广州大学2011-2012复变函数期末考试卷B卷

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复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（）

A. 12i +

B. 12i --

C. 12i -

D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部

B. Re()0z >表示上半平面

C. 0arg 4

z π

表示角形区域

D. Im()0z

4．关于0

lim

z z

ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω=

B. ω不存在

C.1ω=-

1ω=

5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（）

A. cos z 是有界函数

B. 2

2Lnz Lnz =

．在下列复数中，使得z

e i =成立的是（） 8．已知3

1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分

||34

2z dz z =-⎰的值为（）

A. 8i π

B.2

C. 2i π

D. 4i π

10．设C 为正向圆周||4z =, 则10

()z

C e dz z i π-⎰等于（） A.

10!

210!

π C.

29!

π D.

29!

π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（）

A.级数0327n

n i ∞

=+⎛⎫

⎪⎝

⎭∑是绝对收敛的

B.级数

212

(1)n n i

n n ∞

=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛

D.在收敛圆周上，条件收敛

12．0=z 是函数(1cos )

【华南师范大学】复变函数(级数、留数)含答案

2011/2012学年（一）学期月考试卷

《复变函数》试卷参考答案

专业电子信息工程年级2010班级姓名学号

一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设),2)(32(i i z +--=则arg z =8arctan -π

2、设C 为正向圆周2ξ=，3sin()

() C f z d z π

ζζζ=-⎰，其中2z <，则1'()f =i 32π

3、积分

||7

11cos z z

dz z =+=-⎰ .12i π 解：

11cos z

+-在圆周7z =内部有三个孤立奇点1230,2,2z z z ππ===-

24222111111

11cos ()

1(1)2!4!2!4!

z z z z z z z

z z z ϕ++++=

=⋅=⋅---++-+

因为2

12!4!

z -+ 为复平面内的收敛幂级数，和函数()z ϕ是解析的，并且在0z =处

不等于零，所以

()

z ϕ在0z =处解析，可以展开为0z =处的泰勒级数。又因为它是偶函数，泰勒级数中必不含z 的奇次幂项，所以可以写成24242c z c z +++ ，故

242422221122(2)1cos z z c z c z c c z z z z z ++=⋅+++=++++- ，

1Re [,0]21cos

s z

+=- 242

22211111

(2)(2)1(2)1cos 1cos(2)

(2)1[1]2!4!2!4!

1112(2)1(2)(2)(2)(2)

z z

z z z z z z z z z z z z z z ππππππππϕππϕπ++++==

《复变函数》考试试题与标准答案各种总结

《复变函数》考试试题与答案各种总结

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

《复变函数》考试试题（一）

一、判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若

}

{n z 收敛，则

} {Re n z 与

}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且

0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若

)

(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( )

9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C

0)(=?

dz z f .

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域

D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）

1、 =-?=-1||0

0)(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

2011.9-2012.1复变函数试卷--A答

得分评阅人

一、判断分析题（要求写出充分的理由.每小题4分，共8分）

1.函数22()f z xy ix y =+在z 平面上处处解析。解答：该命题错误。

记2(,)u x y xy =，2(,)v x y x y =，显然它们在平面上具有连续的偏导数，

且2u y x ?=?，2u xy y ?=?，2v

xy x ?=? ，2v x y

=? 要使柯西—黎曼条件条件满足，只须 22u v

y x x y

===??，

22u v xy xy y x

==-=-??，即0x =，0y =

故此函数仅在点0z =可导，而在复平面上处处不解析．

2.0=z 是函数)

/1sin(1

)(z z f =

的孤立奇点。

解答：该命题错误。因为)

/1sin(1

)(z z f =

的奇点有,...)2,1,0(1,0±±===k k z z π，所以在0=z 的任意去心邻域内，总包括奇点π

k z 1

=，当∞→k 时，0=z 。从而0=z 不是)

/1sin(1

)(z z f =

的孤立奇点。

3.函数sin z 在z 平面上是有界的.

解答：该命题错误。…………………………1分

sin z 在z 平面上无界。

这是因为sin 2iz iz

e e z i --=，令(0)z iy y =<，

则|sin ||

|()2iz iz

e e z y i

--=→∞→-∞…3分得分评阅人

二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.共8小题，每小题2分，共16分）

1. 设i z 43+-=，则arg z =3

11-12 高等数学2试题(A)及解答

广州大学2011-2012学年第二学期考试卷

课程：高等数学Ⅰ2（90学时）考试形式：闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________

任课教师是否重修考（）（是打√）

一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)

1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯= .

2．yOz 面上的抛物线2

1z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为 . 3．

(,)(0,2)

lim

x y →= .

4．对函数y

z x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02

(1.04)≈ .

5．曲线2

211x t

y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩

上点(2,3,5)处的切线方程为 .

6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数： 1

=- ，(13x -<<). 7．微分方程x

y y e -'+=的通解为y = .

8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y = .

9．设2x f xy '=，2

y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -= .

10．已知曲线L 为球面2222

x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则

2d L

y s =⎰

________.

1．已知(,)z f x y =是由方程2

sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x

∂∂.

2．求函数2

(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.

1．计算d d D

【复变函数期末考卷】复变函数考试试题

《复变函数》练习题

⼀.单项选择题.

1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( )

（A ）解析的（B ）可导的

（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既⾮充分条件也⾮必要条件 4.下列命题中，正确的是( )

（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x

（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导

（C ）若v u ,在区域D 内满⾜柯西-黎曼⽅程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5. 使得22z z =成⽴的复数z 是（）

（A ）不存在的（B ）唯⼀的（C ）纯虚数（D ）实数 6. z e 在复平⾯上( )

（A ）⽆可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )

复变函数B复习题

复变函数与积分变换b复习题

一、复数运算与复变函数

1.未知复数z?1i?3，谋

z,re(z)和argz，并将z写成三角表示和指数表示。

1的三角则表示。z2.设复数z?r(cos??isin?)，其中r?0，谋3.设复数z??1?3i，谋z，arg?z4?。

44．已知复数z?2?23i，求35．已知复数zz。

12，谋z的实部和虚部。

6．设z?e?7?9i，求argz，

z。

7．计算ln(?2?i)，并求其主值ln(?2?i)。

13i8.未知z1?3i?,谋z，argz。

109.已知复数z满足方程ez?2i?1?i，求z。

x?yx?y?i2222x?yx?y10.认定以下函数在为丛藓科扭口藓平面上的可导性及解析性，并算出函数在可微点处的导数。（1）f(z)?2x2?1?iy2（2）f(z)?（3）f(z)?z2?ire(z2)

11.证明：若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域d内解析，则f(z)v(x,y)等于常数，在d内恒等于常数。

二、微分函数的分数1.排序分数2.排序

i1zsin2zdz。（请将结果写成a?ib其中a,b?r的形式）

cz2dz，其中曲线c为

（1）从原点到z?1?i的直线段；

（2）从z??i沿单位圆周z?1至z?i的曲线。

3.排序

zdz，其中c:z?2顺时针方向。

cz24.排序分数?ecre(z)dz，其中c:从z1?0至z2?1?i的直线段。

5.计算以下曲线积分（1）?（3）

z?3?ez?2z?sinzdz；（2）??z?32e(z?1)zdz；2z?5z?4?z?3sin2zcoszdzdz；（4）33?z?3zz?4z

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一）

三 . 计算题（ 40 分）：

1、

|z z 0 | 1 ( z z )n

__________. （ n 为自然数）

f ( z)

sin 2 z cos 2

z _________.

3. 函数

sin z

的周期为 ___________.

f (z)

4. z 2 1 ，则

f ( z)

的孤立奇点有 __________.

设 5. 幂级数

nz n

的收敛半径为 __________.

n 0

6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.

lim z n

lim

z 1

z 2 ... z n

7. 若 n

，则 n

n ______________.

Res(

,0)

________，其中 n 为自然数 .

sin z

的孤立奇点为 ________ .

10. 若

lim

f (z) ___

是

f (z) 的极点，则

z z

1. 设

( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}

内的罗朗展式 .

dz.

|z| 1

cos z

f ( z) 3 2 7

，其中 C { z :| z |

3} ，试求 f '(1 i ).

设

z 1

4. 求复数 z 1 的实部与虚部 .

四 . 证明题 .(20 分 )

1. 函数

f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .

2. 试证 :

f (z)

z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两

复变期末考试题及答案

复变函数期末考试题

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：

A. \( x - yi \)

B. \( -x - yi \)

C. \( -x + yi \)

D. \( x + yi \)

2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：

A. \( \cos\theta \)

B. \( \sin\theta \)

C. \( \tan\theta \)

D. \( \sec\theta \)

3. 以下哪个是解析函数：

A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)

B. \( f(z) = z^2 \)

C. \( f(z) = \log z \)

D. \( f(z) = \sin z \)

4. Cauchy-Riemann方程是：

A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial

v}{\partial y} \)

B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial

v}{\partial x} \)

C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial

v}{\partial y} \)

D. 所有选项

5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：

A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续

《复变函数》期末复习题及答案

复变函数复习题及答案

一、判断题(红色的是错误的)

1.0的幅角为0.

2.i i 2<.

3.z z ln 2ln 2

=. 4.Lnz Lnz 22=.

5.Lnz z Ln 2

=. 6.0=-Lnz Lnz .

7.z z Re ||>. 8.z z z Im Re ||+≤.

9.Lnz Lnz z Lnz Lnz +=+=ln 2

10.函数()()2

31z z f +=在复平面内没有奇点. 11.若0z 是函数()z f 的奇点，则()0/

z f

不存在.

12.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，函数则()y x u ,也是()y x v ,的共轭调和函数. 13．设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，则2

v u +一定是调和函数.

14.函数()z

z f =

的奇点只有一个0=z . 15.设C 是不经过原点的简单闭曲线，则⎰=C

dz z 01

2. 16.解析函数的导数还是解析函数. 17.Argz n

Argz n

. 18.1|cos |≤z . 19.1cos sin 2

=+z z .

20.∑+∞

==-0

11n n z z .

21.0sin lim

=∞→z

z .

22.若c z f z z =→)(lim 0

，则z 0是函数的可去奇点.

23.若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则[]0),(Re =∞z f s .

25. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）

一、判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()

2.有界整函数必在整个复平面为常数.()

3.若收敛，则与都收敛.()

4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）.()

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()

6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点.()

7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()

9.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）

二.填空题（20分）

1.__________.（为自然数）

2._________.

3.函数的周期为___________.

4.设，则的孤立奇点有__________.

5.幂级数的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若，则______________.

8.________，其中n为自然数.

9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：

1.设，求在内的罗朗展式.

3.设，其中，试求

4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）

一、判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()

2.有界整函数必在整个复平面为常数.()

3.若收敛，则与都收敛.()

4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）.()

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()

6.若z0是的m 阶零点，则z0是1/的m阶极点.()

7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()

9.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）

二.填空题（20分）

1.__________.（为自然数）

2._________.

3.函数的周期为___________.

4.设，则的孤立奇点有__________.

5.幂级数的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若，则

______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为

________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：

1.设，求在内的罗朗展式.

3.设，其中，试求

4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单

值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若

}

{n z 收敛，则

} {Re n z 与

}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且

0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若

)

(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C

0)(=⎰

dz z f .

( )

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1.

=-⎰=-1||00)(z z n z z dz

__________.（n 为自然数）

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

4.设

)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数

n nz

∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

复变函数与积分变换期末考试-11-12-1-A-试题&答案

C
1 dz 0 。 z2

1 dz 0 。 C z2

( z)
C n 1
( z)
C
( z z0 )
n 1
dz
2 i n ( z0 ) n!
中取 ( z ) 1, z0 0, n 1 ，就有
( z z0 )
dz
2 i ( n ) 2 i ( z0 ) (1) 0 n! 1!
6. 把函数
1 在 1 | z | 2 内展开成罗朗级数。 ( z 1)( z 2)
2
【解】
1 ( z 1)( z 2)
2
1 1 z2 2 5 z 2 z 1 1 1 1 1 ( z 2) 1 5 2 1 z z 2 (1 2 ) 2 z
原式

| z|
e z 1 dz
2
| z|
1 z 1 e dz z 1
2
2 i{2 1} 2 i
3.

x2

x
2
4
2
dx
x2 在上半平面的二级极点， ( x 2 4) 2
z 2i 为 f ( z )
（1 分）
原式= 2 i Re s[
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们仍互相正交。证毕。 2．证明：当 C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，有【证明】分两种情况讨论：（1）当 z 0 在 C 之外时，由 Cauchy-Gurssat 定理得，（2）当 z 0 在 C 之内时，在高阶导数的 Cauchy 公式

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):

dz1,1、 __________.(为自然数)

nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.

1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，

3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有

__________. ,z,3. 设，其中，试求

,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)

zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，

f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.

D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.

z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.

9. 的孤立奇点为________ .

《复变函数》考试试题(二) z

二. 填空题. (20分)

limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.