高等数学第一章课件

x 3 f(x 0 ) = 0 x0 + 2
[B] f(2 a), f(b 2 + 1)
2a 3 解: f(2 a) = 2a+ 2
f(b2 + 1) = (b2 + 1) 3 (b + 1) + 2
2
=
b2 2 b2 + 3
[C] f[f(1)], f[f(x)] 解：f[f( 1)] = f[ 1 3 ] = f( 4) =
下列的基本初等函数的解析式及图象必须熟记 幂函数 y y
y=x
(1,1) 0 y x 0 y
y=x2
(1,1) x
y=x3
(1,1) 0 x
y= 1 x
(1,1) 0 x
指数函数 y
y=ax
(0,1)
y (a>1)
y=ax
(0<a<1) (0,1)
0 对数函数 y
x
0
x
y y =logax (a>1) (1,0) x
函数的概念 函数的特性 基本初等函数
一、函数的概念 １、定义：设D是由某些实数组成的数集,如果对每个 数x∈D,变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对 应,那么y就称为定义在数集D上的x的函数,记作： y=f(x)，x称为自变量,数集D称为函数的定义域 当x取遍D中的一切实数值时,对应的函数值全体 组成集合M称为函数的值域. 例如：f(x)=x2 0 5 -2 0 25 4
由 x2 3x + 2 ≠ 0 解得 x ≠ 1且x ≠ 2. 所以定义域为 ( ∞ ,1 ) ∪ (1 , 2 ) ∪ ( 2 , +∞ )
( 2) y = 1 3 x
由3 x > 0解得 x < 3, 所以定义域为( ∞,3)
(3) y = 1 + 5 x x 3
3 x 由 5 x
（1）奇偶性 定义1 对于任意的 x ∈ [ a , a ] ，如果 f(x) = f(x), 那么 f(x) 为奇函数 例如 对函数 f(x) = x + sinx, 因为有 f( x) = ( x)3 + sin( x) = x 3 sinx = f(x) 即 f( x) = f(x) 3 所以 f(x) = x + sinx 是奇函数。
≠ ≥
0 0
解得
x
≤
5 且
x
≠
3
所以定义域为 ( ∞,3) ∪ (3,5]
[B] ( 4) y = ln(7 2 x) 由7-2x>0解得
(5) y = arcsin x 2
x < 7 2
所以定义域为 ( ∞
7 , ) 2
由 1 ≤ x ≤ 1 解得 2 ≤ x ≤ 2 , 2 所以定义域为[-2,2].
(x1, f(x1)) (x2 f(x2))
a x1 x2 b
例如
y = x
y = x
1 x y=( ) 2
1 x y=( ) 2
都是单调减函数
(3) 有界性 定义 对于任意的X∈（a,b），存在M＞0，|f (x)| ≤M ， 那么f (x)在（a,b）内有界。 区间（a,b）内的有界函数的图象全部夹在直线y =M 和y = -M 之间
a x1 x2 b
例如
y = x3
y = lnx
y=lnx
都是单调增函数
定义2 对于任意的 x1, x 2 ∈ (a, b), 且 x1 < x 2 ，如果 f(x1) > f(x 2 ), 那么 f(x)在（a, b) 内单调减少 单调减函数图象沿x轴正向下降 y=f(x) f(x1) f(x2)
例１：求下列函数的定义域 ［Ａ］ ． 解:(1)要使函数有意义，必须有分母(x-1)(x+4)≠0 即
x 1 ≠ 0 x + 4 ≠ 0
(1) y =
1 (x 1)(x + 4)
1 (2) y = x + 1 + x 1
x ≠ 1 x ≠ 4
解得
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞) (2)要使函数有意义,必须有 x + 1 ≥ 0 且有 x 1 ≠ 0 即
2、函数的表示法 （1）解析式法：用解析式表示函数，如
y y y = = = 2 x + 1, 3 x 2 5 x + x, 1 等 x
（2）表格法: 常见于实际生活中的各种表格 如同学们熟悉的,记分册,成绩单等等 （3）图象法：用图象表示函数关系
３、函数的定义域 在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。 用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能 取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下 几点： （１）在分式中，分母不能为零； （２）在根式中，负数不能开偶次方根； （３）在对数式中，真数必须大于零； π ( 4)在三角函数式 y = tanx 中, x ≠ kπ + ( k ∈ Z ), 2 y = cotx 中, x ≠ kπ ( k ∈ Z ) （5）y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1] （６）如果函数表达式是由几个数学式子组合而成， 则其定义域应取各部分定义域的交集。
1+ 2 4 3 7 = 4+2 2
x 3 3 x 3 2 x+ 9 1 x+ 2 f[f(x)] = f[ ]= = (x ≠ ) x+ 2 x 3 3x+ 1 3 +2 x+ 2
例3. [C]设f(x+1)=x2+3x+5,求f(x) 解: 设 x+1=t, 则x=t-1, 代入 f(x + 1) = x 2 + 3 x + 5 得 f(t) = (t 1)2 + 3(t 1) + 5 = t 2 + t + 3 所以f(x)=x2+x+3
3
奇函数的图象关于原点对称
定义2 对于任意的 x ∈ [ a , a ] ，如果 f( x) = f(x), 那么 f(x) 是偶函数。
例如 对函数 f(x) = x 3sinx, 因为有f( x) = ( x)3 ( sinx) = x 3sinx = f(x) 即 f( x) = f(x) 所以 f(x) = x 3sinx 是偶函数
练习2 1、设 f(x) =
2 x 3
2
x 2 [A] f(1), f(0)
, 求下列函数值
[B]
3 f(1) = 1, f(0) = 2 f(a), f (2 b )
f(a) = 2a 3 a2 2 , f(2 b) = 4 b 3 4 b2 2
2、[B]设
f(x) =
x 1 x
，求 f[f(2)]
0
(1,0)
0
x y =logax (0<a<1)
三角函数 y 1 0 -1 反三角函数 y y=arctanx 0
f(x)=sinx
π
2π
y 1 x 0 -1
f(x)=cosx
π
2
3π 2
x
π
2
π
2
x
四、小结：
1、求函数式的定义域通常要对照五种限制，并在解有关 方程和不等式的基础上取各解集的交集。 2、求函数的解析式，通常采用换元法，在求函数值的运 算中要注意繁分式的运算和化简。
例如f (x) = sinx就是R上以2π为周期的周期函数。
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三、基本初等函数 幂函数y =xα （α∈R）， 指数函数y = aX （a ＞0,且 a ≠1）, 对数函数y =logax (a＞0且a≠1), 三角函数 反三角函数 统称为基本初等函数。 例4 [A] 判断下列函数是否是基本初等函数 （1）y =x （是，幂函数） （2）y = 3x2 （否） （3）y = (0.5)x （是，指数函数） （4）y = 2-x （否） （是，正弦函数） （5）u =sin v （否） （6）y =cos 2t （7）y = lg x （是，对数函数） （8）y = ln(x + 1) （否） （9）u =arcos v （是，反余弦函数）
x + 1 ≥ 0 x 1 ≠ 0
解得
x ≥ 1 x ≠1
取其公共部分x≥-1,x≠1 所以定义域为[-1,1) ∪(1,+∞)
[B]. (3) y=ln(x+3) 解
(4) y = lg
1+ x 1 x
(3)要使函数有意义，必须有x+3>0 解得x>-3 所以定义域为(-3,+∞) (4)要使函数有意义,必须有 即 解
f:平方
函数两要素:指定义域和对应关系 函数相同是指定义域和对应关系都相同.
辨别下列各对函数是否相同,为什么?
1 . f(x) = 1 与 g(x) = x x
= x
不同,定义域不同 不同,对应关系不同
t2
2 . f(x)
= x 与 g(x)
3 . f(x)
= t 与 g(x)
=
相同,定义域和对应 关系都相同
M y = f(x) a -M b
常见的有界函数是 y =sinx
y=cosx
以及反三角函数
（4） 周期性 定义 对于任意的x∈D，存在正数 l，使f (x + l )=f (x), 那么f (x)为D上的周期函数。 三角函数是周期函数
以 l 为周期的周期函数的图象在定义域内每隔长关于y轴对称
(2) 单调性 定义1 对于任意的 x1, x 2 ∈ (a, b), 且 x1 < x 2 ，如果 f(x1) < f(x 2 ), 那么 f(x) 在（ a , b ) 内单调增加 单调增函数图象沿x轴正向上升 y=f(x) f(x2) f(x1)