2019届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点1 集合的概念与运算

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艺术生高考数学专题讲义：考点1 集合的概念与运算

考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }(1)子集个数公式：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集个数为2n 个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n －1个．(2) A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ．(3)(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是变式训练已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则集合B 中有________个元素．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.变式训练已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．题型二集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有个例4 设，若，则a 的取值范围是．变式训练已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =−+≤=−∞⊆，则a 的取值范围是．题型三集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．变式训练已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________．变式训练已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．例7集合{1,2,3,,10}U =，则U 的元素两两互素的三元子集个数有__________个．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝．2023年集合作业一．选择题（共21小题） 1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M ＝{x |＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝（）A ．{x |0≤x ＜2}B ．{x |≤x ＜2}C ．{x |3≤x ＜16}D ．{x |≤x ＜16}2．（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}3．（2020•新课标Ⅰ）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}4．（2020•新课标Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，则a ＝（） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．45．（2019•新课标Ⅰ）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩（∁U A ）＝（） A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}6．（2019•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 7．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}8．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}9．（2017•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅10．（2017•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x＜}B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x＜}D．A∪B＝R 11．（2016•新课标Ⅰ）设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7} 12．（2016•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）13．（2015•广东）若集合M＝{﹣1，1}，N＝{﹣2，1，0}，则M∩N＝（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1} 14．（2015•广东）若集合M＝{x|（x+4）（x+1）＝0}，N＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}，则M∩N＝（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅15．（2014•广东）已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1} 16．（2014•广东）已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5} 17．（2013•广东）设集合M＝{x|x2+2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2﹣2x＝0，x∈R}，则M∪N＝（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2} 18．（2012•广东）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝（）A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6}D．{2，4，6} 19．（2012•广东）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁U M＝（）A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{1，2，4}D．U 20．（2009•广东）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个B．2个C．1个D．无穷多个21．（2000•广东）已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A．15B．16C．3D．4二．填空题（共1小题）22．设S＝{r1，r2，…，r n}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，则n 的最大值为．三．解答题（共1小题）23．（2022秋•番禺区校级期末）设集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B．（2）若B⊆A，求m的取值范围．。

2019年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)

2019年高考数学艺术生专用复习讲义（完整版）§1集合（1）【基础知识】集合中元素与集合之间的关系：文字描述为和符号表示为和常见集合的符号表示：自然数集正整数集整数集有理数集实数集集合的表示方法1 2 3 集合间的基本关系：1相等关系：_________A B B A ⊆⊆⇔且 2子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ⊇ 3 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____不含任何元素的集合叫做，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的【基本训练】1．下列各种对象的全体，可以构成集合的是(1)某班身高超过1.8m 的女学生；（2）某班比较聪明的学生；（3）本书中的难题（4）使232x x -+最小的x 的值2．用适当的符号(,,,,)∈∉=⊂⊃填空：___;Q π {}3.14____Q ； *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈3．用描述法表示下列集合：由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合；4．若A B B ⋂=，则____A B ；若A B B ⋃=则_____;_____A B A B A B ⋂⋃5．集合{}{}35,A x x B x x a =-<=<，且A B ⊆，则a 的范围是【典型例题讲练】例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则_______M N练习：设集合11,,,3663k k P x x k Z Q x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则______P Q 例2已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。

（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 是单元素集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围；练习：已知数集1,,a P b b⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，数集{}20,,Q a b b =+，且P Q =，求,a b 的值【【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性【课堂检测】1．设全集,U R =集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则______M P 2．集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数m 的值是3．已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有个，真子集个数有个4．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝．5．已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a =+求20042005a b +的值.§2集合（2）【典型例题讲练】例3 已知集合{}23100A x x x =--≤(1) 若{},121B A B x m x m ⊆=+≤≤-，求实数m 的取值范围。

2019版高考数学：§1.1 集合的概念及运算

2019年4月28日
梅花三麓专业文档
18
5.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C= ( )
A.{2}
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,6}
答案 B 本题考查集合的运算. 由题意知A∪B={1,2,4,6},∴(A∪B)∩C={1,2,4},故选B.
答案 A 本题考查集合的并集. A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选A.
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
5
5.(2014课标Ⅱ,1,5分,0.866)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B= ( ) A.⌀ B.{2} C.{0} D.{-2} 答案 B ∵集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}={2,-1},∴A∩B={2},故选B.
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
22
9.(2016山东,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)= ( ) A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6} 答案 A ∵A∪B={1,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,6},故选A.
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
23
10.(2016浙江,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q= ( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 答案 C ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},∴∁UP={2,4,6},∵Q={1,2,4},∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6}.

数学高考总复习集合的概念和运算

数学高考总复习：集合的概念和运算【考纲要求】1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；（2）运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。

【典型例题】集合集合表示法集合的关系集合的运算描述法图示法列举法相等包含交集并集补集子集、真子集类型一：集合的概念、性质与运算例1.（2015 陕西高考）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 答案：A 【解析】 ,所以故选A.举一反三：【变式】（2015福建高考）若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 答案：C 【解析】因为, 所以故选C.类型二：集合的两种关系例2、已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈，22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈ （1）若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

(完整版)集合知识点点总结

集合概念一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有A⊆（或B⊇Ａ）包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。

2019年高考数学知识点汇总(精华版)

高考高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或BA真子集 A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B {|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B {|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集UA {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B→．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．①设,a b是两个实数，且a b<，满足a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]a b；满足a x b<<的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足a x b≤<，或a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b，(,]a b；满足,,,x a x a x bx b≥>≤<的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a ab b+∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b<<与区间(,)a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须．①()f x是整式时，定义域是全体实数．②()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tany x=中，()2x k k Zππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x的定义域为[,]a b，其复合函数[()]f g x的定义域应由不等式()a g x b≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y++=，则在()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素yxo和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()naa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤loglog (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法()y f x =中反解出1()x f y -=；1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--．②当0a>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02x a -≤，则()mf q = ②02x a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2019版高考数学理一轮讲义：第1讲集合的概念与运算

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作__a∈A__；若b不属于集合A，记作__b ∉A__.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法___、图示法．(4)常见数集及其符号表示2．集合间的基本关系3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示图A∪B＝A∩B＝(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝__A__，A∩∅＝__∅__.③A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__.④A∩∁U A＝__∅__，A∪∁U A＝__U__，∁U(∁U A)＝__A__.⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)集合{x 2＋x,0}中，实数x 可取任意值．( × ) (2)任何集合都至少有两个子集．( × )(3)集合{x |y ＝x －1}与集合{y |y ＝x －1}是同一个集合．( × ) (4)若A ＝{0,1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ⊆B .( × )解析 (1)错误．由元素的互异性知x 2＋x ≠0，即x ≠0且x ≠－1． (2)错误．∅只有一个子集．(3)错误．{x |y ＝x －1}＝{x |x ≥1}，{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． (4)错误．集合A 是数集，集合B 是点集．2．(2017·浙江卷)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( A ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A ．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22，则A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，有2个元素． 5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝__{x |x ≤2或x ≥10}__. 解析 ∵A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥10}．一集合的基本概念集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( C ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D ) A ．92B ．98C ．0D ．0或98解析 (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.二集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( C ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为__(－∞，3]__.解析 (1)因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C ．(2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．三集合的基本运算集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．【例3】 (1)(2018·广东汕头期末)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( C )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1 D ．⎝⎛⎦⎤－12，0 (2)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}(3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( B ) A ．0或3 B ．0或3 C ．1或3D ．1或3解析 (1)因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎡⎭⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1，故选C ．(2)∵2x (x－2)<1，∴x (x －2)<0，∴0<x <2，即A ＝{x |0<x <2}．又∵y ＝ln (1－x )， ∴1－x >0，∴x <1，即B ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．图中阴影部分表示∁A (A ∩B )， ∴∁A (A ∩B )＝{x |1≤x <2}，故选B ． (3)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ∈A ，∴m ＝3或m ＝m ，解得m ＝0或3，故选B ．四集合中的创新题集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y ∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(C)A．77B．49C．45D．30解析A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B ＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(C)A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．2．(2017·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(A) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为(D)A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∵A ⊆C ⊆B ，∴满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D ．4．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝__{0}∪[2，＋∞)__.解析 A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．易错点1 不注意检验集合元素的互异性错因分析：对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．【例1】已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值．解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，∴①当2a 2＋5a ＝－3时，2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32，其中a ＝－1时，2a 2＋5a ＝6a －1＝－3，与集合元素的互异性矛盾，舍去； a ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，－125满足题意．②当6a －1＝－3时，a ＝－1，由①知应舍去．综上，a 的值为－32.【跟踪训练1】已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解析由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B (－3，－2,1)， A ∩B ＝(1，－3)，故a ＝0舍去． ②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝(－4，－3,2)，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．易错点2 忽略空集错因分析：空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B 是空集的情形：①B ⊆A ；②B A (A 非空)；③B ∩A ＝B ；④B ∪A ＝A .【例2】设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.解析因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1．综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}．答案 (－∞，－1]∪{1}【跟踪训练2】 (2018·江西临川一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析 (1)∵3≤32≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，当C 为空集时，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1<a ≤3. 综上所述，a ≤3.课时达标第1讲[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等式、函数、方程为载体)，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大．一、选择题1．(2018·河南郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( A )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A ．2．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( B )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B ． 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( A ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析 ∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}， ∴M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}，故选A ．4．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( A ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C ．5．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}中的元素个数为3，故选C ．6．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由题意可知a 1，a 2∈M 且a 3∉M ，所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}．故选B ．二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <12，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝ ⎣⎡⎭⎫0，12 . 解析因为N ＝[0,1]，所以M ∩N ＝⎣⎡⎭⎫0，12. 8．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝__1__.解析由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1．9．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝{x |y ＝lg (x －a )}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__(－∞，－3]__.解析因为A ＝(－3,2)，B ＝(a ，＋∞)，A ⊆B ，所以a ≤－3. 三、解答题10．(2018·湖北武汉模拟)设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解析 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }． (1)如图，若A ∩B ＝∅，则a ≥3，所以a 的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在，如图，a ＝0时，A ∩B ＝{x |0≤x <3}，此时A ∪B ＝{x |x >－2}．11．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解析 (1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．①当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A .②当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x －1<8，C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R )．(1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B )⊆C ，求实数m 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧x |12<2x －1<8＝{x |0＜x <4}，则A ∪B ＝(－1,4)． (2)C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}＝{x |(2x －m )(x ＋m )<0}．①当m >0时，C ＝⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m 2≥4，解得m ≥8； ②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m <0时，C ＝⎝⎛⎭⎫m 2，－m ，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥4，m 2≤－1解得m ≤－4；综上所述，m ∈(－∞，－4]∪[8，＋∞)．。

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§1.1集合的概念及运算(20200509090340).pdf

)
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
答案 A
教师用书专用 (8 — 24) 8.(2017 北京 ,1,5 分) 若集合 A={x|-2<x<1},B={x|x<-1
或 x>3}, 则 A∩B=(
)
A.{x|-2<x<-1}
B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}
)
A.(1,2) 答案 D 11.(2016
B.(1,2] 课标全国Ⅲ ,1,5
C.(-2,1)
D.[-2,1)
分) 设集合 S={x|(x-2)(x-3)
≥ 0},T={x|x>0},
则 S ∩T=(
)
A.[2,3] C.[ 3,+ ∞）
B.(- ∞,2] ∪[3,+ ∞） D.(0,2] ∪[3,+ ∞）
B.{-1,-4}
C.{0} D. ?
答案 D 20.(2014 课标Ⅱ ,1,5 分) 设集合 M={0,1,2},N={x|x
A.{1} B.{2} C.{0,1}
D.{1,2}
2-3x+2 ≤0}, 则 M∩N=(
)
答案 D
21.(2014 辽宁 ,1,5 分) 已知全集 U=R,A={x|x ≤ 0},B={x|x ≥1}, 则集合 ?U(A ∪B)=(
答案 C
4.(2017 湖南永州二模 ,2) 已知集合 P={x|-1 ≤ x ≤ 1},M={a}, 若 P∩ M=? , 则 a 的取值范围是 (
D.{x|1<x<3}
答案 A 9.(2017 浙江 ,1,5 分) 已知集合 P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},

高考数学回归基础知识：一、集合的基本概念与运算.pptx

解析设 A 田径运动会参赛的学生，B 球类运动会参赛的学生，那么
A B 两次运动会都参赛学生，A B 所有参赛的学生，
学海无涯
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) =8+12-3=17
答：两次运动会中，这个班共有 17 名同学参赛
①A∩ (ðuB) ， ②(ðuA) ∩B ， ③A∩B ， ④ (痧uA) I ( uB)
学海无涯
例设集合 A x2 ,2x 1,4 ,B x 5,1 x,9，若 A∩B=9，求 A∪B。
解析由 A∩ B=9得，9∈A。
∴x2=9 或 2x-1=9
①由 x2=9 得，x=±3。当 x=3 时， A 9,5,4, B 2,2,9，与元素的互异
B 是有
限集。
(3) 所求集合可表示为： C (x, y) x 0且y 0，集合 C 是无限集。
(4) 因为方程 x2+x+1=0 的判别式的Δ<0，故无实数，所以方程 x2+x+1=0 的实根
组成的集合是空集。
(二)集合的基本关系
学海无涯 1、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个无素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B(或B A) ，读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”)。
A a,b, c,则card(A) 3 .
一般地，对任意两个有限集 A，B，有 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B).
当时仅当 A∩B= 时，card(A∪B)=card(A)+card(B). 解与集合中元素个数有关的问题时，常用 venn 图。例学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

集合的概念与运算-2019届高考数学(文)提分必备30个黄金考点 ---精校解析Word版

中的任何一个元素都属于
函数的结合
则
化成最简形式，再进行求交集运算
，，
已知集合，中元素的个数为
用列举法表示集合：
【答案】
解析】因为，所以或，或或，故答案为
的函数值组成的集次函数
年全国卷Ⅲ文】已知集合，则
,，故答案选
届湖南长郡中学高三月考二】下列集合中，是集合
，，则（
由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.
判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示
尽可能地借助韦恩
表示；集合元素连续时用数轴表示．
.
，，则{1
全集，，所以根据补集的定义得
．设集合，则满足
，，则
，则（
求解函数的定义域可得：，则
求解不等式可得
已知全集，集合，那么
届广东省深圳市高考模拟二】设全集，集合，
所以
=
届海南省琼海市高考模拟】已知集合，则【解析】
．设全集，集合，，则
全集，集合，，
，
已知集合，若则（
届江苏省盐城中学仿真模拟】已知集合，，则
【答案】
【解析】集合，，
.
故答案为：.
，，则【答案】
．集合，则
，所以，又，所以，所以．。

2019年高考数学专题1.1集合的概念及其基本运算讲

第01节集合的概念及其基本运算【考纲解读】【知识清单】 1．元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）常见数集及其符号表示对点练习：【2018高考北京文8】设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则（）A ．对任意实数(),2,1a A ∈B ．对任意实数(),2,1a A ∉C ．当且仅当0a <时，()2,1A ∉D ．当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 【答案】D【名师点睛】本题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．设{}{}(),()A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式． 2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为21n-．对点练习：【2018山东二模】若集合，则下列结论中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 3．集合的运算（1）三种基本运算的概念及表示（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB B A = ， A A A =， A A ∅=， A B B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆， A B A B A =⇔⊆， ()U U U C A B C A C B =，()U U U C A B C A C B =．对点练习：【2018高考全国I 文1】已知集合{}0,2A =，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（）A ．{}0,2B ．{}1,2 C ．{}0D ．{}2,1,0,1,2--【考点】考查集合的基本运算．【答案】A【解析】试题分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A B 中的元素，最后求得结果．试题解析：根据集合交集中元素的特征，可以求得{}0,2AB =，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果．【拓展、技巧与警示】集合运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题，也可以把其它知识渗透到集合中来，例如方程、不等式、向量、三角函数等，解决这类题目主要是直接法，或特值法．集合问题主要要考虑元素的属性、运算等．【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】【2018山西一模】已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（）A ．0B ．-4C ．-4或1D ．-4或0 【答案】D【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即()222440,0,4a a a a a +-=+===-，故选D ．【1-2】【2018豫南九校期末考】已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ．【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【触类旁通】【变式一】【上海黄浦二模】已知集合，若，则非零实数的数值是_________．【答案】【解析】由题，若则此时B集合不符合元素互异性，故若则符合题意；若则不符合题意．故答案为2．【变式二】【2018江西二模】设集合，，，则中的元素个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可．详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：观察可得：，据此可知中的元素个数为．本题选择C选项．【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．考点2 集合间的基本关系【2-1】【2018福建莆田模拟】已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，再由，可求出实数的取值范围．详解：集合，或，，，实数的取值范围是，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇．【2-2】【2018安徽江南十校二模】设集合，，则下列关系正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合．本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键．【2-3】【2018豫南九校模拟】已知集合{|12}A x k x k =+≤≤， {|14}B x x =≤≤，则能使A B A =成立的实数k 的取值范围是__________．【答案】(],2-∞【解析】集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A ⊆B ．当A= φ时，满足题意，此时k+1＞2k ，解得k ＜1．当A≠φ时，要使A ⊆B 成立，则11{ 24k k +≥≤，解得： 02k ≤≤ ，综上可得：实数k 的取值范围(],2-∞．【领悟技法】1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．【触类旁通】【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且}m R ∈，则下列关系中成立的是( )A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝D ．PQ ∅＝【答案】A【解析】10{|}P m m <<＝－，20,:16160,m Q m m <⎧⎨∆=+<⎩或0m ＝．∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠．【变式2】已知集合,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N =∅ B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．MN N =【答案】B【解析】(22)2,,8484k n M x x k Z x x k Z ππππ⎧+⎫⎧⎫==-∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，284k N x x ππ⎧==-⎨⎩或(21),84k k Z ππ-⎫-∈⎬⎭，所以M N ⊆．考点3 集合的基本运算本考点是高考的热点，主要有以下两个命题角度：命题角度一集合的交、并、补运算【3-1】【2018河南郑州模拟】设集合，，则的真子集的个数为（） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，利用对数不等式的解法化简集合，根据交集的定义可得结果．详解：，，，其真子集个数为，故选C．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．命题角度二利用集合的运算求参数值或取值范围【3-2】【2017课标II】设集合{}1,2,4A=，{}240x x x mB=-+=．若{}1A B=，则B=（）A．{}1,3- B．{}1,0 C．{}1,3 D．{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B =得1B∈，即1x=是方程240x x m-+=的根，所以140,3m m-+==，{}1,3B=，故选C．【3-3】已知集合27{|}A x x=-≤≤，121{|}B x m x m=+<<-，且B≠∅，若A B A =，则实数m的取值范围是( )A．34m-≤≤ B．34m-<< C．24m<< D．24m<≤【答案】D【解析】由于A B A=，所以B A⊆，又因为B≠∅，所以有12,217,121,mmm m+≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩解得24m<≤，故选D．【领悟技法】1．集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用．2．涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．【触类旁通】【变式一】【2018河南洛阳三模】设集合，，则的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】分析：求出集合A ，B ，得到，可求的子集个数．详解：，的子集个数为故选C ．【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题．【变式2】【2018福建三明一中二模】设全集，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合．【易混易错】易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ⊂≠，则a 的取值范围为________．易错分析：忽视端点．正确解析：由||1x a <－得11x a <<－－，∴11a x a <<－＋，由A B ⊂≠得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<．又当2a ＝时，{}13|x x <<＝满足A B ⊂≠，4a ＝时，{}35|A x x <<＝也满足A B ⊂≠，∴24a ≤≤．温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例2：设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是_______．易错分析：遗忘空集．正确解析：由AB A =⇔A B ⊆，所以当A =∅时，满足A B ⊆，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A ≠∅即0a >时，{}|,0A x a a =<>，由A B ⊆可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤．温馨提示：在A B AB B A B A A B ⊆===∅,,,中容易忽视集合A ≠∅这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：（1）利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系．（2）利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合()(){}20B x x m x =∈--<R ，且()1,A B n =-，则m =________，n =________．【答案】 1- 1【解析】由题意，知{}51A x x =-<<．()1,A B n =-，()(){}20B x x m x =∈--<R ，结合数轴（如图），得1,1m n =-=．。

艺术生高考复习——集合的运算

艺术生高考复习——集合的运算知识梳理1、集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：、、（2）集合与元素的关系用符号∈，∉表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。

（4）集合的表示法：、、（5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

(注意：B A ⊆，讨论时不要遗忘了φ=A 的情况。

)2、元素、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的。

（2）{________________}AB =； {__________A B =；{_______________}U C A =模拟训练1．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2,5,6} B ．{1} C ．{2}D ．{1,2,3,4}2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}3．设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}4．若集合A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |－5<x <2} C ．{x |－3<x <3} D ．{x |－5<x <3}5．已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝( ) A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1,3} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}8.设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)9.设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝10.已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝详细参考答案：1．解析由题意得∁U B＝{1,5,6}，则A∩(∁U B)＝{1}，因此选B.2．答案 A3．答案 A解析如图所示，把集合A，B在数轴上表示出来．所以A∪B＝{x|－1<x<3}．4．答案 A解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示．由交集的定义可得，A∩B为图中阴影部分，即{x|－3<x<2}．5．解析∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，∴∁U A＝{x|x<－1或x≥3}．6．解析由题意可得B＝{1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}，故选A.7．解析由(x＋1)(x－2)<0⇒－1<x<2，又x∈Z，∴B＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．故选C.8解析∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.9.解析S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，在数轴上表示出集合S，T，如图所示：由图可知S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)，故选D.10. 解析∵Q＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁R Q＝(－2,2)，∴P∪(∁R Q)＝(－2,3]，故选B.。

2019年高考数学艺术类考生专用复习资料：集合的概念与运算

真题演练
1.(2018·江苏卷)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.
2.(2018·浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},若集合A={1,3},则∁UA=.
能力提升
例1(2018·苏州期末)已知集合A={1,2a},B={-1,1,4},且A⊆B,那么正整数a的值为.
答案
要点梳理
1.∈∉⊆、⊈=
2.{x|x∈A且x∈B}{x|x∈A或x∈B}
3.{x|x∈S且x∉A}
激活思维
1.③④⑤⑥2.⌀Z3.{(1,2)}4.4
真题演练
1.{1,8}2.{2,4பைடு நூலகம்5}
能力提升
例1【答案】2
例2【解答】由题意知A={-4,0},
由A∩B=B,得B⊆A,
所以B=⌀,{0},{-4}或{-4,0}.
综上,实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.
当堂反馈
1.{-2}2.3
其中正确的是.(填序号)
2.(必修1P13习题5改编)若集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B=,A∪B=.
3.(必修1P13习题4改编)若集合A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3},则A∩B=.
4.(必修1P17习题8改编)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A共有个.
2019年高考数学艺术类考生专用复习资料
集合的概念与运算
要点梳理
1.元素与集合的关系,用或表示.集合与集合的关系,用或表示.
2.交集:A∩B=.并集:A∪B=.
3.补集:CUA=.
激活思维
1.(必修1P9习题3改编)有下列表示:

集合基础知识(艺考生)

第1讲集合思维导图知识梳理1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B 的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．核心素养分析在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。

本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。

能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。

初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。

掌握集合的基本关系与基本运算在数学表达中的作用。

重点提升数学抽象和数学运算素养。

题型归纳题型1 集合的基本概念【例1-1】（2020•东湖区校级模拟）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A ∈，则(a = ) A ．3-或1-或2B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或2【例1-2】（2020·山东校级模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【跟踪训练1-1】（2019秋•徐汇区校级期末）已知复数a ，b 满足集合{a -，2}{b a =，1}b +，则ab = . 【跟踪训练1-2】（2020•大连模拟）设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【跟踪训练1-3】（2020•徐汇区校级模拟）已知实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x = ．【名师指导】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．题型2 集合的基本关系【例2-1】（2020•成都模拟）已知集合{0A =，}x ，{0B =，2，4}，若A B ⊆，则实数x 的值为( )A ．0或2B ．0或4C ．2或4D ．0或2或4【例2-2】（2020春•金凤区校级期中）已知集合22{|340A x x ax a =-->，(0)}a >，{|2}B x x =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．【例2-3】已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．【跟踪训练2-1】（多选）（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3-B ．1C ．2D ．5【跟踪训练2-2】（2020春•海淀区校级期中）设集合{|||1A x x a =-<，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，若AB ，则a 的取值范围为．【跟踪训练2-3】已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【名师指导】根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．题型3 集合的基本运算【例3-1】2020•新课标Ⅱ）已知集合U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U （A ∪B ）＝（） A ．{﹣2，3} B ．{﹣2，2，3）C ．{﹣2，﹣1，0，3}D ．{﹣2，﹣1，0，2，3}【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．6【例3-3】（2019•巢湖市一模）已知集合{|3}A x x =<，{|}B x x a =>，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．[3，)+∞B ．(3,)+∞C ．(,3)-∞D ．(-∞，3]【例3-4】定义集合的商集运算为A B ＝,,m x x m A n B n ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭丨，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅰ）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}【跟踪训练3-2】（2020•海南）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（） A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【跟踪训练3-3】（2020•新课标Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，则a ＝（） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【跟踪训练3-4】（2020•毕节市模拟）已知全集U R =，集合{1A =，2，3，4，5}，{|(3)}B x R y lg x =∈=-，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1，2，3，4，5}B ．{1，2，3}C ．{1，2}D ．{3，4，5}【跟踪训练3-5】（2020•镇江三模）已知集合{1A =，2}，{1B =-，2}a ，若{}AB a =，则实数a = ．【跟踪训练3-6】（2019秋•闵行区校级期中）任意两个正整数x 、y ，定义某种运算()():x y x y x y x yx y ⎧+⎪⊗⊗=⎨⨯⎪⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6M x y x y ==⊗，x ，*}y N ∈中元素的个数是．【名师指导】1.根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．2.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．配套练习1．（2020•浙江）已知集合P ＝{x |1＜x ＜4}，Q ＝{x |2＜x ＜3}，则P ∩Q ＝（） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |3≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}2．（2021•十三模拟）已知集合{0A =，1，2，3，4}，{|(1)(4)0}B x x x =+-<，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．（2021•五模拟）已知集合2{|23}A x Z x x =∈-<，{0B =，1，3}，则(A B = )A ．{1-，0，1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，3}D ．{0，1}4．（2021•十一模拟）已知集合{|A x y ==，}x N ∈，{|14}B x x =-<<，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（2021•一模拟）已知集合{|}A x x e =>，{1B =，2，3，4，5}，则()(R A B = )A ．{3，4，5}B ．{3，4}C ．{1，2}D ．{4，5}6．（2021•六模拟）已知集合{|13}A x x =-，集合{|11}B x m x m =-+．若B A ⊆，则m 的取值范围是()A ．(-∞，2]B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．[0，2]7．（2021•十模拟）已知集合{|10}A x x =->，{|(2)(6)0}B x x x =+-，若(2A B =，6]，则(RA =)A ．(-∞，2]-B ．(,2)-∞C ．(-∞，2]D ．(,2)-∞-8．（2021•八模拟）设集合2{|20}A x R x x =∈-，{|1327}x B x N =∈<，则()(R A B = )A ．(0,1)B ．[1，2]C ．(2，3]D ．{3}9．（2021•十五模拟）已知全集U R =，集合2{|}A x x x =，{|21}x B x =，则()(UA B = )A ．(0,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(0,1)10．（2021•十一模拟）已知全集U R =，集合2{|40A x x =-<，}x Z ∈，集合2{|230}B x x x =--=，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{0，1，3}B ．{2-，0，1，2，3}C ．{0，1-，3}-D ．{1-，0，1，3}11．（2021•二模拟）已知集合{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，2{|780}B x N x x =∈--，则集合(AB =)A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1，2，3}12．（2021•九模拟）已知集合{|1A x x m =-<，}m N ∈，2{|340}B x Z x x =∈--，若{1A B =-，0，1，2}，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．513．（2021•十七模拟）已知集合22{|log (1)4}M x x =-<，2{|430}N x x x =++，则(M N = )A ．{|31}x x -<-B ．{|35}x x -<C ．{|31x x -<或15}x <<D ．{|35}x x -14．（2021•三模拟）已知集合{|10}A x x =-，{|B y y ==，则(AB = )A ．{1}B ．[0，1]C ．{0}D ．R15．（2021•八模拟）设集合2{|log 2}A x Z x =∈<，3{|0}1xB x x -=>+，则(A B = )A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．{1}D ．∅16．（2021•九模拟）已知集合{|1A x x m =-<，}m N ∈，2{|340}B x Z x x =∈--，若{1A B =-，0，1，2}，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020秋•9月份月考）已知集合{|(4)}A x N y lg x =∈=-，则A 的子集个数为． 18．（2017秋•凌源市期末）已知集合{1A =，2}a ，{B a =，1}-，若{1AB =-，a ，1}，则a = ．集合解析题型归纳题型1 集合的基本概念【例1-1】（2020•东湖区校级模拟）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A ∈，则(a = ) A ．3-或1-或2B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或2【解析】解：若14a -=，则3a =-， 2214a a ∴-+=， {2A ∴=，4，14}；若224a a -+=，则2a =或1a =-， 2a =时，11a -=-{2A ∴=，1-，4}； 1a =-时，12a -=（舍)，故选：C ．【例1-2】（2020·山东校级模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】解：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.故选C.【跟踪训练1-1】（2019秋•徐汇区校级期末）已知复数a ，b 满足集合{a -，2}{b a =，1}b +，则ab = . 【解析】解：根据集合相等的条件可知，若{a -，2}{b a =，1}b +，则21a a b b ⎧-=⎨=+⎩①或21a b b a -=+⎧⎨=⎩②，由①得：b 不存在，不满足条件．由②得，若2b a =，1a b -=+；则两式相结合得1212a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩或1212a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1ab ∴=；故答案为：1．【跟踪训练1-2】（2020•大连模拟）设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解： a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4.故选B.【跟踪训练1-3】（2020•徐汇区校级模拟）已知实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x = ．【解析】解：因为实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=，解之得3x =-．故答案为3-．【名师指导】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．题型2 集合的基本关系【例2-1】（2020•成都模拟）已知集合{0A =，}x ，{0B =，2，4}，若A B ⊆，则实数x 的值为( )A ．0或2B ．0或4C ．2或4D ．0或2或4【解析】解：因为{0A =，}x ，{0B =，2，4}，A B ⊆，所以2x =，4．故选：C ．【例2-2】（2020春•金凤区校级期中）已知集合22{|340A x x ax a =-->，(0)}a >，{|2}B x x =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．【解析】解：集合22{|340A x x ax a =-->，(0)}a > {|(4)()0x x a x a =-+>，0}a > {|x x a =<-或4x a >，0}a >， {|2}B x x =>，B A ⊆，042a ∴<，解得102a<． ∴实数a 的取值范围是(0，1]2．故答案为：(0，1]2．【例2-3】已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．【解析】解：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．【跟踪训练2-1】（多选）（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3- B ．1 C ．2 D ．5【解析】解：A B ⊆，2a ∴<，故选：AB ．【跟踪训练2-2】（2020春•海淀区校级期中）设集合{|||1A x x a =-<，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，若A B ，则a 的取值范围为．【解析】解：由||1x a -<，得11x a -<-<，11a x a ∴-<<+，由AB 得1115a a ->⎧⎨+<⎩，24a ∴<<．又当2a =时，{|13}A x x =<<，满足A B ，4a =时，{|35}A x x =<<，满足A B ，24a ∴．故答案为：[2，4]．【跟踪训练2-3】已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】解①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．【名师指导】根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．题型3 集合的基本运算【例3-1】（2020•新课标Ⅱ）已知集合U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U（A ∪B ）＝（） A ．{﹣2，3} B ．{﹣2，2，3）C ．{﹣2，﹣1，0，3}D ．{﹣2，﹣1，0，2，3}【解析】解：集合U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}，则∁U （A ∪B ）＝{﹣2，3}，故选：A ．【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，∴A ∩B ＝{（x ，y ）|{y ≥x x +y =8，x ，y ∈N ∗}＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．【例3-3】（2019•巢湖市一模）已知集合{|3}A x x =<，{|}B x x a =>，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．[3，)+∞B ．(3,)+∞C ．(,3)-∞D ．(-∞，3]【解析】解：结合数轴可知，当3a 时，A B =∅，故AB ≠∅，则实数a 的取值范围3a <，故选：C ．【例3-4】定义集合的商集运算为A B ＝,,m x x m A n B n ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭丨，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】解：由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，则⎝⎛⎭⎫B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，2，共有7个元素．【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅰ）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}【解析】解：集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0}＝（﹣1，4），B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝{1，3}，故选：D ．【跟踪训练3-2】（2020•海南）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（） A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【解析】解：∵集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}， ∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜4}．故选：C ．【跟踪训练3-3】（2020•新课标Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，则a ＝（）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【解析】解：集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |2x +a ≤0}＝{x |x ≤−12a }，由A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，可得−12a ＝1，则a ＝﹣2．故选：B ．【跟踪训练3-4】（2020•毕节市模拟）已知全集U R =，集合{1A =，2，3，4，5}，{|(3)}B x R y lg x =∈=-，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1，2，3，4，5}B ．{1，2，3}C ．{1，2}D ．{3，4，5}【解析】解：全集U R =，集合{1A =，2，3，4，5}， {|(3)}{|3}B x R y lg x x x =∈=-=>，{|3}U C B x x ∴=．∴图中阴影部分表示的集合为： (){1U AC B =，2，3}．故选：B ．【跟踪训练3-5】（2020•镇江三模）已知集合{1A =，2}，{1B =-，2}a ，若{}A B a =，则实数a = ．【解析】解：{}AB a =，a A ∴∈，a B ∈，1a ∴=或2a =或1a =-或2a a =，经验证得，1a =．故答案为：1．【跟踪训练3-6】（2019秋•闵行区校级期中）任意两个正整数x 、y ，定义某种运算()():x y x y x y x yx y ⎧+⎪⊗⊗=⎨⨯⎪⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6M x y x y ==⊗，x ，*}y N ∈中元素的个数是．【解析】解：①当x 与y 都为奇数时，有156+=，336+=，据此可得出(1,5)，(5,1)，(3,3)，3个点符合题意， ②当x 与y 都为偶数时，有246+=，据此可得出(2,4)，(4,2)，2个点符合题意， ③当x 与y 一奇一偶时，166⨯=，236⨯=，据此可得出(1,6)，(6,1)，(2,3)，(3,2)，4个点符合题意，所以共有9个点符合题意，故答案为：9．【名师指导】1.根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．2.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．配套练习1．（2020•浙江）已知集合P ＝{x |1＜x ＜4}，Q ＝{x |2＜x ＜3}，则P ∩Q ＝（） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |3≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【解析】解：集合P ＝{x |1＜x ＜4}，Q ＝{x |2＜x ＜3}，则P ∩Q ＝{x |2＜x ＜3}．故选：B ．2．（2021•十三模拟）已知集合{0A =，1，2，3，4}，{|(1)(4)0}B x x x =+-<，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】解：{0A =，1，2，3，4}，{|14}B x x =-<<，{0A B ∴=，1，2，3}， AB ∴中元素的个数为：4．故选：C ．3．（2021•五模拟）已知集合2{|23}A x Z x x =∈-<，{0B =，1，3}，则(A B = )A ．{1-，0，1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，3}D ．{0，1}【解析】解：{|13}{0A x Z x =∈-<<=，1，2}，{0B =，1，3}，{0AB ∴=，1}．故选：D ．4．（2021•十一模拟）已知集合{|A x y ==，}x N ∈，{|14}B x x =-<<，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】解：{|381x A x =，}{|4x N x x ∈=，}{0x N ∈=，1，2，3，4}，{|14}B x x =-<<，{0A B ∴=，1，2，3}， AB ∴中元素的个数为4．故选：C ．5．（2021•一模拟）已知集合{|}A x x e =>，{1B =，2，3，4，5}，则()(R A B = )A ．{3，4，5}B ．{3，4}C ．{1，2}D ．{4，5}【解析】解：{|}A x x e =>，{1B =，2，3，4，5}，{|}R A x x e ∴=，(){1R A B ∴=，2}．故选：C ．6．（2021•六模拟）已知集合{|13}A x x =-，集合{|11}B x m x m =-+．若B A ⊆，则m 的取值范围是()A ．(-∞，2]B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．[0，2]【解析】解：当0m 时，要满足B A ⊆，只需1113m m --⎧⎨+⎩，解得02m ，当0m <时，11m m ->+，所以此时B =∅，满足B A ⊆，综上，m 的取值范围为2m ，故选：A ．7．（2021•十模拟）已知集合{|10}A x x =->，{|(2)(6)0}B x x x =+-，若(2AB =，6]，则(RA =)A ．(-∞，2]-B ．(,2)-∞C ．(-∞，2]D ．(,2)-∞-【解析】解：[2B =-，6]，(2A B =，6]，且{|1}A x x =>，(2,)A ∴=+∞， (R A ∴=-∞，2]．故选：C ．8．（2021•八模拟）设集合2{|20}A x R x x =∈-，{|1327}x B x N =∈<，则()(R A B = )A ．(0,1)B ．[1，2]C ．(2，3]D ．{3}【解析】解：[0A =，2]，{|03}{1B x N x =∈<=，2，3}，(R A ∴=-∞，0)(2⋃，)+∞，(){3}R A B ∴=．故选：D ．9．（2021•十五模拟）已知全集U R =，集合2{|}A x x x =，{|21}x B x =，则()(UA B = )A ．(0,)+∞B ．[1，)+∞C ．(,1)-∞D ．(0,1)【解析】解：{|0A x x =或1}x ，{|0}B x x =，U R =，{|0AB x x ∴=或1}x ，()(0UA B =，1)．故选：D ．10．（2021•十一模拟）已知全集U R =，集合2{|40A x x =-<，}x Z ∈，集合2{|230}B x x x =--=，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{0，1，3}B ．{2-，0，1，2，3}C ．{0，1-，3}-D ．{1-，0，1，3}【解析】解：{|22A x x =-<<，}{1x Z ∈=-，0，1}，{1B =-，3}，{1}AB ∴=-，{1AB =-，0，1，3}，∴阴影部分表示的集合为：{0，1，3}．故选：A ．11．（2021•二模拟）已知集合{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，2{|780}B x N x x =∈--，则集合(AB =)A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1，2，3}【解析】解：集合{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，2{|780}{|18}{0B x N x x x N x =∈--=∈-=，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴集合{0AB =，1，2，3}．故选：B ．12．（2021•九模拟）已知集合{|1A x x m =-<，}m N ∈，2{|340}B x Z x x =∈--，若{1A B =-，0，1，2}，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解：2{|340}{|14}{1B x Z x x x Z x =∈--=∈-=-，0，1，2，3，4}，集合{|1A x x m =-<，}m N ∈，{1A B =-，0，1，2}，3m ∴=．故选：B ．13．（2021•十七模拟）已知集合22{|log (1)4}M x x =-<，2{|430}N x x x =++，则(M N = )A ．{|31}x x -<-B ．{|35}x x -<C ．{|31x x -<或15}x <<D ．{|35}x x -【解析】解：22log (1)4x -<，2(1)16x ∴-<，且10x -≠，解得：35x -<<且1x ≠，即31x -<<或15x <<，又2{|430}{|31}N x x x x x =++=--， {|31MN x x ∴=-<或15}x <<，故选：C ．14．（2021•三模拟）已知集合{|10}A x x =-，{|B y y ==，则(A B = )A ．{1}B ．[0，1]C ．{0}D ．R【解析】解：集合{|10}{|1}A x x x x =-=，{|{|0}B y y y y ===， AB R ∴=．故选：D ．15．（2021•八模拟）设集合2{|log 2}A x Z x =∈<，3{|0}1xB x x -=>+，则(A B = )A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．{1}D ．∅【解析】解：{|04}{1A x Z x =∈<<=，2，3}，{|13}B x x =-<<，{1AB ∴=，2}．故选：B ．16．（2021•九模拟）已知集合{|1A x x m =-<，}m N ∈，2{|340}B x Z x x =∈--，若{1A B =-，0，1，2}，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：{|1A x x m =-<，}m N ∈，{|14}{1B x Z x =∈-=-，0，1，2，3，4}，{1A B =-，0，1，2}，3m ∴=．故选：C ．17．（2020秋•9月份月考）已知集合{|(4)}A x N y lg x =∈=-，则A 的子集个数为 16 ．【解析】解：{|4}{0A x N x =∈<=，1，2，3}，A ∴的子集个数为4216=．故答案为：16．18．（2017秋•凌源市期末）已知集合{1A =，2}a ，{B a =，1}-，若{1A B =-，a ，1}，则a = 0 ．【解析】解：集合{1A =，2}a ，{B a =，1}-，若{1AB =-，a ，1}，则2a a =，0a ∴=或1a =，当1a =时，21a =不满足题意， 0a ∴=．故答案为：0．。

集合的概念及运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算能利用数轴或文氏图进行集合的运算能利用数轴或文氏图进行集合的运算,,掌握集合问题的常规处理方法．掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用种表示方法，集合语言、集合思想的运用; ;2.2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a Ï注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …………元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …………例题精析1： 1、下列各组对象能确定一个集合吗？、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（不确定）（不确定）（2）好心的人（不确定）（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2___-2,0,2__3、由实数x,x,－－x,x,｜｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（所组成的集合，最多含（ A A）（A ）2个元素个元素（B ）3个元素个元素（C ）4个元素个元素（D ）5个元素个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明证明(1)(1)(1)：在：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x a=x∈∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,G,即即x ∈G证明证明(2)(2)(2)：∵：∵：∵x x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c Z,c∈∈Z, d∈Z ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数，不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为的所有解组成的集合，可以表示为{-1{-1{-1，，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：的所有整数组成的集合：{51{51{51，，5252，，5353，…，，…，，…，100} 100}所有正奇数组成的集合：所有正奇数组成的集合：{1{1{1，，3，5，7，…，…} }（2）a 与{a}{a}不同：不同：不同：a a 表示一个元素，表示一个元素，{a}{a}{a}表示一个集合，该集合只有一个元素表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x {x∈∈A| P（x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-Îx R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：如：{{直角三角形直角三角形}}；{大于104的实数的实数} }（2）错误表示法：）错误表示法：{{实数集实数集}}；{全体实数全体实数} }（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：思考：何时用列举法？何时用描述法？何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y yx ；集合；集合{1000{1000以内的质数以内的质数} } 例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{³y y是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合、用描述法表示下列集合 ①{1{1，，4，7，1010，，13}}5,23|{£Î-=n N n n x x 且 ②{-2{-2，，-4-4，，-6-6，，-8-8，，-10}}5,2|{£Î-=n N n n x x 且 2、用列举法表示下列集合、用列举法表示下列集合①{x {x∈∈N|x 是15的约数的约数} {1} {1，3，5，15} ②{（x ，y ）|x |x∈∈{1{1，，2}2}，，y ∈{1{1，，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）} 注：防止把注：防止把{{（1，2）}写成写成{1{1{1，，2}2}或或{x=1{x=1，，y=2}③îíì=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n Î-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ÎÎ=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ax＋＋b=0b=0，当，当a,b 满足条件满足条件____________时，解集是有限集；当时，解集是有限集；当a,b 满足条件满足条件_______________时，解集是时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, …………}= }= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是所满足的条件是2、已知{}23,21,1A a a a=--+，其中a R Î，⑴若3A -Î，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。

2019版高考数学精选地区1.1 集合的概念及运算

2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
10
3.(2018浙江,1,4分)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA= ( ) A.⌀ B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 答案 C 本小题考查集合的运算. ∵U={1,2,3,4,5},A={1,3},∴∁UA={2,4,5}. 4.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B= ( ) A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}
4.(2016课标Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B= ( )
A.

3,

3 2

B.

3,
3 2

C.
1,
3 2

D. 32 ,3
答案
D
因为A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B=
由图可知S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选D.
思路分析通过不等式的求解得集合S,然后在数轴上表示出集合S和集合T,利用数形结合的方法得出S∩T的结果.
方法总结利用数形结合法求解集合运算问题的基本步骤:①定集合:通过解不等式,根据元素的属性确定每个集合;②定图形:利用数轴或Venn图表示相关集合;③定运算:根据图形确定相关运算的结果.
3
3.(2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则 ( ) A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀ 答案 A 本题主要考查集合的表示方法和集合交集、并集的概念和运算,还考查了指数函数的性质. ∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.

专题01-集合的概念与运算

专题01-集合的概念与运算(解析版)(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--专题01 集合的概念与运算【高频考点解读】1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.8.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题．9.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现．10.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1题.【热点题型】题型一考查集合的基本概念例1、已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3【提分秘籍】(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}集合的意义方程f(x)＝0 的解集不等式f(x)>0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图象上的点集【举一反三】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6C．8 D．10【热点题型】题型二集合与集合的基本关系例2、已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( )A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅【解析】A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以B A.【答案】B【提分秘籍】(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)若两个集合相等，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组求解，要注意挖掘题目中的隐含条件．(3)易错警示：①利用数形结合思想处理集合与集合之间的关系时，要注意数轴端点是实心还是空心．②题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．【举一反三】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则实数m的取值范围________．【解析】由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，即m ＜2，此时满足B ⊆A . ②若B ≠∅，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．【答案】 (－∞，3] 【热点题型】题型三集合的基本运算例3、设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．【提分秘籍】(1)在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．(2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．【举一反三】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝( ) A．M B．NC．I D．∅解析：∵N∩∁I M＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.答案：A【热点题型】题型四以集合为背景的新定义题例4、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【提分秘籍】1.对“类”的正确理解（1）由“类”的定义知，[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4，即Z中的所有元素共分为[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，5类．（2）“a，b属于同‘类’”⇒a＝5n1＋k，b＝5n2＋k⇒a－b＝5(n1－n2)；反之，a－b∈[0]⇒a－b被5除余数为0⇒a，b被5除余数相等．2.解题方法(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；本题根据所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的结论．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．【举一反三】已知集合M，若a∈M，则a＋1a－1∈M，则称a为集合M的“亮点”，若M＝{x∈Z|44－x≥1}，则集合M中的“亮点”共有( )A．2个B．3个C．1个D．0个【高考风向标】1．（2014·北京卷）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．2.（2014·福建卷）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.3．（2014·广东卷）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝( ) A．{0，1} B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}【答案】C【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．4．（2014·湖北卷）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2014·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】D【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．6．（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )A．(0，4] B．[0，4)C．[－1，0) D．(－1，0]【答案】B【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1<x<4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x<4}．7．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1，2)B．[－1，1] D．[1，2)【答案】A【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．8．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【答案】D【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．9．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B ＝( )A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x ＜3}．故选C.10．（2014·陕西卷）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)11．（2014·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}12．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.13．（2014·浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}【答案】B【解析】∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}，故选B.14．（2014·重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________．15．（2013·重庆卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【答案】D【解析】因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.16．（2013·北京卷）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{－1，0} C．{0，1} D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.17．（2013·广东卷）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}【答案】D【解析】∵M＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D.18．（2013·湖北卷）已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}【答案】C【解析】A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，∁RB＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C.19．（2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.20．（2013·江苏卷）集合{－1，0，1}共有________个子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.21．（2013·江西卷）已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 【答案】C【解析】zi ＝4z ＝－4i ，故选C.22．（ 2013·辽宁卷）已知集合A ＝{}x|0<log 4x<1，B ＝{}x|x≤2，则A∩B＝( ) A ．(0，1) B ．(0，2] C ．(1，2) D ．(1，2] 【答案】D【解析】∵A＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，故选D.23．（2013·全国卷）设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．624．（2013·山东卷）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3 C．5 D．925．（2013·陕西卷）设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为( ) A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】要使二次根式有意义，则M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．26．（2013·四川卷）设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( )A．{－2} B．{2} C．{－2，2} D．【答案】A【解析】由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．27．（2013·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( )A．(－∞，2] B．[1，2]C．[－2，2] D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．28．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【解析】集合M＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝{0，1，2}．29．（2013·浙江卷）设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( )A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)30．（2013·重庆卷）对正整数n，记I n＝{1，2，…，n}，P n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk⎪⎪⎪m∈I n，k∈I n)．(1)求集合P7中元素的个数；(2)若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并．【随堂巩固】1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24＋3y24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]．答案 B3．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝ ( )． A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析因为∁R B ＝{x |x >3或x <－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}．答案 B4．已知全集I ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁I A )∩(∁I B )等于( )．A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}5．设集合I ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁I M ＝( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}解析 I ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∴∁I M ＝{1,4}．答案 A6．若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R}，则(∁R A )∩B ＝ ( )． A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析 ∁R A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |0≤x ≤1}．答案 C7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 答案 18．设全集I ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(∁I A )∪(∁I B )＝________.解析依题意得知，∁I A ＝{c ，d }，∁I B ＝{a }，(∁I A )∪(∁I B )＝{a ，c ，d }．答案 {a ，c ，d }9．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合； ③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．11．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 12．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .。