点直线平面的投影
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点、直线、平面的投影
3、三视图之间的度量关系 “长对正，高平齐，宽相等”
4、三视图与物体方位的关系
主视图——物体的左右和上下关系 左视图——物体的上下和前后关系 侧视图——物体的左右和前后关系
5、三视图的作图步骤 （1）作投影轴及450辅助线 （2）从主视图入手,按照“长对正、高平齐、宽相等”原则作三视图 （3）擦除投影轴、450辅助线及其它作图辅助线
正面V与水平面 H的交线——OX轴
侧面W与水平面 H的交线——OY轴
三条轴线交点为原点O
正面V与侧面W的交线——OZ轴
2、三视图的形成
三视图的组成：主视图（尽量反映物体的主要特征）、俯视图、左视图
三个视图均在一个平面上，三个视图的相对位置不能变动
画视图时，投影面的边框和投影轴不必画出
三个视图的名称不必标注
（4）检查无误后加粗轮廓
例题1：习题集P7 §2-2 点的投影
一、点的三面投影 点的三面投影均在一个平面上，均用小写字母来表示
二、点的三面投影与直角坐标的关系
V 、H、 W面相当于坐标面 投影轴OX 、 OY、 OZ相当于X 、 Y、 Z 轴 原点O相当于坐标原点O 第一分角内的点，其坐标植均为正 每一个投影均能反映点的两个坐标植 例题2：已知点A（20，10，20），求作其三面投影
（2）在另两个投影面上的投影与投影轴平行且反映实长（“实形 性”）；
3、一般位置直线的投影 一般位置直线：同时倾斜于三个投影面的直线 投影特点：（1）三个投影都倾斜于投影轴，且其与投影轴的夹角都不反映直线 对投影面的真实倾角；
（2）三面投影的长度都短于实长 ； （练习及总结） 例题6：已知水平线AB的端点A的投影，直线与V面夹角为300，AB长12mm且B在A 的右前方，求做直线AB的三面投影。 三、点与直线
点、直线、平面的投影
c' (d')
d c
Z
d" c"
O YW
YH
Z
V Aa' a" W
X
Bb' ba
O
H Y
Z
a'
a"
X b' b
c' b" a c c"
YW
YH
1、点A在V面上，故 YA=0 2、点B在X轴上，故ZB= YB =0 3、点C在原点上，故
Zc= Yc = Xc =0
V a'
b' B
Z
A
W
a"
b"
X
b
a
Z
V
b' W
a'
B b"
X
A
a"
Ha b
Y
Z
a'
a"
X
b' α γ O
b" YW
b a YH
1、a′b′=AB=实长
2、ab∥OX轴 ,
a" b" ∥ OZ轴
3、β=0°α、γ反映
实际大小
Z V
a'
b'
W
a"
A
X a
B b"
H
bY
Z
a' b' a" b"
X
O
a βγ
YW
b
1、ab=AB=实长 YH
也就是该点到相应投影面的距离。
三、点的三面投影与直角坐标的关系：
将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、 W 当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标 轴，o 作 为原点。 点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。
工程制图第二章点直线平面的投影
′
βγ
α ″
′
″
′
″
第四节 直线的投影
三、点、直线的从属关系
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
′
第四节 直线的投影
例1：判别点C是否属于直线AB
′
″
′
′
″
′
′
″
′
第四节 直线的投影
例2：作属于直线AB的点K,使AK:KB=3:2
′ ′ ′
第四节 直线的投影
例3：在直线ＡＢ上确定点Ｋ，使点Ｋ到V与H面距离之比为2:3。
4.不变性：平行于投影面的直线（平面），其投影反映实长，实形。
第二节常用的两种投影图
多面正投影图
轴测投影图
第三节 点的投影
1 2 3
注意：点的一个投影不能确定空间点的位置
第三节 点的投影
一、点在三投影体系中的投影及其投影规律 1. 三面投影体系的建立：
第三节 点的投影
2. 点的三面投影图
3. 点的三面投影与直角坐标系的关系
′
′′
′
′′
′
′′
第五节 平面的投影
一、平面的表示法：
1.几何元素表示法
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
2. 迹线表示法
第五节 平面的投影
二、各种位置平面 １、投影面的平行面： 正平面 水平面 侧平面
正 平 面(//v面）
′
′
′
′
″″
″″
′
′
′
′
″″ ″″
水 平 面(//H面）
第三章点、直线及平面的投影详解
第三章 点、直线及平面投影
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
第3章--点、直线和平面的投影
第六节 平面上的直线和点
一. 平面上的直线 判定定理： 1）若一直线通过平面上的两点， 2）若一直线通过平面上的一点，
且与平面内的一直线平行
则该直线在 该平面内
二. 平面上的点
判定定理： 若点通过平面内一直线，则该点在该平面内。
〖例3—5〗已知△ABC的两面投影及△ABC内K点的 水平投影k，作其正面投影k’。
空间两直线的相对位置有： 平行、相交、交叉、垂直（垂直相交或垂直交叉）
1. 两直线平行
判定定理： 三对同面投影均平行，且符合定比性，则二直线平行.
对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行， 则二直线平行。
判断图中两条直线是否平行？
答案：平行
对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平
行，空间直线不一定平行。
1）在它所垂直的投影面上的投影积 聚成一条斜线，反映该平面对其它两投 影面的夹角实形；
2）其它两面投影为面积缩小的类似 平面图形。
4. 一般位置平面
空间平面与三个投影面都倾斜。
投影特性：三个投影均不反映实形，均为类似形。
一框两直线，定是平行面，框在哪 个面，平行哪个面。
两框一斜线，定是垂直面，斜线哪 个面，垂直哪个面。
〖例3—15〗求 作平面△ABC与四 边形DEFG的交线MN 的两面投影，并表 明可见性。
作图步骤：
1）经试求选定求 作ED、FG与△ABC平 面的交点。四. 两点Βιβλιοθήκη 相对位置1. 两点的相对位置
指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
投 影 面 方 位 图
2. 重影点及其可见性
当空间两点位于同一投影线上时，此两点在该投 影面上的投影重合为一点，该点称为重影点。
请做 本题 练习
第三章 点、直线、平面的投影
C b
O
|YA-YB| X
a b
ab
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
ab
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b b Z a
B
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直线实长
直线实长
直线实长
△Z
△Y
△X
α
水平投影长
β
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影
第三章 点、直线、平面的投影
3-1 点的投影
一、点的三面投影
二、点的投影与直角坐标的关系
三、点的投影规律
四、空间点的相对位置
一、点的三面投影
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用 相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相 应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
b
d d c
b
a
d
A
b
a
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a
a c c c d c b d a b a b b d c b d a c b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
②
a
d
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
a
X A a O bo b
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
点、直线和平面的投影
例2-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，点B的正面投影b′和水平投 影b，如图2-11(a)所示，分别求其第三面投影。
图2-11 已知点的两面投影求第三投影
二、直线的投影
1.各种位置直线的投影特性
1）投影面平行线 投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。 （1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴 的夹角，分别反映直线对另外两个投影面的夹角。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴。 2）投影面垂直线 投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。 （1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 3）一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映 实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角 。 一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小 于实长。
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即 a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点 A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离， 即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条 辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的 水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
点、直线平面的投影
THANKS
感谢观看
计算投影长度
01
根据平面的长度和它与投影面的夹角，可以计算出其投影长度。
计算投影角度
02
根据平面的角度和它与投影面的夹角，可以计算出其投影角度。
计算投影形状
03
根据平面的形状和它与投影面的夹角，可以计算出其投影形状。
04
点、直线、平面的综合投影问题
点、直线、平面的关系分析
点与直线的关系：点 在直线上、点在直线 外、点与直线重合。
直线与平面的关系： 平行、相交、垂直。
点与平面的关系：点 在平面内、点在平面 外、点与平面重合。
点、直线、平面的投影计算
点的投影计算
根据点的坐标和投影角 度计算出点的投影位置。
直线的投影计算
根据直线的方程和投影 角度计算出直线的投影 位置。
平面的投影计算
根据平面的方程和投影 角度计算出平面的投影 位置。
斜交
当直线与平面斜交时，直 线在平面上的投影是线段。
直线在平面上的投影性质
真实性
直线在平面上的投影反映直线的真实 长度和方向。
垂直性
如果直线与平面垂直，其投影为一点。
平行性
如果两条直线平行，它们的投影也平 行。
直线在平面上的投影计算
投影长度
根据直线的长度和与平面 的角度，可以计算出投影 的长度。
点在平面上的投影性质
1 2
投影唯一性
点在平面上的投影是唯一的，除非点位于平面的 法线上。
投影与原点连线垂直于平面
投影点与原点连线垂直于平面，且经过原点与平 面的垂足。
3
投影与原点的距离关系
投影点到原点的距离等于原点到平面垂足的距离。
点在平面上的投影计算
点直线与平面的投影
02
点、直线与平面的关系
点与平面的关系
点的投影
点在平面上的投影是该点与平面 交点的位置。
点的位置关系
点在平面内、点在平面外、点在平 面上的不同位置关系会影响其投影。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积 聚性。
直线与平面的关系
直线的投影
直线在平面上的投影是该直线与平面交线的位置。
直线与平面的位置关系
点、直线与平面的投影
• 点、直线与平面的基本概念 • 点、直线与平面的关系 • 点、直线与平面的应用 • 点、直线与平面的投影性质 • 点、直线与平面的投影作图
01
点、直线与平面的基本概念
点的投影
01
02
03
点的投影
将一个点按照一定的投影 规则投影到一个平面上， 得到该点的投影点。
点的投影性质
分割平面
02
直线可以将平面分成不同的区域，用于几何图形的分割和划分。
确定角度
03
通过两条直线的交点可以确定平面上的角度，如直角、锐角、
钝角等。
平面在平面上的应用
形成立体图形
平面可以与其他平面相交，形成立体的几何图形，如圆柱、圆锥 等。
支撑物体
平面可以作为支撑面，用于支撑物体，保持其稳定。
划分空间
平面可以将空间分成不同的区域，用于建筑、室内设计等领域中 的空间划分和布局。
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
直线投影特性
直线的投影具有真实性、类似性和积聚性，同时还有垂直性和倾斜 性。
平面与平面的关系
平面的投影
两个平面在空间中的相对位置关 系可以通过其投影来表现。
平面的位置关系
平行、相交、垂直等不同位置关 系会影响其投影。
点直线平面的正投影(共9张PPT)
四. 点、直线、平面的正投影作图
点的投影 ① 点的三面投影及其规律
如图所示，为空间点Ａ的三面投影图及展开图。总结其展开图的投影规律，可以得出点的三面投
影规律：a’a┴OX，a’ a〃┴OZ，axa=a〃az。
② 点的坐标
可以用坐标值来确定空间点的投影，如Ａ（X、Y、Z）。三个坐标值X、Y、Z分别代表了空间点到W、V、 H三个投影面的距离。当点的坐标中有一个坐标值为零时，就表示该点为平面上的点；若有两个坐标值
为零时，就表示该点为投影轴上的点。如图所示。
图点的投影
图点的坐标
四. 点、直线、平面的正投影作图
点的投影
③ 两点的相对位置
空间点的位置是根据它们对三个坐标轴的位置而定的。我们分别以 X轴，Y轴，Z轴的正向表示左、前、上方。依此规定，则 可确定两点的相对位置。，当空间两点位于同一投影线上，即该两点只有一个相对位置。同理可得C在D点的正前方 ，E在F点的正左方。如图（b）所示为重影点的正投影图。
图求平面上点M点及AB直线的投影
N直线平行AB，且➢过C直点线。通过平面上的两个点，则此直线在该平面上。
依N直此线规平定行，A则B可，确且➢定过两CN点点直。的线相平对行位A置B。，且过C点。N直线也在三角形ABC平面上。
➢ 若直线通过平面上的一点，且平行该平面上的 另一条直线，则此直线必在该平面上。
四. 点、直线、平面的正投影作图
表特殊位置直线的投影
四. 点、直线、平面的正投影作图
直线的投影 [例3]
如图（a）所示，已知E是CD线上的点，求e。
〔解法1〕：据已知条件，利用投影规律，先求出直线的 第三投影即W面投影ｃ＂ｄ＂，再求出e＂最后求出e点。如图所
示。
〔解法2〕：利用定比性，将直线的V面投影度量到H面投影 上，c、c’点重合，连接d、d’，过e点作dd’直线的平行线
点的投影 ① 点的三面投影及其规律
如图所示，为空间点Ａ的三面投影图及展开图。总结其展开图的投影规律，可以得出点的三面投
影规律：a’a┴OX，a’ a〃┴OZ，axa=a〃az。
② 点的坐标
可以用坐标值来确定空间点的投影，如Ａ（X、Y、Z）。三个坐标值X、Y、Z分别代表了空间点到W、V、 H三个投影面的距离。当点的坐标中有一个坐标值为零时，就表示该点为平面上的点；若有两个坐标值
为零时，就表示该点为投影轴上的点。如图所示。
图点的投影
图点的坐标
四. 点、直线、平面的正投影作图
点的投影
③ 两点的相对位置
空间点的位置是根据它们对三个坐标轴的位置而定的。我们分别以 X轴，Y轴，Z轴的正向表示左、前、上方。依此规定，则 可确定两点的相对位置。，当空间两点位于同一投影线上，即该两点只有一个相对位置。同理可得C在D点的正前方 ，E在F点的正左方。如图（b）所示为重影点的正投影图。
图求平面上点M点及AB直线的投影
N直线平行AB，且➢过C直点线。通过平面上的两个点，则此直线在该平面上。
依N直此线规平定行，A则B可，确且➢定过两CN点点直。的线相平对行位A置B。，且过C点。N直线也在三角形ABC平面上。
➢ 若直线通过平面上的一点，且平行该平面上的 另一条直线，则此直线必在该平面上。
四. 点、直线、平面的正投影作图
表特殊位置直线的投影
四. 点、直线、平面的正投影作图
直线的投影 [例3]
如图（a）所示，已知E是CD线上的点，求e。
〔解法1〕：据已知条件，利用投影规律，先求出直线的 第三投影即W面投影ｃ＂ｄ＂，再求出e＂最后求出e点。如图所
示。
〔解法2〕：利用定比性，将直线的V面投影度量到H面投影 上，c、c’点重合，连接d、d’，过e点作dd’直线的平行线
点直线和平面的投影
c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角
正平线 c′d′=CD
Z
X
Y
O
V
W
H
f
e
α
β
α
β
f '
e'
X
Z
YH
YW
O
α
β
F
E
e"
f"
侧平线 e″f″=EF
ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长
e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角
f"
e"
X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。
Y
X
O
V
Z
W
1. 三投影面体系和点的三面投影
三视图及其 投影规律
俯视方向
左视方向
f '
e'
e
f
Z
X
Y
O
H
V
W
A
B
a'
b'
a(b)
a'
b'
YW
X
Z
YH
O
a"
b"
b"
a"
a(b)
a′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW
铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点
Z
X
Y
O
H
V
W
c'( d')
C
D
d
c
正平线 c′d′=CD
Z
X
Y
O
V
W
H
f
e
α
β
α
β
f '
e'
X
Z
YH
YW
O
α
β
F
E
e"
f"
侧平线 e″f″=EF
ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长
e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角
f"
e"
X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。
Y
X
O
V
Z
W
1. 三投影面体系和点的三面投影
三视图及其 投影规律
俯视方向
左视方向
f '
e'
e
f
Z
X
Y
O
H
V
W
A
B
a'
b'
a(b)
a'
b'
YW
X
Z
YH
O
a"
b"
b"
a"
a(b)
a′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW
铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点
Z
X
Y
O
H
V
W
c'( d')
C
D
d
c
点、直线、平面的投影
提示：已知两个视图，要补画其他视图 时，首先应根据已知视图中对应线框的投影 想象其立体图，然后再根据立体图，并结合 投影关系补画其他视图。在想象立体图时， 可从反映该特征最明显的视图入手，忽略图 中的虚线和部分线条想象其基础形体，然后 再考虑其他图线产生的原由。
补画某个视图时，为了防止出现错误，一 定要按该物体的形成过程绘制，切记不要看 到棱边就画，想画哪就画哪。
机械制图
1 点的投影
无论点在空间处于什 么位置，其三面投影仍然 遵守“长对正、高平齐、 宽相等”的投影规律。
1
空间点对于由V、H和W平面组成的投影体系有以下三种位置关系：
当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内，如图下中A点的投影。
当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上。
水平线
正平线
侧平线
若将投影面平 行线与V、H、W面 的夹角定义为α、β 和γ，则该直线和与 其平行的投影面的 夹角为0°，和其他两 个投影面的夹角在 其平行的投影面上 反映真实大小。
3．一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影均与
2 投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也
不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如下图所示。
3 平面的投影
空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。
3
1．投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
若空间平面平行于一个投影面， 则必垂直于其他两个投影面，这样 的平面称为投影面平行面。平行于 V、H、W投影面的平面分别称为 正平面、水平面和侧平面。投影面 平行面在与其平行的投影面上的投 影反映实形，在其他两个投影面上 的投影积聚成一条直线，且平行于 相应的投影轴，如右表所示。
点直线和平面的投影
(3)投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投 影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个 投影面的倾角。
投影面平行线
土木工程制图
(a) 水平线 (b) 正平线
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ
实长 b YH
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、各种位置直线投影
土木工程制图
投影面平行线
水平线（平行于Ｈ面）
正平线（平行于Ｖ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
侧平线（平行于Ｗ面）
统称特殊位置直线
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面
投影面垂直线
土木工程制图
(a) 铅垂线
(b) 正垂线
(c) 侧垂线
投影面垂直线投影特性
土木工程制图
铅垂线
a
Z
a
正垂线
c(d) Z d
●
b
b
X
X
o
YW
a
Z a
β
b
α
YW X a
a YH
b YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线
土木工程制图
(a) 水平线 (b) 正平线
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ
实长 b YH
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、各种位置直线投影
土木工程制图
投影面平行线
水平线（平行于Ｈ面）
正平线（平行于Ｖ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
侧平线（平行于Ｗ面）
统称特殊位置直线
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面
投影面垂直线
土木工程制图
(a) 铅垂线
(b) 正垂线
(c) 侧垂线
投影面垂直线投影特性
土木工程制图
铅垂线
a
Z
a
正垂线
c(d) Z d
●
b
b
X
X
o
YW
a
Z a
β
b
α
YW X a
a YH
b YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
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四．重 影 点
共处于同一条投射线上的两点，在相应的
投影面上具有重合的投影
可见性由其不重合的投影坐标大小来判别
即：V面重影时，Y值大者在前——可见
H面重影时，Z值大者在上——可见
W面重影时，X值大者在左——可见
在投影图中，不可见的点，加括号表示
直线的投影
一、直线的三面投影
直线的投影一般仍是直线
作法：① 作出两端点的三面投影 ② 用直线连接同面投影
侧垂面的V、H面投影是平面的类似形。
2．投影面垂直面
投影特性：
在所垂直的投影面上的投影积聚成一
条与投影轴倾斜的直线；
其他两面投影均为原形的类似形。
3．一般位置平面
与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面
3．一般位置平面
三面投影均为小于原形的类似形
三、点在平面上的投影作图
（1）点在特殊位置平面上
直线在所平行的投影面上的投影均反映实长 其他两面投影平行于相应的投影轴
直线与 H面夹角--α V面夹角--β W面夹角--γ α—△Z β—△Y γ —△ X
1．投影面平行线
画图时，先画反映实长的那个投影（与投影轴倾斜的斜线）。 读图时，如果直线的三面投影中，有一个投影与投影轴倾斜，另外两个 投影与相应的投影轴平行，则该直线必定是投影面平行线，平行于投影 为斜线的那个投影面。
1．投影面平行线
——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面的直线
投影面平行线有三种位置： 水平线 正平线 侧平线 平行于水平面的直线 平行于正面的直线 平行于侧面的直线
1．投影面平行线
水平线的投影特性
1．投影面平行线
正平线的投影特性
1．投影面平行线
侧平线的投影特性
1．投影面平行线 投影特性：
点的投影
一．点的投影规律
规定：空间点用 A、B、C……
水平投影用 a、b、c……
正面投影用 a’、b’、c’……
侧面投影用 a’’、b’’、c’’……
点的投影连线与投影轴的交点用 ax ayh ay ayw
a y az
一．点的投影规律
aaYH aaZ 点A到W面的距离Aa
一．点的投影规律
1. 投影面平行面 —— 平行于一个投影面， 垂直于另外两个投影面的平面； 2. 投影面垂直面 —— 垂直于一个投影面， 与另外两个投影面倾斜的平面； 3.一般位置平面——与三个投影面都倾斜 的平面。
投影面平行面与投影面垂直面统称为 特 殊位置平面。 平面对H、V、W 面的倾角分别用α、β、 γ 来表示。
的倾角α、γ。
正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
2．投影面垂直面——铅垂面
铅垂面H面投影积聚成一直线， 该直线与OX 轴和OYH 轴的夹角分别是平面与 V、W 面的倾角β、γ。 铅垂面的V、W 面投影是平面的类似形。
2．投影面垂直面——侧垂面
侧垂面W面投影积聚成一直线， 该直线与OYW轴和OZ轴的夹角分别是平面与 H、V面的倾角α、β。
2．投影面垂直面
——垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面。
三种情形：
正垂面 垂直于V面并倾斜于H、
W面的平面；
铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于 H、V面的平面。
2．投影面垂直面——正垂面
正垂面的V面投影积聚成一直线， 该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平面与H、W面
1．投影面平行线
例 题
已知直线AB平行H面且距离H面 15㎜，求其余两投影。
2．投影面垂直线
——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面的直线
投影面垂直线有三种位置： 铅垂线 正垂线 侧垂线 垂直于水平面的直线 垂直于正面的直线 垂直于侧面的直线
2．投影面垂直线
铅垂线的投影特性
2．投影面垂直线
正垂线的投影特性
复
1. 正投影的基本性质
习
2. 三个投影面、三个投影轴 3. 三视图及其位置 4. 三视图与物体的方位关系 5. 三视图间的投影规律
导 入 新 课
任何物体的表面都包含点、线和面等几 何元素，右图所示三棱锥，就是由 4 个平面、
6条直线和4个点组成。绘制三棱锥的三视图，
实际上就是画出构成三棱锥表面的这些点、 直线和平面的投影。因此，要正确并迅速地 表达物体，必须掌握点、线和面等几何元素 的投影特性和作图方法。本次课学习点的投
二．点的投影与直角坐标的关系
点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。如将投影面作为坐标 面，投影轴作为坐标轴，则点的三面投影与点的三个坐标值有以下对应关系：
点A的坐标写为 A（x，y，z）
二．点的投影与直角坐标的关系
二．点的投影与直角坐标的关系
思考 如果空间点C（15，10，0），即点C的Z坐标为“0”，它在三投影 面体系中处于什么位置？请你思考，并画出点C的三面投影。
1．投影面平行面——正平面
正平面的V面投影反映实形 H、W 面投影积聚成垂直于Y 轴的直线
1．投影面平行面——侧平面
侧平面的W面投影反映实形 V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线
1．投影面平行面
投影特性：
在所平行的投影面上的投影反映实形；
其他两面投影积聚成直线，且平行于相 应的投影轴。
2．投影面垂直线
侧垂线的投影特性
2．投影面垂直线 投影特性：
直线在所垂直的投影面上的投影均积聚 成一点 其他两面投影分别垂直于相应的投影轴 且皆反映实长
2．投影面垂直线
画图时，一般先画积聚成点的那个投影。 读图时，如果在直线的三面投影中，有一面投影积聚成点，则该直线 必定是投影面的垂直线，垂直于其投影积聚成点的那个投影面。
特 性
① 若点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投 影上。反之也成立。 ② 若一点的三面投影中，有一面投影不在直线的同面投 影上，则可判定该点不在该直线上。 ③ 点分割直线之比 = 点的投影分割直线投影之比 (定 比性）
讨论：
平面的投影
二、平面与投影面的位置关系
三种情形：平行、垂直和倾斜
（2）点在一般位置平面上
小
1。掌握点的投影规律
结
2. 熟悉点的投影与直角坐标的关系
3. 学会判断两点的相对位置和重影点的可见性
Байду номын сангаас
的方法
4。熟练掌握各种位置直线的投影特性； 5。熟练掌握投影面平行面、垂直面、一般位置 平面的投影特性； 6。掌握点在平面上的投影作图方法
布 置 作 业
P15；17；20；21
影。
讲述新课
点的投影 直线的投影 平面的投影
教学目标
1. 掌握点的投影规律
2. 熟悉点的投影与直角坐标的关系 3. 学会判断两点的相对位置和重影点的可见性的方法
4. 熟练掌握各种位置直线的投影特性；
5. 熟练掌握投影面平行面、垂直面、一般位置平面的 投影特性； 6. 掌握点在平面上的投影作图方法
1．投影面平行面
——平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面。
三种情形：
水平面 平行于H面并垂直于V、 W 面的平面； 正平面 平行于V面并垂直于H 、 W 面的平面； 侧平面 平行于W面并垂直于H、 V 面的平面。
1．投影面平行面——水平面
水平面的H面投影反映实形， V、W 面投影积聚成垂直于Z 轴的直线。
3．一般位置直线
——与三个投影面都倾斜的直线
投影特性：
三面投影均与投影轴倾斜； 三面投影长度均小于该线段实长； 三面投影与投影轴的夹角不反映直线段的三个倾角。
思考 分析右图所
示三棱台的三视 图中的图线 ， 其 中水平线有几条， 侧平线有几条 ， 侧垂线有几条 ， 一般位置直线有
几条？
三、属于直线的点的投影
二、直线与投影面间的位置关系
三种情形：平行、垂直、倾斜 1. 投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外 两个投影面的直线。 2. 投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两 个投影面的直线。 3. 一般位置直线——与三个投影面都倾斜的直线。 投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。 在三投影面体系中，直线对H、V、W 的倾角分别用α、 β、γ 表示。
三．两点的相对位置
X值大者在左 Y值大者在前 Z值大者在上
三．两点的相对位置 判断 A（5，10，15），B（10，15，
20）两点的相对位置
结论：A点在B点的右、后、下方
三．两点的相对位置
四．重 影 点
讨论 如果点A和点B的 X、Y坐标相同，点A的 Z坐标小于点 B的Z坐标， 则A、B两点的H面投影a和b重合在一起。H面投影重合的空间两点称为 H 面的重影点。重影点在标注时，不可见的投影加括号表示，如（a）。
点
运动
直线 投影 点、直线
运动
平面 投影
运动
基本体 投影 图形
投影 点
直线、图形