解析法证明平面几何经典问题--举例
解析几何问题的解题技巧
解析几何问题的解题技巧
6中等数学
解析几何问题的解题技巧
薛党鹏
(陕西省西安中学)
(本讲适合高中)
的处理问题,但是,的计算.,介绍解析几何中一些常见的解题技巧.
2(y1+y2)-2px.
将A(a,b)、B(-a,0)分别代入MM1、
MM2的方程,得
(y1-b)y0=by1-2pa和y0y2=2pa.
下面说明直线M1M2恒过一个定点.联立这两式,消去y0,得(y1-b)2pa=(by1-2pa)y2.
1 回避方程(组)求解灵活运用方程知识
解析几何的繁杂运算主要集中在解方程、求交点等方面.如果我们能够充分挖掘几
何曲线的代数含义,紧扣目标,灵活运用代数方程的知识(包括消元思想、整体思想、函数思想、同解原理以及方程的轮换对称、韦达定理、判别式、实根分布等),回避这些运算,往往可以使问题得到简便解决.
例1 已知抛物线y=2px及定点
2
A(a,b)、B(-a,0)(ab≠0,b≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM、BM与抛物线的另一交点分别为M1、M2.求证:当M在抛物线上变动时(只要M1、M2存在且M1≠M2),直线M1M2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.
(1998,全国高中数学联赛)
y分析:设M,y
2p0
2
整理成M1M2的方程的形式,得
y1y2=
b
(y1+y2)-2pa.b
故点Qa,
满足M1M2的方程.
b
所以,直线M1M2恒过点Qa,.
说明:此解法借助于轮换对称,简化了MM2和M1M2方程的求解过程.
例2 设一圆和一等轴双曲线交于四点A1、A2、A3、A4,其中A1和A2是圆的直径的一对端点.求证:
利用解析法证明平几问题受阻后的策略调整——2016年全国高中数学
６ 、 ＝ （ ｎ— ｃ ） ． 化简得 几 。ａ—ｂ —ｃ ） （ ｒ 上 ＋ｂ —ｃ ） ＝（ ａ ｍ ＋ｂ ｍ— ａ ｂ —ｃ ｍ） （ ａ ｂ ＋ｂ ｍ＋ｃ ｍ—ａ ｍ一２ ｂ ｃ ） ． ……・ ・ （ ： ｌ ｃ ）
又 由 点 ０ｌ 、０２ 是 ＡＡＣＸ 、ＡＡＢＹ 的 外
角形．
简得：ｎ （ ２ ｍ —ｂ —ｃ ） ｋ ＋２ ［ （ ｍ —ｃ ） （ ｍ —ｂ ） 一
ｎ ２ ］ ｋ 一２ ａｎ ｒ ＋ｂ ｎ ＋ｃ ｎ＝０ ． 再利用求根公式求
得 ＝ ．最 后
设法利用 （ 丰 ） 式证 明 ｋ ｏ ０ ・ ｋ Ａ Ｏ＝ －１ ， 却陷入
了 复杂 的运 算 难 以 自拔 ．
Ｖ
Ｃ
ｙ
图１
ｘ
Ｄ Ｃ
ｙ ｉ
１ 异 想 天 开 ，陷 入 困境 对考 生来说， 传 统 的 平 面 几 何 知 识 遗 忘 殆
图２
尽， 解 析 法又 是思 维 的最 近发 展 区， 所 以很 多 考生选择利 用解析法．但因缺乏较 强的运 算和 逻辑推理能力， 使得思维受阻， 无法进行下去 ． １ ． １ 受 阻情境 １ 以点 ｘ 为坐 标原 点，
＿ －ｍｃ＝ 后 ０ — — 一 ＝ ＝ ＝ 。 ‘ （ Ｉ 、 一 兰 ） ／ ｌ ， 与 勺 Ａ 一 １ ： １ 的 削 直 且
平面几何中几个重要定理的证明
平面几何中几个重要定理及其证明
一、塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA ⋅⋅=．
证明：运用面积比可得ADC
ADP BDP BDC
S S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有
ADC ADC ADP APC
ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===
-，
所以APC BPC
S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APC S BE EC S ∆∆=，BPC
APB S CF FA S ∆∆=．
三式相乘得
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、
A
B
C
D F
P
F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有
//
1AD BE CF
D B EC FA
⋅⋅=． 因为
1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=，所以有/
/AD AD DB D B
解析法在平面解析几何中的应用
解析法在平面解析几何中的应用
解析几何的产生
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
解析几何的基本内容
在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”
解析几何的应用
解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
平面几何四大神奇定理
实用标准文案
平面几何四个重要定理
四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则
P 、Q 、R 共线的充要条件是
1RB
AR
QA CQ PC BP =⋅⋅。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是
1RB
AR
QA CQ PC BP =⋅⋅。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）
该点落在三角形的外接圆上。
例题：
1． 设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：
FB
AF
2ED AE =
。 【分析】CEF 截△ABD
→1FA
BF CB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理）
【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行
线。
2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
DEG 截△ABM
→1DB MD
GM AG EA BE =
⋅⋅（梅氏定理）
DGF 截△ACM →1DC
MD
GM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）
∴FA CF EA BE +
=MD
AG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD
2GM ⋅⋅=1 【评注】梅氏定理
3． D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，
λ=
==EA
CE
FB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。 求S △LMN 。 【分析】
高等几何中的解析法
高等几何中的解析法
在数学中，解析法是一种研究问题和解决问题的方法，它是以模型和符号来表达几何形状和结构的数学技术。解析法在高等几何中具有重要的意义，它包括一系列的方法、策略和技巧，帮助我们解决复杂的数学难题。
解析法在高等几何中的应用有很多，它可以帮助理解和描述几何形状，比如圆、椭圆、抛物线等。它还可以用来解决位置问题，如如何绘制一个向量和定义平面坐标系。解析法也可以用来确定几何形状的位置和特性，比如圆曲线、线段和点，以及几何形状间的关系，例如线段和点间的交点和相交线段。
此外，解析法还可以用来解决几何的空间问题，如轮廓的三维表示，三维空间内的点和线段的定位，以及从三维空间到二维平面的转换。解析法在解决几何问题上显得非常有用，因为它开发出了更多工具来描述几何形状。
解析法在高等几何中的使用非常多，它可以帮助研究者解决几何问题，也可以帮助设计师更好地控制图形结构。让我们来看一下解析法在高等几何中的一些实际应用：
1.解析法来描述几何形状是最常用的方法，例如用轴对称的方程描述圆形，用平移和旋转的变换描述椭圆。解析法也可以用来描述图形的属性，如圆的半径，点的坐标，线段的斜率等。
2.析法可以帮助我们解决和预测几何形状的位置，比如计算两点间的距离，求解矩阵的行列式，以及求解平行线和平行四边形等。
3.析法在几何形状变换中也很重要，比如用它计算几何形状的中心，或者对图形进行旋转、缩放和变换等。
4.析法在几何图形分析中也非常有用，比如衡量直线斜率、求解线段的交点和构建平面图形等。
解析法在高等几何中的运用十分普遍，它的应用范围从描述几何形状到几何图形分析，再到变换，都有它的存在。它的运用不仅可以帮助数学研究者解决问题，也可以帮助设计师更好地控制图形结构。因此，解析法在高等几何中具有非常重要的意义。
[2020高考理数复习江苏]拓展深化8 平面解析几何中的“隐形圆”问题
![[2020高考理数复习江苏]拓展深化8 平面解析几何中的“隐形圆”问题](https://img.taocdn.com/s3/m/6af9d0643169a4517723a3f3.png)
@《创新设计》
2.已知集合 M＝{(x，y)|x－3≤y≤x－1}，N＝{P|PA≥ 2PB，A(－1，0)，B(1，0)}，则 表示 M∩N 的图形面积为________.
解析 令P(x，y)，所以(x＋1)2＋y2≥2[(x－1)2＋y2]. 所以x2－6x＋y2＋1≤0，所以(x－3)2＋y2≤8， 所以点P的轨迹为以(3，0)为圆心的圆及圆的内部. 表示M∩N的图形如图中阴影部分所示，
4
@《创新设计》
二、直线与圆的位置关系
【例 2】 (1)(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝k(x－3 3) 上存在一点 P，圆 x2＋(y－1)2＝1 上存在一点 Q，满足O→P＝3O→Q，则实数 k 的最小 值为________. (2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0)，B(4，0).若直线 x－y＋m＝0 上存在点 P 使得 PA＝12PB，则实数 m 的取值范围是________.
3.已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足PA＝2PB. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； (Baidu Nhomakorabea)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求 QM的最小值，并求此时直线l2的方程. 解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则 （x＋3）2＋y2＝2 （x－3）2＋y2，
平面几何中几个重要定理的证明
平面几何中几个重要定理及其证明
一、塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADC
ADP BDP BDC
S S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有
ADC ADC ADP APC
ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===
-，
所以APC
BPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB
APC S BE EC S ∆∆=，BPC APB S CF FA S ∆∆=．
三式相乘得
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、
A
B
C
D E
F
P
F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有
//
1AD BE CF
D B EC FA
⋅⋅=． 因为
1AD BE CF DB EC FA
⋅⋅=，所以有/
/AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
解决直线问题的常用方法
解决直线问题的常用方法（2008-12-25）
1条件转化：对于解析几何中较复杂的直线型问题，有些题设条件如果进行转化，能使问题的解决更直截了当。
例1已知ABC ∆的两个顶点A(-1,5)和B(0,-1),又知角C 的平分线所在的直线方程是2x-3y+6=0,求三角形三边所在的直线方程
例2求过点（0，1）且被两条平行直线2x+y-6=0和4x+2y-5=0截得长为
72的线段的直线l 的方程
练习1：已知两条直线112211=+=+y B x A y B x A 和相交于点P(2,3),求过两点),()(2221,11B A P B A P 、的直线l 的方程
2用解析法证明平面上直线型几何问题
例3若四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、R 、S ，而对角线AC 、BD 的中点分别为M 、N ，试用解析法证明：PR 、QS 、MN 三条直线交于一点
练习2：用解析法证明平行四边形各边的平方和等于对角线的平方和
练习3：已知正三角形ABC 的边长为a ,P 为平面上任意一点，求证：222
2PA PB PC a ++≥
3用待定系数法求解直线的方程是确定直线方程的一个重要方法
例4两平行直线分别经过点A(1,0)和B(0,5),且距离为5，求它们的直线方程
例5过点P(2,1)的直线l 与x 轴，y 轴正半轴交于点A,B,分别根据以下条件求直线l 的方程：
（1） 直线l 与x 轴，y 轴围成等腰三角形；（2）点P 是AB 中点；（3）6AOB S ∆=；（4）
OA+OB 最小（O 为坐标原点）
解析法在几何中的应用
解析法在几何中的应用
【摘要】解析法彻底改变了数学的研究方法，它把几何的问题变换成一个相应的代数问题，再把代数问题归结到去解一个方程式，从而使解决问题的方法变得更为简单。本文将从平面几何、立体几何、平面解析几何和空间解析几何四大方面举例说明解析法在几何中的应用。
【关键词】解析法；几何；轨迹；对称
笛卡尔为了把算术、代数、几何统一起来，他设想把数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式，于是笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系，x和y的不同数值可以确定平面上不同的点，即平面上的点和实数对(x,y)建立了一一对应关系，这就是解析几何的基本思想，也是代数和几何的第一次完美结合。
一、解析法的概念
平面解析几何的基本思想有两个点：
第一，在平面建立坐标系，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一实数对(x,y)建
立起一一对应的关系，除了直角坐标系外，还有斜坐标系，极坐标系，空间直角坐标系等等，在空间直角坐标系中还有球面坐标系和柱面坐标系。
第二，坐标系将几何对象和数，几何关系和函数之间建立了密切联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了，用这种方法研究几何学通常就叫做解析法。
二、解析法的意义
这种解析法不但对于解析几何是重要的，而且对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的．应用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系起来．正如笛卡尔的数学格言：“一切问题可以化成数学问题，一切数学问题可以化成代数问题，一切代数问题可以化成方程求解的问题。”
高中数学 平面上两点间的距离
交流1 (1)平面内两点间的距离公式与两点的先后顺序是否有关? (2)算术平方根 ������2 + ������ 2 的几何意义是什么? 答案：(1)平面内两点间距离公式与两点的先后顺序无关,仅与点 的位置有关,即
典例导学
即时检测
一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二
三
一、两点间距离公式的应用 (1)已知点A(1,1),B(5,3),C(0,3),求证:△ABC为直角三角形. (导学 号51800077) (2)已知点A(-1,2),B(2, 7 ),在x轴上求一点P,使PA=PB,并求PA的 长. 思路分析：(1)由两点间的距离公式分别求出三边,再用勾股定理 的逆定理判断,也可以用两直线的位置关系判断.(2)利用公式及已 知列出方程,然后再求解.
P1P2= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
������ 2 (2)① ������2 + 可视为以 a,b为直角边的直角三角形的斜边长(前提是 a>0,b>0). ②若a,b∈R,则 ������2 + ������ 2 的几何意义是点(a,b)(或点(-a,b),(a,b),(-a,-b),(b,a),…)到原点的距离.
解析法证明平面几何经典问题--举例
五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？
例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）
（例1图） （例2图）
例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、
BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
【部分题目解答】
例1、(难度相当于高考压轴题)
；
，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+
、；则，、，C B )()(4433y x E y x
D ,
1
- ;12-2-)1,{)-(22
2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx
y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222
243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得：
),-(---23
23
22x x x x y y y y CD =
方程为：直线 ,--Q 3
23
223Q y y y x y x x =
点横坐标：由此得
,
--P 1
41441P y y y x y x x =
点横坐标：同理得
,------1
数学竞赛中平面几何最值问题的解法
3 xy ,得 y =
3 3
=
x.
故 ∠COD = ∠OCD = 30°.
4 二次函数法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用二次函数的性质求得结果 .
例 4 已知 △ABC 是边长为 1 的正三角
形 , D 是边 BC 上一点且 BD = p , r1 、r2 分别是
△ABD 和 △ADC 的内切圆的半径. 请用 p 表
示 r1 r2 ,并求 r1 r2 的最大值.
以 M 为圆心 、MA 为半径作圆 ,则点 I 在
⊙M 上 ,连 MO 延长交 ⊙M 于 I′. 易知
OI + OM ≥IM = MI′= OM + OI′.
于是 , OI ≥OI′= MI - OM .
3 收稿日期 :2001205231 修改日期 :2001209228
因 △AMC 为等腰直角三角形 ,则
=2
3 3
k
·sin
(θ+ φ) .
其中 , k = { [ ccos 60°+ bcos ( ∠A - 60°) ]2
+ [ csin
60°+
bsin
(
∠A
-
60°) ]2
}
1 2
= c2 + b2 + 2 bccos (120°- ∠A) ,
平面几何知识在解析几何中的运用
评注 以上两例都充分挖掘题目中的几 何条件 , 然后再结合平几知识 , 把复杂问题简 单化 . 如例 5利用 & AM C∽ & ABN , 把 AM ・ AN 转化成 AC ・AB , 例 6 利用正三角形的高与边 长的关系及直角三角形中斜边大于直角边建 立关于 e的不等式 .
+ y
2
=
4m
e
, | AB | = 6m.
8 , 定 点 A ( 1, 0 ) ,
M 为圆上一动点 ,
在 R t& AB E 中 , ∠BA E = 60 ° , cos 60 °=
4m
e ,∴
点 P 在 AM 上 , 点
N 在 CM 上 , 且满
6m
1 4 4 = , ∴e = . 2 6e 3
( x + 1)
2
解 如图 3, 过 A 作 AC 垂直右准线于 C, 过 B 作 BD 垂直右准线于 D, 过 B 作 B E垂直 AC 于 E. 设 | B F | = m , 则 | A F | = 5m , 由双曲线 第二定义得 | AC | =
=
5m
e
, | BD | =
m , | AE | e
2 2 例 5 已知圆 C: ( x - 3 ) + ( y - 4 ) = 4,
解析法解题例说
作者： 李玉荣
作者机构： 南京金陵中学河西分校,210019
出版物刊名： 数理化解题研究：初中版
页码： 3-4页
年卷期： 2013年 第4期
主题词： 解析法 平面直角坐标系 数形结合思想 解题 几何问题 ABCD 对应关系 代数问题
摘要：题目已知正方形ABCD的边长为4，建立适当的平面直角坐标系，分别写出各顶点的坐标．此例是解析法的一个雏形．作为数形结合的具体方法之一的解析法，它通过建立适当的坐标系，形成了点与有序实数组的对应关系，把几何问题转化为代数问题，变抽象的几何问题为具体代数模型，实现问题的化归，是运用数形结合思想的典范，
用高等几何的方法证明中学几何题解析
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：用高等几何的方法证明中学几何题
院（系）理学院
专业数学与应用数学
年级2007级
姓名赵润生学号07031334 指导教师姜秀英职称副教授
2011年6月8日
目录
摘要 (1)
ABSTRACT (2)
第一章高等几何对中学几何的指导作用 (3)
1.1 几何学的对象和分类 (3)
1.2 对坐标系的认识 (4)
1.3 关于直线和二次曲线理论 (5)
第二章高等几何的一些基本理论 (8)
2.1 平行射影 (8)
2.2 仿射象和中心射影 (9)
2.3 透视保持交比不变 (10)
2.4 调和共轭 (11)
第三章用高等几何的方法证明中学几何题 (14)
3.1 利用平行射影证明中学几何题 (14)
3.2 利用特殊仿射象证明中学几何题 (15)
3.3 利用中心射影，将直线投射到无穷远处 (17)
3.4 利用透视保持交比对中学几何题进行证明 (18)
3.5 利用调和共轭证明线段相等和角相等 (19)
参考文献 (21)
后记 (22)
摘要
中学的几何证明题千变万化，精彩纷纭，有不少题目难于找到证明思路，高等几何为我们提供了解决中学几何证明题的一些方法，不仅能帮助教师思考问题，而且能启发我们获得初等证法，其证明过程还可以帮助我们发现新的中学几何命题，为中学生课外活动丰富了材料。本文从高等几何对中学几何的指导作用的探讨入手，把高等几何的理论应用到中学几何证明题中，通过具体实例论述了用高等几何的方法来解决中学几何证明题的问题。
关键词:平行射影；调和共轭；仿射象；中心射影；
ABSTRACT
Middle school geometry proof topic protean, nobody has many topics wonderful find proof ideas, difficult to higher geometry offers us solve middle school geometry questions of some methods, proved not only can help the teacher of thinking, and can inspire us obtain elementary proofs its proof process can also help us find new middle school geometry proposition, for high school students extra-curricular activities enriched material. This article from the higher geometry to middle school geometry guidance to let the discussion of higher geometry theory applied to middle school geometry proof questions with concrete examples discussed higher geometry method to solve the problem of middle school geometry proof.
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五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？
例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）
（例1图） （例2图）
例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、
BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
【部分题目解答】
例1、(难度相当于高考压轴题)
；
，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+
、；则，、，C B )()(4433y x E y x
D ,
1
- ;12-2-)1,{)-(22
2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx
y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222
243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得：
),-(---23
23
22x x x x y y y y CD =
方程为：直线 ,--Q 3
23
223Q y y y x y x x =
点横坐标：由此得
,
--P 1
41441P y y y x y x x =
点横坐标：同理得
,------1
41441323223P Q y y y
x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明
N
B
即证明：）（）（）（）（321441143223-----y y y x y x y y y x y x ⋅=⋅
将上式整理得：31442331242143212143)()(y y x y y x y y x y y x x x y y x x y y +++=+++
，代入整理得：注意到：44332211 , ;,nx y nx y mx y mx y ====
)]()([),()(214343212143243212x x x x x x x x mn x x x x n x x x x m +++=+++=右边左边
)
1)(1(n)
)(m -(2)121-121-()
1)(1(n))(m -(2121-121-2222222222222222222
2222222
+++=
+⋅+++⋅+=+++=+⋅+⋅++⋅+⋅=n m r a amn m am n r a n an m r a mn n m r a amn m am n r a n n an m r a m 右边左边代入得：
把上述韦达定理的结论 可见：左边=右边，故P Q -x x =，即AQ AP =. 证毕！
例2、 .标系分析：如右图，建立坐
、坐标后，求出直线、、、总体思路：设点AD D C B A 切值，证明这两个角度从而求出两个角度的正问题的关键是：如何设点C 、D 而C 、D 两点是相互独立运动的，故把点C 、D 设AD=BC= r ，则C 点可以看作是以B 为圆心，r 上的动点，类似看待D 点，故，设
),sin cos D()sin cos C(ϕϕ,r r -a θθ,r r a ++、
)2
sin sin ,2cos cos N(
ϕ
ϕ++θθ从而得
;
2
tan cos cos sin sin ,tan ,tan MN AD BC ϕθϕϕϕθ+=++=
==θθk k k 参数方程的美妙之处】【此处充分展现了圆的易得：