19.4.3角平分线课件
合集下载
角平分线定理PPT课件
训练反馈：
A
12
1.填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D__C_=_D_E____
B
C
D
(_角___平__分__线__上__的__点__到__角__的__两__边__的__距__离__相__等_________)
第8页/共17页
训练反馈：
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是（ ）
2
∵ ∠1=∠2
O
E
B
∠PDO=∠PEO OP=OP(公共边)
∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)
∴PD=PE
第5页/共17页
归纳总结：
角平分角线上平的分点线到的角性两边质的定距理离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
第6页/共17页
第7页/共17页
1.角是轴对称图形 2.角的对称轴是角平分线所在的直 线
第4页/共17页
交流展示：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
A
证明：∵OC平分∠AOB
D
∴∠1=∠2
C 又∵PD⊥OA,PE⊥OB
1
P
∴∠PDO=∠PEO=90° 在ΔOPD和ΔOPE中
第17页/共17页
证明：∵∠C=90°（已知）
A
∴DC⊥AC（垂直的定义） 2 又∵AD是∠CAB的角平分线， 1
E
DE⊥AB（已知）
∴CD=DE（角平分线上的点
人教版八年级上册2.3角的平分线的性质课件(共17张PPT)
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB
∴AC平分∠DAB
操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角 的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续 折一次，折出一个直三角形（使第一次的 折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕. 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角 的两边有何关系，它们的长度有何关系？
就是角平分线.你能说明它的道理吗? 在生产生活中，这些方法是否可行呢？
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴
=
，（
）
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
∠这P条其D射O=线依∠叫P做E据O这（个是已角证的S）平S分S线，。 两全等三角形的对应角相等.
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
点P是射线OC上的任意一点
意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. O
1 2
是D,E(已知) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD=CD， 证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
在生产生活中，这些方法是否可行呢？ PD⊥OA,PE⊥OB，
OP=OP （公∴共边R） t△BDE ≌ Rt△CDF.
∴ EB=FC.
A
E
F
B
D
C
1：如图, △ABC中, ∠C=90°, ED⊥AB, ∠1=∠2, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
冀教版八年级上册数学《角平分线》PPT教学课件
几何语言，如图, ∵OC是∠AOB的平分线, ∴
A D
O
1 2
C
E B
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的
根据之一.
你能写出“上述定理：角平分
思
线上的点到这个角的两边距离相
考
等”的逆命题吗?
分
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,
′
在这个角的平分线上.
请你证明它是不是真命题?
已知:如图 所示,
A
F O
E
B
D
C
随堂训练
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分
线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F分别作FG⊥AE于点G，F
∵点F在∠BCE的平分线上，
E G
C
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A
F
M
F
BD
∴FM＝F ∴FG＝F ∴点F在∠DAE的平分线上.
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线 想一想：能够运用这种方法作出任意角的 角平分线吗？
D B
C E
知识讲解
用尺规作已知角的角平分线
已知:∠AOB.
作法：
求作：∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径
A
画弧，交OA于点M，交OB于点N.
M C
B
N
（2）分别以点M,N为圆心，大于 1 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的 2内部相交于点C.
A
N
M
B
C
知识讲解
证明：
ห้องสมุดไป่ตู้
《角的平分线的性质》PPT课件
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
-
C 19
再见
-
20
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
-
17
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，
AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3
㎝，求BE的长。
-
18
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
-
4
活 动 3 根据角平分仪的制作原理怎样作
一个角的平分线？（不用角平分仪或
量角器）
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
-
5
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
-
7
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
-
8
活 动 5 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
《角平分线》PPT课件3
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/
PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 美术课件：/kejian/meishu/ 物理课件：/kejian/wuli/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 历史课件：/kejian/lishi/
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
探索作已知角的平分线的方法
角平分线的画法：
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB 于N． （２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部交于C． A
（3）作射线OC，
M
则射线OC即为所要求
C
的∠AOB的角平分线.
你也来试一试！
生活中有很多数学问题：小明家 居住在一栋居民楼的一楼，刚好位 于一条自来水管和天然气管道所成 角的平分线上的P点，要从P点建两 条管道，分别与自来水管道和天然 气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么 关系，画来看看.
自来水
天然气
.P
什么叫做角平分线？
角平分线定义：一条射线把一个角分成 两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
c
O
B
探索
一、探索作已知角的平分线的方法
你有哪些方法可以找到角平分线？
活
动1
折叠法
不利用工具，请你将一张用纸
片做的角分成两个相等的角。你有什 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
《角平分线》PPT教学课件
知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线 想一想：能够运用这种方法作出任意角的 角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由： 没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在 角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途： 证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解 例题 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解
4·3 角平分线
OC (1)ABOC(1)AB4.3.2 角的平分线学习目标1．知识与技能通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，•认识角的平分线及角的等分线． 2．过程与方法进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法． 3．情感态度与价值观 能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习热情．学习重、难点 •认识角的平分线及角的等分线及其运用 一、预习导学：阅读课本P135页1、如图，直线a 与直线c 相交于点O ，∠1的度数是2、如图（1）， OC 平分∠AOB ，若∠BOC ＝20°，则∠AOC ＝ °∠AOB= °；若∠AOB=50°则∠AOC ＝ °二探 究 新 知 ㈠．认识角的平分线． （1） 如图，如果∠AOC=∠BOC ，那么 射线OC 是∠AOB 的 。
角平分线的定义：______________________ 关键词是：___________________________ 符号语言：∵OC 平分∠AOB∴∠ =∠(∠AOB=2∠ 或∠AOB =2∠ ;或∠AOC=21∠ ，∠BOC =21∠_____ ) （2）请画出下面两个角的角平分线BOAB OA（3）如图⑵若∠AOB =∠BOC =∠COD ，则OB 是 的平分线，=21∠AOC ， ∠BOC = 21 =21 = 31（4）角的三等分线：例如图，O B 是平角∠AO C 的角平分线，OD 平分∠BOC ，求∠BOC 、∠AOD 的度数DCOBA三、归纳小结本节课收获是 遇到的困难是 四、自我检测 1、已知∠ABC=300,BD 是∠ABC 的平分线，则∠ABD= 度。
O CADB2、.如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD ，则OD 平分______，OC 平分______，∠AOB=3∠______ ∠AOD =2∠______.3如图，把一张长方形的的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′D ′点处，若∠AO B ′=70°则∠B ′OG 的度数为4、如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思 考 分 析
M F Cຫໍສະໝຸດ 随练习 课时训练
A
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线上的点到角的两边的距离相等 (________________________________)
1 2 E C D B
2、判断题（ ∴ BD (
×）
，
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H FP⊥CB于P,作射线OF ∵CF平分∠ECB ∴FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP ∴FG=FH ∴点F在∠EOD的平分线上(到角两边距 离相等的点在这个角的平分线上)
G
P
H
作业:P94习题19.4第4题
思考
C
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认 识?
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E 为垂足， ∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O A
D
1 2 E B P C
• 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
• 所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
A
D 1 2 E P 在△PDO和△PEO中，因为 ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， ∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
｛
驶向成功的 彼岸
回顾
思考
角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
•角平分线的性质是什么
？
• 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？
• 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等
开启智慧 定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等.
A
如图,已知:OC是∠AOB的 平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. O 求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 相等).
O
∴PD=PE
C
于是就有定理： 角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
B
四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ， A DE⊥AB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ 为什么？ 答： DE=DC。 D
∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上）B
又∵ DE⊥BA，垂足为E， DC⊥BC，垂足为C， ∴ DE=DC。
B
= DC
角的平分线上的点到角的 ) 两边的距离相等。
A C
D
练习 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作 ∠AOB的平分 线，交直线l于P 就是所求的点 （第 1 题）
练习2.
如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
D
1 2 E B P
C
｛
PD=PE（已知） OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理： 到一个角的两边 距离相等的点， 在这个角的平分 线上
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 A 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 ND 的内容. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.