数学高考题的图解策略
高考数学解题方法-课件
(A) 5 13
(B) 5 8
(C)5 (D)4
3
5
一、从试题的命题意识谈如何解题
1 .已 知 一 个 圆 的 直 径 的 端 点 是 A (x 1 ,y 1 )、 B (x 2 ,y 2 )， 求 证 圆 的 方 程 是 (x -x 1 )(x -x 2 ) (y-y 1 )(y-y 2 ) 0 .
应该说规范解题是能否把问题求解正确的前 提，如关于解析几何的问题，我们知道解几问题 主要是二大类问题：(1)是求曲线方程问题；(2)是 求相互关系问题.往往这二种情况会混杂在一起.比 如上学期期末统测与本次一模中的解几题均属于 这种类型的问题.
二、关于试题求解方法
1.如何规范化解题.
顺序1 : 写出直线l的方程:Ax By C 0或y kx b 写出曲线C的方程: f ( x, y) 0(如果l与C未知 可以设此相应的方程).将直线l与曲线方程联
一、从试题的命题意识谈如何解题
有些高考题本身就是教材中例题、习题的变异 题或者是教材内容的合成题.如：
(2001年全国高考试题19题) 设抛物线y2 2px(p0)的焦点为F,经过 点F的直线交抛物线于A,B二点,点C在准 线上且BC// x轴,证明直线AC经过原点O.
已知i,m,n是正整数且1i mn. 1）证明:niPmi miPni 2）证明:(1m)n (1n)m
A－DC－B有多大？
若直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中对角线BD1与平 面ABCD、平面ABB1A1、平面BCC1B1所成的角分别
为,,,且cos2cos2cos22, 试判断此平行
六面体是否是长方体？试给出你的证明.
D1 A1 D0
C1
Q
B1
高考数学二轮增分策略：第1篇《活用审题路线图,教你审题不再难》ppt课件
表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，
选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以
轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢
分．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条
“审题路线图”，攻克高考解答题．
3
任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条 件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解 题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更 重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息， 发挥隐含条件的解题功能．
4
例 1 (2014·重庆)已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2 ≤φ<π2)的图象关于直线 x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点 的距离为 π. (1)求ω和φ的值； (2)若 f(α2)＝ 43(6π<α<23π)，求 cos(α＋32π)的值．
5
审题路线图 (1) 条件：fx图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征 fx的周期为π ↓ T＝|2ωπ|，ω>0(已知) ω＝2
27
例3 如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝ 60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合， EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置， 使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2)所示．
(1)求证：BD⊥平面POA； (2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的2体8 积．
20
则 h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝kx4－1－kx－2 2. 所以当 0<x< 4 k－k 2时，h′(x)<0， 因此 h(x)在区间0， 4 k－k 2上单调递减．
全高考数学解题技巧讲解课件PPT
|������������ |
������ 2-1 ������ 2+1
=
������2 + 1 − ������22+1,
令 ������2 + 1=t(t>1),则|������������|= ������������22-+11=t-2������ .令 f(t)=t-2������ ,则有 f'(t)=1+������22.在
A.
5 5
,
2 3
B.
2 3
,
25 5
C.
5 5
,
7 3
D.
7 3
,
25 5
-7-
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a4=4,S5=15,
∴
������1 + 3������ = 4,
5������1
+
5×4 2
������
=
15,解得
������1 = 1, ������ = 1.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、 简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判 断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对 于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知 识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法, 特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
A.2 019 B.0 C.1 D.-1 (2)平行四边形 ABCD 中,������������, ������������在������������上投影的数量分别为 3,-1, 则������������在������������上的投影的取值范围是( )
高考数学 专题50 排列组合解答策略黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题50 排列组合解答【高考地位】排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。
同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
其考试题型主要有填空题、选择题或者解答题中的应用，其难度不会太大．其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一相邻问题捆绑法使用情景：题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．解题模板：第一步首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；第二步然后运用排列组合求出其不同的排列中种数；第三步得出结论.例1.有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（）A. B. C. D.【答案】D【变式演练1】有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（）A．36 B．48C．72 D．120【答案】C【解析】试题分析：根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法．故共有种坐法．考点：排列组合.类型二不相邻问题插空法使用情景：题目中规定相邻的几个元素不相邻．解题模板：第一步可先把无位置要求的几个元素全排列；第二步再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端；第三步得出结论.例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ] A．1440 B．3600 C．4820 D．4800【答案】B.点评：不相邻问题最有效的方法之一就是插空法.【变式演练2】来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排，不同的安排方案总数有=2×2×2×6=48种．故选A类型三特殊元素“优先安排法”使用情景：对于带有特殊元素的排列组合问题解题模板：第一步一般应先考虑特殊元素，先满足特殊元素的要求；第二步再考虑其它元素；第三步得出结论.例3 . 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
高考数学中涂色问题的常见解法及策略
高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
高考-高考数学压轴试题的解题方法与策略文(图片版).docx
高考数学高考数学圧轴试题的解题方法与策略痔名特©殺聊才衣*晾昕髙考数学用轴题主要是从数学内容与思想方法的二维要素1:考虑,由于圧轴题既要体现区分度的功能，又耍从学科整体高度和思维价值的髙度考虑问题•因而，高占压轴题无论是选择题、琐空题，还是解答题都是有规律可循的•本文就如何破解高考数学压轴试题给出解题方法和备考策略.―、客观性压轴试题的解题方法与策略从近几年的高考数学试题中可以看曲对于客观题一般是选掙题部分的最后一两道题和填空题部分的最后谴题•题目主要涉及函数与导数、解析几何、立体儿何、数列、计数原理及新定义问题等内容•对于解答客观题的方法和技巧在本书“热点关注"中有详细的讲解，在本文中只针对客观性圧轴题的解题方法和策略选取一种行之有效的方法——数形结合法进行探讨.数够结合的解题方法MS观件、灵活性、可#准等特点,在客观件试题屮特别要注总把"数"转化为"形"进行解题,即根据给出的"数"的结构特点，构造相应的几何图形J扩形"的直观性来解决"数"的抽象性问题.【点拔】超越方程解（或不等式解）的问题即为相应的函数第点问题，一般可以采用数形结合法,把方程（或不等式）通过移项变成左右两边都是基本函数或通过简单的变换能画出/（X闹是團象的函比两函数團象交点的横坐标即为方程的解.【解析】如图I -1 -1所示,在同一坐标系中画出y二/（*）和Y = X 4-"的图象, 由于含有歩量的）=Y + "是一簇平行直线移动"直线就可以直观得到实教“的取值范国是a<L故选C・【典例2】已知函数他）是奇函数「且橋足:⑪⑷寸（2拥O G R）；②当0" W1时血二帥芋那么不等式伦-*）瘁的解集为_________________________【解析】由他）寸（2-%）（化口知函数的图象关于直线％二1对机又因为/（%）是奇函数「可得f（4 + %） =/（%）『郭结合②可画出函数他）的图象'如图1-1-2所氏图1-1-2在周期04］内'不等弍fQ）＞彳■的解集为/#虑平秽和周期'知不等式-*）＞£的解集为（4鸟+ 1川+*）（kwt）.【点拨】联懑正兹函数尸sin %模型「可以推M/U）是周期函牝且r=4,但考虑到在高考中一道客观題可支配的时间在3分钟左札并且专家命題都是借用某个函数模型进行命題设计J 因比平时训练客观性试題娶有模型思惩大胆借用某个函数的模型快速画出草图『直观而简捷地得到结果.二、解答题压轴试题的解题方法与策略从近年的髙考数学试卷来看「解答题压轴试题主要为函数与导数、解析几何、数解析几何试题由于难度较大「且题型相对稳定「因此处理解析几何试题要注重加强对多种解题思路的探究和解题方法的选择•下面借用波利亚的解题观点（详细讲解可参考〃热点关注"中的“當析波利亚数学思维的新方法"）来探究解析几何压轴题的解题方法与策略.【典例3】在平面直角坐标系幼中,已知两定点A（l, 动点M （知y）满足而二入血+“亦其中5A2 +20/? =4（A//IG R）・⑴求动点M的轨迹方程；⑵设点M的轨迹为曲线G点P是射线尸屁（%冷）上（非端点）任一，艮由P向的袋C引两切线PQ, PTQ T为切点）.求证:无论点P在何处，直线QT的斜率为常数.【解析】（1）易得动点、M的轨迹方程是/ +4『=4.⑵解析一（通性通法）设点P（価）（"*）;设直线PQ：厂何誌G - APT：y _何二爲（%-£）,直线PQ的方程改写为7 = ^x4- （Q-ij） £（变二项式）/ 联止厂恥+（俣小分C4[»+（乐初]2-仁0（建立缓冲式），[%2 +4y2二4/即得（1 +4幷）% + 8左]（^2 -直J觥+ 4 [（血-左J $孑-]]二0〔求出二次三项式）「①所以4 = 64后（Q詁）卞_]6（4琴+ i）[（扬_阳2#一]]（提出公因数（式））二16[4转（Q-需）宁-4^ （^2-ij2? +4岸-（72-^）¥ 4-1]=16[4iJ - （Q- A】）2? 4-1]二0（应用相切的条件）'即（P -4）肾-2偌耐+2『-1 =0；同理'可得（『-4）氏-275?左2 +2『-1 =0,（i）当fH2时&爲是方程（『-4）k2 -2區k +2?-]二0的两根（善于逆向思维）, 由根与系数的关系「得血+代二蛀2二琴二占设Q馆「珀）「兀）「I -4 i -4（ii）当/二2 时r 切点、Q t T分别为（2,0）;（-普/ % = ——=-因此，无论点、P在何处「直线QT的斜率均为常数.【点拨】对于第（2）问中（i）采用的通性通法，从运算过程来看似乎解答得很 "流畅S主要在方程或算式运算肿做了一些细腻的处理方法:联立方程时遵循了 "去分母原则“;消去未知数了肌建立了缓冲式;整理判别式时遵循了“首先提取公因式（数）原则";应用方程根的含义，逆向思堆发现了以k lt k2为根的一元二次方程;应用亶线与椭圆和切与二次方程有重根，求出了点的间接坐标（从整体思想考虑「不用求出直接坐标）.解法二（整体思想）设点、P3血）（“*）, Q（冲71）, r（%2,为）「设以Q（巧殍J 为切点、的切线方程:了 -儿二2（% -坷）.［/ -/1 二鸟（光 _光1） /联立得［%2 +4y2 -4=0；（1 +4泾）G -筍）2 +2 （衍+4伽）（% -坷）+并4-4/1 -4 =0 （将x变为（x - 光J + 衍即得）/即（1 +4/?）（第-％］）2 4- 2 （%! +4伽］）（%-%］）=0；（i）当心2时j则并H 0'因为直线应与椭圆C相切'则A二4 & + 4伽1）2二0=>k = - —4/1所以切线方程为y - 了1二-7^-（% -％］） /即直线PQ的方程为%!% +4川歹-4=0.4/i又点、PS②）在直线PQ上则饮］+4為］-4 = 0,即点Q （冲为）在直线恢+ 4 何y -4 二0上（同理点7'（%2殍2）也在直线饮+ 4九科-4二0上'因此'直线QT的方程为;% + 475}/ -4=0；所以怖二- -£；（ii）当22时「同解法一.【点拨1解法二采用整体思想处理问題,在把賣线与椭圆方程联立消未知数叭采用的不是〃化简"而是〃化繁S有时“化筒“会崎岖难行「化繁“反而会海阔天空•本題中点Q.T^是点P的“伴随"点「但整个解蓉过程是以Q为中心「直到最后才联系到点P在直线PQ上.如果不采用整体处理方式「运算难度就湘当大.解法三把曲线C改写成“二士也产（不妨取％轴上方）'直线PQ 的方程:y-力二 --- ----2肿-代J A ~1点、Q （%1 / 71）在椭圆c\y - Y 丁土「上/则有71直线PQ 的方程:y 一力二-”-（光-衍）,即光］% +4yy =# -1-4/1二4,①4/1点、P （%o 』o ）在直线PQ 上J 则%0衍+4沏1 -4二0/②同理卩（％必）在直线PT 上r 则牝%2 +4/O /2 -4=0,③由②③『知直线“的方程为號+4畑-4=0,【点拨】等式②③已经不是二元一次方程了「但它们能说明点0丁都在宜线%o% +4y°y -4 二 0 上.逆命题探究 设动直线％ + 4岛 7二0 （0 ＜几6）与椭圆亍+『二1相交于0 T两点'求证:椭圆在0丁两点处的两切线的交点在某条直线上.（有兴趣的同学可以 自行进行探究）最咸S 有一腰提醒的是虽然我们认为最IS —题有相当大分值的易得価分'但是 毕竟已毬场考试的最后阶段强弩之末势不能穿鲁織疲劳不可避免因此所有考生在 解答最后一®时'都要格外小心谨真避免易得分部分因为疲劳出错'导致失分.专题」函数与导数模型-函数的单调性【模型概述】函数的单调性是函数中非常重要的性质之-,是历年高考命题的 重点罚函数单调性的考查主要有三个方面:-是函数单调性的判断或求函数的单调 区间二是根跆魏数的单调性求解参数的取值范围;三是函数单调性的应用，如 求函数的越■躺函数的零点个瓠解不等式尊.在高考中,三种财輔所涉氏 其中判断函数的单调性以及刑用函数的单调性求解函数的最值通常出现在选择题或 填空题中;求含参函数的单调区间以及已知函数的单调性求參数的取值細主要以 解劄W 式出现求y 二一的导数r 得y 二 — 设 Q （衍殍J （靭殍2）/2 /4“ 直线"的斜率如二8,【思维模板】已知函数解析式判断函数的单调也若为逸择题或填空题则可根据基本初等函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法进行判断也可通过函数图象直接进行判断，在解答题中则要利用导数法进行判断;对已知函数单调性求参数取值范围或者求解含参函数单调区间的问廳则要利用导数将其转化为导函数的符号问题来解决©®1导数法导数法就是利用导函数在单调区间上的保弛来处理有关函数单调性问题的- 种方法导数是函数单调性在毀的形式上的-种完美体现.利用导数求解函数的单调区间的針步驛是：ffi蘇出定妫；（2）求导,根讎榊颐的戦嘛求删I拙盼）的导盼W ；（3）解不等式不等式厂（%）>0的制蹴是函如⑺的递增区亂不等式广3 <0的躲醍函旳3的递减瓯“【调研1】已知函如3 gy+y（1）当a = -l时,求函数的单调瓯；（2）当0勺<£<讨论血）的单调性.£思维导图I求函数定义域I一I求导函数I—I像极值点庞导函数両分寫导函数中变号的部分|一|根据a的取值讨论导函数的符号7【解析】⑴当a二一1时』（光）=In % + % +一- 1 ； % s （0； + 8 ）.%所以厂 &）二（―i）y+2）“Q（6 +8）,%由厂（%）二0/得% = 1或％二-2（舍去）・所以当XG（0/1）时'厂（光）<0;函数j'&）单调递减；当% £（ 1 ； + CO ）时J厂（%） > o『函数fG）单调递增.故当a二-1时，函数fW的增区间为［1/ +8）'减区间为（0」］・•1（2）因为f（x）二In % - a% + -1 / %2—冒1~心。
高考复习必备：高中数学方法与技巧+思维导图
高考复习必备：高中数学方法与技巧+思维导图随着高考日益临近，高中生们的紧张情绪和压力逐渐增大。
数学作为高考的重中之重，往往成为考生们最头疼的科目。
在数学高分的道路上能否取得成功，关键在于正确掌握数学的一些方法和技巧，辅助自己提升数学实力。
本文将为大家整理高中数学的方法与技巧，并介绍如何利用思维导图进行高数复习。
数学方法与技巧代入法代入法是数学中一种常用的解题思路。
这种方法的关键是将未知数替换为某些特殊值，使方程得到简化。
例如，在求解一个方程组时，可以将其中一个未知数代入到另一个未知数的方程式中，从而得到一个只包含一个未知数的方程式，从而可得到解答。
求相似图形的面积对于相似图形来说，它们的边比相等。
由此，我们可以得到它们面积之比为边长之比的平方。
如果知道两个相似图形的其中一个图形的面积，只要知道它们边长之比，就可以求出另一个图形的面积。
这种方法对于解决很多几何题目较为有效。
矩阵的解法在高中数学中，我们学到了矩阵。
利用矩阵，可以简化高中数学的一些问题。
例如高斯消元法就是一种利用矩阵求解线性方程组的方法。
另外，在解决几何中的变形问题时，我们也可以利用矩阵计算出旋转、平移和缩放等变换矩阵，从而简化计算难度。
倍增法倍增法是一种优化算法。
在高中数学中，我们可以利用倍增法，简化数列中的问题。
例如，初一某次期中考试，小明考了100分（总分为500分），而期末考试总分为1000分。
如果小明期末能考到至少900分，他就能保证期末平均分比期中有所提升。
由此可以得知小明至少需要争取获得900分、950分、975分、988分、994分、997分，即采用倍增法，将一个大数列逐渐缩小成小数列，从而方便计算。
思维导图思维导图是一种用图像的方式表示信息的工具，可用于整理复杂的信息，梳理连接，提高思维效率。
在高考复习中，思维导图也是一种提高效率的好方法。
以高中数学为例，我们可以利用思维导图梳理需要掌握的知识点、公式、方法和技巧。
在思维导图中，我们可以将各个知识点、公式、方法和技巧进行分支，再将它们之间的联系用箭头或连线表示。
【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc
高考解析几何解答题题型分析及解答策略。
©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。
解几最值求有妙法,构造函数多方出击-高考数学一题多解
解几最值求有妙法，构造函数多方出击一、攻关方略与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数函数、三角函数、平面几何等方面的知识，求最值常见的解法有几何法和代数法两种，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，如与圆锥曲线的定义相关或涉及过焦点的弦长、焦半径、焦点三角形等，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，圆锥曲线中的最值问题的载体是直线与圆锥曲线的关系，特别是相交所引出的图形的最值问题，大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．本讲重点放在用目标函数法求最值的策略．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题是一种常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，比如转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等，尤其是对复杂函数解析式的再构造，其方法并非唯一，不同的构造必有多种不同的解法，或繁或简，通过解题经验的积累，尽可能找到最为巧妙的构造，得到最为简捷的解法，真可谓：解几最值求有妙法，构造函数多方出击．思维发散或繁或简，纵横联结枝繁叶茂．【典例】已知点()0,2A -，圆2222:1x y E a b +=（0a b >>F 是椭圆E的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．解题策略解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，代数方法当然离不开比较复杂的计算，高考命题特别提出“多考想，少考算”，突出考查学生分析推理、转化的数学逻辑思维能力，如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键，解析几何题目中常用的简化运算的技巧有：圆锥曲线的概念、条件等价转化、以形助数、设而不求以及通过构造以巧妙的方法减少运算量等，本例第（1）问，根据已知条件，利用基本量求椭圆方程；第（2）问，先建立OPQ △面积的函数表达式，再求最值，其中函数变量的选取尤为重要，不同的解析式有不同的求最值的方法．策略一由弦长公式求PQ ，由点到直线距离公式求d ，由12=⋅S PQ d 得解析式，换元法转化为用基本不等式求最值和l 的方程策略二由POQ AOQ AOP S S S =-△△△得函数解析式再进一步求解策略三利用坐标法求解析式再进一步求解（1）解：设(c,0)F ，由条件知，23c =，得c =又2c a =，∴2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=．（2）解法一当l x ⊥轴时，不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y 、()22,Q x y ，将2y kx =-代入椭圆方程，整理得()224116120k x kx +-+=．则()()222(16)48411643k k k ∆=-+=-当0∆>，即234k >时由弦长公式得12||PQ x =-==．又由点到直线的距离公式得点O 到直线l的距离d =∴OPQ △的面积221||24141S PQ k k d ===++⨯．t =，244144t S t t t ==++．则2243k t =+且0t >，当4t t =，即2t =时，OPQ △2=，解得2k =．故所求直线l的方程为2y =-或2y =-．解法二设直线:2l y kx =-交椭圆E 于()11,P x y ，()22,Q x y ．且P 在线段AQ 上．由222,440y kx x y =-⎧⎨+-=⎩得()224116120k x kx +-+=，1221641k x x k +=+，1221241x x k =+．由0∆>得234k ≥．则21122POQ AOQ AOP S S S x x =-=⨯-==△△△同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．解法三设l 的方程为2y kx =-，与椭圆方程联立得222,44,y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得()224116120k x kx +-+=．则1221641k x x k +=+，1221241x x k =+，且由0∆>，得234k >．设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．点O 的坐标为(0,0)，用坐标法求OPQ △的面积S 可表示为11221112001x y S x y =．即()()1221122112112222S x y x y x kx x kx x x =-=---=-⎡⎤⎣⎦241k k ==+．同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．【点评】运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，【针对训练】1．已知椭圆的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ 是椭圆上过点2F 的弦，则1PFQ △内切圆面积的最大值为______．2．已知抛物线2:4C y x =上一点()4,4M -，A ，B 是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ⋅= ，则点M 到直线AB 距离的最大值是______．（2021全国乙卷理11）3．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦（2021全国新高考Ⅰ卷5）4．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.6．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．(1)求p ；(2)若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．（2022·浙江）7．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．(1)若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．（2022·浙江）8．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.（2019年高考数学浙江卷第21题）9．如图所示，已知点()1,0F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧，记AFG 、CQG 的面积分别为1S ，2S．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的12S S 最小值及此时点G 的坐标．10．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；PA PQ的最大值（II）求·参考答案：1．9π16【分析】()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△，解法一：112PF Q S PQ d =⋅ ，点1F 到直线PQ 的距离为d ．由弦长公式和点到直线距离公式，求最大值.解法二：1121212PF Q S F F y y =- ，由弦长公式和基本不等式求最大值.【详解】解法一如图所示，1PFQ △的()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△．当直线PQ 的斜率不存在时，易得||3PQ =，此时1121||32PF Q S F F PQ =⋅⋅=△，∴34r =；当直线PQ 的斜率为k 时，直线PQ 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入22143x y +=，并整理得：()22224384120k x k x k +-+-=．设()11,P x y 、()22,Q x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．||PQ ==()2212143k k +==+．∵点1F 到直线PQ 的距离d =．则12112|||243PF Qd k S PQ k ==⋅+△，则()()()()222222222211124331PFQ k k k k S k k k ++⎛⎫== ⎪⎡⎤⎝⎭+++⎣⎦△，设21u k =+，2v k =，则122112(3)96PF Q S uv u v u v v u⎛⎫== ⎪+⎝⎭⨯++△，且2211u k v k +=>，设(1)u t t v=>，设1()96f t t t =++，则21()9f t t '=-，当1t >时，()0f t '>，∴96(1)16u v f v u ⋅++>=，则1212116PF Q S ⎛⎫ ⎪⎝<⎭△，∴13PF Q S <△，∴34r <．综上，当直线PQ 垂直于x 轴时，1PFQ △的内切圆半径r 取得最大值34，∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．解法二显然直线PQ 的斜率不为0，故可设其方程为1x my =+，将1x my =+代入22143x y+=，并整理得()2234690m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，∴1121221234PF Q S F F y y m =-===+△121，令1t ≥．设1()3f t t t =+，则21()3f t t'=-，则当1t >时，()0f t '>[]1,+∞，∴(1)4f =≥（当0m =时等号成立），∴1PF Q S △的最大值为3．此时1344PF Q S r ==△，即r 的最大值为34．∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．故答案为：9π162．【分析】解法一：首先利用坐标表示直线MA ，MB 和直线AB 的斜率，并利用坐标表示1MA MB k k ⋅=-，代入直线AB 的方程，化简求直线所过定点，利用几何法表示点M 到直线AB距离的最大值；解法二：利用1MA MB k k ⋅=-得()()12124324y y y y y x +-++=，利用换元得直线AB 的方程为44320x ty t -+-=，列出点到直线距离公式d ==关系求函数最大值；解法三：首先设直线AB 的方程为x ky b =+，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示0MA MB ⋅=，得22123616164b b k k -+=-+，化简后表示,k b 的关系，可求得定点坐标，再利用两点距离表示点到直线距离的最大值.【详解】解法一：如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线MA 的斜率为()()()11111144444444MA y y k x y y y ++===-+--．同理可得直线MB 的斜率为244MB k y =-．直线AB 的斜率为12122212121244AB y y y y k y y x x y y --===--+．由1244144MA MB k y y k =⨯=---⋅，得()1212432y y y y -+=-．又直线AB 的方程为()11124y y x x y y -=-+，故()12124y y y y y x +-=．∴()()12124324y y y y y x +-++=．即()12(4)4(8)y y y x +-=-，∴直线AB 过定点()8,4P ．点M 到直线AB距离的最大值为||MP ==解法二：同解法一得()()12124324y y y y y x +-++=．令12y y t +=，则直线AB 的方程为44320x ty t -+-=．点M 到直线AB的距离d ==令2t s -=，则有d =，当10s =-时等号成立，即点M 到直线AB距离的最大值为解法三：设直线AB 的方程为x ky b =+，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由24x ky by x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky b --=．∴()2160k b ∆=+>，124y y k +=，124y y b =-．∴0MA MB ⋅= ，即2212124,44,4044y y y y ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()22212121212122432016y y y y y y y y y y ⎡⎤-+-++++=⎣⎦．①把121244y y ky y b+=⎧⎨=-⎩代入（1）式整理得22123616164b b k k -+=-+．即22(6)(42)b k -=-，∴48b k =-+或44b k =+．当44b k =+时，直线AB 的方程为(4)4x k y =++，恒过点(4,4)-M ，不符合题意；当48b k =-+时，直线AB 的方程为(4)8x k y =-+，恒过点()8,4P ，符合题意．∴点M 到直线AB的距离的最大值是||MP =故答案为：3．C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．4．C【分析】法一：根据椭圆定义得到1226MF MF a +==，结合基本不等式进行求解；法二：设出()00,M x y ，使用焦半径结合033x -≤≤进行求解.【详解】法一：由题意，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．法二：设()00,M x y ，033x -≤≤，由焦半径公式可得：1002003,3MF a ex MF a ex =+=+=-=-，故21200053399MF MF x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为033x -≤≤，所以2009x ≤≤，当200x =，即00x =时，12MF MF ⋅取得最大值，最大值为9.故选：C ．5．(1)24y x =(2)13【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，代入抛物线方程，进而可得20025910y x +=，可得点Q 的轨迹，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.6．(1)2p =(2)()max = PAB S 【分析】(1)方法一利用两点间距离公式求得FN 关于圆M 上的点()00,N x y 的坐标的表达式，进一步转化为关于0y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得p 的值；方法二，利用圆的性质，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；(2)方法一设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程00220x x y y --=，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，利用弦长公式求得AB 的长，进而得到面积关于()00,P x y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于0y 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到1202x x x +=，1204x x y =，过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由121||2PAB S PQ x x =⋅- 求得面积关于()00,P x y 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线:AB l y kx b =+，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．利用点P 在圆M 上，求得,k b 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐标(2,)P k b -，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设圆M 上的点()00,N x y ，则()22041++=x y ．所以()()22001453=-+-≤≤-x y y ．从而有||=FN =因为053y -≤≤-，所以当03y =-时，min ||4==FN ．又0p >，解之得2p =，因此2p =．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得=2xy '，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB的面积取最大值321202⨯=[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到1201202,4+==x x x x x y ．过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y．()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-=- ⎪⎝⎭PABS PQ x x x y x y ．P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦ PABS x y ．故当sin 1α=-时PAB 的面积最大，最大值为[方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设:AB l y kx b =+，联立AB l 和抛物线C 的方程得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩整理得2440x kx b --=．判别式2Δ16160=+>k b ，即20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，有2x y '=．则()2111:42-=-PA x x l y x x ，整理得21124x x y x =⋅-，同理可得222:24=⋅-PB x x l y x ．联立方程211222,24,24x x y x x xy x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩可得点P 的坐标为1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2,)P k b -．将点P 的坐标代入圆M 的方程，得22(2)(4)1+-+=k b ，整理得221(4)4b k --=．由弦长公式得12||=-=AB x=点P 到直线AB的距离为d =所以21||222==+== PABS AB d k b=其中[5,3]=-∈--P y b ，即[3,5]∈b ．当5b =时，()max = PAB S 7．(1)1(,0)32(2)max p 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标公式求解即可；（2）设直线:l x y m λ=+，与椭圆联立，结合韦达定理得到中点M 的坐标，代入抛物线，再将直线与抛物线联立，结合韦达定理用参数表示点A 坐标，再将椭圆与抛物线联立得到点A 坐标，结合均值不等式，分析即得解.【详解】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）由题意，直线l 的斜率不为0，设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y l x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒=-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-++⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤所以，p，此时A .8．(1)24y x=(2)(,7[7(1,)-∞---++∞ ．【分析】（1）根据2MF =，求p ，再求抛物线方程；（2）方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围；方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2yl x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭，()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+<或1n >.[方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-．因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+，12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=++++=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-．同理3112Q m y k +=-．由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-．因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故22121314112k m m k ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得7m ≤--71m -+≤<或1m>．故直线l 在x轴上的截距的范围为(,7[7)(1,)-∞---++∞ ．[方法三]最优解设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--．设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-，则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）．所以(,14[14)m ∈-∞-++∞ ，且2m ≠-，因此直线l 在x轴上的截距为(,7[7(1,)2m-∈-∞---++∞ ．9．(1)2p =，=1x -(2)最小值为1(2,0)．【分析】（1）根据焦点坐标求解p ，再根据准线方程公式求解即可；（2）直线AB 的方程为(1)y k x =-，与抛物线联立，得到关于y 的韦达定理，用坐标表示12S S ，求得取得最小值时t 的值，再由()()22212312311312G x x x x y y y =++=++，结合韦达定理，求解即可.【详解】（1）由题意得12p=，即2p =，∴抛物线的准线方程为=1x -．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,,C x y 不妨设12y y >，又Q 在点F 的右侧，故1230y y y >>>，又直线AB 的方程为(1)y k x =-．联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2440y y k --=，∴124y y =-．1112AGB AGB AF y S S S AB y y ==-△△，3231AGC AGC CQ y S S S CA y y -==-+△△，由G 为ABC 的重心，有AGB AGC S S =△△，且1230y y y ++=．故2424211311121111122422421231212121121224242416S y y y y y y y y y y y S y y y y y y y y y y y y y -++---=⋅=⋅===---+---．令12S n S =，21y t =，则222416t t n t -=-，即2(2)4160n t t n --+=．①当2n =时，122S S =，此时8t =；②当2n ≠时，二次方程至少有一个正根，故0∆≥，解得22n ≥，若方程有两个非正根，此时12124021602x x n n x x n ⎧+=≤⎪⎪-⎨⎪=≥⎪-⎩，不等式组无解，故22n +≥，即12min1S S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8t =+．()()()222222123123121211131212G x x x x y y y y y y y ⎡⎤=++=++=+++⎣⎦()22121216y y y y =++．而218y t ==+2221168y y ==-，故G 点坐标为(2,0)．10．（I ）（-1，1）；（II ）2716.【详解】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA12x +1)k +，|PQ|=2)Q x x -=-，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以f (k )在区间1(1,2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．。
2024年高考数学新高考Ⅱ卷试题评析及备考策略指导课件
2024新高考数学11卷评析/暨2025高考备考策略够》解构经典试题生重教考衔接6、、共享复习策略■科学备战高考PART01以考促教教考衔接2024年高考试卷评析及备考策略1.1.1稳定：突出基础性要求，全面考查/深入考查基础年份2021新高考II卷2022新高考II卷2023新高考II卷2024新高考II卷题号题型考点考点考点考点1选择题岌数的运算及几何意妲绝对值不等式的解法、集合的交集运算复数基本运第复数的几何意义_求角数的槿__________ 2选择题集合的运算_复数的乘法运算_集合的基本运算逻艇算，判定命题真假3选择题点到直线的距离、抛物线的焦点坐标等差数列的性质、斜率与倾斜角、数学文化分层抽样的计算；组合数的计第分步乘法原理向量基本运算，求向量的模4选择题球体的表面积平面向量的坐标运算、向量夹角、数量积运算函数奇偶性的定义，偶函数的性质,对数运算统计初步，中数、极差平均数等基本概念5选择题_棱台的体积_排列组合、分步乘法计数原理椭圆基本量与点到直线的距离与圆相关的中点轨迹方程（椭圆）6选择题正态曲线的特点两角和与差的正、余淞式、同角三角函数的基本关系含参指对型函数在给定区间单调，求参数范围函数零点问题，求参数值7选择题对数的大小比较棱台外接球的表面积二倍角公式或者半角公式己知台体的体积，线面角8选择题函数的基本性质函数的周期性等比数列前顽和公式函数单调性与不等式9多项选择题数字的样本特征正弦函数的图象与性质多选,以圆锥为背景,考查体积，侧面积，二面角等概念三角函数性质与图像问题10多项选择题直线与直线的位置关系抛物线的定义及性质、斜率公式抛物线焦点弦常用性质抛物线与圆的综合问题11多项选择题点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系三枝锥的体积公式、空间中的线面垂直关系以极大值极小值为背景考查区间内-元二次方程根与系数的关系函数零点极值点以及对称问题12多项选择题新定义问题不等式的性质、基本不等式牌率问题，课本例习题等差数列求和问题13填空题双曲线的几何性质正杰曲线的对称性向量的数量积的运算三角函数正切公式应用14填空题函数的单调性与奇偶性、导数的应用导数的几何意义正四棱椎中台体的体积公式排列组合（两问）15平面向量的数量积直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式设计含参直线与定圆，考察直线与圆的位置关系（相交弦构成的三角形面积）；本题答案不唯一选、填共计73分16填空题利用导数求切线方程及取值范围问题椭圆的中点弦、直线与椭圆三角函数的图像变换，五点法作图以考促教教考衔接2024年高考试卷评析及备考策略1.1.2稳定：突出主干知识题号年份2021新高考II卷2022新高考II卷2023新高考II卷2024新高考II卷17m等差蹶的通项公式及前顽fil等差、等比效列综尔敏舰项却的关系解训形相灿识,余弦定理,俪积公式，正切公式15.（13分）正、余弦定理、求三觥的周长18KM利用正、余核定理解:M正、余弦定理、三角形的面积公式an为等差数列，bn为其衍生的等差效列,耕等差效列的通项公式,求利公式,分类计论蝴16.（15分）利用导拥究碱的切线时题、利川榆妹值点求参效的范国19m面面乖直的证明、二映的求解频率分步直旅求平均值、辩、条件骚率频率分砒方图相关诚17.（15分）立体几何SI折柯凯证明线西垂直，求:面角20解笞题眦的标准方程及几何食义、直线与倾J位置关系证明线画平行、空间向量求二而角以三棱勒我体，考嚓空间线雌直关系;向址在空间的应用;向量法求解二Ihi角的方法林题笫:问也可不it系）18.（17分）二项分布概率、期里（3问）21样本机国体的成川、随机变址的分布列及期里双曲线的方程及性质、直线与双曲线的位置关系以双曲线为我休,问题1求双曲线的方柩嘘2考察定直线问题固定斜率的直线与双曲19.（17分）线交娜性质,双曲线盘列的综合问题（3问）22m利川械0冼榆效的邮、利川损求甫跚岑占＜小、导破求单邮、参效的取值都、不等式的证明雌1考察用*敏的不等式;雌2,改极大耕求参效邮醐,嫩较大1.试题易中难比例:52:76:22;2.选填题难度设置明显降低，没有难题，而且比2023年少了一题多选题，一道填空题，对考生相当友好，选填的答题准确率和速度，应该是2021年以来发挥最好的一次；3•解答题变化较大，减少了一个答题，而且每一题的赋分也有相应的增加，大题的第二题考查导数不再是压轴题，难度降低很多；18题是概率加载了较大的运算，最后的19题是解析几何与数列共舞，综合性强难度较大，考生考场上不易完整做出来。
高考中数列综合题目解题目策略与方法
高考中数列综合题解题策略与方法 李兴怀华南师大附中特级教师 李兴怀数列问题与函数、不等式、三角等知识有密切的联系，在历届高考数学试题中占有重要地位。
本文通过一些例子说明解决数列综合题的基本策略与方法。
1.认真审题，善于把陌生的问题转化为熟悉的问题。
例1.已知数列{}n a 满足1111,1,1,2,...3n n a a a n +==+=，求数列{}n a 的通项。
分析：由数列{}n a 的定义可知，此数列既不是等差数列，也不是等比数列，因而要解决这个问题必须紧扣题意，并把问题进行转化。
解法1 把问题转化为等比数列。
引入参数x ，使得11()3n n a x a x +-=-，将此式还原并整理得 11233n n a a x +=+，令213x =，即32x =，设32n n a b -=，则原问题化为 113n n b b +=，且113122b a =-=-，故数列{}n b 是以12-为首项、13为公比的等比数列。
从而 111()()23n n b -=-，故 1311223n n a -=-。
解法2 把问题转化为便于求通项{}n a 的情形。
给1113n n a a +=+ 两边同除以11()3n +，得111333n n n n n a a +++=+，令3n n n a b =，则113n n n b b ++=+，利用恒等式121321()()...()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-，可得233333...3(31)2n n n b =++++=-，故 31(1)323n n n nb a ==-。
解法3 由1113n n a a +=+，可得1113n n a a -=+，将这两式相减得，111()3n n n n a a a a +--=-，令1(2)n n n a a b n --=≥，则122111,33n n b b b a a +==-=，故21211()()33n n n b b --==，从而111(),23n n n a a n ---=≥，故121121()...()111311 (1)33323n n n n n a a a a a a --=+-++-=++++=-即31(1)23n n a =-。
高考数学解题中的十种预见策略
高考数学解题中的十种预见策略在高考数学解题时，采取正确的解题方法和有效的解题策略是很重要的。
下面就介绍一下高考数学解题中的十种预见策略以及如何运用它们。
第一种是“多角度思考”。
不同情况下，有可能有多种解法，所以在回答问题时，要从各个角度去考虑问题，从多次尝试中寻找出最优解法。
第二种是“归纳推断”。
在分析特定问题之前，应先研究前面所提出的问题，先从小的范围（几个例子）中总结出一般的规律，然后才能把问题解决掉。
第三种是“减法思考”。
减法思维就是对问题进行逐步简化，从大多数情况加以剔除，找出特殊情况进而解决问题。
第四种是“图形辅助”。
一个成功的解答必须有数学归纳、图形解释、表达式结合等综合运用。
图形绘制往往是解决数学问题的有效方法，它比一般解法更加精确，更能够使学生了解数学知识的关联性。
第五种是“直观思维”。
按照学习者的经验，当解题空间大且题目复杂时，数学问题往往可以通过一个简单的直观结论，让学生能够快速进行推理，准确地把握问题的解答思路。
第六种是“快速运算”。
数学解题时，一定要掌握快速计算技巧，这样才能把大量时间节省下来，考出满意的分数。
第七种是“可视化思维”。
在解决某些复杂问题时，可视化思维能够帮助学生快速准确的将问题转为图形模型，有效解决一些难以理解的知识点，更容易把握问题的解法。
第八种是“假设试验”。
学生可以在解题过程中，鼓励他们采用“假设试验”来解决问题。
由于假设试验是一种从实际问题中发现具体答案的可靠方法，所以学生在解决一些复杂问题时，可以将假设试验作为他们的重要解题策略之一。
第九种是“分类思维”。
针对广义问题，学生可以根据问题的不同特点，进行“分类思维”，将问题归类，这样可以有效解决复杂的问题。
最后一种是“数学模型”。
建立数学模型能够让学生更好的分析问题，根据实际情况灵活的利用各种数学工具，及时得出有效答案。
通过使用以上这十种预见策略，学生在解决高考数学解题时将会有更多把握，更加熟练地掌握解题关键点，提高答题效率，从而取得满意的考试成绩。
高考数学冲刺策略反三角函数的性质与图像
高考数学冲刺策略反三角函数的性质与图像高考数学冲刺策略：反三角函数的性质与图像在高考数学的冲刺阶段，反三角函数作为一个重要的知识点，其性质与图像的理解和掌握对于提升成绩至关重要。
反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，它们在解决数学问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探讨反三角函数的性质与图像。
一、反正弦函数反正弦函数记作 y ＝ arcsin x，其定义域为-1, 1，值域为π/2, π/2。
性质：1、奇函数：arcsin(x) ＝ arcsin x。
2、单调递增：在定义域内，反正弦函数是单调递增的。
图像：反正弦函数的图像是关于原点对称的，其曲线从点(－1, π/2)开始，逐渐上升到点(1, π/2)。
二、反余弦函数反余弦函数记作 y ＝ arccos x，定义域为-1, 1，值域为0, π。
性质：1、非奇非偶函数。
2、单调递减：在定义域内，反余弦函数是单调递减的。
图像：反余弦函数的图像从点(1, 0)开始，逐渐下降到点(－1, π)。
三、反正切函数反正切函数记作 y ＝ arctan x，定义域为 R，值域为(π/2, π/2)。
性质：1、奇函数：arctan(x) ＝ arctan x。
2、单调递增：在定义域内，反正切函数是单调递增的。
图像：反正切函数的图像渐近线为 y ＝π/2 和 y ＝π/2，曲线从左到右逐渐上升。
四、反三角函数的恒等式1、 sin(arcsin x) ＝ x （x∈－1, 1）2、 cos(arccos x) ＝ x （x∈－1, 1）3、 tan(arctan x) ＝ x （x∈R）五、反三角函数的运算1、 arcsin x ＋ arcsin y不能简单地将两个反正弦函数的值相加，需要通过三角函数的和差公式进行转换。
2、 arccos x ＋ arccos y同样不能直接相加，要根据具体情况进行转换和计算。
3、 arctan x ＋ arctan y可以利用反正切函数的和角公式：arctan x ＋ arctan y ＝ arctan(x ＋y) ／（1 xy) （xy ≠ 1）六、反三角函数在解题中的应用1、求解三角方程例如：已知 sin x ＝ 05，求 x 的值。