15 3绕定轴转动刚体的轴承动反力重庆大学理论力学课件解析
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《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)
球绕O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为
FT2
FI＝m1l
2sin
重锤静止，无惯性力。
FT1
m1 g
m2 g
3、应用动静法： 对于球 B
Fx1 0 Fy1 0
对于重锤 C
m1l 2sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
m 2 1 F x sin dx ml 2 sin 0 l 2
l
C
FT B FAy
A
mg FAx
B
x FI
Fx 0 FAx F FT 0 Fy 0 FAy mg 0
MA 0 2 l FT l cos F l cos mg sin 0 3 2
例 题3
已知：m ，l， ， FT B FAy
A
求：BC 绳的张力及A 处约束反力。 解： 取AB 杆为研究对象 分析AB 杆的运动，计算惯性力 m 2 dF x sin dx l
C
mg FAx
B
m 2 1 F x sin dx ml 2 sin 0 l 2
FAx mr ( 2 ) FAy mg mr ( 2 ) MA mr 2 mgr (3 2 4 ) 3
理论力学第13章
O点为简化中心 根据动静法，平衡方程如下：
F 0 F F F F 0 F 0 F F F F 0 F 0 F F 0 M 0 F OB F OA M M 0 M 0 F OA F OB M M 0
(e) Fi FI i 0 (e ) M O Fi M O FI i 0
作用在质点系上的所有外力与虚加在每个 质点上的惯性力在形式上组成平衡力系
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分 布在轮缘上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的 两端挂有质量为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间 不打滑,轴承摩擦忽略不计。 求:重物的加速度.
重物平移，加惯性力：FI ma a 转子定轴转动，加惯性力矩： M IO J J R 由质点系的达朗贝尔原理，列平衡方程：
解:
M 0 mgl F l Pl M F l l 0 Fy 0 FA FB mg P FI 0
B 2 I 2 3 IO A 1 2
FIR Fi e mi ai maC (e ) d LO M IO M O Fi dt
主矢 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关 FIR maC
理论力学-静力学部分
静力学部分总结
姓名：孟庆宇班级：15工9 学号：20150190218静力学是研究物体的受力分析与力系简化及平衡。
平面力系：1、平面汇交力系；2、平面力偶系；3、平面任意力系。
空间力系：1、空间汇交力系；2、空间力偶系；3、空间任意力系。
一、基本概念
1、静力学；
2、刚体；
3、变形体；
4、力；
5、力系；
6、等效力系；7平衡；8、平衡力系；9、平衡条件；10、平衡方程； 11、力系简化；12、合力；13分力；14、二力构件；15、自由体；16非自由体；1
7、约束；1
8、约束力；19主动力；20、被动力；21、施力体；22、受力体。
物体在受到力的作用后，产生的效应可以分为两种：
(1)外效应也称为运动效应——使物体的运动状态发生改变；
(2)内效应也称为变形效应——使物体的形状发生变化。
静力学研究物体的外效应。材料力学主要研究力对物体的内效应。
23、平面力系；24、平面汇交力系；25、平面力对点的矩；26、平面力偶矩；27、平面任意力系；28、主矢；29、主矩；30、平面力系平衡条件；31、平面力系平衡方程；32、平面物体系统；33、平面物体系统的平衡；34、静定问题；35、超静定问题；36、平面桁架。37、空间力系；38、空间汇交力系；39、空间力对点、对轴的矩；40、空间力偶矩；41、空间任意力系；42、主矢；43、主矩；43、空间力系平衡条件；44、空间力系平衡方程。
二、基本理论
1、五大公理、两个推论及其应用。
2、工程中常见的八大约束类型及约束反力。
(1)光滑约束；(2)柔索约束；(3)圆柱销光滑铰链约束；(4)固定铰支座约束；(5)滚动支座约束；(6)球铰链约束；(7)止推轴承约束；(8)固定端约束。
922147-理论力学之动力学-第四章2动反力
mg
dLo
dt
Mo
1 mr2 Fr 2
F
FN
F fmg
2(5 4 f tan )
26
思考题：质量为m的套筒可在光滑的水平杆上滑动，质量为m 的均质杆的一端用铰链与套筒连接，另一端可在粗糙的水平 地面上滑动。若使系统以加速度a水平移动。试比较下列系统 中作用在套筒上水平力的大小。
FA
FB
L
FI2
mg
B FBx FI1
mg
C
问题的引出
FAx
FBx
mL 2 sin
h
2
• 附加动反力由惯性力引起
A
FAx
FAy
• 惯性力与转子的质量分布有关 • 如何消除附加动反力
1
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
演示实验
2
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
高速旋转时有较大的动反力
高速旋转时有较小的动反力
任意位置平衡
图示位置平衡
3
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
实验现象表明：动反力、平衡位置与转子的质量分布有关 高 速 转 子 在 现 实 中 应 用
4
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
一、惯性力系的简化
任意形状的定轴转动刚体, Oxyz固连在刚体上
dLo
dt
Mo
1 mr2 Fr 2
F
FN
F fmg
2(5 4 f tan )
26
思考题：质量为m的套筒可在光滑的水平杆上滑动，质量为m 的均质杆的一端用铰链与套筒连接，另一端可在粗糙的水平 地面上滑动。若使系统以加速度a水平移动。试比较下列系统 中作用在套筒上水平力的大小。
FA
FB
L
FI2
mg
B FBx FI1
mg
C
问题的引出
FAx
FBx
mL 2 sin
h
2
• 附加动反力由惯性力引起
A
FAx
FAy
• 惯性力与转子的质量分布有关 • 如何消除附加动反力
1
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
演示实验
2
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
高速旋转时有较大的动反力
高速旋转时有较小的动反力
任意位置平衡
图示位置平衡
3
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
实验现象表明：动反力、平衡位置与转子的质量分布有关 高 速 转 子 在 现 实 中 应 用
4
§4-3.定轴转动刚体轴承动反力 静平衡与动平衡
一、惯性力系的简化
任意形状的定轴转动刚体, Oxyz固连在刚体上
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
动静法：质点的达朗伯原理是用静力学的方法来研究动 力学问题,故又称为动静法 若质点沿已知平面曲线运动，则可将式 投影到自然轴上，得
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
解 (1)选取研究对象，画受力图 以摆球M为研究对象,并视为质点。它受有 重力P和绳的拉力T的作用。
(3)列平衡方程，求未知量。由汇交力系的平衡方程得
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
例11-2球磨机滚筒内装有钢球和矿石，滚筒绕固定水平轴O以匀转 速n（r/min）作顺时针方向转动，带动钢球和矿石在滚筒中运动， 转到一定角度α时钢球离开滚筒内壁沿抛物线轨迹落下,可以得到最 大的打击力。设滚筒的半径为r，求钢球离开滚筒时的角度α应为多 少?
§11－2 刚体惯性力系的简化
当转轴z通过质心，惯性力系的简化结果为一力偶，该力 偶的力偶矩
ε
当刚体匀速转动,转轴不通过质心C时,惯性力系简化为过 简化中心的力。即
其大小为m rCω2，其中rC为质心到简化中心O的距离，方 向与质心C的法向加速度方向相反。
若转轴过质心，即刚体绕过质心的轴作匀 速转动，惯性力系向S内任一点简化的主矢 和主矩都等于零,则惯性力系是一平衡力系。
理论力学ppt课件
力对刚体的作用决定于：力的大小、方向和作用线。 力是有固定作用线的滑动矢量。
13
根据力的可传性，作D 的受力图，
此受力图是否正确？
分析整个系统平衡时，作用力 是否可沿其作用线移动？
14
公理3 力的平形四边形法则 －复杂力系简化的基础 矢量表达式
FR F1 F2
是力的合成法则， 也是力的分解法则
26
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
实质为光滑面接触 一个过轴心的未定方向的反力 一对互相正交的约束反力
27
滚动支座约束
在铰链支座与光滑支承面间安装几个辊 轴构成，亦称辊轴支座约束。
约束性质与光滑面约束相同，其约束力垂直于 支承面，通过铰销中心。
28
轴承约束（径向轴承）
第一篇 理论力学
第一章 力学基础
1
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型 实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
(2)汇交力系平衡的解析条件 Fix = 0 Fiy = 0 Fiz = 0
35
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
13
根据力的可传性，作D 的受力图，
此受力图是否正确？
分析整个系统平衡时，作用力 是否可沿其作用线移动？
14
公理3 力的平形四边形法则 －复杂力系简化的基础 矢量表达式
FR F1 F2
是力的合成法则， 也是力的分解法则
26
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
实质为光滑面接触 一个过轴心的未定方向的反力 一对互相正交的约束反力
27
滚动支座约束
在铰链支座与光滑支承面间安装几个辊 轴构成，亦称辊轴支座约束。
约束性质与光滑面约束相同，其约束力垂直于 支承面，通过铰销中心。
28
轴承约束（径向轴承）
第一篇 理论力学
第一章 力学基础
1
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型 实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
(2)汇交力系平衡的解析条件 Fix = 0 Fiy = 0 Fiz = 0
35
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
理论力学11—达朗贝尔原理2
2 2 1 l 2 2 ml m(r ) a 4 12 1 2 ( ml mr 2 )a 3
A ra O
l B
y MA FAy
FAx FIR
A
பைடு நூலகம்j a
C
B
x aC
mg O MIO
由质点系的达朗贝尔原理 Fx 0 FAx FIR sin j 0
FAx A j aC a FIR Fy 0 FAy FIR cos j mg 0 mg O MIO l M A ( F ) 0 M A M IO mg FIR sin j r 0 2
mg
解： 细杆刚离地面时仍为平移，地 面支持力变为零，设其加速度 为a。以杆为研究对象，杆承受 的力并加上惯性力如图所示， 其中FIC =maC=ma 。 C
B
按达朗贝尔原理列出方程
FAy
FAx A C a mg 30
M A( F ) 0
FIC
mar sin 30 mgr cos 30 0
[例7] 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆 长 l=2r ，质量为 m 。杆端点 A 与轮心为光滑铰 接，如图所示。如在A处加一水平拉力 F，使 轮沿水平面纯滚动。问力 F多大能使杆的 B端 刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面 间的静滑动摩擦系数应为多大？
A ra O
l B
y MA FAy
FAx FIR
A
பைடு நூலகம்j a
C
B
x aC
mg O MIO
由质点系的达朗贝尔原理 Fx 0 FAx FIR sin j 0
FAx A j aC a FIR Fy 0 FAy FIR cos j mg 0 mg O MIO l M A ( F ) 0 M A M IO mg FIR sin j r 0 2
mg
解： 细杆刚离地面时仍为平移，地 面支持力变为零，设其加速度 为a。以杆为研究对象，杆承受 的力并加上惯性力如图所示， 其中FIC =maC=ma 。 C
B
按达朗贝尔原理列出方程
FAy
FAx A C a mg 30
M A( F ) 0
FIC
mar sin 30 mgr cos 30 0
[例7] 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆 长 l=2r ，质量为 m 。杆端点 A 与轮心为光滑铰 接，如图所示。如在A处加一水平拉力 F，使 轮沿水平面纯滚动。问力 F多大能使杆的 B端 刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面 间的静滑动摩擦系数应为多大？
理论力学达朗贝尔原理
MC*
dLC dt
以及它在通过质心C的某一平动轴 Cz上的投影表达式
Mz*
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主 矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负 号。
§ 5-2 惯性力系的简化 惯性力系的主矩
注意
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。
Fi FNi Fi*0
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
Fi FNi Fi*0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
即
Mz* Jz
z
M*z
F
* n
a
t C
O
y
C a
n C
x
F
* t
§ 5-2 惯性力系的简化 刚体做定轴转动
● 对转轴的主矩
Mz* Jz
具有质量对称平面的刚体绕垂直 于质量对称平面的固定轴转动时，惯 性力系向固定轴简化的结果，得到合 力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩， 其大小等于刚体对转动轴的转动惯量 与角加速度的乘积，方向与角加速度 方向相反。
理论力学课件：动能定理
的路程有关。我们把 力在一段路程上的 累 积 效 应,称 为
力的功。
动能定理
1.功的计算
1)常力的功
设一物体在常力F 的作用下做直线运动,如图12-1所示。
α 表示力和运动方向间的夹角,S 表示力作用点走过的路程。
则力F 在路程S 上所作的功为
或
动能定理
图12-1
动能定理
2)变力的功
设质点 M 在变力F 作用下沿曲线运动,如图12-2所示。
dr=(N+N')·dr=0。例如常
见的固定铰支座、中间铰的约束。
图12-10
动能定理
(4)不可伸长的柔索约束。如图12-11所示的不可伸长的
绳索,两端分别作用着拉力F1 和F2(F1=F2),两端的位移dr1 和
dr2 沿绳索的投影相等,则F1 和F2 的元功和为
动能定理
图12-11
动能定理
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
力的功。
动能定理
1.功的计算
1)常力的功
设一物体在常力F 的作用下做直线运动,如图12-1所示。
α 表示力和运动方向间的夹角,S 表示力作用点走过的路程。
则力F 在路程S 上所作的功为
或
动能定理
图12-1
动能定理
2)变力的功
设质点 M 在变力F 作用下沿曲线运动,如图12-2所示。
dr=(N+N')·dr=0。例如常
见的固定铰支座、中间铰的约束。
图12-10
动能定理
(4)不可伸长的柔索约束。如图12-11所示的不可伸长的
绳索,两端分别作用着拉力F1 和F2(F1=F2),两端的位移dr1 和
dr2 沿绳索的投影相等,则F1 和F2 的元功和为
动能定理
图12-11
动能定理
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理
理 论 力 学(I)
第三部分 动 力 学
第十三章 达朗贝尔原理
2009年12月22日
1
第十三章 达朗贝尔原理
达朗贝尔是一位著名的哲学家、 数学家、天文学家和力学家。
1743年，他发表了《论动力学》 一书，提出了达朗贝尔原理。假定：
就整个物体而言，内部反作用互相抵
消了，已而对运动没有任何贡献，而
随质心C的平移： FIR = −maC 绕质心轴的转动： M IC = − J Cα
FIR = −maC （作用于质心C） M IC = −JCα
18
第十三章 达朗贝尔原理
对于平面运动刚体，由动静法可列出如下三个方程：
∑ F (e) x
+
FI x
=
0
∑ F (e) y
+
FI y
=
0
∑ M C (F (e) ) + M IC = 0
O
C
ωα
L/4
求：向交点O简化的主矢？主矩？
FIRt
=
1 4
mαL
(↑)
向质心C简化的主矢？主矩？
FIRn
=
1 4
mω 2L
(→)
M IO
=
7 48
mL2α
M IC
=
1 12
mL2α
理 论 力 学(I)
第三部分 动 力 学
第十三章 达朗贝尔原理
2009年12月22日
1
第十三章 达朗贝尔原理
达朗贝尔是一位著名的哲学家、 数学家、天文学家和力学家。
1743年，他发表了《论动力学》 一书，提出了达朗贝尔原理。假定：
就整个物体而言，内部反作用互相抵
消了，已而对运动没有任何贡献，而
随质心C的平移： FIR = −maC 绕质心轴的转动： M IC = − J Cα
FIR = −maC （作用于质心C） M IC = −JCα
18
第十三章 达朗贝尔原理
对于平面运动刚体，由动静法可列出如下三个方程：
∑ F (e) x
+
FI x
=
0
∑ F (e) y
+
FI y
=
0
∑ M C (F (e) ) + M IC = 0
O
C
ωα
L/4
求：向交点O简化的主矢？主矩？
FIRt
=
1 4
mαL
(↑)
向质心C简化的主矢？主矩？
FIRn
=
1 4
mω 2L
(→)
M IO
=
7 48
mL2α
M IC
=
1 12
mL2α
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
向与质点加速度的方向相反。
惯性力是质点作用在使其产生加速度的其他物体上的力。
2
二、质点的达朗贝尔原理
ma F FN F FN ma 0
令 FI ma 惯性力
有 F FN FI 0 汇交力系的平衡条件
质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、 约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
它主动力作用时，则刚体可以在任意位置静止不动。 动平衡：刚体的转轴为中心惯性主轴时，刚体转动时不出
现轴承附加动反力，即轴承的附加动反力等于零。
34
例15-8 如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20Kg,
转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心C不在转
轴上, 偏心距e 0.1mm.当轮盘以均转速 n 12000 r min
FB
l1
1 l2
mgl1
Pl1
l2
l3
a
ml1
理论力学12达朗伯原理
质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
FiNiQ i0(i1,2,n..)....
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
FiNi Qi0
mO(Fi)mO(Ni)mO(Qi)0
也可以将质点系受力按内力、外力划分,
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方 法，因而也称动静法。
2
第十五章 达朗伯原理 §12–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §12–2 质点系的达朗伯原理 §12–3 刚体惯性力系的简化 §12–4 定轴转动刚体的轴承动反力
第二项为质点系的质量集中到简化中心 D 产生的惯性力矩， 为了简化计算，我们希望这一项不出现
14
M I r i ( m i a r ) ir C ( m T a D )
通过选择特殊的简化中心，选择方法 与相对运动动量矩定理中的特殊动矩 心相同，这三种特殊的简化中心为：
15
12.3.2 刚体惯性力系的简化 一、刚体作平动
由质心运动定理： maRAmcgo0 s a2 lε34gco0 s
0mnamsgin0RAn
R A n msg i0 n, R A m 4cg o0s
《理论力学》课件 第5章
根据平动的定义知 A0B0∥AB∥A1B1∥ ∥AnBn
图5-3
由此可见， A0B0B1A1 ，A1B1BA，ABB2 A2 ， 都是平行四边形。
结论:折线 A0 A1 AA2 An 与折线 B0 B1BB2 Bn完全相 同。当所分割的时间间隔的数目趋近于无限多，而 t 趋近 于零时，折线就趋近于点的轨迹曲线。因此，刚体平行移动 时，刚体上任意两点的轨迹形状相同。
图5-5
转角 的变化称为角位移，而转角 对时间的变化率就是角速
度。设在时间 t 内的角位移是 ，则刚体在时间 t 内的平
均角速度为
*
t
当t 趋近于零时，即得刚体转动的瞬时角速度为
lim * lim d
t
t0 t dt
（5-2）
刚体绕定轴转动的角速度等于转角对于时间的一阶导数。
角速度的单位是rad/s，工程上还常用转速 n (r/ min)，
这两种单位的关系是 2n n (rad/s) 60 30
若角速度是正值，则表明转角 随时间而增加；反之， 若角速度是负值，则表明转角随时间而减小。
角速度对于时间的变化率称为角加速度。设角速度在时间 t 内的变
化为 ，则在时间 t 内的平均角加速度为
缘上任一点 的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可
伸长的绳子并在绳端悬挂一物体 A ，求当t 1 s 时，物体 的
图5-3
由此可见， A0B0B1A1 ，A1B1BA，ABB2 A2 ， 都是平行四边形。
结论:折线 A0 A1 AA2 An 与折线 B0 B1BB2 Bn完全相 同。当所分割的时间间隔的数目趋近于无限多，而 t 趋近 于零时，折线就趋近于点的轨迹曲线。因此，刚体平行移动 时，刚体上任意两点的轨迹形状相同。
图5-5
转角 的变化称为角位移，而转角 对时间的变化率就是角速
度。设在时间 t 内的角位移是 ，则刚体在时间 t 内的平
均角速度为
*
t
当t 趋近于零时，即得刚体转动的瞬时角速度为
lim * lim d
t
t0 t dt
（5-2）
刚体绕定轴转动的角速度等于转角对于时间的一阶导数。
角速度的单位是rad/s，工程上还常用转速 n (r/ min)，
这两种单位的关系是 2n n (rad/s) 60 30
若角速度是正值，则表明转角 随时间而增加；反之， 若角速度是负值，则表明转角随时间而减小。
角速度对于时间的变化率称为角加速度。设角速度在时间 t 内的变
化为 ，则在时间 t 内的平均角加速度为
缘上任一点 的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可
伸长的绳子并在绳端悬挂一物体 A ，求当t 1 s 时，物体 的
理论力学13_动力学_5.达朗贝尔原理2
第14章
★引
达朗伯( D′Alembert)原理
言
★ 几个工程实际问题 ★ 质点的惯性力与动静法 ★ 质点系的达朗伯原理 ★ 刚体惯性力系的简化 ★ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ★ 结论与讨论
引
★
言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表 示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 — — 达朗伯原理（动静法）。 达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
ma
FI O x
F + FN － ma ＝0
ywenku.baidu.com
FI ＝－ ma
F + FN ＋ FI ＝0 非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
s
F —— 主动力；
FN —— 约束力； FI —— 质点的惯性力。
动静法
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例题14-5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
★引
达朗伯( D′Alembert)原理
言
★ 几个工程实际问题 ★ 质点的惯性力与动静法 ★ 质点系的达朗伯原理 ★ 刚体惯性力系的简化 ★ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ★ 结论与讨论
引
★
言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表 示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 — — 达朗伯原理（动静法）。 达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
ma
FI O x
F + FN － ma ＝0
ywenku.baidu.com
FI ＝－ ma
F + FN ＋ FI ＝0 非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
s
F —— 主动力；
FN —— 约束力； FI —— 质点的惯性力。
动静法
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例题14-5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
理论力学答案讲解
1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（×）
2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（×）
3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（√）
4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（×）
5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（×）
6、若作用于刚体上的三个力组成平衡力系，那么此三力一定共面，但不一定交于一点。（√）
7、如果所作的受力图是一个显然不平衡的力系，那么受力图一定有错。（×）
8、如果作用在一个刚体上的力系对任何点主矩均不为零，该力系可以等效为一个力偶。（×）
9、作用在一个刚体上的任意两个力平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（√）
10、因为构成力偶的两个力满足F= - F’，所以力偶的合力等于零。（×）
11、用解析法求平面汇交力系的合力时，若选用不同的直角坐标系，则所求得的合力不同。（×）
12、力偶永远不能与一个力等效，共面的一个力与一个力偶总可以合成为一个力。（√）
13、力偶的作用效应用力偶矩来度量。（√）
14、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√）
15、只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。（√）
16、当力与轴共面时，力对该轴之矩等于零（√）
17、在保持力偶矩不变的情况下，可任意改变力和力偶臂的大小，并可以在作用面内任意搬移（√）
18、在任意力系中，若其力多边形自行封闭，则该任意力系的主矢为零。（√）
19、当平面一般力系向某点简化为力偶时，如果向另一点简化，则其结果是一样的。（×）
绕定轴转动刚体的轴承动反力(重庆大学理论力学课件)
FRI FiI maC
M
I O
MO Fi I
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而 FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ri ai ri vi
MO (FiI ) ri miai ri mi ( ri ) ri mi (vi )
引起的附加动反力。 本例中，附加动反力约为静反力的20倍
动反力有时会造成很大危害。 在设计中虽力图使质心位于转轴上，但由于设计、制 造和安装时很难完全避免的误差，必然会导致转动物 体的质心偏离转轴。
因此，高速转动物体的动反力可以达 到很大的值。 所以，必须用实验方法对高 速转动的物体加以平衡校正， 务必使它在转动时的动反力 被限制在容许的范围之内。
加平衡质量
达朗贝尔原理的应用
根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学 方程的方法，称为动静法。
应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可 以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反 力。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上 的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。 因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就 方便得多。
应用动静法求动力学问题的步骤及要点：
①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 ③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出
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15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力
一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。 二、受力分析
主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向 O点简化，得一力和 一力偶矩。
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
F I1 m
偏心情形
FRA
F I1
m
FRB
A
?B
m
F I2 FI1＝FI2
由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部 分组成： （1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。
即轴承附加动反力等于零的条件是：
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系 对于x轴和y轴的矩等于零。
轴承附加动反力等于零的条件是：
ai
O
为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。 ri
? ? ? ? ?
M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
J yz? ? J xz? 2
j ? J Z? k
质量对 称面
FI i
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴的主矩分别为
? ? ? ? ?
M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
五、讨论
1、静反力：由ห้องสมุดไป่ตู้动力引起，与运动无关。
2、动反力：
①起因： 质心C不在转轴上 ②危害性：将要产生动反力。
FI 1
m1
D
③消除附加动反力的方法；
B
FNA
c
m2
FI 2
x
ω FNB
对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大， 应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
J yz? ? J xz? 2
j ? J Z? k
M
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J xz? ? J yz? 2 i ?
J yz? ? J xz? 2
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MO Fi I
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而 FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对 O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ? ? ? ri ai ? ? ? ri ? ? ? vi
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A
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F I2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
F I1 m
A
FRA
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FRB
?B
m FI2
一般情形
F I1
A
?
FRA m
m FRB
?B
FI2
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。
这个力等于惯性力系的主矢量， 这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即
即：如果刚体对通过点 O的z轴的惯性积：
Jxz ? Jyz ? 0
则z轴称为该点的惯性主轴。
（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。
上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的
条件是： 转轴通过刚体的质心，且
（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动
时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力
往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。
（2）产生原因：
FN A
①质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴
FI 1
m1
D
B
c
m2
FI 2
x
ω FNB
匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于
x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有
FIx ? ?maCx ? 0,
FIy ? ?maCy ? 0
MIx ? Jxz? ? Jyz? 2 ? 0, MIy ? Jyz? ? Jxz? 2 ? 0
要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。
要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性 积等于零。
j ? J Z? k
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
? J xz ? mi xz?? ??
J yz ? mi yz??
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
由前五个方程解得轴承反力：
由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。
轴线上，则：
FI 1
?
F2I
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
F I1 m
偏心情形
FRA
F I1
m
FRB
A
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m
F I2 FI1＝FI2
A
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F I2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
F I1 m
A
FRA
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FRB
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m FI2
一般情形
F I1
A
?
FRA m
m FRB
?B
FI2
六、动平衡的概念
? ? MO (FiI ) ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi ) (a )
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
? ? 式中 J z ? mi (x2 ? y2 ) ? miri2
为刚体对z轴的转动惯量；
ω
?
? ? J xz ? mi xz, J yz ? mi yz
? ? MO (FiI ) ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi )
式中
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
? ? ? ? ? ? ri ? ? xj ? yi ? ? vi ? ?? 2 xi ? y j vi ? ? (x j ? yi)
刚体对转轴的惯性积等于零 ，
即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。
4静平衡与动平衡： 静平衡 ：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的 作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。
2、条件：惯性力系为平衡力系。 3、对转轴的要求：
①转轴要过质心（xc= yc =0）； ② Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴)
七、惯性主轴
惯性主轴与中心惯性主轴：
(1) 惯性主轴： J xz ? 0, J yz ? 0的轴
一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。 二、受力分析
主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向 O点简化，得一力和 一力偶矩。
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
F I1 m
偏心情形
FRA
F I1
m
FRB
A
?B
m
F I2 FI1＝FI2
由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部 分组成： （1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。
即轴承附加动反力等于零的条件是：
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系 对于x轴和y轴的矩等于零。
轴承附加动反力等于零的条件是：
ai
O
为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。 ri
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M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
J yz? ? J xz? 2
j ? J Z? k
质量对 称面
FI i
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴的主矩分别为
? ? ? ? ?
M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
五、讨论
1、静反力：由ห้องสมุดไป่ตู้动力引起，与运动无关。
2、动反力：
①起因： 质心C不在转轴上 ②危害性：将要产生动反力。
FI 1
m1
D
③消除附加动反力的方法；
B
FNA
c
m2
FI 2
x
ω FNB
对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大， 应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
J yz? ? J xz? 2
j ? J Z? k
M
I x
?
??MOI
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?
J xz?
?
J yz?
2
M
I y
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M
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J yz? ? J xz? 2
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I O
?
MO Fi I
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而 FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对 O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ? ? ? ri ai ? ? ? ri ? ? ? vi
? MO (FiI ) ? ? ri ? miai ? ? ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi )
A
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F I2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
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A
FRA
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m FI2
一般情形
F I1
A
?
FRA m
m FRB
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FI2
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。
这个力等于惯性力系的主矢量， 这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即
即：如果刚体对通过点 O的z轴的惯性积：
Jxz ? Jyz ? 0
则z轴称为该点的惯性主轴。
（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。
上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的
条件是： 转轴通过刚体的质心，且
（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动
时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力
往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。
（2）产生原因：
FN A
①质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴
FI 1
m1
D
B
c
m2
FI 2
x
ω FNB
匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于
x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有
FIx ? ?maCx ? 0,
FIy ? ?maCy ? 0
MIx ? Jxz? ? Jyz? 2 ? 0, MIy ? Jyz? ? Jxz? 2 ? 0
要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。
要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性 积等于零。
j ? J Z? k
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
? J xz ? mi xz?? ??
J yz ? mi yz??
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
由前五个方程解得轴承反力：
由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。
轴线上，则：
FI 1
?
F2I
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
F I1 m
偏心情形
FRA
F I1
m
FRB
A
?B
m
F I2 FI1＝FI2
A
m ?B
F I2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
F I1 m
A
FRA
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FRB
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m FI2
一般情形
F I1
A
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FRA m
m FRB
?B
FI2
六、动平衡的概念
? ? MO (FiI ) ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi ) (a )
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
? ? 式中 J z ? mi (x2 ? y2 ) ? miri2
为刚体对z轴的转动惯量；
ω
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? ? J xz ? mi xz, J yz ? mi yz
? ? MO (FiI ) ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi )
式中
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
? ? ? ? ? ? ri ? ? xj ? yi ? ? vi ? ?? 2 xi ? y j vi ? ? (x j ? yi)
刚体对转轴的惯性积等于零 ，
即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。
4静平衡与动平衡： 静平衡 ：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的 作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。
2、条件：惯性力系为平衡力系。 3、对转轴的要求：
①转轴要过质心（xc= yc =0）； ② Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴)
七、惯性主轴
惯性主轴与中心惯性主轴：
(1) 惯性主轴： J xz ? 0, J yz ? 0的轴