∴=﹣=﹣1×1×cos60°=﹣故答案为﹣9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量投影的意义解答．【解答】解：由已知向量在向量上的投影为==﹣1；故答案为：﹣1．10．在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．【考点】数列递推式．【分析】由S n=n2+1，n∈N*，可得n=1时，a1=S1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n，即可得出．﹣1【解答】解：∵S n=n2+1，n∈N*，∴n=1时，a1=S1=2，=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1则a n=．故答案为：．11．若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求出首项和通项公式（n≥2），把首项代入求a，得到等比数列的通项公式，求出公比，代入无穷递缩等比数列的所有项和的公式得答案．【解答】解：由，得，=（n≥2），∵数列{a n}是等比数列，∴，得a=﹣1．∴，则，则数列{a n}的各项和为．故答案为：﹣1．12．数列{a n}中，a n=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于3．+1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．【解答】解：∵且a1=2，∴a2===﹣3，a3===﹣，a4===，a5===2，不难发现数列{a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，∴数列{a n}前2015项的积为：=3，故答案为：3．二、选做题13．=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可．【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥，所以4=2k，解得k=2；故选：B．14．已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n是（）A．7 B．7或8 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】S n=n2﹣15n看作关于n的二次函数．结合二次函数的图象与性质可以求解．【解答】解：S n=n2﹣15n=（n﹣）2﹣，∴数列{S n}的图象是分布在抛物线y=（x﹣）2﹣上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以x=为对称轴，且|﹣7|=|8﹣|，所以当n=7，8时，S n有最小值．故选B．15．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．16．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】等比数列的通项公式；命题的真假判断与应用；等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的概念判断①；由充分必要条件的判断方法判断②；举例说明③④错误；【解答】解：对于①，若2b=a+c，则b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差数列，故①正确；对于②，由b2=ac，不一定有a，b，c成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴b2=ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，故②错误；对于③，若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列错误，如1，2，4成等比数列，但﹣1，﹣，2不是等比数列，故③错误；对于④，由，不一定有，如，故④错误．∴正确命题的个数是1个，故选：C．三、解答题17．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2=2，a 2+a 3=10，求通项公式a n 及前n 项和S n ．【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=2，a 2+a 3=10，可得2a 1+d=2，2a 1+3d=10，联立解得a 1，d ．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2=2，a 2+a 3=10，∴2a 1+d=2，2a 1+3d=10，联立解得a 1=﹣1，d=4．∴通项公式a n =﹣1+4（n ﹣1）=4n ﹣5，前n 项和S n ==2n 2﹣3n ．18．已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．【解答】解：|3﹣2|2==36+36﹣12×=36；|3﹣2|=6．19．已知数列满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N*）（1）求证：数列{a n +1}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）给等式a n +1=2a n +1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{a n +1}是等比数列，得证；（2）设数列{a n +1}的公比为2，根据首项为a 1+1等于2，写出数列{a n +1}的通项公式，变形后即可得到{a n }的通项公式．【解答】解：（1）由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2（a n +1），又a n +1≠0，∴=2，即{a n +1}为等比数列；（2）由（1）知a n +1=（a 1+1）q n ﹣1，即a n =（a 1+1）q n ﹣1﹣1=2•2n ﹣1﹣1=2n ﹣1．20．已知=（m ﹣2）+2， =+（m +1），其中、分别为x 、y 轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m 的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】由已知，将与坐标化，利用平面向量的坐标运算解答即可．（1）将m代入两个向量的坐标，进行数量积的坐标运算即可；（2）分别求出+，﹣的坐标，利用向量垂直数量积为0，求出m．【解答】解：因为、分别为x、y轴正方向单位向量，所以=（m﹣2，2），=（1，m+1），所以（1）m=2时，=（0，2，），=（1，3），与的夹角的余弦值，所以与的夹角为arccos；（2）+=（m﹣1，m+2），﹣=（m﹣3，1﹣m），又（+）⊥（﹣），所以（m﹣1）（m﹣3）+（m+2）（1﹣m）=0，即﹣5m+5=0，解得m=1．21．已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．【考点】数列的求和；数列递推式；数列的极限．【分析】（1利用q=，即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得f（n）=，f（n+1）=．再利用极限的运算法则即可得出．（3）由a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：可得b n==n（n≥2），b1=1满足上式，可得b n=n．设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50），即可得出．【解答】解：（1）∵a1=2，a5=32，∴q==2，∴a n=2n．（2）f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n==，f（n+1）=．∴===4．（3）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2），又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，∴b n=n；设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50）=2+22+…+250+1+2+…+50=+=251+1273．2016年11月14日。

上海市浦东新区华师大二附中2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.设f（x）=（x∈R），则方程f（x）=0的解集为（）A. B.C. D. 以上答案均不对2.若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A. B. C. D.3.若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A. B. C. D.4.对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角∈，；③和的值都在集合，∈中，则的值为（）A. B. C. 1 D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.已知一个关于x，y的二元线性方程组，则此线性方程组的增广矩阵为______．6.已知直角坐标平面内的两个向量=（1，m），=（2，4）使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+，则m的取值范围是______．7.直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角是______．8.设向量=（3，0），=（2，6），则在上的投影为______．9.如果直线3x-2y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为______．10.直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0相互垂直，垂足为（1，p），则n=______．11.若原点在直线L上的射影为（2，1），直线L的倾斜角为θ，则sin2θ=______．12.经过点A（-3，1）和点B（4，-2）的直线l的点方向式方程是______．13.在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值为______．14.已知向量，满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有则||+||，则最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.用矩阵行列式的知识解关于x，y的方程组，（m∈R）16.（1）求点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标；（2）求直线y=-1关于直线y=2x-4的对称直线的一般式方程．17.已知向量||=，||=．（1）若，的夹角为60°，{|x=，||=1，xy＞0}，求x，y所满足的关系式，并求xy的最大值；（2）若对任意的（x，y）∈{（x，y）||x+y|=1，xy＞0），都有|x+y|≤1成立，求的最小值．18.如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环．虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路．在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的．出租车几何学（taxicabgeometry），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的，在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原米一样．只是直角坐标系内任意两点A （x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x1-x2|+|y1-y2|，请解决以下问题：（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程，并作出大致图象（2）在出租车几何学中，到两点A、B“距离”相等的点的轨迹称为线段AB的“垂直平分线”，已知点A （1，3）、B（6，9），C（1，9）①写出在线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图象；②求证：△ABC三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为△ABC的“外心”），并求出△ABC的“外心”，答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为设f（x）=（x∈R），得到方程f（x）=0，即=0，化简得：1×（-1）×1+1×1×x2+x×1×1-x2×（-1）×1-x×1×1-1×1×1=0化简得：x2=1解得：x1=1，x2=-1．故选：B．此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得一元二次方程求出x即可．此题考查学生化简行列式的能力，解方程的能力，属于基础题2.【答案】A【解析】解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=-x+，相当于直线y=-x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，-1＜-＜2，则-4＜a＜2，故选：A．由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=-x+，相当于直线y=-x+的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4，所以正方形ABCD的面积S=AB•AD=4sinθcosθ===，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选：C．根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．本题考查同角三角函数的基本关系，以及数形结合思想，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．根据新定义求出=cosθ=，=cosθ=，m∈N，再根据夹角的范围求出mn=3，m，n∈N，再根据第1个条件，即可求出m，n的值，问题得以解决本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=1，n=3，是解题的关键，属于中档题．5.【答案】【解析】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故答案为：．首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，属于基础题．6.【答案】m≠2【解析】解：因为平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，所以向量与能作为基底，所以与不共线，所以1×4-m×2≠0，解得m≠2，故答案为：m≠2．根据平面向量基本定理得，与必为基底，不共线．本题考查了平面向量的基本定理．属基础题．7.【答案】【解析】解：直线x+3y+2=0的斜率k1=，直线4x+2y-1=0的斜率k2=-2；直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角为θ，可得tanθ=||=1，∴θ=；即直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角为．故答案为：．直接根据夹角公式即可求解；本题考查了直线的斜率和夹角公式的计算．属于基础题．8.【答案】2【解析】解：因为向量在上的投影为：==2，故答案为：2．根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．9.【答案】【解析】解：直线3x-2y-3=0与直线6x+my+1=0平行，∴，解得m=-4．∴直线6x+my+1=0化为3x-2y+=0，∴它们之间的距离==．故答案为：．利用相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，属于基础题．10.【答案】-12【解析】解：∵直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴-×=-1，2-5p+n=0，m+4p-2=0，解得m=10，p=-2，n=-12，故答案为：-12利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：原点在直线L上的射影为（2，1），∴垂线的斜率为=，∴直线L的斜率为，∴直线L的蝎女为-2．设直线L的倾斜角为θ，则tanθ=-2，则sin2θ===-，故答案为：-．先求出垂线的斜率，可得直线L的斜率，再利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线垂直的性质，用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】【解析】解：直线的方向向量为=（4，-2）-（-3，1）=（7，-3），故直线l的点方向式方程是，故答案为：．先求出直线的方向向量的坐标，再根据直线上的一个点的坐标，即可得到直线的点方向式方程．本题考查求直线的点方向式方程，求出直线的方向向量的坐标，是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵=+，∴=====，∴=1，=，∴=（）•（）=+=（-1）+1×2=，故答案为：．根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．14.【答案】1【解析】解：由||+||，可得即对任意单位向量，向量在上的投影与向量在上的投影的和小于等于当与共线时取等号，∴，∴．∴≤1故答案为：1由已知可得，结合向量投影的定义及向量共线的定义可求本题主要考查了平面向量的数量积，模长公式的应用及向量的投影的定义的简单应用．15.【答案】解：关于x，y的方程组，∴D==m2-1，当D=m2-1≠0，即m≠1且m≠-1时，x==，y==；方程组有唯一的解；当D=m2-1=0，即m=-1或m=1时，若m=-1，则原方程组无解；若m=1，则原方程组有无数个解．【解析】计算D=，讨论D≠0时方程组有唯一的解，D=0时方程组无解或有无数个解．本题考查了二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用问题，是基础题．16.【答案】解：（1）设点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为（x，y）；可得，……①中点坐标（，）在直线x-2y-2=0上，即……②由①②解得解x=，y=故得对称点坐标为（，）．（2）由题意，联立，可得坐标为（2，0），对称直线的方程为：y=k（x-2），即kx-y-2k=0在直线y=2x-4取点（3，2），点到直线距离相等，即，解得：k=（舍去），k=-．∴所求对称直线方程为．x-y+11=0，即11x+2y-22=0．【解析】（1）设点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为（x，y）；可得，结合中点坐标在直线上，求解x，y可得答案；（2）联立直线y=-1与直线y=2x-4求解交点，在直线y=2x-4取点（3，2），设对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可；本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的运用，是基础题．17.【答案】解：（1）∵||=，||=，，的夹角为60°，∴==，又∵x=，||=1，xy＞0，∴=，∴=1，∴64x2+16y2+32xy=15，∵64x2+16y2≥64xy（当且仅当8x=4y即y=2x时取等号）∴15-32xy≥64xy，∴xy，故xy的最大值；（2）设，的夹角为θ，由|x+y|=1，xy＞0可得cosθ=1，即64x2+16y2+64xy cosθ=15，∴cosθ=∵|x+y|≤1，∴1≥（x+y）2，∴∴cosθ=≥=恒成立，===当且仅当即y=7x时取等号，此时取得最小值【解析】（1）由已知可求，结合已知x=及||=1，两边同时平方，结合基本不等式即可求解；（2）设，的夹角为θ，由|x+y|=1，两边时平方，可求cosθ，然后由|x+y|≤1，可得1≥（x+y）2，代入到cosθ的表达式，进行分离后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于知识的简单综合．18.【答案】解：（1）“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，∴“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r，∴“圆”方程为：|x-a|+|y-b|=r；（2）①由已知条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，若x≤1，则y=8.5；若1＜x≤6，则x+y=9.5；若x＞6，则y=3.5；①写出在线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并画出大致图象；②证明：设“外心”坐标为M（m，n），则由|MA|=|MC|，得|m-1|+|n-3|=|m-1|+|n-9|，所以点M在y=6上；又因为|MB|=|MC|，即|m-1|+|n-9|=|m-6|+|n-9|，所以点M在x=上；∴M（，6）；∴△ABC三边的“垂直平分线”交于一点M，且M（，6）．【解析】（1））利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”的方程；（2）①由已知条件，得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9，由此能够求出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象；②设三角形“外心”坐标为M（m，n），由|MA|=|MB|=|MC|结合绝对值的性质，求得点M的坐标．本题考查了新定义的应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是难题．。

2017-2018年上海市中国中学高二上期中数学试卷(有答案)

2017-2018年中国中学高二上期中试卷一. 填空题1. 计算：1132-= 2. 若1324A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1233B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则2A B -=3. 三阶行列式23401513x ---中第2行第3列元素5-的代数余子式的值等于1，则元素x 的值为4. 若(2,2)a =-，0a 为a 的单位向量，则0a 的坐标为5. 在边长为1的正三角形ABC 中，AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=6. 设△ABC 的三边长5AB =，4BC =，3CA =，则向量AC 在向量AB 上的投影等于7. 若直线l 的一个法向量为(1,3)n =-，则直线l 的倾斜角为8. 过原点O 作直线l 的垂线，垂足为(1,2)Q -，则直线l 的一般式方程为9. 两条直线1l ：20x y +-=和2l ：350x y -+=的夹角为10. 若点(1,2)A 和(1,1)B -在直线20x y m +-=的同侧，则m 的取值范围是11. 已知圆C ：222440x y x y +-+-=，若过定点(2,0)A -的直线l 与圆C 相切，则直线l 的一般式方程为12. 已知定点(4,0)A 和圆224x y +=上的动点B ，动点(,)P x y 满足2OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程为 13. 已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是14. 如图所示，在△AOB 中，3AOB π∠=，3OA =，2OB =， BH OA ⊥于H ，M 为线段BH 上的点，且54MO MA ⋅=-，若BM xBO yBA =+，则x y +的值等于二. 选择题15. 直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 由m 决定 16. 若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，则实数a 的值为（）B A MA. 1a =或2a =-B. 1a =-或2a =C. 1a =D. 1a =-17. 已知,,a b c 是三个非零向量，则下列推出关系成立的个数是（）①22a b a b =⇔=；②||||||||a b a c b c =⇔⋅=⋅ ③||||a b a b a b ⊥⇔+=-；④||||||//a b a b a b ⋅=⋅⇔ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个18. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 是单位圆O 上的点．若()||f AP AB λλ=-（λ∈R ）的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 的长度为（）A. 3B. 3C. 3D.三. 解答题19. 已知关于x 的二元一次方程组23(1)2x ty t x y t +=⎧⎨-+=-⎩（t ∈R ）有无穷多组解，求t 的值.20. 已知(1,0)a =，(2,1)b =.（1）当k 为何值时，ka b -与3a b +平行；（2）若()b a tb ⊥+，求||a tb +的值.21. 已知平行四边形ABCD 的边AB 和BC 所在的直线方程分别是10x y +-=、 340x y -+=，对角线的交点是(3,3)P .（1）求边CD 所在的直线方程；（2）求平行四边形ABCD 的面积.22. 在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆为C .（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问：圆C 是否经过定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.参考答案1. 52. 34111⎛⎫⎪⎝⎭ 3. 1- 4. ()22- 5. 32-6. 957. 6π8. 250x y --=9. arccos 510. (,1)(5,)-∞-+∞ 11. 512100x y -+=和2x =- 12. 22(2)1x y -+= 13. 14 14. 1215. A 16. D 17. B 18. A19. 1t =-.20.（1）13-；（221.（1）110x y +-=；（2）50.22.（1）(,0)(0,1)-∞；（2）222(1)0x y x b y b ++-++=；（3）(2,1)-，(0,1).。

上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

上海市行知中学第一学期期中考试高二年级数学试卷题类一二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为。

2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是。

3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为。

4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。

5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。

6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是。

7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是。

8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为。

9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。

10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =，上述命题中，真命题的个数是。

11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为。

12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是。

2017-2018学年上海市浦东新区华师大二中高二(上)期中数学试卷(带参考答案)

上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三数学期中质量检测试卷和解析

上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三数学期中质量检测试卷一、填空题1. 幂函数经过点，则此幂函数的解析式为_______.2. 若集合，，则________3. 设为函数的反函数，则_____.4. 不等式的解集是__________.5. 在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6. 已知球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为________.7. 若，且，则的最大值是__________．8. 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是_________（结果用数值表示）9. 若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式_________．10. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别____．11. 已知命题，命题.若中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是________．12. 如图所示，在正方体中，、分别是棱、的中点，的顶点在棱与棱上运动.有以下四个命题：①平面；②平面平面；③在底面上的射影图形的面积为定值；④在侧面上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是______二．选择题13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，分别是、，则“”是“两根均大于1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要.14. 在下列命题中，不是公理．．的是（）A. 两条相交直线确定一个平面；B. 不在同一条直线上的三点确定一个平面；C. 如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上；D. 如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.15. 展开式中的常数项为（）A. B. C. D.16. 下列四个命题中正确是（）A. 函数（且）与函数（且）的值域相同；B. 函数与的值域相同；C. 函数与都是奇函数；D. 函数与在区间上都是增函数.三、解答题17. 如图所示，圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形．（1）求此圆锥的表面积；（2）求此圆锥的体积．18. （1）解方程：；（2）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．19. 如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交于点，于点.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.20. 已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）证明：在上为增函数；（3）证明：方程＝0没有负数根。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（） A ．{1} B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对【答案】C【解析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】因为2221111111()11111111111x x f x xx x x --=-=⨯-⨯+⨯221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯ 222x x x x =--+++ 222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =. 所以方程()0f x =的解集为{1,1}-. 故选C . 【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.2．若,x y 满足约束条件1{122x y x y x y +≥-≥--≤，目标函数2zax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ．(2,4)-【答案】B【解析】由已知可画出可行区域图，如图所示，由目标函数222a zz ax y y x =+⇒=-+，而目标函数仅在可行区域顶点()1,0A 处取得最小值，且截距2z为正号，所以直线22a z y x =-+的位置可由直线AB 绕点()1,0A 顺时针旋转到直线AC 均可满足题意，而2,1AB AC k k ==-，即12422aa -<-<⇒-<<.故选B.点睛：此题主要考查简单线性规划在求最优解问题中的应用，属于中低档题，也是高频考点.此类题目一般流程是：首先根据题意，作出约束条件（不等式组）的可行区域图，再将目标函数解析式转化直线斜截式y kx b =+（或是斜率计算公式2121y y k x x -=-、两点距离公式()()22122121PP x x y y =-+-等），接着在可行域范围内作出直线y kx =（或者是斜率k 的范围、两点间的最值等），将直线y kx =平行上下移动，从而找到问题的最优解.3．若分别过()1,0P ，()2,0Q ，()4,0R ，()8,0S 四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（） A ．1617B ．365C ．6437D ．19653【答案】C【解析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．【详解】如果过点(1,0)P ，(2,0)Q ，(4,0)R ，(8,0)S 作四条直线构成一个正方形，过P 点的必须和过Q ，R ，S 的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P 点和Q 点的直线相互平行时，如图，设直线PC 与x 轴正方向的夹角为θ，再过Q 作它的平行线QD ，过R 、S 作它们的垂线RB 、SC ，过点A 作x 轴的平行线分别角PC 、SC 于点M 、N ，则sin sin sin AB AM PQ θθθ===，cos cos 4cos AD AN RS θθθ===，因为AB AD =，所以sin 4cos θθ=，则tan 4θ=，所以正方形ABCD 的面积224sin cos 4tan 164sin cos tan 2117S AB AD sin cos θθθθθθθθ=⋅====++，同理可求，当直线PC 和过R 的直线平行时正方形ABCD 的面积S 为365，当直线PC 和过S 点的直线平行时正方形ABCD 的面积S 为19353，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基本运算求解能力．4．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义cos ααβθβ⊗=vv v v ，其中θ为αu r 和βur 的夹角．若两个非零的平面向量a r 和b r 满足：①a b ≥vv ；②a r 和b r 的夹角5y x a ∧∧=-+；③a b ⊗v v 和b a ⊗v v的值都在集合,2n x x n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中．则a b⊗v v 的值为（）． A ．52B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】cos ,cos ,22b an m a b b a m N baθθ⊗==⊗==∈vvv v v v u u v u u v ，由a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，知21cos (,1)42mn θ=∈，故3,,mn m n N =∈，因为a b ≥vv ，所以012m a b <⊗=<v v ，所以1,3m n ==，所以32a b ⊗=v v ，故选B.二、填空题5．已知一个关于x ，y 的二元线性方程组230450x y x y --=⎧⎨-+-=⎩，则此线性方程组的增广矩阵为______. 【答案】213415-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【详解】增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，可直接写出增广矩阵为213415-⎛⎫⎪-⎝⎭．故答案为：213415-⎛⎫ ⎪-⎝⎭．【点睛】本题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，属于基础题．6．已知直角坐标平面内的两个向量()1,a m =r ，()2,4b =r 使得平面内的任意一个向量cr都可以唯一分解成c a b λμ=+r r r，则m 的取值范围是______. 【答案】2m ≠【解析】根据平面向量基本定理得，a r 与b r必为基底，即两向量不共线，从而得到向量坐标交叉相乘不相等．【详解】因为平面内的任意一个向量c r 都可以唯一分解成c a b λμ=+r r r，所以向量a r 与b r 能作为基底，所以a r 与b r不共线，所以1420m ⨯-⨯≠，解得2m ≠，故答案为：2m ≠．【点睛】本题考查对平面向量的基本定理的理解与应用，考查基本运算求解能力，属于基础题． 7．直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角是______.【答案】4π【解析】直接根据两直线的夹角公式1221tan ||1k k k k θ-=+，即可求得答案.【详解】直线320x y ++=的斜率113k =-，直线4210x y +-=的斜率22k =-，直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角为θ，02πθ≤≤可得1221tan ||11k k k k θ-==+，4πθ∴=；即直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角为4π．故答案为：4π．【点睛】本题考查直线的夹角计算，考查基本运算求解能力，注意夹角公式与到角公式的区别，属于基础题．8．设向量()3,0a =r ，()2,6b =r ，则b r 在a r上的投影为______.【答案】2【解析】根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得．【详解】因为向量b r 在a r 上的投影为：22||30a b a ⋅==+r rr ，故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量数量积定义中投影的概念，考查对概念的理解，求解时要注意投影是有正、有负、也可以为0，考查基本运算求解能力．9．直线3230x y --=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为______. 713【解析】利用相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式即可得出．【详解】直线3230x y --=与直线610x my ++=平行，∴362m-=--，解得4m =-． ∴直线610x my ++=化为13202x y -+=， ∴它们之间的距离221|3|71323(2)--==+-713【点睛】本题考查相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查基本运算求解能力，求解时要注意利用平行线间的距离公式时，要把两直线方程中,x y 的系数化成相同．10．直线420mx y +-=与直线250x y n -+=相互垂直，垂足为()1,p ，则n =______. 【答案】12-【解析】利用两条直线相互垂直且斜率均存在，则斜率相乘等于1-，求出m 值，再由点()1,p 为两直线的交点，即可求出,p n 的值．【详解】Q 直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为(1,)p ，2145m ∴-⨯=-，250p n -+=，420m p +-=，解得10m =，2p =-，12n =-，故答案为：12- 【点睛】本题考查两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11．若原点在直线L 上的射影为()2,1，直线L 的倾斜角为θ，则sin 2θ=______. 【答案】45-【解析】先求出垂线的斜率，可得直线L 的斜率，再利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin 2θ的值．【详解】Q 原点在直线L 上的射影为(2,1)，∴垂线的斜率为101202-=-， ∴直线L 的斜率为2-．设直线L 的倾斜角为θ，则tan 2θ=-，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===-++，故答案为：45-．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，两条直线垂直的性质，二倍角的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时用1的代换，能使运算更简洁． 12．经过点(3,1)(4,2)A B --和点的直线l 的点方向式方程是．【答案】3173x y +-=-【解析】13．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u v u u u v ，则AE BF ⋅u u u v u u u v= ______．2 【解析】【详解】在矩形ABCD 中，2AB =2BC =，可以以,AB AD u u u r u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0),2,0),2,2),(0,2)A B C D ，点E 为BC 的中点，故2,1)E ，设(,2),2,(2,0)(,2)21(1,2)F x AB AF x x F ⋅=⇒⋅==∴u u u r u u u r， (2,1)(12,2)2(12)+12=2AE BF ⨯⋅=⋅-=-u u u v u u u v【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，由已知的图形，建立直角坐标系，是解题的关键.14．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，若对任意单位向量e r，均有则7a e b e ⋅+⋅≤r r r r 则a b ⋅r r最大值为______. 【答案】1【解析】利用不等式()7a b e a e b e +⋅≤⋅+⋅≤r r r r r r r a b +r r 与e r共线时取等号，从而把条件等价转化为2227a b a b ++⋅≤rrrr ，进而求得a b ⋅r r最大值. 【详解】由题意得：()7a b e a e b e +⋅≤⋅+⋅≤r r r r r r r所以7a b +≤r r a b +r r 与e r 共线时取等号，所以2227a b a b ++⋅≤rrrr ．所以1a b ⋅≤rr 故答案为：1. 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用、向量数量积运算，考查基本运算求解能力，求解时要注意向量数量积为实数，才能套用绝对值不等式，同时要注意等号成立的条件.三、解答题15．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()12mx y m m R x my m+=+⎧∈⎨+=⎩.【答案】当1m ≠±时，方程组有唯一解1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；当1m =-时，方程组无解；当1m =时，方程组有无穷多组解；【解析】计算11m D m=，讨论0D ≠时方程组有唯一的解，0D =时方程组无解或有无数个解．【详解】关于x ，y 的方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，2111m D m m∴==-，①当210D m =-≠，即1m ≠且1m ≠-时，11121m m x m m D m +==+，1121121m m m y m D m ++==+；方程组有唯一的解1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；②当210D m =-=，即1m =-或1m =时，若1m =-，则原方程组无解；若1m =，则原方程组有无数个解．【点睛】本题考查二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用，考查基本运算求解能力． 16．（1）求点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标；（2）求直线12xy =-关于直线24y x =-的对称直线的一般式方程. 【答案】（1）1321,55-⎛⎫⎪⎝⎭；（2）112220x y +-=；【解析】（1）设点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标为(,)x y ；可得31112y x -⋅=-+，结合中点坐标在直线上，求解x ，y 可得答案；（2）联立直线12xy =-与直线24y x =-求解交点，在直线24y x =-取点(3,2)，设出对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可；【详解】（1）设点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标为(,)x y ；可得31112y x -⋅=-+，⋯⋯① 中点坐标1(2x -，3)2y+在直线220x y --=上，即1322022x y-+-⨯-=L L ② 由①②解得解135x =，215y -=故得对称点坐标为13(5，21)5-．（2）联立11224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得坐标为(2,0)，设对称直线的方程为：(2)y k x =-，即20kx y k --= 在直线24y x =-取点(3,2)，23|21|21114k --=++ 解得：12k =（舍去），112k =-． ∴所求对称直线方程为．111102x y --+=，即112220x y +-=．【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的运用，是基础题．17．已知向量15a =r 15b =r . （1）若a r ，b r的夹角为60︒，{}|,1,0c xa yb c c xy +==>r r r r r ，求x ，y 所满足的关系式，并求xy 的最大值；（2）若对任意的()(){},,|1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有1x y +≤成立，求a b⋅r r的最小值.【答案】（1）532；（2）815【解析】（1）由已知可求a b ⋅r r ，结合已知xa yb c +=r r r 及||1c =r ，两边同时平方，结合基本不等式即可求解；（2）设a r ，b r的夹角为θ，由||1xa yb +=rr，两边时平方，可求cos θ，然后由||1x y +≤，可得21()x y ≥+，代入到cos θ的表达式，进行分离后利用基本不等式即可求解．【详解】（1）||15a =r Q ，||15b =r a r ，b r的夹角为60︒，∴1162151515a b ⋅==r r ，又xa yb c +=r rr Q ，||1c =r ，0xy >， ∴222222c x a y b xya b =++⋅r rr r r ，∴226416321151515x y xy ++=，2264163215x y xy ∴++=，22641664x y xy +≥Q （当且仅当84x y =，即2y x =时取等号）153264xy xy ∴-≥，532xy ∴≤，故xy 的最大值532. （2）设a r，b r的夹角为θ，由||1xa yb +=r r，0xy >可得22641664cos 1151515x y xy θ++=，即22641664cos 15x y xy θ++=，22156416cos 64x y xyθ--∴=||1x y +≤Q ，21()x y ∴≥+，222222215641615()64164930cos 646464x y x y x y x y xyxy xy xyθ--+----+∴=≥=恒成立，因为224930154915491()2643264643264644x y xy x y x y xy y x y x --+=-+≤-⋅=，当且仅当496464x y y x=，即7y x =时取等号，所以1cos 4θ≥，此时a b ⋅r r 取得最小值815【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算、基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，考查基本运算求解能力，求解时要注意将向量等式转化为数量关系的求解方法．18．如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环。

上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题扫描版含答案

2017学年第一学期高二数学期中质量检测（总5/1 100分时何：%分仲:cr年11（1>•頃空昱〈每恶3共12起.满彷J6分）1、己如故创（％）址讦打数列.11你=12.心=7J!灯,= ___________ Q IE N、2 第比数耐（匚）中.q + = 30.ci, + <r4 = 60.魅q= _________3.b’P是a.b,c成等比救列的_______________ 条件.4、 _____________________________________________________________ 苕代何三用形的二杀边的氏成警至◎列，聘：边从小醐夬Z比刃___________________________________5、 ________________________________________________________ 己fei向殳o 二伙-1.3）.6 =（仁-4）.若d 丄b•«!'[<:数k s ________________________________________ »6、 ________________________________________________________ 己知!ft弭｛■/的问11唤的和S. = 3n2 + 2x1侧舛= _________________________________________________7,ett|ol = 3,16| = 3. rifl«6 = 12,则向Haft向而」：的投影为_________________ .8,在用法注叭—y2--（n€N・）ffHI程中.« 1« kt 1时，㈱应在n k的左瑞上加上 _____________________________ .9.科人b.c戍簣比数列.则曲散尸jw^ibx*的削磔与x £2点的个敕疋I。

学年第一学期上海浦东新区普高期中联考高二数学试卷(含答案)精编版

2017学年第一学期高二数学期中质量检测( 总分：100分时间：90分钟 2017年11月)一．填空题（每题3分，共12题，满分36分）1、已知数列{a n }是等差数列，且)._____(,7,12*451N n a a a a n ∈===+则2等比数列{a n }中，,60,304321=+=+a a a a 则q=__________.3、b 2=ac 是a ,b ,c 成等比数列的_______________条件。

4、若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为__________.5、已知向量k k 若),4-,(),3,1(=-=⊥，则实数k=_____________.6、已知数列{a n }的前n 项的和.____________,1232=++=n n a n n S 则7、已知上的投影为在向量则向量且b a b a b a ,12,3||,5||=∙==____________.8、在用数学归纳法证明：1+2+3+----+2n=2)21(2n n + (n *∈N )的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k 的左端上加上________________________________.9.若a,b,c 成等比数列，则函数y=ax 2+4bx+c 的图像与x 轴交点的个数是__________.10.已知31)1(331lim =+++∞→n n n n a ，则实数a 的取值范围是__________________________.11.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一个项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列就叫做“等和数列”，这个常数叫做公和。

已知数列{a n }是等和数列，且，公和为6,21=a 求这个数列的前n 项的和S n =______________.12.在等差数列{a n }中，若,010=a 则有等式n n a a a a a a -+++=+++192121--------， n ＜19,*∈N n 成立。

上海市华师大二附中高二数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B．C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B．C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t ＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵ ==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果．【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2，故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6），此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为．【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

上海市浦东新区四校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年上海市浦东新区四校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1．二元一次方程组的增广矩阵是．2．若a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，则=．3．无穷等比数列{a n}的通项公式为a n=3×（﹣）n﹣1，则其所有项的和为．4．已知三阶行列式，则元素3的代数余子式的值为．5．已知矩阵A=，矩阵B=．若AB=，则a=．6．数列{a n}的通项公式a n=，则a n=．7．已知f（n）=+++…+（n∈N*），则f（1）=．8．已知数列{a n}满足a n=n2+λn（λ∈R），且a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n+1＜…，则λ的取值范围是．9．若数列{a n}满足a n+1=，n∈N*），若a1=，则a24的值为．10．在等比数列{a n}中，前n项和S n=2n+a（n∈N*），则a=．11．数列{a n}满足a1=4，S n+S n+1=a n+1，则a n=．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=25﹣n，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设c n=若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分.将正确答案的代号填写在答题纸对应题号后的横线上.13．当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A．方程组有唯一解B．方程组有唯一解或有无穷多解C．方程组无解或有无穷多解D．方程组有唯一解或无解14．下列四个命题中，正确的是（）A．若，则a n=AB．若a n＞0，，则A＞0C．若，则D．若a n=A，则15．数列{a n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列B．{a n•a n}是等比数列+1C．是等比数列 D．{lga n}是等差数列16．无穷等差数列{a n}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，S n是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{a n}中的一项；②存在满足条件的数列{a n}，使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{a n}中的一项．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题（本大题共5题，计52分）17．（8分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=16，a7=24．（1）求通项a n；（2）若S n=312，求项数n．18．（10分）设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，且T n=a2+a4+a6+…+a2n，（1）求S n；（2）求．19．（10分）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N*），设b n=，（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设S n=|b1|+|b2|+…+|b n|（n∈N*），求S n．20．（12分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），且a2，a5分别是等比数列{b n}的第二项和第三项，设数列{c n}满足c n=，{c n}的前n项和为S n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得S m=2017，并说明理由（3）求S n．21．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3=10，d=3．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年上海市浦东新区四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1．（2016秋•浦东新区期中）二元一次方程组的增广矩阵是．【考点】逆矩阵与二元一次方程组．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】由增广矩阵的概念进行求解即可．【解答】解：欧由增广矩阵的概念，可得二元一次方程组的增广矩阵是．故答案为．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．2．（2016秋•浦东新区期中）若a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，则=0．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；对应思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质求得的值．【解答】解：∵a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，∴a1a4=a2a3，∴=a1a4﹣a2a3=0．故答案为：0．【点评】本题考查等比数列的性质，是基础的计算题．3．（2016秋•浦东新区期中）无穷等比数列{a n}的通项公式为a n=3×（﹣）n﹣1，则其所有项的和为2．【考点】数列的求和．【专题】极限思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3×（﹣）n﹣1，求得a1=3，q=﹣，由等比数列的前n项和公式S n===2×[1﹣（﹣）n]，所有项的和{2×[1﹣（﹣）n]}=2，【解答】解：由a n=3×（﹣）n﹣1，∴a1=3，q=﹣，由等比数列前n项和公式S n===2×[1﹣（﹣）n]，∴{2×[1﹣（﹣）n]}=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，考查数列的极限，考查计算能力，属于中档题．4．（2016秋•浦东新区期中）已知三阶行列式，则元素3的代数余子式的值为52．【考点】三阶矩阵．【专题】综合题；方程思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据行列式的展开A21=﹣（1×2﹣6×9），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素3的代数余子式的A21=﹣（1×2﹣6×9）=52，故答案为：52．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．5．（2016秋•浦东新区期中）已知矩阵A=，矩阵B=．若AB=，则a=﹣2．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵的乘法，即可得出结论．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=．若AB=，∴a﹣4a﹣3a=12，∴a=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．6．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n}的通项公式a n=，则a n=．【考点】数列的极限．【专题】极限思想；转化法．【分析】由数列的通项公式可得a n=，再由=0，即可得到所求值．【解答】解：由数列{a n}的通项公式a n=，可得a n====．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算，注意运用=0，考查运算能力，属于基础题．7．（2016秋•浦东新区期中）已知f（n）=+++…+（n∈N*），则f（1）=．【考点】数列与函数的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据已知中f（n）=+++…+（n∈N*），将n=1代入可得答案．【解答】解：∵f（n）=+++…+（n∈N*），∴f（1）==，故答案为：．【点评】本题是数列与函数的综合，其本质是函数求值，难度不大，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）已知数列{a n}满足a n=n2+λn（λ∈R），且a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n+1＜…，则λ的取值范围是（﹣3，+∞）．【考点】数列递推式．【专题】函数思想；参数法；等差数列与等比数列．【分析】由已知，数列{a n}为单调递增数列，得出a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．【解答】解：∵a n=n2+λn①∴a n+1=（n+1）2+λ（n+1）②②﹣①得a n+1﹣a n=2n+1+λ．由已知，数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+λ＞0．移向得λ＞﹣（2n+1），λ只需大于﹣（2n+1）的最大值即可，易知当n=1时，﹣（2n+1）的最大值为﹣3，∴λ＞﹣3故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用，属于中档题．=，n∈N*），若9．（2016秋•浦东新区期中）若数列{a n}满足a n+1a1=，则a24的值为．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用已知结合数列递推式可得a n+3=a n．则答案可求．【解答】解：∵＜＜1，∴a2=2a1﹣1=，，，…∴a n +3=a n ． ∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，关键在于数列周期的发现，是中档题．10．（2016秋•浦东新区期中）在等比数列{a n }中，前n 项和S n =2n+a （n ∈N*），则a= ﹣1 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的前n 项和求出首项，再求出n ≥2时的通项公式，代入a 1得答案．【解答】解：在等比数列{a n }中，由前n 项和S n =2n+a ，得a 1=2+a ，又当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n +a ﹣2n ﹣1﹣a=2n ﹣1， ∴2+a=2°=1，即a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．11．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n }满足a 1=4，S n +S n +1=a n +1，则a n =．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n +S n +1=a n +1， ∴n=1时，a 1+a 1+a 2=，解得a 2=﹣12． n ≥2时，S n ﹣1+S n =，可得：a n +a n +1=a n +1+，化为：a n +1=4a n ，而a 2=﹣a 1，∴数列{a n }从第二项起为等比数列．∴n ≥2时，a n =﹣12×4n ﹣2=﹣3×4n ﹣1． ∴a n =．故答案为：．【点评】本题考查了递推公式与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2014•上海模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=25﹣n，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设c n=若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是[﹣5，﹣3] ．【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】若c5=a5，则b6≥a5，a5＞b5，b6≥a5，由此推导出﹣5≤k＜﹣4；若c5=b5，则b5≥a5，b5≥a5，a4≥b5，由此推导出﹣5≤k≤﹣3．由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：若c5=a5，则a5＞b5，则前面不会有b n的项，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b i（i=1，2，3，4）＜b5＜a5＜a i（i=1，2，3，4），∵a n递减，∴当n≥6时，必有c n≠a n，即c n=b n，此时应有b6≥a5，∴a5＞b5，即20＞5+k，得k＜﹣4，b6≥a5，即6+k≥1，得k≥﹣5，∴﹣5≤k＜﹣4．若c5=b5，则b5≥a5，同理，前面不能有b n项，即a4≥b5＞b4，当n≥6时，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b n＞b5≥a5＞a n（n≥6），∴当n≥6时，c n=b n．由b5≥a5，即5+k≥1，得，k≥﹣4，由a4≥b5，得2≥5+k，得k≤﹣3，即﹣4≤k≤﹣3．综上得，﹣5≤k≤﹣3．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣3]．故答案为：[﹣5，﹣3]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质的灵活运用．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分.将正确答案的代号填写在答题纸对应题号后的横线上.13．（2016秋•浦东新区期中）当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A．方程组有唯一解B．方程组有唯一解或有无穷多解C．方程组无解或有无穷多解D．方程组有唯一解或无解【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；方程思想；参数法；函数的性质及应用．【分析】先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，D x，D y，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m≠﹣1，m≠1时，（2）当m=1时，分别求解方程组的解即可．【解答】解：D==m2﹣1=（m+1）（m﹣1），D x==m2﹣m=m（m﹣1），D y==2m2﹣m﹣1=（2m+1）（m﹣1），当m≠﹣1，m≠1时，D≠0，方程组有唯一解，解为．当m=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为，令x=t（t∈R），原方程组的解为（t∈R），∴方程组有唯一解或有无穷多解，故选：B．【点评】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．14．（2016秋•浦东新区期中）下列四个命题中，正确的是（）A．若，则a n=AB．若a n＞0，，则A＞0C．若，则D．若a n=A，则【考点】极限及其运算．【专题】转化思想；导数的概念及应用．【分析】利用极限的运算性质即可判断出结论．【解答】解：A．不正确，例如取a n=（﹣1）n，而a n不存在．B．不正确，例如取a n=＞0，则a n＞0，=0．C．利用极限的运算法则可知正确．D．不正确，例如取a n=，=0，则=1．故选：C．【点评】本题考查了极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列B．{a n•a n}是等比数列+1C．是等比数列 D．{lga n}是等差数列【考点】等比关系的确定．【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列．﹣lga n=lgq（当且仅当q＞0是有意义），所【分析】由题意设=q，则lg =lga n+1以{lga n}是等差数列是错误的．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，﹣lga n=lgq（当且仅当q＞0是有意义）所以设=q，则lg =lga n+1所以{lga n}是等差数列是错误的．故选D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质以及等差数列的定义．16．（2016秋•浦东新区期中）无穷等差数列{a n}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，S n 是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{a n}中的一项；②存在满足条件的数列{a n}，使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{a n}中的一项．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的公式，分别讨论前n项和3、21、15的具体项数，然后进行推理即可．首先根据条件得出d≤6；①99﹣21=78能被6整除，且=13，假设15和21之间有n 项，那么99和21之间有13n项，得出结论．②利用等差数列的前n项和公式化简S2n=4S n，得出结论．③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a n}中的一项，得出结论．【解答】解：要使等差数列的公差最大，则3，15，21为相邻的前n项和，此时对应两项为15﹣3=12，21﹣15=6，所以d≤6．①99﹣21=78能被6整除，且，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{a n}中的一项，所以①正确．②如果有S2n=4S n，那么由等差数列求和公式有：2na1+n（2n﹣1）•d=4[na1+]，化简得到，d=2a1，所以只要满足条件d=2a1的数列{a n}，就能使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立，所以②正确．③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a n}中的一项，所以③错误．综上可得：只有①②正确．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，计52分）17．（8分）（2016秋•浦东新区期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=16，a7=24．（1）求通项a n；（2）若S n=312，求项数n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n，（2）利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴a7﹣a3=4d=8，解得d=2．又∵a3=16，∴a n=a3+（n﹣3）×2=16+2n﹣6=2n+10，（2）由（1）可得：a1+2×2=16，解得a1=12．S n==n2+11n=312，解得n=13．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•浦东新区期中）设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，且T n=a2+a4+a6+…+a2n，（1）求S n；（2）求．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．【分析】（1）对q分类讨论，利用等比数列的前n项和公式可得S n；（2）利用数列极限法则即可得出．【解答】（2）①当q=1时，S n=2n，T n=2n，=1，②当q≠1时，，∴．若0＜q＜1，=．若q＞1，=0．故：=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列极限运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（10分）（2016秋•浦东新区期中）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N*），设b n=，（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设S n=|b1|+|b2|+…+|b n|（n∈N*），求S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．﹣b n=﹣=﹣=﹣2，因此数【分析】（1）由题意可得：b1==8，b n+1列{b n}是等差数列；（2）由（1）可知：b n=10﹣2n，分类当1≤n≤5，b n≥0，S n==﹣n2+9n，当n≥6时，b n≤0，S n=2S5﹣S n，即可求得S n．【解答】（1）证明：b1==8，﹣b n=﹣=﹣=﹣2，∴b n+1∴数列{b n}是以8为首项，﹣2为公差的等差数列；（2）解：由（1）可得：b n=8+（﹣2）（n﹣1）=10﹣2n，当1≤n≤5，b n≥0，S n==﹣n2+9n，当n≥6时，b n≤0，S n=2S5﹣S n=2（﹣25+9×5）+n2﹣9n=n2﹣9n+40，∴S n=．【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式及含有绝对值的数列前n项和公式求法，考查计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•浦东新区期中）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），且a2，a5分别是等比数列{b n}的第二项和第三项，设数列{c n}满足c n=，{c n}的前n项和为S n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得S m=2017，并说明理由（3）求S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a2=3=b2，a5=9=b3，可得公比q．（2）．由于S7=301＜2017，S8=2488＞2017，而S n是单调递增的，即可判断出结论．．（3）c n=，n为偶数时，S n=+．n为奇数时，S n=++2n﹣1．【解答】解：（1）∵a2=3=b2，a5=9=b3，∴公比q=3．（2）不存在m∈N*，使得S m=2017．∵S7=301＜2017，S8=2488＞2017，而S n是单调递增的，∴不存在m∈N*，使得S m=2017．（3）c n=，n为偶数时，S n=+=+．n为奇数时，S n=++2n﹣1=+．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•浦东新区期中）在等差数列{a n}中，a1+a3=10，d=3．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得首项a1的值，则易求数列{a n}的通项公式；（2）利用拆项法求得数列{b n}的通项公式，则易求T n；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，结合等比数列的性质得到=，从而求得符合条件的m、n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a3=10，d=3，得，解得a1=2，所以a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1（n∈N+）；（2）由（1）知，a n=3n﹣1．所以b n====（﹣），∴T n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，由（2）知，T1=，T m=，T n=，因为T1，T m，T n成等比数列，所以（）2=×，即=，整理，得n（﹣3m2+6m+2）=5m2．（*）①当m=2时，（*）式可化为2n=20，所以n=10．②当m≥3时，﹣3m2+6m+2=﹣3（m﹣1）2+5≤﹣7＜0．又因为5m2＞0，所以（*）式可化为n=＜0，所以此时n无正整数解．综上可知，存在满足条件的正整数m，n，此时m=2，n=10．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．。

上海市高二上学期期中数学试卷含答案

780
4、计算： lim 4n n (2 n
2= 1)2
．
5、已知等比数列 an 中， a1 3, a4 81, 则该数列的通项 an
．
6、设 a 2, 3 , b 1,1 ， c 是 a b 的单位向量，则 c 的坐标是 7、等差数列 a n 中， a1 a4 a8 a12 a15 20 ，则 S15
（C） 65
（D） 65 5
16、一条曲线是用以下方法画成： ABC 是边长为 1 的正三角形，曲线 CA1、 A1A2、 A2 A3 分别
以 A、B、C 为圆心， AC、 BA1、 CA2 为半径画的弧， CA1A2A3 为曲线的第 1 圈，然后又以 A
为圆心， AA3 为半径画弧，这样画到第 n 圈，则所得曲线 CA1A2A3 A3n 2 A3n 1A3n 的总长
2.
10、已知数列 an ，an
n 2 kn ，若 an 是递增数列，则 k 的取值范围是 _____(
3 , ) ______
2
11、数列 an 中， a1 1,an 1 3an 2 ，则通项 an ______ 2 3n 1 1 _______ 。
12、如图所示：矩形 AnBn PnQn 的一边 An Bn 在 x 轴上，另两个顶点 Pn , Qn 在函数 f (x)
lim
n
Sn =
.
y
1 Qn
O An 1
Pn
Bn
x
1
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
13、用数学归纳法证明： 1
1
n1 n 2
1 nn
从“ k 到 k 1 ”左端需增加的代数式为
1 A
2k 1
1 B

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。