第16讲矩形

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初三数学讲义第16讲：反比例函数的图像与性质_教案

A.（，0） B.（1，0） C.（，0） D.（，0）
【解析】D
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当点P与点P′重合时，PA﹣PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大；把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y= 得：y1=2，y2= ，即可得A（，2），B（2，）；设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式为y=﹣x+ ，所以当y=0时，x= ，即P（，0），故答案选D.
A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B的坐标分别是A（1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线上，边AD与轴相交于点E， =10，则k的值是（）
（A） 16 （B） 9 （C） 8 （D） 12
5.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是
6.如图，双曲线y= 交矩形OABC的边分别于点D、E，若BD=2AD，且四边形ODBE的面积为8，则k=
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论：
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称.
∵A（2，1），∴B（－2，－1）.
∵知反比例函数的图像经过P（－1，2），
∴k=-1×2=-2＜0.
∴函数的图象位于第二，四象限．
故选D．
【总结与反思】本题较为简单，使用反比例函数的图像分布规律即可得出答案.
类型二反比例函数的增减性

初中数学-中考数学复习讲义-矩形的性质及判定.讲义学生版

知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件时，四边形PEHF 是矩形例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质及判定CDB A【巩固】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例3】如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【巩固】如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例5】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CBA【巩固】如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【例6】如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【巩固】如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例7】已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

初中数学矩形的性质与判定试讲逐字稿

矩形的性质与判定尊敬的各位评委老师，大家下午好，我是初中数学3号考生，今天我试讲的题目是矩形的性质和判定，下面开始我的试讲。

上课，同学们好，请坐。

同学们，在我们日常生活当中有一些特殊的平行四边形，在这老师给大家展示了几张图片我们一起来看，第一张图是窗户，第二个是门，还有一个我们的数学课本，那我们观察这些图形他们有什么共同特点呢？你来说一下，都有一个角是直角，观察很仔细，请坐。

那像这种的图形啊我们就称之为矩形，今天我们就来一起了解一下矩形的性质和判定。

同学们，日常生活当中许许多多的物品形状都是矩形，那我们在学习他的性质之前，首先来正式的认识一下什么是矩形，在之前呢我们学习了平行四边形它的定义，性质以及判定，矩形实际上也是平行四边形，但是它是特殊的平行四边形，刚才我们也发现他有一个角是直角，所以我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

那我们可以画出一个矩形以及它的符号语言，那大家通过老师的画法也可以看出来，先做两条平行线，然后做垂线，得出一个矩形，拿下满我们把它的符号语言写出来，。

既可以是矩形的性质，也可以是矩形的判定，相同的，那我们知道一个四边形是矩形，就可以得出有一个角是直角，同时他还是一个平行四边形。

那接下来我们来看一下矩形都有哪些性质，那我们说让她是一个特殊的平行四边形对不对，那平行四边形的性质它同样都具备，那哪位同学还记得平行四边形有哪些性质？第二排这同学，两条对边平行且相等，两个对角大小相等，你有不同意见你来说一下，相邻的两个角互补，对角线相互平分，非常好，坐。

那我们说它既然是一个特殊的平行四边形，特殊在哪里呢，，有哪些特殊的性质是定义当中没有的？我们来一起想一下，看来同学们没有头绪呀，那老师给点提示，（对称轴），矩形是轴对称图形对不对，那他有几条对称轴呢？（对称轴）它有两条，并且是相互垂直的，所以说它是一个轴对称图形。

我们刚才提到了它的对角线，那对角线是不是他的对称轴啊？我们取一张矩形A4纸沿着对角线折叠会不会重合呀，很显然它的对角线不是它的对称轴，那当然我们在之后也会了解到，一些特殊的矩形对角线也是对称轴，老师听到有同学说了正方形，非常棒这位同学，在正方形当中啊除了这两条对称轴之外呢它的两条对角线也是对称轴。

【机构秘籍思维导引】数学六年级第16讲最值问题二(教师版+学生版,含详细解析)全国通用

第16讲最值问题二兴趣篇1、用0,1,2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a 、b 、c 、d 、e 。

请问： a b c d e -+-+最大可能是多少？答案：222［分析］要让a b c d e -+-+结果尽量大，那么,,a c e 的十位要尽量大，,b d 的十位尽量小。

再让,,a c e 的个位要尽量大，,b d 的个位尽量小。

那么可以得到9610852374222-+-+=。

2、将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时人数最少的那组有多少人？答案：15组；1个人或2个人［分析］123......15120,123......16136++++=++++=，因此最多可以分为15组。

又，234......16135++++=，因此人数最少的一组有1或2人。

3、有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？答案：25场［分析］两队人数最接近的时候，比赛场次最少。

要证实此结论，可采用逐步调整法：考虑初始状态是()11,0，那么把一个人从1组调到2组可以减少10场比赛，变成()10,1；再把一个人从1组调到2组可以减少1组9场比赛，增加2组1场比赛，变成()9,2……。

()()7,46,5→，减少6场，增加4场；()()6,55,6→减少5场，增加5场。

再调整的时候，增加的场数要比减少的多了，那么()6,5分组时的场次达到最少。

分成1组5人，1组6人，那么共需比225625C C +=（场）。

4、我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如835=+。

有的数有几种不同的表示方法，例如10039711891783=+=+=+。

请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？答案：16［分析］如果我们能找到4个数a b c d <<<使得b a d c -=-，那么就有a d b c +=+。

组合数学第16讲_和同近积大(教师版)A4

一．和同近积大1．如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，他们的乘积就越大．特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大．2．两个正整数的乘积一定时，两个数的差越小，这两个数的和也越小．二．最大数最小与最小数最大问题：原则是平均分然后注意问题．三．一个正整数拆成若干数使之乘积最大规则是多3少2，最多2个个，判断依据是把这个数除以3若余数为0则全部拆成3，若余数为2就拆出一个2，其余都是3；若余数为1，则拆出2个2其余都是3．重难点：在几何面积中的应用．注意区分以下两点：1．题目中是否允许数重复．2．最大数最小与最小数最大的理解及做题技巧．题模一：分拆为两数例1.1.1两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【答案】14【解析】根据积同近和小原则，和最小为6814+=．例1.1.2有11个同学要进行羽毛球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有__________场比赛．【答案】30【解析】11个人分成两组，两组人数相差越少比赛次数越多，所以分成5人和6人的两组比赛场数最多，为30场．例1.1.3用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是_________平方厘米．【答案】25【解析】长、宽的和是10厘米，根据“和同近积大”的原则，正方形的时候面积最大，此时边长为5厘米，面积为25平方厘米．例1.1.4墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的长方形养鸡场，已知该养鸡场的长、宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？【答案】50【解析】设长方形的宽为a ，则长方形的面积是()()202210a a a a ⨯-=⨯⨯-，1010a a +-=面积最大时两数相等，所以宽为5的时候鸡场的面积最大，最大是50．组合数学第16讲_和同近积大例1.1.5在一个长方形的面积为169平方厘米．在这个长方形内任取一点P ，则点P 到长方形四边的距离之和最小值为_____________厘米．【答案】26【解析】1691313=⨯，长方形长和宽均为13时，点P 到长方形四边的距离之和最小为13226⨯=．题模二：分拆为多数例1.2.1把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？【答案】15232⨯【解析】根据多拆3，少拆2，不拆1原则，4931522=⨯+⨯，乘积最大为15232⨯．例1.2.2把2012拆成5个互不相同的自然数之和，其中最小的数最大是多少？【答案】400【解析】应让5个数尽量接近，最小的数最大是()201212344005-+++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．例1.2.3将60分拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是__________．【答案】7【解析】若最大为5，则和51050≤⨯=，矛盾．所以最大的至少为7，如607822=⨯+⨯．例1.2.4各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最大数是____________．【答案】98543210【解析】位数最多则每一位的数字最小，3201234589=+++++++，所以最大是98543210．例 1.2.5将1~6这六个自然数分成甲、乙两组, 则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是________．【答案】110【解析】设甲组和为A ，乙组和为B ，则有A +B =1+2+3+4+5+6=21，根据和一定差越小积越到，当A =11，B =10或A =11，B =10时，110A B ⨯=最大．例1.2.64个自然数的和是44，它们两两之间的差分别是1、3、4、5、6、9，那么最大的那个数最大可能是__________．【答案】16【解析】假设四个数从小到大为a 、b 、c 、d ，则–9d a =，–––9d c c b b a ++=（）（）（），而9135=++，试验可知–b a （）、–c b （）、–d c （）分别为3、1、5或5、1、3．最大的数最大时应为3、1、5的情况，这时b 、c 、d 可以写成3a +、4a +、9a +，最大的数为16．题模三：实际应用例1.3.1用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？【答案】576【解析】长、宽、高之和为100425cm ÷=，且应尽量接近．25889=++，故体积最大为3889576cm ⨯⨯=．例1.3.2A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和．那么A 、B 两数之差的最大值是__________．【答案】1781【解析】易知应让A 尽量大，B 尽量小．220073223=⨯，111120072011A ≤++++=，223331230B ≥+++=，20112301781A B -≤-=．例1.3.3有10个互不相同的大于0的自然数，它们的和是55，从中取出3个数后，余下的自然数的和是55的711，则取出的3个数的积的最大值是__________．【答案】280【解析】易知这10个数为1至10，取出的3个数之和为75512011⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭．为使乘积最大，这3个数应尽量接近，为5、7、8，乘积为280．例1.3.4有三条线段a 、b 、c ，并且a b c <<．判断：下面的三个梯形中，第几个图形面积最大？【答案】第三个【解析】两个数的和一定时，两数差越小，乘积越大．第一个图中梯形面积为()2a c b +⨯÷，第二个图中梯形面积为()2b c a +⨯÷，第三个图中梯形面积为()2a b c +⨯÷，因为a<b<c ，所以其中差最小的为a b +与c ，所以面积最大为第三个梯形．例1.3.5如图，正方形ABCD 和EFGH 分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10，18和12，则正方形ABCD 和EFGH 中，面积较大的是正方形__________．【答案】EFGH【解析】如图所示，小正方形的面积之和为30时，两正方形的面积差最小，则大正方形的面积越大，据此可得面积较大的是正方形是EFGH ．例1.3.6如图，一个大长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是__________平方厘米．a bca bccb a C DB AFEG H10201218总面积30总面积60 变大【答案】512【解析】如果右边并上一个一模一样的长方形，则其周长为()128A E C D E B ++++-=厘米，所以面积最大为3232=1024⨯平方厘米，原题答案为10242=512÷．随练1.1爷爷要用长36米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，围成的面积最大是________________平方米．【答案】162【解析】问题转化为两个数的和为36，这两个数的乘积最大是．当这个三角形是等腰直角三角形时面积最大，最大面积是18182162⨯÷=．随练1.2阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌的点数之和刚好是10．请问两人牌的点数的乘积最大可能是_________？【答案】25【解析】两人牌的点数之和为10，那么两人牌的点数只能是1和9，2和8，3和7，4和6，5和5，它们乘积分别为9，16，21，24，25，所以两人牌的点数的乘积最大可能是25．随练 1.3比较下面两个乘积的大小：5712846387596512a =⨯，5712846087596515b =⨯．则a 、b 的大小关系是（）． A ．a b < B ．a b > C ．a b = D ．都有可能【答案】B【解析】易知57128463875965125712846987596515+=+．根据和同近积大原则，a b >．所以正确答案是B ．随练1.4像2，3，5，7这样只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或素数．将2015分拆成100个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么，这个最大的质数是__________．【答案】23【解析】要使最大的质数尽可能小，则所分质数应尽量接近．201510020......15÷=，所以最大质数最小为23．经试算，最大质数为23可以实现，例如2015710118172380=⨯+⨯++⨯．随练1.5如果3个互不相同的自然数之和为20，那么其中最小的数最大是__________．【答案】5EDC B A 养鸡场【解析】要想使最小的数最大、最大的数最小，就要使得这三个数最相近，尝试可得578，所以最小数的最大是5．随练1.6把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？【答案】将17拆为5个3与1个2【解析】根据多拆3，少拆2，不拆1原则，17352=⨯+，即将17拆为5个3与1个2．随练1.7⑴把101分拆成若干个自然数的和，使得这几个自然数的乘积最大，求最大乘积． ⑵把100分拆成若干个自然数的和，使得这几个自然数的乘积最大，求最大乘积．【答案】3332⨯，32232⨯【解析】（1）将101拆成若干个2和3相加，2最多出现2个，所以1013332=⨯+，所有数的乘积为3332⨯．（2）10033222=⨯+⨯，所有数的乘积为32232⨯．随练1.8已知1112009a b=-，其中a ，b 均为大于0的自然数，那么b 可以取的最大值为__________．【答案】4034072【解析】最大化b ，等价于最大化a ，显然2008a ≤．当2008a =时，111140340722008200920082009b =-==⨯，即b 最大值为4034072．随练1.9四个互不相等的数a 、b 、c 、d ，其中a 最大，d 最小，且a cb d=．则a d +与b c+的大小关系是（） A ．a d b c +<+ B ．a d b c +>+ C ．a d b c +=+ D ．不能确定【答案】B【解析】由a cb d=可知ad bc =．积相等时两数差越大和也越大，易知a 最大d 最小，即差最大，故a d b c +>+，选B ．作业1要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？【答案】34【解析】根据积同近和小原则，周长最小为()89234m +⨯=．作业2爷爷要用长25米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，围成的面积最大是________________平方米．【答案】78【解析】问题转化为两个数的和为25，这两个数的乘积最大是．当直角三角形的两条直角边越接近时面积最大，面积最大时1312278⨯÷=．作业3有10个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一养鸡场场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有________________场比赛．【答案】25【解析】问题转化一下，相当于两个数的和是10，这两个数的乘积最大是，最大是5525⨯=．作业4用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，（1）这个矩形的面积最大是多少？（2）如果用22根火柴棒呢？【答案】（1）36平方厘米（2）30平方厘米【解析】（1）24根火柴棒围成的矩形周长为24厘米，则长与宽的和为24212÷=厘米．将这些矩形全列举出来：由上表，得当矩形的长与宽都是6厘米时，矩形面积最大是36平方厘米．（2）22根火柴棒围成的矩形周长为22厘米，则长与宽的和为22211÷=厘米．同样列举：由上表，得当矩形的长等于6厘米，宽等于5厘米时，矩形面积最大是30平方厘米．作业5一个长方体的长、宽、高的和等于36分米，当这个长方体的长、宽、高分别是多少分米时，这个长方体的体积最大？【答案】12；12；12【解析】根据和同近积大原则，长、宽、高应相等，即均为12分米．作业6只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做指数或素数，比如2，3，5，7，11等．如果将117拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么，这个最大的质数为__________．【答案】97【解析】要使最大的质数尽可能大，则其他的数要尽量小．假设其他数全为2，则最大数为1172999-⨯=，但99不是质数，最大质数可能为97．验证可知，273297117⨯+⨯+=成立，所以这个最大质数为97．作业7有4个互不相同的自然数，它们的平均数是10．其中最大的数至少是__________．【答案】12【解析】4个数的和是10440⨯=，所以最大的数越小，则其它的数则应越大越好．当这4个互不相同的自然数是8、9、11、12时，最大的数最小是12．作业8请将自然数37分拆成若干个自然数的和，使得这几个自然数的乘积最大，则最大乘矩形的长矩形的宽矩形的面积11 1 10 29 3 8 4 756 6矩形的长矩形的宽矩形的面积10 1 9 2 8 3 746 5积等于_________．【答案】1134⨯【解析】根据和同近积大，拆出来的最小的数是3或者最小是2，它们的积会最大．3731122=⨯+⨯，故将37分拆成11333322+++++个时，这些加数之积最大，乘积最大是1134⨯．作业9将37拆成若干个不同的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么，这个最大乘积等于_________．【答案】2618【解析】37271117=+++，2711172618⨯⨯⨯=．作业10若干自然数的乘积为324, 则这些自然数的和最小为________．【答案】16【解析】324223333=⨯⨯⨯⨯⨯根据积一定，差越小，和越小．当这些数为2、2、3、3、3、3时差最和最小为2+2+3+3+3+3=16．作业11使等式1112014A B+=（A 、B 均为自然数）成立的B 的最大值是___________．【答案】2013【解析】显然2014B <．由()11111n n n n -=++可知B 最大为2013，此时20132014A =⨯．作业12将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有__________人．【答案】15组；1个人或2个人【解析】要使分组最多，那么应该每组人越少越好，最少情形就是第一组1人，第二组2人，以此类推，进行估算，1516213516172⨯÷<<⨯÷，所以最多15组．例如()123141515++++++，可以最小那组人为1，如果最小那组人为2，可以是2341516135+++++=，这时是极限情形．最少人数不能更多了．所以人数最少为1或者2．作业13有一根铁丝长90厘米，它能焊接成的棱长都是整数厘米的长方体的体积最大是________立方厘米．【答案】392【解析】棱长和应为4的倍数，最多为88cm ，进而长、宽、高之和最多为88422cm ÷=．再令长、宽、高最接近，可得体积最大为3778392cm ⨯⨯=．作业14如图，一个长方形被分成4个小长方形，其中长方形A 、B 、C 的周长分别是10厘米、12厘米、14厘米，那么长方形D 的面积最大是__________平方厘米．DCB A【答案】16【解析】观察可知，A和D的周长和等于B和C的周长和，所以D的周长是16厘米，D 是正方形的时候面积最大，边长为4厘米，面积为16平方厘米．。

人教版初二数学《矩形》精品课件

人教版初二数学《矩形》精品课件一、教学内容本节课，我们将深入探讨人教版初二数学第四章第二节《矩形》内容。

具体包括：矩形定义、性质、判定方法以及矩形在实际中应用。

重点讲解矩形基本性质，如对边平行且相等、对角线相等、四个角都是直角等，并通过实际例题，让学生掌握这些性质应用。

二、教学目标1. 让学生理解矩形定义，掌握矩形性质和判定方法。

2. 培养学生运用矩形知识解决实际问题能力。

3. 提高学生空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：矩形判定方法，特别是矩形对角线性质。

教学重点：矩形性质及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：矩形模型、直尺、圆规、三角板。

2. 学具：直尺、圆规、三角板、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示矩形物体，如书本、桌面等，引导学生观察矩形特征，引出矩形概念。

2. 矩形性质讲解：a. 通过矩形模型，引导学生观察矩形对边平行且相等、对角线相等、四个角都是直角等性质。

b. 举例说明矩形在实际中应用，如建筑设计、家具制作等。

3. 矩形判定方法：a. 讲解矩形判定定理，如“对角线互相平分且相等四边形是矩形”。

b. 通过例题讲解，让学生掌握矩形判定方法。

4. 随堂练习：a. 让学生画出一个矩形，并标出其性质。

b. 判断给定图形是否为矩形，并说明理由。

5. 矩形性质应用：a. 讲解矩形在生活中应用，如矩形窗户设计、矩形地砖铺设等。

b. 通过实际例题，让学生学会运用矩形知识解决实际问题。

六、板书设计1. 矩形定义2. 矩形性质a. 对边平行且相等b. 对角线相等c. 四个角都是直角3. 矩形判定方法a. 对角线互相平分且相等四边形是矩形4. 矩形应用七、作业设计1. 作业题目：a. 画出一个矩形，并标出其性质。

b. 判断给定图形是否为矩形，并说明理由。

c. 举例说明矩形在实际中应用。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握矩形定义、性质和判定方法，但部分学生对矩形对角线性质理解不够深入，需要在课后加强练习。

第十六讲图形变换(平移、旋转、对称(翻折))-2019-2021中考真题数学分项汇编(原卷版)

专题16 图形变换（平移、旋转、对称（翻折））一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021·江西中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A．2B．3C．4D．5OP ．若点P关于3．（2021·河北中考真题）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且 2.8直线l，m的对称点分别是点1P，2P，则1P，2P之间的距离可能．．是（）A．0 B．5 C．6 D．74．（2021·湖北宜昌市·中考真题）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021·湖北武汉市·中考真题）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒7．（2021·四川广安市·中考真题）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A ． B ． C ． D ．8．（2021·天津中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2M -关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()4,2-B ．4,2C ．()4,2--D ．()4,2-10．（2021·浙江丽水市·中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位11．（2021·四川自贡市·中考真题）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．12．（2021·湖南中考真题）下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．（2021·湖北黄冈市·中考真题）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆14．（2021·浙江绍兴市·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形15．（2020·青海中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．16．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC''''，那么点B的对应点B'的坐标为（）先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到A B CA．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）17．（2020·四川中考真题）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到A BC''△．此时恰好点C在A C''上，A B'交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（）A．13B．12C．23D．3418．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15B．18C．20D．2219．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条20．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形i i i i iOABC D E，则正六边形(2020)i i i i iOABC D E i=的顶点iC的坐标是（）A．(1,B．C．(1,2)-D．(2,1)21．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A ．5BC ．3D ．522．（2020·江苏南通市·中考真题）以原点为中心，将点P （4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．（2020·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（）A ．1cmB ．2cmCD ．24．（2020·湖北黄石市·中考真题）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--25．（2020·上海中考真题）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( ) A ．平行四边形 B ．等腰梯形 C ．正六边形D ．圆 26．（2020·湖北孝感市·中考真题）将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+72．（2020·黑龙江牡丹江市·中考真题）如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（）A ．(2--,或2)-B ．C ．(-D ．(2--,或28．（2020·河北中考真题）如图，将ABC ∆绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的CDA ∆与ABC ∆构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB AD =，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB CD =，C ．应补充：且//AB CD D ．应补充：且OA OC =，29．（2020·天津中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．AC DE =B ．BC EF = C ．AEFD ∠=∠ D ．AB DF ⊥30．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ''，当A B ''恰好经过点D 时，△B 'CD 为等腰三角形，若B B '＝2，则A A '＝（）A B．C D31．（2019·台湾中考真题）图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，9号车厢才会运行到最高点？（）A．10B．20C．152D．45232．（2019·台湾中考真题）如图，ABC∆中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，求EAF∠的度数为何？（）A．113︒B．124︒C．129︒D．134︒33．（2019·山东济南市·中考真题）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线34．（2019·台湾中考真题）如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I．今固定C 点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A B C''的顶点A'落在L上，且其内心为I'．若A B C∠<∠<∠，则下列叙述何者正确？（）A．IC和I A''平行，II'和L平行B．IC和I A''平行，II'和L不平行C ．IC 和I A ''不平行，II '和L 平行D ．IC 和I A ''不平行，II '和L 不平行35．（2019·河北中考真题）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（）A ．10B ．6C ．3D ．2二、填空题 1．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒，则OBA ∠的度数为______．2．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．3．（2021·青海中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm 2，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为__________．4．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D '''的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．5．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）6．（2021·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．7．（2020·江苏镇江市·中考真题）点O 是正五边形ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O 至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．8．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．9．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为____________cm ．10．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AD=12，AB=8，E 是AB 上一点，且EB=3，F 是BC 上一动点，若将EBF ∆沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距为．11．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，P 为AD 上一个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ，当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积为_____．12．（2020·四川绵阳市·中考真题）平面直角坐标系中，将点A （﹣1，2）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A 1的坐标为_____．13．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，把ABC 沿AB 边平移到111A B C △的位置，图中所示的三角形的面积1S 与四边形的面积2S 之比为4∶5，若4AB =，则此三角形移动的距离1AA 是____________． 14．（2020·广西河池市·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD 点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____． 15．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．16．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，将△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 处．若EC ＝2BE ＝2，则CF 的长为_____．17．（2020·广西玉林市·中考真题）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF 中，将四边形ADEF 绕点A 顺时针旋转到四边形AD E F '''处，此时边AD '与对角线AC 重叠，则图中阴影部分的面积是___________．18．（2020·广东广州市·中考真题）如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．19．（2020·广东广州市·中考真题）如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为_______．20．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，,,3,5,2,DA AB CB AB AD AB BC P ⊥⊥===是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是________________21．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．22．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：()2,0A -，()1,2B ，()1,2C -．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为______．23．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．24．（2020·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点,A C 均落在格点上，点B 在网格线上，且53AB =．（Ⅰ）线段AC 的长等于___________；（Ⅱ）以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若,P Q 分别为边,AC BC 上的动点，当BP PQ +取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点,P Q ，并简要说明点,P Q 的位置是如何找到的（不要求证明）．25．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点A ，B 的坐标分别为，(4,0)，把OAB ∆沿x 轴向右平移得到CDE ∆，如果点D 的坐标为，则点E 的坐标为__________． 26．（2020·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是______．27．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为___________．28．（2019·江苏镇江市·中考真题）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝_________.（结果保留根号） 29．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC=4，将△ABC 绕点A 顺时针旋转30°，得到△ACD ，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为__________80．（2019·辽宁营口市·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为________．31．（2019·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．三、解答题1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（23中．2．（2021·安徽中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90 得到221A B C △，画出221A B C △．3．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(4，1)，C(4，3)．（1）画出将△ABC 向左平移5个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2．4．（2020·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是A （1，3），B （4，4），C （2，1）．（1）把ABC 向左平移4个单位后得到对应的A 1B 1C 1，请画出平移后的A 1B 1C 1；（2）把ABC 绕原点O 旋转180°后得到对应的A 2B 2C 2，请画出旋转后的A 2B 2C 2；（3）观察图形可知，A 1B 1C 1与A 2B 2C 2关于点（，）中心对称．5．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为()4,4A ，()1,1B ，()4,1C ．（1）画出与ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）将ABC 绕点1O 顺时针旋转90°得到222A B C △，2AA 弧是点A 所经过的路径，则旋转中心1O 的坐标为___________．（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．6．（2020·吉林中考真题）如图①、图②、图③都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．7．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B ，(2,3)C ，先以原点O 为位似中心在第三象限内画一个111A B C ∆，使它与ABC ∆位似，且相似比为2：1，然后再把ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90°得到222A B C ∆．（1）画出111A B C ∆，并直接写出点1A 的坐标；（2）画出222A B C ∆，直接写出在旋转过程中，点A 到点2A 所经过的路径长．8．（2020·湖北武汉市·中考真题）在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．。

第16讲巧用对称旋转解图形题

第16讲巧用对称、旋转解图形题如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；如果一个图形沿着某一固定点旋转180°，两个图形能够完全重合，那么这两个图形叫做以这个点为中心对称图形。

灵活地运用轴对称和中心对称常可以得到问题的简捷解法。

日常生活中，我们经常能够看到两边对称的图形，例如，枫叶、蝴蝶、飞机……很多几何图形，如矩形、等腰三角形、菱形也是对称的。

例1、有一个长方形ABCD和圆心为O的圆，你能作一直线，把它们分成周长和面积都相等的两部分吗？分析与解长方形是中心对称图形，圆也是中心对称图形，由于过中心对称图形对称中心的直线把图形分成周长和面积都相等的两部分，所以找出同时过两个图形的中心对称点的直线，问题就能够顺利解决。

如图：做一做1、下面的图形分成周长和面积相等的两部分。

例2、求下图1中阴影部分的面积。

（单位：厘米）1。

圆解：图1中阴影部分的面积=等腰直角三角形的面积-圆面积的4面积可求，但三角形的面积不易求。

不过我们知道圆盒正方形是对称图形，根据对称性，只要将四个同样的图1拼到一起，就能得到如图2所示的图形，这样解题思路就明朗化了。

S阴影=（8×8-3.14×42）÷4=13.76÷4=3.44（厘米2）做一做：求右图的面积。

（单位：厘米）例3、如下图1，在直角三角形ABC中，AF长10厘米，CD长8厘米，求长方形BDEF的面积是多少？分析与解分别过A点和C点作BC和AB的平行线AA＇和CA＇,延长DE交AA＇于D＇，延长FE交CA＇于F＇（见图2）。

在图2中，因为△AD＇E的面积等于△AEF的面积，△CE＇F的面积等于△CED的面积，所以△AD＇E和CEF＇D 面积之和等于△AEF和△CDE的面积之和；又因为△AA＇C的面积等于△ABC的面积，所以长方形BDEF的面积应该等于长方形A＇D＇EF＇的面积。

（想一想，为什么？）分析到此，便可看出：长方形A＇D＇EF＇的面积等于10×8=80（厘米2），所以，长方形BDEF的面积也是10×8=80（厘米2）。

矩形,菱形,正方形的判定符号数字语言

矩形,菱形,正方形的判定符号数字语言示例文章篇一：《矩形、菱形、正方形的判定：符号、数字语言》一、矩形的判定1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形。

从平行四边形的定义出发，如果一个平行四边形ABCD，其中∠A = 90°，那它就是矩形。

用符号语言表示就是：在平行四边形ABCD中，若∠A = 90°，则四边形ABCD是矩形。

这就好比一个队伍本来是规规矩矩站成平行四边形的形状，突然有一个角变成了直角，那整个队伍的形状就变成了矩形，就像一个长方形的盒子的一个角。

我和我的小伙伴们在讨论这个的时候，小伙伴小明说：“那这个直角就像是一个特殊的标志，只要平行四边形里有了这个标志，它就变身成矩形啦。

”我觉得他说得很有趣呢。

2. 对角线相等的平行四边形是矩形。

假如平行四边形ABCD的对角线AC = BD，那这个平行四边形就是矩形。

用数字和符号语言来表示就是：在平行四边形ABCD中，若AC = BD，则四边形ABCD是矩形。

这就好像两根长度一样的棍子，当它们是平行四边形的对角线的时候，这个平行四边形就变成矩形了。

我跟同桌讨论这个的时候，同桌说：“感觉这两根一样长的对角线就像是一种特殊的密码，只要平行四边形有这个密码，就成矩形了。

”我想了想，还真是这么个道理呢。

3. 有三个角是直角的四边形是矩形。

如果在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C = 90°，那这个四边形就是矩形。

用符号语言写就是：在四边形ABCD中，若∠A =∠B =∠C = 90°，则四边形ABCD是矩形。

这就像是一个四边形的三个角都站得笔直，那第四个角肯定也得站得笔直啦，就像一个房子的三个墙角都是直角，那这个房子的形状肯定就是长方形（矩形）啦。

我跟后面的同学讲这个的时候，他说：“哇，就像三个小伙伴都站得特别端正，那第四个小伙伴也得跟着端正起来。

”二、菱形的判定1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对于平行四边形ABCD，如果AB = AD，那这个平行四边形就是菱形。

讲义矩形和菱形

龙文教育学科教师辅导讲义为 .【答案】3:2例1. 如图，菱形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，OG ⊥CD 于G ，OH ⊥AD 于H ，试说明四边形EFGH 为矩形。

分析：四边形EFGH 与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角线EG 和HF 相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH 是矩形，根据菱形的对角线平分每一组对角，知AC 是∠DAB 和∠DCB 的角平分线，DE 是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，因为OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，根据角平分线的性质很容易得出OE ＝OF ＝OG ＝OH解：∵四边形ABCD 是菱形∴AC 、BD 平分对角∴O 点在∠DAB 、∠BCD 、∠CDA 、∠ABC 的角平分线上又∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ∴OE ＝OF ＝OG ＝OH 又∵AB//CD ∴OE ⊥CD 又∵OG ⊥OD∴直线OE 与OG 重合即E 、O 、G 三点共线同理可证H 、O 、F 共线 ∴EFGH 是平行四边形又∵HF=EG ∴四边形EFGH 是矩形点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。

（2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。

例2．如图，□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点，求证：四边形EFGH 的矩形。

例3．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

ABOCDDACB HGFE例4．如图，矩形ABCD 中，BD CE ⊥，E 为垂足，1:3:=∠∠ECB DCE ，则ACE ∠等于多少？【巩固练习】1、在矩形中，对角线具有的性质是（）A ．相等且互相垂直B ．相等且互相平分C ．互相垂直且互相平分D ．互相垂直且平分内角 2、下列说法错误的是（）．（A ）矩形的对角线互相平分（B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形（D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）（A ）2对（B ）4对（C ）6对（D ）8对4、①矩形的定义中有两个条件：一是，二是②已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分为、、、．③已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm ， cm ， cm ， cm5. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

1.2.2矩形的判定课件(共19张PPT)

1.请同学们阅读课本14-16页.
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？（发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
框符不符合我的要求?”王子听后，找来一把三角尺，用三角尺量了量
门框的三个角，然后对国王说:“父王，我量了门框的三个角，它们都
是90度，因此，这个门框是矩形.”
(1)问:你认为王子说得对吗?请同学们分组讨论并给出老师答案.(让其中的
一组来讲)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形吗?
自主探究（10min）
中点, ∴ = =

,

∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
四边形就是矩形？
（一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形）
小组讨论（4min）
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是平行四边形？
（两组对边分别相等为平行四边形）
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是菱形？
（四边相等为菱形）
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是矩形？
测量…？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”
这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断

北师大数学九年级上册第一章矩形的性质与判定

1.2矩形的性质与判定知识精讲一．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．二．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有三．矩形的判定判断一个四边形是否为矩形时，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上四．直角三角形的性质定理证明过程：如图，矩形ABCD中AO=CO=BO=DO=12AC=12BD在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线则有：AO=12 BD逆定理证明过程：边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补互相平分非轴对称矩形对边平行且相等四个角为直角互相平分且相等轴对称四边形平行四边形角有三个角是直角的四边形是矩形（判定定理）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）对角线/ 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理）斜边中线定理直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆定理如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角（不可直接使用，需证明）OCD已知：在ΔABC 中，BO 是边AC 上的中线，且BO=12AC 求证： ΔABC 是直角三角形证明：延长BO 到D ，使DO=BO =12AC ，连接AD ，CD 。

∵BO=DO ,AO=CO∴四边形ABCD 是平行四边形 BO=12AC ＝12BD ∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形 ∴∠ACB =90°∴ΔABC 是直角三角形五．思路点拨矩形ABCD 中，六．易错点1．矩形的对角线相等，不一定互相垂直，如图1 2. 对角线相等的不一定是矩形，如等腰梯形，如图2 3．四边形两个角是直角，不一定是矩形，如图3图1 图2 图34.判断一个四边形是否为矩形的时候，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上三点剖析一．考点：1．性质；2．判定；3．直角三角形的性质．ABCDDCBA4个直角三角形Rt △ADC ≌Rt △BCD ≌ Rt △DAB ≌Rt △CBA （两两全等）4个等腰三角形△ADO ≌△CBO △DOC ≌△AOB （两组全等）对角线将矩形面积四等分S △ADO = S △COB = S △DOC =S △AOB过对角线交点的直线将矩形面积平分S AEFB =S EDCF 矩形的问题可以转化为（1）内角均为直角，与勾股定理结合（2）利用矩形的性质，与等腰三角形、全等三角形结合，求线段长度或角度 O二．重难点：矩形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边中线等于斜边的一半．三．易错点：1．矩形的对角线大小相等，不一定互相垂直． 2．四边形两个角是直角，不一定是矩形．性质例题1、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，4cm AC =，120AOD ∠︒＝，则BC 的长为（）A.43B.4C.23D.2 例题2、如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，则EF 的最小值为（）A.2B.115C.125D.52例题3、如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为____例题4、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ．（1）求证：△DCE △△BFE ；（2）若CD=2，△ADB=30°，求BE 的长．随练1、如图，矩形的两条对角线所夹锐角为60︒，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（）．ABC D OA.10cmB.8cmC.6cmD.5cm随练2、如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则DCEABESS=____．随练3、如图，四边形ABCD的对角线AC△BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．随练4、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A.10B.12C.16D.18判定例题1、连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形例题2、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A.AC=CDB.AB=ADC.AD=AED.BC=CE．例题3、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．A DB CO例题4、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN △AB ，DN 交AC 于点M ，MA=MC ． ①求证：CD=AN ；②若△AMD=2△MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．随练1、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：AB DC ①∥；AB DC =②；AC BD =③；90ABC ∠=︒④；OA OC =⑤；OB OD =⑥．则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（）A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥ 随练2、矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，点E 在线段AB 上．点F 在线段AD 上（1）沿EF 折叠，使A 落在CD 边上的G 处（如图），若DG ＝3，求AF 的长；求AE 的长；（2）若按EF 折叠后，点A 落在矩形ABCD 的CD 边上，请直接写出AF 的范围．随练3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．直角三角形斜边中线等于斜边的一半例题1、如图，在△ABC 中，BF 平分△ABC ，AF △BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（）A.2B.3C.4D.5例题2、如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，D 在CB 上，E 为AB 之中点，AD 、CE 相交于F ，且AD DB =．若20B ∠=︒，则DFE ∠=（）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒随练1、如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．课后习题1、下列关于矩形的说法中正确的是（） A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分2、如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为（）A.1B.2C.3D.43、如图所示，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为（）PFEDC BAA.cmB.cmC.cmD.8cm4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（）A.3B.23C.3D.335、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，点D为边CB上动点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连BE，取BE的中点P．当点D从点C出发沿CB方向向点B运动时，点P的运动路径长为___________6、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是____cm2．7、已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．8、已知：如图，在ABCD□中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：ABE FCE△≌△；（2）若AF AD=，求证：四边形ABFC是矩形．9、如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90︒到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若6AB=，8BC=，则线段CH的长为（）AB CDEFA.C.HGFEDCBA。

矩形的判别方法

A D
B
C
矩形的判别方法有哪些？判别方法1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 判别方法2： 3个角是直角的四边形是矩形. 判别方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.
例题选讲：
例1 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE， AF//DC，E、F两点在边BC上，且四边形 AEFD是平行四边形． (1)AD与BC有何数量关系？请说明理由； (2)当AB=CD时，说明□AEFD是矩形．
3个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形.
例题选讲：
例2 如图，在△ABC中，点D在AB上，且 AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC 的平分线.四边形FDEC是矩形吗？为什么？
C E D B
F A
练习：
1.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是_____________.(写出一种即可)
矩形的性质对称性边既是轴对称图形，又是中心对称图形．对边平行且相等.
角
对角线
四个角都是直角.
对角线互相平分且相等.
情境创设
怎样检验教室内的黑板是否是矩形?
数学问题：
一个四边形满足什么条件，它就是矩形呢？定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 在□ABCD中 ∵∠A=90° ∴□ABCD是矩形
2.下列关于矩形的说法中正确的是( D ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
拓展与延伸：
(7)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． (1)四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？ (2)请添加一个条件，使四边形ABEC是矩形． (3)小明添加的条件是∠AFC=2∠D，他的做法正确吗？说明理由.

高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题

3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.

六年级奥数优胜教育第16讲：特殊图形含答案

第十六讲特殊图形例1：如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？例2：右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）例3：下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？例4：一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？例5：如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？例6：要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？ ⑵当 b <2h 时，如何打包？ ⑶当 b >2h 时，如何打包？A1.在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？25块积木56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2.一个表面积为22cm．3.要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？4.如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．5.如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．B6.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．7.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?8.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．9.棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?10.有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？C11.三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？12.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？13.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？14.一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？15.有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？1.有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?A2.如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？3.如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？4.一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？5.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．33223323322323111111第8题1.图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)3.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸1110.511.54.圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)5.如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)6.如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)7.把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？8.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)9.一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)10.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？11.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．12.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？13.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？14.如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的2 3，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？(单位：厘米)15.如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．16.图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？17.如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)18.已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)19.如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC甲乙CBA43边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？20.如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABC ABAB第十六讲特殊图形一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥c b aHGFED CBA1.掌握立体图形的特征，能通过分析图形的特征解题。