15 3绕定轴转动刚体的轴承动反力重庆大学理论力学课件解析
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13.2转动惯量(重庆大学土木理论力学课件)解析
2
7、常见情形
①均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯 量。
m m 2 2 J z r dV r Adr V V Al V
m 0.5l 2 1 r dr ml 2 l 0.5l 12
与此相对应的回转半径为：
J z r 2 dV
V
m r 2 dV V V
z
Jz
m
ml 2
12 l 0.289l m 12
（2）匀质圆环半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量为
Jz
mi R 2 R 2
mi mR2
（3）匀质圆板半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量。 m 2 J z r dV r 2 dV V 任取一圆环，则 V V
惯性主轴
b)若刚体有一对称轴，则该轴一定为主轴。
2)主转动惯量
刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量。
3)中心惯性主轴
通过刚体质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。
5)惯性积的平行轴定理
z1
J x ' y ' J xc yc mab
因为a、b是刚体质心c在 直角坐标系ox’y’中的坐标， 其值是代数量，所以Jxcyc不 一定是最小惯性积。
1 m 4 4 H R R 2 1 2 2 2 H R2 R1
R1
z
R2
1 2 m R2 R12 2
1 2 J z m( R12 R2 ) 2
y x
在实际工程在中所遇到的物体可以看成为由几个简 单形状的物体组合而成。 当求这些物体对某轴的转动惯量时，可将物体划分 为几个简单的形状，分为几部分，而该物体对某轴的转 动惯量则应等于各部分对同一轴的转动惯量的总和。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来 处理。
7、常见情形
①均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯 量。
m m 2 2 J z r dV r Adr V V Al V
m 0.5l 2 1 r dr ml 2 l 0.5l 12
与此相对应的回转半径为：
J z r 2 dV
V
m r 2 dV V V
z
Jz
m
ml 2
12 l 0.289l m 12
（2）匀质圆环半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量为
Jz
mi R 2 R 2
mi mR2
（3）匀质圆板半径R，质量为m ，其对 中心轴z的转动惯量。 m 2 J z r dV r 2 dV V 任取一圆环，则 V V
惯性主轴
b)若刚体有一对称轴，则该轴一定为主轴。
2)主转动惯量
刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量。
3)中心惯性主轴
通过刚体质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。
5)惯性积的平行轴定理
z1
J x ' y ' J xc yc mab
因为a、b是刚体质心c在 直角坐标系ox’y’中的坐标， 其值是代数量，所以Jxcyc不 一定是最小惯性积。
1 m 4 4 H R R 2 1 2 2 2 H R2 R1
R1
z
R2
1 2 m R2 R12 2
1 2 J z m( R12 R2 ) 2
y x
在实际工程在中所遇到的物体可以看成为由几个简 单形状的物体组合而成。 当求这些物体对某轴的转动惯量时，可将物体划分 为几个简单的形状，分为几部分，而该物体对某轴的转 动惯量则应等于各部分对同一轴的转动惯量的总和。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来 处理。
15-3绕定轴转动刚体的轴承动反力(重庆大学理论力学课件)
4静平衡与动平衡： 静平衡：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
刚体除受重力外，没有受到其它主动力作用，刚体 可以在任意位置平衡的现象称为静平衡；
动平衡：如果转动轴是中心惯性主轴，刚体绕 定轴转动时，不出现轴承动附加反力的现象称为动 平衡。
[例5] 质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着
两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下， 哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？
Fx 0 , Fx FT cos 0
(2)
Fy 0 , Fy P2 FT sin 0
(3)
取轮A为研究对象，虚加惯性力 FI
和惯性力偶MIA如图示。
FI
加平衡质量
达朗贝尔原理的应用
根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学 方程的方法，称为动静法。
应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可 以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反 力。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上 的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。 因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就 方便得多。
MO (FiI ) ri mi ( ri ) ri mi ( vi )
式中
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
ri xj yi vi 2 xi y j vi (x j yi)
MO (FiI ) ri mi ( ri ) ri mi ( vi ) (a)
yz
i
J yz J xz2
j JZk
质量对 称面
FI i
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴的主矩分别为
刚体的定轴转动及转动定律PPT学习教案
；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法
向加速度 .
解：
（1）
5π rads , 1
t = 30 s 时，
0
0.
设 t= 0s
时，
.飞轮做匀减速运动
0 0
0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内rad 2 2 (π 6)
解：
dm dV 2 r h dr
其中：
m m
V r 2 h
所以：
J r 2 dv m
R 2rh r 2dr
0
1 mR2
2
第24页/共28页
第25页/共28页
四 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量 为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：
0.105
m s2
an r 2 0.2´ (4 π)2 m ×s2 31.6 m ×s2
第10页/共28页
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截
面后通，过其中转心速的达轴到转18动00.0开r·m始in时-1，. 已它知的转角子速的度角加0 速度0与，时经间3成00正s 比
第12页/共28页
一 力矩 刚体上P点的力 对转轴 Z 的力矩为：
大小： 方向：右手定则
例
F
M rF
M
M Fr sin Fd
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
z
M
r
O
d
F *P
Fi 0 , Mi 0
第13页/共28页
讨论 1）若力 不在转动平面内
则：
大学物理《刚体的定轴转动》PPT课件
0
i
ri
O
f ji
rij
j
rj
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为 零，因此内力矩之总和为零
i 1
n
n d ri Fi外 ( ri mi vi ) dt i 1
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点 的角动量定理。
2
讨 论：
⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度; ⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置 及刚体的质量分布有关：质量分布离轴越远，转动惯量 越大。 同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分布不同,因而转 动惯量不同。即转动惯量具有相对性。 ⑶转动惯量具有迭加性; 如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3, 则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3
三
刚体的转动定律
d M iz J dt J
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
刚体转动定律在定轴转动中的地位相当于牛顿第二 定律在质点力学中的地位，且由此可以看出，定轴转动中的转 动惯量相当于质点力学中的质量，都是惯性大小的量度。
小贴士：
质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆 周运动，则这时
d 2 M [( m r iz dt i i ) ]
令转动惯量
J mi ri
2
——刚体转动时惯性大小的量度
dLz d M iz dt J dt
d M iz J dt J
式中Lz＝Jω，即为质点系对z轴的角动量的表示 式。也适用于刚体系统。
vo
i
ri
O
f ji
rij
j
rj
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为 零，因此内力矩之总和为零
i 1
n
n d ri Fi外 ( ri mi vi ) dt i 1
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点 的角动量定理。
2
讨 论：
⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度; ⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置 及刚体的质量分布有关：质量分布离轴越远，转动惯量 越大。 同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分布不同,因而转 动惯量不同。即转动惯量具有相对性。 ⑶转动惯量具有迭加性; 如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3, 则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3
三
刚体的转动定律
d M iz J dt J
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
刚体转动定律在定轴转动中的地位相当于牛顿第二 定律在质点力学中的地位，且由此可以看出，定轴转动中的转 动惯量相当于质点力学中的质量，都是惯性大小的量度。
小贴士：
质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆 周运动，则这时
d 2 M [( m r iz dt i i ) ]
令转动惯量
J mi ri
2
——刚体转动时惯性大小的量度
dLz d M iz dt J dt
d M iz J dt J
式中Lz＝Jω，即为质点系对z轴的角动量的表示 式。也适用于刚体系统。
vo
大学物理.第三章.刚体的转动PPT课件
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
第33页/共66页
例3-4 如图所示, 均匀细杆, 长为L，在平面内以角
速度ω绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
第34页/共66页
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω转动，求 摩擦力产生的力矩（μ、m、R）。
ω
解:
dm ds rdrd
dF gdm grdrd
dM1
rdF
r2gdrd 第35页/共66页
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一 个类似于牛顿定律的规律——转动定律。
二、转动定律 刚体可看成是由许多小质元组 成，在p点取一质元，
O
受力：外力 ，与 成 角
P
合内力 ，与 成 角
第36页/共66页
如图可将力分解为两个
力，只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。 第39页/共66页
3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。 因为：
即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就 越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者 说转动惯性越小。 如一个外径和质量相同的实心圆 柱与空心圆筒，若 受力和力矩一 样，谁转动得快些呢？
当杆到达铅直位置时重力矩所作的功.
FN ZL
以杆为研究对象
受力： mg，FN
φ mg
重力矩: M
A mg 1
L
mg
1 2
L
cos
《刚体绕定轴转动》课件
对于多个物体组成的系统，其转动惯量等于 各个物体转动惯量的矢量和。
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降
大学物理第三章 刚体的定轴转动50页PPT
n i1
1 2
Δmi
vi2
n i1
12Δmi(riω)2
1n (
2 i1
miri2)2
2. 转动惯量
比较转动动能
Ek
1( n 2 i1
miri2)2与平动动能
Ek
1 mv2 2
n
m i ri2 相当于描写转动惯性的物理量.
i 1
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴
的距离为r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）.
刚体定轴转动动能计算式：Ek
1 2
J2
转动惯量及其计算
定义式：J ri2mi (Ji ri2mi) dJ r2dm
当刚体质量连续分布时： d V
J
5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意 它的应用方法.
一、刚体及刚体定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
. 真正的刚体不存在
刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同
. 转动转分动定：轴刚转体动中和所非有定的轴点转都动绕. 同一直线作圆周运动
只有F 使刚体绕Z轴转动 M ZrF
z
MZ
F
F//
o
r d
F
p
M ZF rsin F d
M Z 可取正负
注意：1.力矩方向，沿Z轴为正，满足右手关系.
2.总力矩 MZ MZ(i代数和)
三、刚体定轴转动的力矩和力矩的
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
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选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
53刚体定轴转动定律解析课件
k
Fz
F
O r
F
M z rF sin θ
2）合力 矩等 于各 分力 矩的矢量和。 M M1 M2 M3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
M = rF sinθ = Fd M ij M ji
ml 2
O
绕杆的一端转动惯量为：
O´
l
J
1
ml
2
m
l
2
1 ml 2
12
2 3
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
17
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
J L1
1 3
mL L2，
JO
1 2
mO R2
mO
mL O’•
3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则： 对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。
27
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间无相对滑动） 求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为μ时，物体的
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2
l
l
m
·c
r
m
ol
= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
11
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
Fz
F
O r
F
M z rF sin θ
2）合力 矩等 于各 分力 矩的矢量和。 M M1 M2 M3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
M = rF sinθ = Fd M ij M ji
ml 2
O
绕杆的一端转动惯量为：
O´
l
J
1
ml
2
m
l
2
1 ml 2
12
2 3
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
17
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
J L1
1 3
mL L2，
JO
1 2
mO R2
mO
mL O’•
3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则： 对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。
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5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间无相对滑动） 求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为μ时，物体的
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2
l
l
m
·c
r
m
ol
= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
11
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
第十三章 第四节 定轴转动刚体的轴承动反力
三、定轴转动刚体的静平衡和动平衡的概念 静平衡：刚体的转轴通过质心，且仅受重力作用，则刚体 在任何位置均能保持静止不动，这种现象称为静平衡。 动平衡：刚体绕定轴转动时，不出现轴承动反力的现象称 为动平衡。 (刚体的转轴为中心惯性主轴) 静平衡、动平衡试验
O x
y
ji
yi
xi
w a
x、z 刚体对通过O点的轴 y、z 的惯性积(离心转动惯量)
二、一般情况下轴承的动反力 z 1 FAy M Oy + FR x OB + M I Oy + FIR x OB F Ax A AB FAx
F Ay FBx 1 M Ox FR y OB + M I Ox FIR y OB AB 1 M Oy FR x OA + M I Oy FIR x OA AB 1 M Ox + FR y OA + M I Ox + FIR y OA AB FR z
MO O
MIO FR'
y FBy FIR
FBz
x B FBx
w a
FBy FBz
FAx、FAy、FBx、FBy由两部分组成：
(1)由主动力引起的静反力； (2)由惯性力引起的动反力。 要使动反力等于零，必须有 FIRx = FIRy = 0 MIOx = MIOy = 0
FIRx = FIRy = 0
MIOx = FIOy = 0
轴承动反力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯 性力系对于x 轴和 y 轴之矩等于零。 FIRx = m aCx FIRy= m aCy MIOx = Jxza ―Jyzw2 MIOy = Jyza+Jxzw2 轴承动反力等于零的条件是： aC = 0(转轴必须通过质心) Jxz=Jyz = 0 (刚体对于转轴的惯性积等于零) 惯性主轴：有Jxz=Jyz = 0的z轴； 中心惯性主轴：通过质心的惯性主轴。 结论：避免出现轴承动反力的条件是：刚体的转轴应为刚 体的中心惯性主轴。
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
理论力学：定轴转动刚体轴承动反力
xC , yC
质心的坐标
FIz 0
M Ix J xz 2 J yz
J xz mi xi zi
M Iy 2 J xz J yz J yz mi yi zi
M Iz J z
2020/12/9
Fi
FIR
O
M IO
y
x
刚体对xz轴和 yz轴的惯性积
5
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
动静法的应用
FI maC F fFN
Fx 0, P F FI 0
Fy 0, FN mg 0
M A 0,
mgx
FI
L 2
Ph
0
x P(2h L) mgLf 2mg
| x | l 2
L mg(l Lf ) h L mg(l Lf )
2 2P
2 2P
17
理论力学
2 J xz J yz 0
x
附加动反力为零 xC yC 0 质心在转轴上 的充分必要条件： J xz J yz 0 转轴为惯量主轴
M IO
y
问题：惯性力系为零力系是动平衡的： 充分条件、必要条件、充要条件
2020/12/9
10
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
思考题：均角速度转动的质点系，如图所示。其附加动反力的 作用效果改变了系统的什么物理量？
LC L
B FBx
FI1
mg
C
FAx
FBx
mL2 sin 2
h
LC 2mL2 sin
LC MC (Fi(e) )
FI2 mg
A FAx
FAy
LC (t) LC LC (t t)
刚体定轴转动定律ppt课件
6.1 刚体的运动与描述
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是 有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂 的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点 的情况是不够的。
刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作 用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。
• 形状和转轴确定后，J 与刚体
Al
的质量有关
Fe
例题2 ：
普通物理学教案
求长为L、质量为 m 的均匀细棒对端点 轴和中垂轴的转动惯量。
解： 取如图坐标 取质量元
A dm
B
L
x
dm dx
A
C
B
J1
L x2 dx mL2 / 3
0
L/2
L/2 x
L
J2
2 L
x2 dx
mL2
/ 12
2
J1 J2
刚体的平动
可用质心运动来代表整体的运动
1。质心的位矢
设N个质点m1,m2,,mN，
定义： 质心的位矢 rc
对应的位矢
miri mi
r1,
r2
rN
xc
1 M
mi
xi
yc
1 M
mi
yi
xc
1 M
xdm
yc
1 M
ydm
zc
1 M
mizi
zc
1 M
zdm
质心 重心
2。质质设质对心心m心所的的i运有受加速动质力速度定点度F：理求i外：和、：Vafcic内dMddM1dMMr则1Vtctc：mddmmdtdmi(tiddiMdai(rd1taiMvit1iiMmF1iFmiMr1ii)ivfmii)imvrificai0i F合外mmirii
理论力学(大学)课件27.1 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
1、轴承约束力、动约束力刚体的角速度w ，角加速度a （逆时针），主动力系向O 点简化: 主矢F R , 主矩M O ，惯性力系向O 点简化: 主矢F IR , 主矩M IO 。
轴承A 处的约束力：F Ax ，F Ay轴承B 处的约束力：F Bx ，F By ，F Bz 根据动静法，列平衡方程:0 0 =+=+++=+++Rz Bz Iy Ry By Ay Ix Rx Bx Ax F F F F F F F F F F 00 =++×-×=++×-×Iy y Bx Ax Ix x Ay By M M OB F OA F M M OA F OB F 000=å=å=åz y x F F F 00=å=åy x M M w aF RMOF IRM IOF AxF Ay F BxF ByF Bz 1、轴承约束力、动约束力全约束力由两部分组成：•一部分由主动力引起的，不能消除，称为静约束力；•另一部分是由于惯性力系引起的，称为动约束力。
后者可以通过调整加以消除。
Rz Bz Iy Ix Ry x By Ix Iy Rx y Bx Iy Ix Ry x Ay Ix Iy Rx y Ax F F OA F M OA F M ABF OA F M OA F M AB F OB F M OB F M AB F OB F M OB F M AB F -=×++×+-=×-+×-=×-+×-=×++×+-=)]()[(1)]()[(1)]()[(1)]()[(1由此求得两轴承的全约束力：1、轴承约束力、动约束力使动约束力为零，须有：静约束力动约束力轴承全约束力==Iy Ix M M 0==Iy Ix F F 当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的动约束力为零。
刚体绕定轴的转动(一)PPT
五、刚体绕定轴的转动（一）前言前两章质点力学讨论的是物体平动的情况，力学中，在一般情况下，一个物体的运动包含平动、转动、振动等是很复杂的，一物体在平动时，若把物体看成是一刚体（无形变）物体上每一点的运动情况都是一样的，无需考虑物体的形状，大小如何。
故物体可抽象为一质点，其运动情况如前两章质点力学所述。
但在转动中，情况就不一样了。
例如飞轮高速旋转时，其上的各点运动情况各不相同，因而不能简化为质点。
这一章与前两章相比，发生了两点变化：一是主要研究对象变了，由质点变为刚体。
即从物体来说，必须考虑它的形状，大小。
但忽略形变；二是主要研究的问题也变了，由平动变为转动。
即从运动来说突出了转动，暂时忽略振动或其他运动。
若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点，那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组，这个质点组与平动所讨论的质点组是有区别的，其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动中恒定不变，这种看法使我们有可能在上一章质点动力学的基础上来研究刚体情况。
讲授本章内容时，我们采取类比法，把物体的平动与刚体的定轴转动进行类比，其目的就是使同学们能更好地理解刚体定轴转动中一些物理量的物理含义。
一、刚体绕定轴转动的运动特征：什么是刚体绕定轴的转动呢？刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作大小不同的圆周运动。
这种运动称刚体绕定轴的转动。
相对于参照系不动的直线称为转轴，刚体绕定轴的转动有三个特点：(在下面的讨论中要用到这些知识。
)1）刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同的圆周运动。
而圆周运动是用角量来描述的，因此，质点运动学中讨论的角位移θ∆，角速度ω，角加速度β等概念都适用刚体定轴转动。
2）各质点作圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上。
3）尽管各质点绕轴运动的线速度不同，但角速度是相同的，这就意味着角速度的时间变化率也是相同的，即各质元的角加速度β相同。
《刚体的定轴转动》课件
力矩
总结词
描述刚体转动受到外力矩作用的物理量
详细描述
力矩是描述刚体转动受到外力矩作用的物理量，单位为牛顿·米。它表示力对刚体转动效果的影响，由力和力臂的 乘积得到。力矩可以改变刚体的角动量或使其产生加速度。
动能与势能
总结词
描述刚体转动过程中能量状态的物理量
详细描述
动能和势能是描述刚体转动过程中能量状态的物理量。动能与刚体的质量和速度有关，势能则与刚体 的位置和高度有关。在定轴转动中，动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
03
刚体的定轴转动的动力学规律
转动定律
描述刚体转动时力矩与角加速度关系的定律。
转动定律指出，刚体转动时受到的力矩等于刚体质量与角加速度乘积的两倍。即 M=Jα，其中 M 为力矩，J 为转动惯量，α 为角加速度。
动量矩守恒定律
描述刚体在无外力矩作用时动量矩保持不变的定律。
动量矩守恒定律指出，在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。即 L=Iw，其中 L 为动 量矩，I 为转动惯量，w 为角速度。
详细描述
进动是指刚体自转轴绕其惯性轴的旋转运动，通常是由于外部力矩的作用引起的。章动 则是自转轴在空间中的摆动，可以看作是进动的补充。这两种运动形式在刚体的动力学
分析中具有重要意义。
刚体的振动与波动
要点一
总结词
振动和波动是描述刚体动态行为的另外两种重要方式，涉 及到刚体的位移、速度和加速度等参数的变化。
刚体上各点绕固定轴线的角速度相同 。
刚体上各点的角速度与转动的角位置 无关，即刚体绕固定轴线的转动是匀 角速度运动。
02
刚体的定轴转动的物理量
角速度
总结词
描述刚体旋转快慢的物理量
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（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动
时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力
往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。
（2）产生原因：
FN A
①质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴
FI 1
m1
D
B
c
m2
FI 2
x
ω FNB
匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在
刚体对转轴的惯性积等于零 ，
即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。
4静平衡与动平衡： 静平衡 ：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
? ? MO (FiI ) ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi ) (a )
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
? ? 式中 J z ? mi (x2 ? y2 ) ? miri2
为刚体对z轴的转动惯量；
ω
?
? ? J xz ? mi xz, J yz ? mi yz
A
m ?B
F I2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
F I1 m
A
FRA
?
FRB
?B
m FI2
一般情形
F I1
A
?
FRA m
m FRB
?B
FI2
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。
这个力等于惯性力系的主矢量， 这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即
j ? J Z? k
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
? J xz ? mi xz?? ??
J yz ? mi yz??
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
由前五个方程解得轴承反力：
由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于
x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有
FIx ? ?aCx ? 0,
FIy ? ?maCy ? 0
MIx ? Jxz? ? Jyz? 2 ? 0, MIy ? Jyz? ? Jxz? 2 ? 0
要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。
要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性 积等于零。
五、讨论
1、静反力：由主动力引起，与运动无关。
2、动反力：
①起因： 质心C不在转轴上 ②危害性：将要产生动反力。
FI 1
m1
D
③消除附加动反力的方法；
B
FNA
c
m2
FI 2
x
ω FNB
对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大， 应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
? ? MO (FiI ) ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi )
式中
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
? ? ? ? ? ? ri ? ? xj ? yi ? ? vi ? ?? 2 xi ? y j vi ? ? (x j ? yi)
ai
O
为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。 ri
? ? ? ? ?
M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
J yz? ? J xz? 2
j ? J Z? k
质量对 称面
FI i
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴的主矩分别为
? ? ? ? ?
M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的 作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。
2、条件：惯性力系为平衡力系。 3、对转轴的要求：
①转轴要过质心（xc= yc =0）； ② Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴)
七、惯性主轴
惯性主轴与中心惯性主轴：
(1) 惯性主轴： J xz ? 0, J yz ? 0的轴
轴线上，则：
FI 1
?
F2I
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
F I1 m
偏心情形
FRA
F I1
m
FRB
A
?B
m
F I2 FI1＝FI2
A
m ?B
F I2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
F I1 m
A
FRA
?
FRB
?B
m FI2
一般情形
F I1
A
?
FRA m
m FRB
?B
FI2
六、动平衡的概念
? FRI ? Fi I ? ? maC
? ? ? M
I O
?
MO Fi I
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而 FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对 O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ? ? ? ri ai ? ? ? ri ? ? ? vi
? MO (FiI ) ? ? ri ? miai ? ? ? ? ri ? mi (? ? ri ) ? ri ? mi (? ? vi )
即：如果刚体对通过点 O的z轴的惯性积：
Jxz ? Jyz ? 0
则z轴称为该点的惯性主轴。
（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。
上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的
条件是： 转轴通过刚体的质心，且
15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力
一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。 二、受力分析
主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向 O点简化，得一力和 一力偶矩。
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
F I1 m
偏心情形
FRA
F I1
m
FRB
A
?B
m
F I2 FI1＝FI2
J yz? ? J xz? 2
j ? J Z? k
M
I x
?
??MOI
? ?x
?
J xz?
?
J yz?
2
M
I y
?
??M
I O
? ?
y
?
J yz?
?
J xz?
2
M
I z
?
??M
I O
? ?z
?
? J Z?
? ? ? ? ?
M
I O
?
J xz? ? J yz? 2 i ?
J yz? ? J xz? 2
由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部 分组成： （1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。
即轴承附加动反力等于零的条件是：
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系 对于x轴和y轴的矩等于零。
轴承附加动反力等于零的条件是：