2009清华文高校自主招生数学试题及解答

合集下载

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文)含详解

5 设曲线心率等于 A 解析基础题
x2 a2
y2 b2
令 ( a 0 b 0 ) 的渐线抛物线 y x2 1 相
则该曲线的离
3
本小题考查
B 2 曲线的渐
C
5
直线
D
6
曲线的离心率
线方程
圆锥曲线的位置关系
解
题曲线
x2 a2
y2 b2
令 ( a 0 b 0 ) 的一条渐线方程为 y =
因渐线抛物线相所
那
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m
关于点 ( (D)
π
6
(B)
π
4
(C)
π
3
π
4π , 0) 中心对 3
φ 的最小值为
2
解析本小题考查角函数的象性质基础题解: Q 函数 y
3 cos ( 2 x φ ) 的
关于点
4π 3
代中心对
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m
V=
4 3 πR 3
n 次独立复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 − P ) n − k (k = 0 1, 2 L n)
一 1 选择题
其中 R 表示球的半径
sin 585 o 的值为
(A) −
2 2
(B)
2 2
(C) −
3 2
(D)
3 2
基础题
解析本小题考查诱导公式特殊角的角函数值
故选择 ∴ 4 (A) 知 tan a =4,cot β =
7 11
(B) −
7 11
1 ,则 tan(a+ β )= 3 7 7 (C) (D) − 13 13

2009年清华大学自主招生数学试卷(理综)〔精品解析版〕

，
得整系数多项式 f（x）＝x6﹣6x4+12x2﹣8，
∴f（
）＝
﹣6
+12
﹣8
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论．【解答】解：不能．取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖．如图：
第 2 页（共 6 页）
（因一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线对称轴）故有限条抛物线及其内部不能覆盖整个坐标平面．
大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。：1．从前向后，先易后难。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。先把容易得到的分数拿到手，不要“ 一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。2．规范答题，分分计较。数学分 I 、II 卷，第 I 卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。第 II 卷为主观性试题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分地争取，也可以跳过某一小
5．A，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 a1，a2，…an 出现在黑板上，则形如

2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(附详细答案)

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．257．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．69．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= ．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域．【解答】解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，原函数的值域y≥0可知D错，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴?U（M∪N）={2，4，8}故选：C．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】31：数形结合．【分析】先看函数的定义域，再看f（﹣x）与f（x）的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为（﹣2，2）关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性．4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】4M：对数值大小的比较；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．6【考点】IT：点到直线的距离公式；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．9．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωｘ+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωｘ+）∴﹣ω+kπ＝∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为 6 ．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．【考点】J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，则，即，解得，因此S n=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S n=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC 中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD?AB=BD?AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有C102种，恰有1名女工人的结果有C41C61种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C102C102种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③两名男工都来自乙有C42C42种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则（3）A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．A i与B j独立，i，j=0，1，2，且B=A0?B2+A1?B1+A2?B0故P（B）=P（A0?B2+A1?B1+A2?B0）=P（A0）?P（B2）+P（A1）?P（B1）+P（A2）?P（B0）==【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（﹣∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．综上，当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函数，在区间（2，2a）是减函数．（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．=，f（0）=24a由假设知即解得1＜a＜6故a的取值范围是（1，6）【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。

2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)(含答案解析)

集合 CU ( A B) 中共有 3 个元素，故选 A．
考点：集合的运算．
3．D
【分析】分类讨论解绝对值不等式与分式不等式即可.
【详解】
x x
1 1
1， 1
x x
1 1
1，
x
1 x
x 1
1
0
且
x
1 x
x 1
1
0
，
2x x 1
0
且
x
2 -1
<
0
，解得：
x
0
，
故不等式的解集是x x 0 ，
故选：D．
中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有
A．150 种
B．180 种
C．300 种
D．345 种
8．设非零向量 a ， b
， c 满足
a
b
c
，ab
c ，则向量 a ， b 的夹角为（
）
A．150
B．120
C． 60
D． 30
9．已知三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，若 A1在底面 ABC 上的射影为 BC
（2）乙组中选出一名女生有 C52C61C21 120 种选法．故共有 345 种选法考点：排列组合
8．B
【分析】根据向量加法的几何意义确定正确选项.
【详解】设 AB a, AD b, AC c ，
a b c 表示 AB AD AC ，所以四边形 ABCD 是平行四边形，
故答案为： 240 .
【点睛】本题考查利用二项式定理求项的系数和，考查计算能力，属于基础题.
14．24 【分析】根据等差数列的性质与前 n 项和公式计算．

2009年清华大学自主招生与保送考试试题(各科齐全)

2009年1月1-2日清华大学自主招生考试试题分两天1月1日上午9：00-12：00 中英文综合200分下午2：00-3：30 数学100分下午4：00-5：30 物理100分1月2日上午9：00-12：00 理科综合300分，数学物理化学各100分中英文综合题型分值第一部分英语基础（40分）单选词汇（1分×10）单元语法与词汇（1分×10）完形填空（1分×20）第二部分英语阅读（2分×20=40分）共8篇左右，每篇后2至3个单选题。

内容基本为美国文化政治第三部分中文（94分）4篇文章，后面分5大题：每篇的阅读理解题，第五大题为新词解释与作文第四部分中英文综合应用（26分）给一段文言文，翻译成中文（6分），用英文概括大意并评论（20分）第一部分英语基础（略）第二部分英语阅读（略）第三部分中文（全）白居易的粉丝李国文中国文学，一直有大众化和小众化的分野。

唐代的白居易，则是最能代表中国文学大众化的典型诗人。

白居易，生于公元772年（唐代宗大历七年），终于公元846年（唐武宗会昌六年），活了74岁。

经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。

无论当时，无论后世，谈及这位诗人，离不开以下三点：一，他在诗坛领袖群伦，推动潮流的地位；二，他在朝野引起轰动，遐迩知名的程度；三，作为诗人，他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇，非同凡响的声望，他的粉丝，可以说是举国上下，遍地皆是，大江南北，无处不在，这也许是最值得大书而特书的中国文学的‚白居易现象‛。

他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中，这样写道：‚二十年间，禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、马走之口无不道。

缮写模勒，炫卖于市井中，或持之以交酒茗者，处处皆是。

‛明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》：‚开成中，物价至贱，村路卖鱼肉者，俗人买以胡绡半尺，士大夫买以乐天诗。

‛白居易的一首诗，竟可以换来一条胖头鱼，一方五花肉，我估计当代诗人的作品，怕难以卖出这样的高价来。

解答：2009年清华自主招生数学试题解答WORD

2009年清华大学自主招生数学试题解答1
2．
3．
4．
5．
【另解】显然s 是复数，利用复数的运算性质，结合三角恒等变换即可.
222(sin )(cos )1,(sin cos )12sin cos sin cos 0,sin 0
t t t t t t t t t +=+=+∴=∴= 或cos 0t =
当sin 0t =时，11
2
11cos 1,,()1......11n n n
s i t s i f s s s s s i
++--===++++=
=-- 当cos 0t =时，sin 1,1,()11...11t s f s n ===+++=+
【评析】本问题是三角函数与复数的综合，总体上不是很困难，问题的关键是求出t 和分类
讨论.本题涉及到的知识点包括：三角的恒等变换、复数的概念、等比数列求和；对于sin cos 1t t +=
，也可以用辅助角公式：
sin cos )(tan )b
a x
b x x a
θθ+=+=
，则
s ()in cos )44
x x t t ππ
+=++=，解方程即可。

对于等比数列求和一定要注意两点：公比是否为0，求和项数是多少；
令外本题也是求解下列两式的一般方法： sin sin 2sin3...sin n θθθθ++++ cos cos2cos3...cos n θθθθ++++
6．
7．
8．
9．。

一道2009年清华大学自主招生数学试题的背景

２４２７１９．２ — ２．
质数问题非常古老，中的猜想很多也很有之
名，比如哥德巴赫（ｌｂｃ，６０～１６）猜想Ｇｏｄａｈ１９７４等．裔数学家陶哲轩（ｒｎｅＴｏ１７］华Ｔｅｅｃａ，９５～）
８１，４的素数等差数列分别只有一个，们分别是它３５７３７１；，ｌ１；，７３，存在公差为，，；，，１３１，９３１，１不
Ｐ∑ｎｎ＋３ｃ＋ ∑ ａｂ
２（一ａ）～６）Ｐ — ｆ户（（）
由推论易得文［］的结论，３还可得：差为２公，４８１，ｏ２，４３，ｏ５，，４２。８３，８４，Ｏ的素数等差数列分
别只有一个（首项与项数均是３；存在公差且）不
为１，２２，２４，６的素数等差数列．６２，６３，４４
～
２ｐ。＋ｐ（ｐ２— ８２Ｒｒ一２。ｒ）＋１Ｒｒ２ｐ
２ｒＰ
一
１６的素数等差数列．
笔者在文［］中证得了４定理１首项不是３的素数等差数列的公差
一
堡一１
．
是６的倍数．
所以有
２Ｒ
一一
Ｄ十
公差为８的等差数列，并证明你的结论．
解设这个等差数列为ａａ８ａ＋１．，＋，６
若０— ３（ｎｎ∈ Ｎ，）因为ａ为质数，以ａ一所３得这个等差数列为３ｌ，９符合题意，，ｌ１，

清华大学自主招生试题数学 Word版含解析

一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（）（A ）{n a }可能为等差数列（B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（）(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β)，记θ=α−β，则（）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（）（A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则22x y + ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1，正确。

2009年清华大学自主招生数学试题(理综)

2009年清华大学自主招生数学试题（理综）
1．求值：265522i i e
e ππ++
2．请写出一个整系数多项式()f x
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。

4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物。

在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。

集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。

问在最坏情况下需要多少个集装箱。

5．A ，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若12,,n a a a 出现在黑板上，则形如 i i i a x ∑的数都不能写，不得不写1的人算输。

初始状态黑板上写着5，6
问先写的人还是后写的人有必胜策略？
6．64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多8匹马参赛）
7．A，B两人玩一个游戏，A提供若干硬币，B可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u。

规则是：A可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点v，并选择一个与它相邻的顶点w，将v上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在w上。

A若在有限步内根据规则在u上放上一个硬币则获胜。

已知B不想让A赢且他很聪明，试问在这两种情况下A各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。

2009年清华大学北大自主招生试题

清华大学考试科目笔试1月1日-2日理科：语文、数学、英语、物理和化学。

文科：语文、数学、英语、历史和政治。

面试：2009年1月中旬。

笔试成绩占70％，面试成绩占30％。

●“中英文综合题”——《汉书艺文志》》：“小说家者流，盖出于稗官，街谈巷语，道听途说者之所造也。

”要求考生先用现代汉语把这段古文翻译出来，再用英语概括其大义，并评论其观点。

●从“酷”“粉丝”“小众化”“媒体”等十个流行名词中选择5个，来解释其含义。

●名词解释：社会主义核心体系、恒生指数、独孤求败、文曲星、欧佩克、路透社等40个。

●将杜甫的《旅夜书怀》翻译成英文：细草微风岸，危樯独夜舟。

星垂平野阔，月涌大江流。

名岂文章著？官应老病休！飘飘何所似？天地一沙鸥！●作文：给出四段文章，内容分别为“历史与现实”、“传统油画是否过时”、“四年前一次与奥巴马在机场的相遇”等，彼此关系不大，但要求考生如果用这四篇文章组成报纸的一个副刊版面，给版面取一个名字，并阐述理由，要求不少于800字。

【文综】名词解释涵盖文史政经文科综合考试的第一部分是对40个名词进行解释，涵盖面非常广，包括历史、政治、经济、文学等各个方面，需要很大的阅读面和知识面。

第二部分是诗歌翻译，先把一首英文诗歌翻译成汉语;再把杜甫的《旅夜书怀》翻译成外语。

第三部分是评论题目，给出了选自《论语》、《孟子》和《荀子》中的多段语录，要求考生以“权威与个人”为题，不限文体和篇幅，分析这些论点，并写一篇文章阐述观点。

这个题目是国外某重点大学聘用终身国学大师所考的题目。

孟芊说，根据协议，参与命题的这所大学的教师将参与最终阅卷。

【理综】题目涉诺奖得主研究领域在理科综合试题中，理科卷分为数、理、化三部分。

其中化学题还涉及2002年诺贝尔化学奖获得者研究领域，在物理题中有道题问考生“如何在太空站这种失重环境下测量宇航员的质量”。

一方面考题重视考查学生的研究探索能力、解决实际问题的能力;另一方面也重视考生对理、化学科本身的理解。

[高考]2009、2010清华北大自主招生试题

2009北京大学自主招生语数外物化试题(理科)时间：2009-11-06 作者：来源：网络资源一数学1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。

求圆半径。

2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。

求证：2009为数列中一项。

3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。

做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。

问不及格和优秀的人数哪个多？二英语1 单选20道，四级难度，20分。

2 阅读两篇，四级难度，10道，40分。

第一篇是关于“ideal body”的，第二篇是关于“materialism”的。

3 英译汉3句，比较简单，20分4 汉译英4句，仍然简单，20分三. 语文1 基础（1）写两个成语，然后曲解，6分。

（2）改病句：1我们都有一个家，名字叫中国。

2素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。

6分（3）对联：博雅塔前人博雅（博雅塔为北大一风景），8分2 翻译古文一篇300字左右的文不加点的文言文,要求翻译全文(20分)书杜袭喻繁钦语后[1]·（清）林纾吴人之归，有绮其衣者[2]，衣数十袭[3]，届时而易之。

而特居于盗乡，盗涎而妇弗觉[4]，犹日炫其华绣于丛莽之下[5]，盗遂杀而取之。

盗不足论，而吾甚怪此妇知绮其衣，而不知所以置其身。

夫使托身于荐绅之家[6]，健者门焉，严扃深居，盗乌得取？唯其濒盗居而复炫其装[7]，此其所以死耳。

天下有才之士，不犹吴妇之绮其衣乎？托非其人，则与盗邻，盗贪利而耆杀[8]，故炫能于乱邦，匪有全者。

杜袭喻繁钦曰：“子若见能不已[9]，非吾徒也。

”钦卒用其言，以免于刘表之祸[10]。

呜呼！袭可谓善藏矣，钦亦可谓善听矣。

不尔，吾未见其不为吴妇也。

3 大阅读，20分阅读理解是一篇选自鲁迅《野草》的文章,要求指出很多意像的象征意义求乞者我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。

2009年清华大学自主招生数学试卷及参考答案(理科)

2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．2．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．6．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．7．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．【解答】解：（1）因为2＜＜3，而设m＝＝则得到2＜2m﹣3＜3，求出2.5＜m＜3则a＝2，b＝m﹣2＝；（2）把a＝2，b＝m﹣2＝代入得：＝4++＝5；（3）数列b，b2，b3，…，b n为首项为b，公比为b的等比数列，因为b为小数部分，所以0＜b＜1则前n项和为，则＝＝02．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．【解答】解：因为，要使原不等式恒成立，则只需≥9，即所以正数a的最小值是4．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．【解答】解：根据题意，已知公差为8，有8＝3×2+2，设第一个数为m，则这三个数依次为m、m+3×2+2、m+3×5+1，则这三个数中就有其中一个能被3整除，而被3整除的质数只有3，故其中一个数为3，且其是第一个数，又有公差为8，则这三个数为3，11，19；所以是3，11，19．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．【解答】解：设过左顶点A的直线L解析式为：y﹣0＝k（x+a）即y＝kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；AR＝；联立得到AQ＝2；则过原点的直线为y＝kx，与椭圆的交点为P，联立得：所以P（，k），OP＝．得：2OP2＝AQ•AR故AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．【解答】解：sin t+cos t＝1∴（sin t+cos t）2＝1+2sin t•cos t＝1∴2sin t•cos t＝sin2t＝0则cos t＝0，sin t＝1或cos t＝1，sin t＝0，当cos t＝0，sin t＝1时，s＝cos t+i sin t＝i则f（s）＝1+s+s2+…s n＝当cos t＝1，sin t＝0时，s＝cos t+i sin t＝1则f（s）＝1+s+s2+…s n＝n+16．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是三位数一共有999﹣100+1＝900个，满足条件的事件是I中含有因子5即I是5的倍数，其中5的倍数有C91C101C21＝180个∴概率P＝＝0.2（2）可以从构造一个三位数的角度来考虑，即任选三个数码构成三位数，那么就有900个三位数其中按照相同的数码是否是0分情况：如果相同的数码是0，那么只能是十位和各位为0，因此有9个（100，200，…900）如果相同的数码不是0，那么百位、十位、个位都可以．在此基础上再分情况：三位数是否含0如果三位数中没有0，则先选择1个数码作为重复的数码（9种）再从剩下的8个数字选择1个数码（8种），排列形成三位数就有9×3×8＝2160不能放在百位，因此重复的数码只能是百位、十位或者百位、个位两种放法，先选择一个数码作为重复的数码（9种），放在数位上（2种），接下来把0填入，所以形成三位数就有9×2＝18种因此符合条件的三位数就有9+216+18＝243∴概率P＝＝0.277．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．【解答】解：＝＝（1+sin a）^2/[1﹣（sin a）^2]＝因为A是第四象限的角所以cos＞0又因为sinα＜﹣1所以1+sin a＞0所以＝同理＝所以﹣＝﹣＝2＝2tanα原式得证．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．【解答】解：＝得x＝4．又函数在（0，+∞）内递减，y2＝log2x在（0，+∞）内递增，所以当0＜x＜4时，；当x≥4时，．所以．f（x）＜2等价于：①或②．解得：0＜x＜4或x＞4，故f（x）＜2的解集为（0，4）∪（4，+∞）．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．【解答】证明：①当a1，a2，…，a2n+1全部相等时，从中任意2n个数，将其分为两组，每组n个数，两组所有元素的和相等，故性质P成立．②下面证明：当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．反证法：假设a1，a2，…，a2n+1不全部相等，则其中至少有一个整数和其它的整数不同，不妨设此数为a1，若a1在取出的2n个数中，将其分为两组，每组n个数，则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等，这与性质P矛盾，故假设不成立，所以，当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．综合①②可得，a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．。

2009年清华大学自主招生试题及其解答

3 解答：令√2 + √3 = x，则 x − √2 = 3，整理即得：x + 6x − 3 = (3x + 2)√2。两边平方知： (x + 6x − 3) = 2(3x + 2) ，整理即得 x − 6x − 6x + 12x − 36x + 1 = 0 。 3 令f(x) = x − 6x − 6x + 12x − 36x + 1，则√2 + √3是f(x)的一个根。
. .
，
.
、
.
，
.
、
，
.
、……、
.
，
.
。打乱顺序后，最坏的顺序为：
交流知识
共享智慧
文武光华
.
、
.
、
.
、
. .
、、
. .
、
.
、……、

.
显然，除了最后的
两件货物装在同一个集装箱中，其它每件货物都独装一个
集装箱。综上所述，至少需要 199 个集装箱，才能保证能将所有货物装箱。 5、甲、乙两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a 、a 、a 、 … … 、a 出现在黑板上，则形如∑ a x 的数都不能写，其中x 为任意非负整数。不得不写 1 的人算输。初始状态黑板上写着 5、6，如果甲先写，问甲、乙两人谁有必胜策略？解答：我们将所有正整数数按模 5 的余数分类：（1）5k型的正整数，均不可写；（2）5k + 1型的正整数均不可写：当k = 0时，1 不可写；当k ≥ 1时，5k + 1 = 5(k − 1) + 6不可写；（3）5k + 2型的正整数只可写2、7：当k ≥ 2时，5k + 2 = 5(k − 2) + 6 × 2不可写；（4）5k + 3型的正整数只可写3、8、13：当k ≥ 3时，5k + 3 = 5(k − 3) + 6 × 3，不可写；（5）5k + 4型的正整数只可写4、9、14、19 ：当k ≥ 4时，5k + 4 = 5(k − 4) + 6 × 4，不可写。于是知，初始时，黑板上只可写2、3、4、7、8、9、13、14、19这九个数。甲先取 19。将剩下的八个数两两配对： ① 2，3 、② 4，7 、③ 8，9 、④ 13，14 。易见，（1）这四组数中，排在前面的一组数取到，则后面的数都不可取了；（2）这四组数中，每组中的一个数可取，则另一个数一定可取。于是，无论乙取那一个数，甲都取同组中另一个数。最终乙将无数可取，所以甲有必胜策略。 6、问 64 匹马能否通过 50 场比赛，比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多 8 匹马参赛）解答：能比出。我们如下安排比赛：（1）将 64 匹马，分成八组，每组 8 匹马。每组马比赛一场，即可在本组内排出优劣。如此，经过 8 场比赛，则八组马在组内都可排出优劣顺序。（2）将八组马两两合并成四队，每队两组共 16 匹马。注意到每队 16 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两组的前四名中，因此取原先两组的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然为本队的前四名。将这 4 匹马从原来的组中除去，再取两组的前 4 匹马，共 8 匹马进行比赛，其前四名必然为本队的五至八名。最后将本队剩下的 8 匹马比赛一次，则可以将本队的 16 匹马排出优劣顺序。四个队，共进行 3×4=12 次比赛，则四队马在队内都可排出优劣顺序。（3）将四队马两两合并成两班，每班两队共 32 匹马。注意到每班 32 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两对的前四名中，因此取原先两队的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然为本班的前四名。将这 4 匹马从原来的队中除去，再取两队的前 4 匹马，共 8 匹马进行比赛，其前四名必然为本班的五至八名。依次类推，六场比赛后，还剩下 8 匹马，最后将这 8 匹马比赛一次，则可以将本班的 32 匹马排出优劣顺序。两个班，共进行 7×2=14 次比赛，则两班马在班内都可排出优劣顺序。（4）最后将两个班合并为一个群，本群即为全部的 64 匹马。注意到群内 64 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两班的前四名中，因此取原先两班的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然为本群的前四名。将这 4 匹马从原来的班中除去，再取两班的前 4 匹马，共 8 匹马进行比赛，其前四名必然为本群的五至八名。依次类推，比赛 14 场后，还剩下 8 匹马，最后将这 8 匹马比赛一次，则可以将本群的 64 匹马排出优劣顺序。依照上面的比赛安排，共进行 8+12+14+15=49 场比赛，即可以将 64 匹马排出优劣顺序。

09清华大学数学试题

2009年清华大学自主招生数学试题第一天（共11题，艺术生做1－7，10－11，其他考生1－9题）1.求公差是8、由三个质数组成的数列。

2.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p ，条件p 为任意取出2n 个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n 个数，并且这两堆数的和相等。

3.四面体ABCD,AB=CD,AC=BD,AD=BC 。

（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。

（2）设底面为BCD ，设另外三个面与面BCD 所形成的二面角为α，β，γ。

求证：cosα+cosβ+cosγ=1。

4.（1）已知x+y=1,n 为正整数，求证：x 2n +y 2n ≥21-2n 。

（2）已知x,y,z>0，a,b,c 是x,y,z 的一个排列。

求证：3a b c x y z++≥。

5.随机挑选一个三位数I(1)求I 含有因子5的概率。

(2)求I 中恰有两个数码相等的概率。

6.椭圆22221x y a b+=中，直线l 过点A(-a,0),交y 轴于R ，交椭圆于Q,另一直线过原点并平行于l ，交椭圆于S ，求证：AQ ，AS 的根号2倍，AQ 构成等比数列。

7、sint+cost=1, s=cost+isint ，求I(t)=1+s+s 2+s 3+…+s n 。

8的整数部分为A ，小数部分为B 。

（1）求A,B ；（2）求222AB A B ++；（3）求22lim()n n B B B →∞+++ 。

9．…10．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数11．设1221,,,n a a a + 均为整数，性质P 为：对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P第二天（共9题，挑会做的做）1.有数条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论。

2009清华文高校自主招生数学试题及解答

2009清华一、解答题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =na+n(n-1)⑴求证：数列{}n a 是等差数列⑵求(n a ,n S n)所在的直线方程2.12名职员(其中3名为男性)被平均分配到3个部门⑴求此3名男性被分别分到不同部门的概率⑵求此3名男性被分到同一部门的概率⑶若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3.三次函数f(x)的三次项系数为3a ，()f x '+9x<0的解集为(1,2)⑴若()f x '+7a=0有实数解,求()f x '的解析式⑵若f(x)在R 上单调增，求a 的范围,M(-2,0),N(2,0)⑴求点P 的轨迹W⑵直线y=k(x-2)与W 交于点A、B，求OAB S ∆（其中O 为原点）5.设a=12...n x x x n+++,n∈N *,n S =12()().....()n x a x a x a ---⑴求证3S ≤0⑵求4S 的最大值，并给出此时1234,,,x x x x 满足的条件⑶若5S <0,求12345,,,,x x x x x 不符合时的条件##Answer##1.⑴略；⑵y=22x a +2.【简解】⑴333396334441284C C C A C C C =1655⑵44954441284C C C C C =155⑶133326334441284C C C C C C C =161653.【简解】设()f x =323a x bx ++cx+d,()f x '=2ax +2bx+c()f x '+9x=2ax +(2b+9)x+c=a(x-1)(x-2)b=-932a +,c=2a,(a>0)⑴()f x '+7a=2ax -(9+3a)x+9a=0有解，△≥0故()f x '=2ax -(9+3a)x+2a(0<a≤3)⑵()f x '=2ax -(9+3a)x+2a≥0成立00a >⎧⎨∆≤⎩4.【简解】⑴W 为以M、N 为焦点，以为实轴长的双曲线右支⑵W 的方程为22x y -=2（x>0）将y=k(x-2)代入W 方程得到2222(1)442k x k x k -+--=0△=8(1+2k )>0,12x x +=2241k k ->0,2122421k x x k +=-,k>1或k<-1221)1k k +-点O 到直线的距离OAB S ∆=12|AB|d=2|1k k -5.【简解】⑴3S =-2213(2)9x x x --≤0⑵4S =1256[3x 1-(x 2+x 3+x 4)][3x 2-(x 1+x 3+x 4)][3x 3-(x 1+x 2+x 4)][3x 4-(x 1+x 3+x 2)]≤1256412342134321442313333()4x x x x x x x x x x x x x x x x ---+---+---+---=0，等号成立当且仅当3x 1-(x 2+x 3+x 4)=3x 2-(x 1+x 3+x 4)=3x 3-(x 1+x 2+x 4)=3x 4-(x 1+x 3+x 2)即x 1=x 2=x 3=x 4，故4S 的最大值为0⑶同理不符合5S <0，只能5S =0，x 1=x 2=x 3=x 4=x 5。

2009年清华大学自主招生试题

中英文综合（200分）1.语文部分（95分）甲文：白居易的粉丝（9分）1、请解释什么是“白居易现象”。

2、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。

”一句中的“文章”指的是什么？3、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么？4、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。

”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪乙文：4年前与奥巴马的邂逅（11分）（略）1、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么？2、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么？丙文：历史与记忆（13分）（略）1、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目？”显然有两种回答：能或不能。

请选择一种，并举例论证。

2、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。

她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿？他要死了吗？她希望有人去照料一下她的孩子啊！这份明信片现在就在博物馆里展出。

"作者举这个例子的目的是什么？3、如果《中国发展年鉴》要增加一个词条“城市记忆”，请你做一个解释。

（30字以内）丁文：传统油画过气了吗？（12分）（略）1、最后说这种诗意又是“东方式”的，怎么理解？2.式微一词出自哪？它的意思是什么？3、文中与架上油画意思相同的词还有哪些？（请写出两个）4、传统油画仍是绘画艺术中魅力犹存的主流样式。

在作者看来，原因是什么甲--丁文：作文1、下面的词都是与原文相关的词汇，选择其中的5个，做简单的解释。

（5分）IT 粉丝过气涂鸦小众化2、上面四篇文章是选自某一期报纸的某一版面，请你为这个版面拟一个称谓，并说明你的构想（800字左右）（45分）2.英语部分（80分）1、10个词汇题，给出一句话，将其中一个词划线，从A、B、C、D中选出与划线词意思相近的词。

（10分）2、10个单项选择，高中大纲难度。

2009清华文 高校自主招生数学试题及解答

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文)含详解

2009年清华大学自主招生数学试卷(理综)〔精品解析版〕

2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(附详细答案)

2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)(含答案解析)

2009年清华大学自主招生与保送考试试题(各科齐全)

解答：2009年清华自主招生数学试题解答WORD

一道2009年清华大学自主招生数学试题的背景

清华大学自主招生试题 数学 Word版含解析

2009年清华大学自主招生数学试题(理综)

2009年清华大学北大自主招生试题

[高考]2009、2010清华北大自主招生试题

2009年清华大学自主招生数学试卷及参考答案(理科)

2009年清华大学自主招生试题及其解答

09清华大学数学试题

2009清华文 高校自主招生数学试题及解答

2009年清华大学自主招生试题

2009清华文高校自主招生数学试题及解答

清华大学自主招生试题数学 Word版含解析

2009清华文高校自主招生数学试题及解答