2017-2018学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题扫描版缺答案
2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分） 1．已知复数z ＝（2+i ）2，则z 的虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．4D ．4i2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱3．已知平面向量a →=(−2，6)与b →=(−4，λ)垂直，则λ的值是（ ） A ．43B ．−43C ．12D ．﹣124．若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA →|=|OB →|=|OC →|，MA →⋅MB →=MB →⋅MC →=MC →•MA →，且NA →+NB →+NC →=0→，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的（ ） A ．重心，外心，垂心 B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心5．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积S =√3，则a sinA=（ ） A ．2√393B ．2√293C ．26√33D ．3√36．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）A ．54B ．53C ．43D ．327．圆O 为锐角△ABC 的外接圆，AC ＝2AB ＝2，点P 在圆O 上，则BP →⋅AO →的取值范围为（ ）A ．[−12，4)B ．[0，2）C ．[−12，2)D ．[0，4）8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3AC →⋅AB →−BA →⋅BC →=2CA →⋅CB →，2b ＝b cos C +c cos B ，则cos C 的值为（ ） A ．13B ．−13C ．18D ．−18二、多选题（共4个小题，每小题5分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．） 9．如果平面向量a →=(2，0)，b →=(1，1)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|a →|=√2|b →|B ．a →⋅b →=2√2C ．(a →−b →)⊥b →D ．a →∥b →10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =√7，b =2，A =π3，则（ ） A ．c ＝3B ．sinB =√217C ．sinC =√217D ．△ABC 外接圆的面积为7π311．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．若复数z 满足z ⋅z =0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2 满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1z 2＝0C ．若复数z 1，z 2 满足|z |＝|z 2|，则z 12=z 22D ．若|z |＝1，则|z +1+i |的最大值为√2+112．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AA 1，CC 1，C 1D 1的中点，Q 是线段D 1A 1上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使PQ ∥平面MBNC ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为9π2D ．过Q ，M ，N 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形不可能是五边形 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答） 13．已知复数（m 2﹣3m ﹣1）+（m 2﹣5m ﹣6）i ＝3（其中i 为虚数单位），则实数m ＝ ． 14．一艘船从河岸边出发向河对岸航行．已知船的速度v 1→的大小为|v 1→|=10km/ℎ，水流速度v 2→的大小为|v 2→|=3km/ℎ，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km /h ．15．祖暅（公元前5～6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，若S 圆＝S 环总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面半径为2，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是 ．16．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且2c sin （B ﹣A ）＝2a sin A cos B +b sin2A ，则ca 的取值范围是 ．四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量a →=(3，2)，b →=(x ，−1)． （1）已知x ＝5，求向量a →与b →的夹角θ； （2）若(a →+2b →)⊥(2a →−b →)，求实数x 的值．18．（12分）已知复数z =5(1−i)1+2i +(2+i)2，i 为虚数单位． （1）求|z |和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程x 2+mx +n ＝0的一个根，求实数m ，n 的值．19．（12分）如图，某组合体是由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1与正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1组成，且PA 1=√32AB ． （1）若该组合体的表面积为36(5+√2)，求其体积； （2）证明：A 1B ∥平面D 1AC ．20．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，BD ，AC 相交于点O ，M 为BO 中点．设向量AB →=a →，AD →=b →． （1）求|a →−b →|的值； （2）用a →，b →表示BD →和AM →； （3）证明：AB →⊥BD →．21．（12分）在△ABC 中，a ＝6，sin A =32sin B ． （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． 条件①：∠B =2π3； 条件②：BC 边上中线的长为√17； 条件③：sin B ＝sin2A ．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．22．（12分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A ﹣B ﹣C ﹣A 为某区的一条健康步道，AB 、AC 为线段，BC ̂是以BC 为直径的半圆，AB ＝2√3km ，AC ＝4km ，∠BAC =π6． （1）求BĈ的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A ﹣D ﹣C （B ，D 在AC 两侧），其中AD ，CD 为线段．若∠ADC =π3，求新建的健康步道A ﹣D ﹣C 的路程最多可比原有健康步道A﹣B﹣C的路程增加多少长度？（精确到0.01km）2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分） 1．已知复数z ＝（2+i ）2，则z 的虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．4D ．4i解：∵z ＝（2+i ）2＝4+4i +i 2＝3+4i ，∴z 的虚部为4． 故选：C ．2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱解：对于选项A ，不是由棱锥截来的，所以A 不是棱台，故A 错误； 对于选项B ，上、下两个面不平行，所以不是圆台； 对于选项C ，是棱锥．对于选项D ，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D 是棱柱． 故选：C ．3．已知平面向量a →=(−2，6)与b →=(−4，λ)垂直，则λ的值是（ ） A ．43B ．−43C ．12D ．﹣12解：由题知a →⊥b →，即a →⋅b →=(−2，6)⋅(−4，λ)=8+6λ=0，解得λ=−43． 故选：B ．4．若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA →|=|OB →|=|OC →|，MA →⋅MB →=MB →⋅MC →=MC →•MA →，且NA →+NB →+NC →=0→，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的（ ） A ．重心，外心，垂心 B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心解：因为|OA →|=|OB →|=|OC →|，所以|OA |＝|OB |＝|OC |， 所以O 为△ABC 的外心；因为MA →⋅MB →=MB →⋅MC →=MC →•MA →， 所以MB →•（MA →−MC →）＝0， 即MB →•CA →=0，所以MB ⊥AC ， 同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ， 所以M 为△ABC 的垂心； 因为NA →+NB →+NC →=0→， 所以NA →+NB →=−NC →，设AB 的中点D ，则NA →+NB →=2ND →， 所以−NC →=2ND →，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC ＝2ND ， 所以N 为△ABC 的重心． 故选：D ．5．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积S =√3，则a sinA=（ ） A ．2√393B ．2√293C ．26√33D ．3√3解：因为A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积S =√3=12bc sin A =12×1×c ×√32，解得：c ＝4， 由余弦定理可得a =√b 2+c 2−2bccosA =√1+16−2×1×4×12=√13， 所以a sinA=√13√32=2√393． 故选：A ．6．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）A ．54B ．53C ．43D ．32解：在图2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面积为S =12×12×sin60°−12×（12）2×sin60°=3√316，高为2， ∴四棱柱的体积为V ＝2×3√316=3√38， 设图1中容器内水面高度为h ，则V =12×12×sin60°×ℎ=3√38，解得h =32． ∴图1中容器内水面的高度是32．故选：D ．7．圆O 为锐角△ABC 的外接圆，AC ＝2AB ＝2，点P 在圆O 上，则BP →⋅AO →的取值范围为（ ） A ．[−12，4)B ．[0，2）C ．[−12，2)D ．[0，4）解：由△ABC 为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，又BP →⋅AO →=(BO →+OP →)⋅AO →=BO →⋅AO →+OP →⋅AO →，而AC ＝2AB ＝2，若外接圆半径为r ， 因为AB sin∠ACB =2r ，∴1sin 12∠AOB=2r ，∴2r ⋅sin 12∠AOB =1， 两边平方得，4r 2⋅1−cos∠AOB2=1，∴2r 2（1﹣cos ∠AOB ）＝1，则2r 2（1﹣cos ∠AOB ）＝2r 2（1﹣cos2C ）＝1， 故cos2C =1−12r 2，且2r ＞2，即r ＞1， 由BO →⋅AO →=|BO →||AO →|cos∠AOB =r 2cos2C =r 2−12，对于OP →⋅AO →且P 在圆O 上，当AP 为直径时OP →⋅AO →=r 2，当A ，P 重合时OP →⋅AO →=−r 2， ∴OP →⋅AO →∈[−r 2，r 2]，综上，BP →⋅AO →∈[−12，2r 2−12]，锐角三角形中∠BAC ＜90°，则BC ＜√AC 2+AB 2=√5，即BC =2rsin ∠BAC ＜√5恒成立， ∴1＜r ＜√52，则2r 2−12＜2恒成立，综上所述，BP →⋅AO →的取值范围为[−12，2）． 故选：C ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3AC →⋅AB →−BA →⋅BC →=2CA →⋅CB →，2b ＝b cos C +c cos B ，则cos C 的值为（ ） A ．13B ．−13C ．18D ．−18解：由若3AC →⋅AB →−BA →⋅BC →=2CA →⋅CB →可得，3bc cos A ﹣ac cos B ＝2ab cos C ， 由余弦定理得3（b 2+c 2﹣a 2）﹣（a 2+c 2﹣b 2）＝2（a 2+b 2﹣c 2），即b 2+2c 2＝3a 2，①由正弦定理结合2b ＝b cos C +c cos B 可得，2sin B ＝sin B cos C +sin C cos B ＝sin （B +C ）＝sin A ，∴2b ＝a ② 由①②得，11b 2＝2c 2，cosC =a 2+b 2−c 22ab =5b 2−c 24b2=1011c 2−c 2811c 2=−18， 故选：D ．二、多选题（共4个小题，每小题5分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．） 9．如果平面向量a →=(2，0)，b →=(1，1)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|a →|=√2|b →|B ．a →⋅b →=2√2C ．(a →−b →)⊥b →D ．a →∥b →解：∵a →=(2，0)，b →=(1，1)， ∴|a →|=2，|b →|=√2， ∴|a →|=√2|b →|，∴A 正确；a →⋅b →=2，∴B 错误；(a →−b →)⋅b →=(1，−1)⋅(1，1)=1−1=0，∴(a →−b →)⊥b →，∴C 正确； ∵2×1﹣0×1≠0，∴a →∥b →错误，∴D 错误． 故选：AC ．10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =√7，b =2，A =π3，则（ ） A ．c ＝3B ．sinB =√217C ．sinC =√217D ．△ABC 外接圆的面积为7π3解：因为a =√7，b =2，A =π3， 由余弦定理得，a 2＝7＝4+c 2﹣2×2c ×12， 所以c ＝3，A 正确， 由正弦定理得asinA=b sinB=c sinC=2R ，所以sin B =2×√327=√217，sin C =3√2114，R =√213， 所以△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2=7π3，B 正确，C 错误，D 正确． 故选：ABD ．11．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A ．若复数z 满足z ⋅z =0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2 满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1z 2＝0C ．若复数z 1，z 2 满足|z |＝|z 2|，则z 12=z 22D ．若|z |＝1，则|z +1+i |的最大值为√2+1解：若复数z 满足z ⋅z =0，则|z |2＝0，得z ＝0，故A 正确；若复数z 1，z 2 满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，不一定有z 1z 2＝0，如z 1＝1，z 2＝i ，故B 错误；若复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|，不一定有z 12=z 22，如z 1＝1，z 2＝i ，故C 错误；若|z |＝1，如图：|z +1+i |的几何意义为圆上的动点到定点（﹣1，﹣1）的距离，则|z +1+i |的最大值为√2+1，故D 正确．故选：AD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AA 1，CC 1，C 1D 1的中点，Q 是线段D 1A 1上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面B ．存在点Q ，使PQ ∥平面MBNC ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为9π2D ．过Q ，M ，N 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形不可能是五边形解：对于A ：连接A 1B ，A 1P ，CD 1，如图所示：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CD 1∥A 1B ，∵P ，N 分别是C 1D 1，C 1C 中点，∴PN ∥CD 1，∴PN ∥A 1B ，故A 1，P ，N ，B 四点共面，当Q 与A 1重合时满足B ，N ，P ，Q 四点共面，故A 正确；对于B ：取A 1D 1中点为Q ，连接PQ ，QM ，A 1C 1，如图所示：∵M ，N 分别AA 1，CC 1中点，则A 1M 与C 1N 平行且相等，∴四边形A 1C 1NM 是平行四边形，∴MN ∥A 1C 1，又P 是C 1D 1中点，∴PQ ∥A 1C 1，∴PQ ∥MN ，又MN ⊂平面BMN ，PQ ⊄平面BMN ，故PQ ∥平面BMN ，故B 正确；对C ：由图形的对称性易知，经过C ，M ，B ，N 四点的球的球心为矩形AMNC 的中心，∴矩形AMNC 的对角线即为球的直径2R ，又易得矩形AMNC 的对角线长为√1+(2√2)2=3，∴R =32，∴经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为4πR 2＝9π，∴C 错误；对D ，由运动变化思想可得，当Q 与D 1重合时，过Q ，M ，N 三点的平面截正方体的截面为菱形BMD 1N ，当Q 在A 1D 1之间时，由对称性易得：过Q ，M ，N 三点的平面截正方体的截面为六边形，当当Q 与A 1重合时，过Q ，M ，N 三点的平面截正方体的截面为矩形ACC 1A 1，∴D 正确．故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）13．已知复数（m 2﹣3m ﹣1）+（m 2﹣5m ﹣6）i ＝3（其中i 为虚数单位），则实数m ＝ ﹣1 ．解：复数（m 2﹣3m ﹣1）+（m 2﹣5m ﹣6）i ＝3，则{m 2−3m −1=3m 2−5m −6=0，解得m ＝﹣1． 故答案为：﹣1．14．一艘船从河岸边出发向河对岸航行．已知船的速度v 1→的大小为|v 1→|=10km/ℎ，水流速度v 2→的大小为|v 2→|=3km/ℎ，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 √91 km /h ．解：要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，所以船实际航行的速度大小为√|v 1→|2−|v 2→|2=√91km /h ．故答案为：√91．15．祖暅（公元前5～6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，若S 圆＝S 环总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面半径为2，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是 8π ．解：因为总有S 圆＝S 环，圆柱的高为3，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积为V 柱−V 锥=22×3π−13π×22×3=8π，故答案为：8π．16．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且2c sin （B ﹣A ）＝2a sin A cos B +b sin2A ，则c a 的取值范围是 （1，2） ． 解：由正弦定理和正弦二倍角公式可得2sin C sin （B ﹣A ）＝2sin A sin A cos B +sin B sin2A ＝2sin A sin A cos B +2sin B sin A cos A ＝2sin A （sin A cos B +sin B cos A ）＝2sin A sin （A +B ），因为0＜C ＜π2，π−C =A +B ，所以sin （π﹣C ）＝sin （A +B ）＝sin C ≠0，可得sin （B ﹣A ）＝sin A ，因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜B −A ＜π2，所以B ＝2A ，C ＝π﹣3A ，由0＜B =2A ＜π2，0＜C =π−3A ＜π2可得π6＜A ＜π4， 所以√22＜cosA ＜√32，12＜cos 2A ＜34， 由正弦定理得c a =sinC sinA =sin3A sinA =sin(2A+A)sinA =sin2AcosA+cos2AsinA sinA = 2cos 2A +cos2A ＝4cos 2A ﹣1∈（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a →=(3，2)，b →=(x ，−1)．（1）已知x ＝5，求向量a →与b →的夹角θ；（2）若(a →+2b →)⊥(2a →−b →)，求实数x 的值．解：（1）根据题意，向量a →=(3，2)，b →=(x ，−1)．因为x ＝5，所以b →=(5，−1)，故cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=9+4×25+1=√22， 因为θ∈[0，π]，所以向量a →与b →的夹角θ=π4；（2）a →+2b →=(3，2)+(2x ，−2)=(3+2x ，0)，2a →−b →=(6，4)−(x ，−1)=(6−x ，5)， 由于(a →+2b →)⊥(2a →−b →)，所以(a →+2b →)⋅(2a →−b →)=(3+2x ，0)⋅(6−x ，5)=(3+2x)(6−x)=0，解得：x =−32或6，从而x =−32或6．18．（12分）已知复数z =5(1−i)1+2i +(2+i)2，i 为虚数单位．（1）求|z |和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程x 2+mx +n ＝0的一个根，求实数m ，n 的值．解：（1）∵z =5(1−i)1+2i +(2+i)2=5(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+4+4i −1=5(−1−3i)5+3+4i =2+i ， ∴|z|=√22+12=√5，z =2−i ；（2）∵复数z 是关于x 的方程x 2+mx +n ＝0的一个根，∴（2+i ）2+m （2+i ）+n ＝0，∴3+4i +2m +mi +n ＝0，∴（3+2m +n ）+（m +4）i ＝0，∴{3+2m +n =0m +4=0，解得m ＝﹣4，n ＝5； 综上，|z|=√5，z =2−i ，m =−4，n =5．19．（12分）如图，某组合体是由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1与正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1组成，且PA 1=√32AB ．（1）若该组合体的表面积为36(5+√2)，求其体积；（2）证明：A 1B ∥平面D 1AC ．解：（1）连接A 1C 1、B 1D 1交于点O ，连接PO ，由正棱锥的性质可知PO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，设AB ＝2a ，则PA 1=√3a ，A 1O =12A 1C 1=√2a ，∴PO =√PA 12−A 1O 2=a ，取B 1C 1的中点E ，连接PE ，则PE ⊥B 1C 1，且PE =√PB 12−B 1E 2=√2a ， 所以几何体的表面积为5×4a 2+4×12×2a ×√2a =(20+4√2)a 2=36(5+√2)，可得a ＝3， 所以该几何体的体积为(2a)3+13×4a 2×a =8×27+43×33=252；（2）证明：因为BC ∥A 1D 1，且BC ＝A 1D 1，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，则A 1B ∥D 1C ，A 1B ⊄平面D 1AC ，D 1C ⊂平面D 1AC ，所以A 1B ∥平面D 1AC ．20．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，BD ，AC 相交于点O ，M 为BO 中点．设向量AB →=a →，AD →=b →．（1）求|a →−b →|的值；（2）用a →，b →表示BD →和AM →；（3）证明：AB →⊥BD →．解：（1）在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，BD ，AC 相交于点O ，M 为BO 中点．又向量AB →=a →，AD →=b →，则|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√|a →|2−2|a →|⋅|b →|cos∠BAD +|b →|2=√1−2×1×2×12+4=√3； （2）由题意可得BD →=AD →−AB →=b →−a →，又∵M 为BO 中点，∴BM →=14BD →=14(b →−a →)，∴AM →=AB →+BM →=a →+14(b →−a →)=34a →+14b →； （3）证明：∵AB →⋅BD →=a →⋅(b →−a →)=a →⋅b →−a →2，又∵AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，∴a →⋅b →=1×2×12=1，∴AB →⋅BD →=a →⋅b →−a →2=1−1=0，所以AB →⊥BD →．21．（12分）在△ABC 中，a ＝6，sin A =32sin B ．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． 条件①：∠B =2π3；条件②：BC 边上中线的长为√17；条件③：sin B ＝sin2A ．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（I ）因为sinA =32sinB ，在△ABC 中，由正弦定理a sinA =b sinB ， 可得：a =32b ，又因为a ＝6，所以b ＝4；（Ⅱ）选择条件①，因为cos B =a 2+c 2−b 22ac， 所以−12=36+c 2−1612c ， 则c 2+6c +20＝0，无解；选择条件②，设BC 边上的中线为AD ，则AD =√17，CD =3，在△ACD 中，由余弦定理得：cosC =AC 2+CD 2−AD 22⋅AC⋅CD =42+32−(√17)22×4×3=13， 因为cosC =13，C ∈(0，π)，所以sinC =√1−cos 2C =2√23， 所以△ABC 的面积为S =12absinC =12×6×4×2√23=8√2；选择条件③，由题设，因为sin2A ＝2sin A cos A ，所以sin B ＝2sin A cos A ，因为sinA =32sinB ，所以sin B ＝3sin B cos A ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以cosA =13，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A 可得：36=16+c 2−2×4×c ×13，整理得3c 2﹣8c ﹣60＝0，解得c ＝6或−103（舍），因为cosA =13，A ∈(0，π)，所以sinA =√1−cos 2A =2√23，所以△ABC 的面积为S =12bcsinA =12×4×6×2√23=8√2．22．（12分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A ﹣B ﹣C ﹣A 为某区的一条健康步道，AB 、AC为线段，BC ̂是以BC 为直径的半圆，AB ＝2√3km ，AC ＝4km ，∠BAC =π6．（1）求BĈ的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A ﹣D ﹣C （B ，D 在AC 两侧），其中AD ，CD 为线段．若∠ADC =π3，求新建的健康步道A ﹣D ﹣C 的路程最多可比原有健康步道A ﹣B ﹣C 的路程增加多少长度？（精确到0.01km ）解：（1）连接BC ，△ABC 中，由余弦定理得BC =√AC 2+AB 2−2AC ⋅ABcos∠BAC =√16+12−2×4×2√3×√32=2， BC ̂=12×2×π×1=π，即π（km ）； （2）设AD ＝a ，CD ＝b ，△ACD 中，由余弦定理得16＝a 2+b 2﹣ab ，所以（a +b ）2＝16+3ab ≤16+3×(a+b2)2，解得a +b ≤8，当且仅当a ＝b ＝4时取得等号，新建健康步道A ﹣D ﹣C 的最长路程8km ，8−π−2√3≈1.39（km ），故新建健康步道A ﹣D ﹣C 的路程最多可比原来有健康步道A ﹣B ﹣C 的路程增加1.39（km ）．。
福建省厦门市20172018学年高一下学期期末质量检测数学试题扫描版含答案
"答18：本大WI共6小通，共70分，解答站出文字说臥证明也*6(10分).
巳知4人BC中，点4(4.3)»«(2,- n,A c Ott- 2y *2 =
(1)uc为/4«MM交虑，求ZBC的嗣
(2) 弄是以AB为聽边的等腰三介形,求点C的坐标
18.(12分)
如阳.itlAlgf村ABCD・A&CJ入中,底面ABCD是菱赠,LBAD・60・.£ 处CG的中=2/W=2.
A.若…g〃c.则〃cb.若a丄6,6丄c,则a〃(：
C・若。丄a』—,畑〃6D.若a〃以丄°,肌丄°
工已知扇形的匮心角为討,半径为4.则该扇形的面积雄
A-討B.劣c名40
「3u3tD.%
4・:知;-(3,“1)4,2),若a与b的方向相反,则实数x的值是B"C.・2或3
5•已知点彳(3,2)和0(.1 4)到宵纬亦D.2或-3
厦门市2017 -2018学年度第二学期高-年级质童护
数学试题
注意事项：
1•答卷前■考生务必将自己的往名、浪考证号填另在答时上・.
2,凹冬选择趙时,选出毎皿林后，用祐笔把山卡上对应豎?卄s..
賀动，用椽皮择干净后•再迄涂其E备賞标于.目蒼非诲岸题叶，将若衆"-*
试塚上无效.
3.考试姑束后，将卡支6T
图1
（第8题图）
A.讐+16B.讐+19C,字+16D.警+19
9.若圆'+/・4x+2y+m+6=0与y轴的交点4/位于原点同侧，则实数巾的取值范围是
A・m<-1B・m<-5C, -6<rn<-5
10.如图，正三梭柱ABC _ AM的廃面边长为月•侧棱长为1,
福建省厦门市湖滨中学高一数学下学期期中试题
厦门湖滨中学2015---2016学年第二学期期中考高一数学试卷A 卷一、选择题：（共10个小题，每题5分，共50分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的标号填涂在答题卡上.）1. 直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（ ）A ． 135°，1B ． 45°，﹣1C ． 45°，1D ． 135°，﹣12. 如图，矩形OABC′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA′＝6，OC′＝2，则原图形OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 2 3. 直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直4.．点（2，1）到直线3x ﹣4y+2=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ． 5. 直线y ＝x ＋4与圆(x －a)2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( )A ．3B ．2 2C ．3或－5D ．－3或56. 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)7. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1D ． 2 8. 以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝99. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323 cm 3D ．403cm 3 10. 已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．.53B ．213C ．253D ．43二、填空题：（共4个小题，每题4分，共16分.）11. 已知直线l 1：ax ＋(3－a)y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．12. 若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m ＝________.13. 设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．14. 直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．三、解答题：（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸上.）15.（10分）求过点A(1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．16.（ 10分） 如图，几何体EFABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.求证：AC ⊥FB ；17.（14分）如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ；(2)设BC ＝3，求四棱锥B DAA 1C 1的体积．B卷四、填空题：共4个小题，每题4分，共16分.18. 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．19. 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．20. 已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，则直线l 的方程为________．21. 在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．五、解答题：本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸上.22.（10分）已知光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．23. （12分）已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．24.（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．参考答案A 卷一、选择题：DABAC DDCCB二、填空题：11. 答案：212. 答案：－213. 答案：①14. (2，－2)三、解答题：15.（10分） 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43. （3分）又直线经过点A(1,3)， （5分）因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)， （9分）即4x ＋3y －13＝0. （10分）16. （10分） 解：(1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且 DC ∩DF ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF ， （2分）∴AD ⊥FC.∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC ，∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC. （5分）又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22， （7分）则有AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， （9分）又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB. （10分）17. （14分）解：(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示． ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线， （2分）∴OD ∥AB 1.∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， （5分）∴AB 1∥平面BC 1D. （7分）(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C.∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，连接A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE ⊥平面AA 1C 1C. （10分）∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，∴BE ＝AB·BC AC ＝613， （12分）∴四棱锥B AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD)·AA 1·BE＝16×3213×2×613＝3.（14分）B 卷四、填空题：18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，1219. 答案：(－1,1)20. 答案：x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝021. 答案：π2五、解答题：.22（10分）解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．(4分)由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1， (8分)即10x －3y ＋8＝0.（10分）23. （12分）解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，（2分） 则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. （3分）(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2， （5分）解得a ＝－34. （6分） (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD|＝|4＋2a|a 2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2， （8分）解得a ＝－7或a ＝－1. （10分）故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. （12分）24.（12分）解：（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，连PO ，由P ，O 分别是DD 1，BD 的中点，故PO ∥BD 1， （2分）∵PO ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC ，（3分）所以，直线BD 1∥平面PAC ． （4分）（2）长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，又DD 1⊥面ABCD ，则DD 1⊥AC ．（6分）∵BD ⊂平面BDD 1B 1，D 1D ⊂平面BDD 1B 1，BD∩D 1D=D ，∴AC ⊥面BDD 1B 1．∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面BDD 1B 1 ．(8分)（3）由（2）已证：AC ⊥面BDD 1B 1，∴CP 在平面BDD 1B 1内的射影为OP ，∴∠CPO 是CP 与平面BDD 1B 1所成的角．（10 分）依题意得，，在Rt △CPO 中，，∴∠CPO=30° ∴ CP 与平面BDD 1B 1所成的角为30°．（12分）。
福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==-r r ，则23a b -=r r （ ）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC V 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（ ）A ．B ．)C ．()0,2D ．)7．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥u u u r u u u r ，||AB t =u u u r ，1||AC t =u u u r ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB AC AP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题9．设复数12i 1iz +=+，则（ ） A ．z 的实部为32 B ．31i 22z =- C ．z 的虚部为1i 2 D ．1z =10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（ ）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC V 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b >C ．若0AC AB ⋅>u u u r u u u r ，则ABC V 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =ABC V 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r r ．以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r rC ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC V 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r ，则cos AMB ∠=三、填空题12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为 . 13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为 ．14．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S -V 的最大值为 .四、解答题15．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B =． (1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC V 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE xAB yAD =+u u u r u u u r u u u r ，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅u u u r u u u r 的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c b C a b--=+． (1)求sin A ；(2)若ABC V ①已知E 为BC 的中点，求ABC V 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC V 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)设点P 为ABC V 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
福建省厦门市湖滨中学2020学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
2. 已知数列 { a n} 满足 a1 1， an 1 a n 2(n N * ) ，则数列 { an} 的前 5
A． 9 B ． 16 C ． 25 D ． 36
3. 在 ABC 中，若 B
0
120 ， AC
BC
3,则
()
sin A
A.2
B.1
C.
3 D.
3
2
4. 若 a b 0 ，则下列不等式不可能．．． 成立的是（
23 3 ;5;
高一年级数学试卷答案
4 3 ;16
17 A=2,b=3; -4
≤a≤ 4
所以， n 的最小值为 13
.
…………………
20. 解：（Ⅰ）证明：∵ A B C ， sin（ A+ C ) 2sin A cos( A B
∴ sin B 2sin Acos C
在 ABC 中，由正弦定理得， b 2a cosC ，
∵（ 2m-1 ）≠ 0，∴
，
∵２k - 1∈ Z，∴２ m-1 为 100 的约数，
∴２m-1=1 ， m=1 ， k=61 ．
17 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 c cos A ， b cos
33
（ 1）求 B ；（ 2 ）若 a c
，b
2
3 ，求 △ ABC 的面积．
（ 2）当 b＝－ 4 时，对任意 x ∈ R 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围．
18.( 本题满分 12 分 )
如图，在四边形
ABCD中，
2
B
, AB
3
(1) 求 ACB 的大小；
3, S ABC
厦门市-2018高一下学期质量检测数学试题(终稿)
厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知α为第四象限角，2sin 3α=-，则cos α等于 A ．13B ．19C ．19-D ．13- 2．已知直线a ，b ，c ，平面α，则下列结论错误．．的是 A. 若//a b ，//b c ，则//a c B. 若a b ⊥，b c ⊥，则//a c C. 若a α⊥，b α⊥，则//a b D. 若//a b ，a α⊥，则b α⊥3．已知扇形的圆心角为56π，半径为4，则该扇形的面积为A ．53πB ．103πC ．203πD ．403π4．已知=(3,1)a x -，(,2)b x =，若a 与b 的方向相反，则实数x 的值为A ．2B ．3C ．2或3D ．2或3- 5．已知点(3,2)A 和(1,4)B -到直线30mx y ++=的距离相等，则实数m 的值为A ．0或21-B ．6-或21C ．6-或21-D ．0或21 6．已知点(1,2)A ，(3,1)B ，则AB 在y 轴正方向上的投影为 A ．3 B ．2 C ．2 D ．3 7．如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由关系式2sin()3h t π=+确定．下列结论正确的是A ．小球的最高点和最低点相距2厘米B ．小球在0t =时的高度1h =C ．每秒钟小球往复运动的次数为2πD ．从1t =到3t =，弹簧长度逐渐变长8．榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，是中国古建筑、家具及其它器械的主要结构方式，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件．图1所示的榫卯结构由两部分组成，其中一部分结构的三视图如图2所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该部分的表面积为A ．185164π+ B ．185194π+ C ．105162π+ D ．105192π+ 9．若圆224260x y x y m +-+++=与y 轴的交点,A B 位于原点同侧，则实数m 的取值范围是A ．1m <-B ．5m <-C ．65m -<<-D ．61m -<<-10．如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱长为1，M 为AB 的中点，则直线1A M 与1BC 所成角的正弦值是A.74B. 34C.3711．如图，在ABC △中，2ABC π∠=，AD 平分BAC ∠，过点B 作AD 的垂线，分别交AD ，AC 于E ，F ．若6AF =，8BC =，则=AE A ．13210AB AC + B ．1123AB AC +C ．23510AB AC +D ．2153AB AC +12．已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y m m =>的三个相邻交点的横坐标分别是21014,,333．当[,]x m A ∈时，)(x f 的值域为22[,]33-，则A 的值是A . 23B . 43C . 2D . 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．过圆22(4)(2)25x y ++-=上的点)21(--，M 作切线l ，则l 的方程是________． 14．已知sin()2cos απα+=，则2sin 2cos αα-=________．15．已知a ，b ，c 均是单位向量，若3a b c +=，则a 与b 的夹角为________． 16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，过1A C 的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知ABC △中，点(4,3)A ，(2,1)B -，点C 在直线l ：220x y -+=上．（1）若C 为l 与x 轴的交点，求ABC △的面积；（2）若ABC △是以AB 为底边的等腰三角形，求点C 的坐标．18．（12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，E 是1CC 的中点，122AA AB ==. （1）证明：1A E BD ⊥；（2）求直线E A 1与平面ABCD 所成角的大小．19．（12分）如图，角,αβ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，锐角α的终边与单位圆交于点A .（1）若点A 的坐标为43(,)55，OA 绕原点逆时针旋转4π，与角β的终边重合，求sin β；（2）已知点(0,3)C ，(1,0)D ，角α终边的反向延长线与单位圆交于点B ，求当角α取何值时，四边形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．20．（12分）一木块如图所示，点G 是SAC △的重心，过点G 将木块锯开，使截面平行于侧面SBC ． （1）在木块上画出符合要求的线，并说明理由； （2）若底面ABC 为等边三角形，232SA SB SC AB ====，求截面与平面SBC 之间的几何体的体积．21．（12分）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的周期为π，其图象关于直线4x π=对称．（1）求()f x 的解析式，并画出其在区间[]0,π上的图象；（2）将()f x 图象上的点的横坐标缩短至原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移8π个单位得到()g x 的图象．当[]0,10x π∈时，求函数()()(21)()1F x g x a f x a =++--(01)a ≤<的零点个数．22．（12分）如图，圆C 与x 轴交于点(1,0)A -，(1,0)B ，其在x 轴下方的部分和半圆221x y +=(0)y ≥组成曲线Γ．过点A 的直线l 与Γ的其它两个交点为E ，F ，且点E 在x 轴上方．当E 在y 轴上时，2FA AE =．（1）求C 的方程；（2）延长EB 交Γ于点G ．求证：CFG △的面积为定值．厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测数学参考答案一、选择题1~5 ABCAB ；6~10 DDCCB ；11~12 AB 第12题参考解答：21014()()()0333f f f m ===>，142433T ∴=-=，22T ππω∴==， 又10214103333->-，∴当1023322x +==时，()f x 取最小值， 则32222k ππϕπ⨯+=+，2,2k k πϕπ∴=+∈Z ， ()sin()cos 222f x A x A x πππ∴=+=2()32A m f ∴==．依题意23A ≥，若23A =，222A T A m -=≥=，与23A =矛盾，舍去；若23A >，则()f x 在[],m A 上单调，2T A m ∴-<，即4A <．()()22033f m f A +=-+=，()02m Af +∴=，则222m A k πππ+⨯=+，4833A k ∴=+,k ∈Z ，43A ∴=． 二、填空题13．3450x y --= 14．1- 15．60︒ 16．三、解答题17．本题考查直线平行与垂直的性质、点到直线的距离、两点距离公式以及三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合的数学思想．本题满分10分． 解：（1）法一：点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，(2,0)C ∴- ····················· 1分2AB k =，∴直线AB 的方程为250x y --=， ··········· 2分C 到直线AB的距离d =························ 3分AB=， ······························ 4分 1122ABC S AB d ∆∴=⨯⨯=⨯ ··················· 5分法二：点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，(2,0)C ∴- ····················· 1分 2AB k =，直线AB 的方程为250x y --=， ············ 2分令0y =，则52x =， ···························· 3分15(2)(13)922ABC S ∆∴=⨯+⨯+= ······················ 5分（2）AB 中点的坐标为(3,1)，2AB k = ···················· 6分AB ∴的中垂线方程为11(3)2y x -=--，即250x y +-= ··········· 7分联立250220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， ··························· 8分得3274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点37(,)24C ························· 10分18．本题考查线面的位置关系、线面角等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力，考查化归转化的数学思想．本题满分12分． 解：（1）证明：连结AC ， 四边形ABCD 是菱形∴AC BD ⊥ ··················· 1分1AA ⊥平面ABCD∴1AA BD ⊥ ··················· 2分又1AA AC A = ···························· 3分∴BD ⊥平面1ACEA ···························· 5分 ∴1A E BD ⊥ ······························· 6分（2）法一：取1AA 中点F ，连结CF ，则1//A E CF ·············· 7分 ∴CF 与平面ABCD 所成角等于1A E 与平面ABCD 所成角又1AA ⊥平面ABCD∴ FCA ∠为CF 与平面ABCD 所成角 ········ 9分又60BAD ∠=︒，1AB = ∴3AC =···················10分 3tan 3AF FCA AC ∠===························ 11分 ∴30FCA ∠=︒即1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ······················ 12分法二：1//CE AA ，且1CE AA ≠分别延长1A E 与AC ，相交于点G ······· 7分 且1AA ⊥平面ABCD∴ 1A GA ∠为1A E 与平面ABCD 所成角 ····· 9分又60BAD ∠=︒，1AB =∴3AC =················10分 又223AG AC ==∴113tan 323AA AGA AG ∠===······················ 11分 ∴130AGA ∠=︒ ∴1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ······················ 12分法三：平面//ABCD 平面1111A B C D∴1A E 与平面ABCD 所成角等于1A E 与平面1111A B C D 所成角 ·········· 7分连结11A C ，又1CC ⊥平面1111A B C D∴11C A E ∠为1A E 与平面1111A B C D 所成角 ········ 9分又11160B A D ∠=︒，111A B =∴113AC = ···················· 10分 ∴111113tan 3A E C A E AC ∠=== ··········· 11分 ∴1130C A E ∠=︒，∴1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ············· 12分19．本题考查三角函数定义、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归转化、数形结合等数学思想．本题满分12分． 解：（1）依题意得43cos ,sin 55αα== ···················· 1分 角α的终边绕原点逆时针转4π与角β的终边重合，∴=+2,4k k πβαπ+∈Z ·························· 2分FDEBCG∴sin sin()4πβα=+··························· 3分sin coscos sin44ππαα=+ ························· 4分324272525210=⨯+⨯=························· 5分 （2）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，由三角函数的定义得0cos x α=，0sin y α=，∴(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B αα--， ·················· 7分 ∴四边形ABCD 的面积OAD ODC OCB S S S S ∆∆∆=++111||sin ||||||cos 222OD OD OC OC αα=⋅+⋅+⋅ 133sin 2αα=++························· 9分 3sin()3πα=++···························· 10分 02πα<<，∴5336πππα<+<····················· 11分 ∴当32ππα+=时，即6πα=时，四边形ABCD 的面积达到最大值31 ···· 12分 20．本题考查线面、面面位置关系、空间几何体体积公式等基础知识，考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归转化与数形结合等数学思想．本题满分12分． 解：（1）如图所示，过点G 作直线//EG SC ，分别交AC ，SA 于D ，E 两点， 再过点E 作直线//EF SB ，交AB 于点F ，连接DF . ············· 2分//DE SC ， DE SBC ⊄平面，SC SBC ⊂平面//DE SBC ∴平面，同理，//EF SBC 平面 ···· 4分又DE EF E =，DE DEF ⊂平面，EF DEF ⊂平面 ，G DE DEF ∈⊂平面.DEF G SBC ∴平面即过点且平行于平面的截面DE ∴，EF ，FD 即为所求． ······················· 6分（2）法一：32SA SB AB === 222SA SB AB ∴+=，即SA SB ⊥， ····················· 7分同理SB SC ⊥，SC SA ⊥， 又SB SC S =，故SA SBC ⊥面， ···················· 8分∴1119=3322S ABC SBC V S SA SB SC SA -∆=⋅⨯⋅⋅= ················ 9分 由（1）知，//DEF SBC 平面平面，所以，SA DEF ⊥平面. 点G 是SAC ∆的重心，//DE SC ，//EF SB ∴23DE AE EF SC SA SB === 311128332=111327332DEF A DEF A SBCSBC S AE DE EF AEV V S SA SC SB SA ∆--∆⋅⨯⋅⋅⎛⎫∴===⎪⎝⎭⋅⨯⋅⋅ ··········· 11分 891919(1)272276DEF SBC A SBC V V --∴=⋅-=⨯=·················· 12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.法二：同法一得92S ABC V -=，23DE AE EF SC SA SB ===2DE AE EF ∴=== DE EF ⊥11143323A DEF DEF V S AE DE EF AE -∆∴=⋅=⨯⋅⋅= ···············11分9419236DEF SBC A SBC A DEF V V V ---∴=-=-= ··················12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.法三：取BC 的中点H ,连接AH ，过点S 作SO ABC ⊥平面于点O ，再过点E 作EO ABC '⊥平面于点O '.依题意可知三棱锥S ABC -是正三棱锥. ······· 7分 SOABC ⊥面于点O，∴点O 是ABC ∆的重心，从而22332AO AH AB ==⨯=. SO ∴=，∴122ABC S BC AH =⋅=△， 1932S ABC ABC V S SO -∆∴=⋅=. ························ 9分点G 是SAC ∆的重心，//DE SC ，//EF SB ， ∴23ED EA EF SC SA SB===，2ED EA EF ∴=== 又由//DEF SBC 平面平面的易得//DF BC ， ADF ABC ∴∽△△，ADF ∴△也是等边三角形，且AD DF FA ===，∴三棱锥E ADF -也是正三棱锥，12ADF S DF AO =⋅=△，233EO SO '==， ∴1143333E ADF ADF V S EO -∆'=⋅=⨯= ················ 11分 9419236DEF ABC A SBC A DEF V V V ---∴=-=-= ··················12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.21．本题考查三角函数图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解与推理论证等能力；考查函数与方程、分类讨论、数形结合等思想．本题满分12分． 解：（1）2ππω=，2ω∴=；······················· 1分 函数()f x 图象关于4x π= 对称，∴sin()12πϕ+=±法一： ∴,22k k ππϕπ+=+∈Z ，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ····· 3分法二：∴cos 1ϕ=±，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ··············· 3分∴函数()f x 的解析式为()sin 2f x x =····································· 5分 （不列表格不扣分，在图中找到5个关键点1分，图象1分）（2）依题意得()sin(4)2g x x π=+······················ 6分∴()sin(4)(21)sin 212F x x a x a π=+++-- cos 4(21)sin 21x a x a =++--······················· 7分 2(12sin 2)(21)sin 21x a x a =-++-- ············ 8分22sin 2(21)sin 2(2sin 21)(sin 2)x a x a x x a =-++-=---令()0F x =，∴1sin 22x =或sin 2x a = ··················· 9分 1sin 22x =在上有2个实根，1sin 22x =在(]0,10π上有20个实根， （i ）当12a =时，又，函数()F x 在区间[]0,10π上有20个零点． ····································· 10分 （ii ）当0a =时，sin 20x =在上有2个根 ，则()F x 在(]0,10π有20个根，又sin 20x =在[]0,10π上有21个实根，函数()F x 在区间[]0,10π上有41个零点． ································· 11分 （iii ）当102a <<或112a <<时，sin 2x a =在上有2个实根，sin 2x a =在(]0,10π 上有20个实根，又函数()F x 在区间[]0,10π上有40个零点． ····································· 12分22．本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系、两点距离公式以及向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合等数学思想．本题满分12分．解：（1）法一：由题意，当E 在y 轴上时，坐标为()0,1E ，设(),F x y ，∴()1,1AE =，()1,FA x y =---，2FA AE =，122x y --=⎧∴⎨-=⎩， ∴3,2x y =-=-，∴()3,2F --． ····················· 2分 圆C 过A ，B 两点，∴圆心C 位于AB 的中垂线上，即点C 在y 轴上，设()0,C c，则半径||CA =C 方程为()2221x y c c +-=+， 圆C 过()3,2F --，∴()22921c c ++=+，∴3c =- ············ 4分 ∴圆C 方程为()22310x y ++=. ······················ 5分 法二：同法一，得()3,2F -- ························ 2分 易知线段AB 的中垂线与线段AF 中垂线的交点为圆心C ．AF 的中点为()2,1--，直线AF 的斜率1AF k =，∴AF 中垂线的方程为3y x =--， ····················· 3分 又AB 的中垂线为0x =，∴ C ()0,3-，∴半径||CA =， ····················· 4分 ∴圆C 方程为()22310x y ++=. ······················ 5分 （2）法一：设直线l 的方程为()10x my m =->，联立直线l 与圆C 方程，得()()221310my y -++=， (]0,π∴1sin 02≠∴(]0,πsin 00=∴∴(]0,π∴sin 0a ≠∴即()()221620m y m y ++-=，解得0y =或2261m y m -=+， ··········· 6分 所以2261F m y m -=+， 点F 在x 轴下方，∴260m -<，即3m <； 将F y 代入直线l ，F 的横坐标为22611F m m x m --=+， ∴点F 坐标为2226126(,)11m m m m m ---++； ···················· 7分 同理，设直线EB 的方程为1l ：11x y m=-+， 与圆C 方程()22310x y ++=联立，得到2212160y y m m ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得0y =或22261m m y m -=+，所以点G 的纵坐标为22261G m m y m -=+， ······ 8分 点G 在x 轴下方，∴2260m m -<，即13m >； 将G y 代入直线1l ，G 的横坐标为22611G m m x m +-=+； ∴点G 坐标为22226126(,)11m m m m m m +--++ ··················· 9分FG ∴==6 ··············· 11分 CFG △为等腰三角形，∴CFG △的高1h ===， 132CFG S FG h ∆∴=⋅=为定值． ······················ 12分 法二：注意到ABE ∠为圆C 内接四边形ABGF 中ABG ∠的外角，故由圆内接四边形的几何性质知=ABE EFG ∠∠，同理， =EAB EGF ∠∠；EGF ∴△∽AEB △，=EG EF FG EA EB AB∴= ······· 8分 联结,AC BF ，12ACO ACB EFB ∠=∠=∠， 又EFB △与AOC △均为直角三角形，EFB AOC ∴∽△△， ········· 10分 3EF OC EB OA ∴==，=3FG AB∴，2AB =，6FG ∴=为定值 ·········· 11分 以下同法一． ······························· 12分。
福建省厦门市湖滨中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题【word版】.doc
厦门市湖滨中学2018---2019学年第二学期期中考高一年级数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
一.选择题(每题5分，共50分.其中9.10是多选题)1.不等式21x <的解集是（ ）A ．{|1}x x < B ．{|11}x x -<< C ．{|1x x <-或1x >｝ D ．{|1x x <-且1}x > 2.已知数列}{n a 满足11=a ，)(2*1N n a a n n ∈+=+，则数列}{n a 的前5项和5S ＝（ ） A ．9 B ．16 C ．25 D ．363.在ABC ∆中，若0120B =，AC =则sin BC A=( )A.2B.1 4.若0a b <<，则下列不等式不可能．．．成立的是（ ） A. 11a b > B. 22a b > C.+0a b < D. 0ab < 5.在等比数列{}n a 中，73a =，则3539log log a a +=（ ）A ．1B ．2C ．32log 2+D ．3 6.若1,a >则11a a +-的最小值是( ) A.2 B.a C. 3 D.47.一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 8.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A C B --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为( )A.2（再提醒以下两题是多选题）9．对于ABC ∆，有如下判断,其中正确的判断是 （ ）A.若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形. B.若A B >,则 s i n s i n A B>. C.若︒===60,10,8B c a ，则符合条件的ABC ∆有两个.D.若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形.10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，侧面11AA C C 中心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动 点.有下列判断,正确的是（ ）A.直三棱柱侧面积是4+； B.直三棱柱体积是13； C.三棱锥1E AAO -的体积为定值； D.1AE EC +的最小值为二.填空题（每小题5分，共30分）11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且满足258a a =，则42S S 的值为12.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝4，O ′C ′＝1，则原图形周长是 ． 13.设△ABC 的内角A.B.C 所对的边分别为,,a b c，若222()tan ac b B +-=，2b =则△ABC的外接圆半径的值为 ． 14.如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站7海里，该轮船从B 处沿正西方向航行3海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离5海里，则此时轮船离港口A 有 海里。
2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中数学试题(含答案解析)
2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．不等式21x <的解集是（ ） A ．{1}x x <B ．{11}x x -<<C ．{|1x x <-或1}x >D ．{|1x x <-且1}x >【答案】B【解析】利用因式分解，结合一元二次不等式的解法求不等式． 【详解】∵21x <，∴()()21110x x x -=-+<，解得11x -<<，∴不等式的解集为{11}x x -<<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，解集的定义，属于基础题．2．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，则数列{}n a 的前5项和5S =（ ） A ．9 B ．16C ．25D ．36【答案】C【解析】由题意可得，数列{}n a 为以1为首项以2为公差的等差数列，根据等差数列的前n 项和公式计算即可． 【详解】∵11a =，12n n a a +=+，即12n n a a +-=，∴{}n a 数列为以1为首项，以2为公差的等差数列，∴55(51)512252S ⨯-=⨯+⨯=. 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的定义和求和公式的应用，属于基础题.3．在ABC ∆中，若120B ︒=，AC =sin BCA=（ ）A ．2B ．1C D 【答案】A【解析】利用正弦定理列出关系式，将sin B ，AC 的值代入即可求出所求式子的值． 【详解】∵在ABC ∆中，若120B ︒=，AC =∴由正弦定理sin sin BC ACA B==＝2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题． 4．若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是 ( ) A ．11a b> B ．22a b > C ．0a b +< D ．0ab <【答案】D【解析】由不等式的基本性质逐个分析即可. 【详解】由0a b <<，可得11a b>，22a b >，0a b +<，0ab >，即A,B,C 都成立，D 不可能成立.故选D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质.由基本性质推理或特殊值验证求解. 5．在等比数列{}n a 中，73a =，则3539log log a a +=（ ） A ．1 B ．2C ．32log 2+D ．3【答案】B【解析】分析：对所求式子利用对数的运算法则计算，再利用等比数列的性质化简即可. 详解：()2353935937373log log log log 2log 2log 32a a a a a a +=⋅====.故选：B.点睛：此题考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键. 6．若1a >，则11a a +-的最小值是（ ） A ．2B ．aC ．3D ．4【答案】C【解析】利用基本不等式化简求解即可． 【详解】因为1a >，所以10a ->，则11111311a a a a +=-++≥=--， 当且仅当111a a -=-，即2a =时取等号. 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，属于基础题．7．一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】A【解析】由球的体积求出正方体的对角线，然后求出正方体的棱长，再求它的表面积． 【详解】设球的半径为R ，正方体棱长为a ，则343R π=，R ，2R a ，得a ＝2，所以S ＝6×22＝24. 故选：A ． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查空间想象能力，属于基础题．8．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】由两角和、差的余弦和正弦定理可得：ABC ∆为正三角形，设AC x =，由基本不等式得：S △ACD ＝12(2)sin 23x x π-22(2)2x x x x +-⎫-⎪⎝⎭…＝4（当且仅当x ＝2﹣x 即x ＝1时取等号）得解． 【详解】因为1cos()cos 2A CB --=，所以()1cos()cos 2A C A C -++=，所以1cos 4AcoaC =，①因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，由正弦定理得：sin 2B ＝sin A sin C ，②①﹣②得：()21sin cos cos sin sin cos cos 4B AC A C A C B -=-=+=-， 化简得：4cos 2B +4cos B ﹣3＝0，解得：cos B ＝12或cos B ＝32-（舍），又0＜B ＜π，所以B ＝3π， ①+②：()21sin cos cos sin sin cos 4B AC A C A C +=+=-，∴cos （A ﹣C ）＝1，即A ﹣C ＝0，即A ＝C ，即三角形ABC 为正三角形，如图所示，设AC x =，则2CD x =-，由已知得0＜x ＜2，则S △ACD ＝12(2)sin 23x x π-＝2332(2)442x x x x +-⎛⎫- ⎪⎝⎭…＝3（当且仅当x ＝2﹣x ，即x ＝1时取等号） 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式求最值，根据三角函数的值求角，属于中档题．二、多选题9．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形 【答案】BD【解析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b ＝22181028102+-⨯⨯⨯＝84，只有一解，故C 错误；对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ︒∠=，侧面11AAC C 中心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）A ．直三棱柱侧面积是422+B ．直三棱柱体积是13C ．三棱锥1E AAO -的体积为定值D ．1AE EC +的最小值为22【答案】ACD【解析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A 与B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D ． 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ︒∠= 底面ABC 和111A B C 是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+22242211⨯=++，故A 正确；直三棱柱的体积为1111212ABC V S AA ∆==⨯⨯⨯=，故B 不正确； 由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱1BB 上的一个动点，∴ 三棱锥1E AAO -的高为定值22， 114AA O S ∆=×2×2＝22，∴1E AA OV -=13×22×22＝16，故C 正确； 设BE ＝x []0,2∈，则B 1E ＝2﹣x ，在Rt ABC ∆和11Rt EB C ∆中，∴1AE EC +＝2211(2)x x +++-．由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当E 为1BB 的中点时，其最小值为222222+=，故D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题．三、填空题11．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2580a a -=，则42S S =___________． 【答案】5【解析】试题分析：由2580a a -=，得35252882a a a q q a =⇒==⇒=，所以334121(1)(1)S a q q q S a q +++=+ 33151q q q q+++==+．【考点】等比数列的通项公式及性质．12．如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，1O C ''=，则原图形周长是________.【答案】842+【解析】由斜二测画法的规则计算即可. 【详解】由斜二测画法的规则，得与'x 轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度为原来一半．则原图形中4OA O A ''==，由1O C ''=，得原图形中OC 所对的边长为22112+=，则原图形的周长是：(2422842+=+故答案为：842+ 【点睛】本题考查的知识点是平面图形的直观图，掌握斜二测画法的规则是关键，属于基础题. 13．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()222tan 3a c bB ac +-=，2b =，则ABC ∆的外接圆半径为________.233【解析】等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简求出sin B 的值，从而求出B 的度数，由正弦定理得出结果． 【详解】在ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，Q ()222tan 3a c bB ac +-=，化简得：2222a c b ac +-•tan B ＝cos B •tan B ＝sin B ＝32，∵()0,B π∈，∴B ＝3π或B ＝23π．且2b =，由正弦定理得432sin 33b R B === ，233R ∴=. 故答案为：233【点睛】本题考查了余弦定理和正弦定理的应用，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题． 14．如图，港口A 北偏东30︒方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站7海里，该轮船从B 处沿正西方向航行3海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离5海里，则此时轮船离港口A 有________海里.【答案】5【解析】在△BDC 中，先由余弦定理可得cos ∠CDB ，进而可求∠CDB ，可得△ACD 是等边三角形，即可求得结论． 【详解】根据题意得：在△BDC 中，由余弦定理可得cos ∠CDB ＝222222*3572235BD CD BC BD CD +-+-=⨯⨯＝﹣12， ∴∠CDB ＝120°，∴∠CDA ＝60°，且∠A ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∵CD ＝5海里，∴AD ＝5海里． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，属于基础题．15．已知数列{}n a 中，32a =，71a =.若数列1n a 禳镲睚镲铪为等差数列，则5a =________.【答案】43【解析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则71a ＝31a +4d ，即1＝12+4d ，解得d ＝18，则51a ＝31a +2d ＝11228+⨯＝34，解得543a =． 故答案为：43． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．已知0,0a b >>，若不等式119ma b a b+≥+恒成立，求m 的最大值为____. 【答案】16【解析】由119m a b a b +≥+恒成立,可得()119m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，则m 的最大值就是()119a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值，用基本不等式可求. 【详解】 不等式119m a b a b +≥+恒成立,则()119910b a m a b a b a b ⎛⎫≤++=++ ⎪⎝⎭恒成立.因为9101016b a a b ++≥=，当且仅当3a b =时等号成立， 所以16m ≤，即m 的最大值为16. 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，不等式的恒成立问题.若(),m f a b ≤恒成立，则()min ,m f a b ≤.四、解答题17．已知函数()2f x x ax b =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值；（2）当4b =-时，对任意x ∈R ，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）2,3a b ==；（2）[]4,4-.【解析】(1) 利用一元二次不等式解集区间的端点就是相应方程的根求解即可. (2)()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，由二次项系数小于0，则0∆≤.列不等式求解即可. 【详解】(1)因为()20f x x ax b =-++>的解集为()1,3-，所以关于x 的方程20x ax b -++=的两个根为1,3-. 所以13,13a b =-+-=-⨯，解得2,3a b ==.(2)由题意得()240f x x ax =-+-≤对任意x ∈R 恒成立，所以()()22414160a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，解得44a -≤≤，即a 的取值范围是[]4,4-. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集和恒成立问题,结合一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系进行求解是解题的关键. 18．如图，在四边形ABCD 中，23B π∠=，3AB =，334ABC S =△.（1）求ACB ∠的大小； （2）若BC CD ⊥，4ADC π∠=，求AD 的长.【答案】（1）6π；（2）362【解析】（1）在△ABC 中，利用三角形的面积得AB ＝BC ，由23B π∠=，进而利用三角形内角和得∠ACB ；（2）由（1）与已知可求∠ACD ＝3π，在△ABC 中，由余弦定理可得AC ，在△ACD 中，由正弦定理可得AD ．【详解】（1）在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •BC •sin ∠ABC，得12BC ⨯sin 23π＝4，∴BC =，∴AB ＝BC ，又∵2π3B ∠=，∴∠ACB 2326πππ-==； （2）∵BC ⊥CD ，由（1）得∠ACD 263πππ=-=，在△ABC 中， 由余弦定理可得：AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos 23π2+）2﹣12⎛⎫-⎪⎝⎭＝9， ∴AC ＝3，∴在△ACD 中，由正弦定理可得：AD ＝sin sin AC ACD ADC ⋅∠∠＝3sin3sin 4ππ⨯＝2． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19．数列{}n a 是公比大于1的等比数列，21a =，372S =，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设6n n b a n =+-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1122n n T a >+，求n 的最小值. 【答案】（1）22n n a -=；（2）4【解析】（1）由等比数列的通项公式和前n 项和公式计算即可；（2）由（1）得226n n n b -+-=，利用等比数列和等差数列的前n 项和公式计算得()()112122nn n n T +=-+，且1122n n T a >+恒成立，计算即可得. 【详解】（1）数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设公比为1q >，由23172a S =⎧⎪⎨=⎪⎩，得()13111712a q a q q=⎧⎪-⎨=⎪-⎩ ，解得1122a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或1212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），所以11211222n n n n a a q ---==⨯=，即22n n a -= ； （2）由（1）得2662n n n n b a n -=+-=+-，所以()()()()112561122112222n n n n n n n T --+++=+=-+-，Q 1122n n T a >+ ∴()()111111212222122n n n a n n ->++=+-+，化简得()()430n n +->，解得3n >或4n <-（舍）所以，n 的最小值为4. 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的前n 项和公式的应用，一元二次不等式的解法，属于基础题.20．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()sin 2sin cos A C A A B +=+，且34C π=. （1）求证：,,2a b a 成等比数列； （2）若ABC ∆的面积是2，求c 边的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用正弦定理化简()()sin 2sin cos A C A A B +=+得到b = ，再证明,,2a b a 成等比数列.(2)第(2)问，先计算出2,a b ==，再利用余弦定理求出c 的长. 试题解析：（1）证明：∵ A B C π++=，()sin +)2sin cos A C A A B =+（， ∴sin 2sin cos B A C =-在ABC ∆中，由正弦定理得，2cos b a C =-， ∵34C π=，∴b =， 则2222b a a a ==⋅ ∴,,2a b a 成等比数列；（2）1sin 224S ab C ab ===，则ab =， 由（1）知，b = ，,联立两式解得2,a b == ，由余弦定理得，2222cos 4822202c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎝⎭，∴c =.21．已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，且sin 2sin C A =． （1）求角A 、B 、C ；（2）设数列{}n a 满足2cos nn a nC =，前n 项为和n S ，若340n S =，求n 的值．【答案】（Ⅰ）π3B =．ππ26C A ==，．（Ⅱ）8n =或9n =． 【解析】【详解】（Ⅰ）由已知得2B A C =+，又πA B C ++=，所以π3B =． 又由sin 2sin C A =，得2c a =，所以2222π422cos33b a a a a a =+-⋅=，所以222c a b =+，所以ABC V 为直角三角形，ππππ2236C A ==-=，． （Ⅱ）n a =0π2cos 2cos{22.n nn n n nC n ==，为奇数，，为偶数 所以22+2242*2124(12)24020202143k k kk k S S k N L ，+--==++++++==∈-，由22243403k +-=，得2221024k +=，所以4k =，所以8n =或9n =．22．已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21(2)n n n a S S n -=+≥，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式，若12231111n n k a a a a a a +++⋯+<恒成立，求k 的范围； （2）设()()211n n n b a a a =---，若{}n b 是递增数列，求实数a 的取值范围.【答案】（1）,1n a n k =≥；（2）()1,-+∞【解析】（1）由21(2)n n n a S S n -=+≥，得21n a -＝S n ﹣1+S n ﹣2，（n ≥3）．相减可得：221n n a a --＝a n +a n ﹣1，（n ≥3），根据a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1＝1（n ≥3），当n ＝2时，22a ＝a 1+a 2+a 1，解得2a ，进而得出a n ，利用裂项相消法化简122311111111n n a a a a a a n +++⋯+=-<+恒成立，从而求出k 的范围；（2）由（1）得n b =（n ﹣1）2+a （n ﹣1），利用{}n b 是递增数列，可得b n +1﹣b n ＞0恒成立，即可实数a 的取值范围． 【详解】（1）由21(2)n n n a S S n -=+≥，得21n a -＝S n -1+S n ﹣2，（n ≥3）．相减可得：221n n a a --＝a n +a n﹣1（n ≥3），∵a n ＞0，∴a n ﹣1＞0，∴平方差公式化简得a n ﹣a n ﹣1＝1，（n ≥3）．当n ＝2时，22a ＝a 1+a 2+a 1，且11a =，∴22a ＝2+2a ，2a ＞0，∴2a ＝2或2a =-1．因此当n ＝2时，a n ﹣a n ﹣1＝1成立．∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n ＝1+n ﹣1＝n ．()1223111111112231n n n a a a a a a n +++⋯+=++⋯+⨯⨯+1111111 (1122311)n n n =-+-++-=-<++由题意得，k 1≥.（2）由（1）得，()()211n n n b a a a =---＝（n ﹣1）2+a （n ﹣1），∵{}n b 是递增数列，∴b n +1﹣b n ＝n 2+an ﹣（n ﹣1）2﹣a （n ﹣1）＝2n +a ﹣1＞0， 即12a n >-恒成立，∵121n -≤-，∴a >﹣1，∴实数a 的取值范围是()1,-+∞． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.。