14[1].4.3 幂级数展开
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
例析幂级数的敛散性与函数的幂级数展开
例析幂级数的敛散性与函数的幂级数展开1幂级数的概念1.1幂级数形如或的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数.1.2收敛半径与收敛区间[1]如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当x=R与X=-R时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R通常叫做幂级数的收敛半径.由幂级数在处的收敛性决定它在区间、或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间.如果仅在X=0收敛，就规定R=0，如果对一切X都收敛，则规定R= .1.3收敛半径的求法（1）对于不缺项的幂级数定理设幂级数的系数有则①当0< < 时，有R=②当 =0时，定义R=③当时，定义R=0（2）对于缺项的幂级数，例如令，，考察 =则当 <1时，级数收敛，此时可得知①当时，R= .②当时，R= .③当时，定义R=0.2 将初等函数展开为幂级数如果f（x）在点的某邻域内具有各有阶导数、、…，…，这时称幂级数为函数f（x）在x= 处展开的泰勒级数.特别地，取得幂级数称为函数的马克劳林级数。
常用的马克劳林级数有：1.2.Sinx=3.Cosx=4.Ln（1+x）=5.3间接展开法利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幂级数的方法，称为间接展开法.4幂级数的基本性质（1）幂级数的和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数.（2）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项积分，即=且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是R.（3）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项求导，即（注意下标的变化）且逐项求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R.说明如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在x=R（或-R）处收敛，则性质2，3在x=R（或-R）处仍成立.（4）若的收敛区间为（），的收敛区间为（），则且的收敛区间为（-R，R），其中R=min典型例题分析[2]4.1选择题（1）幂级数的收敛区间为（）A.（-1，1）B. C. D.分析：因为所以且当x= - 1时，发散.当x=1时，收敛，故收敛区间为答：C（2）设幂级数在x=2处收敛，则该幂级数在x=-1处必定（）A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 敛散性不能确定分析：由于幂级数在其收敛区间（-R，R）内绝对收敛，在时发散.可知，当幂级数在x=2处收敛时，必有 . 因此在（-2，2）内必定绝对收敛，由于x= - 1 （-2，2），因此可知在x= -1处必定绝对收敛，故应选C . 答：C（3）下列冪级数中，收敛半径为R=1的是（）A. B. C. D.分析： ABCD可见B为正确答案答： B4.2填空题（1）幂级数的收敛域为分析：当，即0<x<2时，幂级数收敛.< p=""></x<2时，幂级数收敛.<> 又当x=0时， = 发散.而当x=2时， = 收敛.故收敛域为答：（2）关于的幂级数展开式为（-2<x<2）< p=""></x<2）<>分析： = = （-2<x<2）< p=""></x<2）<>答：（-2<x<2）< p=""></x<2）<>4.3解答题（1）求幂级数的收敛半径.分析：，于是可知收敛半径为答：2.（2）求的收敛区间.分析：所给级数为不缺项情形，，=因此，所以幂级数的收敛区间为（-3，3）答：（-3，3）（3）求的收敛半径、收敛区间和收敛域.分析：于是可知收敛半径为R= 即当即时，收敛.当x=0时， = 发散.当x=2时，收敛.故收敛区间为（0，2），收敛域为答：1，（0，2），（4）把函数展开为x-2的幂级数，并求收敛区间. 分析： =利用函数，R=1，得到，所以（5）求函数的马克劳林级数展开式.分析：已知= ，答：（6）将函数展开成的幂级数.分析： ==利用公式（2）与（3）以代入得，，在处的展开式为Sinx=参考文献[1] 高霞.高等数学[M] .南开大学出版社，2010.[2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社，2005.。
级数知识点笔记总结
级数知识点笔记总结一、级数的基本概念1.1、级数的定义级数是指一列数相加而得到的一个和，级数一般表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1，a2，a3，...，an表示级数的每一项，n表示级数的项数。
1.2、级数的部分和级数的部分和是指级数的前n项和，通常表示为Sn。
即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an1.3、收敛和发散如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于一个有限的数S，则称级数收敛，记作：S = lim(n→∞)Sn如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于无穷大或者无穷小，则称级数发散。
1.4、级数的收敛性级数的收敛性是指级数是否收敛的性质。
根据级数的收敛性可将级数分为收敛级数和发散级数。
二、级数的性质2.1、级数的加法性如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有：∑(an+bn) = ∑an + ∑bn2.2、级数的倍数性如果级数∑an收敛，则它的任意倍数级数∑kan(k为常数)也收敛，并且有：∑kan = k∑an2.3、级数的比较性如果级数∑an和∑bn满足0 ≤ an ≤ bn，当且仅当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当且仅当级数∑an发散时，级数∑bn也发散。
三、级数的收敛与发散3.1、比较判别法如果级数∑an的绝对值与级数∑bn的绝对值相比有相对简单的结构时，可对级数的收敛与发散作出判断：当∑|an| ≤ ∑bn时，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。
当∑an ≥ ∑|bn|时，若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
3.2、比值判别法若级数∑an的前n+1项与前n项的比值有极限存在，则有：若lim(n→∞)|an+1/an| < 1，则级数∑an收敛；若lim(n→∞)|an+1/an| > 1，则级数∑an发散；若lim(n→∞)|an+1/an| = 1，则比值判别法无法确定级数的收敛性。
数学分析2课件：14-1 幂级数
n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证 设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
函数的级数与幂级数
函数的级数与幂级数级数是数学中一个重要的概念，而函数的级数又是级数中的一种特殊形式。
在本文中，我们将探讨函数的级数以及与之相关的概念和应用。
1. 级数的定义与性质首先，我们回顾一下级数的定义。
对于给定的一列实数 {a_n}，级数可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中，S表示级数的和。
级数的部分和可以表示为：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n级数收敛的定义是它的部分和序列 {S_n} 收敛，即存在一个有限的实数 L，使得当 n 趋向正无穷时，S_n 逐渐接近 L。
如果部分和序列不存在极限，那么级数就是发散的。
对于级数的性质，我们有以下重要的结论：1.1 收敛级数的部分和序列是有界的。
1.2 若级数收敛，则其中每一项的极限必须为0。
1.3 若级数收敛，则级数的任意子级数也必定收敛。
1.4 若级数发散，则无法确定其总和。
2. 幂级数的定义与收敛区间在函数的级数中，幂级数是一种特殊的级数形式，可以表示为：f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...其中，a_n 是系数，x 是变量。
幂级数在某一区间内通常具有收敛性质。
幂级数的收敛区间是指满足幂级数收敛的所有 x 的取值范围。
对于给定的幂级数，我们可以利用求和公式、比值测试或根值测试等方法来确定其收敛区间。
3. 幂级数的收敛域与收敛半径收敛域是幂级数收敛的所有点构成的集合，通常可以是开区间、闭区间、半开半闭区间或单个点。
我们可以通过求和公式或收敛性测试来确定幂级数的收敛域。
对于收敛域内的每个点 x，幂级数都收敛；而对于超出收敛域的每个点 x，幂级数都发散。
收敛域的边界上的点需要额外的讨论，可能有收敛或发散的情况。
收敛半径是收敛域的一种度量，通常用 R 表示。
对于给定的幂级数，其收敛半径可以通过求和公式、比值测试或根值测试等方法来确定。
4. 幂级数的应用幂级数在数学和物理学中有广泛的应用。
它们可以用于近似计算、数值求解和函数扩展等方面。
同济版高等数学教材目录
同济版高等数学教材目录一、微积分基础1. 实数及数列1.1 实数1.1.1 不等式与绝对值1.1.2 数列与极限1.2 数列极限的计算1.2.1 无穷序列与无穷数列1.2.2 数列极限存在的判定2. 函数与连续性2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义与表示法2.1.2 基本初等函数2.1.3 一次函数与二次函数2.2 函数的极限与连续性2.2.1 函数极限的定义与性质2.2.2 函数的连续性与间断点2.2.3 闭区间连续函数的性质3. 导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与表示法3.1.2 导函数的求法3.1.3 连续与可导的关系3.2 导数的计算与应用3.2.1 基本初等函数的导数3.2.2 导数的四则运算3.2.3 函数的单调性与极值4. 微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.2 函数的单调性与凹凸性4.2.1 函数单调性的判定与应用 4.2.2 函数凹凸性的判定与应用4.3 泰勒公式与高阶导数4.3.1 泰勒公式与拉格朗日余项4.3.2 函数的高阶导数及其应用二、数列与级数1. 数列极限的概念与性质1.1 数列极限的定义1.2 数列极限存在的判定1.2.1 单调有界准则1.2.2 夹逼准则1.3 数列极限的运算与性质2. 函数的极限与连续性2.1 函数极限的定义与性质2.2 函数连续性的定义与性质2.3 连续函数的性质与运算3. 无穷级数3.1 数项级数的概念与性质3.2 收敛级数的判定方法3.2.1 正项级数的判别法3.2.2 任意项级数的判别法3.3 幂级数与函数展开3.3.1 幂级数的概念与性质3.3.2 幂级数的收敛半径3.3.3 幂级数的函数展开4. 函数的泰勒展开4.1 函数的泰勒展开与麦克劳林展开 4.2 一些常用函数的泰勒展开4.3 泰勒展开与函数的逼近三、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的概念与性质1.2 多元函数的极限定义与性质1.3 多元函数的连续性定义与性质2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数定义2.2 偏导数的计算与性质2.3 全微分的概念与计算3. 多元函数的微分法及其应用3.1 隐函数的求导法3.2 多元复合函数的求导法3.3 一阶全微分的应用3.3.1 方向导数与梯度3.3.2 最小值与最大值问题4. 二重积分的计算与应用4.1 二重积分的概念与性质4.2 二重积分的计算方法4.2.1 二重积分的累次积分法4.2.2 坐标变换法与极坐标法4.3 二重积分的应用4.3.1 质心与形心的计算4.3.2 二重积分在物理问题中的应用四、无穷级数及多元函数积分学1. 无穷级数的收敛1.1 无穷级数的概念与性质1.2 收敛级数的判定方法1.3 幂级数的性质与运算2. 曲线与曲面积分2.1 第一型曲线积分2.2 第二型曲线积分2.3 曲线积分的应用2.3.1 质量与质心的计算2.3.2 曲线积分在环线积分中的应用3. 曲面积分3.1 曲面积分的概念与性质3.2 双重积分的计算方法3.3 曲面积分的应用3.3.1 质量与质心的计算3.3.2 曲面积分在流量计算中的应用4. 三重积分的计算4.1 三重积分的概念与性质4.2 三重积分的计算方法4.2.1 三重积分的累次积分法4.2.2 坐标变换法与球坐标法4.3 三重积分的应用4.3.1 质量与质心的计算4.3.2 三重积分在物理问题中的应用以上是同济版高等数学教材的目录，涵盖了微积分基础、数列与级数、多元函数微分学、无穷级数及多元函数积分学等内容。
幂级数展开式求π
幂级数展开式求π1. 引言圆周率 π 是一个数学常数，代表圆的周长与直径的比值。
它是一个无理数，且其小数部分是无限不循环的。
近年来，计算 π 的方法有很多种，其中一种比较常见且有趣的方法是使用幂级数展开式来求解 π 的近似值。
幂级数展开式是一种用无穷级数表示一个函数的方法。
在本文中，我们将介绍如何使用幂级数展开式来计算 π，并讨论该方法的原理、优缺点以及应用。
2. 幂级数展开式2.1 幂级数的定义幂级数是形如 ∑a n ∞n=0x n 的无穷级数，其中 a n 是系数序列，x 是变量。
幂级数可以表示很多函数，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
2.2 麦克劳林展开麦克劳林展开是一种特殊的幂级数展开式，它将一个函数在某个点附近进行泰勒展开，并将所有导数项在该点处的值作为系数。
麦克劳林展开可以用于近似计算函数在某个点的值。
对于函数 f (x )，其在 x =a 处的麦克劳林展开式为：f (x )=f (a )+f′(a )1!(x −a )+f″(a )2!(x −a )2+f‴(a )3!(x −a )3+⋯ 其中 f′(a )、f″(a )、f‴(a ) 分别表示 f (x ) 在 x =a 处的一阶、二阶和三阶导数。
2.3 π 的幂级数展开式我们知道，圆的周长可以表示为 2πr ，其中 r 是圆的半径。
由于我们希望求解 π 的值，因此可以将该表达式改写为：π=周长直径考虑到直径是半径的两倍，我们有 周长=2πr 和 直径=2r 。
将这两个表达式代入原式中，得到：π=周长直径=2πr 2r =π这意味着π可以用圆的周长与直径之比来表示。
而圆的周长可以通过幂级数展开来近似计算。
3. 使用幂级数展开式计算π3.1 步骤概述使用幂级数展开式来计算π 的步骤如下：1.选择一个适当的函数f(x)，使得其在某个点附近的麦克劳林展开式能够表示圆的周长。
2.将f(x)在该点附近进行麦克劳林展开，得到幂级数形式。
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
数学分析14-214.2 函数的幂级数展开
显然它在(, )上收敛, 且其和函数 S( x) 0. 由
此看到, 对一切 x 0都有 f ( x) S( x).
上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不
都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内.
那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?
定理14.11 设 f 在点 x0 具有任意阶导数, 那么 f 在 区间( x0 r, x0 r )上等于它的泰勒级数的和函数的
n
Rn
(
x
)
0,
因而
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
c0 c1x c2 x2 ck xk ,
f (k)(0) xk k!
即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.
例3 求函数 f (x) = ex 的幂级数展开式.
解 由于 f (n)( x) ex , f (n)(0) 1(n 1,2, ), 因此 f
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
,
(3)
通常称 (3) 式为 f 在 x x0 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 x0 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 在点 x0 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题.
勒级数, 并称等式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
微积分 第九章 第五节 泰勒公式与幂级数展开
n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数
高等数学教材答案解析版
高等数学教材答案解析版第一章：函数与极限1.1 函数和映射函数是一种映射关系，用于表示两个集合之间的对应关系。
对于给定的自变量，函数可以确定唯一的因变量。
函数的定义、性质及基本概念包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。
1.2 三角函数三角函数是高等数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的定义、性质及公式包括：周期性、对称性、增减性等。
1.3 极限与连续极限是函数概念的重要基础，也是微积分的核心概念之一。
极限的定义、性质及计算方法包括：左极限、右极限、无穷极限、夹逼定理等。
连续性的定义及相关定理也是本章的重点内容。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算导数是函数在某一点上的变化率，也可以解释为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义、性质及计算方法包括：左导数、右导数、高阶导数、导数的四则运算等。
2.2 微分学基本定理微分学的基本定理包括：导数与连续性的关系、微分中值定理、洛必达法则等。
这些定理在实际应用中有着重要的意义，如求函数的最大值、最小值、切线方程等。
2.3 函数的局部特性函数的局部特性包括：极值点、拐点、凹凸性等。
通过导数的计算和分析，可以判断函数在特定区间上的增减性、凹凸性及极值点的存在与位置。
第三章：定积分3.1 定积分的定义与性质定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、弧长、物体的质量等。
定积分的定义、性质及计算方法包括：黎曼和、牛顿-莱布尼茨公式、基本定理等。
3.2 定积分的应用定积分在科学和工程领域中有广泛的应用。
常见的应用包括：求曲线下的面积、计算物体的质心、求解微分方程等。
通过实际问题的解析，可以加深对定积分的理解和应用。
3.3 反常积分反常积分是对无界函数或在积分区间上有无界点的函数进行积分。
反常积分的计算方法和收敛性判定包括：无穷限积分、广义积分的比较判别法等。
第四章：级数4.1 数列极限与级数数列极限是一种对数列的趋势和稳定性的判断方法。
第四讲 幂级数的运算
数学分析第十四章幂级数
幂级数的运算
第四讲
数学分析第十四章幂级数
定理14. 9
n
n n a x ∞=∑0
n
n n b x ∞
=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相
同的和函数,(1,2,).
n n
a b n == 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到.根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.
幂级数的运算
则它们同次幂项的系数相等, 即
数学分析第十四章幂级数
定理14. 10
n
n n a x 与
∞
=∑0n
n n b x
∞
=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00
,
||,
n n
n n a n n a x a x x R λλ∞∞
===<∑∑0
(),||,
n
n
n
n
n n n n n n a
x b x a b x x R ∞
∞
∞
===±=±<∑∑∑000
,||,n n n
n n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0
,min{,},.
n
a b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.
则
1
n
x+有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?
一个幂级数有无限多个项的系数为零, 称为缺项幂级。
14非线性电路的分析方法
1.4 非线性电路的分析方法如前所述，在小信号放大器的分析和设计中, 通常是采用等效电路法，以便采用经典电路理论来进行分析、计算。
线性电路中，通常信号幅度小，整个信号的动态范围在元器件特性的线性范围内，所以器件的参数均视为常量，可以借助于公式计算电路的性能指标。
“模拟电子技术基础”课程中“低频小信号放大器”以及本课程中 “高频小信号谐振放大器”的分析中都涉及线性电路的分析。
在通信电子线路中，除了小信号放大电路外，有源器件还常工作在大信号或非线性状态。
与线性电路相比，非线性电路的分析和计算要复杂得多。
在非线性电路中，信号的幅度较大时，信号的动态范围涉及元器件特性的整个范围，半导体器件工作在非线性状态。
它们的参数不再是常数而是变量了。
因此，难以用等效电路和简单的公式计算电路了。
此外，在线性、非线性频谱搬移电路中，都涉及非线性电路的分析方法。
非线性电路的分析是本课程中的重要内容。
分析非线性电路时，常用幂级数分析法、指数函数分析法、折线分析法、开关函数分析法和时变参数分析法等。
1.4.1 幂级数分析法常用的非线性元器件的特性曲线大都可以用幂级数来表示。
在小信号运用的条件下，可以将一些非线性元器件的特性曲线用幂级数近似表示，使问题简化。
用这种方法分析非线性电路，虽然存在一定的准确性问题，但可以较好地说明非线性器件的频率变换作用。
因此在小信号检波、小信号调幅等电路分析时常常采用。
下面以图1.4.1所示电路为例，介绍幂级数分析法。
图中二极管是非线性器件，所加信号电压u 的幅度较小，称为小信号；L R 为负载， 0U 是静态工作点电压。
设流过二极管的电流i 函数关系为：)(u f i =若该函数)(u f 的各阶导数存在，则这个函数可以在静态工作点0U 处展开成幂级数(或称为泰勒级数)。
+-+-+-+=300///200//00/0)(!3)()(!2)())(()(U u U f U u U f U u U f U f i +-+-+-+=303202010)()()(U u b U u b U u b b （1-4-1）式中 0)(00U u i U f b ===为工作点处的电流u LR 图 1.4.1 二极管及其伏安特性(a)o(b)Id d )(0/1U u u iU f b === 为过静态工作点切线的斜率，即跨导；220//2d d !21)(U u u iU f b ===kk 0kk d d !1)(U u u iK U f b ===如果取00=U ，即静态工作点选在原点，则式（1-4-1）可写为 ++++=332210u b u b u b b i （1-4-2）从数学分析来看，上述幂级数展开式是一收敛函数，幂次越高的项其系数越小。
04_解析函数的幂级数展开
可交换性： 绝对收敛级数经改变项的位 置后构成的级数仍绝对收敛，而且与原 级数有相同的和. 若复数项级数 p 与 q 都绝对收敛，其 和分别为S 和 ，则它们的Cauchy乘 积 p q (p q p q ) (p q p q p q ) 也是绝对收敛的，且为S 。
孤立奇点的分类
孤立奇点分类：可去奇点、极点和本性 奇点
极点与零点的关系
第六节 解析函数在无穷远点的性态
定义
若 函 数 f ( z ) 在 无 穷 远 点 z 的 某 邻 域 R | z | 内 解 析 则 称 为 f ( z )的 孤 立 奇 点 .
从 函 数 的 极 值 看 ， z 是 f ( z )的 可 去 奇 点 ， 极 点 或 本性奇点的充分必要条件分别是：
2内 收 敛
于 f 2 ( z ). D 1与 D 2 有 一 公 共 区 域 ， 如 图 所 示 阴 影 区 域 ， 且 在 这 个 公 共 区 域 重 两 级 数 相 等 ， 所 以 f 2 ( z ) 为 f 1 ( z )的 解 析 延 拓 函 数 .事 实 上 ， 它 们 不 过 是 同 一 解 析 函 数 域 中 的 T a ylo r 级 数 而 已 . 1 1 z 在不同
第四章 解析函数的幂级数展开
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
复数项级数与复变项级数 幂级数 解析函数的Taylor级数展开 解析函数的Laurent级数展开 孤立奇点 解析函数在无穷远点的性态 解析延拓
第一节 复数项级数与复变项级数
复数项级数概念
设有复数列 z ( k
k
k
k
k 1
初等函数的幂级数展开
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 1 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 2 1+ x 1 2 n 解: 因为 = 1+ x + x +L+ x +L ( −1 < x < 1 ) 1− x 把 x 换成− x 2 , 得 1 2 4 n 2n = 1 − x + x + L + ( − 1 ) x +L 2 1+ x ( −1 < x < 1 ) 1 2 n ( ) ( ) ( ) = 1 + ϕ x + ϕ x + L + ϕ x + 1 − ϕ (x) ϕ (x) < 1
π )] = 1 [ cos( x − π ) + sin( x − 4 4 2 1 − 1 (x − π )2 + 1 ( x − π )4 − L 1 = 2 2! 4 4! 4
1 π 3 1 π 5 π − ( x − ) + ( x − ) − L + ( x − ) 3! 4 5! 4 4 1 π 1 π 2 1 π 3 = 1 + ( x − ) − ( x − ) − ( x − ) + L 2 4 2! 4 3! 4 ( − ∞ < x < +∞ )
13
1 ,−1 , − 对应 m = 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1⋅ 3 3 1⋅ 3 ⋅ 5 4 x + 1+ x =1+ x − x − x +L 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 ( − 1 ≤ x ≤ 1) 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 4 1 1 x − x + x −L =1 − x + 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 1+ x ( − 1 < x ≤ 1) 1 n n 2 3 + L + ( − 1 ) x +L − x + x − x =1 1+ x ( − 1 < x < 1) 1 = 1 + x + x2 + L + xn + L 1− x ( −1 < x < 1)
幂级数与函数
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
复变函数幂级数
幂级 数的代换运 算在函数展
f[g (z) ] a n [g (z)n ] zR
n 0
成幂级数中 很有用.
例3
把1 表 zb
成
形c如 n(za)n的
n0
幂
级
数
，
这 里 ， 复 b常 a. 数
解 z1b(za)1(ba)b 1a1b z1 a a1代 换1 g(z)b 1a
(2)zn e 2
(4)zn
(11)eni n
精选2021版课件
5
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } { a n in } b n ( 1 ,2 , ,), n12 n---无穷级数
n1
▪级数的前面n项的和 n sn12 n i ---级数的部分和
i1
▪若
部
分
和
数
列{sn
收 }
精选2021版课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
(比定值理法2 )若 ln ni 0m cc nn 1，R 则 1 0 /
0 0
证明 (i) 0 , ln i c m n c n 1z zn n 1ln i c m c n n 1zz
(2)
8in8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， n 敛 1(( n 1 )n ， 2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级
数
非
绝 .
对
第14讲逆z变换
部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X (z) D( z ) a 0 a1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
右边序列 收敛域 z R, 包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式 的阶次不能大 于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
（2）求逆z变换的步骤
X (z)为真分式
再部分分式展开
求展开分式的系数
查反变换表
（3）求展开分式的系数
B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 A( z )
|z|=|1/a|
j Im[ z ] 围线C
|z|=|a|
0
a
收敛域
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C
逆Z变换
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
N
a0 x n0 n 如果 x 1, a0 x 1 x n n0
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一般地, 为求 an , 对(*)式两边求导n次, 则有
f (n) ( x) n!an (n 1) n 2 an1 ( x x0 ) (n) f ( x0 ) ( n) . 上式中,令 x x0 , 则有 f ( x0 ) n!an an n! (n) f ( x0 ) , (n 0,1, 2,....) 故,系数 an n! f (0) ( x0 ) f ( x0 ) 约定： 0! 1 7
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
从而， f ( x)=a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
f ( n ) ( x0 ) , 系数 an n!
(n 0,1, 2,....) 唯一
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
解： a0 f ( x0 ), a1 f ( x0 ). 为求a2 , 对(*)式两边求导两次, 则有
x ( x0 R, x0 R)
f ( x) 2a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )n2
f ( x0 ) . 上式中,令 x x0 , 则有 f ( x0 ) 2a2 a2 2!
逐项积分：
x 0
an n 1 x ( R, R) S (t ) dt ant dt x ， 0 n 0 n 0 n 1
x n
1
四、初等函数的幂级数展开
n a x 上节研究的问题： 给定幂级数 n , 求其收敛域及和 n 0
函数S(x), 即
n a x n S ( x) x (R, R) n 0
f ( x)在 x x0 处的带Peano余项的n阶泰勒公式.
f ( n ) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n o(( x x0 ) n ) n!
f ( x)在 x x0 处的带Lagrange余项的n阶泰勒公式.
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
称为 f ( x)在 x x0处的带Lagrange余项的n阶泰勒公式.
11
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
f ( x)在 x x0 处的泰勒级数.
n 0
(n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )n n! n!
内可展开成泰勒级数的充要条件是f ( x)的泰勒公式中的余项Rn ( x)
满足：
n
lim Rn ( x) 0， x ( x0 R, x0 R )
n
证 由泰勒公式
f ( x)
k 0
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 )k Rn ( x) =Sn ( x) Rn ( x) k !
f ( n1) ( ) 1 2、Rn ( x) ( x x0 )n（ 在x0与x之间）—Lagrange余项 (n 1)!
（ 属于x0与x之间） f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n1 n! (n 1)!
满足：
此时有
n
lim Rn ( x) 0， x ( x0 R, x0 R )
f ( n ) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n n! 14
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式 定理 设f ( x)在x0的某领域( x0 R, x0 R)内任意阶可导,且在该区间
f ( x) an ( x x0 ) ， x ( x0 R, x0 R)
n n 0
或 f ( x) an x n， x ( R, R)
n 0
问题: 1、 f (x) 在什么条件下才能展开成幂级数? 2、如果能展开, a n 如何求? 3、展开式是否唯一?
n
n
lim Rn ( x ) 0 lim ( f (x ) S n (x ))=0 f ( x) lim Sn ( x ) 0
f ( x0 ) , 解： a0 f ( x0 ), a1 f ( x0 ), a2 2!
x ( x0 R, x0 R)
同理为求 a3 ,对(*)式两边求导三次, 则有
f ( x) 3 2a3 4 3 2a4 ( x x0 ) n(n 1)(n 2)an ( x x0 )n3
f ( x)
f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n n!
定理 设f ( x)在x0的某领域( x0 R, x0 R)内任意阶可导,且在该区间
内可展开成泰勒级数的充要条件是f ( x)的泰勒公式中的余项Rn ( x)
f (0) 2 f ( n ) (0) n f (n1) ( ) n1 f ( x) f (0) f (0) x x x x 2 n! (n 1)! 13 （ 介于0与x之间）
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
下面, 我们来讨论问题1：f (x)满足什么条件才能展开成 幂级数？ 即
5
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式 问题2 设f ( x)在区间( x0 R, x0 R)内任意阶可导,且可展开成
( x x0 )的幂级数,即
f ( x)=a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n (*)
求系数an .
3
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
问题2 设f ( x)在区间( x0 R, x0 R)内任意阶可导,且可展开成
( x x0 )的幂级数,即
f ( x)=a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 n (*)
求系数an .
9
余项
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
f ( n ) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n n! Pn ( x)
余项的形式：Rn ( x) f ( x) Pn (x)
f ( x)
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n 多项式 Pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n!
若f ( x)在x x0处可展开成泰勒级数,则有
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
f
(n)
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
( x0 ) ( x x0 )n n!
展开式唯一
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 这里, 级数 0 0 0 0 n! (n) f ( x0 ) 称为泰勒系数. 称为 f ( x) 在 x x0处的泰勒级数, an n! 8
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
f ( x)在 x x0 处的泰勒级数.
n 0
(n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )n n! n!
称为 f ( x) 在 x x0处的n阶泰勒多项式.
f ( x0 ) . 上式中,令 x x0 , 则有 f ( x0 ) 3!a3 a3 3!
6
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
f ( x)=a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n (*)
求系数an .
给定函数 f(x), 找幂级数及区间, 使 本节研究的问题：
f ( x) an ( x x0 ) ,
n n 0
n 0
x ( x0 R, x0 R)
或 f ( x) an x n， x ( R, R) —函数的幂级数展开.
2
四、初等函数的幂级数展开
函数的幂级数展开
( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )n ( x x0 ) n1 n! (n 1)!
（ 介于x0与x之间） 12
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式
x ( x0 R, x0 R)
解： (*)中,令 x x0 , 则有 a0 f ( x0 ). 为求 a1 , 对(*)式两边求导,则有
n1 f ( x) a1 2a2 ( x x0 ) nan ( x x0 )
上式中,令 x x0 , 则有 a1 f ( x0 ).
4
1、泰勒（Taylor）级数与泰勒公式 问题2 设f ( x)在区间( x0 R, x0 R)内任意阶可导,且可展开成