平行线的性质ppt (2)
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平行线的性质ppt课件
(3) 移： 以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
平行线的性质课件
利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义：在同一平面内，永不 相交的两条直线
几何最值问题：求线段、角度、面 积等几何量的最大值或最小值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平行线性质：平行线之间的线段相 等
利用平行线性质解决几何最值问题 的方法：通过平行线之间的线段相 等，找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几 何中的应用
面的交点
平行线与平面 的夹角：平行 线与平面的夹 角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的 平行性：平行线 与平面的平行性 为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义： 在同一平面内， 永不相交的两
条直线
平行线的性质： 平行线之间的 角度相等，平 行线之间的线
段相等
平行线的应用： 在几何证明、 工程测量、建 筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的 关系：平行线是 函数的基本性质 之一，可以应用 于求解函数问题
平行线性质的应 用：利用平行线 性质可以求解函 数的最大值、最 小值、极值等问
题
平行线性质的证 明：利用平行线 性质可以 在更高级的数学 领域中也有广泛 的应用，如微积 分、线性代数等
平行线的性质在代数中 的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质：两条直线平行，同位角相等
线性方程组：一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组：通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线， 从而解出方程组
应用实例：求解线性方程组，如3x+2y=5，4x+3y=6，通过观察方程组中的同位角， 找出方程组中的平行线，从而解出方程组
1. 2 平行线的性质 课件(沪科版七年级下)
3 2
a//b
2 4 180 (2与4互补)
a//b
b
平行线的判定
2、已知两条直线平行，同位角，内错角，同旁内角 有什么关系？
同 位 角 内 错 角 同 旁 内 角
a
图形 1 2 c 3 2 c 4 2 c
已知
a//b 1 1 2 2
结论
定理
b
a
两直线平行 同位角相等 同位角相等 1 2 a//b a//b 两直线平行 两直线平行 同位角相等 两直线平行 同位角相等 内错角相等 a//b a//b 两直线平行 两直线平行 3 2 内错角相等 两直线平行 同位角相等 同旁内角互补 a//b (2与 4互补) a//b 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行
A B
D
C
(1)如图１，AB∥CD, ∠1=45°, ∠D= ∠C,依次求出∠Ｄ， ∠Ｃ， ∠Ｂ的度数． C D
A 1 B
(2)在下图所示的３个图中，a∥b，分别计 算∠１的度数． 1
1
a b 1
36° a b
a b
2
120°
练习二： 填空：如图（1):
AB
CD
(已知）,
B= C
分析和处理 （1）由已知条件∠1=∠2，你可以得到什么？ （2）结合图形，你可以得到什么？ （3）要说明AB∥CD，只需要满足什么条件？
平 行 线 习 题 课
问题2 已知:∠1=∠2 求证:∠3+∠4=180°
A 3 1 B
C 4
2
D
• 课堂练习1、已知：AB∥CD，MG、NH 分别平分∠EMB和∠DNM，那么MG与 平 NH的关系怎样？
）
平 行 线 习 题 课
3.5平行线的性质(第2课时)课件(七年级湘教版下册)
A
B E
C
D
巩固新知，深化理解 问题3：如图，平行直线AB,CD被直线EF所截，分 别交直线AB,CD于点G,M。GH和MN分别是∠EGB和 ∠EMD的角平分线。 问： ∠EGH和∠NMD 有何关系？请说明理由。
巩固新知，深化理解
如图，AC//BD, AE平分∠BAC交BD于点E，若 ∠1＝64°，求 ∠ 2的度数．
新邵县酿溪镇中学
复习回顾，夯实基础 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方 向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平 行．第一次拐的角∠B等于1420，第二次拐的 角∠C是多少度？为什么？ C
B
巩固新知，深化理解
如 图 ， 直 线 DE 经 过 点 A ， DE//BC ， ∠B=440，∠C=570．
6．布置作业
教科书 习题4.3 第3、4、5、7题
（1）∠DAB 等于多少度？为什么？ （2）∠DAC 等于多少度？为什么？ D A E
B
440 57
0
C
巩固新知，深化理解 如图，AB//CD, CD//EF∠A=105º ,∠ ACE=51º ， 求 ∠ E的度数．
Z.x.x. K
A E
B
F C
D
巩固新知，深化理解
如 图 ， 已 知 ： AB//CD。 求 证 ： B+D+BED=360
A
1
C
2
B D
巩固新知，深化理解
如图，DE∥BC, ∠ACB＝40°， ∠B＝80 °，
CD平分∠ACB ， 求∠BDC 的度数．
A
Zx.xk
D
E
B
C
归纳小结 （1）平行线的性质是什么？ （2）你能用自己的语言叙述研究平行线性 质的过程吗？ （3）性质2和性质3是通过简单推理得到的， 在推理论证中需要注意哪些问题？
B E
C
D
巩固新知，深化理解 问题3：如图，平行直线AB,CD被直线EF所截，分 别交直线AB,CD于点G,M。GH和MN分别是∠EGB和 ∠EMD的角平分线。 问： ∠EGH和∠NMD 有何关系？请说明理由。
巩固新知，深化理解
如图，AC//BD, AE平分∠BAC交BD于点E，若 ∠1＝64°，求 ∠ 2的度数．
新邵县酿溪镇中学
复习回顾，夯实基础 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方 向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平 行．第一次拐的角∠B等于1420，第二次拐的 角∠C是多少度？为什么？ C
B
巩固新知，深化理解
如 图 ， 直 线 DE 经 过 点 A ， DE//BC ， ∠B=440，∠C=570．
6．布置作业
教科书 习题4.3 第3、4、5、7题
（1）∠DAB 等于多少度？为什么？ （2）∠DAC 等于多少度？为什么？ D A E
B
440 57
0
C
巩固新知，深化理解 如图，AB//CD, CD//EF∠A=105º ,∠ ACE=51º ， 求 ∠ E的度数．
Z.x.x. K
A E
B
F C
D
巩固新知，深化理解
如 图 ， 已 知 ： AB//CD。 求 证 ： B+D+BED=360
A
1
C
2
B D
巩固新知，深化理解
如图，DE∥BC, ∠ACB＝40°， ∠B＝80 °，
CD平分∠ACB ， 求∠BDC 的度数．
A
Zx.xk
D
E
B
C
归纳小结 （1）平行线的性质是什么？ （2）你能用自己的语言叙述研究平行线性 质的过程吗？ （3）性质2和性质3是通过简单推理得到的， 在推理论证中需要注意哪些问题？
1(PPT)5-1.3平行线的性质2
知识回顾
上节课我们学了平行线的一个什么性质?
两平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单地说：两直线平行，同位角相等。
练习
3
如图：已知∠1＝∠2，
∠3＝115o，求∠4。
1
4
b
2
a
m
n
现多用胶片：锌～｜铜～｜排～｜制～。②量书籍排印一次为一版，一版可包括多次印刷：第一～｜再～。③量报纸的一面叫一版：头～新闻。④筑土墙用 的夹板：～筑。 【版本】名①同一部书因编辑、传抄、刻版、排版或装订形式等的不同而产生的不同的本子。②指同一事物的不同表现形式或不同说法：这 个故事有好几种～。 【版次】名；天津玻璃钢水箱 天津玻璃钢水箱 ；图书出版的先后次序。图书第一次出版的叫“第一版”或 “初版”，修订后重排出版的叫“第二版”或“再版”，以下类推。 【版画】名用刀子或化学品等在铜版、锌版、木版、石版、麻胶版等版面上雕刻或蚀刻 后印刷出来的图画。 【版籍】〈书〉名①登记户口、土地的簿册。②泛指领土、疆域。③书籍。 【版刻】名文字或图画的木版雕刻。 【版口】名木版书书 框的中缝。也叫版心或页心。 【版面】名①书报杂志上每一页的整面。②书报杂志的每一面上文字图画的编排形式：～设计。 【版纳】名云南西双版纳傣族 自治州所属的旧行政区划单位，相当于县。年版纳改为县，如版纳景洪改称景洪县。 【版权】名①即著作权。②出版单位根据出版合同对特定作品所享有的 出版权和销售权。 【版权页】名书刊上印着书刊名、著作者、出版者、发行者、版次、印刷年月、印数、定价、书号等的一页。 【版式】名版面的格式。 【版税】名出版者按照出售出版物所得收入的约定百分数付给作者或其他版权所有者的报酬。 【版图】名原指户籍和地图，今泛指国家的领土、疆域：我 国～辽阔。 【版心】ī名①书刊等每面排印文字、图画的部分。②版口。 【版型】同“板型”。 【版主】名指对网站的主页或某个栏目进行管理和维护的人。 【版筑】〈书〉名筑土墙用的夹板和杵（筑土墙时，夹板中填入泥土，用杵夯实）。泛指土木营造的事情。也作板筑。 【钣】（鈑）名金属板材：铝～｜ 钢～。 【钣金】ī动对钢板、铝板、铜板等金属板材进行加工：～工。 【舨】见页［舢板］（舢舨）。 【蝂】见页［蝜蝂］。 【办】（辦）动①办理；处理； 料理：～公｜～交涉｜～入学手续｜这些事好～。②创设；经营：～工厂｜勤俭～一切事业。③采购；置备：置～｜～货｜～嫁妆｜～了几桌酒席。④惩 治：～罪｜严～｜首恶必～。 【办案】∥动办理案件。 【办差】动旧指给官府办理征集夫役、征收财物等事。 【办法】名处理事情或解决问题的方法： 好～｜他不答应，你也拿他没～。 【办复】动办理并答复：委员们的提案已基本～。 【办公】∥动办理公务；处理公事：～会议｜星期天照常～。 【办公室】 名①办公的屋子。②
上节课我们学了平行线的一个什么性质?
两平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单地说：两直线平行，同位角相等。
练习
3
如图：已知∠1＝∠2，
∠3＝115o，求∠4。
1
4
b
2
a
m
n
现多用胶片：锌～｜铜～｜排～｜制～。②量书籍排印一次为一版，一版可包括多次印刷：第一～｜再～。③量报纸的一面叫一版：头～新闻。④筑土墙用 的夹板：～筑。 【版本】名①同一部书因编辑、传抄、刻版、排版或装订形式等的不同而产生的不同的本子。②指同一事物的不同表现形式或不同说法：这 个故事有好几种～。 【版次】名；天津玻璃钢水箱 天津玻璃钢水箱 ；图书出版的先后次序。图书第一次出版的叫“第一版”或 “初版”，修订后重排出版的叫“第二版”或“再版”，以下类推。 【版画】名用刀子或化学品等在铜版、锌版、木版、石版、麻胶版等版面上雕刻或蚀刻 后印刷出来的图画。 【版籍】〈书〉名①登记户口、土地的簿册。②泛指领土、疆域。③书籍。 【版刻】名文字或图画的木版雕刻。 【版口】名木版书书 框的中缝。也叫版心或页心。 【版面】名①书报杂志上每一页的整面。②书报杂志的每一面上文字图画的编排形式：～设计。 【版纳】名云南西双版纳傣族 自治州所属的旧行政区划单位，相当于县。年版纳改为县，如版纳景洪改称景洪县。 【版权】名①即著作权。②出版单位根据出版合同对特定作品所享有的 出版权和销售权。 【版权页】名书刊上印着书刊名、著作者、出版者、发行者、版次、印刷年月、印数、定价、书号等的一页。 【版式】名版面的格式。 【版税】名出版者按照出售出版物所得收入的约定百分数付给作者或其他版权所有者的报酬。 【版图】名原指户籍和地图，今泛指国家的领土、疆域：我 国～辽阔。 【版心】ī名①书刊等每面排印文字、图画的部分。②版口。 【版型】同“板型”。 【版主】名指对网站的主页或某个栏目进行管理和维护的人。 【版筑】〈书〉名筑土墙用的夹板和杵（筑土墙时，夹板中填入泥土，用杵夯实）。泛指土木营造的事情。也作板筑。 【钣】（鈑）名金属板材：铝～｜ 钢～。 【钣金】ī动对钢板、铝板、铜板等金属板材进行加工：～工。 【舨】见页［舢板］（舢舨）。 【蝂】见页［蝜蝂］。 【办】（辦）动①办理；处理； 料理：～公｜～交涉｜～入学手续｜这些事好～。②创设；经营：～工厂｜勤俭～一切事业。③采购；置备：置～｜～货｜～嫁妆｜～了几桌酒席。④惩 治：～罪｜严～｜首恶必～。 【办案】∥动办理案件。 【办差】动旧指给官府办理征集夫役、征收财物等事。 【办法】名处理事情或解决问题的方法： 好～｜他不答应，你也拿他没～。 【办复】动办理并答复：委员们的提案已基本～。 【办公】∥动办理公务；处理公事：～会议｜星期天照常～。 【办公室】 名①办公的屋子。②
平行线的性质课件
知识点 3 “同旁内角”的性质
知3－讲
•1.性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 • 互补． • 简称：两直线平行，同旁内角互补． • 表达方式： • 如图，因为a∥b(已知)， • 所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． •2.易错警示：平行线的同旁内角是互补不是相等.
知2－练
• 2 (202X·凉山州)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB ，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若 ∠EFG＝52°，则∠EGF等于( ) •A．26° •B．64° •C．52° •D．128°
知2－练
• 3 (202X·咸宁)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D， ∠1＝50°，则∠BCD的度数为( ) •A．50° •B．45° •C．40° •D．30°
导引：要判断AB与CD的位置关系， 应从两直线的位置关系的特 殊情况，如平行或垂直方面 思考问题，视察右图可知， AB与CD没有交点，所以可猜想AB∥CD，要说明AB∥CD， 只要说明∠ABC＝∠BCD即可．
解： •AB∥CD，理由如下： •因为MN∥EF， •所以∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)． •因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4， •所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4. •因为∠1＋∠ABC＋∠2＝180°， • ∠3＋∠BCD＋∠4＝180°， •所以∠ABC＝∠BCD. •所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
a∥b，所以∠2＝∠1＝70°.
知1－讲
例2 •如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM与CN •的位置关系，并说明理由．
导引：AM与CN的位置关系很显然 是平行的，要说明AM∥CN， 可考虑说明∠EAM＝∠ECN. 因为∠1＝∠2，所以只需说 明∠BAE＝∠ACD即可， 由于“两直线平行，同位角相等”，所以根据 AB∥CD即可得出∠BAE＝∠ACD.
北师大版本七年级下册2.3 平行线的性质(共29张PPT)
合作交流探究新知
已知：a∥b， 求证：∠3+∠5=180°
证明：∵ a ∥ b (已知) ∴∠1=∠5( 两直线平行，同位角相等 ) 又∵ ∠1＋∠3=180° ( 邻补角的定义 ) ∴ ∠3＋∠5=180° （等量代换）
合作交流探究新知
1．如图所示，AB∥CD，AC∥BD,分别找出 与∠1相等或互补的角.
a
1
6
5
8
b
7
合作交流探究新知
平行线的性质：两条平行直线被第 三条直线所截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补.
简记为
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
合作交流探究新知
你能根据性质1,说出性质2, 性质3成立的理由吗? 已知：a∥b，求证：∠4=∠5 证明：∵a∥b. ∴∠1=∠5 ( 两直线平行，同位角相等 ) 又∵∠1=∠ 4 (对顶角相等) ∴∠4=∠5, 同样,对于性质3,你能说出道理吗?
（3）若∠2 +∠3=180°，可以
判定哪两条直线平行？根据
反馈练习巩固新知
问题3 如图 ，AB∥CD，如果∠1=∠2， 那 么EF与AB 平行吗？说说你的理由．
解：因为 ∠1 = ∠2， 根据“内错角相等， 两直线平行”， 所以 EF∥CD. 又因为 AB∥CD， 根据“平行于同一条直线的两条直线平行” 所以 EF∥AB．
合作交流探究新知
活动3：另外画一组平行线被第三条直 线所截，同样测量并计算各角的度数, 检验刚才的猜想是否成立?
如果直线a与b不平行，猜想还成立吗?试 一试.
b
1
a
除了测量的方法来说明平行线 的方法，还有其他的方法吗？
平行线的性质ppt课件
2.3平行线的性质
·两直线平行，同位角相等 ·两直线平行，内错角相等 ·两直线平行，同旁内角互补
·同位角相等，两直线平行 ·内错角相等，两直线平行 ·同旁内角互补，两直线平行 ·平行于同一条直线的两条直线平行
联系：前三条性质和判定的条件和结论只是互换了位置
区别：平行线的性质是根据两直线的位置关系判断两角的数量关系。 平行线的判定是根据两角的数量关系， 判断角两边所在直线的位置关系。
2.如图，AC平分∠BAD， ∠1= ∠2，哪两条线段平行？说明理由。
3.如图，AC∥ED，AB∥FD， ∠A=64° , 求∠EDF的度数。
五、课堂检测
1.如图，已知∠1=105°, ∠2=75°, 你能判断a∥b吗？
解：
∵∠2=75 °
∴∠3=180°- ∠2 = 180°-75°=105°
∴∠1 = ∠3 ∴ a∥b
（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠FOB= ∠3= 60 °（两直线平行，同位角相等） ∴∠FOB= ∠1 ∴AE∥CF
（同位角相等，两直线平行）
二、例题讲解
[例3]如图，已知直线a∥b，直线c∥d， ∠1=107 ° , 求∠2， ∠3 的度数.
解：
∵a∥b ∴∠2 = ∠1 = 107 °
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CD， ∠D=54 ° ∴∠BAE= ∠D=54 °
（两直线平行，同位角相等）
三、拓展延伸
1．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=115° , ∠BCD=65° , 这时管 道所在的直线AB和CD平行吗？为什么？
解：平行 ∵∠ABC+∠BCD=115 °+65 °=180 °
·两直线平行，同位角相等 ·两直线平行，内错角相等 ·两直线平行，同旁内角互补
·同位角相等，两直线平行 ·内错角相等，两直线平行 ·同旁内角互补，两直线平行 ·平行于同一条直线的两条直线平行
联系：前三条性质和判定的条件和结论只是互换了位置
区别：平行线的性质是根据两直线的位置关系判断两角的数量关系。 平行线的判定是根据两角的数量关系， 判断角两边所在直线的位置关系。
2.如图，AC平分∠BAD， ∠1= ∠2，哪两条线段平行？说明理由。
3.如图，AC∥ED，AB∥FD， ∠A=64° , 求∠EDF的度数。
五、课堂检测
1.如图，已知∠1=105°, ∠2=75°, 你能判断a∥b吗？
解：
∵∠2=75 °
∴∠3=180°- ∠2 = 180°-75°=105°
∴∠1 = ∠3 ∴ a∥b
（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠FOB= ∠3= 60 °（两直线平行，同位角相等） ∴∠FOB= ∠1 ∴AE∥CF
（同位角相等，两直线平行）
二、例题讲解
[例3]如图，已知直线a∥b，直线c∥d， ∠1=107 ° , 求∠2， ∠3 的度数.
解：
∵a∥b ∴∠2 = ∠1 = 107 °
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CD， ∠D=54 ° ∴∠BAE= ∠D=54 °
（两直线平行，同位角相等）
三、拓展延伸
1．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=115° , ∠BCD=65° , 这时管 道所在的直线AB和CD平行吗？为什么？
解：平行 ∵∠ABC+∠BCD=115 °+65 °=180 °
认识平行线ppt优秀课件
平行线理论的发展历程
随着数学的发展，人们对平行线 理论的认识逐渐深入。
中世纪欧洲数学家进一步探索了 平行线的性质和定理，并尝试解
决一些关于平行线的难题。
19世纪，非欧几里德几何学的 出现对平行线理论产生了深远影 响，人们开始认识到平行线并非
总是相交于无穷远点。
平行线在现代数学中的应用
01
02
03
02 平行线的应用
CHAPTER
几何作图中的应用
平行线在几何作图中具有重要作用， 可以用于确定图形的基本形状和尺寸 。
平行线还可以用于解决几何作图问题 ，例如通过平行线将一个复杂图形分 解为简单图形，便于分析和计算。
通过平行线，可以绘制出各种几何图 形，如三角形、四边形、圆形等，为 进一步研究几何性质和定理奠定基础 。
03 平行线的历史与发展
CHAPTER
平行线理论的起源
平行线理论最早可以追溯到古 希腊时期，当时数学家们开始 研究几何学，并探索了平行线 的性质和定义。
欧几里德在《几何原本》中首 次给出了平行线的定义，并研 究了它们的性质和定理。
古希腊数学家还发现了一些关 于平行线的有趣定理，如“平 行线间的角相等”和“同位角 相等”。
平行线具有传递性、同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补等性质。
平行线的表示方法
用平行符号“//”表示两条直线平行 。
平行线的性质
同位角相等
内错角相等
两条平行线被一条横截线所截，同位角相 等。
两条平行线被一条横截线所截，内错角相 等。
同旁内角互补
平行线的性质的应用
两条平行线被一条横截线所截，同旁内角 互补，即两个同旁内角之和为180度。
在线性代数中，向量空间中的子空间可以由平行线定义，而线性变换可以用来研究平行线的 性质和行为。
7.4 平行线的性质课件 (30张PPT)北师大版八年级数学上册
所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°、65°.
3、如图，由AB//CD，可以得到（C）易错
（A）∠1=∠2
（B）∠2=∠3
（C）∠1=∠4
（D）∠3=∠4
4、如图，已知A、B、C同在一条直线上，D、E、F同在一 条直线上，且∠A=∠F，∠C=∠D，判断AE与BF的位置关 系，并说明理由.
解： ∵∠C=∠D
∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B = ∠D（已知）
∴∠1 = ∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
D C
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC. 证法三： 如图，连接 BD (构造两组内错角). ∵ AB∥CD (已知)，
A
12
B
D
3 4
C
∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以 ∠1 =∠2.
总结归纳
一般地，平行线具有如下性质： 性质1 （定理） 两条平行线被第三条直线所截，同位角
简单说成：两直线平行，同位角相等.
c
应用格式：
1
∵ a∥b（已知），
a
∴∠1 =∠2
2
（两直线平行，同位角相等）. b
议一议
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度？为什么？
解：(1) ∠2 = 110°，
两直线平行，内错角相等. （2）∠3 = 110°，
两直线平行，同位角相等. （3）∠4 = 70°，
《平行线的性质》课件(共33张PPT)000
如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出 的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经 量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底 AD//BC，请你求出另外两个角的度数。
A
D
115° 110°
B
C
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
桃子题：
如图，梯子的各条横档互相平行， ∠1=1000，求∠2的度数。
解：∠1=∠3； ∠2 =∠4 理由如下：
∵AB∥DE （已知） A
DC
F
∴∠1=∠3(两直线平行， 同位角相等) ∵ ∠1=∠2 ，∠3=∠4
1
23
4
B
E
∴ ∠2=∠4 （等量代换）
（2 ）反射光线BC与EF也平行吗？
平行：∵ ∠2=∠4 ∴ BC∥EF(同位角相等,两直
线平行)
比一比 、乐一乐：（分组比赛）
4
31
56
8
7
∠1=∠5
a b
探索新知
①已知直线a，画直线b，使b∥a，c
②任画截线c，使它与a、
11718°25°8°b
b都相交，则图中∠1与 ∠2是什么角？它们的 大小有什么关系？
21185728°° a
③旋转截线c，同位角
∠1与∠2的大小关系又
如何？ ∠1＝∠2
通过上面的实验测量，可以得到性质1(公理)：
3 2
目前，它与 地面所成的 较小的角
为∠1=85º
1
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
草莓题：
1 A
D
B
C
1、如果AD//BC，根据___________ 可得∠B= _______
北师大版七年级数学下册平行线的性质(二)课件
∴∠２＝∠４ (等量代换）
P 1 23 D
C
⑶如果AP//BD，那么∠P=∠___3； ⑷如果AB//CD，那么∠ABC+ ∠C =__1_8_0. °
A
D
１
４２
B
３
3.已知∠C=∠AED,BE平分∠ABC, E 试说明: ∠DBE=∠DEB.
C 解： ∵ ∠C=∠ １(已知）
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行） ∴∠２＝∠３ （两直线平行，内错角角相等） ∵BE平分∠ABC (已知） ∴∠３＝∠４ (角平分线的定义）
1
E
B
解 ∵ AG//CF(已知)
C
D
: ∴ ∠ 1=∠ A= 40( 两直线平行,同位角相等 )
∵ AB// CD (已知)
∴ ∠C=∠1 =40 ( 两直线平行,同位角相等 )
练一练：
C
1、如图、已知 1=60°、2=60° A 3 4
3=78°、求4.
解: ∵1=60°, 2=60°
21Leabharlann BD③∴∠4+∠6=1800 ∠2+∠5=1800 （两直线平行，同旁内角互补）
填空: 如图:
①∵AD//BC ∴∠B= ∠1(
1
A
D
B
C
两直线平行，同位角相等 )
填空: 如图:
1
A
D
B
C
②∵AB//CD ∴∠D＝ ∠1 ( 两直线平行，内错角相等)
填空: 如图:
1
A
D
B
C
③∵AD//BC ∴∠C＋__∠__D＝180
∴ ∠4= ∠1=105º
B
（ 两直线平行,同位角相等 ）
《平行线的性质》课件
反向平行线的性质
• 反向平行线具有相反的斜率。 • 反向平行线之间的距离保持不变。
三、平行线的特殊角度
同位角及其性质
• 同位角是两条平行线 之间的对应角，它们
• 相同等 位。 角具有相等的补 角、余角。
内错角及其性质
• 内错角是两条平行线 之间的相交角，它们
• 互内补错。角具有相等的对 顶角。
相关角及其性质
《平行线的性质》PPT课 件
这是一份关于平行线的精彩课件，通过介绍平行线的基本定义、性质、应用、 证明，并进行综合练习，帮助大家深入理解和应用平行线的知识。
一、基本定义
平行线的概念
平行线是永远不会相交的两条直线。
平行线的符号表示
用“//”表示两条线段平行。
二、平行线的性质
同向平行线的性质
• 同向平行线具有相等的斜率。 • 同向平行线之间的距离保持不变。
对平行线的思考与感悟
通过学习平行线的性质，反思几何学对我们日常生活的影响和意义。
• 相关角是两条平行线 之间的内角与外角。
• 相关角之和等于180°。
四、平行线的应用
1
平行线的实际应用
2
例如，在城市规划中，平行线可用于 规划马路的设计和建设。
平行线的应用场景
平行线的应用广泛，如建筑设计、地 图制作等。
五、平行线的证明
平行线的证明方法
通过等角、等比和等边等多种证明方法来证明平行线。
平行线证明例题
通过实例演示如何在几何问题中使用平行线的证明。
六、综合练习
பைடு நூலகம்
1
综合运用平行线的知识解题
通过题目练习，提升对平行线性质的理解和应用能力。
2
平行线的综合练习题
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两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称：两直线平行，同旁内角互补.
结论
平行线的三个性质可以简单的说成： 两直线平行,同位角相等. 两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.
1、如图，直线a与直线b相交，则：与∠1相等的角有： a ∠3
12
b
与∠1互补的角有：
3
∠2、∠4
2、如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b
c
则：与∠1相等的角有：
12
b
3
58
a
67
∠3、∠5、∠7 与∠1互补的角有： ∠2、∠4、∠6、∠8
3、如图，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b,c∥d
c
d
则：与∠1相等的角有：
1 2 15 14 3 16 13
b
5 8 9 12
a
6 7 10 11
∠3、∠5、∠7、∠9 ∠11、∠13、∠15 与∠1互补的角有：
C 70°
D
= 180°-70o
= 110°.
练习 1.如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70°,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
AB
解 ∵EF∥CD（已知）
70°
EF
∴∠D =∠E = 110°
(两直线平行,内错角相等). 70° 110°
C
D
练习
2. 如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截, AB∥CD,∠1= 105°.求∠2,∠3,∠4的度数.
A
B
70°
∴∠B =∠C = 70°
EF
(两直线平行,内错角相等).
C
D
练习 1. 如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70°,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
解 ∵BC∥ED（已知）
AB
70°
∴∠C+ ∠D = 180°(两直
EF
线平行,同旁内角互补).Leabharlann ∴∠D = 180°-∠C
A
2C E
1 34
105°
B
D
练习 2.如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截,
AB∥CD,∠1= 105°.求∠2,∠3,∠4的度数.
解 ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 =∠2 = 105° (两直线平行,内错角相等).
A
2C E
1 34
105°
B
D
练习 2.如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截,
内错角、同旁内角会具有怎样的数量关系？
如图,平行直线 a,b被直线c所 截,∠2与∠3是内错角.
解：∵a∥b（已知 ）
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等 ）
c
1 a
3
2
b
又∵∠1=∠3（ 对顶角相等 ）,
∴∠2=∠3（ 等量代换 ）.
结论
平行线的性质2
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等.
探究
两条平行直线被第三条直线所截,
同旁内角会具有怎样的数量关系？
c
如图,平行直线 a,b被直线c所 截,∠2与∠4是同旁内角.
解：∵a∥b （ 已知）
1
34
a
2
b
∴∠1=∠2( 两直线平行,同位角相等 ).
又∵∠1+∠4 = 180o,
∴∠2+∠4= 180o （ 等量代换 ）.
结论
平行线的性质3
解 ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 =∠4 = 105°
A
2C E
1051° 3 4
(两直线平行,同位角相等).
B
D
3、小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯
形上底的一部分（如图）.要订造一块新的玻璃，已
经量得∠A=115º，∠D=100º，你想一想，梯形另外
两个角各是多少度？
解：∵梯形上下底互相平行，
115° 100°
∴∠A与∠B互补，
∠C与∠D互补.
B
C
∴∠B=180º-∠A=65º，
∠C=180º-∠D=80º.
∴梯形另外两个角是65º和80º.
小结
（1）平行线的性质是什么？ （2）还有哪些知识存在问题？
同旁内角有_______∠_7_与__∠__8_、__∠__3_与_∠__4_、____
1、利用一块三角板和一把直尺画两条互相平行 的直线a、b；
2、画直线c使它与直线a,b均相交；
3、写出一组同位角、一组内错角和一组同旁内角 .
猜想 如果两条平行直线被第三条直线所截，
那么同位角相等.
这个猜想对吗？
本课节内容 4.3
平行线的性质
复习引入
观察下图，直线a、b被直线c所截，你能找出
图中的对顶角、同位角、内错角与同旁内角吗？
c
21
38
47
56
对顶角有∠__1_与__∠__3_、_∠__2_与__∠__8_、__∠_4_与__∠__6_、__∠_ 5与∠7
a 同位角有∠__1_与__∠_7_、__∠__2_与__∠__4_、_∠__3_与__∠__5_、__∠_8与∠6 b 内错角有________∠__3_与_∠__7_、__∠__4_与__∠__8_、____
如图,直线 AB、CD被直线EF所截，
交于M、N 两点，AB∥CD，
C
E
N1
D
∠1与∠2是同位角.
AM 2
B
作一个平移,移动方向为点M 到点N 的方向,移动距离等于线段MN的长度.
∠1=∠2
结论
平行线的性质1
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称：两直线平行，同位角相等.
探究
两条平行直线被第三条直线所截,
∠2、∠4、∠6、∠8、
∠10、∠12、∠14、∠16
练习 1. 如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70° ,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
AB
70°
EF
C
D
练习 1.如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70°,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
解
∵AB∥CD（已知）
AB∥CD,∠1= 105°.求∠2,∠3,∠4的度数.
解 ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 +∠3 = 180°
A
2C E
1051° 3 4
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠3 = 180°-∠1
B
D
= 180°-105°
= 75°.
练习 2.如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截,
AB∥CD,∠1= 105° .求∠2,∠3,∠4的度数.
简称：两直线平行，同旁内角互补.
结论
平行线的三个性质可以简单的说成： 两直线平行,同位角相等. 两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.
1、如图，直线a与直线b相交，则：与∠1相等的角有： a ∠3
12
b
与∠1互补的角有：
3
∠2、∠4
2、如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b
c
则：与∠1相等的角有：
12
b
3
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a
67
∠3、∠5、∠7 与∠1互补的角有： ∠2、∠4、∠6、∠8
3、如图，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b,c∥d
c
d
则：与∠1相等的角有：
1 2 15 14 3 16 13
b
5 8 9 12
a
6 7 10 11
∠3、∠5、∠7、∠9 ∠11、∠13、∠15 与∠1互补的角有：
C 70°
D
= 180°-70o
= 110°.
练习 1.如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70°,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
AB
解 ∵EF∥CD（已知）
70°
EF
∴∠D =∠E = 110°
(两直线平行,内错角相等). 70° 110°
C
D
练习
2. 如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截, AB∥CD,∠1= 105°.求∠2,∠3,∠4的度数.
A
B
70°
∴∠B =∠C = 70°
EF
(两直线平行,内错角相等).
C
D
练习 1. 如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70°,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
解 ∵BC∥ED（已知）
AB
70°
∴∠C+ ∠D = 180°(两直
EF
线平行,同旁内角互补).Leabharlann ∴∠D = 180°-∠C
A
2C E
1 34
105°
B
D
练习 2.如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截,
AB∥CD,∠1= 105°.求∠2,∠3,∠4的度数.
解 ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 =∠2 = 105° (两直线平行,内错角相等).
A
2C E
1 34
105°
B
D
练习 2.如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截,
内错角、同旁内角会具有怎样的数量关系？
如图,平行直线 a,b被直线c所 截,∠2与∠3是内错角.
解：∵a∥b（已知 ）
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等 ）
c
1 a
3
2
b
又∵∠1=∠3（ 对顶角相等 ）,
∴∠2=∠3（ 等量代换 ）.
结论
平行线的性质2
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等.
探究
两条平行直线被第三条直线所截,
同旁内角会具有怎样的数量关系？
c
如图,平行直线 a,b被直线c所 截,∠2与∠4是同旁内角.
解：∵a∥b （ 已知）
1
34
a
2
b
∴∠1=∠2( 两直线平行,同位角相等 ).
又∵∠1+∠4 = 180o,
∴∠2+∠4= 180o （ 等量代换 ）.
结论
平行线的性质3
解 ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 =∠4 = 105°
A
2C E
1051° 3 4
(两直线平行,同位角相等).
B
D
3、小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯
形上底的一部分（如图）.要订造一块新的玻璃，已
经量得∠A=115º，∠D=100º，你想一想，梯形另外
两个角各是多少度？
解：∵梯形上下底互相平行，
115° 100°
∴∠A与∠B互补，
∠C与∠D互补.
B
C
∴∠B=180º-∠A=65º，
∠C=180º-∠D=80º.
∴梯形另外两个角是65º和80º.
小结
（1）平行线的性质是什么？ （2）还有哪些知识存在问题？
同旁内角有_______∠_7_与__∠__8_、__∠__3_与_∠__4_、____
1、利用一块三角板和一把直尺画两条互相平行 的直线a、b；
2、画直线c使它与直线a,b均相交；
3、写出一组同位角、一组内错角和一组同旁内角 .
猜想 如果两条平行直线被第三条直线所截，
那么同位角相等.
这个猜想对吗？
本课节内容 4.3
平行线的性质
复习引入
观察下图，直线a、b被直线c所截，你能找出
图中的对顶角、同位角、内错角与同旁内角吗？
c
21
38
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56
对顶角有∠__1_与__∠__3_、_∠__2_与__∠__8_、__∠_4_与__∠__6_、__∠_ 5与∠7
a 同位角有∠__1_与__∠_7_、__∠__2_与__∠__4_、_∠__3_与__∠__5_、__∠_8与∠6 b 内错角有________∠__3_与_∠__7_、__∠__4_与__∠__8_、____
如图,直线 AB、CD被直线EF所截，
交于M、N 两点，AB∥CD，
C
E
N1
D
∠1与∠2是同位角.
AM 2
B
作一个平移,移动方向为点M 到点N 的方向,移动距离等于线段MN的长度.
∠1=∠2
结论
平行线的性质1
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称：两直线平行，同位角相等.
探究
两条平行直线被第三条直线所截,
∠2、∠4、∠6、∠8、
∠10、∠12、∠14、∠16
练习 1. 如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70° ,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
AB
70°
EF
C
D
练习 1.如图,AB∥CD , CD∥EF , BC∥ED ,
∠B= 70°,求∠C, ∠D, ∠E的度数.
解
∵AB∥CD（已知）
AB∥CD,∠1= 105°.求∠2,∠3,∠4的度数.
解 ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 +∠3 = 180°
A
2C E
1051° 3 4
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠3 = 180°-∠1
B
D
= 180°-105°
= 75°.
练习 2.如图,直线 AB,CD 被直线 AE 所截,
AB∥CD,∠1= 105° .求∠2,∠3,∠4的度数.